直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不...
http://phymath999.blogspot.com/2013/03/topology01-homeomorphism.html
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对于新脑皮层(expectations)而言，我们的身体是外部世界的一部分。请记住，大脑处在一个安静的暗盒里，它只通过感觉神经纤维上的模式来了解世界。我们把大脑看作是一个模式处理装置，从这一角度看，它对我们身体的了解与对世界其他部分的了解没有什么两样，因为身体与世界之间没有特别的界限。但新大脑皮层却不能建立关于自己的模型，因为大脑里没有感觉。因此，这就是为什么我们会觉得思想独立于身体，为什么我们会觉得有独立的心智和灵魂的原因...
topology01 拓樸學主要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
以說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。
topology01 拓樸學主要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
http://www.fxkz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=175
原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表
在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。
有一些差别。这里不涉及任何对称性或者群作用。如果在每个局部坐标系 U 里有一组数据，当一个区域可以使用不同局部坐标 U, U’，而 U 里头的数据可以通过某种（依赖于局部坐标变换的）规则同 U’ 里的数据联系起来的时候，这组数据就组成了一个整体定义的量。这跟狭义相对论还是有所不同，在那里，时空是平直的，坐标系之间的变换同空间本身的 Poincare 群作用几乎可以对等，所以教材上面从来不区分是“坐标变换” 还是“点变换”。在流形上，坐标都是局部的，这种区别就很关键了。
拓樸學主
原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表
在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。
有一些差别。这里不涉及任何对称性或者群作用。如果在每个局部坐标系 U 里有一组数据，当一个区域可以使用不同局部坐标 U, U’，而 U 里头的数据可以通过某种（依赖于局部坐标变换的）规则同 U’ 里的数据联系起来的时候，这组数据就组成了一个整体定义的量。这跟狭义相对论还是有所不同，在那里，时空是平直的，坐标系之间的变换同空间本身的 Poincare 群作用几乎可以对等，所以教材上面从来不区分是“坐标变换” 还是“点变换”。在流形上，坐标都是局部的，这种区别就很关键了。
拓樸學主
要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
的
性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又
稱
為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物
學到
粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學
能
夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可
以說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。
2012-01-15 23:13
Tuesday, March 19, 2013
brain01 预期的重要性，接收信号，是尝试各种已有的“预期模式”，和接近感官的区域进行匹配尝试，选择出最接近的模式
http://www.ccthere.com/alist/3847181
熊起
后文会提到预期的重要性，接收信号，是尝试各种已有的“预期模式”，和接近感官的区域进行匹配尝试，选择出最接近的模式。以视觉举例，人脑并不具有数码相机那样输入点阵的能力，必须在中间环节就完成提炼
人脑没有内外态区别，没有运算器，只有单一存储功能。人脑存储是树状增量并行，不是线性寻址。在固定数量神经元组合下，恐怕量变就是质变，可以描述的结构不同了。
说的比较简单的是《皇帝新脑》里的一进制图灵机，讲哥德尔机的大多也会讲到。图灵机概念上是一个运行在无限纸带上的状态机，纸带是外存储器也是输入输出媒介，图灵机拥有内态，纸带上的输入信息可以影响内态，根据内态不同会改变对纸带的输出行为，状态到操作纸带的映射就是数字到运算的映射。
图灵机作为表达算法概念的工具，一开始就有明确的输入输出接口。人脑则不同，神经元只有应激和保留应激的功能，所有运算都以查找完成，查找是并行进行的，查找时并行数随着步骤增加而增加。这方面《人工智能的未来》讲的比较明白。
进化没有一个宏观的远大目标，人脑是补丁叠补丁，新脑套旧脑，暂且放下对精美宏大理论的渴求，有助于对一个个问题各自理解。
熊起
你说的这个有过尝试 [ 熊起 ] 于:2011-11-26 00:04:54 复:3617375
熊起
后文会提到预期的重要性，接收信号，是尝试各种已有的“预期模式”，和接近感官的区域进行匹配尝试，选择出最接近的模式。以视觉举例，人脑并不具有数码相机那样输入点阵的能力，必须在中间环节就完成提炼
人脑没有内外态区别，没有运算器，只有单一存储功能。人脑存储是树状增量并行，不是线性寻址。在固定数量神经元组合下，恐怕量变就是质变，可以描述的结构不同了。
说的比较简单的是《皇帝新脑》里的一进制图灵机，讲哥德尔机的大多也会讲到。图灵机概念上是一个运行在无限纸带上的状态机，纸带是外存储器也是输入输出媒介，图灵机拥有内态，纸带上的输入信息可以影响内态，根据内态不同会改变对纸带的输出行为，状态到操作纸带的映射就是数字到运算的映射。
图灵机作为表达算法概念的工具，一开始就有明确的输入输出接口。人脑则不同，神经元只有应激和保留应激的功能，所有运算都以查找完成，查找是并行进行的，查找时并行数随着步骤增加而增加。这方面《人工智能的未来》讲的比较明白。
进化没有一个宏观的远大目标，人脑是补丁叠补丁，新脑套旧脑，暂且放下对精美宏大理论的渴求，有助于对一个个问题各自理解。
熊起
你说的这个有过尝试 [ 熊起 ] 于:2011-11-26 00:04:54 复:3617375
之前有人设计围棋软件，用过概率方法：不预测所有路径，而是抽样很多条，如果"形势好"的比例高，那就说明这个选择好。不过据说结果很容易被人杀大龙。
归根结底，我们对人脑思维人设还不足以指导工程项目，而且先入为主的在现有计算机上混合人的思维，绕了很多路。
我们又要AI像人一样灵活变通，又要其像工业品一样质量稳定行为可预测，这需求充满很矛盾。
目前我看过的理论前瞻，最让我信服的是这本：
http://book.douban.com/subject/1834728/
作者的出发点是：人脑的基本功能是存储联系，不是计算逻辑。
转发至微博
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归根结底，我们对人脑思维人设还不足以指导工程项目，而且先入为主的在现有计算机上混合人的思维，绕了很多路。
我们又要AI像人一样灵活变通，又要其像工业品一样质量稳定行为可预测，这需求充满很矛盾。
目前我看过的理论前瞻，最让我信服的是这本：
http://book.douban.com/subject/1834728/
作者的出发点是：人脑的基本功能是存储联系，不是计算逻辑。
人工智能的未来的笔记(29)
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人类之所以拥有可预测的复杂运动能力，原因在于我们的运动脑皮层和我们身体上的肌肉有更多的连接。在其他哺乳动物身上，脑皮层前部在运动行为方面发挥的直接作用并不是很大，他们主要依靠古脑（翻译不准，应为脑干）的的各个部位产生行为。相比之下，人类脑皮层在运动控制方面取代了大脑的其他部分。 如果一个动物拥有很大的脑皮层，他就可以和你我一样感知这个世界，但人类脑皮层在控制行为方面所起的作用是决定性的、及其超前的...
