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Tuesday, March 19, 2013

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活动轮廓，外形和梯度矢量流

2008-04-11 18:43:54| 分类：默认分类 | 标签： |字号大中小订阅

活动轮廓，外形和梯度矢量流

Chenyang Xu, Student Member, IEEE, and Jerry L. Prince, Senior Member, IEEE

摘要：Snakes,也称作活动轮廓，在计算机视觉和图像处理中被广泛应用，特别是目标边界定位。然而，关于初始化的问题和无法收敛到凹型边界，限制了它们的应用。本文提出了一种新的活动轮廓外力，很大程度上解决了这两个问题。这种外力，我们称之为“梯度矢量流（GVF）”，是通过图像中的灰度级或二值边界图扩散出的梯度矢量来计算的。它跟传统的Snake外力有根本的不同，它不能写成势能函数的负梯度，相应的Snake直接用平衡态的力进行表述而不是用变分公式化。通过几个二维（2-D）例子和一个三维（3-D）例子，我们看到GVF具有很大的捕捉范围并可以将活动轮廓拖动到凹型边界。

关键字：活动轮廓模型，可变形表面模型，边缘检测，梯度矢量流，图像分割，形态描述和复原，snakes。

1. 引言

Snakes[1],即活动轮廓，定义成一段图像区域内的曲线，它在曲线内部产生的内力和图像数据驱动的外力共同作用下运动。定义的内力和外力使活动轮廓限制在目标边界或图像内部的其他期望的特征。Snakes在很多领域广泛应用，包括边缘检测[1],形态建模[2][3],分割[4][5]和运动跟踪[4][6]。

现今的文献中有两种一般形式的活动轮廓模型：参数活动轮廓[1]和几何活动轮廓[7]-[9]。尽管我们希望我们的结论也能应用于几何活动轮廓，但本文中我们主要关注参数活动轮廓。参数活动轮廓在图像区域内合成参数曲线，并允许它们向期望的特征方向移动，通常是边界。一般地，曲线在势能力（高斯外力）的作用下向边界运动，势能力定义成势函数的负梯度。其他的力比如压力[10]，和势能力一起构成外力。同样也存在着内力，它让曲线靠拢（弹性力）并防止曲线弯曲得太厉害（弯曲力）。

参数活动轮廓算法有两个关键的难点。首先，初始轮廓一般需要接近原始轮廓，否则很可能收敛到错误的结果。有一些方法被用来解决这个问题，包括多尺度方法[11],压力[10],距离势能[12]等。基本的思想是增加外力场的捕捉范围，并引导曲线向期望的边界运动。第二个问题是活动轮廓陷入凹型边界时很难处理[13][14]。尽管提出了压力，控制点[13]，区域适应性[15]，方向吸引力[14]和无散矢场[16]，这个问题没有令人满意的解决方案。然而，大部分的解决方案在解决了一个问题的同时却产生了新的难题。例如，多尺度方法解决了捕捉范围的问题，但在论述snake怎么横穿不同尺度方面仍存在问题。另一个例子是对于压力，它可以引导活动轮廓进入凹型边界，但强度不够或者说弱边界会被覆盖[17]。压力也必须初始化成对内或者对外的需要仔细区分的情况。

本文中，我们提出了一种活动轮廓模型的新的外力，可以解决以上所列的难题。我们将这种场称为梯度矢量流(GVF)场，是在图像中一个可变结构里最小化一个特定的能量函数产生的密集的矢量场。最小化通过解一些衰减的线性偏微分方程来实现，这些方程对图像内部灰度级或二值边界图的梯度矢量进行扩散。我们将使用GVF场作为外力的活动轮廓称为GVF Snake。它区别于前面几乎所有的Snake公式，它们的外力不能写成势函数的负梯度。鉴于如此，我们不能公式化标准能量最小化结构，相反地用力平衡态来解就很直接。

GVFSnake和传统snake相比的明显优势是对初始轮廓的不敏感性和运动到凹型边界的能力。本文中我们将见到，初始轮廓可能是内部的，外部的或者横跨目标边界。不像压力，GVFsnake不需要是否朝边界收缩或膨胀的先验知识。它也拥有较大的捕捉范围，这就意味着，屏除了其他目标的干扰，它可以初始化在远离边界的地方。扩大的捕捉范围是通过不损坏边缘本身的扩散来实现，因此不需要多尺度方法。在实质上接近GVF的外力模型是Cohen[12]距离高斯力。跟GVF一样，这些力产生于图像的边界图并可以提供较大的捕捉范围。但是，跟GVF不同，我们指出距离高斯力不能将活动轮廓拖动到凹型边界。我们相信，这是所有以snake外力为近似特征的保守力的特性，而寻找像GVF的非保守力是未来活动轮廓模型探讨的重要方向。

