Author Topic: ZT: 闲论Atiyah-Singer指标定理 (Read 4135 times)

万精油 · « **on:** 二月 13, 2008, 12:39:40 pm »

严格的AS定理是不可能通过这样的科普学到的。但作为数学龙门阵，这篇文章还是有些价值的，故转贴在此。

--万精油--

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开心学数系列Playing Math Series
闲论Atiyah-Singer指标定理 by Polik

Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless.
---------Vladimir Igorevich Arnold

开场白

余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。

万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。

为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。

本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。

鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。

目录（subject to changes）

开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训

闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子

Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。

西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。

如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。

抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？

且看polik慢慢贴来。

（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）

（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）

万精油 · « **Reply #1 on:** 二月 13, 2008, 12:40:38 pm »

闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？

要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。

先让我们讲一个小故事。听鼓。

晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那几个小小破洞。

高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？

再来讲第二个小故事。听床。

却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。

偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？

法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。

原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构（如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。

对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。

不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）

数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：

（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。

这就是指标定理的全部内容。

可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。

万精油 · « **Reply #2 on:** 二月 13, 2008, 12:41:32 pm »

闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。

这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。

在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！

尊重江湖规矩，用黑话表达AS：

记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：

Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >

其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。

如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。

先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有

1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴

也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。

这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。

映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。

如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。

如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。

如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？

能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。

函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。

显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。

这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。

集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）

群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。

我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。

显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。

群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。

线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。

举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。

对偶空间：V-->V*, W-->W*

"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)

伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^

至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：

对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：
dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成
dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。

这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。

今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。

SiYue · « **Reply #3 on:** 二月 13, 2008, 10:21:26 pm »

Quote

现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利

哈，这可是说俺呢

idiot94 · « **Reply #4 on:** 二月 14, 2008, 01:42:00 pm »

真喜欢这位polik老师，特别对我这种科普爱好者的胃口：）喜欢！！；）

phymath999

Wednesday, March 13, 2013

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ZT: 闲论Atiyah-Singer指标定理

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ZT: 闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质

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ZT: 闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我

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idiot94

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