2012-12-01 18:19
当然，大脑在预测时并不会自言自语，不会按照某种既定次序进行，也不会对咖啡这类确切的物体进行预测。他是用一种平行的方式连续不断的对我们所在环境的构架进行预测。他只会探测那些奇怪的结构，如变形的鼻子或异常的动作。这种下意识的预测无处不在，我们一时无法立刻意识打他，可能这正是其重要性长久以来被我们忽视的原因。他是那么的普遍，因此知觉并不是意识（也就是世界显现在我们眼前的样子）的唯一来源。我们的意识是我们...
2012-12-01 15:02
一直以来，我学着接受这些以某种既定方式同时发生的模式，但现在看来，他们只是一个模型，我们对世界的看法是建立在这些模式上的模型。我们能否肯定这个世界是真的。并不是说世界上的人和物不是真的，他们是真实存在的，但我们对于世界存在的肯定是建立在模式和解读他们的方式的一致性上的。直接的感知根本不存在，我们没有“人的”感觉器官。请记住，大脑是一个漆黑而寂静的盒子，里面除了在输入纤维上像时间一样流逝的模式之外别...
2012-12-01 12:19
你对世界的认识和有关世界的知识都来自于这些模式、你的头脑中没有光，只有漆黑一片；也没有声音进入你的大脑，那里一派宁静。事实上，大脑只是你身体的一部分，它本身没有任何察觉；外科医生可以将手指伸进去，而你却毫无察觉。你头脑中的所有信息都是作为轴突上的空间—时间模式进入的。
2012-12-01 09:47
人工智能的未来的笔记(29)
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远离平衡的热力学实际上已经不是一个热力学理论了，而是一个统计力学理论。而这个统计力学统计的不是微观粒子，而是宏观的热力学过程本身！非平衡过程就是无数的平衡过程的依概率叠加，所以如果要计算一个非平衡过程的熵变，那么就是将每个平衡过程的熵变统计平均起来。与传统的统计力学所不同的是，现在我们的统计系综里面，装的不是热力学系统，而是热力学过程。这一次，我们玩的不是虚时路径积分，而是真正的热力学路径积分。对微观世界的统计让我们了解了宏观世界的性质，而对宏观世界的第二次统计，让我们离开平衡，走向非平衡世界。
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从量子化到确定性丧失，从路径积分到超光速，从面向对象到面向关系（转自豆瓣）
所谓量子化就是一个确定性丧失的过程。在一次量子化中，所有物理量的确定性都丧失了。形式上看，就是物理量从确定的数，变成不确定的算符。但是一个算符挂在空中摆来摆去是没有意义的。只有当算符落实到波函数上的时候，它才能获得意义。所以波函数的引入，对于一次量子化来说，是显然而且必须的。波函数是关于粒子状态的函数，取值为复数，其模方表示粒子出现在该状态的几率。从此，一切物理量都依概率分布，我们再也不能问“能量是多大”，只能问“能量是这么大的概率是多少”。
但是一次量子化并不是一场彻底的革命。有两个物理量仍然是确定的，是可以测准的：一个是几率本身，另一个是作为相位的作用量。它们合在一起可以构造出波函数。既然一切物理量都不确定了，那么为什么只有概率分布还是确定的？概率分布为什么不能也依概率分布？因此，二次量子化就是要继续这场革命，将不确定进行到底，剥夺波函数的确定性，把波函数算符化，使之成为场算符。
但是场算符本身也是没有意义的，因为任何算符都不能独立存在，场算符最终也要落实到一个对象上去。但那不是波函数，因为场算符本身就代表波函数，因此场算符应该作用在更高级的波函数上，那就是波泛函 Ψ。 波泛函是一个从Hilbert空间向复数域的映射，Ψ[φ] 把场的每种经典构型 φ(x) （也就是波函数），映射到一个复数 Ψ 上。这个复数就描述了出现φ(x)那种波函数的几率幅，因此可以说是几率之几率。所有的波泛函构成一个更大的“Hilbert空间”。
基于这种构造，我们还可以实施第三次量子化，就是把波泛函再正则量子化为泛函场算符。这样这些场算符同样需要落实。它们作用在“波泛泛函”上面。如此递推，可至无穷。 事实上，从量子力学开始第一次量子化的时候，它就已经蕴含了以后所有阶次的量子化。有了一次量子化就会有二次，有了二次就会有三次。所谓，道生一，一生二，二生三，三生万物。因此，量子力学从原则上讲是一个无穷次量子化的理论，这样的理论中再也没有任何的确定性，因为任何一阶的波函数都会在下一次量子化中被算符化。世界的本质应该是非决定论的，终极的物理学应该是确定性的完全丧失！
那么为什么我们还整天在一次量子化的框架下计算波函数，忙得不亦乐乎？因为，这是一种合理的近似。人们已经在许多场论模型中认识到，量子场的维数越高，量子涨落的效果越弱。每一次量子化，都使场的维度升高一个aleph number。因此很快，量子涨落就会被弱化，于是我们可以做经典近似。就是说，在某次量子化的时候来个截断，用波函数来取代场算符。这样就有了我们常用的一次或二次量子化。
但是我们要记住的事情是，不管是几次量子化都是一种经典近似，都是一定截断下的有效理论。在必要的时候，我们要把这个截断推向更高阶，以获得更好的结果。我们已经知道，平衡态统计力学是Wick转动下二次量子化的量子场论。平衡统计的一个基本观点是认为，平衡系综里面的系统服从Gibbs分布。但是现在我们遇到新问题了，那就是非平衡统计。非平衡统计可以看成是很多个不同版本的平衡统计在依概率分布。因此，统计的对象不再是系统了，而是系综本身。我们要问系综是如何在“系综综”里面分布的？这就是第三次量子化，非平衡是三次量子化的效应。令人感叹的是，三次量子化居然是在统计力学中首先实现，而不是在量子力学，可见量子与统计的某种关系应该是非常深刻的。