本文所做的部分研究在参考文献[18]中有所提及。

2. 背景

2.1 参数Snake模型

传统活动轮廓是一条曲线 [0,1].它在图像的空间域移动以最小化以下能量函数

其中，α和β是控制活动轮廓张力和刚性的权重参量，和分别表示X(s)对s的一阶和二阶导数。外部能量函数由图像产生，所以它在我们感兴趣的特征处，比如边界处，取较小的值。给定一幅灰度级图像I(x,y)，把它看成是连续位置变量(x,y)的函数，典型的外部能量会引导活动轮廓朝边缘移动

这里，是以σ为标准差的二维高斯函数，▽是梯度运算符。如果图像是线条画（白色背景上的黑色），外部能量近似为

很容易从这些定义中发现，大的σ值将会导致边界变得模糊。然而，为了增加活动轮廓的捕捉范围，这样大的σ值通常是需要的。

最小化E的轮廓曲线必须满足欧拉方程

这实际上可以看成是一个力平衡方程

其中，，。内力阻碍伸展和弯曲，而外力引导轮廓曲线朝着期望的图像边界运动。

为了找到(6)的解，把x看成时间t和s的函数，即x(s,t)，轮廓曲线就改写成动态的形式。然后，x关于t的偏导数就等于(6)式的左边

当x(s,t)稳定时，项消失我们就得到了（6）式的解。（8）的数值解可以通过离散化等式，用迭代法解离散系统获得。我们注意到大多数snake计算都用一个乘以的参量来控制时间步长，或者一个乘以的参量来允许分别控制外力的强度。本文中，我们正则化外力使得最大量等于1，对所有的实验使用相同的单位时间步长。

2.2 传统Snake的演化

一个传统活动轮廓的演化例子示于图1。图1（a）显示了一幅64×64像素的线条画，它是在顶部有凹型边界的U型目标（用灰色显示）。它还显示了一段黑色曲线来描述传统活动轮廓（α=0.6，β=0.0）的迭代过程，这条曲线初始化在目标外部但在高斯外力场的捕捉范围内。高斯外力场，σ=1.0的像素图示于图1（b）。我们注意到，图1（a）的最终结果也求解了活动轮廓的欧拉方程，但在凹型边界区域仍是割裂开来的。

这种轮廓曲线的弱收敛原因在图1（c）中作了揭示，它对凹型边界内部的外力场进行了近距离展示。尽管外力正确地指向了目标边界，在凹型边界内部外力水平地指向了相反的方向。因此，活动轮廓被脱离U型的各个“手指”，但不会朝凹型底部行进。选择α与β的值也不能纠正这一问题。

在传统活动轮廓公式中存在的另一个主要问题是，有限的捕捉范围，可以通过图1（b）去了解。在这幅图像中，我们看到外力的大小从目标边界处很快地消失。增加（5）中σ值会增加捕捉范围，但边界定位会变得比较不精确和不清晰，最后当σ变得太大时会湮没凹陷本身。

图1 (a)轮廓曲线收敛(b)传统高斯外力场(c)凹型边界的近距离观察

图2 (a)活动轮廓的收敛(b)距离高斯外力场(c)凹型边界的近距离观测

Cohen and Cohen提出了一种明显扩大传统轮廓曲线捕捉范围的外力模型。这种模型是一个势能函数的负梯度，它用欧几里德（或斜面）距离图来计算。我们将这种力称作距离高斯外力，以区别于第二章第一部份所说的传统的高斯外力。图2显示了使用距离高斯外力的轮廓曲线结果。图2（a）显示了U型目标（用灰色表示）和轮廓曲线（用黑色表示），他描述了轮廓曲线从远离目标的初始位置移动到最终形态的过程。图2（b）的距离高斯外力包含远离目标的很大的矢量，解释了为何这种外力模型的捕捉范围较大。

正如图2（a）所示，这种轮廓曲线也不能收敛到凹型边界。这可以通过观察图2（c）中的距离高斯外力放大部份来解释。我们看到，跟传统高斯外力一样，这些力也水平指向相反的方向，将轮廓曲线脱离但不朝向凹陷处。我们指出的Cohen and Cohen对基本距离高斯外力的修正，即将一个非线性变换应用到距离图[12]上，并不改变力的方向，只改变力的大小。因此，距离高斯外力并不能解决凹型边界的收敛问题。

