热力学中温度的定义_百度文库
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２００７ 热力学中温度的定义张福恒，刘晓慈（海南师范大学物理系， 海南 ... 描述热运动的物理量σ 从宏观的角度重新定， 义了温度的概念，并给出了热力学第零定律的 ... 下面我们从热运动这一事实出发， 给出温度的定义： 温度是热平衡系统单位熵的能量． 论述证明： 如图１ 所示， 在相对系统质心静止的参考系中， 有两个热接触并处于 ...第六章气体动理论
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ⅱ°温度T，t：温度是反映物质内部分子运动剧烈程度的物理量。宏观上 .... ⅲ°温度[DOC]
基元反应动力学
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File Format: Microsoft Word - Quick View从宏观系统的唯象动力学研究到微观世界的分子反应动态学研究，化学动力学经历了近两个世纪。 ... 即研究温度、浓度、介质、催化剂、反应器等对反应速率的影响。 ... 特别指出，由于反应速率的定义中涉及反应进度这一概念，所以反应速率r一定要与相应 .... 它表明任何基元反应都是可逆的，只是可逆程度大小不同而已；另一方面，正、 ...
习惯上，人们把与温度有关的现象称做热现象。 研究热现象及其规律的 ...
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统计规律,并揭示描述体系宏观状态的物理量的微观本质。 本章所介绍的 ... 摩尔数。 任何物质，每摩尔中都包含有NA 个分子，NA=6. ... (3) 分子之间的碰撞和分子与器壁的碰撞，都是完全弹性碰撞，碰撞前后 ... 设体系内有N个分子,根据统计平均值的定义
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物理量在空间传输过程称输运过程 ... 在质心坐标系中，在远处质量为μ、电荷为qα的粒子，以速度u 射向固定在O点的电荷为qβ的粒子，其瞄准距离为b（也称碰撞参量），
等离子体物理学 - 中国科大空间科学站- 中国科学技术大学
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温度是导致物质状态变化的关键参量，等离子体是物质继固态、液态、气态之后的第四种状态。 气体电离 ... 极光、霓虹灯、闪电、电弧光、火焰等都是等离子体。古希腊哲学家认为火 ... 仅适合处理低频长波的变化，因而被称为等离子体宏观理论。 .... 其中，定义德拜长度 lD 满足 ... 两体碰撞在质心系中化为约化质量在有心力作用下的运动 ...
第6章 等离子体中的输运过程
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File Format: Microsoft Powerpoint - View as HTML物理量在空间传输过程称输运过程 ... 在质心坐标系中，在远处质量为μ、电荷为qα的粒子，以速度u 射向固定在O点的电荷为qβ的粒子，其瞄准距离为b（也称碰撞参量），
热力学的拉格朗日函数_相对论吧_百度贴吧
比如说，很多物理量都是在质心系中定义的（如温度），讨论这些物理量在不同参照系
鮑利(奧，Wolfgang Pauli, 1900-1945) 則提出了「排斥原理」（原子結構上，一個「穩定狀態」只能容納一個電子）。因每「軌道」上有兩個電子，故電子除質量、電荷外，必有另一種「物性」，使它能有兩個「狀態」。這個「物性」後來被稱為「自旋」（因其可與角動量相加）。
第八講 量子論
曼殊室利菩薩好論極微。──金聖歎（西廂評）
光譜，放射性，電子、原子核之發現，電子之軌道，質點與或然率波，測不準原理
【8.1】 天文與光譜：太陽光譜是牛頓的重要成績之一。 到了十八世紀中，金屬或鹽在燃燒時，會發出特定的譜線，才被發現(1752, J. Melvill)。十九世紀初年，太陽光譜中有黑線之事，方被觀察到(1802, W. H. Wollaston)。
