拓扑学心得
拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托搞出了集和论之后，以集和论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。
人们对数学的不断深入，是沿着这样的线路发展的：数字->算术->欧氏几何->代数->函数->数学分析（微积分），至此其实都可以说是对数的研究，并在3百年内发挥到了很复杂的程度。而集和概念的提出和运用，则从本质上改变了数学的内涵，即跳出了“数”的框框，而进入以各种抽象事物为研究对象的领域。当然，“数”是属于这些抽象事物之一。
笛卡尔创立的解析几何，让数字和几何结合了在一起，可以用代数的方法来求解几何问题。现在用集和概念来看几何问题，那将大大扩展了几何学的内容，将点、直线、平面、空间、二次曲线/曲面都当作集和，可以说把传统的几何学、代数和分析学都统一在一个框架里了。
所以在现代的拓扑教材中，开头都是论述“集和论”。集和是一个十分抽象的概念，可以套用到各种具体的情况中。其实集和这个概念本来就是把世间几乎所有的事物的共性给抽象了出来，所以集和的所有规律，都适用于几乎所有的世间事物。人们从各种现实事物中抽象出“集和”概念，然后运用到其他新的事物中，就可以对新事物有了完善的理解。就如LostAbaddon所说过的：集和就像是OO编程（面向对象编程）中的基础类，甚至是抽象类，是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样，集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”，所有可以合在一起考虑的事物堆，都可以套用“集和”的一切规律。
当我们了解了集和这个抽象概念的规律后，再回过头用集和的观点来审视从前的数的观点，会很自然地发现集和概念中的规律，有很多是数的规律的推广。其实应该反过来说，人们在考虑集和的规律的时候，往往是把数，或者其他具体事物的相关规律进行推广而得到的。体现在拓扑学中，最抢眼的就是对传统几何学中“距离”概念的推广。
说到了集和，就不得不说另一个相关的概念：映射。映射概念也是一个具有目前看来最广泛的概念，是“函数”概念的最直接的推广。在函数概念中，我们说函数是一个法则，指定了与一个数字或者一组数字，所对应的另一个数字。注意，这里的研究对象都是“数字”，不管是自然数、实数还是复数。而映射则把研究对象从“数”扩展到了“一切事物”：映射也是一个法则，将一个或者一组事物，对应到另一个事物。这些事物可以是数字，也可以是人、班级、电脑、钞票或者是人际关系……这样回头看看函数这个概念，就是映射概念中的一个特殊的情况：仅仅考虑数字关系的法则。
映射是一个法则，是一个桥梁，连接了两堆事物，正好比函数这个法则连接了两堆数字：自变量数字堆，和应变量数字堆。这两堆数字或者两堆事物正好可以用集和来描述，所以我们可以说，映射是联系两个集和的一套法则，描述了一个集和中的事物，是如何与另一个集和中的事物相关联的。比如有两个集和：集和1={所有联想电脑}，集和2={某商场中所有商品的价格列表}。那么我们可以建立一个映射，让每一个集和1中的事物（每一台联想电脑），都有一个集和2中的事物（商场中出现的一个价格）所对应。这个电脑-价格映射，往往是一个索引表格：左端是自变量（电脑型号），右端是应变量（价格），中间是一条连线（一般表格中不出现连线，不过可以想像有这么根线）。这就是一个很形象的映射的表现形式，而教材中出现的映射，都是这样子的：两个集和（两团土豆状区域），之间用若干根连线相连，就是一个很不规范的表格而已。
所以说，集和推广了“数”的概念，映射推广了“数与数之间关系”的概念，两者结合起来，就把数学推广到了很广泛的程度，远远超出“数”的框框。
拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托搞出了集和论之后，以集和论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。
人们对数学的不断深入，是沿着这样的线路发展的：数字->算术->欧氏几何->代数->函数->数学分析（微积分），至此其实都可以说是对数的研究，并在3百年内发挥到了很复杂的程度。而集和概念的提出和运用，则从本质上改变了数学的内涵，即跳出了“数”的框框，而进入以各种抽象事物为研究对象的领域。当然，“数”是属于这些抽象事物之一。
笛卡尔创立的解析几何，让数字和几何结合了在一起，可以用代数的方法来求解几何问题。现在用集和概念来看几何问题，那将大大扩展了几何学的内容，将点、直线、平面、空间、二次曲线/曲面都当作集和，可以说把传统的几何学、代数和分析学都统一在一个框架里了。
所以在现代的拓扑教材中，开头都是论述“集和论”。集和是一个十分抽象的概念，可以套用到各种具体的情况中。其实集和这个概念本来就是把世间几乎所有的事物的共性给抽象了出来，所以集和的所有规律，都适用于几乎所有的世间事物。人们从各种现实事物中抽象出“集和”概念，然后运用到其他新的事物中，就可以对新事物有了完善的理解。就如LostAbaddon所说过的：集和就像是OO编程（面向对象编程）中的基础类，甚至是抽象类，是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样，集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”，所有可以合在一起考虑的事物堆，都可以套用“集和”的一切规律。
