Saturday, March 9, 2013

幺正标加法有两个特点：一是用标架场为参照系来处理几何问题；这不但摒弃了不变观点的作法，而且也和传统的笛卡儿坐标法不同。在笛卡儿坐标法中只选用一个标架为参照系，而现在选用了许多标架(即标架场)；第二个特点是：采用微分式的算法取代以往的计算。这比Riemann最初的方法有所改进，主要表现在用微分式的计算使推理更加简洁。微分式的定义可以不借助向量场这个概念，但是微分式与向量场之间存在配对关系，以致微分式可以看成是向量场上的偏线性函数。

幺正标加法有两个特点：一是用标架场为参照系来处理几何问题；这不但摒弃了不变观点的作法，而且也和传统的笛卡儿坐标法不同。在笛卡儿坐标法中只选用一个标架为参照系，而现在选用了许多标架(即标架场)；第二个特点是：采用微分式的算法取代以往的计算。这比Riemann最初的方法有所改进，主要表现在用微分式的计算使推理更加简洁。微分式的定义可以不借助向量场这个概念，但是微分式与向量场之间存在配对关系，以致微分式可以看成是向量场上的偏线性函数。

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如果在射影平面上考虑一条形状如双曲线的二次曲线，则很显然这条双曲线在射影平面上只不过是一条被无穷远直线分割成两部分的闭曲线。既然

来源: marketreflections 于 2011-11-15 08:42:32[档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 17次

回答: 按我们的方法定义的曲面, 只表示了曲面的一部分, 关于如何给出曲面的整体定义或者说整体表示,要用坐标邻域来覆盖, 这正是大范围微由 marketreflections 于 2011-11-14 15:04:12

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henryharry2

2009-05-04 17:36

1954年，杨振宁发明了杨-Mills理论后，想知道规范场背后的数字原理，就去问一位数学家，数学家告诉他以陈省身为首发展起来的一套纤维丛理论可能对他有所帮助。杨振宁学习了几个月数学后，在一次会议上说了一段名言：“现代数学分成两种：一种是看了一页就看不下去了，另外一种是看了一行就看不下去了！”所以，如果没有一套科普性质的丛书，想学习现代数学真的很难，要知道杨振宁的数学功底可能比多数物理学家都强。

henryharry2

2009-05-04 17:53

henryharry2

2009-05-05 09:20

幺正标架法的进一步推广就是活动标架法，这个推广是对幺正标架法中两个特点认识的深化所致。在研究物体运动时，人们曾经采用固定在该物体上的标架为参照系，这个标架随着物体一起运动即标架随时间而变化，因而被称为活动标架。后来在研究空间性质时，选用的标架随地点而变化，正如幺正标架场一样，因而这种标架场也就叫活动标架场了。随着人们对幺正标架法中第二个特点的深入理解，出于对微分式算法的精确和完善要求，人们对活动标架加上了一点限制，就可把活动标架理解为某一个主丛的局部截面；确切地讲，活动标架场的集合一一对应于某一个主丛上局部截面的集合；这样的理解使研究活动标架法升华为研究主丛上的联络论。这与广义相对论是不兼容的，因为一个流形上所有由局部坐标系给出的自然标架场的集合不是某一个主丛的局部截面的集合，广义相对论没有规范对称性。

流形上的分析是流形上的向量丛的截面的分析学，经典的张量分析是一组张量丛上的分析学，因此流形上某个G主丛的一切配丛上的分析学应称为广义张量分析。设O(M)是流形M上所有幺正标架的集合，它是一个O(n)主丛，切丛TM是O(M)的配丛；我们已经知道在向量丛TM上有Levi-Civita联络。那么在O(M)上是否存在一个主丛上的联络，使得它的配丛联络恰好是Levi-Civita联络，这个问题早已由Cartan解决了。曲率方阵为主丛O(M)上联络的一个范例，注意曲率方阵是从Levi-Civita联络导出的，这样的主丛联络方阵在配丛TM上的配联络恰好是切丛上的联络。1967年，杨振宁在研究规范场的概念和它可能的推广时，认识到不可积相因子是一个异常重要的概念；平行不可转换的Levi-Civita概念是不可积相因子的一个特定情况。

在一点切空间中诱导的自然基矢变换矩阵为一般线性群GL(n,R)群的元素，GL(n,R)群仅有张量表示，没有旋量表示。当我们讨论Riemann流形上的旋量场时，必须采用标架场的描述；在Riemann流形上可以选取正交标架场，它们在局域正交转动下仍是正交标架；正交变换群O(n)具有旋量表示；在正交标架丛上的Riemann联络就是自旋联络。在动力学中要描写一个固体的运动，就把一个标架坚固地装在固体上，而描写标架的运动。在三维空间的所谓标架指一点x，及经过x的互相垂直的单位矢量；动力学与空间的曲线论有密切关系，后者甚至可看为前者的特例。

henryharry2

2009-05-05 10:04

Frenet方程是当年曲线论发展的最早的一组方程，Frenet是法国的一个数学家，得到这个方程并不困难。除了曲率以外，还有另一个函数ω，ω就是方程的挠率(torsion)，也是弧长的函数，是表示空间的曲线在运动群下的性质，挠率就是描写它怎么样不是一条平面曲线，它是在空间弯曲的一个量；这两个函数显然很重要，因为它们要是等于0的时候，就表示了曲线很简单的性质。要是曲率k=0的话，这曲线就成为直线。

在定挠率的时候一定要曲率不为0；若是曲率为0，就是直线了，这里没有办法定主法线。跟一条直线垂直的是一个平面，这个平面里头所有跟此直线垂直的方向都有同样的性质，所以就没有主法线，因此也不能定挠率。而当挠率等于0的时候，就表示这条曲线是在平面上的一条曲线。因为挠率是在Frenet公式的第三个公式里，由ω=0可知此时法矢量是个常数的矢量，因为法线跟切线是永远垂直的，所以法矢量跟dx/ds的内积永远等于0，于是ω=0是表示曲线是个平面曲线。另外一种很有意思的曲线是曲率和挠率都不为0，但都是常数。那么在这个情形之下，可以证明曲线是个螺线。

henryharry2

2009-05-05 10:24

分析力学(经典力学的哈密顿形式)在经典力学与量子力学的对应中起关键作用。我们将外微分算子与Lie导数算子作为工具来分析一下点粒子分析力学中的一些简单问题。具有n个自由度的点粒子可以用n个坐标来标志位型空间M，位型空间M的余切丛T*(M)即体系的相空间，为2n维流形。力学体系的相空间为偶维流形，是具有辛结构的辛流形。体系的哈密顿量为态空间函数；力学体系态空间为奇维流形，是具有接触结构的接触流形。

我们曾将微分形式的外乘用幂次简化表示。表明2n维近辛流形上存在处处非零的2n形式，故近辛流形为偶维定向流形。当近辛形式ω可积，即满足dω=0时，则(M,ω)称为辛流形。例如，2n维相空间，有2形式满足dω=0，因此相空间为具有辛结构的辛流形。对于辛流形，存在Darboux定理：对于给定维数的辛流形，其每点邻域具有等价的辛结构。

分析力学就是由动力学变量组成的相空间辛几何(M,ω)描述。在相空间上选定非稳定函数f=f(q,p)，称为哈密顿函数，而称(M, ω,f)为哈密顿体系。对于给定的哈密顿函数f，利用辛结构ω可得哈密顿矢量场，矢量场可产生沿矢量场积分曲线的单参数(以t为参数)的同胚变换群，任意动力学函数g=g(q,p)沿哈密顿矢量场产生的单参数变换的演化方程，就是大家熟知的经典力学的哈密顿方程。流形体积元沿哈密顿矢量场不变，此即大家熟知的相空间体积不随时间改变的Liouville定理。

henryharry2

2009-05-08 10:16

对偶，泛泛地来讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现．一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶．这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一．数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点．他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是二十一世纪的巨大挑战之一．

henryharry2

2009-05-09 11:00

把Gauss的工作推广到二维以上很不容易，因为这些空间的内在性质不是单独一个曲率函数K所能描述的。在D维情况下有D(D+1)/2个独立的度规函数。我们可以随意选择D个坐标，从而把D个任意函数关系约束在度规上。剩下C个函数真正表达着空间的内在性质。

