﹐ (2)
並以此作為幾何學的出發點。後來稱(2)為黎曼度量﹐這裡(g)是正定對稱陣。黎曼認識到度量(2)是加到流形上去的一個結構﹐因此﹐同一流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼以前的幾何學家只知道外圍空間的度量賦予曲面以誘導度量
﹐ (3)
即第一基本形式﹐而並未認識到曲面還可以獨立於而定義﹐可以獨立地賦予度量結構。黎曼意識到這件事是非凡的重要﹐他把誘導度量與獨立的黎曼度量兩者分開來﹐從而開創了以(2)為出發點的黎曼幾何。
维数到 18 的
-维球面上（光滑）微分结构（模去保持定向的微分同胚）数目。拓扑流形上的微分结构
上已提到，在维数小于 4 的拓扑流形上，只有一个微分结构。对维数为 1 和 2，由约翰·拉东（Johann Radon）证明；在维数为 3 是由埃德温·莫伊泽（Edwin E. Moise）证明的。利用阻碍理论，Robion Kirby 与 Laurent Siebenmann 证明了大于 4 维的紧拓扑流形上的 PL结构（PL structure）数目是有限的。约翰·米尔诺、Michel Kervaire以及 Morris Hirsch 证明了一个紧 PL 流形上的光滑结构数目是有限的且与同样维数球面上光滑结构的数目相等（参见 Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7）。将这些结论合起来，维数不等于 4 的紧拓扑流形上的光滑结构数目是有限的。
4 维复杂得多。对紧流形，结论取决于由第二个贝蒂数
衡量的流形复杂性。对大贝蒂数 
，在一个单连通 4-维流形中，可以利用沿着一个结或链环的一个割补产生一个新的微分结构。这样可以制造可数无穷多个微分结构。但即使是像 
之类的简单空间，仍然不知道其它微分结构的构造。对非紧 4-维流形有许多例子比如 
有不可数多个微分结构。学习微分几何——理解微分流形
|||
因为流形的局域象n维线性空间，所以，可对流形上的每一个点的开集建立对应的坐标系，来描述开集中的每个点的坐标。这个坐标系，就叫“坐标卡”，就是流形的局部坐标系。
理解：
1.这个坐标系只描述流形的局部（准确地说，应该是包含某点的开邻域），流形的局部本和n维线性空间同胚，所以，就可以用n维线性空间的形式来描述这个局部。
2.如果仅仅只关心点之间的顺序关系而不关心距离关系的话，本来是不需要建立局部坐标系的，只要知道点的邻域是谁，开邻域是谁（有哪些点），就OK的。
复习一下：邻域就是与一个点直接相邻的点的集合，开邻域就是包含邻域的这些点的开集的集合；“开集”就是包含[1]一些彼此相邻的点，并包含[2]这些点的外界相邻点的点集。包含[1]指作为集合的本身，包含[2]指集合的外部边界点，两个包含的含义有所不同。包含[2]是：“知道集合与谁相邻，但不包含到集合本身中来”的意思。
3.为什么又要对流形的局部引入坐标系来讨论呢？本来坐标系就是：不但规定了空间中的点的相邻（顺序）关系，而且规定了空间中的点的距离（位置）关系的一种规定。我们建立什么样的这样的规定，空间就被我们“描述”（规定）为是什么样子的。其实，物理空间就是那个本来就在那里的空间，只是我们能用不同的方式来描述它，我们就建立了不同的数学空间的概念。我们也不得不通过这样的方式来了解和认识物理空间——以便我们没准哪天就找到了某种方式恰好能简便地描述物理空间中发生的所有的事情——我们就建立了大统一的空间概念——不仅统一了不同的物理现象，而且统一了对物理空间的不同看法（各类数学空间概念）。在局部引入距离关系，只是为了说明，可以规定任意的距离关系，只是其中最简单的一种距离关系是平直均匀分布的距离关系而已。
而“点是按平直连续均匀分布的”这种对空间的看法，可以解释我们“肉眼所观察到的绝大多数”的物理现象，但不能解释许多肉眼观察不到的另一部分，说实在的，也许也是“绝大多数”的物理现象。我们得想法子，换成另外的一些对空间的不同的看法来试试，看能不能既能解释我们“肉眼所观察到的绝大多数”的物理现象，又能解释“肉眼观察不到的另一部分绝大多数”的物理现象。
而其中比较彻底的一种看法就是：先将空间看成是完全和点之间的“距离关系”无关，只和点之间“顺序关系”有关的，看能看出什么样的“空间性质”来。所谓“空间性质”，就是用这样理解的空间能来稳定地解释物理现象有什么，然后再看，定义什么样的“距离关系”，就能更广泛地解释全部的物理现象。按照爱因斯坦的广义相对论，就是可以取和“点之间的距离关系”无关的空间的概念，而且，任何的物理规律都和“取什么样的‘点之间的距离关系’的空间的概念”无关。这就说明：物理规律起作用，只和空间点之间的顺序关系有关，和空间点之间的距离是如何定义的无关。可以理解。
这里一定要注意一点：任何物理规律只是和“怎么定义距离”无关，而不是和“距离是多少”无关。这样，就从具体的“距离定义方式”中将物理规律解放出来了。这样做的目的，其实就是唯物主义的最彻底的深入：“距离”本来就是人为主观规定的，物理规律作为客观实在，不会因为我们这样规定距离，或是那样规定距离而变得不同。同时，也是对我们的物理思想的重大解放：我们可以放开思路，摆脱任何的主观规定来研究物理现象的本质。而物理现象的本质，似乎就是“空间中相互作用的点只需要按点之间的相邻顺序关系来传播”就够了。
而“点之间相邻的顺序关系”就是最后的、不以人的意志为转移的关系了吗？
也就是：
世界的原貌，就是保持一种相邻点的顺序关系的样子？如果我们改变了点之间的相邻顺序关系，我们就改变了世界本身，而不是仅仅改变我们对世界的看法，而“距离关系”，则不具有这样的“唯物”地位？——我们已经没有办法采取另外的方式来定义“顺序关系”了？——如果世界再与“顺序是怎么定义的”无关的话，我们就不需要来了解和认识这个世界了......。？
（停顿思考良久）
说的也是：这个世界，并不会因为是为了“需要我们去认识和了解它”而存在的。只是因为我们想去认识和了解这个世界，我们最少要规定的，就是：点之间的顺序关系——这依然是主观的规定。
真正的物理规律，是和“怎么定义点之间的顺序关系”也无关的。——不是说和“点之间的顺序关系是怎样的”无关。而是和无论采用什么方式来定义顺序无关，只要定义了一种顺序，就得到一种物理规律的描述，定义另一种顺序，就得到另一个描述，所有的描述，都是描述同一个物理现象。——也不是不可知论，而是意味着：有没有一种“顺序度规”？
虽然，小差开远了一点，但很有意思。
开完小差回来再看微分流形的定义，应该理解起来会轻松一点了。
先要理解“坐标卡集”：坐标卡集，就是“把一个流形全部映射到n维线性空间上需要的坐标卡”组成的集合。其实就是一个函数的集合，里面的每一个函数都负责把流形上的一个开邻域变换对应到n维线性空间的一个开集上去，看要几个这样的函数，才能完成整个流形的变换。
说到坐标卡集，就会提到“相容”问题：因为同一个坐标卡，相当于把一个流形的“部分曲面”，“摊平”到一个“平直平面”上去的函数变换，那么，多个坐标卡之间就可能存在相叠交的现象，也就是，相同部分的流形曲面可能分别在不同的坐标卡上得到变换，那么，在不同的变换之间，变换的结果应该“相容”。“相容”的意思，就是：用一个坐标卡变换过来的结果，可以用另一个坐标卡变换的逆变换变回去，对应的流形的部分还是一样的。
相容的问题，还可以理解为是“接轨”的问题：假设有两条平直的轨道要平滑地折弯对接，折弯后有相互重叠的部分，如果完全一致，就能平滑地对接完好，如果稍有不一致，就对接不好。对接的好不好，够不够平滑，就存在一个评测的办法。评测的结果，就是“相容性”的好坏。如果是弯曲的轨道对接，轨道当成曲线，只要两段曲线一致的k阶导数的k值越大，对接就越光滑。
流形是n维的“曲面”，要使不同的部分之间平滑地对接，当然，就是不同的变换函数的一致的偏导数阶次越高越好。这就叫C^k相容。
坐标卡集还有一个名字叫“开覆盖”，说得形象一点（当然就不十分严格），开覆盖，就好像用很多块本来平直的不锈钢皮，敲弯了，覆盖在一个海豚模型的表面，制成一个不锈钢海豚的雕塑。那些敲弯了的不锈钢皮集合，就是一个“海豚表面流形”的开覆盖。举这个例子，是因为我家住的花园前正好有这样一组雕塑，我天天上下班从它之前经过。
其中“不严格”之处并不多，仅仅在于每块不锈钢皮的边界部分，实际的不锈钢皮是“闭集”而不是“开集”。这“敲弯”的方法，就是变换函数，如果每块不锈钢皮的叠交部分的弯曲的“变化率的变化率的变化率的...（K阶）”都是一样的。那么，构造出来的“海豚表面”就是C^k相容的。
这么费劲理解C^k相容，是为了理解流形的C^k微分结构.