当我们了解了集和这个抽象概念的规律后，再回过头用集和的观点来审视从前的数的观点，会很自然地发现集和概念中的规律，有很多是数的规律的推广。其实应该反过来说，人们在考虑集和的规律的时候，往往是把数，或者其他具体事物的相关规律进行推广而得到的。体现在拓扑学中，最抢眼的就是对传统几何学中“距离”概念的推广。
说到了集和，就不得不说另一个相关的概念：映射。映射概念也是一个具有目前看来最广泛的概念，是“函数”概念的最直接的推广。在函数概念中，我们说函数是一个法则，指定了与一个数字或者一组数字，所对应的另一个数字。注意，这里的研究对象都是“数字”，不管是自然数、实数还是复数。而映射则把研究对象从“数”扩展到了“一切事物”：映射也是一个法则，将一个或者一组事物，对应到另一个事物。这些事物可以是数字，也可以是人、班级、电脑、钞票或者是人际关系……这样回头看看函数这个概念，就是映射概念中的一个特殊的情况：仅仅考虑数字关系的法则。
映射是一个法则，是一个桥梁，连接了两堆事物，正好比函数这个法则连接了两堆数字：自变量数字堆，和应变量数字堆。这两堆数字或者两堆事物正好可以用集和来描述，所以我们可以说，映射是联系两个集和的一套法则，描述了一个集和中的事物，是如何与另一个集和中的事物相关联的。比如有两个集和：集和1={所有联想电脑}，集和2={某商场中所有商品的价格列表}。那么我们可以建立一个映射，让每一个集和1中的事物（每一台联想电脑），都有一个集和2中的事物（商场中出现的一个价格）所对应。这个电脑-价格映射，往往是一个索引表格：左端是自变量（电脑型号），右端是应变量（价格），中间是一条连线（一般表格中不出现连线，不过可以想像有这么根线）。这就是一个很形象的映射的表现形式，而教材中出现的映射，都是这样子的：两个集和（两团土豆状区域），之间用若干根连线相连，就是一个很不规范的表格而已。
所以说，集和推广了“数”的概念，映射推广了“数与数之间关系”的概念，两者结合起来，就把数学推广到了很广泛的程度，远远超出“数”的框框。
集和就像是OO编程（面向对象编程）中的基础类，甚至是抽象类，是所有派生类的根。所有派生类都具有基础类的一切特征。同样，集和就是所有那些具有共性的事物堆的“抽象类”，所有可以合在一起考虑的事物堆，都可以套用“集和”的一切规律。
恩，这话说得很经典
恩，这话说得很经典
集和是一堆事物，一堆东西，可以是任何东西。但我们把乱七八糟的一系列东西放在一起，虽然也是一个集和，但这样的集和是难以找寻规律的。我们常常把一些具有共性的事物和东东放在一起形成一个特定的集和，是因为这样的话，我们就可以创建一个针对这个共性的映射，将这个特定集和与另一个特定集和相联系。而对乱七八糟的集和来说，创建这样的映射是一件痛苦的事情，而且也没啥用。比如我们可以把“杯子、厉风、洞庭湖、某股票价格、英语”放在一起形成一个乱七八糟的集和，然而这个集和我们几乎无法使用，仅仅表达了一堆东西的存在而已。而如果我们把“厉风、CloudK、碘化亚铜、zmt0516”放在一起形成一个集和，那这个集和的每一个事物都有一个共性：是“物理吧id”。于是可以针对这个“id”共性创建一个映射，比如映射到“id的年龄”这个集和。所以在数学中出现的集和，基本上都是具有共性的一堆事物。因为我们考虑数学都有很强的针对性，所以集和的共性是一个十分突出的要求。
关于集和的一些简单术语。
集和中的每一个事物，都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”。集和根据元素的个数，可以分为两大类：有限集和，和无限集和。前者拥有有限个数的元素，后者则有无限个元素。对于有限集和，可以用穷举法把每一个元素都列出来。而对于无限集和，无法用穷举法了，只能用描述元素共性的方式来表达了。
当一个事物是一个集和中的元素的话，我们就称该事物属于该集和。相反，我们说一个事物不属于某集和，就意味着这个事物不出现在该集和中，或者说该事物不符合该集和的共性。
一般的有用的集和都要含有一些元素，但也有不包含任何元素的集和，称作“空集”，地位相当于数字中的0。
集和与集和之间有一定的包含关系。如果集和A的所有元素，都是集和B的元素，那就称A是B的子集。也就是说，集和B的范围涵盖了集和A的范围。比如集和A是“所有小于1的整数”，集和B是“所有小于4的整数”，于是A是B的子集，因为A中每一个整数都是B中的元素。B比A还多出3个元素：1、2和3。
但是要注意，“子集”相当于数字中的小于等于号，比如一个集和也是它自身的子集，因为它符合子集的定义。这样一来，就可以定义两个集和相等了：如果集和A和B相互是对方的子集，那么A与B相等。就好象两个数x和y，如果x<=y，同时y<=x，于是x=y。
如果A是B的子集，而B不是A的子集，那么称A是B的“真子集”，相当于数字中的小于号。
空集是任何集和的子集，是任何非空集和的真子集。
对于集和，还有一个很关键的概念：集族。
一个集和的元素可以是任何东西，包括集和。于是一堆集和所构成的集和，称为“集族”。集族的每一个元素都是一个集和。每一个元素（集和）的元素数量可以是任意的。