C=D(D-1)/2。对于D=2，C=1，这是Gauss所发现的。对于D>2，C>1的情况，几何的描述变得非常复杂。这个问题是1854年Riemann完全解决的。由度规张理和它的导数能造出什么样的张量?我们把它作为纯粹的数学问题来处理，就像当年由Gauss和Riemann所作的那样。

我们要从度规张量和它的导数造出一个张量。如果只用到度规和它的一阶导数，那么就不能造出任何新的张量，因为在任一点我们都可以找到一个坐标系，使其中的度规张量的一阶导数为零，因而在这样的坐标系里，所要的张量一定等于仅由度规张量所能构造的张量中的一个，又因为这是张量之间的等式，故在所有坐标系中也必然成立。

henryharry2

2009-05-09 12:35

我们讨论一下Gauss几何与仿射几何的关系。带两个变数的二次方程的不变量，在十九世纪的后半叶还引入了重要的不变量的概念。例如我们考虑带两个变数的二次多项式，

Edu² + 2Fdudv + Gdv²，

如果把u、v看做直角坐标而且作从它们变到新直角坐标轴的变换，则在把上式中的u、v用它们以新坐标u'、v'表达的式子代入以后，经过脱括弧和归并同类项，我们得到一个具有另外一些系数的变换成的新多项式

E'du'² + 2F'du'dv' + G'dv'²，

原来，存在着由系数组成的一些式子，它们的数值经过变换并不改变，虽然这些系数本身改变了。这种由E'、F'、G'组成的式子，它的数值就与它们是由E、F、G组成时相同。这种式子叫做多项式对于正交变换群的不变量，也就是对于从一组直角坐标u、v到任何另一组直角坐标u'、v'的变换说的不变量。

henryharry2

2009-05-10 11:13

当动力学变量g=g(q,p)与哈密顿函数f=f(q,p)都不显含时间，相当于力学中保守体系，它在相空间运动轨迹的切线方向仅是相空间位置(q,p)的函数。对非保守力体系，动力学变量及哈密顿函数均显含时间，这时对相空间应再多加一独立变量t，应分析局域坐标为2n+1维态空间。2n+1维态空间为奇数维定向流形，为具有切触结构的切触流形。2n+1维流形M上如存在整体1形式ω，则M称为切触流形，而(M, ω)称为流形M的切触结构(contact structure)。

经典力学中描写具有n个自由度体系的运动，可用位型空间切丛上Lagrange函数L分析；另一方面，也可采用哈密顿形式来分析力学状态的运动，即引入哈密顿函数H(q,p,t)；H为位型空间余切丛上的函数，更确切地说，是态空间(附加有独立变量t的相空间)上的函数。保持切触结构的变换称为切触变换，分析力学中的正则变换就是切触变换。

切触结构等价类中相互可差恰当形式。在分析力学中态空间正则变换，在一组新变量的哈密顿函数为K(Q,P,t)，ω+dφ仍满足，函数φ是2n+1维流形上的光滑函数，可将它们看成2n+1个独立变量的函数，称为正则变换的母函数，即它为原来位形空间坐标与新位形空间坐标的依赖时间t的函数；K=H+∂φ/∂t，这是态空间的正则变换，它保持运动方程的正则形式不变。

henryharry2

2009-05-10 15:41

不要认为单侧闭曲面只是数学里的趣谈，而与严肃的科学问题无关；要证实这种想法的错误，只需以射影几何的产生为例证。因为平行的直线具有共同的无穷远点，所以，要表达出在平面上补充无穷远点的实际步骤，只需考虑通过平面上某个定点的直线，例如通过坐标原点O的直线。因为每一条直线与通过点O的平行直线具有同一个无穷远点，这些直线的无穷远点已经把平面上所有的无穷远点包罗无遗。因此我们可以得到射影平面的一个模型；这个模型是在一个以O为中心，具有无穷大半径的圆里，把圆周上每一对对径点粘合为直线AA'唯一的无穷远点而得到的。整个圆周就变成了无穷远直线，但这时必须牢记，圆周上的每一对对径点是看作互相等同的一点的。由此立刻可以看出；射影平面是闭曲面，它没有边界。

如果在射影平面上考虑一条形状如双曲线的二次曲线，则很显然这条双曲线在射影平面上只不过是一条被无穷远直线分割成两部分的闭曲线。既然我们取作基本圆的圆周上每一对对径点是粘合为一的，则不难看出，双曲线内部同胚于普通的圆，而射影平面上双曲线的外部则同胚于Mobius带子。因此，从拓扑的观点来看，射影平面是把圆形(在我们的情形是双曲线内部)与Mobius带子沿着边界粘合以后所得的结果。由这里我们就立刻推知，射影几何所研究的基本射影平面，是一个单侧的闭曲面。

henryharry2

2009-05-12 09:37

Euler早就提出了曲面上任一点的坐标(x,y,z)可以用两个参数u和v表示的思想；Gauss的出发点是运用这个参数表示来作曲面的系统研究；在任何曲面上基本量是弧长元素；曲面上两条曲线之间的夹角是另一个基本量。接着Gauss着手研究曲面的曲率，他的曲率的定义，是Euler用于空间曲线和Olinde Rodrigues用于曲面的标准形对曲面的推广。在曲面上的每一点(x,y,z)有一个带方向的法线；Gauss考虑一个单位球面，并选定一条半径，它具有曲面上的有向法线的方向。选取的半径确定了球面上的一个点(X,Y,Z)；然后，如果我们考虑曲面上围绕(x,y,z)的任一小区域，则在球面上有一个围绕(X,Y,Z)的对应区域；当这两块区域分别收缩到它们的对应点时，把球面上区域的面积与曲面上对应区域的面积之比的极限，定义为曲面在点(x,y,z)的曲率。

Gauss断定，曲面的几何性质仅仅由孤长元素表达式中的参数E(u,v)、F(u,v)和G(u,v)确定；u和v的这些函数正是事情的全部；曲面上的距离和角度完全由E、F和G确定。Gauss论点的解析证明由Gaspare Mainardi和Delfino Codazzi独立地给出，他们两人都以微分方程的形式给出了两个附加关系；Ossian Bonnet在1867年证明了一个定理：如果六个函数满足Gauss特征方程和两个Mainardi-Codazzi方程，则它们除了在空间的位置和定向以外唯一地确定一张曲面。Bonnet的定理是和曲线的对应定理相类似的。

人们还可以看得更远些。可以认为一张曲面所固有的E、F和G是由参数方程确定的。但是，可以从曲面出发引进两族曲线，然后几乎任意地选取u和v的函数E、F和G。于是曲面有这些E、F和G所确定的几何。这个几何对于曲面是内蕴的，而与周围的空间没有关系。结果是，随着E、F和G的不同的选取，再加上一些适当条件，同一张曲面可以有不同的几何。就是说，在三维空间可以有切面，即切面上的几何，可以不管这个曲面在三维空间里的位置，只考虑在曲面上的这个几何，它包括Euclid、非Euclid几何等在内非常广泛。

henryharry2

2009-05-12 10:21

Ossian Bonnet在职867年证明了如果六个函数满足Gauss特征方程和两个Mainardi-Codazzi方程，则它们除了在空间的位置和定向以外唯一地确定一张曲面；具体地，如果给定了u和v的函数E、F、G，它们满足Gauss特征方程和Maindadi-Codazzi方程，则存在一张由u、v的三个函数给定的曲面，也就是Gauss曲面的第一基本形式：

