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闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
学习要反覆，无规的反覆，易易难难，难难易易，易难难易.......今天来点轻松的。
从鼓音、听床联系到原子分子结构和光谱，从平直空间到非欧几何，从单一流形到纤维丛，我们可以看到数学是统领科学和一般生活的最乾净、最经济的思维方式。但实际上，数学家并不像我们通常想像的那样厉害。前面提到的那些看起来很怪异的数学概念，每一个都有漫长的历史。数学书中每一句话都是历经无数人千锤百链共同努力的结果。
我们今天更要凸显一个事实：绝大多数数学概念都可以以形象为基础来理解，也就是说绝大部分数学是符合直觉的。不靠推导，不靠计算，光凭思考，可以学到（至少可以理解）绝大部分数学。
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。
这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。
任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。
欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。
前面讲过，数学里的一个很重要的事就是分类，因为要统一，要抽象，就必须知道哪些是同一类。数学上的分类与别的领域的分类之基本原则并无两样─就是以共性为基础。
看到欧拉示性数，自然会想，它能不能用来做某种分类呢？答案是: you
bet!实际上，二维曲面的分类仅靠欧拉示性数就够了。
任意封闭连通曲面必与下面之一同胚：（1）球面，（2）有限个环面连通和，（3）带交叉帽（Mobius柄）球面。
交叉帽（cross-cap），可以想像为变肥的Mobius带，但在倒向处有交线。见图：
也就是说二维曲面就只有这几个球面，环面和交叉帽这几个基本类。它们就是二维封闭连通曲面世界的全部"元素"。（三维曲面的"元素"数目由Thurston猜出，由Perelman证明，这是另外的故事了）
高维曲面的欧拉示性数可以很直接了当地推得，而且结果堪称最美妙的数学方程序：
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...
χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...
χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
欧拉交错和之意义无论如何强调都不会过份：事实上已经发现至少有10种类似的交错和，如Betti数，还有后面要讲的上同调等，而每一个这种交错和的发现都是数学史上的大事！每一个这样的交错和都导致新的惊人发现！
我们这里来看一个从示性数引发新思想的小例子。
咋一看封闭线面的这类欧拉示性数，看官可能会觉得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出门道。对平面封闭曲线而言，你可能猜想这个0应该与曲线上的点绕一个中心点跑了一圈以后回到基点有关。似乎是切线斜率将所有值扫瞄一次。更仔细的分析表明，那个0是曲联机对每一点的曲率求和的结果。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
什么是曲率？微积分里讲过曲线的曲率，就是二阶导数。（一阶导数是斜率，没有忘吧。）推广到高维是直接了当的：经过曲面（体）上每一点可以画很多（无限多）条曲线，因此应该有很多（无限多）个曲率，分别对应沿（无限多个）不同方向的曲线的弯曲程度。一个点处有无限多个曲率值，你可能会觉得是个麻烦，但实际上这些曲率并不都是独立的。例如，对于二维曲面上的点，曲率顶多有9个独立分量，也就是说，知道沿9个方向的曲率值，其他任何方向的曲率可以推算出来。这9个值构成所谓的曲率张量。
欧拉示性数能表示成曲率对几何对象的积分。这是几何/拓扑近100多来的一个很热的主题，可以说它直接催生了AS定理及其后裔。
欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次，可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。
作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z
Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。
休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的
n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n}
。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：
χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。
即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。
即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
写到这里，我突然看到诗兴盎然的短江兄，于是也跟着诗兴发作，特贴出来与看官分享，并请短江兄修改。
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颂不变量（polik自由诗体）
颂不变量（polik自由诗体）
啊，伟大的不变量！
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
有你就有共同点，
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
你是法律，你是指南，
你是地图，你是基石。
你是地图，你是基石。
啊，伟大的不变量！
你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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将不变量换成荆，周末可骗得美餐一顿。
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
闲论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，（上）同调
闲论Atiyah-Singer指标定理（4B）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：Morse理论
闲论Atiyah-Singer指标定理（4C）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：RR定理及其推广
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