但是一次量子化并不是一场彻底的革命。有两个物理量仍然是确定的，是可以测准的：一个是几率本身，另一个是作为相位的作用量。它们合在一起可以构造出波函数。既然一切物理量都不确定了，那么为什么只有概率分布还是确定的？概率分布为什么不能也依概率分布？因此，二次量子化就是要继续这场革命，将不确定进行到底，剥夺波函数的确定性，把波函数算符化，使之成为场算符。
但是场算符本身也是没有意义的，因为任何算符都不能独立存在，场算符最终也要落实到一个对象上去。但那不是波函数，因为场算符本身就代表波函数，因此场算符应该作用在更高级的波函数上，那就是波泛函 Ψ。 波泛函是一个从Hilbert空间向复数域的映射，Ψ[φ] 把场的每种经典构型 φ(x) （也就是波函数），映射到一个复数 Ψ 上。这个复数就描述了出现φ(x)那种波函数的几率幅，因此可以说是几率之几率。所有的波泛函构成一个更大的“Hilbert空间”。
基于这种构造，我们还可以实施第三次量子化，就是把波泛函再正则量子化为泛函场算符。这样这些场算符同样需要落实。它们作用在“波泛泛函”上面。如此递推，可至无穷。 事实上，从量子力学开始第一次量子化的时候，它就已经蕴含了以后所有阶次的量子化。有了一次量子化就会有二次，有了二次就会有三次。所谓，道生一，一生二，二生三，三生万物。因此，量子力学从原则上讲是一个无穷次量子化的理论，这样的理论中再也没有任何的确定性，因为任何一阶的波函数都会在下一次量子化中被算符化。世界的本质应该是非决定论的，终极的物理学应该是确定性的完全丧失！
那么为什么我们还整天在一次量子化的框架下计算波函数，忙得不亦乐乎？因为，这是一种合理的近似。人们已经在许多场论模型中认识到，量子场的维数越高，量子涨落的效果越弱。每一次量子化，都使场的维度升高一个aleph number。因此很快，量子涨落就会被弱化，于是我们可以做经典近似。就是说，在某次量子化的时候来个截断，用波函数来取代场算符。这样就有了我们常用的一次或二次量子化。
但是我们要记住的事情是，不管是几次量子化都是一种经典近似，都是一定截断下的有效理论。在必要的时候，我们要把这个截断推向更高阶，以获得更好的结果。我们已经知道，平衡态统计力学是Wick转动下二次量子化的量子场论。平衡统计的一个基本观点是认为，平衡系综里面的系统服从Gibbs分布。但是现在我们遇到新问题了，那就是非平衡统计。非平衡统计可以看成是很多个不同版本的平衡统计在依概率分布。因此，统计的对象不再是系统了，而是系综本身。我们要问系综是如何在“系综综”里面分布的？这就是第三次量子化，非平衡是三次量子化的效应。令人感叹的是，三次量子化居然是在统计力学中首先实现，而不是在量子力学，可见量子与统计的某种关系应该是非常深刻的。
其实我在鼓吹的观点是非决定论。
在没有科学的时代，未来的不确定性常常给人们带来恐慌。对安全感的需求，必然推动人们去总结规律，以便预见未来。在所有预言未来的尝试中，科学，特别是物理学，也许是最有效的方法了。因此，我们常常会把准确地预言未来，作为物理学的一个基本使命。所以，我们看待物理学的观念也是决定论性的。我曾经一度认为这才是物理学的核心价值之所在。
物理学曾经的确是决定论性的。经典力学对运动轨迹的预言没有任何的不确定。其实这也是物理学刚开始吸引我的地方。大自然是按照定律所规定的方式运作的，世界一片和谐。
统计力学是第一个打破这种和谐的声音。未来不再确定，原因就是无知。所谓无知就是指人类没有办法真的测定每个微观粒子的运动状态，也没有办法求解多体系统的全部运动方程。对初始状态的信息不足和计算能力的有限，是使人们不得不诉诸统计的原因，从而要有统计力学，以及作为其唯像理论的热力学。因此可以说，人类的无知正是熵和热的起源。当然，自然似乎并没有禁止人类去获取知识，无知只是能力有限罢了。我们还是可以很有信心地说，人的认识能力是没有穷尽的。
可是量子力学的出现彻底打击了人类可怜的自信。现在的无知是本质上的无知。自然禁戒人类去获取关于坐标和动量同时测准的知识。从而决定论性的预言从原则上都不再可能。
为了寻求退路，人们找到了波函数，写下了Schordinger方程。虽然量子测量具有随机性，但是波函数的演化仍然是确定的。似乎在这个意义上，人们找到了一种半决定论性的物理学，因此又重新拾回一些信心。如果能发现量子力学背后的隐变量，那么我们也许还能重塑决定论在物理学中的辉煌。
但是物理学的发展却走向的相反的方向。隐变量的想法非但没有被证实，新的挑战又出现了，那就是二次量子化。在这场革命中，连波函数的确定性都丧失了，Schoringer方程也失败了。
在没有科学的时代，未来的不确定性常常给人们带来恐慌。对安全感的需求，必然推动人们去总结规律，以便预见未来。在所有预言未来的尝试中，科学，特别是物理学，也许是最有效的方法了。因此，我们常常会把准确地预言未来，作为物理学的一个基本使命。所以，我们看待物理学的观念也是决定论性的。我曾经一度认为这才是物理学的核心价值之所在。
物理学曾经的确是决定论性的。经典力学对运动轨迹的预言没有任何的不确定。其实这也是物理学刚开始吸引我的地方。大自然是按照定律所规定的方式运作的，世界一片和谐。
统计力学是第一个打破这种和谐的声音。未来不再确定，原因就是无知。所谓无知就是指人类没有办法真的测定每个微观粒子的运动状态，也没有办法求解多体系统的全部运动方程。对初始状态的信息不足和计算能力的有限，是使人们不得不诉诸统计的原因，从而要有统计力学，以及作为其唯像理论的热力学。因此可以说，人类的无知正是熵和热的起源。当然，自然似乎并没有禁止人类去获取知识，无知只是能力有限罢了。我们还是可以很有信心地说，人的认识能力是没有穷尽的。