如果一个流形的开覆盖中的所有坐标卡组成一个集合，如果在这个集合中，任意两个坐标卡之间能够存在C^k相容的这样的坐标卡组成了另一个集合。当然，后一个集合是前一个集合的子集，那么，后一个集合就叫流形的C^k微分结构的基。或称是流形的C^k坐标卡集。
“具有C^k微分结构的拓扑流形M，即具有C^k坐标卡集等价类的流形，称为C^k流形。当流形M上给定了一个C^∞微分结构，则称流形M为光滑流形，或称微分流形。”
天啊，我原来以为只要一阶导数能对接就是光滑的了，呵呵，远不够了，要无穷阶导数能对接，才叫“光滑”啊！
啥意思，就是敲不锈刚皮要按无穷道工序来敲，每道工序保证下一道工序敲的“变化率的变化率”是一致的。啥叫“变化率的变化率”，“每延伸1mm敲弯1度”，这只叫“变化率”，对这个变化率再设定：每次变化后变化率调整1度，这就叫变化率的变化率，也就是变化率要每做1次变化率的变化,变化率要依次变为1，2，3，...。，这只是两层的变化率的控制，要做到光滑，要按无穷多个层次来规定“变化率的变化率的变化率的变化率...”是一致的。这样敲出来的不锈钢皮之间的连接，才能叫“光滑”。总之，这样拼出来的海豚雕塑，才是一个“微分流形”。
如果只是在大脑里想象一下如何雕出这个海豚的方法，还是不难的。难的只是想象这个过程怎么做和做出来的结果确切是啥样，大概是啥样也不难想象，我想，凭我们大脑的形象思维能力，是区分不了2和3阶相容流形的区别的，更别说区分C^∞的微分结构。总之，想象为无论怎么进行局部放大，总找不到接缝处的不流畅，就可以了。
感谢家门前的海豚雕塑，帮助我理解了微分流形。更谢谢侯老师编的这本《物理学家用微分几何》的书，没有把我吓跑。
后面的路还很长，慢慢来，今天算入门了。
已解决问题
网友完善的答案
數學的一個分支學科﹐它主要是以分析方法來研究空間(微分流形)的幾何性質。
初始階段 古典的局部微分幾何是研究三維歐氏空間的曲線和曲面在一點鄰近的性質﹐它的發展與分析學的發展有著不可分割的聯繫。微分幾何起源於17世紀發現微積分之時﹐函數與函數的導數的概念實質上等同於曲線與曲線的切線的斜率﹐函數的積分在幾何上則可解釋為一曲線下的面積。當時﹐平面曲線﹑空間曲線及曲面的幾何也可作為微積分的應用來瞭解。
在這方面第一個作出貢獻的是瑞士數學家歐拉﹐L.。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念﹐即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標﹐從而開始了曲線的內在幾何的研究。歐拉將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率。在曲面論方面﹐他有重要的貢獻﹐例如引進了曲面上的法曲率﹑總曲率﹑關於法曲率的歐拉公式及球面映射等。測地線是平面上的直線在曲面上的推廣﹐歐拉和約翰第一伯努利及丹尼爾第一 伯努利一起最早地把測地線描述為某些微分方程的解。1736年﹐歐拉證明了在無外力作用之下﹐一個質點如約束在一曲面上運動﹐則它必定是沿測地線運動。另外﹐值得指出的是法國數學家蒙日﹐G.及其學派﹐他們對曲面論的建立也很有貢獻﹐蒙日在1807年出版的書《分析學在幾何中的應用》是關於曲線和曲面理論的第一部獨立的著作。他的工作中反映出他對微分方程的興趣。在這些數學家的研究中﹐可以看到力學﹑物理學與天文學以及技術與工業的日益增長的要求是促使微分幾何發展的因素。
1847年弗雷內得出了曲線的基本微分方程﹐亦即通稱的弗雷內公式。後來﹐達布﹐(J.-)G.創造了空間曲線的活動標架概念﹐完整地建立起曲線理論。
黎曼幾何學的提出 在三維歐氏空間中﹐與曲線相比﹐曲面有著重要得多的性質。設x﹐x﹐x為的笛氏坐標﹐則曲面的參數方程為
(1)
曲面的幾何性質完全由被稱為曲面的第一﹑第二基本形式(見曲面)的兩個二次微分形式所決定。
1827年德國數學家高斯﹐C.F.的論文《彎曲曲面的一般研究》在微分幾何學的歷史上有重大的意義。微分幾何發展經歷了150年之後﹐高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶有根本性的內容﹐他在論文中建立了曲面的內在幾何學﹐其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質﹐例如曲面上曲線的長度﹑兩條曲線的夾角﹑曲面上一區域的面積﹑測地線﹑測地曲率和總曲率等等﹐稱之為曲面的內在性質。
高斯之前的幾何學家﹐在研究曲面時總是把曲面與外圍空間相聯繫﹐找出曲面上一點的主方向﹐再計算兩曲率線的法曲率的乘積﹐這是歐拉的研究。高斯證明了由曲面的第一基本形式就確定了曲面的總曲率﹐這就是高斯方程﹐所以總曲率通常也稱為高斯曲率﹐這是高斯的著名發現﹐被稱為“極妙定理”。他說:“如果一個彎曲的曲面可展開到任何另外的曲面上去﹐則每點的曲率是保持不變的。”這裡﹐“可展”表示了映射是1-1(一一)且保持距離的。高斯建立的內在幾何學有著深遠的影響﹐是在微分幾何上的一關鍵而重大的突破﹐但當時並未被人們所認識。
更重要的發展屬於德國數學家黎曼﹐(G.F.)B.。1854年他在格丁根大學發表了題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演講﹐黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體﹐而不是把它僅僅看作歐氏空間中的一個幾何實體。他發展了空間的概念﹐首先提出了維流形(當時稱為多重廣延量)的概念﹐其中的點用個實數(x﹐x﹐…﹐x)作為坐標來描述﹐他定義了流形上無限鄰近兩點(x)與(x+dx)(i=1﹐2﹐…﹐)的距離
﹐ (2)
並以此作為幾何學的出發點。後來稱(2)為黎曼度量﹐這裡(g)是正定對稱陣。黎曼認識到度量(2)是加到流形上去的一個結構﹐因此﹐同一流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼以前的幾何學家只知道外圍空間的度量賦予曲面以誘導度量
﹐ (3)
即第一基本形式﹐而並未認識到曲面還可以獨立於而定義﹐可以獨立地賦予度量結構。黎曼意識到這件事是非凡的重要﹐他把誘導度量與獨立的黎曼度量兩者分開來﹐從而開創了以(2)為出發點的黎曼幾何。這種幾何以種種非歐幾何作為其特例。例如﹐這時可以把
( 是常數) (4)
作為兩個無限鄰近點的距離﹐當>0時﹐就是球面幾何或橢圓幾何(又稱為正常曲率空間的幾何)﹐=0時就是歐氏幾何﹐<0時就是羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何﹐又稱負常曲率空間的幾何。
黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。在兩個不同坐標系x﹐x﹐…﹐x與x﹐x﹐…﹐x 中﹐給定兩個二次微分形式
與
﹐
求存在坐標變換(=1﹐2﹐…﹐)將一個微分形式變到另一個的條件﹐這個問題1869年由克里斯托費爾﹐E.B.與李普希茨﹐R.(O.S.)解決。克里斯托費爾的解包含了以他的名字定名的記號﹐即第一類克里斯托費爾記號[k﹐l]和第二類克里斯托費爾記號[]﹕
﹐ (5)
及協變微分(見黎曼幾何學)的概念。在此基礎上﹐1887～1896年間里奇﹐G.發展了張量分析方法﹐這在廣義相對論中起了基本的作用。里奇和他的學生列維－齊維塔﹐T.在研究報告《絕對微分法及其應用》(1901)中對里奇計算法作了詳細的綜述。