Edu² + 2Fdudv + Gdv²，

曲面的性质仅仅依赖于E、F和G这一事实有许多含意，其中有一些由Gauss在他的1827年的文章中提示出来。例如，如果一张曲面无伸缩地弯曲，则坐标曲线u=常数和v=常数将保持不变，所以线元ds也将保持不变。因此曲面的所有性质，特别是曲率也将保持不变。进一步说，如果u'和v'是第二张曲面上的点的坐标，并且如何两张曲面在对应点的距离元素相同，即如果

Edu² + 2Fdudv + Gdv² = E'du'² + 2F'du'dv' + G'dv'²，

其中E、F、G是u和v的函数，E'、F'、G'是u'和v'的函数，则这两张曲面称为等距的，它们必然有相同的总曲率。这个结果Gauss叫做极妙的定理，它是一个极其优美的定理。作为一个推论，要能把曲面的一部分移到另一部分上，这意味着要保持距离，一个必要条件是曲面有常曲率。

henryharry2

2009-05-12 11:02

Alain Connes拥有非交换微分几何这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分．这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系．要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有潜力巨大的或者特别的应用．一个与物理有趣的联系也刚刚被发现．这个理论能够走多远，能够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全有可能的．

henryharry2

2009-05-12 12:31

在最初的Yang-Mills理论中，所谓的微分形式体系、内部自由度，虽然是从简单的复数的相因子推广到了李群的生成元，但是和时空毫无关系。杨振宁和Mills仅仅推广了量子电动力学，对其几何意义毫无涉及。但在1967年，内部自由度和外部自由度的接触点出现了。吴大峻和杨振宁(1967)提出了同位自旋规范场方程的一个解。这个解明确地把同位自旋和时空指标结合起来。在概念上，这是一个重大的进展。如果闵可夫斯基几何能够因为其时间指标和空间指标与洛伦兹旋转混合起来而被认为是真正的几何，那么吴-杨解就是一个基础。

在几何方向上的进一步发展是SU(2)规范理论的单极子解，是特Hooft和Polyakov分别在1974年提出的。在这种情况下，单极子解把物理空间中的方向和内部空间中的方向联系了起来。同种类型的联系也出现在规范理论的瞬子解中。

规范理论的几何含义在杨振宁(1974)提出规范场和积分形式体系时已很清楚。规范场积分形式的基本点是引入不可积相因子概念，借助于这个概念，杨振宁发现：(1)Levi-Civita平行性是规范群GL(4)中不可积相因子的特殊情形；(2)线性联络是规范势的特殊类型；而(3)黎曼曲率是规范场强的特殊情形。虽然杨振宁具体的GL(4)引力规范理论因为与爱因斯坦的理论不同，而受到批评，但是杨振宁的一般思想还是得到广泛认可。

henryharry2

2009-05-22 08:22

对于基本定理，首先要了解它的意义和作用。由于二阶曲线可以看成是由两个射影线束所产生。而且此两线束的中心也是属于这二阶曲线的，表面看来，似乎此两个线束的中心与二阶曲线的其它点有所不同，然而事实正相反，这两个点和其他的点完全是处于平等的地位。由基本定理立刻可以得知：二阶曲线上任意两点都可以作为构成线束的中心。在一般情况下，给定了无任何三点共线的五个点，就可以唯一确定一条二阶曲线。

二阶曲线与二级线束的关系主要体现在Maclaurin定理中，即对应于非退化二阶曲线的切线的集合是一个非退化二级线束，对应于非退化二级线束的切点的集合是一个非退化二阶曲线。因而二阶曲线与二组线束是同样的东西。值得注意的是退化的二阶曲线无对应的二级线束，而退化的二级线束亦无对应的二阶曲线。这里有两个定理，一个是“射影轴与二次曲线的交点就是自身对应点。”另一个是“二次曲线的射影点列可由三对对应点来决定。”有了这个定理，对于我们研究两个二次点列的射影对应，只要研究它的三对对应点就可以了。

cehn886	2009-05-23 05:59
强帖留名我看完0楼就不想看了有时间一定看完

henryharry2

2009-06-02 11:09

通常物理时空为四维，为什么我们要了解三维时空的规范理论呢? 一方面，因为三维时空规范理论同样具有重要的物理应用，例如，当我们对大爆炸初期宇宙论分析时，需分析有限温度场论，而四维量子色动力学的高温极限可以用三维量子规范理论表述。这因为有限温度场论常可表达为在纯虚时间的形式。在此区间Bose场被周期地定义，Fermi场被反周期地定义，它们的能级均为离散的，当分析高温极限时，可用三维场论作用四维物理的唯象描述。又例如，当我们分析量子Hall效应，讨论二维电子气体时，也需要分析三维时空的规范理论。另一方面，通过分析三维时空的规范理论，可以更清楚地看出场论的大范围拓扑性质对规范不变性，对量子力学及其相应的各种离散对称性的影响。奇维时空会有崭新现象，它们与各种高阶奇维Klein-Kaluza理论有关。

henryharry2

2009-06-05 09:14

切矢量与余切矢量虽然相互对偶，但是在子流形嵌入时起的作用不同。我们知道，在流形N上给定一曲线，就在曲线每点选定了一个切向量。反之，如果在流形N上给定了一个向量场X，从流形N上任一点p出发，是否能找到一曲线，使其上切线恰为曲线所经过点上的向量场？为了说明此问题，我们需要对切向量场X在p点邻域的性质进行认真地分析。

如在点p∈N,X=0，则称点p是切向量场X的一个临界点(critical point)，切向量场在临界点附近的性质十分复杂，而流形上可微切向量场的临界点与整个流形的拓扑性质密切相关。可微切向量场在非临界点(称为普点)附近的性质很简单。设点p∈N是切向量场X的普点，可以证明，必能找到一条(且仅有一条)通过点p的光滑曲线，使此曲线上切线恰为曲线所经过点上的向量场X，这样的曲线称为向量场X的积分曲线。要求此曲线的切向量就是给定的切向量场X，即要求解一阶常微分方程，在p点邻域有唯一解，所得积分曲线为流形N的一维子流形。

积分曲线有性质：(1)由于解唯一，故不同积分曲线不相交；(2)在流形N的每点(向量场的临界点除外)都有积分曲线通过，流形上积分曲线集合形成线汇，此线汇本身可看成是(n-1)维流形；(3)在p点邻域，可选坐标系，使坐标线就是积分曲线。

henryharry2

2009-06-05 13:17

根据反演把圆变到圆的性质立即得到反演是保持夹角不变的。两个相交圆之间的夹角有两个，它们互为补角，自然地定义为在它们的一个交点处的两条切线所成的角。在关于连心线的反射下，明显地可知，两个圆在它们的两个交点处的角是对应相等的。如果两个圆相交成直角，有两个交点，则称它们是彼此正交的；这时，在每一个交点处，其中一个圆的切线正好是另一个圆的直径。彼此正交的圆反演成彼此正交的圆。

设两个不同点P和P’关于圆ω是互为反演的，则通过P和P’的任意一个圆是它自己关于ω的反演像，并且它和ω是正交的。反过来，每一个与ω正交的圆必是它自己关于ω的反演像。上面的讨论允许我们用正交性来重新定义反演。事实上，我们有反演的“逆”定义：圆ω上的任意一点是自反演的；其余的点P的反演像是经过P点，且与ω正交的任意两个圆的第二个交点。

henryharry2

2009-06-05 14:09

对流形上函数，可求其沿某曲线方向的微分，但是对于向量场，则无法自然地给出沿某方向的微分。这是因为，向量场本身不是取值在同一确定的向量空间，流形上不同点上的向量属于不同的向量空间，虽然这些空间相互线性同构，但是却不能由流形结构本身得到相应的正则同构。外微分算子是对流形上函数全微分的推广，但是外微分算子d仅可作用在微分形式上。问题在于如何对流形上任意张量场进行微分运算。