赫歇爾父子(英， Francis Willian Herschel, 1738-1822, John Herschel, 1792- 1871 ) 主要的工作是在天文。老赫歇爾造了當時罕見的大望遠鏡（口徑 1.22 米，長12米），在1781年發現了天王星，打破了古來的「五大行星」說法。更重要的，他做了四次恆星的全圖，從其中發現太陽也在動，而且也是銀河系中眾星之一。他的兒子則把他的工作申延到南半球。──這樣開始了「星雲」(Galaxies或「宇宙島」的觀念是德國哲學家康德 Emanuel Kant, 1724-1804, 提出的）的研究，澈厎改變了我們對宇宙的認知。小赫歇爾也可能是最早提出用光譜來研究星的成份的人。
十九世紀中，海德堡大學的本生(Robert W. Bensen, 1811-99) 與克希和夫(Gustav R. Kirchhoff, 1824-87)終於確認了太陽中的鈉譜線。他們並發現了各種固態或液態物質，高溫時放出連續光譜（如電燈中的鎢絲）；連續光譜之強弱，祗與溫度有關，與物質的種類無關。而高溫氣態物質在背景光弱時放出一定的譜線，但在低溫時也會吸收較強的背景光中的相同譜線；這種不連續的譜線，其分佈與強弱，是物質種類的一個確定的指標。（故太陽是一個高溫的液体或固体，外包的氣体中有鈉）。此後，以光譜研究物質之成份、包括星的成份成為一門專學──光譜學。有許多元素便以此而發現。最有名的是氦元素先在太陽光譜中發現(1878, Norman Lockyer)，後來(1895)才在大氣中找到的故事。
1885年，瑞士一個技術學校的教員巴默（Johann Balmer）發現了氫的可見光譜中有一段的頻率可以有簡單的關係，（今稱巴默系列 Balmer Series）：
其中ν0為常數， n,m 為整數(m>n)。這個規律很快就被推廣到其他光譜線上去（今稱 Ritz' Combination Rule）。但是，這些譜線有什麼意義？特別是：它與物質構造有什麼關係？在沒有進一步的發展前，至少有兩點可以想到：（1）原子一定不只是「堅硬的小球」，必有更進一步的構造。（2）電磁力一定與原子內或或原子間的「構造力」有關。否則很難了解為什麼原子會吸收或放出特定頻率的光（電磁波）。
【8.2】 離子、陰極射線、X-光與電子：1830年左右，法拉第在研究電解時，就發現通電時溶液中也會有與電流成正比的流量。顯然，電流被物質帶著走。他並測出電量與被電解物之質量之比值，發覺若以原子的觀點而言，每個原子帶（正）電之量有一最小單位。他命名這種帶電的原子為「離子」（ion,希臘文「遊走者」）。
法拉第也做了一些氣体中通電的研究，發現氣壓低時通電較易。十九世紀下半葉，真空中「陰極射線」的研究相當流行。陰極射線研究之一個「副產物」是1895年德國的倫琴（Wilhelm C. Roentgen, 1845-1923)注意到真空管附近，包在紙內的厎片無緣無故地曝光，因而 發現了 X-光。X-光後來成為醫院中的必備儀器，但在科學上，其光譜之研究提供了一種更可靠的「原子序」（英，Henry Moseley, 1887-1915，盧瑟福最得意的學生，在1913年提出新的周期表，旋即戰死)。又用來測定晶体格子間距離（英William Henry Bragg, 1862-1942，其子William Lawrence Bragg,1890-1971），開始了固態研究，皆有重大意義。
1896年，威爾生(英，Charles T. R. Wilson, 1869 -1959) 發明了「雲霧室」(Cloud Chamber) ，可以直接看到帶電粒子的軌跡。1897年，湯姆生（英 Joseph J. Thomson, 1856-1940)利用電磁場作用及雲霧室，終於証實了「陰極射線」中是一種新粒子：它帶負電，比氫原子之質量小得多(約1/1800)，電量則與氫離子相同。這後來被命名為「電子」。
荷蘭的齊曼（Pieter Zeeman,1865-1943）在1896年，發現在磁場中的原子之光譜線會分裂成數條（今稱「齊曼效應」）。洛仁茲假定電子在原子中往復運動，計算磁場之影響，解釋了此效應。故此時之認識是：原子中至少有電子與離子。
【8.3】 放射性與原子核：X-光發現以後，這種能穿透人体，照出骨骼的光，自然引起了廣大的興趣，歐洲的各實驗室吹起了一陣「射線熱」（也有不少搞錯的）。法國的柏克勒（Henri Becquerel, 1852-1908)與居禮夫婦（Pierre Curie, 1850-1905, Marie Curie, 1867-1934)發現了許多元素自動會發出強大而有穿透力的射線。不久，這些射線被分別而辨認出來： α射線是帶有兩個正電的氦離子（此時尚不知何謂原子核）， β射線是高速的電子， γ射線是一種比X-光頻率更高的電磁波。