《埃爾朗根綱領》對微分幾何的影響 比克里斯托費爾﹑李普希茨解決二次微分形式的相互轉換問題稍遲一些﹐1872年克萊因﹐(C.)F.在德國埃爾朗根大學作就職演講時﹐闡述了《埃爾朗根綱領》﹐這就是把幾何學定義為研究變換群所作用的空間﹐例如歐氏空間具有剛體運動群﹐所研究的對象是在剛體運動群下不變的性質。射影空間具有射影變換群﹐仿射空間與共形空間分別具有仿射變換群與共形變換群等等。這樣就用變換群對已有的幾何學進行了分類。這些幾何學中所研究的對象是在相應變換群下不變的性質。這種用群論統一幾何學的思想把幾何學與李群結合起來了。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內﹐它成了幾何學的指導原理﹐推動了幾何學的發展﹐導致了射影微分幾何﹑仿射微分幾何﹑共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文﹐後來1906年起為E.J.威爾辛斯基為代表的美國學派所發展﹐1916年起為以富比尼﹐G.為首的義大利學派所發展。20世紀30年代起中國蘇步青及其學生們以及蘇聯..菲尼科夫等進一步發展了射影微分幾何。
另一方面﹐克萊因的《埃爾朗根綱領》與狹義相對論完美地相配合﹐狹義相對論中的一個原理是洛倫茨群下場方程的不變性﹐這導致了克萊因成為狹義相對論的最早支持者之一。洛倫茨結構在相對論中起了基本的作用。
當克萊因制定《埃爾朗根綱領》時﹐已觀察到黎曼幾何並不包括在內﹐因為一般的黎曼空間﹐除恆等變換外﹐並不含有其他等長變換。經過W.K.J.基靈﹐嘉當﹐.(-J.)的努力﹐使得李群成為微分幾何的有力工具﹐而李群本身也成為微分幾何的研究對象﹐它的推廣就是齊性流形即容有可遷變換群的微分流形﹐這就給出了埃爾朗根綱領中所設想的幾何空間的最一般形式。在齊性流形中﹐具有正定黎曼度量的齊性黎曼流形﹐特別是對稱空間﹐顯得特別重要。
廣義相對論的產生及其對幾何學的影響 黎曼幾何的建立對近代物理學產生了巨大的影響。黎曼對引力論很有興趣﹐曾對牛頓的引力論發生懷疑﹐牛頓的引力是一種超距作用﹐而黎曼認為引力作用應通過接觸來傳遞﹐但他並沒有把黎曼幾何用於引力論。50年後﹐愛因斯坦創立了新的引力理論──廣義相對論﹐黎曼幾何(嚴格地說是洛倫茨幾何﹐這時(2)中所定義的ds 是非正定的二次微分形式)及其運算方法(里奇計算法)成為廣義相對論有效的數學工具。愛因斯坦引進了約定求和這一很有用的符號。廣義相對論的產生對微分幾何的影響是令人震動的。當時黎曼幾何成為研究的中心課題﹐斯考頓﹑列維－齊維塔﹑.嘉當及艾森哈特等人的關於黎曼幾何的權威著作幾乎都出現在1924～1926年期間。
愛因斯坦在狹義相對論中﹐把時間與空間作為相關的量一起來考慮﹐構成了一個四重廣延量﹐這顯示了時空概念的一個根本性變化。這時﹐時空中兩點(x)﹐(x+dx)(i=1﹐2﹐3﹐4)的距離由非正定的二次形式
(6)
所描述﹐其中x=﹐是光速﹐是時間。這種具體形式是閔科夫斯基空間﹐或稱閔科夫斯基四維時空﹐簡稱四維時空﹐它是洛倫茨流形中的一個特例。
廣義相對論採用的是洛倫茨流形﹐這時ds 是非正定的﹐它的特點是在任何一點的小鄰域中和閔科夫斯基時空性質相近似。引力論的基本問題是要說明質點在引力作用下的運動軌線問題﹐在廣義相對論中運動軌線為流形上類時(即“弧長”平方為負)的測地線﹐類時意味著質點的速度低於光速﹐測地線是變分
(7)
所得微分方程的解。
愛因斯坦的引力場方程是一個關於g的二階偏微分方程
(8)
式中 稱為里奇張量﹐是由g的一﹑二階導數構成的﹔﹐其中由所確定﹔是描述物質分布的能量動量張量。特別﹐真空中的引力場方程由=0所表述。如果彎曲空間化為平直空間﹐則表示引力場不存在﹐這時質點作勻速運動。
愛因斯坦的廣義相對論的思想來自物理學的研究﹐但值得注意的是從歐幾里得幾何學到黎曼幾何學經歷了二千多年時間﹐而從閔科夫斯基時空到洛倫茨流形只經過十年時間﹐這是因為黎曼幾何學的張量分析已為此作了一切數學上的準備。愛因斯坦在建立廣義相對論的過程中得益於數學家M.格羅斯曼﹐在發展廣義相對論過程中他和.嘉當進行了許多的討論﹐希爾伯特﹐D.也參加建立場方程的研究。
把黎曼幾何應用於廣義相對論時﹐列維-齊維塔平行移動的概念具有相當的重要性。外爾﹐(C.H.)H.在1918年的名著《時間﹐空間﹐物質》中引進了仿射聯絡的概念﹐它是黎曼流形中列維－齊維塔平行移動的推廣。在流形上可以用仿射聯絡作為出發點來定義平行移動和協變微分等結構﹐這樣﹐仿射聯絡就不必從黎曼結構來得出。外爾所給出的聯絡是無撓率的(即對稱的)。流形上定義了仿射聯絡﹐就得到仿射聯絡流形。
.嘉當在他的主要論文《仿射聯絡流形及廣義相對論理論》(1923～1924)中給出仿射聯絡的權威性論述﹐並將仿射聯絡這一概念推廣到有撓率的情況。文中主要說明為什麼愛因斯坦引力論是牛頓引力論的推廣﹐後來他更進一步建立了各種聯絡理論﹐例如射影聯絡﹑共形聯絡等。
黎曼幾何還有另外的推廣﹐P.芬斯勒以一般的出發建立了一種度量的幾何學﹐只是dx的正齊二次函數而不必要求它為二次型﹐也就是說g除依賴於x之外﹐還是dx的正齊0次函數。對這種空間也引進了聯絡﹑曲率等等概念﹐從而得到芬斯勒幾何。隨後﹐還有很多的推廣﹐得到的空間通稱為一般空間。
曲線和曲面的整體性質 在古典的曲線論和曲面論中﹐人們所研究的問題已可分為兩種類型﹕局部問題與整體問題。曲線或曲面在一點充分小鄰近成立的性質是局部性質。例如﹐曲線在一點的切線﹑法平面﹑曲率﹑撓率﹐曲面的切平面﹑法線以及各種曲率的概念都是局部性質。整體性質則是考慮整個曲線或曲面上的性質﹐它與局部性質所得出的定理時常是極不相同的。例如﹐平面凸閉曲線成立四頂點定理﹐即它的曲率至少有四個極值點。又如﹐對任何曲面﹐局部來說﹐兩鄰近點之間有且僅有惟一的測地線弧相連結﹐但從整體來說﹐這個問題就相當複雜。例如﹐歐氏空間的測地線是直線﹐任意兩點之間有且只有一條直線段相連結﹐球面上的測地線是大圓弧﹐球面上任意兩點﹑(如果不是對頂點)﹐可有兩條測地線弧(優弧與劣弧)相連結﹐﹑是對頂點時﹐它們之間則有無限條測地線弧相連結。如果考慮閉測地線﹐則可看到歐氏空間沒有閉測地線﹐而球面上任何測地線(即大圓)都是閉的。至於一般曲面有可能存在閉測地線﹐也有可能不存在閉測地線﹐可有許多情況﹐討論閉測地線的存在性就是一個整體性質。
又如﹐歐氏空間的曲面由第一﹑第二基本形式所決定。如果兩個曲面小片﹐﹐它們的第一基本形式相同﹐第二基本形式不同﹐則稱與是互為變形的。三維歐氏空間的一小曲面片總有無窮個曲面與它相變形﹐然而這個性質整體上是不成立的﹐例如球面以及一般的凸閉曲面不存在與之變形的曲面﹐這稱為球面的剛性定理及凸閉曲面的剛性定理。討論小曲面片的變形問題是局部性質﹐討論曲面的變形問題則是整體性質。曲面上測地線弧的指標(它表示測地線弧的兩端固定時﹐使其長度得到縮短的變形的維數)是一個整體的不變量。
曲面的整體性質的一個重要結果是高斯-博內定理﹐它指明﹐在閉曲面上﹐總曲率的積分除以2就是曲面的歐拉數。等於1減去曲面上洞的個數﹐是個拓撲不變量﹐因而這個定理建立了曲面的微分幾何量與曲面的拓撲量之間的重要聯繫。
此外﹐希爾伯特還發現﹐雙曲平面(二維的雙曲幾何)不能在三維歐氏空間中完整地實現﹐儘管它在三維歐氏空間中局部地實現對於雙曲幾何(即羅巴切夫斯基幾何)的被承認起了重大的作用。
曲面和曲線的整體性質的研究激起了人們對整體微分幾何的巨大興趣。
