（由于此处不方便打公式）只能用语言描述了。（可以参看曾谨言版量子力学导论第二版第263页）
左矢和右矢数学意义在泛函分析中有详细描述，就是希尔伯特空间中的一组基矢，左矢和右矢相乘后积分的意义就是两个矢量点乘，而积分上下限通常中无穷大，那是因为和通常向量（一个固定的方向，表一个直线）不同，这里的向量常是曲线（你可以看看勒让德级数，合流超几何级数）就知道了，方向通常随x变化而变化，所以积分上下限当然是无穷大了.
如果将一个算符放在中间，（你知道的，算符乘上本征函数，也就是上面所说的右矢，等于其本征值也就是一个数乘右矢），而有的时候可能不是一个数而是两个或三个数（说明右矢并不是算符的本征函数，也就是该算符有多个可能的值对应着多个概率）所以这就相当于左右矢之间乘了多个数这就是求平均值了。而在量子力学中正是平均值才有用（因为人类在用显微镜观察粒子时看到的只能是某一个量的平均分布情况哦)！
左矢和右矢的物理意义，很简单的一句话，但你能不能明日就看你自己了：两种状态（左矢右矢）的相互作用。（一般你只要知道其数学意义就行了）
左矢右上角常用*表示，不过我还是喜欢dirac表示法<A| 和 |B>
关于你上面提到的问题可以参看看曾谨言版量子力学导论第二版第92页，已经表述的很详细了
复共轭算符用*表示，用+表示的叫转置复共轭（或叫厄米共轭），如果A+=A也就是转置复共轭等于算符自身的就叫做厄米算符。
日志
被推荐日志
最新日志
该作者的其他文章
博主推荐
随机阅读
- 日女主播喊杀中国人的爱国高潮谁给的？
- 世界最小的“大广场”：狂欢节里喝小于廉的“尿”是传统
- 中国经验：发展、转型与国家能力
- 叙利亚“马蜂窝”被捅后走势
- 冉氏荐书136至180本（附前135本）
- 如何做一个讨厌的女人
首页推荐
一般的波函数把时空点映射到一个复数上去。多分量的波函数就是把时空点映射到Hilbert空间的一个态矢量上去。和多体没什么关系。
2009/12/4 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
- 隐藏引用文字 -
去数学系听了几个星期的高等代数，和研究生听了一点群论。目前“高代”基本上掌握了，并能和矩阵力学（非相对论情形）结合起来；“群论”方面只是初步了解了一些数学上的定义，还不能应用它去解决物理问题。
具体情况在校内网的日志《总算没有白来一趟物理系，只因为学了一点儿量子力学~和从前不一样，真的大不一样了！》中，学长已经看过了
目前在考虑自旋的数学基础，在读《物理学中的群论》，勉强能懂一点；《物理学家用微分几何》中也提到了自旋，不过比群论上讲的更抽象，几乎是一点也不懂
不过，从高代课上，我了解到将概念推广的方法。“空间，可以看作定义了某种运算的集合”这个概念对于学习群论还是有很大帮助的，使我从“一点都不懂”到“懂一点”。
有了上面的基础，“指数上的东西是矩阵”对我来说不是难题，“李群”方面我了解了一些概念，但不会运算。
如何“将规范结构推广到多分量的波函数”上面去，我暂时理解不了。一是因为对规范结构的数学描述还不清楚，只是听说过这个要用到纤维丛；二是不知道“多变量波函数”是怎么回事。是针对多粒子体系吗？抑或在哈密顿量中除了动势能项外还需要相互作用项？
在2009-12-04，"Yi-Zhuang You"写道：
哦，我发现你学了不少数学了，那么可以多说一点，就是其实像SU(N) 这样的李群都是可以用指数函数做出来的，只不过指数上的东西是矩阵。这样就可以把规范结构推广到多分量的波函数上面去。
2009/12/3 Yi-Zhuang You 真纠结啊，你快要接近真理的那一霎那，思路又偏掉了……