紐西蘭出生的天才實驗家盧瑟福（英，Ernest Rutherford, 1871-1937）是首先認出α的人。他在湯姆生的實驗室中做過三年助理。1900年起，他在加拿大麥吉爾大學(McGill Univ.) 與化學家索地(英，Frederick Soddy，1877-1956)合作，除認出α,β 之外，並確定了原子之蛻變（似乎完成了古代鍊金者之夢），發現了同位素（從此所有元素的原子量都近於整數）。1907年，他到英國曼澈斯特大學，建立了有名的實驗室。1908年，他獲得諾貝爾化學獎。但他最重要的工作：發現原子核，卻在1911年。
當時大多數科學家都相信湯姆生的模型：原子像「葡萄乾布丁」；電子較小，嵌在較大的原子裡，而固体中原子與原子相鄰，連成一体。盧瑟福想到：用α 射線撞擊原子，或許可以探究一下原子的構造。他用 α打一片薄金箔，一試之下，結果令他大吃一驚：大部份的α 完全無阻地通過。但有一小部份，竟然反彈了回來。他說：「這就像用槍彈打一張紙，子彈居然反彈回來一樣不可思議。」他推論出：原子的質量，大部份集中在一個很小的、帶正電的「原子核」上。而電子在外圈繞之而轉──像一個小型的太陽系。
盧瑟福也受邀參加了1911年索未會議。在會中，他談他新發現的原子模型，但沒有人相信。主要的反對理由是：這樣轉圈子的電子，按照麥斯威爾的電磁學，必然會不斷放射電磁波，也會不斷損失能量，很快就會「掉進」原子核內去。如果物体由這樣的原子構成，物体豈不崩潰？盧瑟福自信很強，（而且，多少有些對那些「搞理論的」不服氣）並不氣餒。回到曼澈斯特，不久就有一位出身望族的丹麥青年波爾來訪，對他的原子模型表現了熱烈的興趣。盧瑟福十分高興，將索未會議的資料給了波爾。這會議中有一半在談蒲朗克的量子論。波爾雖不是完全對量子論無知，但這些最新資料對他一定也有相當啟發。──1913年他提出了重要的「波爾原子模型」，把盧瑟福的模型加上蒲朗克的量子論，開始了廿世紀的第二次對牛頓物理的革命。
【8.4】 蒲朗克的黑体輻射公式：蒲朗克（德，Max Planck, 1858-1947）生性保守，人品端方，是一個「不情不願的革命家」。他是一個法學家之子，在慕尼黑上大學時，他的教授勸他不要學物理，因為「物理學已經完成了，很難再有突破。」但他還是選擇了物理，並以熱力學作為其專精。以後他在柏林大學任教授，十分用功，對當時的物理各方面都有深厚的功力。1894年被選為柏林科學院院士。
在十九世紀未，對高溫的固体或液体放出的連續光譜之研究，有相當的進展。假定這種電磁波與「黑色」物体可以達到平衡（即同溫度；因為「理想黑体」可任意吸收所有光，平衡時亦以同率放出相同的光，故又稱「黑体輻射」），以熱力學的方法，可以推論得：（1)連續光譜祗與溫度有關，與物質的種類無關。（2)每單位体積的能量密度與溫度的四次方成正比：。此稱史提芬─波茨曼定律，其中 為史提芬─波茨曼常數，可以由實驗測得。（3)可以解釋何以溫度漸高，光線的顏色由紅而白而藍（最亮的波長與溫度成反比 ）。
然而，連續光譜的成因與光譜分佈的形態，還沒有一個解釋。1900年，英國的瑞利（John W. S. Rayleigh, 1842-1919)與井士（James H. Jeans, 1877-1946) 把波茨曼的統計力學方法，用到此處（能量與電磁場的平方成正比）。其計算結果在低頻電磁波，與觀測值符合，但計算值中越高頻所含的能量越多，顯然違反了以上的(2)、（3)。當時有人戲稱此為「紫外的大禍」，因為：如果這是事實，太陽必發出極強的高頻光，所有動、植物都免不了滅種。
蒲朗克也在1900年研究這個問題。他首先「湊」答案：加上了一個「可調參數」 h，使連續光譜的分佈式在高低頻都合理，然後用實驗數據算 h。不料這樣湊得的光譜公式，竟然與觀測得到的光譜分佈，若合符節！他不得不再想一想他湊出的公式，是不是有些道理。研究到當年年厎，他發覺：如果假定高溫物体發光時，其放出的能量值不是隨便什麼值都可以，而必須是一個與光頻率ν 成正比的定值的整數倍：
E=nhν, n=1,2,……, h= Planck’s constant=6.63x10-34 joule-sec.