整體微分幾何的興起 現代微分幾何學所研究的對象是微分流形﹐其上還配有附加的結構。例如﹐微分流形上引進黎曼度量﹑洛倫茨度量﹑辛尺度這些結構後﹐就分別成為黎曼流形﹑洛倫茨流形和辛流形﹐相應地也就豐富了幾何內容。
外微分形式﹑德拉姆定理與霍奇定理 微分流形上的外微分形式是一個微分幾何量﹐對它可進行外微分運算﹐這在幾何上十分重要(見外微分形式)。外微分形式實際上是多重積分的積分元。一個外微分形式的外微分如等於零﹐則稱它為閉形式﹐微分流形上次閉形式全體構成一個線性空間。一個次外微分形式如果是另一個(-1)次外微分形式的外微分﹐則稱之為正合形式。正合形式是閉形式﹐它所構成的線性空間是閉形式所構成的線性空間的子空間。閉形式可以劃分為一些類﹐稱為上同調類﹐兩個次閉形式當且僅當它們之差是一個正合形式時屬於同一個上同調類。這些上同調類全體構成一個線性空間──上同調空間 。以瑞士數學家德拉姆而命名的著名定理說明﹕對於緊致流形﹐上同調類空間必是有限維的﹐並且維數恰等於微分流形上第個貝蒂數。貝蒂數是流形的拓撲不變量﹐它描述流形上有關連通的性質。在流形上引進了黎曼度量後﹐霍奇引進了調和形式的概念﹐並證明了著名的霍奇定理﹕在一個定向﹑緊致黎曼流形上﹐每一上同調類中有惟一的調和形式。這個定理是複變函數理論中緊致黎曼面的一些基本結果的一個重大的推廣﹐它在代數幾何中有重要作用。這兩個定理提供了流形上局部性質與整體性質的聯繫﹐建立了流形上微分結構﹑拓撲結構及黎曼結構的深刻的制約關係﹐具有十分重要的意義。
黎曼流形的完備性 在黎曼流形的研究中﹐完備性是一個很重要的概念。在黎曼流形上﹐兩點之間可以定義距離﹐因而可成為一個度量空間﹐這個度量空間在拓撲意義下的完備與任一測地線均可無限延伸(依弧長或仿射參數)這一性質相等價﹐從而形成了完備黎曼流形的概念。特別﹐緊致黎曼流形是完備的黎曼流形。霍普夫與里諾給出了下述結果﹕完備黎曼流形上每二點均可用一極小測地線相連結﹐其長度就等於二點的距離。
引進了完備性這一概念後﹐也推進了對三維歐氏空間曲面論的整體性質的研究。例如﹕對於曲率為常數的曲面的完備性的研究有﹕1959年P.哈特曼與L.尼倫伯格證明了完備的可展曲面必為柱面﹐邁爾斯與李卜曼證明了正常數曲率定向的完備曲面必為球面。
完備性概念對非緊致黎曼流形的整體幾何研究是十分重要的。
曲率與拓撲 黎曼流形的曲率是微分幾何中最重要的幾何量之一﹐曲率和流形的拓撲結構之間的聯繫是一個十分重要的問題。美國數學家C.B.艾倫多弗和法國數學家韋伊﹐A.與陳省身用不同的方法將緊致曲面上的高斯-博內公式擴充到高維曲面和緊致黎曼流形上去﹐這是微分幾何上很重大的一項進展。另外﹐阿達馬﹐J.(-S.)和.嘉當發現﹕單連通的﹑曲率非正的完備黎曼流形必同胚於歐氏空間。這也是極富有啟發性的成果。
對於黎曼流形來說﹐有三種不同層次的曲率﹐一種是截面曲率﹐它相應於在每點某一平面方向所相應的曲率。另一種是里奇曲率﹐它是由截面曲率以適當的形式作和而成。第三種是數量曲率﹐它是里奇曲率的跡。這三種曲率和流形的拓撲性質之間有很強的相互制約作用﹐這方面的研究成果非常豐富﹐而且是微分幾何主要研究方向之一。
等距嵌入 嵌入問題是指一個具有某種結構的流形是否可以作為高維歐氏空間的子流形的問題。當只涉及微分結構時﹐惠特尼在1936年證明了每一個維的微分流形均可以嵌入到一個2+1維的歐氏空間中﹐美國另一數學家C.B.莫利證明了對緊致的實解析流形這個結果也成立。
等距嵌入是研究一黎曼流形是否能與高維歐氏空間的子流形成等距對應的問題。對於局部的等距嵌入﹐瑞士數學家L.施勒夫利很早就作了下述預測﹕維的黎曼流形總可等距嵌入到維歐氏空間中去。1926年法國數學家H.約尼和.嘉當在黎曼流形上添上解析這一條件時證明了這個預測。因此﹐作為特例﹐一個二維的解析黎曼度量總可局部地作為三維歐氏空間中某個曲面的第一基本形式。當流形非解析時﹐情況相當複雜﹐至今還是一個研究課題﹐當曲率在曲面上變號時﹐任一個二維黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三維歐氏空間﹐已經有若干結果。
黎曼流形的整體等距嵌入定理於1954～1956年由J.納許等所給出﹕ 維黎曼流形總可等距嵌入到歐氏空間﹐如流形為緊致時﹐則可嵌入到﹔如果只考慮等距嵌入﹐則維黎曼流形可嵌入於﹔如果緊致則可嵌入到。納許的方法後來對非線性分析和非線性偏微分方程的求解產生了重要影響。
纖維叢 在整體微分幾何發展中﹐纖維叢及其上的聯絡論的產生和發展﹐佔有顯著的地位。基本的纖維叢有向量叢和主叢﹐前者包括切叢﹑餘切叢﹑張量叢及一般性的推廣﹐後者是由標架叢抽象而成。在黎曼幾何研究中所產生的列維－齊維塔聯絡被推廣為仿射聯絡﹑射影聯絡﹑共形聯絡﹑……然後形成了一般向量叢或纖維叢上的聯絡論﹐它以優美的形式把幾何學的群的結構和流形上的微分結構有機地結合起來﹐陳省身-外爾映射用代數的方法通過聯絡和曲率作出了底流形上的一些上同調類﹐這種上同調類稱為示性類包括陳示性類﹐歐拉示性類﹐龐特里亞金示性類等﹐它們都能表示纖維叢的拓撲性質。
纖維叢上的聯絡論成為理論物理學家的有力工具﹐楊振寧和米爾斯所提出的規範場理論是在物理學中形成的纖維叢上的聯絡論﹐不僅如此﹐他們對纖維叢上的聯絡提出了一個過去數學家沒有想到過的偏微分方程(後稱為楊-米爾斯方程)﹐這個方程不僅對物理學﹐而且對純粹數學發生了重大影響。此外﹐聯絡論中的一些示性類和示性數﹐也得到了物理學上的解釋﹐成為物理學中的各種“粒子”數﹐如“磁單極”數﹑瞬子數等等。由於這些事實﹐微分幾何和理論物理的關係就更其密切了﹐可以說是在愛因斯坦廣義相對論後的一個新的高潮。
微分幾何和分析學新的結合 微分幾何的研究與發展離不開微分方程﹐達布的《曲面論》一書就包含了豐富的古典微分方程的內容。.嘉當和凱勒所發展的外微分方程理論﹐對於解析函數領域的一大類局部微分幾何問題﹐給出了一般的有效的方法。
整體微分幾何的發展﹐需要運用更深入的﹐現代化的分析工具﹐特別是偏微分方程理論以及與之有關的非線性分析。
在線性理論中﹐一個突出的成果是阿蒂亞和辛格的指標定理﹐緊致微分流形上的一個線性橢圓算子的零空間的維數與象空間的維數都是有限數﹐其差稱為指標﹐這個定理指出﹐這種指標可以表示為和流形(或纖維叢)及橢圓算子有關的拓撲不變量﹐而過去的黎曼-羅赫定理﹐希策布魯赫的指標定理等都是它的特殊情形。這個定理對於確定楊-米爾斯方程的解的存在性和其自由度﹐起了重要作用。此外﹐流形上的拉普拉斯算子的特徵值的研究也是一個重要方面。
微分幾何學所遇到的偏微分方程大多是非線性的﹐調和函數的概念被推廣成黎曼流形間的調和映射﹐它聯繫於一個推廣的狄利克雷積分的變分問題﹐其歐拉方程是非線性的橢圓型方程組﹐J.伊爾斯等人用了多種分析的技巧證明了各種存在性和不存在性定理﹐近年來﹐R.舍恩和K.K.烏倫貝克又對廣義解的奇性作了深入的分析。極小曲面理論近年來得到更深入的發展﹐研究範圍日趨廣泛﹐而且對流形的拓撲以及廣義相對論中的數學問題均有重要應用。在調和映射﹑極小曲面﹐以及其他許多微分幾何問題上﹐大範圍變分方法成了重要工具﹐非線性泛函的極小元素或臨界元素的正則性和存在性起了很大作用。如果考慮洛倫茨流形到黎曼流形的調和映射﹐就歸結為雙曲型偏微分方程的整體解的存在性問題﹐這方面成果國際上較少﹐谷超豪證明了閔科夫斯基平面到完備黎曼流形的調和映射的柯西問題的整體存在性定理﹐某些調和映射在物理學中稱為非線性模型﹐是物理學家獨立地提出的。
有些微分幾何學問題還必須求解“真正”非線性偏微分方程﹐這是比擬線性方程的非線性程度更高的偏微分方程﹐其難度更大﹐突出的事項是丘成桐解決了由卡拉皮所提出的一個猜想﹐證明了某種愛因斯坦-凱勒流形的存在定理﹐這需要求解復的蒙日-安培方程﹐它的非線性程度更高﹐需要有高度的分析技巧。丘成桐還解決了一系列的其他的與非線性偏微分方程有關的幾何問題。