任何一个集和都有一个很特殊的集族：一个集和有很多个子集，对于有限集来说，可以通过排列组合来计算出子集的个数。所有的子集所构成的集族，就称为该集和的子集族。举一个简单的例子，一个集和A={1,2}，于是A有4个子集：空集、{1}、{2}、{1,2}。那么集和A的子集族={空集、{1}、{2}、{1,2}}。集和A的子集族用记号2^A来表示，具有这么奇怪的记号，是因为一个含有n个元素的集和，其子集的个数就是2^n个。仅此而已。
关于集和的一些简单术语。
集和中的每一个事物，都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”。集和根据元素的个数，可以分为两大类：有限集和，和无限集和。前者拥有有限个数的元素，后者则有无限个元素。对于有限集和，可以用穷举法把每一个元素都列出来。而对于无限集和，无法用穷举法了，只能用描述元素共性的方式来表达了。
当一个事物是一个集和中的元素的话，我们就称该事物属于该集和。相反，我们说一个事物不属于某集和，就意味着这个事物不出现在该集和中，或者说该事物不符合该集和的共性。
一般的有用的集和都要含有一些元素，但也有不包含任何元素的集和，称作“空集”，地位相当于数字中的0。
集和与集和之间有一定的包含关系。如果集和A的所有元素，都是集和B的元素，那就称A是B的子集。也就是说，集和B的范围涵盖了集和A的范围。比如集和A是“所有小于1的整数”，集和B是“所有小于4的整数”，于是A是B的子集，因为A中每一个整数都是B中的元素。B比A还多出3个元素：1、2和3。
但是要注意，“子集”相当于数字中的小于等于号，比如一个集和也是它自身的子集，因为它符合子集的定义。这样一来，就可以定义两个集和相等了：如果集和A和B相互是对方的子集，那么A与B相等。就好象两个数x和y，如果x<=y，同时y<=x，于是x=y。
如果A是B的子集，而B不是A的子集，那么称A是B的“真子集”，相当于数字中的小于号。
空集是任何集和的子集，是任何非空集和的真子集。
对于集和，还有一个很关键的概念：集族。
一个集和的元素可以是任何东西，包括集和。于是一堆集和所构成的集和，称为“集族”。集族的每一个元素都是一个集和。每一个元素（集和）的元素数量可以是任意的。
任何一个集和都有一个很特殊的集族：一个集和有很多个子集，对于有限集来说，可以通过排列组合来计算出子集的个数。所有的子集所构成的集族，就称为该集和的子集族。举一个简单的例子，一个集和A={1,2}，于是A有4个子集：空集、{1}、{2}、{1,2}。那么集和A的子集族={空集、{1}、{2}、{1,2}}。集和A的子集族用记号2^A来表示，具有这么奇怪的记号，是因为一个含有n个元素的集和，其子集的个数就是2^n个。仅此而已。
集和的一些运算
加法运算：集和的并。
两个集和可以“合并”起来成为一个集和，新的集和拥有原来两个集和中所有的元素。相当于数学中的加法。新的集和，称为原始俩集和的并集。
集和的交。
把两个集和中重复出现的元素提取成一个新的集和，称为两个集和的交集。交集中的每一个元素，都同时出现在原来的两个集和中。任何一个只出现在一个集和而没有出现在另一个集和中的元素，都不被提取。称这个新的集和为那两个集和的交集。
当两个进行交运算的集和之间没有任何共有的元素，那么交的结果就是空集。
减法运算：集和的补。
把两个集和A、B中的一个（比如说A）的元素中，划去所有属于另一个集和（B）的元素，称为在A中的B的补集。比如集和A={所有人类}，B={所有男人}，于是在A中，B的补集就是A-B={所有非男人}。
三种运算可以连续施加，就好象可以连续进行多个加法、减法一样。这些运算满足交换律、结合律和分配律。
对于上述三个运算，有一个很强大的定律：De Morgan定律。
并集后的补集=各自补集的交集；
交集后的补集=各自补集的并集。
这里给出第一式的证明：
重新描述问题：设集和X有两个子集A和B，于是A和B的并集，在X中的补集X-(A并B)就等于A在X中的补集X-A，与B在X中的补集X-B的交集：
X-(A并B)=(X-A)交(X-B)
证明：
（思路）只要证明等号左边的所有元素都是等号右边的元素，同时右边的所有元素也是左边的元素即可。
设一个元素x属于X-(A并B)，根据补集的概念，意味着x属于X，但x却不属于A并B。
既然x不属于A并B，那也意味着x不属于A，同时也不属于B，否则只要x出现在A和B的任何一个当中，x就属于A并B了。
x属于X，而不属于A，意味着x属于X-A；同时，x也属于X-B。
根据交集的定义，于是x属于(X-A)交(X-B)。即等号左边的每一个元素都属于等号右边。
一个方向证明完毕，现在证明另一个方向：
设y属于等号右边，根据交集的定义，即y属于X-A，同时y属于X-B。
y属于X-A，意味着y属于X，但y不属于A。同时，y属于X-B，意味着y属于X，但y不属于B。
这就是说，y属于X，但y不属于A也不属于B，于是y也不属于A和B的并集了。即y属于X-(A并B)。
完毕。
集和的基本内容基本上就这些了。
加法运算：集和的并。
两个集和可以“合并”起来成为一个集和，新的集和拥有原来两个集和中所有的元素。相当于数学中的加法。新的集和，称为原始俩集和的并集。
集和的交。
把两个集和中重复出现的元素提取成一个新的集和，称为两个集和的交集。交集中的每一个元素，都同时出现在原来的两个集和中。任何一个只出现在一个集和而没有出现在另一个集和中的元素，都不被提取。称这个新的集和为那两个集和的交集。
当两个进行交运算的集和之间没有任何共有的元素，那么交的结果就是空集。
减法运算：集和的补。