对流形上任意张量场，取讨论张量场对底空间坐标进行微分或取导数运算，需将一点张量与邻近点张量进行比较，一般有两种办法：(1)流形上给定一向量场X，使流形上定义单参数变换群，使得在同一积分曲线上各张量场间可建立联系，进行比较，因而能定义张量场K的Lie导数；(2)在流形M上每点引入联络系数，使该点与邻近点间的切空间建立一定联系，使能对张量场K进行协变微分▽K,使▽K仍为张量场。我们先分析Lie导数运算。

当流形M上给定了一个可微向量场X，可产生流形M的微分同胚变换。除向量场X的临界点外，通过流形M上每点p都有一条积分曲线，其集合形成线汇。微分同胚变换的集合形成流形M上的单参数Lie变换群，为Abel群，此单参数变换，称为流(flow)。以上分析表明，当流形M上给定了一个向量场X；就给定了流形M的一个单参数Lie变换群。

henryharry2

2009-06-05 15:40

我们简单讨论Riemann曲率张量的计算问题。当流形上给定了度规张量场时，可计算出Riemann联络，然后求得Riemann曲率张量。这种计算方法往往很繁。用Cartan 的活动标架法，利用Cartan的两个结构方程，计算曲率常更有效，尤其是当流形具有一定的对称性时，更加方便，并且能够立即得到标架场分量。微分几何一方面将微积分(分析)应用于几何学，同时也对基本的微积分现象提供几何解释。

物理动力学各种解流形常为Riemann流形，可分析其特点并给以几何解释。注意到任意Riemann流形常可嵌入高维欧氏空间而作为其子流形，而流形的Riemann度规可由嵌入欧氏空间的诱导度规组成，故我们特别注意研究欧氏空间的子流形。由于人们生活在三维空间中，对三维空间有直观的几何印象，可以利用活动标架法对三维空间的曲线与曲面进行分析，它们的几何意义很明显。

对曲面M作同胚映射，如要求曲面M上任意光滑曲线C的像的弧长与曲线C的弧长相同，则称为等长映射。例如，将一张纸光滑地无伸缩地变形，均为等长映射。曲面M在等长映射下不变的性质，称为曲面的内蕴性质，它们只能用曲面的第一基本量度规以及其偏导数表示。例如曲面上曲线弧长、两切向量间夹角、曲面面积等均为曲面的内蕴性质。而Gauss定理表明，曲面的Gauss曲率也为曲面的内蕴性质，这是Gauss的一项重要贡献。

henryharry2

2009-06-06 10:46

对理论物理工作者来说，Lie群、Lie代数及其表示大家都很熟悉。由于Lie群是分析流形对称性的重要工具，在讨论纤维丛及其联络时非常重要，Lie群流形本身为最重要的一类微分流形。群流形的变换会诱导群流形上张量场的相应变换，在群流形上最重要的张量场是左(右)不变张量场。向量场为向量丛的截面，即为在流形上每点按一定规则在该点切空间T(G)中选出一个向量。左不变向量场是被整体定义的，并为可微向量场。

群上不变向量场可被它在任意点的取值(例如在恒等元处的取值)完全确定。G上左不变向量场集合为与切空间T(G)同构的n维向量空间，即左不变向量场加左不变向量场仍为左不变向量场，左不变向量场与数乘仍为左不变向量场。在群G流形上有n个线性独立左不变向量场。Lie代数L(G)中任意左不变切场X均可产生群G的整体单参数变换群。因为切场X可产生单参数局域变换Lie群，故可产生群G的整体单参数变换群。

Lie群G的局域性质完全由Lie代数L(G)决定。Lie群G线性化得到Lie代数L(G)，另一方面连通Lie群的所有群元均可由Lie代数元(称为Lie群G的生成元)通过指数化产生。具有相同Lie代数的Lie群称为局域同构，但是局域同构Lie群不一定整体同构。例如SU(2)群与SO(3)群局域同构，有相同的Lie代数，但是SU(2)群为单连通群。在分析Lie群及Lie代数的结构时，常利用它们的表示，即将它们与相应的矩阵群及矩阵代数间建立同态对应。

henryharry2

2009-06-08 08:24

内蕴几何简单地就是曲面上的几何。内蕴几何这名词的本身的意义是说，研究的只是曲面本身的内在的性质，而不依赖于曲面在空间中是怎么弯曲的。内蕴几何最简单的情形之一是球面几何，球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来讨论。再者，在古典天文学的讨论中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度则相应于单位球面上两点之间的球面距离。这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣。

内蕴几何的众所周知的例子就是球面几何，在测量地球表面内我们实质上就要用到它，这个例子特别适宜于说明内蕴几何的本质；事实上，由于地球有很大的半径而把直接看到的一块平面理解成平的，因而在测量很大的距离时而观察到的与平面几何的差异就出现在我们面前。从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的，所以向量代数又是讨论球面几何的简明有力的利器。球面三角学研究球面三角形的各种各样几何量如边长、角度、面积、外接圆和内切圆的半径等等的相互关系。

黎曼空间的最简单的例子是具有其内蕴几何的任何光滑曲面，曲面的内蕴几何是二维的黎曼几何。实际上，光滑曲面在其每个点邻近与切平面很少差异，而且当我们讨论的曲面区域越小时，这个差异也就越小；所以在曲面的微小区域里的几何与平面上的几何很少差异，而且区域越小，这个差异也越小；然而在较大的区域里，曲面的几何显得也欧几里德几何不同。黎曼几何不是别的，正是曲面的内蕴几何从二维到任何n维的推广。近年来，各种非欧几里德空间的几何学在各个方向都得到重大的发展和推广，产生了包括黎曼几何作用特别情形的一个新的理论，其中之一是伟大的法国几何学家Cartan的联结了黎曼几何与Klein的爱尔朗根纲领的空间的一般理论。

henryharry2

2009-06-08 14:45

在数学上，微分几何的结构嘉当联络(Cartan connection)是联络概念的一个推广，由Elie Cartan提出。该方法的一些应用请参见活动标架法, 嘉当联络的应用和爱因斯坦-嘉当理论。它由埃里·嘉当提出,作为他的活动标架法的一部分(和一种表述方法)。它可作用于微分形式，所以带有计算的特征，但也有两个其它重要的方面，两个都更偏几何。嘉当重新表述了伪黎曼几何的微分几何；并不仅仅是(度量)流形，还有任意流形的理论，包括李群。这是用活动标架的术语来表述的，特别是作为广义相对论的另一种表述。主要的想法是用正交标架建立联络形式和曲率的表达式。嘉当形式化是协变导数和曲率的一种可选表示法，它采用微分形式和标架。虽然它最基本的形式是坐标相关的，它非常适合计算。它也可以用标架丛的术语来理解，并且有象旋量丛(spinor bundle)这样的推广。

理论的第一个方面指向主丛的理论(也可以成为标架的一般理论)。对于李群G的主丛上的联络的想法比较容易表述，因为在“竖直方向”，可以看到所需的数据可以通过把所有切向量平移回单位元(回到李代数)给出，而联络的定义只是简单的加上一个相容的‘水平’分量。若G是对于另一个李群H的一种仿射群-也就是G是H和一个H作用在其上的向量平移群T的半直积，则一个H丛可以通过关联丛(associated bundle)构造变成一个G丛。也有一个关联的T丛: 一个向量丛，H以自同胚作用于其上，该自同胚在G上成为内自同胚。

一般来说，在流形M上不存在整体的标架场；由于流形上的仿射联络总是存在的，所以在标架丛P上总是存在整体的标架场；从这个意义上说，标架场流形P显得比底流形M要简单。Pfaff方程组在P上定义了纵空间场V；我们把Pfaff方程组在每一点所确定的m维切子空间H(x)称为横空间；方程组所确定的m维分布称为横空间场H。反过来，如果在标架丛P上给定了m维切子空间场H，则在M上存在仿射联络D，使得H是标架丛P上关于联络D的横空间场。所以，从标架丛上看，仿射联络等价于具有一定性质的m维切子空间场。

henryharry2

2009-06-08 16:37

多数读者都熟悉多项式曲线，即按多项式定义的曲线，多项式曲线可以用仿射空间和仿射坐标明确的定义；虽然很多曲线都可以用仿射多项式方法定义，但圆、椭圆、双曲线等却无法用这种方法定义。一种最简单的方法是允许用有理函数代替多项式扩展参数化曲线的类型，但当有理函数的分母为0时，曲线成为无定义的；一种处理分母消失情况的明晰方法是工作在射影空间，我们可以将分母为0的情况投射到射影空间的无穷远处。