具有複結構的微分流形特別是凱勒流形在多元複變函數和代數幾何中起著重要的作用。
初始階段 古典的局部微分幾何是研究三維歐氏空間的曲線和曲面在一點鄰近的性質﹐它的發展與分析學的發展有著不可分割的聯繫。微分幾何起源於17世紀發現微積分之時﹐函數與函數的導數的概念實質上等同於曲線與曲線的切線的斜率﹐函數的積分在幾何上則可解釋為一曲線下的面積。當時﹐平面曲線﹑空間曲線及曲面的幾何也可作為微積分的應用來瞭解。
在這方面第一個作出貢獻的是瑞士數學家歐拉﹐L.。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念﹐即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標﹐從而開始了曲線的內在幾何的研究。歐拉將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對於弧長的變化率。在曲面論方面﹐他有重要的貢獻﹐例如引進了曲面上的法曲率﹑總曲率﹑關於法曲率的歐拉公式及球面映射等。測地線是平面上的直線在曲面上的推廣﹐歐拉和約翰第一伯努利及丹尼爾第一 伯努利一起最早地把測地線描述為某些微分方程的解。1736年﹐歐拉證明了在無外力作用之下﹐一個質點如約束在一曲面上運動﹐則它必定是沿測地線運動。另外﹐值得指出的是法國數學家蒙日﹐G.及其學派﹐他們對曲面論的建立也很有貢獻﹐蒙日在1807年出版的書《分析學在幾何中的應用》是關於曲線和曲面理論的第一部獨立的著作。他的工作中反映出他對微分方程的興趣。在這些數學家的研究中﹐可以看到力學﹑物理學與天文學以及技術與工業的日益增長的要求是促使微分幾何發展的因素。
1847年弗雷內得出了曲線的基本微分方程﹐亦即通稱的弗雷內公式。後來﹐達布﹐(J.-)G.創造了空間曲線的活動標架概念﹐完整地建立起曲線理論。
黎曼幾何學的提出 在三維歐氏空間中﹐與曲線相比﹐曲面有著重要得多的性質。設x﹐x﹐x為的笛氏坐標﹐則曲面的參數方程為
(1)
曲面的幾何性質完全由被稱為曲面的第一﹑第二基本形式(見曲面)的兩個二次微分形式所決定。
1827年德國數學家高斯﹐C.F.的論文《彎曲曲面的一般研究》在微分幾何學的歷史上有重大的意義。微分幾何發展經歷了150年之後﹐高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶有根本性的內容﹐他在論文中建立了曲面的內在幾何學﹐其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質﹐例如曲面上曲線的長度﹑兩條曲線的夾角﹑曲面上一區域的面積﹑測地線﹑測地曲率和總曲率等等﹐稱之為曲面的內在性質。
高斯之前的幾何學家﹐在研究曲面時總是把曲面與外圍空間相聯繫﹐找出曲面上一點的主方向﹐再計算兩曲率線的法曲率的乘積﹐這是歐拉的研究。高斯證明了由曲面的第一基本形式就確定了曲面的總曲率﹐這就是高斯方程﹐所以總曲率通常也稱為高斯曲率﹐這是高斯的著名發現﹐被稱為“極妙定理”。他說:“如果一個彎曲的曲面可展開到任何另外的曲面上去﹐則每點的曲率是保持不變的。”這裡﹐“可展”表示了映射是1-1(一一)且保持距離的。高斯建立的內在幾何學有著深遠的影響﹐是在微分幾何上的一關鍵而重大的突破﹐但當時並未被人們所認識。
更重要的發展屬於德國數學家黎曼﹐(G.F.)B.。1854年他在格丁根大學發表了題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演講﹐黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體﹐而不是把它僅僅看作歐氏空間中的一個幾何實體。他發展了空間的概念﹐首先提出了維流形(當時稱為多重廣延量)的概念﹐其中的點用個實數(x﹐x﹐…﹐x)作為坐標來描述﹐他定義了流形上無限鄰近兩點(x)與(x+dx)(i=1﹐2﹐…﹐)的距離
﹐ (2)
並以此作為幾何學的出發點。後來稱(2)為黎曼度量﹐這裡(g)是正定對稱陣。黎曼認識到度量(2)是加到流形上去的一個結構﹐因此﹐同一流形可以有眾多的黎曼度量。黎曼以前的幾何學家只知道外圍空間的度量賦予曲面以誘導度量
﹐ (3)
即第一基本形式﹐而並未認識到曲面還可以獨立於而定義﹐可以獨立地賦予度量結構。黎曼意識到這件事是非凡的重要﹐他把誘導度量與獨立的黎曼度量兩者分開來﹐從而開創了以(2)為出發點的黎曼幾何。這種幾何以種種非歐幾何作為其特例。例如﹐這時可以把
( 是常數) (4)
作為兩個無限鄰近點的距離﹐當>0時﹐就是球面幾何或橢圓幾何(又稱為正常曲率空間的幾何)﹐=0時就是歐氏幾何﹐<0時就是羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何﹐又稱負常曲率空間的幾何。
黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。在兩個不同坐標系x﹐x﹐…﹐x與x﹐x﹐…﹐x 中﹐給定兩個二次微分形式
與
﹐
求存在坐標變換(=1﹐2﹐…﹐)將一個微分形式變到另一個的條件﹐這個問題1869年由克里斯托費爾﹐E.B.與李普希茨﹐R.(O.S.)解決。克里斯托費爾的解包含了以他的名字定名的記號﹐即第一類克里斯托費爾記號[k﹐l]和第二類克里斯托費爾記號[]﹕
﹐ (5)
及協變微分(見黎曼幾何學)的概念。在此基礎上﹐1887～1896年間里奇﹐G.發展了張量分析方法﹐這在廣義相對論中起了基本的作用。里奇和他的學生列維－齊維塔﹐T.在研究報告《絕對微分法及其應用》(1901)中對里奇計算法作了詳細的綜述。
《埃爾朗根綱領》對微分幾何的影響 比克里斯托費爾﹑李普希茨解決二次微分形式的相互轉換問題稍遲一些﹐1872年克萊因﹐(C.)F.在德國埃爾朗根大學作就職演講時﹐闡述了《埃爾朗根綱領》﹐這就是把幾何學定義為研究變換群所作用的空間﹐例如歐氏空間具有剛體運動群﹐所研究的對象是在剛體運動群下不變的性質。射影空間具有射影變換群﹐仿射空間與共形空間分別具有仿射變換群與共形變換群等等。這樣就用變換群對已有的幾何學進行了分類。這些幾何學中所研究的對象是在相應變換群下不變的性質。這種用群論統一幾何學的思想把幾何學與李群結合起來了。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內﹐它成了幾何學的指導原理﹐推動了幾何學的發展﹐導致了射影微分幾何﹑仿射微分幾何﹑共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文﹐後來1906年起為E.J.威爾辛斯基為代表的美國學派所發展﹐1916年起為以富比尼﹐G.為首的義大利學派所發展。20世紀30年代起中國蘇步青及其學生們以及蘇聯..菲尼科夫等進一步發展了射影微分幾何。
另一方面﹐克萊因的《埃爾朗根綱領》與狹義相對論完美地相配合﹐狹義相對論中的一個原理是洛倫茨群下場方程的不變性﹐這導致了克萊因成為狹義相對論的最早支持者之一。洛倫茨結構在相對論中起了基本的作用。