把两个集和A、B中的一个（比如说A）的元素中，划去所有属于另一个集和（B）的元素，称为在A中的B的补集。比如集和A={所有人类}，B={所有男人}，于是在A中，B的补集就是A-B={所有非男人}。
三种运算可以连续施加，就好象可以连续进行多个加法、减法一样。这些运算满足交换律、结合律和分配律。
对于上述三个运算，有一个很强大的定律：De Morgan定律。
并集后的补集=各自补集的交集；
交集后的补集=各自补集的并集。
这里给出第一式的证明：
重新描述问题：设集和X有两个子集A和B，于是A和B的并集，在X中的补集X-(A并B)就等于A在X中的补集X-A，与B在X中的补集X-B的交集：
X-(A并B)=(X-A)交(X-B)
证明：
（思路）只要证明等号左边的所有元素都是等号右边的元素，同时右边的所有元素也是左边的元素即可。
设一个元素x属于X-(A并B)，根据补集的概念，意味着x属于X，但x却不属于A并B。
既然x不属于A并B，那也意味着x不属于A，同时也不属于B，否则只要x出现在A和B的任何一个当中，x就属于A并B了。
x属于X，而不属于A，意味着x属于X-A；同时，x也属于X-B。
根据交集的定义，于是x属于(X-A)交(X-B)。即等号左边的每一个元素都属于等号右边。
一个方向证明完毕，现在证明另一个方向：
设y属于等号右边，根据交集的定义，即y属于X-A，同时y属于X-B。
y属于X-A，意味着y属于X，但y不属于A。同时，y属于X-B，意味着y属于X，但y不属于B。
这就是说，y属于X，但y不属于A也不属于B，于是y也不属于A和B的并集了。即y属于X-(A并B)。
完毕。
集和的基本内容基本上就这些了。
映射。
映射是集和间对应的法则，通过映射，我们可以从一个集和的一个或者几个元素，找到另一个集和中相应的若干个元素。函数是一种特殊的映射：仅仅针对数字而言。
用映射来看看一些有趣的函数概念，是很有意思的。比如对于一元一次函数，就是把一堆数字中的一个数字，对应到另一堆数字中的一个数字。如果我们把这两堆数字各自按大小顺序排列成两条直线，并把这两条直线相互垂直地摆放，同时把两条直线相交的地方放在各自数字0的地方，于是我们得到了一个平面解析几何常用的直角坐标系。每一条线（一堆数字排列）都是一个集和。函数就是联系这两个集和的一套对应法则，一个函数，也就是一套法则，在这个直角坐标系中以我们熟知的方式表现为一条曲线。我们称这样的函数为一个R到R的映射，R表示实数集，函数把一个实数集映射到另一个实数集。还有这样的集和，其中每一个元素是由两个数字组成的一个数字对。如果这样的两个数字都是取自于实数集R，那么我们说这个实数对取自于一个R^2集和，就是由2个R集和元素构成的数对。那么从一个实数对(x,y)对应到另一个实数(z)的映射，或者所谓的二元函数z=f(x,y)，就是从R^2对应到R的映射。类似地，可以有三元函数、多元函数，分别从R^n集映射到R集。还可以从R^n集映射到R^m集，意味着一组由m个n元函数组成的方程组，也是一个映射。
映射中的一些概念。
一个映射f从集和A映射到集和B，指的是对于每一个集和A中的元素a，都由映射f指定了一系列元素f(a)与之对应。那么称f(a)为元素a在映射f下的像，a称为元素f(a)在映射f下的逆像。集和A称为映射f的定义域，集和B称为映射f的值域。在一元一次函数这样的映射中，都是从实数集R映射到实数集R，所以这样的映射的定义域和值域是相同的。但对于某些其他映射来说，定义域与值域往往是不同的，比如从R^2映射到R就是不同的。
如果一个映射的定义域的像，与其值域是一致的，就称该映射为“到上的”，或者“满的”映射。其含义可以理解为对于B这个集和（值域集）中的每一个元素，都有逆像存在，而且可以有不止一个逆像。也就是说，满射的映射规定了值域集（B集）中不存在无法用该映射对应的元素，即该映射满满地对应着值域集和中的每一个元素。
如果一个映射的值域集（B集）中的每一个元素，其逆像最多只有一个元素，称这样的映射为“单射”，或者是“一一映射”、“一对一映射”。这里的意思是，对于A集中的不同元素，通过映射，只能对应到不同的像，不存在两个元素同时对应到同一个像。单射并不要求覆盖整个A集，A集中可以存在映射不起作用的元素。但是一旦映射起了作用，必须是一对一的对应关系，而不能是二对一、三对一。
如果一个映射既是满射，又是单射，称之为“双射”，即符合两个条件的映射。
一元函数有很多双射，但是像抛物线y=x^2这样的函数，就不是双射了，因为这个函数不是一一映射，比如2和-2同时对应着4这个像。而类似于y=x^3这样的奇次幂的函数都是双射。
一个映射f将集和A映射到集和B，那么反过来的映射，称为f映射的逆映射f^-1。f的定义域就是f^-1的值域；f的值域就是f^-1的定义域。
作为一一映射的一个特殊情况，就是单值映射，这种映射作用于A集和的每一个元素，没有遗漏。同时符合一一映射的条件：A中不同的元素，对应着B中不同的像元素。
如果一个映射，从A集和的一个元素a，映射到B集和的多个元素f(a)，那么f(a)就是B集和的一个子集。而B集和的一个子集，都是B集和子集族2^B中的一个元素（集族的元素是集和），这样就把这种多值映射转换成了一个单值映射：从原本的一对多（元素对元素）的映射，转换成了一个一对一（元素到集和）的映射。
对于映射，还需要指出：映射的定义域和值域都必须是确切已知的，也就是说必须是确定的集和；而且映射的对应规则必须是唯一不变的。