先说明一件事情，±1也是模为1的常数，-1就是 exp(iπ) 也是一个相位因子，不要搞特殊化。
再说明一件事情，exp (x) 和 exp (ix) 没有本质区别，他们都是指数函数。指数函数的自变量在整个复数平面内都有定义。不要因为exp (x) 是伸缩exp (ix) 是旋转就另眼相看，不要搞歧视。
比如时间是虚的空间，空间是虚的时间，时间空间是平等的，就像空间中的x轴和y轴也是平等的一样。空间中的转动用sin 和cos 描述，其实就是 exp (ix) 的某种组合，这个大家看得都很清楚。而时空转动在普通人看来就变成了 Lorentz 膨胀，膨胀因子就是 exp (x) 的某种组合，其中 x 是参考系的快度。所以说，钟慢尺缩并不神秘，那就是时空的（虚）转动。伸缩是虚的旋转，旋转是虚的伸缩，他们是对等的。
综上所述，所有的膨胀、收缩、转动、反演……都可以统一起来，那就是指数函数。只要把指数函数乘在一个向量前面，就可以完成对向量的各种变换。如果把 exp (ix) 看成是波函数的相位，那么 exp (x) 就是波函数的振幅。我们说，既不能轻视相位，也不能忽略振幅。其实，甚至根本不需区分振幅和相位，它们是同等重要的，因为它们本质上就是同一件事情。
好了，现在说你的问题。你自己都说到了“毕竟，势能相差的是一个“相加”常数，而波函数相差的是一个“相乘”常数。那么，相加与相乘真的毫无联系吗？我又想到对数和复数幅角运算可以化乘为加，复平面上两个矢量相乘就是转过一个角度。”这已经站在真理的边缘了，可是你下面的思路又发散开去了。看得我当场就吐血了。
我要告诉你的事实是，任何一个相加的常数，都和一个相乘的常数一一对应。加法和乘法有密切的关系，就是你所说的，指数化加为乘，对数化乘为加。任何一个加法运算都可以转化为乘法运算，反之亦然。
你知道“势能问题表明，不是只要相差一个常数就一定使得物理规律有所不同。”。你必须规定什么是能量的零点，各个地方的能量 E 都要和零能量的标准 E0 相比较才有意义，E0 就是能量的规范。
E - E0
这里的 E0 是一个相加的常数，那么一定存在另一个相乘的常数与之对应。那么怎么去发现这个相乘的常数？那就利用指数啊，化加为乘，把指数函数作用到能量上去，就化为
exp (E - E0) = exp(E) exp(-E0)
因此 exp(-E0) 就是与能量规范对应的相乘的常数。这是什么常数？这就是波函数前面乘的相位因子！
exp ( -i E0 t / hbar)
这里我只不过是把量纲补充完整了而已，这就得到了德布罗意关系：波函数按照能量所决定的频率随时间震荡。既然零能量的标准是任意的，那么波函数前面的常数也可以是任意的。反过来说，就是如果波函数被乘上一个常数，我可以把它吸收到能量规范中，并且声称，这只不过是因为你改变了零能量的标准而已，因此物理不会发生变化。
当然，并不是所有的常数都需要吸收到能量规范中间去的。除了能量规范，我们还有动量规范、角动量规范、全同统计规范、相空间规范等等，每一种规范都意味着一个相加的常数，和一个与之对应的相乘的常数。不同的规范，负责吸收不同的常数，而具体是什么规范，这与对称性有关。
给波函数乘一个常数，就是改变了波函数的振幅和相位。所谓规范对称性就是说，波函数有这样一个特性，无论你如何改变振幅和相位，都能通过调整对各种规范零点的选取来抵消，从而不改变任何物理。
这需要分两个层次理解，一个是全局的规范，一个是局部的规范。比如说，波函数的振幅的平方表示发现粒子的几率，这是取了归一化的规范的。不取这个规范的化，波函数的振幅的平方只代表发现粒子的次数，不是几率（注意没有归一化）。好了，现在我有个波函数，它表明在A点发现粒子2次 在 B点发现粒子1次，那么我把这个波函数乘以10，平方以后就是100倍，A点发现20次 ，B点发现10次，这会造成任何不对吗？不会，因为次数本身就只有相对的意义，没有绝对的意义。我做实验的次数越多，我在A点发现粒子的次数也越多，但是A点发现粒子的次数总是B点的两倍，这就有意义了，说明粒子在A点出现的可能性更大。