根据欧氏平面上的中心射影法，我们发现在欧氏空间的中心射影法是有缺陷的，就是它的点和点的射影间不能成为一一对应。因此我们对于欧氏空间必须进行改造，以便使得改造的空间即射影空间适合于中心射影法；这种改造就是在每条直线上添加一个无穷远点，在每个平面上添加一条无穷远直线，用这种添加无穷远元素的方法所得到的新空间就叫做射影空间。另外射影直线应该是封闭的，射影平面和射影空间也应该是封闭的。

在射影空间里，每个中心射影法都是一个变换，因为平行射影法只不过是以无穷远点作为射影中心的中心射影法，射影空间统一了平行射影和中心射影。在初等几何里，也可以引用无穷远元素，但只是一种文字表达方式。相反地，在射影几何里，无穷远元素应该认为是实有其物，而且应该与有限元素一视同仁，它们之间没有任何本质上的区别，有限元素与无穷远元素都是射影空间的有机组成部分。

henryharry2

2009-06-09 14:00

线性微分方程的理论尔后为庞加莱和Felix Klein所追随；他们引进的课题叫做自守函数，它不但对其它各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其它函数的推广。所有这些群都是不连续的；就是说，在群的变换下，任何一点的所有变式的数目在任何有界区域内都是有限的。自守函数的名称今天已用于包括分式线性变换群或这个群的某些子群作用下不变的函数；此外，在复平面的任何有限部分上，这个群必须是不连续的。

研究的最早的自守函数是椭圆模函数，这些函数在模群或它的某些子群的作用下是不变的，所谓模群就是分式变换群；这些椭圆模函数是从椭圆函数导出的。更一般的自守函数是为研究二阶线性微分方程而引进的，在复平面上当z绕闭路径走一圈时，商群ζ(z)就变为分式线性变换，每个特解ζ(z)都是一个从上半z平面到ζ平面上的以圆弧为边的保角变换。在区域由三圆弧围成的情形下，如果这三角形的角满足一定条件，则ζ=ζ(z)的反函数就是一个Schwarz自守函数，它的整个存在区域是半平面或圆。在ζ经分式线性变换的群中的元素变换后，这函数保持不变，而分式线性变换把上述那种形状的任一曲线三角形变到另一曲线三角形；在这变换群的作用下，这个区域变成类似的三角形，它们的和覆盖了半平面或圆。

庞加莱和Klein的工作从这个基点上继续前进，以椭圆函数理论为指导，庞加莱发明了一类新的自守函数；这是Fuchs型自守函数类，由在基本圆内单值一致的全纯函数组成，这圆在分式线性变换类作用下是不变的；这些使圆和其内部保持不变的变换形成一个群，叫做Fuchs群；Schwarz函数是Fuchs型函数的最简单的例子。这样，庞加莱就证明了比椭圆函数更为普遍的自守函数类的存在性。

Fuchs型函数有两类，一类存在于整个平面上，另一类只存在于基本圆的内部；庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情形，并考虑了这种群的几种类型，庞加莱把这种群叫做Klein群；对这些Klein群，庞加莱得到了新的自守函数，即在Klein群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做Klein函数。这些函数有类似于Fuchs型函数的性质；然而，这些新函数的基本区域比圆要复杂。

henryharry2

2009-06-11 14:47

这门几何学，完全以欧几里得的初等平面几何或它的近代版本为基础，很快被认为是学院的课程的优秀材料，或许没有其他领域，包含这么多可以被读者直接接受的几何真理，而在发展方法与技术时只需要很少的预备知识。熟悉高中数学与三角术语的学生，就足以从这门学科的课程中获得充分的益处。因此，这一课程非常适合于中学数学教师。

学习这新的初等几何有几种途径，有些作者自由地使用中心射影的射影方法与非调和比；另一种方法是解析的，采用重心坐标。本书的观点是：既然这门学科专门研究与全等形、相似形有关的初等概念，而综合射影方法或解析方法的处理，需要更费心的基本概念，它们关于变换的射影群不变，所以更优雅，更远为适当的办法是仅用欧几里得的全等与相似的关系。这样，可以取得直接、统一的处理，而用较高等的几何的更有力的方法，这些方法却似乎要失去。于是，在本书中，关于定理的构成与证明，我们都仅限于研究相等与相似图形。

关于圆的反演的大量应用，可能被认为是破坏了这种统一性；但虽然几何学家可以将反演看作二次Cremona变换，用相似形和比例来定义反演也是同样容易和自然的，这就说明引入和使用反演是合理的。本书所用材料，绝大部分可以从标准的来源获得。

henryharry2

2009-06-12 09:54

共形变换是一种解析函数所构成的复平面区域到另一复平面区域上的一对一的映射，共形变换中最简单的是分式线性变换，共形变换作为函数时是区域上的单叶解析函数。在复平面G内的单叶解析函数的导函数处处不等于0，从而处处保角，共形变换也称为保角变换；因此，G上的共形映射与G上的单叶解析函数是相互等价的概念。由于单叶解析函数的反函数存在，并且仍为单叶函数，从而解析。

Riemann映射定理阐述了共形映射的存在性，而没有指出具体求解共形映射的方法。边界对应原理在研究区域间的共形映射中直到简单明了的作用，这个定理告诉我们，主要通过考虑区域边界间的变换来确定共形映射，或者由区域边界在给定的共形映射下的像曲线确定像区域。边界对应原理的证明需要Jordan定理：简单封闭曲线将复平面分为两个区域，一个是有界的；另一个是无界的，Jordan定理的证明需要拓扑学的知识。

庞加莱变换是保持在壳条件的最一般的坐标变换，但是一个更大的共形群能够在无质量情况下保持这个条件。虽然在自然界没有观察到共形对称性，它对于场论中所有方法都很重要：(1)在量子场论中按照耦合的无质量场可以描述所有的有质量场。无质量理论是共形理论的子集，共形群比庞加莱群更加简单。(2)在所有微扰量子场论中，只有在高能区共形的那些才是正确的，高能区对共形不变性的量子修正相对比较简单。(3)自对偶性对找到经典场论的解以及简化微扰论都相当有用，并与量子场论中的扭子密切相关；自对偶性与共形不变性有关：例如可以证明任何奇数维中的自由共形理论只有那些在壳场强为自对偶的才是正确的。

henryharry2

2009-06-12 11:38

最简单的共形变换是分式线性变换；分式线性变换可以分解为基本形式的复合形式。两条曲线在无穷远处的夹角定义为两条曲线在w=1/z下的像曲线在原点处的夹角，且方向相同；该定义从几何上来看是合理的，复平面对应Riemann球面，无穷远对应此球面的北极点，因此两条曲线在无穷远处相交放到球面上就为两条曲线在球面的北极点处相交。我们把复平面上的直线视为半径无穷大的圆，因为这样的直线对应于球面上一个过北极点的圆。

henryharry2

2009-06-20 08:23

Charsles在他的《概述》里为Poncelet辩护，Chasles的论点是，不要把本质上依赖于元素的虚实的性质从一个图形转移移到另一图形上去。例如圆锥的一个截口可能是双曲线，因而它有渐近线。当截口是一个椭圆，渐近线就变成了虚的，因此不应去证明一个只同渐近线有关的结果，也不应把抛物线的结果转移到双曲线上去。接着，他讨论了有公共弦的两个相交圆的问题，当两圆不再相交时，公共弦变成虚的；他说，实公共弦通过两个实点这件事是一种附带的或偶然的性质，必须以某种办法来定义这条弦；例如可以定义它为(实的)根轴，意思是这条线上的任何点到那两个圆的切线长都相等；也可以利用这么个性质来定义它，即以这条线上任何点为圆心能画一个圆与那两个圆都垂直相交。关于两个不同心的圆，幂相等的点的轨迹是一条与两圆连心线垂直的直线；当两圆相交时，它就是过两圆交点的直线。