离开数学的语言来看，那么映射就是一些“XX是XX”、“如果这样，那么那样”之类的普通语言，所以说，数学中的映射，是一种可以十分准确地描述事情关系的语言。
映射是集和间对应的法则，通过映射，我们可以从一个集和的一个或者几个元素，找到另一个集和中相应的若干个元素。函数是一种特殊的映射：仅仅针对数字而言。
用映射来看看一些有趣的函数概念，是很有意思的。比如对于一元一次函数，就是把一堆数字中的一个数字，对应到另一堆数字中的一个数字。如果我们把这两堆数字各自按大小顺序排列成两条直线，并把这两条直线相互垂直地摆放，同时把两条直线相交的地方放在各自数字0的地方，于是我们得到了一个平面解析几何常用的直角坐标系。每一条线（一堆数字排列）都是一个集和。函数就是联系这两个集和的一套对应法则，一个函数，也就是一套法则，在这个直角坐标系中以我们熟知的方式表现为一条曲线。我们称这样的函数为一个R到R的映射，R表示实数集，函数把一个实数集映射到另一个实数集。还有这样的集和，其中每一个元素是由两个数字组成的一个数字对。如果这样的两个数字都是取自于实数集R，那么我们说这个实数对取自于一个R^2集和，就是由2个R集和元素构成的数对。那么从一个实数对(x,y)对应到另一个实数(z)的映射，或者所谓的二元函数z=f(x,y)，就是从R^2对应到R的映射。类似地，可以有三元函数、多元函数，分别从R^n集映射到R集。还可以从R^n集映射到R^m集，意味着一组由m个n元函数组成的方程组，也是一个映射。
映射中的一些概念。
一个映射f从集和A映射到集和B，指的是对于每一个集和A中的元素a，都由映射f指定了一系列元素f(a)与之对应。那么称f(a)为元素a在映射f下的像，a称为元素f(a)在映射f下的逆像。集和A称为映射f的定义域，集和B称为映射f的值域。在一元一次函数这样的映射中，都是从实数集R映射到实数集R，所以这样的映射的定义域和值域是相同的。但对于某些其他映射来说，定义域与值域往往是不同的，比如从R^2映射到R就是不同的。
如果一个映射的定义域的像，与其值域是一致的，就称该映射为“到上的”，或者“满的”映射。其含义可以理解为对于B这个集和（值域集）中的每一个元素，都有逆像存在，而且可以有不止一个逆像。也就是说，满射的映射规定了值域集（B集）中不存在无法用该映射对应的元素，即该映射满满地对应着值域集和中的每一个元素。
如果一个映射的值域集（B集）中的每一个元素，其逆像最多只有一个元素，称这样的映射为“单射”，或者是“一一映射”、“一对一映射”。这里的意思是，对于A集中的不同元素，通过映射，只能对应到不同的像，不存在两个元素同时对应到同一个像。单射并不要求覆盖整个A集，A集中可以存在映射不起作用的元素。但是一旦映射起了作用，必须是一对一的对应关系，而不能是二对一、三对一。
如果一个映射既是满射，又是单射，称之为“双射”，即符合两个条件的映射。
一元函数有很多双射，但是像抛物线y=x^2这样的函数，就不是双射了，因为这个函数不是一一映射，比如2和-2同时对应着4这个像。而类似于y=x^3这样的奇次幂的函数都是双射。
一个映射f将集和A映射到集和B，那么反过来的映射，称为f映射的逆映射f^-1。f的定义域就是f^-1的值域；f的值域就是f^-1的定义域。
作为一一映射的一个特殊情况，就是单值映射，这种映射作用于A集和的每一个元素，没有遗漏。同时符合一一映射的条件：A中不同的元素，对应着B中不同的像元素。
如果一个映射，从A集和的一个元素a，映射到B集和的多个元素f(a)，那么f(a)就是B集和的一个子集。而B集和的一个子集，都是B集和子集族2^B中的一个元素（集族的元素是集和），这样就把这种多值映射转换成了一个单值映射：从原本的一对多（元素对元素）的映射，转换成了一个一对一（元素到集和）的映射。
对于映射，还需要指出：映射的定义域和值域都必须是确切已知的，也就是说必须是确定的集和；而且映射的对应规则必须是唯一不变的。
离开数学的语言来看，那么映射就是一些“XX是XX”、“如果这样，那么那样”之类的普通语言，所以说，数学中的映射，是一种可以十分准确地描述事情关系的语言。
关于卡氏积。
卡氏积又称为“直积”，指的是从两个集和A和B中各取一个元素所组成的元素对。很显然，卡氏积是一个运算，也是一个映射。如果把A、B这两个集和取为表现为坐标轴的实数集上的一个区间，比如都是[0,1]区间，那么这两个实数区间的卡氏积的像集就是一个正方形区域。这是一个从两个实数集映射到一个实数对集的映射。
如果集和A是实数集全体，集和B是一个圆周，那么他们的卡氏积将映射为一个圆柱面：对于每一个集和A的元素（一个实数），都配上一个圆周。所有这些圆周合起来就是一个圆柱面。如果集和A也是圆周的话，那么卡氏积的结果就是一个圆环面。
任何集和和空集进行的卡氏积，结果都是空集。
形象地说，空间=平面与直线的卡氏积，平面=直线与直线的卡氏积，于是空间=3根直线的卡氏积，也就是直线集和的“3次方”。所以一般用R表示直线，R平方表示平面，R三次方表示空间。R四次方表示四维空间……对于四维空间及以上维数的空间，我们想象不出来，但是实际上存在这样的概念，只不过不是直接的空间概念：