所谓归一化，就是规定总的次数加起来等于1，这就是选取了一种规范。为什么不是归100 呢？如果是归1就是说我做了一次实验，如果是归100就是说我做了100次实验。我究竟打算做几次实验难道不是我说了算的吗？那波函数如果归100化，不就相当于振幅都扩大10倍了吗？
你觉得振幅是一种长度，因此就有意义了吗？那么我告诉你，所有的长度都是没有意义的。因为任何关于长度的测量都取决于尺子的规范。一只铅笔的长度是0.1米还是10厘米，这有区别吗？我们连什么是米都是人为规定出来的，你说长度还有绝对的意义吗？因此，我可以说 0.1 = 10 ，长度乘以100倍，变的是单位，是规范，而不是物理。唯一有意义的是长度的比，比如这支笔比那只笔长5倍，这里的波函数比那里的波函数多10倍，这才是我们更加关心的。任何物理测量都是相对的，只有在比较中才会产生意义。
振幅没有绝对的意义，相位也同样没有绝对的意义。只有相位因子的比，也是就是相位差，才可以被实验所测量，比如A-B效应，那测的是两束电子的相位差，不是相位。任何一束电子的相位都是不可测量的，不然为什么要做干涉实验，干涉测量的就是相位差。波函数无论被乘上什么东西，只要一比，就可以被比掉，因此都不影响物理。
这说的是全局的规范不变性，还有局域的规范不变性。你不但可以给波函数整体乘上一个数，一切保持不变。你还可以给每个地方的波函数都乘上不同的数，我还有办法保持不变，那就是利用规范结构。本来A点发现粒子的次数是B点的两倍，现在A点的波函数乘以2，B点的波函数乘以4，这样B点发现粒子的次数变成A点的两倍了，比例颠倒了，这也没有问题吗？没有问题，因为这相当于给A 和 B 赋予规范结构，也就是A和B两点有了不同的零点能量。统计力学告诉我们，发现粒子的几率正比于
exp ( - β E )
E 就是能量，可是能量是以什么为零点开始测量的呢？没有说。没有说就可以随便选。我可以升高A的零点能，降低B的零点能，那么粒子当然更喜欢到B点去啦，因为B点现在的能量更低了。
规范理论告诉我们，可以在整个时空中任意地规定波函数的相位。单位时间内相位的变化量就是能量，单位空间上相位的变化量就是动量。因为能量和动量的零点都是任意选取的，所以，相位在时空中的变化也是任意的。可是你一旦在每个时空点都选定了能量和动量零点，你就相当于为这个时空（及其之上的波函数）赋予了一种结构，这个结构在数学上叫做厄米线丛的联络，在物理上叫做规范场，或者规范结构。
所以，最简单的规范场就是能量和动量零点在时空中的分布。那么能量零点就是电势（标势），动量零点就是矢势。选定了能量和动量的零点，就是选定了标势和矢势，就是选定了一个电磁场。所以电磁场不是别的，电磁场就是规范场。
这只是与时间平移和空间平移相联系的规范结构。任何对称操作，都可以被赋予规范结构。比如交换粒子的操作，也可以联系一个规范结构，就是你所说的玻色和费米统计。前面我们说能量的零点可以调节，那么为什么是能量呢？因为能量是时间平移这样一个对称群的生成元。所以推广来说，任何对称群的生成元的零点都可以通过规范结构来调节。那么置换群的生成元是什么，就是交换两个相邻的粒子，这称为邻换。邻换可以取两个值，一个是1，就是玻色子，一个是-1，就是费米子。那么我们就可以规定一个规范，将所有的邻换操作都反号，这就把所有的玻色子都变成费米子，费米子变成玻色子，这有关系吗？没关系，这就是超对称，把所有的自旋角动量的零点都移动了1/2.