如果从一个定点作直线与一个定圆相交，那么从这定点到两个交点的距离的积是定值。点P关于圆心为O、半径为r的距离的定积称为圆的幂。如果点P在圆外，那么P关于这个圆的幂是正的，并且等于P到这圆的切线的平方。如果P在圆上，这幂是零。如果P在圆内，这幂是负的；它可以解释为过P的直径被分成两条线段的积，或过P而且垂直于OP的弦的一半的平方的相反数。过圆内一点P，垂直于OP的弦，被P点平分，称为P点的最小弦。如果点在圆外，幂的关系用圆的切线简洁地表示；如果点在圆内，则用最小弦表示。

关于两相圆的幂相等的点的轨迹，称为这两个圆的根轴；两个同心圆的根轴定义为无穷远线。任意两圆有一条根轴，根轴在两圆外的部分，是到两圆的切线相等的点的轨迹；在两圆内的部分，如果有的话，是关于两圆最小弦相等的点的轨迹；这样的点可以作为圆心，这圆与任一已知圆的公共弦是它的直径。

henryharry2

2009-06-20 09:14

三个圆中每两个的根轴，这三条直线交于同一点。因为任两条根轴的交点关于这三个圆的幂相等，所以必在每三条根轴上；对各种特殊情况，即一个或几个圆为零圆，或其中两个圆同心，或它们的圆心共线，定理仍旧成立。三个圆的根轴的交点称为根心；如果它在这些圆外，那么它是到这三个圆的切线相等的唯一的点。

如果两个圆相交，根轴就是过交点的直线。否则可以作一个辅助圆分别与两圆相交，两条公共弦的交点是三个圆的根心，因而是所求的根轴上的一个点。两个相交的圆所成的角，是过任一交点所作两圆的切线组成的角；或相当地，定义为在任一交点的两条半径所成的角。两个圆交成直角的情况，特别有趣。

以两个相交圆公共弦上任意一点为圆心，可以作一个圆，这圆与任一个已知圆的公共弦是它的直径；这弦也是已知圆在这点的最小弦。类似地，如果三个圆的根心在圆内，它们过这点的最小弦是一个圆的直径，这圆的圆心是根心。

henryharry2

2009-06-20 09:40

一组圆，其中每两个的根轴都是同一条直线，称为共轴圆组。第I类的共轴圆组，由所有圆心在一条已知直线上且与一个已知圆正交的圆组成。与两个定圆正交的圆必定与这两个圆的共轴圆正交。因为这个圆的圆心在两上定圆的根轴上，半径等于圆心到每个定圆的切线，而这切线对所有与两个定圆共轴的圆都相等，所以所说的圆与共轴圆组中的圆都正交。与两个定圆正交的所有圆，成一共轴圆组。

共轴圆组共有五类：(I)、所有不相交的、圆心共线并且都与一个定圆正交的圆。(II)过两个定点的所有圆。(III)与一条公切线切于定点的所有圆。(IV)、有一个公共圆心的所有圆。(V)过同一点的所有直线。在第II类共轴圆组中，每一个圆是对公共弦所张的角为定角的点的轨迹。

henryharry2

2009-06-20 10:11

对应边互相平行的两个相似形，过它们每一对对应点的直线必交于同一点，这点称为位似中心。在一般情况下，两个相似形在同一平面，但对应边不互相平行，这时存在一个相似中心，即自身对应的点，它关于这两个图形具有同样的对应位置。由相似三角形容易证明，每一对对应点的连线通过点O；这点称为位似中心或相似中心，比k称为两个图形的相似比；k可取任意的正值或负值。如果k是正的，对应点在O的同侧，对应边的方向相同；如果k是负的，O在每一对对应点之间，对应边的方向相反；在前一种情况，O称为外相似中心；在后一种情况，O称为内相似中心。

如果两个图形的所有对应角都相等，并且旋转的方向相同，那么这两个图形称为顺相似；如果两个图形的所有对应角都相等，但旋转的方向相反，但旋转的方向相反，那么这两个图形称为逆相似。如果两个图形的对应点的连线交于同一点，那么这两个图形称为互相位似，位似图形之间的关系称为放缩。

henryharry2

2009-06-20 10:34

两个圆可以用两种方式看成位似形。如果在两个不同心的圆内，作平行而且方向相同的半径，那么连结半径端点的直线通过连心线上的一个固定点，这点将连心线外分为两段，它们的比等于两圆半径的比。如果作方向相反的平行半径，那么半径端点的连线通过连心线上一个固定点，这点将连心线内分为两段，它们的比等于两圆半径的比。将两圆连心线内分与外分为两圆半径之比的两个点，分别称为这两个圆的内相似中心与外相似中心，或内位似中心与外位似中心。

两圆的平行的半径的端点，关于与它们共线的位似中心，称为对应点；如果分别在两个圆上的点与位似中心共线，但不是对应点，则称为关于这个位似中心的逆对应点。换句话说，过位似中心的一条直线交两个圆于四点；由位似中心到两个逆对应点的距离的积是常数。

henryharry2

2009-06-20 10:51

有四种关于图形的基本变换与相似的概念有关：平移、图形绕一定点旋转、关于一个固定的位似中心放缩、关于一条直线的反射。显然，将一个图形施行任意多次的上述变换，最后所得的图形与原来图形相似，并且根据反射的次数为偶数或奇数，相似为顺相似或逆相似。转缩或旋转的中心称为这两个图形的相似中心；旋转角与放缩的比分别称为相似角与相似比。根据上述观点，两个圆可以以无穷多种方式看成互相相似，两圆上任一对点可选作对应点。

我们可以考虑内接于两个圆的相似多边形；当其中一个多边形绕所在圆心旋转时，相似中心的位置也随之变动；不论两多连形的位置如何，相似中心到两圆圆心距离的比为定值，即等于两圆半径的比。因此，在两圆相等时，所求轨迹是连心线的垂直平分线。两个不同心的圆的相似中心的轨迹是一个圆，这圆以这两个已知圆的两个位似中心的连线为直径。

henryharry2

2009-06-20 11:09

如果一个动点到两个定点的距离的比是定值，那么这个动点的轨迹是一个圆，圆心与两个定点共线。如果给定三角形的一条边及其他两条边的比，那么第三个顶点的轨迹是一个圆，圆心在已知边的延长线上。对一个给定的三角形，这个定理定义了三个圆，称为Apollonius圆。两个圆的相似圆是上述定理的特例，并且这相似圆在以这两个圆为极限点的共轴圆组中，相似圆与这些圆共轴。如果将一条线段以数值相等的比内分与外分，那么以两个分点的直径两端的圆是以这条线段的端点为极限点的共轴圆组中的一个圆。

两个圆在逆对应点处的切线相交于根轴上。反过来，从根轴上在圆外的点，向两个圆可作四条切线，关于每一个位似中心，切点分为两对逆对应点。换句话说，如果一个圆与两个已知圆正交，交点成方式如上的逆对应点。如果两个圆中，过逆对应点作半径，并延长至相交，交点是与这两个圆相切于已知逆对应点的圆的圆心。反过来，如果一个圆与两个已知圆相切，切点是两个已知圆的逆对应点，并且在这些点的切线相交于根轴上。一个固定圆与一个共轴圆组的每个圆的根轴相交于同一点。如果两个共轴圆组有一个公共圆，那么这两组圆与一个圆正交或过一个定圆的对径点。

henryharry2

2009-06-22 09:16

在微分几何学中，与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率。与空间曲线有关的还有所谓密接平面和挠率。曲线的长度是内接于这曲线的折线的长度当折线的顶点在这曲线上无限制地密集时的极限，可以考虑普通的黎曼积分来加深我们的认识。空间曲线长度是对应的，但是稍有不同的公式；要依照这个定义实地来计算长度，当然并不总是简单的；例如圆的长度用这个定义来计算就很复杂。但是，定义并不只是用来作计算的，特别地，定义对于长度性质的研究，对于长度与其他几何量的关系等等，都是很重要的。