对于咱们的大脑皮质来说，由100亿个神经元组成，每个神经元通过“突触”与大约1000个神经元连接在一起。神经元在不同时刻有不同的兴奋度，最兴奋的状态，我们可以描述为1，最不兴奋的状态描述为0，于是一个神经元的状态值就可以叙述为在[0,1]区间内的一个点t。我们把所有神经元编号，于是对于第i个神经元，它的兴奋度描述为t(i)。那么对于100亿个神经元全体来说，我们可以用100亿个实数组成的实数对（t(1)、t(2)、...、t(100亿)）来描述，这就是一个100亿次的卡氏积，对应着100亿维空间……当100亿个神经元都处于0状态，即全体状态为（0,0,...,0），意味着休眠；全状态为（1,1,...,1）意味着……大脑全力运转。
卡氏积的难点在于对集族进行卡氏积，据说不需要学，就不学了吧。
卡氏积又称为“直积”，指的是从两个集和A和B中各取一个元素所组成的元素对。很显然，卡氏积是一个运算，也是一个映射。如果把A、B这两个集和取为表现为坐标轴的实数集上的一个区间，比如都是[0,1]区间，那么这两个实数区间的卡氏积的像集就是一个正方形区域。这是一个从两个实数集映射到一个实数对集的映射。
如果集和A是实数集全体，集和B是一个圆周，那么他们的卡氏积将映射为一个圆柱面：对于每一个集和A的元素（一个实数），都配上一个圆周。所有这些圆周合起来就是一个圆柱面。如果集和A也是圆周的话，那么卡氏积的结果就是一个圆环面。
任何集和和空集进行的卡氏积，结果都是空集。
形象地说，空间=平面与直线的卡氏积，平面=直线与直线的卡氏积，于是空间=3根直线的卡氏积，也就是直线集和的“3次方”。所以一般用R表示直线，R平方表示平面，R三次方表示空间。R四次方表示四维空间……对于四维空间及以上维数的空间，我们想象不出来，但是实际上存在这样的概念，只不过不是直接的空间概念：
对于咱们的大脑皮质来说，由100亿个神经元组成，每个神经元通过“突触”与大约1000个神经元连接在一起。神经元在不同时刻有不同的兴奋度，最兴奋的状态，我们可以描述为1，最不兴奋的状态描述为0，于是一个神经元的状态值就可以叙述为在[0,1]区间内的一个点t。我们把所有神经元编号，于是对于第i个神经元，它的兴奋度描述为t(i)。那么对于100亿个神经元全体来说，我们可以用100亿个实数组成的实数对（t(1)、t(2)、...、t(100亿)）来描述，这就是一个100亿次的卡氏积，对应着100亿维空间……当100亿个神经元都处于0状态，即全体状态为（0,0,...,0），意味着休眠；全状态为（1,1,...,1）意味着……大脑全力运转。
卡氏积的难点在于对集族进行卡氏积，据说不需要学，就不学了吧。
在集和中引入一个叫做“拓扑”的构造，目的是用来考察映射的连续性以及可微性。这样，对于一般的集和，也可以进行如数字那样的高度运算和处理。目前对集和有两种发展：在集和中导入代数运算，就形成了集和的代数。在集和中导入“拓扑”，就形成了一种几何学，即“拓扑几何”。
那什么是“拓扑结构”呢？它的表现形式是啥？为啥导入它就能够形成几何学呢？这些问题要慢慢来体会。
数字与几何学的接合处，有一个关键的概念，就是“连续性”。数字可以连续地排列，连续排列好的数字构成了一个数集。拓扑的概念是为了推广这种数的连续性到一般的集和中，也即把“连续”这个数的概念推广到一般的概念。
先看看在数的领域中，是如何搞“连续”这个概念的。
在高数中，函数的连续定义可以认为是一个函数在所有点的左极限和右极限相等。左极限、右极限具有方向性，这牵涉到一个很本质的概念：数列的收敛。
我们可以用ε-δ语言来定义数列的收敛性：一个数列f(n)在n0位置收敛，意味着对于任何一个大于0的ε来说，总存在一个大于0的δ，当n>n0的时候，|f(n)-f(n0)|都小于ε。我们在函数的极限那里也看到了类似的定义，本质是一样的：一个收敛的东西，在收敛点附近，随着自变量（数列索引）不断靠近收敛点，函数值（数列值）总是一起逐渐靠近收敛点的函数值。在这里的“靠近”的意思含有“值与收敛值的差越来越趋近于0”的意思。
满足这种定义的数列和函数，具有收敛的效果。收敛意味着存在一个极限，也意味着数列和函数的值，不是处于“震荡”的状态，而是处于一种稳定的状态。比如数列1/1，1/2，1/3，...，1/n就是收敛的。
在这里能够明显地体会到“距离”的影响。那些“靠近”、“差值”字眼都是距离概念的具体表现。想像一下，如果抽掉距离概念，这些字眼将还留下什么意义：没有距离，何谓“靠近”？而“差值”这个字眼则直接是实数集中距离的定义，越来越靠近，就是差值越来越小。
拓扑就是抽掉了距离概念后，为了继续维持“连续”定义而引入的一个东西。
数的连续性是以“距离”概念为基础的。下面就要看看“距离”概念的本质含义是什么，如果找到了这些本质的东西，就能对这些东西进行合理的推广，而实现“没有距离概念也要有连续的定义”这个目标。
那什么是“拓扑结构”呢？它的表现形式是啥？为啥导入它就能够形成几何学呢？这些问题要慢慢来体会。
数字与几何学的接合处，有一个关键的概念，就是“连续性”。数字可以连续地排列，连续排列好的数字构成了一个数集。拓扑的概念是为了推广这种数的连续性到一般的集和中，也即把“连续”这个数的概念推广到一般的概念。
先看看在数的领域中，是如何搞“连续”这个概念的。
在高数中，函数的连续定义可以认为是一个函数在所有点的左极限和右极限相等。左极限、右极限具有方向性，这牵涉到一个很本质的概念：数列的收敛。
我们可以用ε-δ语言来定义数列的收敛性：一个数列f(n)在n0位置收敛，意味着对于任何一个大于0的ε来说，总存在一个大于0的δ，当n>n0的时候，|f(n)-f(n0)|都小于ε。我们在函数的极限那里也看到了类似的定义，本质是一样的：一个收敛的东西，在收敛点附近，随着自变量（数列索引）不断靠近收敛点，函数值（数列值）总是一起逐渐靠近收敛点的函数值。在这里的“靠近”的意思含有“值与收敛值的差越来越趋近于0”的意思。
