浙江大学硕士学位论文2变形曲面造型技术总论
:变形操作不是直接作用于物
体，而是作用于物体所嵌入的变形空间;如果变形空间被改变了，则嵌入其中的
物体自然随之改变
2变形曲面造型技术总论
这一 章 从 变形曲面造型技术的发展状况、实际应用、变形曲面方法与其它曲
面造型方法的比较等各个层面对变形曲面作了综合评述，并集中介绍了几种常用
的基本的变形曲面造型方法，如Barr变形、FFD变形、简单约束变形。
2.1变形曲面造型技术的发展概况
为了 更 方 便、直观地构造和编辑三维形体，B。率先将变形思想引入到几何
造型领域[Ber1984]。他模拟了力学中常见的几种变形，如拉伸、均匀张缩、扭转和
弯曲等，并给出了这些变形的数学表示。应用Barr的方法，可以生成许多类型
的三维几何形状。由于该方法仅能用于特定的几何形体，一般称其为非自由型变
形。
以后 许 多 学者继续探索如何将变形造型方法融合到传统的CAD/CAM 系统
以及如何进行自由变形。自由变形的想法最早出现于文献[B&19781. 1986年，
Sederberg和Parry提出了一种崭新的变形算法，称为自由变形(Free-Form
Deformation)，简称FFDtsr1986]。其核心思想在于:变形操作不是直接作用于物
体，而是作用于物体所嵌入的变形空间;如果变形空间被改变了，则嵌入其中的
物体自然随之改变。FFD首先引入一个变形工具，由一个均匀剖分的三参数张量
积Bezier体的控制顶点组成，称为Lattice;然后将变形物体线性地嵌入此Bezier
体的参数空间，当调整Latice中的控制顶点位置时，参数体的形状会发生变化，
嵌入其中的物体就会随之变形，FFD方法是柔性物体变形中最适用的一种方法，
但其Latice块的形状为平行六面体，这在一定程度上限制了它的应用，Coquillart
提出的扩展FFD方法(简称EFFD)[Co g199o]使得初始的Latice可以有更多的形状，
如棱柱体、圆柱体等，从而增加了FFD技术的使用范围。有理FFD方法(简称
RFFD)是对FFD方法的另一种推广[KMT19921它把Latice表示为有理形式的三参数
张量积Bezier体，从而使用户还可以通过权因子来控制变形，Hsu等人IHHK19921
则允许用户直接控制嵌入曲面上的点的变化位置，然后反求Latice顶点的变化
以达到所需要的变形，Lamousin等人[LW1 9 94]提出了一种基于NURBS的FFD方
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法(简称NFFD)，把整体和部分变形有机地结合起来，对所嵌入的物体提供了更
多的控制余地，在1996年，MacCracken和JOY[M 119961提出了用任意拓扑的Lattice
来控制物体变形，使得变形控制更加直观和灵活。
FF D 方 法具有很大的灵活性，但是当Latice中控制顶点数目较多时，调整
Lattice中控制顶点的工作将变得繁琐和费时，鉴于许多物体的变形具有轴向性，
Lazarus等人[LCJ19941提出了轴变形方法(AxialD eformation)，以牺牲一部分变形的
自由度来换取交互的灵活性，在轴变形方法中，用户首先根据物体变形的要求定
义一条轴向参数曲线，将变形物体附着在轴曲线的局部空间中，然后用传统的曲
线编辑技术修改轴曲线的形状，变形则由轴线传递给物体。文献[CR1994]提出一种
基于广义de Casteljau的轴变形方法，从效果上看与轴变形方法类似，只是基于
不同的数学原理。不同于FFD的轴变形的方法，冯结青[FMP1995,A 1997]将物体嵌入
到参数曲面空间，然后通过改变参数曲面来控制物体的变形。
除了 以 上 变形方法以外，还有基于求解约束的变形方法。Borrel和Rappoport
提出的简单约束变形法[BR1994]采用了另外一种变形控制方法。该方法通过由用户
定义的约束点、所需的偏移量和影响半径来控制变形，这种方法的优点是一个约
束点的变形影响范围为一个局部空间。然而这个约束模型只能处理点约束，Borrel
和Rappoport提到了线约束和面约束的问题，并指出他们的点约束方法不能推广
到线约束和面约束。金小刚等受元球造型的启发，基于广义元球所具有的特殊势
函数分布，提出了一个新的包含点、线、面和体约束的一般变形模型[1LP19981。在
该模型中，用户定义一系列约束以及每个约束的影响半径和偏移量，变形模型根
据每个约束和其影响半径产生该约束的广义元球。广义元球确定了一个以约束点
集为中心的势函数，该势函数在约束点集处为1，在影响半径处渐变为0。该变
形模型是也是一种与物体表示无关的方法，变形的影响区域是局部的，并且变形
可由广义元球运动偏移量和广义元球的参数来细微调整。
变 形技 术 起源于几何造型领域，它最初是作为一种几何造型方法提出来的，
后来由于它在模拟柔性物体动画方面的巨大潜力，逐渐地在计算机动画领域中得
到了很大的发展和广泛的应用[Bec1994,8 19951。目前的许多商用动画软件如
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Softimage, 3DMAX, Maya等都有类似于FFD的功能。
2.2几种常用的变形曲面造型方法
正如上节内容所述，变形曲面造型方法有很多种，根据变形方法的引入思路
和数学计算方法上的不同，这里简单介绍三种。
2.2.1 Barr变形方法
在计 算 机 动画和几何造型中，几何形状的修改是一个重要的研究课题。用户
可以通过交互地拉动物体的顶点或控制顶点，或者对其施加变换的方法改变物体
的几何形状，但这些方法所产生的效果是有限的，用它们难以得到复杂的形状。
当顶点或控制顶点的数目较多时，这种直接操作方式就显得十分繁琐。空间变形
方法则较好地解决了这个问题。
Bar r首 先 提出了整体与局部变形的概念[Bar1984]。在传统的造型方法中，物体
通常是用CSG树来表示。通过对基本物体的旋转、平移、比例缩放、求和、求
交、求减等几何变换和布尔运算，CSG造型方法可以生成非常复杂的物体。Barr
推广了传统的运算操作，他提出把整体和局部变形作为新的算子。他提出的算子
有:使成螺旋形(Twisting),弯曲(Bending)、渐细(Tapering)。这些算子的优点在
于[}e200 0],①推广了传统的造型运算，可以生成许多传统造型方法难以生成的形
体;②变形后物体的法矢可用原物体的法矢和变换矩阵解析求得。在他的方法中，
变换矩阵不再是常数，而是空间位置的函数，因而变形可独立于物体的具体表示
形式。
设X 表示待变形物体上的点，其分量用(x,Y, z) 来表示;X,表示变形后物体
上的点，其分量用(x0, Y',z, )表示。
整体变形可用变换X,二F(X)来表示，其中F为一显示地把X变换成X,
的数学函数。下面是几个整体变形的例子:
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