2009/12/3 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
仔细思考后发现，学长提到的“规范”这个概念对于“波函数相差一个相乘常数”这个问题多么一针见血。也体会到为什么学长说“这个问题很有趣”。但在讨论“规范”之前，想先谈谈我自己起初怎么思考这个问题的，而把“规范”留到后半部分讨论。
“相差相乘常数的两个波函数代表同一状态”这个结论在学热统时老师就说过了，但没引起重视。直到量子力学讲狄拉克符号，那位老师又一次提到、并以另一种方式（抽象空间的矢量）表述这个问题时，我才开始认真地思考。
1.我原来的想法是，“既然相差一个因子，那肯定会不同，不论它是常数还是变数。”
（a）通常认为只有振幅才有意义，而位于指数位置的相位没有意义。但A-B效应教训了这种片面的夸大事实。受此启发，我觉得波函数相差的常数也不能轻易忽略。
（b）当这常数是+1和-1时，分别对应Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计。若果相差一个常数可以不加区别，也许就将上面两种统计混为一谈。
（c）欧式空间中矢量的度量性质（如长度）特别重要，正是定义了内积才使线性空间成为欧式空间。既然量子力学研究的Hilbert空间也是基于内积的（对于我们这个问题，就是：将波函数以其本征函数为基矢展开时，前面的系数就是相应本征函数与波函数的内积），为什么态矢的度量性质就不重要了？
2.我想不明白，就给自己最信任的几个朋友发了邮件。读了你和他们回复的邮件，我又去阅读相关书籍，边读边想。
（1）吴老师建议我读Dirac《量子力学原理》。我读到“假定我们用一个态与其本身叠加不能形成新的态……”等等，印象最深的是，作者着重强调量子叠加与经典叠加的区别。这让我想起Feynman讲的子弹双缝与电子双缝实验的对比。不过，读后只知道这两种叠加有区别，也许正是这个区别影响了“度量性质”。但如何影响的，我还是不懂。
（2）ai.roswell说，“态空间实际有用的是它的真投影空间（射线空间），它可以从态空间继承内积而成为黎曼流形，然后几何相会和这个黎曼流形的Holonomy相同。”
没看懂，不知所云
（3）hywpw建议我读曾谨言《量子力学·卷II》。我读到“量子态的整体的相位具有不定性”“量子态的相对相位具有物理意义，但并没有反映到|Cn|?中”。
这让我感到单个系数并不重要，所有系数的整体性质才有意义，因为可以影响到归一化。
（4）xyzz06说，“如果只关心局域性质，就不必考虑拓扑”。
这句话与上面的（3）联系起来（从哲学上，都是整体与局部的问题）或许能说明，应该将单粒子与多粒子情况区别开来。这似乎解释了第1点的（a）和（b）：（a）属于双态系统（科大张永德讲到，A-B效应，Schr?dinger猫，EPR佯谬，广义杨氏双缝干涉，都是双态），所以才会使得“非连通”成为可能，从而出现拓扑结构；（b）属于多粒子情形，只有多粒子才会出现统计效应。所以，“相差一个常数”可能是针对单粒子波函数而言的。
（5）最后一点，也是最关键的一点，是学长提到的“规范结构”。目前我能见到的讨论“规范”的只有郭硕鸿《电动力学》。反复读着这本书，努力去理解“规范
”到底指什么，与波函数这个问题有什么关系。从看完学长的邮件开始边读边想，想到半夜1点多毫无进展。想着想着就睡着了……今天早上继续想，奇怪的是，几分钟就想出来了。怎么想的呢？
我想起教我电动的老师说过，“规范就是选择一个参考点，例如选择一个零势能点”。什么意思呢？反复地想，后来发现：在势能问题中，重要的是两点势能的差，这个才具有绝对意义，而势能本身只具有相对意义。但这与波函数那个问题有什么联系呢？难道势能问题也“相差一个常数”？果然如此！选择不同的零势能点，得到的势能之间相差一个常数。而这个常数不会影响物理本质，这也就否定了我原来想法的概念基础“既然相差一个因子，那肯定会不同，不论它是常数还是变数”。势能问题表明，不是只要相差一个常数就一定使得物理规律有所不同。物理学中并没有这么普适的概念。