則用瑞利─井士同樣的方法，他可以「導出」他的公式。
他在年厎的德國物理年會做了報告，量子論於是誕生。但他自己都不敢相信這種「能量值非連續」是事實。從亞里斯多德到牛頓，沒有任何有關運動的量是不連續的；這種不連續，似乎要想像都很困難。蒲朗克當年已經四十多歲，他以後花了十幾年的力氣，想找出一個「更合理」的解釋，沒有成功（到1914年，他才在痛苦中認輸）。而年輕一輩的如愛因斯坦、波爾等人，則早把量子的概念，大大地推廣了出去。他的 h，也成為物理中最重要的基本常數之一。
以後的蒲朗克，雖然不再有重要建樹，但他的正直、氣度與見識，使他成為德國科學界最受尊敬的「大老」。1933年，愛因斯坦被迫離德，蒲朗克十分惋惜，公開稱揚愛因坦是牛頓以後最了不起的物理學家。這使急於建立「德意志民族科學」，特別要排除猶太人影響的希特勒大怒，當面斥責七十五歲的蒲朗克：「要不是看你老，就送你去集中營！」
【8.5】 愛因斯坦之光電效應公式(1905)與固体比熱模型(1907)：蒲朗克的量子論一開始並沒有引起太多注意。愛因斯坦在尚未離開專利局的時侯，就使用量子的觀念解決了兩個問題，這使大家不得不對量子論重作評價。
德國的陰極射線專家李納德(Philipp Lenard,1862-1947)在1902年發現了一個很奇怪的現象，稱為光電效應（現在的電梯、自動門上尚有用此效應操控的）：真空管中的金屬表面，如果被紫外光照射，會射出電子。這種電子的能量，與波長有關；而電子的數量，與光的強度有關。這很難以麥克斯威的電磁理論解釋（麥斯威爾理論應該得到電子能量與光的強度成正比）。愛因斯坦大膽地使用蒲朗克的結果，但做了更進一步假定：光線中都是「光子」，其能量即是hν。金屬中的電子在吸收光的能量時，一次只能取一個「光子」，扣除電子掙脫金屬表面時必須付出的能量，他得到一個很簡單的光電效應公式：
E=hν-φ, φ=電子離開金屬表面須要付出的能量
這就是說：電子的能量，加上φ後，與入射的波長成正比；而電子的數量，與光中的「光子」數，即強度成正比。這個結果，當時相信的人也不多。它十幾年後才在實驗室中被米立坎（美，Robert Millikan, 1868-1953 ,最著名實驗的是用油滴測出電子的電荷) 証實。（李納德起初對愛因斯坦傾倒備至。但後來在納粹當權時，攻擊愛因斯坦最賣力。）
固体比熱的問題在用「能量均分定理」解釋了杜龍─柏蒂定律：摩爾比熱以後，進展不多。但這個定律，並不準確，尤其在低溫時，固体比熱皆下降得很快；下降的程度，各物体雖有不同，但在近於絕對零度時，所有的比熱，也都接近於零。愛因斯坦的設想：既然固体的原子可以看作一個小小的振動粒子，則必有一個頻率。這頻率可因物体之種類不同而不同。他大膽地假定每個原子可以擁有的能量也是不連續的，與蒲朗克的黑体輻射的假設一樣：
E=nhν; n=0,1,2,…..