2.3 合力平衡等式

图1(a)和图2(b)所示的活动轮廓方案对于各自的能量模型都满足欧拉方程（6）。从而，最后的弱结构可以归结为收敛到目标函数（1）的局部最小化。为了解决这一问题，一些研究通过从力平衡等式构建活动轮廓公式，用更一般的外力代替标准外力：

的选择可以对这两种应用和活动轮廓的演化产生深刻的影响。大体上说，外力可以分为两类：静态的和动态的。静态力是那些从图像数据出发计算的力，在轮廓曲线进程中不做改变。标准轮廓曲线高斯外力是静态的外力。动态力是轮廓曲线变形时改变的力。

一些新类型的动态外力被用来改进标准活动轮廓高斯外力。例如，多尺度活动轮廓[11]中用到的力和气球力[10]中用到的压力便是动态高斯外力。多尺度方案和压力的使用，增加了活动轮廓应用的复杂度和性能的不可预知性。比如说，压力可以初始化成对内或者对外，当他们强度过大时可能湮没弱边界。相反地，如果它们向相反方向施加或者强度太弱，可能不会运动到凹型边界。

本文中，我们提出一种新的静态外力，一种不随时间变化而取决于轮廓曲线本身的位置的外力。这种新的外力的隐含数学假设来自Helmholtz理论（参见[19]），它表述成大部分的静态矢量场可以分解成两个分量：无旋转分量和无散失分量。由传统活动轮廓的可变公式演化而来的外部高斯力必须作为一个静态无旋场代入力平衡公式（6），因为它是势能函数的梯度。因此，一个更具一般性的静态场可以通过允许包含无旋分量和无散分量的可能性而获得。我们以前的论文[16]开发了一种从图像中构建分离的无散失场的方法，并在那时候附加到一个标准的无旋场上面。在接下来的章节，我们提出一种更自然的方法，通过它外力场能够具有大捕捉范围和深入到凹型边界的期望属性。产生外力场的结果公式可以同时拥有无旋转分量和无散失分量。

3. 梯度矢量流Snake

我们的整体方法是利用力平衡态（7）作为出发点来设计活动轮廓。我们定义以下新的静态外力场，我们称之为梯度矢量流(GVF)场。为了获得相应的动态活动轮廓等式，我们将（8）中的高斯外力用ν(x,y)代替，生成

我们将解上述动态方程的参数曲线称为GVF活动轮廓曲线。跟传统活动轮廓的解法一样，它在数值上用离散化和迭代法求解。

尽管GVFsnake的最终结构会满足力平衡等式（7）,但这个等式一般情况下并不体现（1）中能量最小化问题的欧拉方程。这是因为ν(x,y)一般不会是一个无旋场。最优特性的缺失，由GVF snake明显的改良特性很好地进行补偿。

3.1 边界图

我们先定义一个来自于图像I(x,y)的边界图f(x,y),它具有十分靠近图像边缘的性质。我们可以使用图像处理文献(参见[20])中定义的的任何灰度级或者二值边界图，例如，我们可以用

其中，i=1,2,3或4。在目前的上下文中，三种边界图的一般属性很重要。首先，边界图的梯度是指向边界的向量，通常是在边界上指向边界。其次，这些向量通常只有在边界的直接邻域内才很大。最后，在相似区域内I(x,y)几乎是常量，则几乎等于零。

现在考虑这些属性在边界图的梯度用作外力时怎么影响传统活动轮廓的形态。由于第一个属性，一段初始化接近边界的轮廓曲线将收敛到边界附近的稳定状态，这是我们最期望的情况。由于第二个属性，捕捉范围一般会非常小。由于第三个属性，无论如何均匀区域都不会有外力存在。后两种属性不是我们期望的。我们的方法是保持边界附近梯度的好的期望得到的属性，而扩展梯度图远离边界并通过计算扩散过程来进入均匀区域。作为一种重要的益处，扩散过程内在的竞争将会产生指向凹型边界的向量。

3.2 梯度矢量流

我们将梯度矢量流场定义为矢量场ν(x,y)=[u(x,y),v(x,y)]，并最小化能量函数

这个变分公式遵循一个标准规则，即无数据时使结果平滑。通常，我们看到当较小的时候，能量主要由矢量场的二阶偏导平方项的和决定，因此可以产生一缓慢变化的场。另一方面，当比较大的时候，第二项决定了被积函数，当ν=▽f时取得最小值。这就产生了我们所期待的结果，即当ν较大时使它接近于边界图梯度，而在内部均匀区域时缓慢变化。参量μ是控制被积函数的第一项和第二项间均衡度的正则参数，它要根据图像中存在的噪声大小来设置（噪声越大，μ值越大）。