但是，都相差一个常数并不能表明这两个问题相同。适用于势能问题的概念未必适用于波函数。毕竟，势能相差的是一个“相加”常数，而波函数相差的是一个“相乘”常数。那么，相加与相乘真的毫无联系吗？我又想到对数和复数幅角运算可以化乘为加，复平面上两个矢量相乘就是转过一个角度。这和量子中函数乘以e指数有什么区别？我又想到对称变换：差一个相加常数对应一个平移变换，差一个e指数因子对应一个旋转变换。前者属于正交变换，后者属于幺正变换，总之都没有改变矢量的度量性质。（不过有一点没想通，如果相差的相乘常数不是e指数，那就出问题了：常数的模不为1，则是改变度量性质的伸缩变换；常数为±1，则为反演变换，而反演变换对物理系统的影响还不清楚）
那么，这又是如何体现出“规范”的呢？我想到“规范正交基”。那么，这里应该就是指波函数的“归一化”性质吧？就是说，“规范”应该是对波函数做的一种人为“约束”。
……………………………………………………
我想了很多，希望学长对上面提到的每个问题都一一评述，指出其中都有哪些想法是错误的。另外，关于学长回复的邮件，我只考虑了“规范结构”，而不知怎么“设计一个实验来测量波函数的绝对大小”，请学长指示
在2009-12-02，"Yi-Zhuang You" 写道：
这个问题很有趣，其实你发现的是规范结构。你是怎么想的呢？如果有两个波函数，一个是另一个的两倍，你应该怎么样去发现它们的区别呢？或者说，你能不能设计一个实验来测量波函数的绝对大小呢？
2009/12/2 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
为什么波函数相差一个相乘的常数，表达的物理状态是相同的？用抽象语言，就是右矢为任何长度是无关紧要的。而给出两个右矢，则有决定意义的只是它们前面“系数之比”，而不是系数本身？
希望学长能详细解释一下。从数学上和从物理上。是不是有一些深刻的东西在里面，但通常的书籍不会讲到？比如一般书不会讲到方程的拓扑结构之类的
2009/12/4 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
- 隐藏引用文字 -
去数学系听了几个星期的高等代数，和研究生听了一点群论。目前“高代”基本上掌握了，并能和矩阵力学（非相对论情形）结合起来；“群论”方面只是初步了解了一些数学上的定义，还不能应用它去解决物理问题。
具体情况在校内网的日志《总算没有白来一趟物理系，只因为学了一点儿量子力学~和从前不一样，真的大不一样了！》中，学长已经看过了
目前在考虑自旋的数学基础，在读《物理学中的群论》，勉强能懂一点；《物理学家用微分几何》中也提到了自旋，不过比群论上讲的更抽象，几乎是一点也不懂
不过，从高代课上，我了解到将概念推广的方法。“空间，可以看作定义了某种运算的集合”这个概念对于学习群论还是有很大帮助的，使我从“一点都不懂”到“懂一点”。
有了上面的基础，“指数上的东西是矩阵”对我来说不是难题，“李群”方面我了解了一些概念，但不会运算。
如何“将规范结构推广到多分量的波函数”上面去，我暂时理解不了。一是因为对规范结构的数学描述还不清楚，只是听说过这个要用到纤维丛；二是不知道“多变量波函数”是怎么回事。是针对多粒子体系吗？抑或在哈密顿量中除了动势能项外还需要相互作用项？
在2009-12-04，"Yi-Zhuang You"写道：
哦，我发现你学了不少数学了，那么可以多说一点，就是其实像SU(N) 这样的李群都是可以用指数函数做出来的，只不过指数上的东西是矩阵。这样就可以把规范结构推广到多分量的波函数上面去。
2009/12/3 Yi-Zhuang You 真纠结啊，你快要接近真理的那一霎那，思路又偏掉了……
先说明一件事情，±1也是模为1的常数，-1就是 exp(iπ) 也是一个相位因子，不要搞特殊化。
再说明一件事情，exp (x) 和 exp (ix) 没有本质区别，他们都是指数函数。指数函数的自变量在整个复数平面内都有定义。不要因为exp (x) 是伸缩exp (ix) 是旋转就另眼相看，不要搞歧视。
比如时间是虚的空间，空间是虚的时间，时间空间是平等的，就像空间中的x轴和y轴也是平等的一样。空间中的转动用sin 和cos 描述，其实就是 exp (ix) 的某种组合，这个大家看得都很清楚。而时空转动在普通人看来就变成了 Lorentz 膨胀，膨胀因子就是 exp (x) 的某种组合，其中 x 是参考系的快度。所以说，钟慢尺缩并不神秘，那就是时空的（虚）转动。伸缩是虚的旋转，旋转是虚的伸缩，他们是对等的。