如此，他用統計力學的方法，計算出的摩爾比熱 C，與實驗值比較，吻合程度極好。這個理論可能是使許多人開始重視量子論的一個關鍵。（但以後這理論被發覺太簡化了，固体中的原子振動頻率不是單一的。）
【8.6】 波爾的原子模型：波爾(Niels Bohr,1885-1962)出生於丹麥的一個以思想開放而著名的家族。他的父親是哥本哈根大學的生理學教授。外祖父是猶太人，既是銀行界的領袖，也是國會議員。一位姑母是丹麥的教育的改革者。他從小就在既富裕，又開明的環境中成長，而且常接觸到當時有名的學者專家。他的哥哥(Harald Bohr) 比他更為聰明外向（而且是奧運銀牌足球隊的主將），後來也成為著名的數學家。
他在丹麥得到博士之後，便到英國湯姆生的實驗室工作（1911) 。但不到一年，便被盧瑟福的原子模型吸引，轉到曼澈斯特。又不到一年，他回丹麥結婚。1913年，他發表了他的量子原子模型。其後他主持了理論物理研究所（一半的經費是出自丹麥有名的啤酒廠Carlsburg)，成為量子論中舉足輕重的「哥本哈根學派」的創始者。他不拘小節，但對研究十分投入。常常一面打乒乓（他的球技甚高，在物理學家中幾無敵手），一面爭辯物理到深夜。──這與愛因斯坦喜好的獨自瞑想的工作習慣完全不同。
波爾的設想：原子中電子的，必然有一種「穩定狀態」，不必放射電磁波，故能量不減，也不「掉進」原子核之內。這種「穩定狀態」之存在，非用蒲朗克的量子論不可──簡而言之，他要用蒲朗克，來規避麥克斯威。但如何計算這種「穩定狀態」，他苦思不得其解。1913年，他的一位老同學(H.M.Hansen)來看他，提醒他，當年他們一起上課學過氫原子光譜的巴默公式。波爾多年後回憶說：立刻一切都清楚了。
他很快就做成了他的氫原子模型：一個電子以圓形軌道繞原子核而轉。但只有滿足以下條件的才是「穩定狀態」，不必放射電磁波：
J≡mvr=nħ；其中 J為角動量，n為正整數，ħ≡h/2π。
這又「量子化」了角動量，不符牛頓力學。但他用牛頓力學，加上庫倫定律計算出「穩定狀態」的能量：
En=-constant/n2；其中 constant=13.6 eV
他又大膽地假定：電子放射電磁波，不按照麥克斯威的電磁學，而是在兩個「穩定狀態」的「能階」之間作「量子躍遷」。其放出電磁波的波長之計算，則是把蒲朗克的量子公式倒過來用：
hν=Em-En
這樣，波爾「導出」了巴默的公式，與觀測十分符合。
盧瑟福看到這結果後，將信將疑，想不到他的原子模型竟然動搖了牛頓與麥克斯威兩大「古典」學說。愛因斯坦卻十分欣賞這結果，稱讚這是：「物理中最高的音樂性。」( 希臘的「世界和諧」觀。)蒲朗克終於放棄了從古典物理解釋 h之可能性。
這個「模型」（特別是「能階躍遷」）之重要性，立刻就被物理界認識。它能解釋光譜線的來源，必有其道理。1914年，弗朗克（James Franck,1882-1964）與赫茲用電子撞擊汞蒸氣，測定電子能量被吸收與汞氣光譜線之關連，在實驗室中証明了「穩定狀態」之存在。但很多人，包括波爾本人、愛因斯坦、蒲朗克在內，也体會到這「理論」中不完整的地方很多，最多是一個「前奏」。要解決原子的構造問題，非要有全新的力學與電磁學不可。這方面，1913年波爾提出了「相符原理」（量子的理論用在宏觀的物体上，必與古典的結果相符，故牛頓在宏觀時還「幾乎」是對的。否則理論就會與我們的生活体驗起衝突。）作為起步。──但第一次世界大戰爆發了。
【8.7】1914年以後：第一次世界大戰在1914年爆發，此後的一些世界大事：
1914-18 年，第一次世界大戰。1917年，俄國革命，蘇聯成立。1919年，中國「五四」運動。1920年，國際聯合會成立。1929年，經濟大恐慌。1933年，德國希特勒當政。1937年，中日戰爭爆發。1939年，第二次世界大戰歐戰開始。1944年，哈佛大學與IBM 合作製成電動計算機。1945年，美國原子彈試爆；德、日先後投降；台灣復歸中國；聯合國成立。1947年，美國貝爾電話公司實驗室發明電晶体。1949年，中共宣布政權成立。1950-53,韓戰。1961年，蘇聯太空人昇空。1963-73,越戰。1966-76,中共文革。1969年，美國人登陸月球。1970年，中華民國退出聯合國。1973年，石油危機。1978年，中美斷交。1991年，蘇聯解体。