當克萊因制定《埃爾朗根綱領》時﹐已觀察到黎曼幾何並不包括在內﹐因為一般的黎曼空間﹐除恆等變換外﹐並不含有其他等長變換。經過W.K.J.基靈﹐嘉當﹐.(-J.)的努力﹐使得李群成為微分幾何的有力工具﹐而李群本身也成為微分幾何的研究對象﹐它的推廣就是齊性流形即容有可遷變換群的微分流形﹐這就給出了埃爾朗根綱領中所設想的幾何空間的最一般形式。在齊性流形中﹐具有正定黎曼度量的齊性黎曼流形﹐特別是對稱空間﹐顯得特別重要。
廣義相對論的產生及其對幾何學的影響 黎曼幾何的建立對近代物理學產生了巨大的影響。黎曼對引力論很有興趣﹐曾對牛頓的引力論發生懷疑﹐牛頓的引力是一種超距作用﹐而黎曼認為引力作用應通過接觸來傳遞﹐但他並沒有把黎曼幾何用於引力論。50年後﹐愛因斯坦創立了新的引力理論──廣義相對論﹐黎曼幾何(嚴格地說是洛倫茨幾何﹐這時(2)中所定義的ds 是非正定的二次微分形式)及其運算方法(里奇計算法)成為廣義相對論有效的數學工具。愛因斯坦引進了約定求和這一很有用的符號。廣義相對論的產生對微分幾何的影響是令人震動的。當時黎曼幾何成為研究的中心課題﹐斯考頓﹑列維－齊維塔﹑.嘉當及艾森哈特等人的關於黎曼幾何的權威著作幾乎都出現在1924～1926年期間。
愛因斯坦在狹義相對論中﹐把時間與空間作為相關的量一起來考慮﹐構成了一個四重廣延量﹐這顯示了時空概念的一個根本性變化。這時﹐時空中兩點(x)﹐(x+dx)(i=1﹐2﹐3﹐4)的距離由非正定的二次形式
(6)
所描述﹐其中x=﹐是光速﹐是時間。這種具體形式是閔科夫斯基空間﹐或稱閔科夫斯基四維時空﹐簡稱四維時空﹐它是洛倫茨流形中的一個特例。
廣義相對論採用的是洛倫茨流形﹐這時ds 是非正定的﹐它的特點是在任何一點的小鄰域中和閔科夫斯基時空性質相近似。引力論的基本問題是要說明質點在引力作用下的運動軌線問題﹐在廣義相對論中運動軌線為流形上類時(即“弧長”平方為負)的測地線﹐類時意味著質點的速度低於光速﹐測地線是變分
(7)
所得微分方程的解。
愛因斯坦的引力場方程是一個關於g的二階偏微分方程
(8)
式中 稱為里奇張量﹐是由g的一﹑二階導數構成的﹔﹐其中由所確定﹔是描述物質分布的能量動量張量。特別﹐真空中的引力場方程由=0所表述。如果彎曲空間化為平直空間﹐則表示引力場不存在﹐這時質點作勻速運動。
愛因斯坦的廣義相對論的思想來自物理學的研究﹐但值得注意的是從歐幾里得幾何學到黎曼幾何學經歷了二千多年時間﹐而從閔科夫斯基時空到洛倫茨流形只經過十年時間﹐這是因為黎曼幾何學的張量分析已為此作了一切數學上的準備。愛因斯坦在建立廣義相對論的過程中得益於數學家M.格羅斯曼﹐在發展廣義相對論過程中他和.嘉當進行了許多的討論﹐希爾伯特﹐D.也參加建立場方程的研究。
把黎曼幾何應用於廣義相對論時﹐列維-齊維塔平行移動的概念具有相當的重要性。外爾﹐(C.H.)H.在1918年的名著《時間﹐空間﹐物質》中引進了仿射聯絡的概念﹐它是黎曼流形中列維－齊維塔平行移動的推廣。在流形上可以用仿射聯絡作為出發點來定義平行移動和協變微分等結構﹐這樣﹐仿射聯絡就不必從黎曼結構來得出。外爾所給出的聯絡是無撓率的(即對稱的)。流形上定義了仿射聯絡﹐就得到仿射聯絡流形。
.嘉當在他的主要論文《仿射聯絡流形及廣義相對論理論》(1923～1924)中給出仿射聯絡的權威性論述﹐並將仿射聯絡這一概念推廣到有撓率的情況。文中主要說明為什麼愛因斯坦引力論是牛頓引力論的推廣﹐後來他更進一步建立了各種聯絡理論﹐例如射影聯絡﹑共形聯絡等。
黎曼幾何還有另外的推廣﹐P.芬斯勒以一般的出發建立了一種度量的幾何學﹐只是dx的正齊二次函數而不必要求它為二次型﹐也就是說g除依賴於x之外﹐還是dx的正齊0次函數。對這種空間也引進了聯絡﹑曲率等等概念﹐從而得到芬斯勒幾何。隨後﹐還有很多的推廣﹐得到的空間通稱為一般空間。
曲線和曲面的整體性質 在古典的曲線論和曲面論中﹐人們所研究的問題已可分為兩種類型﹕局部問題與整體問題。曲線或曲面在一點充分小鄰近成立的性質是局部性質。例如﹐曲線在一點的切線﹑法平面﹑曲率﹑撓率﹐曲面的切平面﹑法線以及各種曲率的概念都是局部性質。整體性質則是考慮整個曲線或曲面上的性質﹐它與局部性質所得出的定理時常是極不相同的。例如﹐平面凸閉曲線成立四頂點定理﹐即它的曲率至少有四個極值點。又如﹐對任何曲面﹐局部來說﹐兩鄰近點之間有且僅有惟一的測地線弧相連結﹐但從整體來說﹐這個問題就相當複雜。例如﹐歐氏空間的測地線是直線﹐任意兩點之間有且只有一條直線段相連結﹐球面上的測地線是大圓弧﹐球面上任意兩點﹑(如果不是對頂點)﹐可有兩條測地線弧(優弧與劣弧)相連結﹐﹑是對頂點時﹐它們之間則有無限條測地線弧相連結。如果考慮閉測地線﹐則可看到歐氏空間沒有閉測地線﹐而球面上任何測地線(即大圓)都是閉的。至於一般曲面有可能存在閉測地線﹐也有可能不存在閉測地線﹐可有許多情況﹐討論閉測地線的存在性就是一個整體性質。
又如﹐歐氏空間的曲面由第一﹑第二基本形式所決定。如果兩個曲面小片﹐﹐它們的第一基本形式相同﹐第二基本形式不同﹐則稱與是互為變形的。三維歐氏空間的一小曲面片總有無窮個曲面與它相變形﹐然而這個性質整體上是不成立的﹐例如球面以及一般的凸閉曲面不存在與之變形的曲面﹐這稱為球面的剛性定理及凸閉曲面的剛性定理。討論小曲面片的變形問題是局部性質﹐討論曲面的變形問題則是整體性質。曲面上測地線弧的指標(它表示測地線弧的兩端固定時﹐使其長度得到縮短的變形的維數)是一個整體的不變量。
曲面的整體性質的一個重要結果是高斯-博內定理﹐它指明﹐在閉曲面上﹐總曲率的積分除以2就是曲面的歐拉數。等於1減去曲面上洞的個數﹐是個拓撲不變量﹐因而這個定理建立了曲面的微分幾何量與曲面的拓撲量之間的重要聯繫。
此外﹐希爾伯特還發現﹐雙曲平面(二維的雙曲幾何)不能在三維歐氏空間中完整地實現﹐儘管它在三維歐氏空間中局部地實現對於雙曲幾何(即羅巴切夫斯基幾何)的被承認起了重大的作用。
曲面和曲線的整體性質的研究激起了人們對整體微分幾何的巨大興趣。
整體微分幾何的興起 現代微分幾何學所研究的對象是微分流形﹐其上還配有附加的結構。例如﹐微分流形上引進黎曼度量﹑洛倫茨度量﹑辛尺度這些結構後﹐就分別成為黎曼流形﹑洛倫茨流形和辛流形﹐相應地也就豐富了幾何內容。
外微分形式﹑德拉姆定理與霍奇定理 微分流形上的外微分形式是一個微分幾何量﹐對它可進行外微分運算﹐這在幾何上十分重要(見外微分形式)。外微分形式實際上是多重積分的積分元。一個外微分形式的外微分如等於零﹐則稱它為閉形式﹐微分流形上次閉形式全體構成一個線性空間。一個次外微分形式如果是另一個(-1)次外微分形式的外微分﹐則稱之為正合形式。正合形式是閉形式﹐它所構成的線性空間是閉形式所構成的線性空間的子空間。閉形式可以劃分為一些類﹐稱為上同調類﹐兩個次閉形式當且僅當它們之差是一個正合形式時屬於同一個上同調類。這些上同調類全體構成一個線性空間──上同調空間 。以瑞士數學家德拉姆而命名的著名定理說明﹕對於緊致流形﹐上同調類空間必是有限維的﹐並且維數恰等於微分流形上第個貝蒂數。貝蒂數是流形的拓撲不變量﹐它描述流形上有關連通的性質。在流形上引進了黎曼度量後﹐霍奇引進了調和形式的概念﹐並證明了著名的霍奇定理﹕在一個定向﹑緊致黎曼流形上﹐每一上同調類中有惟一的調和形式。這個定理是複變函數理論中緊致黎曼面的一些基本結果的一個重大的推廣﹐它在代數幾何中有重要作用。這兩個定理提供了流形上局部性質與整體性質的聯繫﹐建立了流形上微分結構﹑拓撲結構及黎曼結構的深刻的制約關係﹐具有十分重要的意義。
黎曼流形的完備性 在黎曼流形的研究中﹐完備性是一個很重要的概念。在黎曼流形上﹐兩點之間可以定義距離﹐因而可成為一個度量空間﹐這個度量空間在拓撲意義下的完備與任一測地線均可無限延伸(依弧長或仿射參數)這一性質相等價﹐從而形成了完備黎曼流形的概念。特別﹐緊致黎曼流形是完備的黎曼流形。霍普夫與里諾給出了下述結果﹕完備黎曼流形上每二點均可用一極小測地線相連結﹐其長度就等於二點的距離。