可是量子力学的出现彻底打击了人类可怜的自信。现在的无知是本质上的无知。自然禁戒人类去获取关于坐标和动量同时测准的知识。从而决定论性的预言从原则上都不再可能。
为了寻求退路，人们找到了波函数，写下了Schordinger方程。虽然量子测量具有随机性，但是波函数的演化仍然是确定的。似乎在这个意义上，人们找到了一种半决定论性的物理学，因此又重新拾回一些信心。如果能发现量子力学背后的隐变量，那么我们也许还能重塑决定论在物理学中的辉煌。
但是物理学的发展却走向的相反的方向。隐变量的想法非但没有被证实，新的挑战又出现了，那就是二次量子化。在这场革命中，连波函数的确定性都丧失了，Schoringer方程也失败了。
为什么会有算符，算符是从哪里来的？算符这个令人头疼的数学对象，是量子力学这门变态学问所特有的。离开了量子力学，我们完全可以把算符忘掉，能量就是能量。谁搞个Hamiltonian算符出来，那就是装逼行为。如果不是因为当时人类的数学语言太落后，量子力学甚至都可以不建立在算符语言之上。现在看来，路径积分就是比算符更好的语言。而且路径积分的语言不但适合于描述量子力学，还适合于统计力学。但是为了迎合人们长期以来对算符的依赖心理，因此在量子统计中，所有的教材都不会忘记用Trotter分解+插入完备集来证明路径积分的正确性。这几乎是本末倒置。与其说这是证明了路径积分的正确性，还不如倒过来说是路径积分证明了 Bloch equation 的正确性。
统计力学本来是没有算符的，可是自从量子力学掺和进来以后，我们居然也有什么density matrix, entropy operator [1] 之类的各种算符。但是永远记住，那是量子力学带进来的，不是统计力学固有的，更不是统计力学应该继承的。关于熵怎么计算，那就是把一条路径上产生的热量除以温度，就得到了熵变。回到定义，回归自然，这才是物理。
统计力学本来是没有算符的，可是自从量子力学掺和进来以后，我们居然也有什么density matrix, entropy operator [1] 之类的各种算符。但是永远记住，那是量子力学带进来的，不是统计力学固有的，更不是统计力学应该继承的。关于熵怎么计算，那就是把一条路径上产生的热量除以温度，就得到了熵变。回到定义，回归自然，这才是物理。
原则上来说，没有任何物理学理论是完备的，热力学也不例外。建立在三大定律基础上的经典热力学，可以很好地处理平衡系统和近平衡系统的各种热力学和输运性质。但是对远离平衡的系统，特别是像生命这样的耗散系统，就显得无能为力了。可以说，无法远离平衡就是热力学的不完备之处。 热力学第二定律告诉我们，不可逆过程熵总是增加的。这句话说得更明白些就是，非平衡过程是要产生熵的。好了，那么非平衡过程到底产生多少熵，要怎样计算呢？如果，非平衡过程的初末状态都是平衡态，那么很好，热力学马上可以给出平衡态之间熵的差别，那就可以算出连接这两个平衡态的非平衡过程的熵产生。可是难道非平衡过程一定要挂在两个平衡态之间吗？在我们的现实世界中，几乎没有任何一个真实的非平衡过程是严格处于平衡态之间的，特别是远离平衡的系统。因此这就是经典热力学最大的漏洞。一个理论，它告诉你非平衡过程要产生熵，但却几乎不能告诉你具体产生多少熵，你说这样的理论，它怎么可能是完备的？ 也许你要提出反对。因为熵只能对平衡态（严格地说是平衡系综）才有明确的定义，因此没法讨论非平衡态之间的熵变问题。所以要计算任意非平衡过程的熵变是一个无理的要求。但是对于物理学家来说，解决现实的问题才是王道。比如说，生物学家问你，怎么预测一个蛋白质的折叠。蛋白质从核糖体上被翻译出来以后，它就从来没有平衡过，整个折叠就从头到尾都是非平衡的。连熵都算不出来，更不要说自由能和其他热力学函数了。不知道自由能，你怎么预测一个系统的热力学演化？这不仅是现实的问题，而且是生物物理最迫切的问题之一。
所以，我们一定要建立一套远离平衡的热力学。而事实上，物理学家着手考虑以后才渐渐发现，远离平衡的热力学实际上已经不是一个热力学理论了，而是一个统计力学理论。而这个统计力学统计的不是微观粒子，而是宏观的热力学过程本身！非平衡过程就是无数的平衡过程的依概率叠加，所以如果要计算一个非平衡过程的熵变，那么就是将每个平衡过程的熵变统计平均起来。与传统的统计力学所不同的是，现在我们的统计系综里面，装的不是热力学系统，而是热力学过程。这一次，我们玩的不是虚时路径积分，而是真正的热力学路径积分。对微观世界的统计让我们了解了宏观世界的性质，而对宏观世界的第二次统计，让我们离开平衡，走向非平衡世界。
二次统计对于统计力学的意义，就像二次量子化对于量子力学的意义一样。随后的统计场论的建立也像70年前量子场论的建立一样。这一切都让我感到，似乎有某种神秘的关系，将统计力学与量子力学的命运紧密地联系在一起。为了研究光的统计力学，也就是黑体辐射，量子力学得以建立。现在 Wick rotation 告诉我们，其实两者都统一于路径积分的框架之下。
所以，我们一定要建立一套远离平衡的热力学。而事实上，物理学家着手考虑以后才渐渐发现，远离平衡的热力学实际上已经不是一个热力学理论了，而是一个统计力学理论。而这个统计力学统计的不是微观粒子，而是宏观的热力学过程本身！非平衡过程就是无数的平衡过程的依概率叠加，所以如果要计算一个非平衡过程的熵变，那么就是将每个平衡过程的熵变统计平均起来。与传统的统计力学所不同的是，现在我们的统计系综里面，装的不是热力学系统，而是热力学过程。这一次，我们玩的不是虚时路径积分，而是真正的热力学路径积分。对微观世界的统计让我们了解了宏观世界的性质，而对宏观世界的第二次统计，让我们离开平衡，走向非平衡世界。