這一段時期，也許是距離太近了，反倒不易簡單地描繪出一個輪廓。但大致上是舊的体制、觀念逐漸失靈，而新的体制與觀念尚未建立。例如，第一次世界大戰各國正式宣戰，愛國的情緒高昂：「一切為勝利」，戰敗國受到嚴懲。但到越戰，這一切都成了疑問。共產主義一度被認為是歷史的必然（像牛頓力學的觀念），但如今似乎是一個謊言。「市場機制」逐漸壓倒所有「意的牢結」（Ideology) 。──每個世代都有其改變，但或許因為改變之大，速度之快，使一種強烈的「荒謬感」、「斷裂感」（量子躍遷？）成為廿世紀的特點。
這種感覺反映在思想上：哲學上有史本格勒的「西方的衰落」（德 Oswald Spengler, 1880 -1936, "Der Untergang des Abendlande", 1923) ，「存在主義」，「結構主義」，「解構主義」等。以及文藝方面的「荒謬劇場」，「達達藝術」，「無調音樂」等等「顛覆性」的藝術。流派之繁多，風格之岐異也藉傳播之發達，快速傳達到世界各角落（如「重金屬搖滾」等）。當然，四平八穩的文藝也仍然有其「市場」。
量子力學主要是兩次大戰之間的產物。
【8.8】 物質波：狄波義(Louis-Victor de Broglie, 1892-1987)是法國世家之後，一出世便有「王子」頭銜。他有一位哥哥（Maurice de Broglie） 是 x光專家，對他介紹愛因斯坦的成就，使他對物理發生了興趣。他在戰前便拿到了法學與物理學兩個學位。第一次大戰時，他入伍當兵。戰後退伍以後，他到巴黎大學進修物理博士學位。他的博士論文中提出了一個簡單，但極有創意的構想：愛因斯坦既然提出「光波」有「光子」的性質，那「電子」為什麼不可以有「物質波」的性質？他用「物質波」來計算波爾的原子模型，他發覺，如果用動量p來決定「物質波」的波長λ：λ = h/p ，波爾的「穩定狀態」無非就是物質波的（環狀的）「駐波」。
這篇論文使巴黎大學的當局十分頭痛，不知道怎麼辦，只得送給愛因斯坦審查，愛因斯坦回覆說：觀念雖大膽，但理由充份。狄波義不但拿到了學位（1924），而且在1929年以博士論文得到諾貝爾獎。──1927年，美國貝爾實驗室的大衛生（Clinton J. Davidson, 1881-1958） 與英國的小湯生(George P. Thomson, 1892-1975, 發現電子的J.J. Thomson 之子) 以晶体對電子「物質波」之干涉實驗，証明了狄波義的構想正確。他們在1937年也得到諾貝爾獎。
【8.9】 波動方程式：由於愛因斯坦的稱揚，狄波義的「物質波」構想在歐洲物理界傳揚了開來。不久，在愛因斯坦的母校：蘇黎世的高等技術學院的一個物理教授舒留定格（奧，Erwin Schrödinger, 1887-1961) 也聽到了這個構想。
舒留定格是一個工廠老板之子。生長於維也納，很染上了維也納式「世紀未」玩世不恭的風流格調（頗有些艷聞）。他多才多藝，通四國語言，出版過一本詩集。此前，他的物理作品雖多，但創見不足，並不重要。愛因斯坦稱他為：「風流才子」。他在幾年前，其實已有與狄波義相類似的想法，但沒有下功夫去做。1925年聖誕假期，他躲到山中幾個星期，寫下了四篇漂亮的論文，建立了「量子力學」。其中包含了「舒留定格方程式」，或稱「波動方程式」:
-(ħ2/2m)∇2ψ + V ψ= iħ∂ψ/∂t (此中符號太麻煩，不解釋了。)
這方程式式中的ψ，稱為「波動函數」，是狄波義的物質波的數學表示法。這個方程式在量子力學中之功用，如同牛頓的一樣：它可以完全決定「物質波」的在受力（力由「位能」Ｖ代表）下的行動。它符合狄波義的波長─動量關係與蒲朗克的頻率─能量關係。更有甚者，他不但能「解得」波爾的原子模型，得到同樣的「穩定狀態」，更能描述電子如何在穩定狀態之間躍遷。甚而可以計算出躍遷所用的時間。而且也滿足波爾的「相符原理」。
蒲朗克、愛因斯坦都對舒留定格這項工作十分欣賞。「量子力學」終於提出了一個完整的系統性理論，可以在原子的層次，計算物理中的基本問題：物質如何動？1933年，舒留定格也得到諾貝爾獎。