引進了完備性這一概念後﹐也推進了對三維歐氏空間曲面論的整體性質的研究。例如﹕對於曲率為常數的曲面的完備性的研究有﹕1959年P.哈特曼與L.尼倫伯格證明了完備的可展曲面必為柱面﹐邁爾斯與李卜曼證明了正常數曲率定向的完備曲面必為球面。
完備性概念對非緊致黎曼流形的整體幾何研究是十分重要的。
曲率與拓撲 黎曼流形的曲率是微分幾何中最重要的幾何量之一﹐曲率和流形的拓撲結構之間的聯繫是一個十分重要的問題。美國數學家C.B.艾倫多弗和法國數學家韋伊﹐A.與陳省身用不同的方法將緊致曲面上的高斯-博內公式擴充到高維曲面和緊致黎曼流形上去﹐這是微分幾何上很重大的一項進展。另外﹐阿達馬﹐J.(-S.)和.嘉當發現﹕單連通的﹑曲率非正的完備黎曼流形必同胚於歐氏空間。這也是極富有啟發性的成果。
對於黎曼流形來說﹐有三種不同層次的曲率﹐一種是截面曲率﹐它相應於在每點某一平面方向所相應的曲率。另一種是里奇曲率﹐它是由截面曲率以適當的形式作和而成。第三種是數量曲率﹐它是里奇曲率的跡。這三種曲率和流形的拓撲性質之間有很強的相互制約作用﹐這方面的研究成果非常豐富﹐而且是微分幾何主要研究方向之一。
等距嵌入 嵌入問題是指一個具有某種結構的流形是否可以作為高維歐氏空間的子流形的問題。當只涉及微分結構時﹐惠特尼在1936年證明了每一個維的微分流形均可以嵌入到一個2+1維的歐氏空間中﹐美國另一數學家C.B.莫利證明了對緊致的實解析流形這個結果也成立。
等距嵌入是研究一黎曼流形是否能與高維歐氏空間的子流形成等距對應的問題。對於局部的等距嵌入﹐瑞士數學家L.施勒夫利很早就作了下述預測﹕維的黎曼流形總可等距嵌入到維歐氏空間中去。1926年法國數學家H.約尼和.嘉當在黎曼流形上添上解析這一條件時證明了這個預測。因此﹐作為特例﹐一個二維的解析黎曼度量總可局部地作為三維歐氏空間中某個曲面的第一基本形式。當流形非解析時﹐情況相當複雜﹐至今還是一個研究課題﹐當曲率在曲面上變號時﹐任一個二維黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三維歐氏空間﹐已經有若干結果。
黎曼流形的整體等距嵌入定理於1954～1956年由J.納許等所給出﹕ 維黎曼流形總可等距嵌入到歐氏空間﹐如流形為緊致時﹐則可嵌入到﹔如果只考慮等距嵌入﹐則維黎曼流形可嵌入於﹔如果緊致則可嵌入到。納許的方法後來對非線性分析和非線性偏微分方程的求解產生了重要影響。
纖維叢 在整體微分幾何發展中﹐纖維叢及其上的聯絡論的產生和發展﹐佔有顯著的地位。基本的纖維叢有向量叢和主叢﹐前者包括切叢﹑餘切叢﹑張量叢及一般性的推廣﹐後者是由標架叢抽象而成。在黎曼幾何研究中所產生的列維－齊維塔聯絡被推廣為仿射聯絡﹑射影聯絡﹑共形聯絡﹑……然後形成了一般向量叢或纖維叢上的聯絡論﹐它以優美的形式把幾何學的群的結構和流形上的微分結構有機地結合起來﹐陳省身-外爾映射用代數的方法通過聯絡和曲率作出了底流形上的一些上同調類﹐這種上同調類稱為示性類包括陳示性類﹐歐拉示性類﹐龐特里亞金示性類等﹐它們都能表示纖維叢的拓撲性質。
纖維叢上的聯絡論成為理論物理學家的有力工具﹐楊振寧和米爾斯所提出的規範場理論是在物理學中形成的纖維叢上的聯絡論﹐不僅如此﹐他們對纖維叢上的聯絡提出了一個過去數學家沒有想到過的偏微分方程(後稱為楊-米爾斯方程)﹐這個方程不僅對物理學﹐而且對純粹數學發生了重大影響。此外﹐聯絡論中的一些示性類和示性數﹐也得到了物理學上的解釋﹐成為物理學中的各種“粒子”數﹐如“磁單極”數﹑瞬子數等等。由於這些事實﹐微分幾何和理論物理的關係就更其密切了﹐可以說是在愛因斯坦廣義相對論後的一個新的高潮。
微分幾何和分析學新的結合 微分幾何的研究與發展離不開微分方程﹐達布的《曲面論》一書就包含了豐富的古典微分方程的內容。.嘉當和凱勒所發展的外微分方程理論﹐對於解析函數領域的一大類局部微分幾何問題﹐給出了一般的有效的方法。
整體微分幾何的發展﹐需要運用更深入的﹐現代化的分析工具﹐特別是偏微分方程理論以及與之有關的非線性分析。
在線性理論中﹐一個突出的成果是阿蒂亞和辛格的指標定理﹐緊致微分流形上的一個線性橢圓算子的零空間的維數與象空間的維數都是有限數﹐其差稱為指標﹐這個定理指出﹐這種指標可以表示為和流形(或纖維叢)及橢圓算子有關的拓撲不變量﹐而過去的黎曼-羅赫定理﹐希策布魯赫的指標定理等都是它的特殊情形。這個定理對於確定楊-米爾斯方程的解的存在性和其自由度﹐起了重要作用。此外﹐流形上的拉普拉斯算子的特徵值的研究也是一個重要方面。
微分幾何學所遇到的偏微分方程大多是非線性的﹐調和函數的概念被推廣成黎曼流形間的調和映射﹐它聯繫於一個推廣的狄利克雷積分的變分問題﹐其歐拉方程是非線性的橢圓型方程組﹐J.伊爾斯等人用了多種分析的技巧證明了各種存在性和不存在性定理﹐近年來﹐R.舍恩和K.K.烏倫貝克又對廣義解的奇性作了深入的分析。極小曲面理論近年來得到更深入的發展﹐研究範圍日趨廣泛﹐而且對流形的拓撲以及廣義相對論中的數學問題均有重要應用。在調和映射﹑極小曲面﹐以及其他許多微分幾何問題上﹐大範圍變分方法成了重要工具﹐非線性泛函的極小元素或臨界元素的正則性和存在性起了很大作用。如果考慮洛倫茨流形到黎曼流形的調和映射﹐就歸結為雙曲型偏微分方程的整體解的存在性問題﹐這方面成果國際上較少﹐谷超豪證明了閔科夫斯基平面到完備黎曼流形的調和映射的柯西問題的整體存在性定理﹐某些調和映射在物理學中稱為非線性模型﹐是物理學家獨立地提出的。
有些微分幾何學問題還必須求解“真正”非線性偏微分方程﹐這是比擬線性方程的非線性程度更高的偏微分方程﹐其難度更大﹐突出的事項是丘成桐解決了由卡拉皮所提出的一個猜想﹐證明了某種愛因斯坦-凱勒流形的存在定理﹐這需要求解復的蒙日-安培方程﹐它的非線性程度更高﹐需要有高度的分析技巧。丘成桐還解決了一系列的其他的與非線性偏微分方程有關的幾何問題。
具有複結構的微分流形特別是凱勒流形在多元複變函數和代數幾何中起著重要的作用。
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超弦理论告诉我们：我们的宇宙具有10维的空间（而在超弦理论基础上发展起来的膜理论更是宣称宇宙有11维空间）。我们平常只能感知到空间的三个维度，我们可以上下左右前后移动，也可以在时间维度里向“前”移动，这些是我们司空见惯的，但是那另外的六维空间在哪儿？你找不到，因为它们以“卡-丘”空间的形状卷蜷缩起来，躲出了我们的视野。
蜷缩的高维
应该说，这六维空间目前还没有一个固定的模型能在计算机上展现出来，也没有一种形状能让所有的物理学家都赞同。唉！宇宙不是那么简单的！它到底是什么样子，我们不得而知。但你可别气馁，科学家们认为这些多出来的维卷曲在一种叫做“卡拉比-丘成桐”的空间结构里，“卡-丘”空间的大小如何呢？它的半径小于亿亿亿亿分之一米，只有质子和中子半径的亿万分之一！太小了！目前我们是无法用任何办法来考察到的，更别说钻到里南去旅游一番、看个究竟了。
的确， 要描述“卡-丘”空间几乎是不可能的，因为它有六个维度。但是，还是让我们试着去想象出一个图景来吧！
“卡-丘”空间看起来就像纸团，就是那些你随手扔掉的攥成团的用过的草稿纸那样，然而，“卡-丘”空间的迂回曲折和翻转可比你那随手一攥，拧出来的形状复杂多了，它们像一条条蛟龙一样，尽情地翻腾，绕着自己翻过去，再转回来，打成一个个环，丝毫没有一针见规则可以用传的欧几里德几何描述，可是它们呢？却对此表现出完全蔑视的态度，它们只遵循一种更为抽象的几何学，比如说，卡-丘空间根本不知道什么是直线！