对应于求函数f(x)的微分的是作曲线的切线；切线的斜率正是函数f(x)在对应点处的导数。切线具有一个重要的几何性质：在接近切点处，曲线与这条直线的差异在一定的意义下小于与任何别的直线的差异；因而在曲线的一小段上可以用切线来代替它，所具有的误差与所取线段的大小相比是很小的。在连上极限过程以后，这种方法给出十分正确的结果。

设A是曲线上的点，M是接近A点的。在这些点处的切线之间的角表出曲线的从A到M的片段上的旋转。作为例子，我们来讨论圆的曲率。明显地，半径OA和OM之间的角φ和在点A和M处的切线之间的角φ是相等的，这是因为它们的边互相垂直的缘故。角φ所张的弧有长度；角度与长度的比值是常数，作为这个比值的极限值的圆的曲率，在圆的所有点处都相同而等于半径的倒数。

henryharry2

2009-06-22 10:20

曲面在已知点处的弯曲性由曲面离开其切平面的迅速程度来决定；我们来讨论通过点M处的法线的平面截割曲面而成的曲线；这些曲线叫做法截线。法截线的曲率带有符号，当它的凹面向着法线一侧时，法截线的曲率取正号，当它的凹面向着另外一侧时，曲率取负号。法截线由它所在的平面与切平面上一条初始的射线所成的角φ给定；曲面可以弯曲成各种各样的形式，因而曲率对于角φ的依赖关系看来可以是任意的；事实上却并非如此。对于在微分几何里研究的正则曲面，存在着由欧拉发现的简单法则。

可以证明，在曲面的每个点处存在着这样两个方向：(1)它们互相垂直；(2)向着这两个方向的法截线的曲率是所有法截线的曲线中的最大值和最小值；这样的方向叫做曲面在已知点处的主方向，而最大和最小曲率则叫做曲面在已知点处的主曲率。这个欧拉定理表明，尽管曲面是各种各样的，它们在每个点邻近的结构，以与已知点的变动相比是二阶微小的正确性来考虑，可能有的只是一些完全确定的类型。在知道了两个主曲率以后，曲面上的任意曲线的曲率就由它的切线的方向以及它的密接平面和曲面法线之间的角决定。

在曲面理论的很多问题里，起重要作用的不是主曲率本身，而是与它们有依赖关系的量：所谓曲面在已知点处的平均曲率和高斯曲率。曲面在已知点处的平均曲率是指主曲率的和的一半。求张在已知周界上的极小面积的曲面问题，从物理的观点看这是很自然的，因为薄膜趋于缩小，而且唯有当其表面在已知条件下达到可能的极小面积时，才是稳定的平衡状态。由于这个问题，零平均曲率的曲面叫做极小曲面。

henryharry2

2009-06-22 10:52

曲面在已知点处的高斯曲率K是指主曲率的乘积。高斯曲率的符号决定了曲在在所讨论的点邻近的结构的特性。当K>0时曲面有碗的形状，当K<0时曲面有马鞍的形状。高斯曲率的绝对值给出的是从各个方向的曲率分布抽象出来的曲面的一般弯曲程度的观念。决定高斯曲率在曲面理论中的地位的是以下的重要性质：设想所讨论的曲面由可以弯曲但是无伸缩性的材料制成，它的一小块可以经受弯曲，使它改变形状而不拉长或折断；这时主曲率将要改变，但每个点处的主曲率的乘积却保留不变。保留不变的还有另外一些与曲面有关的几何量，例如曲面上的图形的面积。曲面在弯曲变形下不改变的所有性质，就组成曲面的所谓内蕴几何的对象。

曲面和曲面上的图形的某些直接与它的空间形式有联系的性质，即某些所谓外在几何的性质，由曲面的内蕴几何决定。举例说，曲面的高斯曲率就由它的内蕴几何决定。另一个例子：对于处在曲面上的曲线，主法线到处与曲面法线重合的必要和充分的条件是，这曲线具有确定的内蕴几何的性质，它即是测地线。

henryharry2

2009-06-22 11:23

Poncelet研究关于圆锥曲线的配极的目的之一是要建立对偶原理。射影几何的研究者们曾经注意到，涉及平面图形的定理如果把“点”换成“线”，“线”换成“点”重述一遍，不但话谈得通，而且竟是正确的。这样重述所得出的定理为什么还成立？其原因是当时是怀清楚的，并且Brianchon事实上还怀疑过这个原理。然而，这个配极关系需要一个圆锥曲线作中介。Gergonne坚决主张这对偶原理是一个普遍原理，适用于除了涉及度量性质外的一切陈述和定理；极点和极线是不必要的中间支撑物。

后来，Poncelet、Gergonne和Chasles之间开展的讨论完全弄清了对偶原理。Mobius在他的《重心计算》中很好地说明了对偶原理与配极的关系：对偶的概念和圆锥曲线、二次型无关，但当后者能用时，就与配极一致。极点与极线的理论通常属于射影几何的范围，用初等方法很难适当地处理，但由于它与反演有密切的关系，也可以作一些简单的讨论。

设两个点关于一个圆互为反演，则过第二个点并且与这两点连线垂直的直线，称为第一个点关于这个圆的极线；这点称为这条线的极点。除反演中心外，每一点有一条确定的极线；每条不过反演中心的直线有一个极点；反演圆上的点，极线是过这点的切线，切线的极点就是切点。其他情况，极线都不过它的极点。为完整起见，反演中心的极线定义为无穷远线；反演圆的任一条直径的极点，是与这直径垂直的方向上的无穷远点。

henryharry2

2009-06-22 11:28

可以用二维几何来领悟Klein的思想；在射影平面内选取一个二次曲线，此二次曲线将为绝对形。其点坐标坐标方程为F=0，其线坐标方程为G=0。要推导Lobatchevsky几何，二次曲线必须是实的；对正的常曲率曲面上的Riemann几何来说，二次曲线是虚的；对Euclid几何，二次曲线退化成两根重合直线，齐次坐标用x=0表示，并在此轨迹上选取两个无穷远虚圆点，它的齐次坐标为(1, i,0)及(1, -i,0)；在各种情况下二次曲线都是实方程。

为了说得具体起见，设二次曲线为Lobatchevsky几何的边界。若P1与P2为一直线的两点，此直线与绝对形相遇于实的或虚的两点Q1和Q2，则距离取作d=c log(P1P2, Q1Q2)括号中的量表示四个点的交比，c是一常量；此交比可用点的坐标表示。再者，若有三点P1、P2、P3在此直线上，立即可以证明P1P2+P2P3=P1P3。可见，可以这样定义距离。

同样，若u和v是两直线，考虑过此两直线交点到绝对形的切线t与w(切线可以是虚的)；则u及v的夹角定义为φ=c’log(uv,tw)，其中c’是常量，括号中的量表示四直线的交比。为解析地给出d和φ的表达式，并证明它们与绝对形的选取有关，设绝对形的方程为如上所给的F与G。常量c’一般取为i/2，使得φ是实的，且全中心角是2π。

henryharry2

2009-06-22 14:06

紧致无边二维光滑曲面M的Euler数可以由其上任意光滑向量场的孤立奇点指数和决定；孤立奇点的指数是利用Gauss映射定义的。例如，在二维流形M上存在光滑磁场，可用罗盘磁针指向表明磁场方向，在磁场的孤立零点处，磁针指向不确定，但由于零点为孤立奇点，在零点周围，指针都有一确定方向，指针指向就相当于Gauss映射。当罗盘绕零点转一周，指针在罗盘中转的圈数，就是磁场在零点的指数。总之Euler数是椭圆微分算子的解析指数，是整体不变量；用局域不变的曲率2形式的积分，此即Atiyah-Singer指数定理的特例。

henryharry2

2009-06-22 14:51

通常认为曲率是流形的实质几何量，而联络不是，因规范变换时规范势即联络的变换非齐性，没有本征零点。而Bohm-Aharonov效应告诉我们，联络是比曲率更基本的几何对象，曲率为0仅仅表明绕一非常小的闭环路平行输运时和乐群为恒等元，通常可用不可积相因子来描写平行输运，非0场给出局域不可积，而大范围的不可积具有拓扑特征；即使对于0场，也可能需要用规范势表示的次级示性类标志，联络是基本的几何对象，而为了表示联络所需选择的规范是非实质的。