在舒留定格發展「波動方程式」前一年(1925)，有些重要的發展。海森堡(德，Werner Heisenberg,1901-1976) 與狄拉克（英，Paul A. M. Dirac, 1902-1984） 等人發展了較抽象的「距 陣力學」，隨後即被証明與舒留定格的波動力學「等效」。鮑利(奧，Wolfgang Pauli, 1900-1945) 則提出了「排斥原理」（原子結構上，一個「穩定狀態」只能容納一個電子）。因每「軌道」上有兩個電子，故電子除質量、電荷外，必有另一種「物性」，使它能有兩個「狀態」。這個「物性」後來被稱為「自旋」（因其可與角動量相加）。
以舒留定格方程式為中心，加上粒子自旋的「量子力學」，以後的應用極廣。在1932年查得威克（英，James Chadwick, 1891-1974,盧瑟福的學生）發現了中子之後，確定了原子核的組成。此時，有一種新的世界觀出現：
1)大尺寸（星系、宇宙）的世界，由愛因斯坦的重力理論（廣義相對論）來解釋。
2)原子核由中子與質子組成，質子數決定原子核的電荷數，也決定原子核外的電子數。（這電子數等於「原子序」。）量子力學由此可以算出整個周期表，完成了當年門捷列夫的心願。
3)對數個原子之結合，量子力學也可以有相當成功的應用，後來發展出「量子化學」。
4)若對很多原子的組合（如一塊晶体） 運用，這又成為「固態物理」。
從小到大，都有了理論解釋。因此，又有人倡言：「物理的終點快到了。」
【8.10】「或然的」力學與測不準原理：然而，舒留定格的方程式，仍然留下了很多觀念上的問題。最重要的：物質（如電子）的「本性」究竟是「波」還是「子」？如果用「波」來描述「子」，則「子」在那裡？是否像當時有人的嘲笑：「電子每逢星期一、三、五是子，二、四、六是波。」
對這但問題，1926年德國古廷根大學的教授玻恩（Max Born, 1882-1970,他是鮑利、海森堡的老師），提出了「或然」的解釋：「波函數」的平方，與粒子在此位置的「或然率」成正比。1927年海森堡提出了「測不準原理」：
任何一個物体，其某一方向的位置之不準越小，則在同一方向的動量之不準越大。以數學式表之： ∆px∆x≥ħ/2。
（這個原理，可以用數學証明是波函數與或然解釋的結果。）所謂「不準」，在所有測量中都是必有的，通常都是因為儀器不夠精密。但量子力學中的「測不準原量」卻是說：無論儀器多精密，這種不準都不能避免。可以說：這根本是物体的本性！──但是因為h 很小，若質量大，体積大時，這種不準看不出來。──然而，在原子大小的物体上，這就會使一個「子」成為「雲霧狀」的一片。因此，我們從根本上就不可能知道一個小粒子的精確位置或速度。
這種觀念，頗有些神祕感。電子雖然仍是一粒一粒的，但它「瞻之在前，或焉在後」。它的行動永遠不可能「確知」，最多只能知道它「或然」的行為。──這對「決定論」自然構成了嚴重的挑戰。但由波茨曼的統計力學的觀點而言：既有未知，自然有未定與或然。故量子力學與統計力學有很自然的配合（比牛頓力學與統計力學更自然。）
【8.11】小結：量子力學以後的成功，是非常明顯的。有太多的發明從量子而來（比較實用的如電晶体、雷射等）。但是量子力學的解釋，至今尚有爭議。
愛因斯坦始終不能相信玻恩的或然的力學。他著名的話：「上帝不會擲骰子。」但哥本哈根學派的「教父」波爾，卻堅主「或然」之說，他反駁說：「愛因斯坦，你少對上帝發號施令。」他們兩人之間的「世紀大辯論」，是科學史上最精采的一頁。兩人相互尊重，但也不能折服對方。舒留定格也不能接受「或然」之說，他到哥本哈根與波爾辯論很久，但不能「攻破」或然之說。最後他因而病倒，在病床上很傷感地說：「我但願當初沒有寫下那個式子。」
目前看來，「或然」之說一時是在上風。物理以後的發展，也以此為基礎。但誰也不敢保証，這就是最後的真理。──話又說回來，物理本來就不是最後的真理，最多祗是尋求真理的一個過程。
〔錄影帶〕「原子」
〔閱讀〕早期量子論的一些名家如蒲朗克、愛因斯坦、舒留定格、海森堡等人，都很會寫富有哲理的文章。這些文章由 Ken Wilber 收集了一部份，編成 Quantum Question: Mystical Writings of the World's Great Physicists.
最近對量子力學的爭論，仍然不斷。見 J. Horgan: Quantum Philosophy, Scientific American, Aug. 1992.