身处某一个“卡-丘”空间的感觉一定很刺激吧？确实，它很像一胩有趣的房子，很多墙壁围绕着我们，房子上似乎到处都是镜子，镜子里有无数我们自身的影像，当我们凝视的目光投向任何方向，我们都在经历着奇特的视觉魔幻，比方说，你注视正前方，看到的是什么？不是你的正面，而是你的背部！
当然，卡-丘空间里面并没有什么镜子，那里只空间本身。所以这里存在一个本质上的差异：从理论上讲，当你可以看着前方而确实看到了你的北面时，你可以对着你的“背”扔个球过去，两秒钟后，你猜会怎么样？你会感到有个发射物朝着你的剂量冲过来！想知道这个球的具体行踪吗？客观存在可能已经在六维空间里来回折腾了好几圈，就像乘坐了好多个过山车一样，最终，它结束了整了旅行，在你背上停了下来。“卡-丘”空间就是这么一种奇怪的东西！
从猜想到定理
科学家们“算”出来，多余的那六维空间正是采取了这种特殊、古怪的方式紧缩起来的，它们看起来是细细长长的弦上面的一颗颗珠子，
弦可能从它们的“孔”中穿过去，也可能绕过它们，包着它们。这些细细长长的弦在不停的振动，就组成了各种奇怪的形状的发掘过程颇
具戏剧性！
科学家们讨论额外空间的时候，他们从不用我们的日常语言来叙述，因为这样会误导我们，以为这些空间也和我们的三维空间一样。科学家
们是用数学语言来表达多维空间的，数学的概念很容易推广来讨论任意维数的空间。
比方说，你知道数学家是如何思考圆圈和球体的不同吗？对你们来说，他们实际上是同一种东西，都是离一点距离相同的点组成的集体。
数学家管圆圈叫做一维的球体，因为要画一个圆，只需要适度弯曲的一信线条就可以了；而实际的球体被叫做维球，因为要得到一个球，需
要一个二维平面。对于数学家来说，一维球和维球之间的区别无关紧要。他们更喜欢学习N维球，就是你想要多少维就有多少维的球。不管你
能否想象得出，总之你就假设它存在于思维空间吧！
卡拉比就是这种几何学的想象大师，你在职954年的国际数学家大会上提出了的一个猜想，预言有这么一类紧缩的空间结构存在，但由于证明十
分困难，此类空间的存在性一直悬而未决。可以说，除了卡拉比本人，几乎没有人相信这个猜想是对的。包括后来获得数学领域中的"诺贝尔奖"
--菲尔兹奖的新一代华人数学家杰出代表丘成桐在内.
丘成桐只有21岁时就开始思索这个久攻不克的大难题,他在研究上花了两年工夫,想证明它是错的,他甚至在一个很大的国际会议里面宣布找到一个反
例证明这个是错的,听的数学家也认为很有道理,于是大家都认为卡拉比猜想是错的.
两个月以后,卡拉比得知此事,让丘成桐将证明重新再讲一遍.这让丘成桐不得不重新考虑这个问题,这时他发现自己的推论是有漏洞的.在讲给卡拉比听以前,
丘成桐两个星期没有睡觉,想弥补这个漏洞,结果他发现,没办法弥补!
这下,他只好承认错误,于是写信给卡拉比,决定反过来,将全部时间用来想证明它.这个决定让他花了四年工夫,1976年底,他用强有力的证明,终于解决了这一问
题!
这个伟在猜想的证明,将几何学带入一个全新领域,更在物理学各方面大放异彩."卡-丘"空间对于超弦理论如此重要--它的"紧缩性能"正是超弦理论物理学家要找
的.目前已经测试出25种"卡--丘"空间构造符合超弦理论的"胃口".
蜷缩的高维
应该说，这六维空间目前还没有一个固定的模型能在计算机上展现出来，也没有一种形状能让所有的物理学家都赞同。唉！宇宙不是那么简单的！它到底是什么样子，我们不得而知。但你可别气馁，科学家们认为这些多出来的维卷曲在一种叫做“卡拉比-丘成桐”的空间结构里，“卡-丘”空间的大小如何呢？它的半径小于亿亿亿亿分之一米，只有质子和中子半径的亿万分之一！太小了！目前我们是无法用任何办法来考察到的，更别说钻到里南去旅游一番、看个究竟了。
的确， 要描述“卡-丘”空间几乎是不可能的，因为它有六个维度。但是，还是让我们试着去想象出一个图景来吧！
“卡-丘”空间看起来就像纸团，就是那些你随手扔掉的攥成团的用过的草稿纸那样，然而，“卡-丘”空间的迂回曲折和翻转可比你那随手一攥，拧出来的形状复杂多了，它们像一条条蛟龙一样，尽情地翻腾，绕着自己翻过去，再转回来，打成一个个环，丝毫没有一针见规则可以用传的欧几里德几何描述，可是它们呢？却对此表现出完全蔑视的态度，它们只遵循一种更为抽象的几何学，比如说，卡-丘空间根本不知道什么是直线！
身处某一个“卡-丘”空间的感觉一定很刺激吧？确实，它很像一胩有趣的房子，很多墙壁围绕着我们，房子上似乎到处都是镜子，镜子里有无数我们自身的影像，当我们凝视的目光投向任何方向，我们都在经历着奇特的视觉魔幻，比方说，你注视正前方，看到的是什么？不是你的正面，而是你的背部！
当然，卡-丘空间里面并没有什么镜子，那里只空间本身。所以这里存在一个本质上的差异：从理论上讲，当你可以看着前方而确实看到了你的北面时，你可以对着你的“背”扔个球过去，两秒钟后，你猜会怎么样？你会感到有个发射物朝着你的剂量冲过来！想知道这个球的具体行踪吗？客观存在可能已经在六维空间里来回折腾了好几圈，就像乘坐了好多个过山车一样，最终，它结束了整了旅行，在你背上停了下来。“卡-丘”空间就是这么一种奇怪的东西！
从猜想到定理
科学家们“算”出来，多余的那六维空间正是采取了这种特殊、古怪的方式紧缩起来的，它们看起来是细细长长的弦上面的一颗颗珠子，
弦可能从它们的“孔”中穿过去，也可能绕过它们，包着它们。这些细细长长的弦在不停的振动，就组成了各种奇怪的形状的发掘过程颇
具戏剧性！
科学家们讨论额外空间的时候，他们从不用我们的日常语言来叙述，因为这样会误导我们，以为这些空间也和我们的三维空间一样。科学家
们是用数学语言来表达多维空间的，数学的概念很容易推广来讨论任意维数的空间。
比方说，你知道数学家是如何思考圆圈和球体的不同吗？对你们来说，他们实际上是同一种东西，都是离一点距离相同的点组成的集体。
数学家管圆圈叫做一维的球体，因为要画一个圆，只需要适度弯曲的一信线条就可以了；而实际的球体被叫做维球，因为要得到一个球，需
要一个二维平面。对于数学家来说，一维球和维球之间的区别无关紧要。他们更喜欢学习N维球，就是你想要多少维就有多少维的球。不管你
能否想象得出，总之你就假设它存在于思维空间吧！
卡拉比就是这种几何学的想象大师，你在职954年的国际数学家大会上提出了的一个猜想，预言有这么一类紧缩的空间结构存在，但由于证明十
分困难，此类空间的存在性一直悬而未决。可以说，除了卡拉比本人，几乎没有人相信这个猜想是对的。包括后来获得数学领域中的"诺贝尔奖"
--菲尔兹奖的新一代华人数学家杰出代表丘成桐在内.
丘成桐只有21岁时就开始思索这个久攻不克的大难题,他在研究上花了两年工夫,想证明它是错的,他甚至在一个很大的国际会议里面宣布找到一个反
例证明这个是错的,听的数学家也认为很有道理,于是大家都认为卡拉比猜想是错的.
两个月以后,卡拉比得知此事,让丘成桐将证明重新再讲一遍.这让丘成桐不得不重新考虑这个问题,这时他发现自己的推论是有漏洞的.在讲给卡拉比听以前,
丘成桐两个星期没有睡觉,想弥补这个漏洞,结果他发现,没办法弥补!
这下,他只好承认错误,于是写信给卡拉比,决定反过来,将全部时间用来想证明它.这个决定让他花了四年工夫,1976年底,他用强有力的证明,终于解决了这一问
题!
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