二次统计对于统计力学的意义，就像二次量子化对于量子力学的意义一样。随后的统计场论的建立也像70年前量子场论的建立一样。这一切都让我感到，似乎有某种神秘的关系，将统计力学与量子力学的命运紧密地联系在一起。为了研究光的统计力学，也就是黑体辐射，量子力学得以建立。现在 Wick rotation 告诉我们，其实两者都统一于路径积分的框架之下。
量子力学和统计力学有着共同的根源，这就是路径积分。在路径积分的框架下，量子力学和统计力学是统一，不再有本质的区别。在量子力学中，粒子可以沿任何路径（包括经典禁戒的路径）随时间演化，路径之间依相位叠加，最后由物理规律选择最概然路径。在统计力学中，系统可以通过任何过程（包括热力学禁戒的过程）随虚时（温度的倒数）演化，过程之间依概率叠加，最后由物理规律选择最概然过程。“最概然过程”是最小作用原理的表现。最小作用原理是路径积分选择的结果，就像生物的适应性是自然选择的结果一样。
时间是有方向的，方向是人定的（不要认为可以通过熵确定时间的方向，原则上没有任何物理学定律能够确定时间的方向，因此时间的方向性问题本身没有意义）。在我们的世界同样可以看到杯子恢复完整，参考Poincare复现定理。如果在我们的世界看到，那么杯子的熵确实减少了。“熵减少必定需要外界供给能量” 这一论断即没有实验依据，也没有理论支持。实验表明，熵是可以自发产生、无中生有的，因此不存在熵守恒定律。无论是使熵增加，还是使熵减少，原则上都是可以的，可以不需要支付任何能量，也不需要支付熵。“我们整个世界的能量是一定的” 这一论断本意是正确的，但“整个世界”到底指的是什么，这是不清楚的。考虑到70%的暗能量主导，在宇宙学意义上这一论断也许还有待商榷。“所以我们的世界不会有时光倒流的事情发生”，这要看“时光倒流”怎么定义了。热力学第二定律是宏观定律，对微观过程不再适用。自从1993年以来，热力学第二定律就已经被降级了，取而代之的是熵产生涨落定理。根据新的物理学定理，热力学第二定律不是一个严格的定律，违反热力学第二定律的过程是可以发生的。在我们的世界里，即使是孤立系统，也会发生熵自发减少的过程。
我说的不是耗散结构，耗散结构是开放系统，其熵的减少是以环境的熵增加为代价的，这不违反热力学第二定律。我说的是在孤立系统中，也可以看到熵的自发减少。现代统计力学是基于量子场论的，在量子场论的意义下，没有任何经典禁戒是不可破坏的，超光速的虚过程是允许的，同样，破坏热力学第二定律的“虚过程”是可以发生的。2002年非平衡统计的大牛D.Evans及其合作者在实验上观测到了小系统短时间的自发熵减[1]。其理论基础就是从1993年以来由 Evans, Jarzynski 等人发展起来的远离平衡统计力学，其中最著名的定理是 fluctuation theorem 相关文献可参考 Wikipedia [3]。
路径积分的引入几乎破除了，我们先前关于物理学的一切成见。比如，势垒是可以隧穿的，光速是可以超越的，时间是可以倒流的，熵也是可以减少的。这一切的一切都只是几率问题。
因此人们开始怀疑，以前积累起来的所有物理学定律是不是都是几率问题。也许E=mc^2也只有99%的置信度。不确定性的国王开始统治物理学，他的两名大臣，一个叫统计力学，另一个叫量子力学。路径积分大行其道，量子场论的出现标志它们的联合。 当然，新定律的提出并不意味着旧定律完全错了。物理学定律只能进化，不能推翻，因为推翻一个定律就要同时推翻所有曾经支持它的实验。热力学第二定律永远是热力学的基本定律，只是适用范围需要加以限制。不管是主流科学共同体还是民间科学共同体都喜欢以破坏热力学第二定律作为卖点。所以，我想说的是，不要对基本定律的破坏表示过分惊奇，第一，物理学定律的存在就是为了有一天用来被实验破坏的；第二，定律的进化是很正常的现象，不应该成为噱头或者鼓吹的对象；第三，保持开放和平静的心态，学习新定律，理清旧定律的适用范围。
因此人们开始怀疑，以前积累起来的所有物理学定律是不是都是几率问题。也许E=mc^2也只有99%的置信度。不确定性的国王开始统治物理学，他的两名大臣，一个叫统计力学，另一个叫量子力学。路径积分大行其道，量子场论的出现标志它们的联合。 当然，新定律的提出并不意味着旧定律完全错了。物理学定律只能进化，不能推翻，因为推翻一个定律就要同时推翻所有曾经支持它的实验。热力学第二定律永远是热力学的基本定律，只是适用范围需要加以限制。不管是主流科学共同体还是民间科学共同体都喜欢以破坏热力学第二定律作为卖点。所以，我想说的是，不要对基本定律的破坏表示过分惊奇，第一，物理学定律的存在就是为了有一天用来被实验破坏的；第二，定律的进化是很正常的现象，不应该成为噱头或者鼓吹的对象；第三，保持开放和平静的心态，学习新定律，理清旧定律的适用范围。
无论是光速不可超越，还是熵不能减少，都不是永恒的真理。在主流科学共同体内部，早就有各种各样的方式来破坏这些禁戒了。民间科学共同体没有必要对这些定律再推翻一次了，很多尝试都是重复劳动。但是为什么我们还坚持相对论和热力学第二定律，那是因为我们知道定律都是有适用范围的。物理学家说话的时候都要强调上下文，而民间科学家的一大特色就是望文生义、不管背景。
随着确定性的丧失，物理学的价值也在发生变化。由于无知的不可避免，所有的理论都应该被看成是一种有效理论，只不过这个有效理论不是按照能量标度来衡量的，而是按照人类知识的信息量标度来衡量的。随着信息量的变化，我们的有效理论也在变化。就像我们总是关心低能有效理论，而不指望得到高能的完备理论一样。而最有价值的物理定律也许不是解释一切的终极真理，而是随人类知识量重整化到最无知的极限下，所得到的有效理论。那是什么呢？那也许就是我们的常识。