综上所述，所有的膨胀、收缩、转动、反演……都可以统一起来，那就是指数函数。只要把指数函数乘在一个向量前面，就可以完成对向量的各种变换。如果把 exp (ix) 看成是波函数的相位，那么 exp (x) 就是波函数的振幅。我们说，既不能轻视相位，也不能忽略振幅。其实，甚至根本不需区分振幅和相位，它们是同等重要的，因为它们本质上就是同一件事情。
好了，现在说你的问题。你自己都说到了“毕竟，势能相差的是一个“相加”常数，而波函数相差的是一个“相乘”常数。那么，相加与相乘真的毫无联系吗？我又想到对数和复数幅角运算可以化乘为加，复平面上两个矢量相乘就是转过一个角度。”这已经站在真理的边缘了，可是你下面的思路又发散开去了。看得我当场就吐血了。
我要告诉你的事实是，任何一个相加的常数，都和一个相乘的常数一一对应。加法和乘法有密切的关系，就是你所说的，指数化加为乘，对数化乘为加。任何一个加法运算都可以转化为乘法运算，反之亦然。
你知道“势能问题表明，不是只要相差一个常数就一定使得物理规律有所不同。”。你必须规定什么是能量的零点，各个地方的能量 E 都要和零能量的标准 E0 相比较才有意义，E0 就是能量的规范。
E - E0
这里的 E0 是一个相加的常数，那么一定存在另一个相乘的常数与之对应。那么怎么去发现这个相乘的常数？那就利用指数啊，化加为乘，把指数函数作用到能量上去，就化为
exp (E - E0) = exp(E) exp(-E0)
因此 exp(-E0) 就是与能量规范对应的相乘的常数。这是什么常数？这就是波函数前面乘的相位因子！
exp ( -i E0 t / hbar)
这里我只不过是把量纲补充完整了而已，这就得到了德布罗意关系：波函数按照能量所决定的频率随时间震荡。既然零能量的标准是任意的，那么波函数前面的常数也可以是任意的。反过来说，就是如果波函数被乘上一个常数，我可以把它吸收到能量规范中，并且声称，这只不过是因为你改变了零能量的标准而已，因此物理不会发生变化。
当然，并不是所有的常数都需要吸收到能量规范中间去的。除了能量规范，我们还有动量规范、角动量规范、全同统计规范、相空间规范等等，每一种规范都意味着一个相加的常数，和一个与之对应的相乘的常数。不同的规范，负责吸收不同的常数，而具体是什么规范，这与对称性有关。
给波函数乘一个常数，就是改变了波函数的振幅和相位。所谓规范对称性就是说，波函数有这样一个特性，无论你如何改变振幅和相位，都能通过调整对各种规范零点的选取来抵消，从而不改变任何物理。
这需要分两个层次理解，一个是全局的规范，一个是局部的规范。比如说，波函数的振幅的平方表示发现粒子的几率，这是取了归一化的规范的。不取这个规范的化，波函数的振幅的平方只代表发现粒子的次数，不是几率（注意没有归一化）。好了，现在我有个波函数，它表明在A点发现粒子2次 在 B点发现粒子1次，那么我把这个波函数乘以10，平方以后就是100倍，A点发现20次 ，B点发现10次，这会造成任何不对吗？不会，因为次数本身就只有相对的意义，没有绝对的意义。我做实验的次数越多，我在A点发现粒子的次数也越多，但是A点发现粒子的次数总是B点的两倍，这就有意义了，说明粒子在A点出现的可能性更大。
所谓归一化，就是规定总的次数加起来等于1，这就是选取了一种规范。为什么不是归100 呢？如果是归1就是说我做了一次实验，如果是归100就是说我做了100次实验。我究竟打算做几次实验难道不是我说了算的吗？那波函数如果归100化，不就相当于振幅都扩大10倍了吗？
你觉得振幅是一种长度，因此就有意义了吗？那么我告诉你，所有的长度都是没有意义的。因为任何关于长度的测量都取决于尺子的规范。一只铅笔的长度是0.1米还是10厘米，这有区别吗？我们连什么是米都是人为规定出来的，你说长度还有绝对的意义吗？因此，我可以说 0.1 = 10 ，长度乘以100倍，变的是单位，是规范，而不是物理。唯一有意义的是长度的比，比如这支笔比那只笔长5倍，这里的波函数比那里的波函数多10倍，这才是我们更加关心的。任何物理测量都是相对的，只有在比较中才会产生意义。
振幅没有绝对的意义，相位也同样没有绝对的意义。只有相位因子的比，也是就是相位差，才可以被实验所测量，比如A-B效应，那测的是两束电子的相位差，不是相位。任何一束电子的相位都是不可测量的，不然为什么要做干涉实验，干涉测量的就是相位差。波函数无论被乘上什么东西，只要一比，就可以被比掉，因此都不影响物理。
