指标定理说，虽然定义中 涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几何没有关系

指标定理说，虽然定义中
涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几何没有关
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标题: 卡拉比-丘空间和超弦理论

发信人: Afey (科庸巴巴), 信区: LZU_Physics 标 题: 卡拉比-丘空间和超弦理论 发信站: 思雨小语站 (Sat Nov 15 09:57:02 2003) 1984年的超弦风暴在很大程度上归功于三篇经典文章中的一篇，就是威顿等人的关于卡 拉比-丘紧化的文章。这篇文章大概是所有超弦文章被引用最多的一篇，后来它的引用率仅 仅被一篇文章超过，就是马德西纳 (J. Maldacena) 的关于弦论和规范理论对偶的著名文 章。 卡拉比-丘紧化使得弦论第一次和现代数学的分支代数几何发生关系。 　和乐群为SU(3)的空间是一个复空间，同时又是一个所谓的开勒空间 (Kahler)。这样一 个空间叫卡拉比-丘空间，原因是，卡拉比猜测和乐群为SU(3)的空间一定存在一个里奇平 坦的度规--我们前面说过基林旋量的存在要求里奇曲率为零，而丘成桐证明了这个猜测。 这类流形是一类特殊的复流形，卡拉比-丘紧化文章给出了一些构造。这些构造说明这些流 形是代数流形，也就是说可以通过在复欧氏空间用代数方程来规定一个子流形，虽然我们 形式上有了这些流形，还没有人能写出一个里奇曲率为零的度规，这就说明这些流形的确 很复杂。 　算子的零模问题和所谓的指标定理有关。给定一个算子，可以定义其指标，这个指标 是一个整数，即是这个算子的零模个数减去其对偶算子的零模个数。在很多情况下，对偶 算子没有零模，那么原算子的零模个数就等于这个 算子的指标。指标定理说，虽然定义中 涉及到几何即度规，一个算子的指标是一个拓扑数，只和流形的拓扑有关，和几何没有关 系。指标定理在很大程度上推广了欧拉定理以及后来的黎曼-罗赫定理。 当我们用代数方法构造了卡拉比-丘流形后，就可以利用代数几何的结果计算各种算子 的指标，从而确定对应的无质量粒子的个数。举例来说，狄拉克算子的指标是欧拉示性数 的一半。