满足这种定义的数列和函数，具有收敛的效果。收敛意味着存在一个极限，也意味着数列和函数的值，不是处于“震荡”的状态，而是处于一种稳定的状态。比如数列1/1，1/2，1/3，...，1/n就是收敛的。
在这里能够明显地体会到“距离”的影响。那些“靠近”、“差值”字眼都是距离概念的具体表现。想像一下，如果抽掉距离概念，这些字眼将还留下什么意义：没有距离，何谓“靠近”？而“差值”这个字眼则直接是实数集中距离的定义，越来越靠近，就是差值越来越小。
拓扑就是抽掉了距离概念后，为了继续维持“连续”定义而引入的一个东西。
数的连续性是以“距离”概念为基础的。下面就要看看“距离”概念的本质含义是什么，如果找到了这些本质的东西，就能对这些东西进行合理的推广，而实现“没有距离概念也要有连续的定义”这个目标。
我要是能做老师，对我来说是很幸福的。。。
我记得我大学时候老师们上课，有的是照着教材念，结果慢慢这些课我就开逃了，上了也白上，不如自己看书。有的老师就很好地解释一些难以一下子看明白的地方，这些课我从来不逃，逃了的话我会跟不上进度。跑图书馆的目的，除了找一个安静的环境看书做作业外，就是找书架上的那些专门提点学生们怎么去理解一些关键问题的辅导书。
拓扑教材我看了好几本，几乎全部都是从公理的角度阐述定义、给出定理、证明定理，而且还几乎都完全一样。这么多书，只要有一本就行了。只有一本拓扑教材（或许不该叫教材吧），名称是《拓扑学的基础和方法》，是一个叫“野口宏”的日本鬼子写的，就是按照理解的顺序一步一步引入拓扑概念，然后再根据逻辑关系慢慢地提出整个拓扑。我是看了这本书才把握了拓扑是啥东西，然后看了梁老师那本教材的开头，才终于理解了为啥要引入拓扑，拓扑与几何是啥关系。
我记得我大学时候老师们上课，有的是照着教材念，结果慢慢这些课我就开逃了，上了也白上，不如自己看书。有的老师就很好地解释一些难以一下子看明白的地方，这些课我从来不逃，逃了的话我会跟不上进度。跑图书馆的目的，除了找一个安静的环境看书做作业外，就是找书架上的那些专门提点学生们怎么去理解一些关键问题的辅导书。
拓扑教材我看了好几本，几乎全部都是从公理的角度阐述定义、给出定理、证明定理，而且还几乎都完全一样。这么多书，只要有一本就行了。只有一本拓扑教材（或许不该叫教材吧），名称是《拓扑学的基础和方法》，是一个叫“野口宏”的日本鬼子写的，就是按照理解的顺序一步一步引入拓扑概念，然后再根据逻辑关系慢慢地提出整个拓扑。我是看了这本书才把握了拓扑是啥东西，然后看了梁老师那本教材的开头，才终于理解了为啥要引入拓扑，拓扑与几何是啥关系。
既然教材上有完整的、系统的拓扑学体系知识，那还要老师干嘛？还要上课干嘛？看书自学就可以了嘛。老师上拓扑课的时候，我才不信老师们从来不说一些教材上隐晦不语、让学生们自悟的内容。
梁老师看来是一个经验丰富的老师，所以他在教材中才可以精炼地写出学生们最难以把握的内容，而且一看就能够融会贯通。
拓扑学很抽象，任何形式的“具体形象”都会限制对拓扑学的完整的理解，所以举例子只是一个提示的手段，而不是一个“到此为止即可”的绊路石。你看梁老师的那本书，里面的例子都是具有启发意义的，都是“看了这个例子可以更好地理解”的。
学拓扑更重要的是要会举一反三，自己去想象一些符合要求的案例。集和的概念是抽象的，我们可以想象一些具体的东西来看看这些集和的结论是怎样用在具体事物上的，多想一些，就能多理解一些。id=“拉普拉斯”的强人曾经跟我说过，学拓扑，学微分几何，最忌画图。因为画出来的二维透视图，都限制了最接近真实的想象。
梁老师看来是一个经验丰富的老师，所以他在教材中才可以精炼地写出学生们最难以把握的内容，而且一看就能够融会贯通。
拓扑学很抽象，任何形式的“具体形象”都会限制对拓扑学的完整的理解，所以举例子只是一个提示的手段，而不是一个“到此为止即可”的绊路石。你看梁老师的那本书，里面的例子都是具有启发意义的，都是“看了这个例子可以更好地理解”的。
学拓扑更重要的是要会举一反三，自己去想象一些符合要求的案例。集和的概念是抽象的，我们可以想象一些具体的东西来看看这些集和的结论是怎样用在具体事物上的，多想一些，就能多理解一些。id=“拉普拉斯”的强人曾经跟我说过，学拓扑，学微分几何，最忌画图。因为画出来的二维透视图，都限制了最接近真实的想象。
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山乃柠檬
- 血染图腾
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针对楼上，如果我能做老师，那么我一定做大学物理老师，因为我暂时还不能很好地、完全地掌握理论物理的内容，但我不希望被人“带领”，因为主任是出题的，所以这样是要被人牵鼻子走的。那么自己当主任是最好的，不用具体哪本教材，自己印发讲义，自己阐述物理。
说得好！！赞你那句“ 好的老师是有一滴水都能倒给学生的人，而不是有一桶水却一滴都倒不出来的”。。。但也要考虑到教学过程中让学生自主思考，培养独立思考能力方面的机会，但是如果到最后到死都不肯把肚子里的那些水全部倒出来的话，那就是叫兽了。。。
距离概念在简单的一维实数集上定义为坐标差的绝对值，在二维平面上定义为坐标差的平方和的开根……反正是一系列坐标差的函数。所以我们的这些距离概念中，基础的内容就是坐标差，所以我们来看看一维实数集中坐标差的含义。