这说的是全局的规范不变性，还有局域的规范不变性。你不但可以给波函数整体乘上一个数，一切保持不变。你还可以给每个地方的波函数都乘上不同的数，我还有办法保持不变，那就是利用规范结构。本来A点发现粒子的次数是B点的两倍，现在A点的波函数乘以2，B点的波函数乘以4，这样B点发现粒子的次数变成A点的两倍了，比例颠倒了，这也没有问题吗？没有问题，因为这相当于给A 和 B 赋予规范结构，也就是A和B两点有了不同的零点能量。统计力学告诉我们，发现粒子的几率正比于
exp ( - β E )
E 就是能量，可是能量是以什么为零点开始测量的呢？没有说。没有说就可以随便选。我可以升高A的零点能，降低B的零点能，那么粒子当然更喜欢到B点去啦，因为B点现在的能量更低了。
规范理论告诉我们，可以在整个时空中任意地规定波函数的相位。单位时间内相位的变化量就是能量，单位空间上相位的变化量就是动量。因为能量和动量的零点都是任意选取的，所以，相位在时空中的变化也是任意的。可是你一旦在每个时空点都选定了能量和动量零点，你就相当于为这个时空（及其之上的波函数）赋予了一种结构，这个结构在数学上叫做厄米线丛的联络，在物理上叫做规范场，或者规范结构。
所以，最简单的规范场就是能量和动量零点在时空中的分布。那么能量零点就是电势（标势），动量零点就是矢势。选定了能量和动量的零点，就是选定了标势和矢势，就是选定了一个电磁场。所以电磁场不是别的，电磁场就是规范场。
这只是与时间平移和空间平移相联系的规范结构。任何对称操作，都可以被赋予规范结构。比如交换粒子的操作，也可以联系一个规范结构，就是你所说的玻色和费米统计。前面我们说能量的零点可以调节，那么为什么是能量呢？因为能量是时间平移这样一个对称群的生成元。所以推广来说，任何对称群的生成元的零点都可以通过规范结构来调节。那么置换群的生成元是什么，就是交换两个相邻的粒子，这称为邻换。邻换可以取两个值，一个是1，就是玻色子，一个是-1，就是费米子。那么我们就可以规定一个规范，将所有的邻换操作都反号，这就把所有的玻色子都变成费米子，费米子变成玻色子，这有关系吗？没关系，这就是超对称，把所有的自旋角动量的零点都移动了1/2.
2009/12/3 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
仔细思考后发现，学长提到的“规范”这个概念对于“波函数相差一个相乘常数”这个问题多么一针见血。也体会到为什么学长说“这个问题很有趣”。但在讨论“规范”之前，想先谈谈我自己起初怎么思考这个问题的，而把“规范”留到后半部分讨论。
“相差相乘常数的两个波函数代表同一状态”这个结论在学热统时老师就说过了，但没引起重视。直到量子力学讲狄拉克符号，那位老师又一次提到、并以另一种方式（抽象空间的矢量）表述这个问题时，我才开始认真地思考。
1.我原来的想法是，“既然相差一个因子，那肯定会不同，不论它是常数还是变数。”
（a）通常认为只有振幅才有意义，而位于指数位置的相位没有意义。但A-B效应教训了这种片面的夸大事实。受此启发，我觉得波函数相差的常数也不能轻易忽略。
（b）当这常数是+1和-1时，分别对应Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计。若果相差一个常数可以不加区别，也许就将上面两种统计混为一谈。
（c）欧式空间中矢量的度量性质（如长度）特别重要，正是定义了内积才使线性空间成为欧式空间。既然量子力学研究的Hilbert空间也是基于内积的（对于我们这个问题，就是：将波函数以其本征函数为基矢展开时，前面的系数就是相应本征函数与波函数的内积），为什么态矢的度量性质就不重要了？
2.我想不明白，就给自己最信任的几个朋友发了邮件。读了你和他们回复的邮件，我又去阅读相关书籍，边读边想。
（1）吴老师建议我读Dirac《量子力学原理》。我读到“假定我们用一个态与其本身叠加不能形成新的态……”等等，印象最深的是，作者着重强调量子叠加与经典叠加的区别。这让我想起Feynman讲的子弹双缝与电子双缝实验的对比。不过，读后只知道这两种叠加有区别，也许正是这个区别影响了“度量性质”。但如何影响的，我还是不懂。