综上所述，我们对于物理学的看法需要一次革命。以前我们认识自然都是基于对象的，比如像先定义什么是光，再研究光有哪些属性，这就是面向对象的认识论。但是我觉得这种认识论越来越不成功，特别是量子场论以后。我们需要一种基于关系（interrelations）的物理学。
学习量子力学的时候，我一直困惑波函数到底描述是什么东西的波动？后来波函数实在用得太多了，麻木了，也就不去想这个问题了。到学量子场论的时候，我发现，居然可以不用波函数了，我们开始计算传播子、格林函数。开始的时候我还很不适应，因为费曼图画了很多，费半天劲，结果一个波函数都没算出来。现在格林函数也用得多了，觉得这没有波函数，量子力学照样可以work得很好。那么我们为什么还需要波函数？
我觉得这是一种思路上的转变。波函数是一个对象，我们把它定义出来，去描述微观粒子的运动。但是场不是对象，而是关系。场论的观点是，只需要关心诸如散射截面这样可以被实验测量的关系。因此强调传播子，也就是强调对关系的描述。
我所认识到的关系大致有这么两种，一种是响应，一种是序。线性响应理论和非对角长程序理论告诉我们，响应和序似乎都可以由格林函数描述。但我们也看到，在前沿的物理学研究中，很多响应（比如非线性响应）和序（比如拓扑序）已经开始超越格林函数的描述范围。将来要怎样去描述这些关系，是物理学者必须面对的问题。
观察响应是我们认识世界的基本方法。不论是凝聚态物理的输运实验，还是高能物理的对撞机实验，都是在观察响应。因此物理学应该由响应来构筑的，而不是由诸如物质和场的概念来构筑的。相反，物质和场反而应该是由它们的响应所定义出来的，而不应成为理论的最基本的出发点。
序则是对组织关系的描述。很多时候，真正决定物性不是构成物体的微粒，而是这些微粒的组织方式，也就是序。冰和水同样由水分子构成，物性差别就很大，原因就是它们的序是完全不同的。很多时候，具有相同序的体系能够体现出非常相似的性质，regardless of 构成体系的基本微粒，这就是所谓的普适性 (universality)。
激发的性质由基态的序所决定，这句话我说了不止一次了。如果要我评出凝聚态物理的第一定律的话，那么我想就是这句话了。这提示我们，研究基本粒子有哪些性质，与研究真空有哪些序是一回事。
把真空看成物质是早已存在的观念，而且以前还有个名字，那就是“以太”，现在我们叫它“量子场”。量子场论的出现，实际上意味着以太的复活，但是somehow在物理学共同内部，大家都保守着这个秘密。因为我们要对抗民科，民科是不会去touch量子场论的，这样以太就安全了。量子场不是由原子分子构成的，因为电子和夸克都是量子场上的激发，而原子分子又是由电子和夸克构成的，那么这么看来量子场远比原子分子更基本。
可是问题就来了，量子场到底是什么？它不是由原子分子构成的，那么它算不算物质？
有的人说，量子场也是物质，因为他心里想着物质的对立面那大概是精神了，而精神不应该是物理学研究的对象，至少现在还不应该。量子场要不是物质的话，那么物理学家还研究个毛啊？所以我们要把量子场也归结到物质的范畴里面来。
这还是面向对象的思路。量子场被看成一种对象，而不是一种关系。事实上，量子场论描述的不是真空，而是真空的序，也就是组织真空的方式。至于是什么东西在组织真空，那不重要，因为序决定了，元激发就决定了，标准模型就决定了。无论什么东西在组织真空，只要是按照那种序组织的，那么都不会对我们低能的测量造成可观测的影响。
当我们面向对象的时候，我们就会困惑，怎么是光？是能量，是电磁相互作用，还是U(1)规范场？可是当我们面向关系的话，这一切就变得明朗：无论哪个回答，都不是在定义光，而是在描述光的关系。而光的意义也只能在对这些关系的描述中得以体现。
因此，我们又回到了无知者的问题：那到底是怎么样的一种物质呢？只能通过影响其他物质来显示它的存在吗？我想应该是的。
学习量子力学的时候，我一直困惑波函数到底描述是什么东西的波动？后来波函数实在用得太多了，麻木了，也就不去想这个问题了。到学量子场论的时候，我发现，居然可以不用波函数了，我们开始计算传播子、格林函数。开始的时候我还很不适应，因为费曼图画了很多，费半天劲，结果一个波函数都没算出来。现在格林函数也用得多了，觉得这没有波函数，量子力学照样可以work得很好。那么我们为什么还需要波函数？
我觉得这是一种思路上的转变。波函数是一个对象，我们把它定义出来，去描述微观粒子的运动。但是场不是对象，而是关系。场论的观点是，只需要关心诸如散射截面这样可以被实验测量的关系。因此强调传播子，也就是强调对关系的描述。
我所认识到的关系大致有这么两种，一种是响应，一种是序。线性响应理论和非对角长程序理论告诉我们，响应和序似乎都可以由格林函数描述。但我们也看到，在前沿的物理学研究中，很多响应（比如非线性响应）和序（比如拓扑序）已经开始超越格林函数的描述范围。将来要怎样去描述这些关系，是物理学者必须面对的问题。
观察响应是我们认识世界的基本方法。不论是凝聚态物理的输运实验，还是高能物理的对撞机实验，都是在观察响应。因此物理学应该由响应来构筑的，而不是由诸如物质和场的概念来构筑的。相反，物质和场反而应该是由它们的响应所定义出来的，而不应成为理论的最基本的出发点。
序则是对组织关系的描述。很多时候，真正决定物性不是构成物体的微粒，而是这些微粒的组织方式，也就是序。冰和水同样由水分子构成，物性差别就很大，原因就是它们的序是完全不同的。很多时候，具有相同序的体系能够体现出非常相似的性质，regardless of 构成体系的基本微粒，这就是所谓的普适性 (universality)。
激发的性质由基态的序所决定，这句话我说了不止一次了。如果要我评出凝聚态物理的第一定律的话，那么我想就是这句话了。这提示我们，研究基本粒子有哪些性质，与研究真空有哪些序是一回事。