能够用坐标差来表示距离概念，是通过我们在实数集上，把所有实数都按照大小顺序进行了排列来实现的。如果一根数轴上的数字并不是按照大小来排列好的话，那么坐标差就完全无法体现距离概念了。再深入下去想一下的话，我们会发现，对数字进行排列，其实是对数字进行编号，编号越大的数字，排在越靠近“大”的方向。于是，距离概念其实就是编号与编号之间的差异值了。这样一来，就算我们不按照大小顺序排列，我们对数字进行一个随意排列，只要对每一个数字都编好号，我们也可以对任意两个数字进行“距离计算”：距离=编号差的绝对值。
现在暂时把视角转换到集和上来，看看集和中的元素（不一定是数字了）之间是否也能以此来搞搞距离概念。
其实也一样，只要把所有元素都编个号，我们就可以定义任意两个元素之间的“距离”了。然而这个“距离”，与现实中的距离已经有了差异，或者说集和中的“距离”，比现实中的距离概念要更广泛。
然而我们在把上面这种编号法用到二维平面上，就会发现是行不通的了。二维平面是一个集和，其中每一个元素都是一个由两个数字构成的实数对。那么我们该如何对任何一个实数对进行编号呢？编号只能从一个方向进行，而二维平面是有两个坐标方向的。比如我们对(1,1)这个数对编号为5，那么我们对(1,2)该如何编号？对(2,1)又该如何编号？无法编号！这里的根本含义是：实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？这说不出来的。
同样，对集和中的元素来说，“大小”是无关紧要的概念，于是“距离”也是无关紧要的概念。比如对一个集和={A,B,C,D}来说，这个集和只是罗列了四个元素，并没有说一定要按照A->B->C->D这个顺序排列，{A,B,C,D}与{B,A,D,C}是完全一样的集和。任何含有且仅含有这四个元素的集和，都是相等的。
于是，我们在实数集（数轴）中，把元素按照一定顺序排列的做法，就是一种十分特殊的情况了。只有那种其元素本身具有大小属性的集和，才能自然地排列、编号、定义距离。在一般的集和中，无法也无必要进行这些操作。
现在回到“连续性”的问题上来。集和中不需要定义距离概念，那么集和中可以有“连续”的概念吗？可以！为何要在集和中搞出“连续”概念呢？因为我们要把集和与几何结合起来。
数轴上的连续性，是使用距离来定义的，回顾一下那个ε-δ定义，就是用坐标差（距离）来定义的。而且后来所用到的“开区间”这个新的表现形式，本质上还是使用距离这个定义的。
“连续”这个概念，可以用“开区间”来定义。后面会推广“开区间”这个概念到“开集”，所以这里提前说，“连续”概念可以用“开集”来定义。
能够用坐标差来表示距离概念，是通过我们在实数集上，把所有实数都按照大小顺序进行了排列来实现的。如果一根数轴上的数字并不是按照大小来排列好的话，那么坐标差就完全无法体现距离概念了。再深入下去想一下的话，我们会发现，对数字进行排列，其实是对数字进行编号，编号越大的数字，排在越靠近“大”的方向。于是，距离概念其实就是编号与编号之间的差异值了。这样一来，就算我们不按照大小顺序排列，我们对数字进行一个随意排列，只要对每一个数字都编好号，我们也可以对任意两个数字进行“距离计算”：距离=编号差的绝对值。
现在暂时把视角转换到集和上来，看看集和中的元素（不一定是数字了）之间是否也能以此来搞搞距离概念。
其实也一样，只要把所有元素都编个号，我们就可以定义任意两个元素之间的“距离”了。然而这个“距离”，与现实中的距离已经有了差异，或者说集和中的“距离”，比现实中的距离概念要更广泛。
然而我们在把上面这种编号法用到二维平面上，就会发现是行不通的了。二维平面是一个集和，其中每一个元素都是一个由两个数字构成的实数对。那么我们该如何对任何一个实数对进行编号呢？编号只能从一个方向进行，而二维平面是有两个坐标方向的。比如我们对(1,1)这个数对编号为5，那么我们对(1,2)该如何编号？对(2,1)又该如何编号？无法编号！这里的根本含义是：实数对无法定义大小。比如(2,1)和(1,2)哪一个更大，哪一个更小？这说不出来的。
同样，对集和中的元素来说，“大小”是无关紧要的概念，于是“距离”也是无关紧要的概念。比如对一个集和={A,B,C,D}来说，这个集和只是罗列了四个元素，并没有说一定要按照A->B->C->D这个顺序排列，{A,B,C,D}与{B,A,D,C}是完全一样的集和。任何含有且仅含有这四个元素的集和，都是相等的。
于是，我们在实数集（数轴）中，把元素按照一定顺序排列的做法，就是一种十分特殊的情况了。只有那种其元素本身具有大小属性的集和，才能自然地排列、编号、定义距离。在一般的集和中，无法也无必要进行这些操作。
现在回到“连续性”的问题上来。集和中不需要定义距离概念，那么集和中可以有“连续”的概念吗？可以！为何要在集和中搞出“连续”概念呢？因为我们要把集和与几何结合起来。
数轴上的连续性，是使用距离来定义的，回顾一下那个ε-δ定义，就是用坐标差（距离）来定义的。而且后来所用到的“开区间”这个新的表现形式，本质上还是使用距离这个定义的。
“连续”这个概念，可以用“开区间”来定义。后面会推广“开区间”这个概念到“开集”，所以这里提前说，“连续”概念可以用“开集”来定义。
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