我们注意到平滑项——积分式（12）中的第一项——跟Horn和Schunck的经典光流[21]公式的项相同。最近已被证明，这项对应于一个矢量场[22]的散度和旋度的等量衰减。因此，最小化产生的矢量场可以既不是全部无旋的，也不是全部无散的。

应用变分计算法[23]，可以看到GVF场可以通过解以下欧拉方程得到

其中是拉普拉斯算子。这两个方程提供了GVF公式背后更直观的解释。我们注意到在均匀区域（此时I(x,y)是常量），两方程的第二项为零是因为f(x,y)的梯度是零。因此，在这样的区域里，u和v分别取决于拉普拉斯方程，产生的GVF场是区域边界的内插值替换，反映了边界向量间的一种竞争。这就解释了为何GVF会产生指向凹型边界的向量。

3.3 数值运算

等式（13a）和（13b）可以通过将u和v看成时间的函数求解

这两个类似的线性等式的稳态解就是欧拉方程(13a)(13b)所期望的解。注意到这些方程是衰减的，可以通过偏微分方程的离散数值解来得到u和v的解。（14）中的方程可以叫做一般扩散方程，在诸如热传导，反应堆物理和流体流动[24]等不同领域引起了重视。这里，我们在（12）的能量函数中为了描述snake外力场的期望属性而再次出现。

为了方便，我们将（14）重写成

其中

任何数字图像的梯度算子（参见[20]），可用于计算和。在本文所列的例子中，我们用简单的中心微分。系数b(x,y), 和可以通过整个迭代过程计算和确定。

为了建立迭代算法，让指数i,j和n跟x,y和t相关，相应的，让像素间隔等于和，每次的迭代时间步长为。从而所需的偏导数可以近似成为

将这些近似代入式（15）,得到我们GVF的迭代解如下：

其中

以上迭代过程的收敛情况由数值方法理论（参见[25]）获得的标准结果进行保证。假定b，和是有限的，只要Courant-Friedrichs-Lewy步长大小限制保持在r≦1/4,那么（16）式都会是稳定的。由于正常情况下，和μ是固定的，基于（17）中的r定义，我们知道了为了保证GVF的收敛，以下时间步长必须被满足

这种情形下隐含的的直观理论对于我们很有启发。首先，粗糙图像上的收敛可以变得更快，例如当和很大的时候。其次，当μ很大而GVF期望是个平滑场的时候，收敛速度将会减慢（由于必须保持很小）。

我们的二维GVF计算应用了MATLAB3编码。对于一幅基于SGI Indigo-2的N=256×256像素的图像，用传统高斯力典型的计算耗时是8s（用C编写），用距离高斯力是155s（欧几里德距离图，用MATLAB编写），用GVF力场是420s（用MATLAB编写，经次迭代）。GVF的计算时间可以通过C或者FORTRAN的最优化算法来明显减少。比方说，我们用C来计算三维GVF（见第五章），一幅256×256×60的图像花了31分钟。考虑到大小差异和额外的维数开销，我们用C语言来作结，用GVF计算一幅二维的256×256像素图像将只花大约53秒。像应用多网格方法等的最优化算法将得到更多的改进。

4. GVF场和Snake:示例

这一章主要列出一些计算简单目标的GVF场的例子，并证实GVF活动轮廓的一些关键属性。我们对所以活动轮廓应用α=0.6，β=0.0，对GVF应用μ=0.2。活动轮廓动态地改变参数来保持轮廓点区分在0.5-1.5像素间（参加[26]）。GVF计算中的所有边界图都限制在[0,1]的范围之内。

4.1 收敛到凹型边界

在我们第一个实验中，我们用图1和图2中的相同U型目标来计算GVF场。结果示于图3。图3(b)所示的GVF场和图1(b)的传统高斯力场的对比，揭示了一些重要的不同点。首先，跟距离高斯力场(图2(b))一样，GVF场比传统高斯力场有着更广的捕捉范围。其次，观察图3(c)的近距离图像，可以注意到U型顶部凹型边界的GVF矢量有向下的分量。这跟传统高斯力（图1(c)）和距离高斯力（图2(c)）的结果明显不同。最后，可以从图3(b)看到，从目标内部看的时候GVF场的指向具有相似的风格。并且，GVF向量直接指向了U型的“手指”，从这样的视角看它代表了凹陷区域。