把真空看成物质是早已存在的观念，而且以前还有个名字，那就是“以太”，现在我们叫它“量子场”。量子场论的出现，实际上意味着以太的复活，但是somehow在物理学共同内部，大家都保守着这个秘密。因为我们要对抗民科，民科是不会去touch量子场论的，这样以太就安全了。量子场不是由原子分子构成的，因为电子和夸克都是量子场上的激发，而原子分子又是由电子和夸克构成的，那么这么看来量子场远比原子分子更基本。
可是问题就来了，量子场到底是什么？它不是由原子分子构成的，那么它算不算物质？
有的人说，量子场也是物质，因为他心里想着物质的对立面那大概是精神了，而精神不应该是物理学研究的对象，至少现在还不应该。量子场要不是物质的话，那么物理学家还研究个毛啊？所以我们要把量子场也归结到物质的范畴里面来。
这还是面向对象的思路。量子场被看成一种对象，而不是一种关系。事实上，量子场论描述的不是真空，而是真空的序，也就是组织真空的方式。至于是什么东西在组织真空，那不重要，因为序决定了，元激发就决定了，标准模型就决定了。无论什么东西在组织真空，只要是按照那种序组织的，那么都不会对我们低能的测量造成可观测的影响。
当我们面向对象的时候，我们就会困惑，怎么是光？是能量，是电磁相互作用，还是U(1)规范场？可是当我们面向关系的话，这一切就变得明朗：无论哪个回答，都不是在定义光，而是在描述光的关系。而光的意义也只能在对这些关系的描述中得以体现。
因此，我们又回到了无知者的问题：那到底是怎么样的一种物质呢？只能通过影响其他物质来显示它的存在吗？我想应该是的。
对粒子物理和宇宙学，我的一点幼稚的看法是这样的：
1. 标准模型是一个低能边界有效理论。所谓低能有效理论，一方面说我们只看到了真空的低能激发，另一方面也暗示已经有很多对称性自发破缺了。所谓边界理论是设想我们的四维时空作为某高维时空（应该有几维我也不懂）的边界(boundary)。标准模型不是关于bulk的理论，而是bulk理论在boundary上约化出的有效理论。用凝聚态的话说，就是我们目前的基本粒子都是edge state的激发。认为是边界理论的原因，是听说QED重整化会有Landau pole的问题，我相信这样不是真空的bulk所应该有的行为。
2. 真空的序会随温度的改变而改变。每次真空发生序的改变，都是一次热力学相变，也许应该在宇宙学上对应一次暴涨。我听说，距今最近的那一次暴涨貌似就是对应 Higgs 的BEC 和超流相变。而且随着膨胀的继续，宇宙还在降温，新的序还有可能出现，比如色超导相变，那时候我们将面对新的暴涨。我们做High-Tc的同学最喜欢的就是超导了，最好希望有一天把标准模型里面的所有费米子都弄成超导，那就很有趣了。
3. 伴随着新的序的出现，真空上将允许新的量子场作为低能有效理论出现。比如，进入色超导相以后，重子数的涨落就是允许的，这样也许真的就会演生出重子规范场？所以这些量子场都是在序上面演生出来的。
4. 大统一理论的倾向是在高能标下减少标准模型基本粒子的种类。凝聚态理论的观点看来，在早期宇宙极高的温度下，所有的真空序都被破坏殆尽之后，集体激发都不复存在，真空中应该充满了Planck scale的个别激发，变成一个像费米液体一样的彻底无序的状态。而这时候，我们将可以看到真正负责组成真空的粒子，那么理论确实变得简单了。在这种极端情形下，我们今天看到的量子场没有一个可以存活下来，作为低能有效理论的标准模型也不复存在。所以我们根本不能问我们现在看到的这些量子场到了高能会怎样，但我们仍然可以讨论真空的序会怎样，那么答案是显然的，那就是无序。
1. 标准模型是一个低能边界有效理论。所谓低能有效理论，一方面说我们只看到了真空的低能激发，另一方面也暗示已经有很多对称性自发破缺了。所谓边界理论是设想我们的四维时空作为某高维时空（应该有几维我也不懂）的边界(boundary)。标准模型不是关于bulk的理论，而是bulk理论在boundary上约化出的有效理论。用凝聚态的话说，就是我们目前的基本粒子都是edge state的激发。认为是边界理论的原因，是听说QED重整化会有Landau pole的问题，我相信这样不是真空的bulk所应该有的行为。
2. 真空的序会随温度的改变而改变。每次真空发生序的改变，都是一次热力学相变，也许应该在宇宙学上对应一次暴涨。我听说，距今最近的那一次暴涨貌似就是对应 Higgs 的BEC 和超流相变。而且随着膨胀的继续，宇宙还在降温，新的序还有可能出现，比如色超导相变，那时候我们将面对新的暴涨。我们做High-Tc的同学最喜欢的就是超导了，最好希望有一天把标准模型里面的所有费米子都弄成超导，那就很有趣了。
3. 伴随着新的序的出现，真空上将允许新的量子场作为低能有效理论出现。比如，进入色超导相以后，重子数的涨落就是允许的，这样也许真的就会演生出重子规范场？所以这些量子场都是在序上面演生出来的。
4. 大统一理论的倾向是在高能标下减少标准模型基本粒子的种类。凝聚态理论的观点看来，在早期宇宙极高的温度下，所有的真空序都被破坏殆尽之后，集体激发都不复存在，真空中应该充满了Planck scale的个别激发，变成一个像费米液体一样的彻底无序的状态。而这时候，我们将可以看到真正负责组成真空的粒子，那么理论确实变得简单了。在这种极端情形下，我们今天看到的量子场没有一个可以存活下来，作为低能有效理论的标准模型也不复存在。所以我们根本不能问我们现在看到的这些量子场到了高能会怎样，但我们仍然可以讨论真空的序会怎样，那么答案是显然的，那就是无序。
5.层展还是还原都只是看待问题的角度。我喜欢从层展的角度来思考，是因为平时做问题的思路都是这样的，对此比较习惯也善于把握。
