《拓扑学的基础和方法》，是一个叫“野口宏”

《拓扑学的基础和方法》，是一个叫“野口宏”

实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？

距离概念在简单的一维实数集上定义为坐标差的绝对值，在二维平面上定义为坐标差的平方和的开根……反正是一系列坐标差的函数。所以我们的这些距离概念中，基础的内容就是坐标差，所以我们来看看一维实数集中坐标差的含义。

能够用坐标差来表示距离概念，是通过我们在实数集上，把所有实数都按照大小顺序进行了排列来实现的。如果一根数轴上的数字并不是按照大小来排列好的话，那么坐标差就完全无法体现距离概念了。再深入下去想一下的话，我们会发现，对数字进行排列，其实是对数字进行编号，编号越大的数字，排在越靠近“大”的方向。于是，距离概念其实就是编号与编号之间的差异值了。这样一来，就算我们不按照大小顺序排列，我们对数字进行一个随意排列，只要对每一个数字都编好号，我们也可以对任意两个数字进行“距离计算”：距离=编号差的绝对值。

现在暂时把视角转换到集和上来，看看集和中的元素（不一定是数字了）之间是否也能以此来搞搞距离概念。

其实也一样，只要把所有元素都编个号，我们就可以定义任意两个元素之间的“距离”了。然而这个“距离”，与现实中的距离已经有了差异，或者说集和中的“距离”，比现实中的距离概念要更广泛。

然而我们在把上面这种编号法用到二维平面上，就会发现是行不通的了。二维平面是一个集和，其中每一个元素都是一个由两个数字构成的实数对。那么我们该如何对任何一个实数对进行编号呢？编号只能从一个方向进行，而二维平面是有两个坐标方向的。比如我们对(1,1)这个数对编号为5，那么我们对(1,2)该如何编号？对(2,1)又该如何编号？无法编号！这里的根本含义是：实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？这说不出来的。

同样，对集和中的元素来说，“大小”是无关紧要的概念，于是“距离”也是无关紧要的概念。比如对一个集和={A,B,C,D}来说，这个集和只是罗列了四个元素，并没有说一定要按照A->B->C->D这个顺序排列，{A,B,C,D}与{B,A,D,C}是完全一样的集和。任何含有且仅含有这四个元素的集和，都是相等的。

于是，我们在实数集（数轴）中，把元素按照一定顺序排列的做法，就是一种十分特殊的情况了。只有那种其元素本身具有大小属性的集和，才能自然地排列、编号、定义距离。在一般的集和中，无法也无必要进行这些操作。

现在回到“连续性”的问题上来。集和中不需要定义距离概念，那么集和中可以有“连续”的概念吗？可以！为何要在集和中搞出“连续”概念呢？因为我们要把集和与几何结合起来。

数轴上的连续性，是使用距离来定义的，回顾一下那个ε-δ定义，就是用坐标差（距离）来定义的。而且后来所用到的“开区间”这个新的表现形式，本质上还是使用距离这个定义的。

“连续”这个概念，可以用“开区间”来定义。后面会推广“开区间”这个概念到“开集”，所以这里提前说，“连续”概念可以用“开集”来定义