图3(a)显示了GVF活动轮廓的初始形态，迭代过程和最终形态。初始形态跟图2(a)的一样，活动轮廓参量跟图1和图2的也一样。很明显地，GVF活动轮廓有着广阔的捕捉范围和很好的收敛性质。最终的轮廓曲线形态跟真实边界接近，用GVF力场的双线性插值获得了子像素的插值。

图3 (a)活动轮廓的收敛(b)GVF力场(c)凹型边界的近距离观测

4.2 轨迹

轨迹是指放在外部力场的自由粒子移动的路线。通过研究他们的轨迹，我们可以获得捕捉范围和不同外力下轮廓曲线运动所表达的属性。图4显示了分布在32×32栅格上的质点的运动轨迹，分别表示图1-3中仿真的传统高斯力，距离高斯力和GVF力场。

图4 32×32阵列上的质点产生的轨迹(a)传统高斯力场(b)距离高斯力场(c)GVF力场。

从这些图片中我们可以看到一些性质。首先，GVF力场和距离高斯力场的捕捉范围明显比传统高斯力场的捕捉范围来得大。实际上，它们两个都会吸引初始化在图像边界上的轮廓曲线。其次，GVF是唯一的一种能同时在U型顶部凹型边界处提供向下的力和在U型的“手指”内提供向上的力的力场。相反地，传统高斯力和距离高斯力在这些区域只提供侧向的力。再次，距离高斯力似乎只有部分边界点具有吸引力，而GVF力场一律将点吸引向边界。

4.3 Snake的初始化和收敛

在这一部分，我们举了若干个例子来对不同的活动轮廓模型和GVF活动轮廓进行对比，以显示初始值，凹型边界和主观轮廓等产生的不同效应。我们研究的目标是图5和图6中的灰线。这样的图片可以描述成，比如说，一个前后有两个门左右有两个壁橱的房屋的边界。上下两个开着的门代表我们期望用活动轮廓（参加[1]）来连接起来的主观轮廓。

图5(b)-(d)的轮廓曲线结果都使用图5(a)的初始值。我们首先注意到对于这个初值，传统高斯力太弱以至于不能克服轮廓曲线的内力，轮廓曲线收缩到图像中心的一点（并未给出结果）。为了解决这一问题，我们使用一个有着外在压力的气球模型就足以让轮廓曲线膨胀到凹型边界，结果示于图5(b)。很明显，压力也同时使得气球模型在上下开口处凸出，因此我们的主观轮廓并未得到较好的重建。

用距离高斯力模型获得的轮廓曲线结果示于图5(c)。很明显，现在捕捉范围很恰当，并且上下开口处的主观边界也得到了良好的重建。但是这种活动轮廓未能找到左右的凹型边界，同样的原因它也不能深入到前面章节的U型目标的顶部。GVF活动轮廓的结果示于图5(d)，显然是最佳的结果。它对主观边界和凹型边界都进行了很好的重建。图5(b)和5(c)也能见到的角落圆弧，是活动轮廓由正则系数α和β引起的基本特征。

图5 (a)初始曲线和轮廓(b)向外的气球力(c)距离高斯力活动轮廓(d)GVF活动轮廓

图6 (a)初始曲线和轮廓(b)传统活动轮廓(c)距离高斯力活动轮廓(d)GVF活动轮廓

图6(b)-(d)显示的轮廓曲线结果都使用图6(a)的初始值，初始形态故意地横跨边界。在这种情况下，气球力模型不能得到有效应用，因为不清楚到底是要用内部还是外部压力。相反，用传统高斯力获得的结果示于图6(b)。这种活动轮廓终止在一种十分不希望得到的形态，因为它只有跟边界有联系的点参与而轮廓曲线的其余部分在剩下的边界捕捉范围之外。用距离高斯力获得的轮廓曲线结果示于图6(c)。它显示了尽管距离高斯力轮廓曲线对初始值不敏感，但不能够深入到凹型边界。图6(d)显示的是GVF活动轮廓的结果，同样是最佳的结果。GVF活动轮廓看来同时能够具备对初始值的不敏感和深入到凹型边界的能力。