6. order 序 这个词在凝聚态物理中真的是非常非常标准的术语，就是秩序、组织结构的意思，完全没有排序、比较大小的意思。比如，磁性序、SDW序、超导超流序、非对角长程序、代数长程序、拓扑序……你翻开凝聚态的书，里面全是各种各样的序。
7. “每次真空发生序的改变，都是一次热力学相变，也许应该在宇宙学上对应一次暴涨” 这我也是听说的，不过你可以看看70年代Colemann他们写的什么假真空的衰变，那就像气液相变一样。
8. 关于高能标下的全同性和量子统计。我的想法是玻色子和费米子应该都是演生的，都是低能下对称性破缺的结果，高能下没有玻色和费米统计。那时候的基本粒子也许是量子比特，我们宇宙的本质可能是量子计算机，如果量子力学在某种意义下还是对的话……也许可以说基本粒子都是量子计算的结果，信息比物质更基础。
9. 宇宙早期有没有超流现象比较难说，因为超流是要温度比较低才可以。因为超流序破缺规范对称性，根据Nanbo-Goldstone定理，连续对称性的破缺一定意味着无能隙的低能激发，而激发都以序的破坏为目的的。由于无能隙，所以热涨落很容易在超流序上产生大量激发，从而破坏超流。所以超流是很怕热的，而宇宙早期又是很热的，因此很难想象宇宙早期会超流。当然，也不是说早期宇宙就一定不会超流，如果粒子的相互作用特别强，量子关联特别大，也许能够抵抗热涨落，从而形成超流。
10.但是我们比较确定的是宇宙要是继续膨胀下去的话，那么其结果必然是一切物质都进入超流态。热力学第三定律有强弱两种版本，如果你相信强的那个版本的话，那说的是，绝对零度下，熵为零。那么宇宙温度继续降低的后果，就是通过不断的对称自发破缺来降低宇宙熵，最后的结果是宇宙彻底成为一个纯态。我们将进入量子力学主导的时代。那时候的量子力学教科书要改写，至少这句话要删除：“量子力学是描述微观世界的力学”，什么微观，整个宇宙都是宏观量子效应，不，还不是宏观，都是宇观了都。
11. 如果能标上升，粒子的数量反而增多，那么就说明粒子很可能是演生出来的。在凝聚态物理中，粒子数随能标上升而增加，这种现象是很常见的，因为越来越多奇怪的激发会出现，最后就像踹翻了垃圾桶一样，什么东西都跑出来了，以至于物理学没有办法研究了。所以凝聚态的思路是低能的物理反而是最漂亮的，低能激发都与symmetry, duality这些最美妙的东西联系在一起。越低能，理论越简单，高能反而是无序和混乱。所以，我从来都不指望大统一能够在高能标下实现。这正好和高能物理的思路相反。
6. order 序 这个词在凝聚态物理中真的是非常非常标准的术语，就是秩序、组织结构的意思，完全没有排序、比较大小的意思。比如，磁性序、SDW序、超导超流序、非对角长程序、代数长程序、拓扑序……你翻开凝聚态的书，里面全是各种各样的序。
7. “每次真空发生序的改变，都是一次热力学相变，也许应该在宇宙学上对应一次暴涨” 这我也是听说的，不过你可以看看70年代Colemann他们写的什么假真空的衰变，那就像气液相变一样。
8. 关于高能标下的全同性和量子统计。我的想法是玻色子和费米子应该都是演生的，都是低能下对称性破缺的结果，高能下没有玻色和费米统计。那时候的基本粒子也许是量子比特，我们宇宙的本质可能是量子计算机，如果量子力学在某种意义下还是对的话……也许可以说基本粒子都是量子计算的结果，信息比物质更基础。
9. 宇宙早期有没有超流现象比较难说，因为超流是要温度比较低才可以。因为超流序破缺规范对称性，根据Nanbo-Goldstone定理，连续对称性的破缺一定意味着无能隙的低能激发，而激发都以序的破坏为目的的。由于无能隙，所以热涨落很容易在超流序上产生大量激发，从而破坏超流。所以超流是很怕热的，而宇宙早期又是很热的，因此很难想象宇宙早期会超流。当然，也不是说早期宇宙就一定不会超流，如果粒子的相互作用特别强，量子关联特别大，也许能够抵抗热涨落，从而形成超流。
10.但是我们比较确定的是宇宙要是继续膨胀下去的话，那么其结果必然是一切物质都进入超流态。热力学第三定律有强弱两种版本，如果你相信强的那个版本的话，那说的是，绝对零度下，熵为零。那么宇宙温度继续降低的后果，就是通过不断的对称自发破缺来降低宇宙熵，最后的结果是宇宙彻底成为一个纯态。我们将进入量子力学主导的时代。那时候的量子力学教科书要改写，至少这句话要删除：“量子力学是描述微观世界的力学”，什么微观，整个宇宙都是宏观量子效应，不，还不是宏观，都是宇观了都。
11. 如果能标上升，粒子的数量反而增多，那么就说明粒子很可能是演生出来的。在凝聚态物理中，粒子数随能标上升而增加，这种现象是很常见的，因为越来越多奇怪的激发会出现，最后就像踹翻了垃圾桶一样，什么东西都跑出来了，以至于物理学没有办法研究了。所以凝聚态的思路是低能的物理反而是最漂亮的，低能激发都与symmetry, duality这些最美妙的东西联系在一起。越低能，理论越简单，高能反而是无序和混乱。所以，我从来都不指望大统一能够在高能标下实现。这正好和高能物理的思路相反。
原文参考：
物理学的非决定论倾向：从二次量子化到无穷
时间之矢：从热力学第二定律到涨落定律
走向非平衡：二次统计
量子与统计的统一：
面向关系的物理学：
作者署名为 Everett
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- 黎曼几何是基于微分几何研究曲面的方法(在给定曲面上给定一个矢量,然后根据这个矢量的变化来研究这个曲面的性质
2011-04-26 00:24:12 黯然而日章 (独自眠餐独自行)
应该是四周360度
生活在二维世界是可以发现高维的，像人类就知道4维。。。
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