（2）ai.roswell说，“态空间实际有用的是它的真投影空间（射线空间），它可以从态空间继承内积而成为黎曼流形，然后几何相会和这个黎曼流形的Holonomy相同。”
没看懂，不知所云
（3）hywpw建议我读曾谨言《量子力学·卷II》。我读到“量子态的整体的相位具有不定性”“量子态的相对相位具有物理意义，但并没有反映到|Cn|?中”。
这让我感到单个系数并不重要，所有系数的整体性质才有意义，因为可以影响到归一化。
（4）xyzz06说，“如果只关心局域性质，就不必考虑拓扑”。
这句话与上面的（3）联系起来（从哲学上，都是整体与局部的问题）或许能说明，应该将单粒子与多粒子情况区别开来。这似乎解释了第1点的（a）和（b）：（a）属于双态系统（科大张永德讲到，A-B效应，Schr?dinger猫，EPR佯谬，广义杨氏双缝干涉，都是双态），所以才会使得“非连通”成为可能，从而出现拓扑结构；（b）属于多粒子情形，只有多粒子才会出现统计效应。所以，“相差一个常数”可能是针对单粒子波函数而言的。
（5）最后一点，也是最关键的一点，是学长提到的“规范结构”。目前我能见到的讨论“规范”的只有郭硕鸿《电动力学》。反复读着这本书，努力去理解“规范
”到底指什么，与波函数这个问题有什么关系。从看完学长的邮件开始边读边想，想到半夜1点多毫无进展。想着想着就睡着了……今天早上继续想，奇怪的是，几分钟就想出来了。怎么想的呢？
我想起教我电动的老师说过，“规范就是选择一个参考点，例如选择一个零势能点”。什么意思呢？反复地想，后来发现：在势能问题中，重要的是两点势能的差，这个才具有绝对意义，而势能本身只具有相对意义。但这与波函数那个问题有什么联系呢？难道势能问题也“相差一个常数”？果然如此！选择不同的零势能点，得到的势能之间相差一个常数。而这个常数不会影响物理本质，这也就否定了我原来想法的概念基础“既然相差一个因子，那肯定会不同，不论它是常数还是变数”。势能问题表明，不是只要相差一个常数就一定使得物理规律有所不同。物理学中并没有这么普适的概念。
但是，都相差一个常数并不能表明这两个问题相同。适用于势能问题的概念未必适用于波函数。毕竟，势能相差的是一个“相加”常数，而波函数相差的是一个“相乘”常数。那么，相加与相乘真的毫无联系吗？我又想到对数和复数幅角运算可以化乘为加，复平面上两个矢量相乘就是转过一个角度。这和量子中函数乘以e指数有什么区别？我又想到对称变换：差一个相加常数对应一个平移变换，差一个e指数因子对应一个旋转变换。前者属于正交变换，后者属于幺正变换，总之都没有改变矢量的度量性质。（不过有一点没想通，如果相差的相乘常数不是e指数，那就出问题了：常数的模不为1，则是改变度量性质的伸缩变换；常数为±1，则为反演变换，而反演变换对物理系统的影响还不清楚）
那么，这又是如何体现出“规范”的呢？我想到“规范正交基”。那么，这里应该就是指波函数的“归一化”性质吧？就是说，“规范”应该是对波函数做的一种人为“约束”。
……………………………………………………
我想了很多，希望学长对上面提到的每个问题都一一评述，指出其中都有哪些想法是错误的。另外，关于学长回复的邮件，我只考虑了“规范结构”，而不知怎么“设计一个实验来测量波函数的绝对大小”，请学长指示
在2009-12-02，"Yi-Zhuang You" 写道：
这个问题很有趣，其实你发现的是规范结构。你是怎么想的呢？如果有两个波函数，一个是另一个的两倍，你应该怎么样去发现它们的区别呢？或者说，你能不能设计一个实验来测量波函数的绝对大小呢？
2009/12/2 einstein.newton <einstein.newton@163.com>
为什么波函数相差一个相乘的常数，表达的物理状态是相同的？用抽象语言，就是右矢为任何长度是无关紧要的。而给出两个右矢，则有决定意义的只是它们前面“系数之比”，而不是系数本身？
希望学长能详细解释一下。从数学上和从物理上。是不是有一些深刻的东西在里面，但通常的书籍不会讲到？比如一般书不会讲到方程的拓扑结构之类的
评论这张
转发至微博 转发至微博 
0人 | 分享到：
阅读(90)| 评论(0)| 转载 (0) |举报
No comments:
Post a Comment