5. 灰度级图像和多维

在这一部分，我们描述并证实GVF是如何被用到灰度级和更高维的图像。

5.1 灰度级图像

GVF的基本公式跟二值图像一样，对灰度级图像也是有效的。为了计算灰度级图像的GVF，边界图函数f(x,y)必须先计算。两种可能性是或，后者在噪声存在情况下更有用。其他更复杂的去噪技术，例如中值滤波，形态学滤波和各向异性过滤等都可以用来改进基本的边界图。给定边界图函数和对它梯度的近似，GVF可以用通常（16）的方法计算得出。

图7(a)显示了一幅受到高斯白噪声腐蚀的U型目标的灰度级图像，它的信噪比为6dB。图7(b)显示了用f(x,y)= ，σ=1.5像素计算出的边界图，图7(c)显示了计算出的GVF场。可以证明边界图越强就越倾斜，越弱就越平滑，特别是GVF能量公式（12）所预知的那样。从原始图像演化而来，图7(d)显示了一系列GVF活动轮廓（用灰色阴影描绘）及其收敛结果（用白色描绘）。尽管初值很远，并且有图像噪声和凹型边界的存在，此结果很好地收敛到了边界。

图7 (a)加噪声的64×64像素U型目标图像；(b)边界图，σ=1.5；

(c)GVF外力场；(d)GVF活动轮廓收敛结果

图8 (a)人类心脏左心室的160×160像素核磁共振图像；(b)边界图，

σ=2.5；(c)GVF场（显示二次抽样结果）；(d)GVF活动轮廓的收敛结果

另一个GVF应用到灰度级图像的示例示于图8。图8(a)显示了人类心脏左心室的核磁共振图像（短轴断面）。图8(b)显示了用f(x,y)= ，σ=2.5计算出的边界图。图8(c)计算GVF，而图8(d)显示了一系列GVF活动轮廓（用灰色阴影描绘）及其收敛结果（用白色描绘），都是覆盖在源图像上。很明显，心脏内壁的一些细节由GVF活动轮廓捕获了，包括乳突肌（突出到腔内的肿块）。

5.2 更高的维数

GVF可以很容易地扩展到更高的维数。让f(x): 作为定义在内的边界图。内的GVF场定义为最小化以下能量函数得到的矢量场ν(x):

其中梯度算子▽被独立应用到ν的各个分量。用变分的方法，我们发现GVF场必须满足欧拉方程

其中也是独立应用到矢量场ν的各个分量。

这两个欧拉方程的解可以通过引入一个时间变量t，并寻求以下线性抛物偏微分方程的稳态解来获得

其中代表ν对t的偏导数。方程（21）在ν的各个分量中包含了n个衰减标量的二次抛物偏微分方程。因此，原则上可以并行求解。跟二维的情况类似，有限差可以用来近似所需的导数而每个标量等式可以进行迭代求解。

一个用GVF的三维初步实验在图9(a)所示目标上进行，它建立在栅格上并用外表面算法进行补偿。三维GVF场用近似于(21)的数值和μ=0.15来计算。两个侧面的GVF结果示于图9(b)，侧面的投影示于图9(c)和(d)。二维GVF相同的特点在这里仍然很明显。

然后，一个可变形的表面（参见[3]）用三维GVF初始化在图9(e)的球体，它既不完全在目标内部也不完全在目标外部。经过10次和40次可变形表面迭代算法后的中间结果示于图9(f)和图9(g)。最终100次迭代后的结果示于图9(h)。由于可变形表面模型内力的存在，结果表面比外补偿表面平滑。

图9 (a)定义在栅格上的三维目标外表面；(b)A和B位置的三维GVF矢量截面并分别示于(c)和(d)；(e)使用GVF的可变形表面的初始形态；(f)经10次迭代；(g)40次迭代；(h)100次迭代

6. 概要和结论

我们已经介绍了一种新的活动轮廓和可变形表面的外力模型，我们称之为梯度矢量流（GVF）场。这个场用灰度级或二值边界图的梯度矢量扩散来计算。我们已经证明，它可以允许灵活的轮廓曲线初值或可变形表面，并可以收敛到凹型边界。

对GVF的性质和应用进行更加深入的研究是完全可以的。特别地，GVF场捕捉范围的全新特性在活动轮廓初始化程序中将给予很大帮助。同样可以帮助我们完全地理解GVF参数μ，或者说在特定图像中寻找到它的最佳值，理解μ和活动轮廓参数α与β的相互影响。最后，GVF框架在寻找参数活动轮廓和几何活动轮廓间新的联系方面可能十分有用，也可能成为创立一种新的几何活动轮廓模型的基础。

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