【小識】1.物理中的數學
有物理系的學生，問一個問題：「物理中的數學有多重要？像廣義相對論，量子力學，不用數學可能嗎？」的確，廣義相對論中彎曲的四度時空，舒留定格力方程式中的虛數，不用適當的數學工具，簡單的描述一下雖未為不可，深入理解是談不上的，更不能加以運用了。這樣，若說物理（或物理中的理論部份）是數學的一部份有何不可？
一種回答是：現在物理中少不了數學，有點像現代生活中少不了電力一樣。若說生活非電力不可，恐是誇張──不要說古人，現在落後地區的人，沒有電力，還是要生活的。但是，如果生活中沒有電力，不僅是不方便，生活的形態上有很大的不同。有很多重要的事，如：醫療中的 X 光、通訊中的電話等，非電力不可。我們甚至可以說：有電力與無電力，幾乎是兩種不同的人生。但話又說回來，電力雖然這麼重要，但到底只是一種生活的工具。生活中還是有很多極基本的事，例如：思想、呼吸、．．．等等，最好不要電力代勞（至少我這樣希望）。
物理中的數學也是這樣：沒有數學，很多重要的物理，很難發展。但數學在物理中，到厎只是一種工具。在最基本的物理概念層次上，如：質點位置是否可以測得準，時空是否彎曲，這些問題不是數學可以代勞回答的。但在精確描述這些觀念，如：愛因斯坦方程式，舒留定格方程式，或運用這些概念時，如：用量子力學來算原子光譜，或用廣義相對論來預測星光之偏折，就很難避開數學。
2. 相應原理、測不準原理：波爾雖然並非建立量子力學的主將，但他是這些年輕人(世稱哥本哈根學派)的精神領袖。他在量子力學建立之前，便提出了指導原則「相應原理」(corresponding principle):量子力學必須在一定的極限之下，得到古典(牛頓)的結果。換而言之，兩、三百年來牛頓力學何以效驗如神，必須有個解釋。
波爾的學生海森堡，則(經過理論的推演)提出了另一個「測不準原理」(uncertainty principle):如果粒子(或物体)有波的性質(如狄波義之說)，則其位置x與動量p=mv(x方向者)，皆不可能測得很精準。且其不準之量Dx與Dp ，必須滿足
DxDp³h，(h=6.63x10-34Joule-sec)。
牛頓力學中沒有對測量精度的限制。量子力學如果是對的，去測任何物体的位置與動量（質量乘速度），精準度必有這樣的限制；特別要強調：這種不精準不是改良儀器或任何方法可以降低的。──這公式DxDp³h 是牛頓力學的「要害」。──它並且可以讓我們用粗估的方法，判斷什麼時候必須用量子力學，什麼時候可以用牛頓力學。
例如：鋼珠筆尖上的鋼珠，直徑約10-3m，質量M約10-5kg。日常生活中，我們「看」它，就是用可見光去測位置x。儘可能地去測，最小的誤差Dx約10-6m(可見光之波長)。按上式：DxDp³h ，儘可能地去測，最小的速度不準約Dv=h/MDx»10-23m/sec。這樣的速度誤差，產生一個Dx誤差 ，要1017sec.，也就是十億(109)年，(宇宙年齡10~20´109年)。顯然，一般的應用，Dv 無法查覺，考慮Dx，Dp都是多餘。故鋼珠雖「應該」用量子力學來計算其行動(DxDp¹0)，但一般情形下，可以用牛頓力學(視DxDp=0)。──除非要計算鋼珠十億年以後的事，這才必須量子力學。──這就符合了「相應原理」。〔籃球投不進，不能怪量子力學。〕
但是如果是原子中的一個電子，其結果便不同了。Dx»10-10m(約原子直徑)，M»10-30kg (約電子質量)，故至少Dv»105m/sec。這樣的速度，每秒可走原子直徑1015.次。換而言之，牛頓力學最多只有10-15sec有效。故計算在原子中的電子持續的周期行動，必須用量子力學。──但對時間較短的現象，如碰撞(光電效應中的電子，或電子撞上螢光幕上一原子)，又可以用牛頓力學，視電子為一個粒子。
如果想測原子中電子更準的位置與速度，我們須要有測位置的儀器，反應速度極快，遠超過10-15sec.，並且可為電子留下精確影像位置(超級相機)。但是，如果這位置精準度超過Dx»10-10m，我們又要須重新計算，得到更大的Dv。因此，電子在原子中的更準的位置與速度是測不到的。這是原則上被「測不準原理」所禁止的「資訊」。
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