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分布 (数学分析)

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数学分析中的分布是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。
广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。

目录

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[编辑] 基本理念

很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数f与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察f和一群“测量函数”\varphi之乘积的积分：\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x。之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。
分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为分布，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说，分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求：
  • 连续的函数属于分布；
  • 可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作，而且结果应该也是分布，并且应该对应于原函数的微分/原函数；
  • 基本的微积分法则适用于分布；
  • 存在适当的收敛定理，可以对分布进行极限操作。
对每一个实数值的“测试函数”\varphi，将它映射到积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x，就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为f对应的分布。积分\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x的存在性取决于函数f与\varphi的乘积，所以对\varphi要求越高，就能对越多的f定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是紧支撑的函数空间D(R)，也就是满足以下两个条件：
  1. 拥有任意阶的导函数，并且导函数连续，
  2. 除了在某一个紧致集合（一般可以简化为一个有限区间）以外，函数的取值都是0，
的R射到R函数的集合。一般来说，一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布T（作用在“测试函数”\varphi上）的值一般使用类似内积的符号记为\langle T , \varphi \rangle。当“测试函数”空间选为D(R)的时候，只要 f局部可积，就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为T_f，以和f 区分，而它的值就是：
\langle T_f , \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x
对于概率分布函数\mathbb{P}，也可以将它定义为分布T_{ \mathbb{P} }。对给定的一个测试函数 \varphi ，可以定义分布T_{ \mathbb{P} }作用在 \varphi 上的值是： \langle T_{ \mathbb{P} } , \varphi \rangle = \int \varphi(x) \mathbb{P}(\mathrm{d}x). 这样定义下的T_{ \mathbb{P} }是线性的泛函，所以满足分布的定义。
除了对普通的函数可以定义分布，对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为：
\delta_0 (\varphi) = \varphi(0).
也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。

[编辑] 严格定义

接下来，我们定义Rn中开集U上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 Rn 替换为任何（仿紧）光滑流形。
首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

[编辑] 检验函数空间

函数\varphi: U → R具有紧支撑集，当且仅当存在U的紧子集K，使得对任意 U\K 中的元素x，都有\varphi(x)=0。
定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的冲击函数）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下：
一列函数\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}收敛到某个\varphi_{\infty}\in D(\mathbf{U})，当且仅当其满足以下两条性质：
  1. 存在紧集 \mathbf{K} \subset \mathbf{U}包含所有 \varphi_k 的支撑集：
    \bigcup_k \operatorname{supp}(\varphi_k)\subset \mathbf{K} \subset \mathbf{U}.
  2. 对任意多重指标\alpha, 偏微分序列 \left( \partial^{\alpha}\varphi_k \right)_{k\in\mathbb{N}}都一致收敛到\partial^{\alpha}\varphi_{\infty}.
在如此定义下的拓扑中，D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间，且满足海涅－博雷尔定理，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D(U)上的泛函u连续，当且仅当对任意收敛到零的\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}，都有\lim_{k\to\infty}u(\varphi_k )=0.

[编辑] 分布

U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}（或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}）满足连续性，即对D(U)中任意的收敛函数列\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}，都有
\lim_{n\to\infty}S(\varphi_n)= S\left(\lim_{n\to\infty}\varphi_n\right)
那么就称此泛函为U上的一个分布。
另一个更具可操作性的定义是，如果D(U)上的一个实线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}（或复线性泛函S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}）满足以下的条件：
对任意的紧子集K\in \mathbf{U}，都存在C_{K} >0和p_{K} \in \mathbb{N}，使得对任意支撑集在\operatorname{supp}(\varphi)\subset K的检验函数 \varphi，都有
\langle S , \varphi\rangle \leqslant C_K \max_{|\alpha |\leqslant p_K} \sup_{x\in K} \vert \partial^{\alpha}\varphi (x)\vert .
就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数p 使得对任意的K\in \mathbf{U}，都有p_{K} \leqslant p，那么最小的这样的p 称为这个分布的阶数（order），称S 为一个p 阶分布。
U上的分布集合记为D'(U)，是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素S和D(U)中的元素\varphi之间的对偶关系可以用尖括号表示：
\mathrm{D}'(\mathbf{U}) \times \mathrm{D}( \mathbf{U} ) \ni (S, \varphi) \mapsto \langle S, \varphi \rangle \in \mathbf{R}.
在弱＊拓扑下，D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'(U)中序列\left(S_k\right)_{k\in\mathbb{N}}弱＊收敛到S当且仅当对于任意的检验函数\varphi，有
\langle S_k, \varphi\rangle \xrightarrow[]{k\to\infty} \langle S, \varphi\rangle

[编辑] 函数对应的分布

一个局部可积函数f : \quad \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{R}是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的Lp可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函，也就是D'(U)中的一个元素，记作T_f。线性泛函T_f作用在D(U)中任一个检验函数\varphi上的取值是：
\langle T_f,\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\, \mathrm{d}x.
一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将T_f和f等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作：
\langle f, \varphi\rangle = \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\,\mathrm{d}x.
可以证明，两个局部可积函数f和g对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，U上的每个Radon测度\mu都有一个对应的分布T_{\mu}，定义为：
\langle T_{\mu},\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} \varphi\, \mathrm{d}\mu.
与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成\scriptstyle{\langle\mu,\varphi\rangle}。
可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布S\in D\prime(\mathbf{U})都是某个检验函数（分布）序列\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}收敛的极限。对任意的检验函数\phi\in D(\mathbf{U})，都有：
\langle\varphi_n,\phi\rangle\to \langle S,\phi\rangle . \;

[编辑] 参见

[编辑] 参考来源

[编辑] 拓展阅读

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