流形的整体性质与局域性质密切相关，流形在一点的曲率是流形的局域性质，在三维欧氏空间中二维面的曲率可以是局域常数，但整体具有常曲率的紧致闭曲面必为二维球面。流形M上某曲线在一点附近是否为测地线是局域性质，示性类及次级示性类用曲率形式以及联络形式这些局域几何量，来测量纤维丛偏离平庸丛的程度，表明整体不变量与局域性质的密切关系，示性类及次级示性类为局域不变性，而其在整体流形上的积分为标志整体性质的拓扑不变示性数。在理论物理中，场论的大范围拓扑分析对经典场论，尤其对量子场论是极基重要的。

henryharry2

2009-06-22 15:00

在非Abel规范场中存在场自身贡献的荷流密度，此自源流是规范有关的。如何得到有确定物理意义的规范无关的守恒流呢？可与引力场的分析类比，在有外源时可以根据其它物质(带电粒子的相轴，Higgs场方向等)来决定在群表示空间的最优方向n(x)，在无外源时可根据场的对称性分析得到最优方向n(x)，而将第一类规范变换推广为Θ(x)=n(x)δθ。作局域规范变换，选Θ=δθn(x)，其中δθ为与时空坐标无关的常数，对无外源规范场拉氏量按常规变分得对应守恒流。

在这里我们应注意非Abel理论与Abel规范理论(Maxwell理论)有重要区别，后者无自源流，线性规范理论场方程完全由场强表达，不含规范势；而Yang-Mills理论为非线性理论，场方程明显含有规范势，具有自耦合，存在自源流。对于Maxwell理论，在规范变换下，其场强规范不变，而场方程又可完全由场强表达；后来，Bohm-Aharonov效应被实验观察到，人们开始认识到规范势是有实质物理意义的场量；而对于Yang-Mills理论，场方程本身就明显含有规范势，并且场强不是规范不变，仅是规范协变。

对于Maxwell理论的规范变换，其有限形式与无穷小形式有相同的表达式，有限规范变换可由在恒等元附近的无穷小变换的无穷次叠加得到。而对于Yang-Mills理论，其有限变换与无穷小变换表达形式不同，不是所有有限规范变换都可由恒等元附近无穷小规范变换的无穷次叠加得到，即存在拓扑非平凡的有限规范变换，它不能连续地形变为恒等元。非Abel规范场的上述特点，说明规范场势是理论中的基本场量，规范场强不是规范不变的物理量，并且在一般情况下，它不能在规范等价的意义下唯一地确定规范势。

场强相当于张量，而规范势为仿射量，没有确定的0点；场强相当于主丛曲率，是具有几何意义的量，规范势相当于主丛上的联络，虽然不是张量，但是也是有几何意义的量，甚至说是比曲率具有更基本的几何意义。曲率为0仅表示可绕一非常小的闭回路平行输运，但仍可能存在大范围的不可积性。规范势为几何对象，有物理意义，仅规范的选择是非物理的。

henryharry2

2009-06-23 09:44

所谓从球面到它在一点S处的切平面的球极平面射影，就是中心在O点的从球面到切平面的中心射影；这里点O是球面的过S点的直径的另一个端点；在球极平面射影下，球面上的任意一点M的象是直线OM与切平面的交点。在这个球极平面射影下，球面上的点O在切平面上没有象。球极平面射影把球面上的每一个圆变成切平面上的一个圆或一条直线，反过来，切平面上的圆或直线的原象是球面上的圆。球面射影是一种特殊形式的空间反演。

球面射影的变换是一个平面上的点与一个球面上的点的简单关系，由于这个变换与反演的直接关系，图形的很多性质变换后仍然保持。如果球面上一点与平面上一点的连线通过射影中心，那么这两点就称为球面射影的对应点。平面上，过S的直线对应于经线；以S为圆心的圆对应于纬线。如果给有限平面添加一个无穷远点，那么这个点对应于O，上述对应关系就没有例外了。将球面射影作为球在平面上的实际地图；在绘制地图时，球面射影是最常用的方法。

henryharry2

2009-06-24 09:22

Gauss-Bonnet公式真正有用的时候是曲面有边界，在曲面有边界的时候，Gauss-Bonnet公式是顶点+顶点的外角+边的测地曲率，再加上在面的Gauss曲率。比方说，在一个Euclid平面，假使有一个三角形，这个三角形由直线所成。由于空间是Euclid空间，Gauss曲率=0；假使边都是直线，所以测地曲率也是0。要是三角形，Euler示性数是1，这就说明了三角形之和在Euclid平面上等于π。Gauss-Bonnet公式是三角形之和公式在一般情形下的推广。

纤维丛的观念重要极了，由这个纤维丛，Maxwell方程就是这个情况的推广。你到物理应用的时候，你的空间是4维的洛仑兹流形。要表示Maxwell方程的话，你要用到一个圆周丛，它有个曲率，我们的曲率是Gauss曲率乘以面积元素，而这个曲率是个2次微分式，把表示这个曲率是封闭的条件写出来就是Maxwell方程。所以，Maxwell方程的几何背景是非常简单的，就是因为世界是4维的空间，因为这个曲率是一个反对称的2次微分式，因此在4维空间里是一个4x4方阵。由这个方阵所表示的2次微分式是封闭的，即求这个式子的外微分为0，就是Maxwell方程。

henryharry2

2009-06-24 09:55

Darboux的书里头，一个主要的方法是用活动标架，Darboux稍微不用的一点就是没有外微分。他用偏微分，用偏微分比外微分差得多了，假如你的曲面是2维的空间，对于两个变量，你要分别对两个变量求偏微分，而用外微分就简单多了。要研究曲面的话，曲面是一个2维的流形，所以它上头任意一个点是两个变量，我们就叫它局部坐标变量，因此它的坐标是2个变量的函数，所以这个条件使它在每一点有一个切平面。这个切平面当然是很要紧的，因为我们无法研究复杂的图形，只能研究最简单的如直线、平面这些东西。

有了可以定向的曲面之后，由单位法矢量e3讨论曲面不够，你一定要利用曲面上的单位切矢量e1；这样我们就有了一个标架，它有了第一个单位矢量和第三个单位矢量；如果空间是定向的，第二个单位矢量也就完全确定了。单位标架就是三个单位矢量互相垂直并且按照一定的次序。为什么单位标架在几何的研究之中是这么重要？就是因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质，而这运动群就是标架所成的空间。

因为空讲运动不知道在解析的情况之下如何处理，有了标架之后，就可以处理了。标架就是矢量了，而矢量一般是有3个分量的矢量，每一个分量是函数，当然有微分的运算。在某种意义下，还可以有积分的运算。如果曲面是定向的，这个标架主完全确定了；每点有一圈在切平面上头等于单位矢量，而曲面是2维的，所以它们所成的空间是3维流形。这个情况是最简单的，同时是最有用的，所以我们有一个3维空间，由于每一点有个圆周，现在有个名字叫圆周丛。

henryharry2

2009-06-24 10:35

有了圆周丛以后，一切都简单了，我们假定碰到什么函数都可以微分。我叫在这个曲面上的点为x，那么dx是一个矢量，就是从原点连着这个点的矢量，dx一定是单位切矢量e1与e2的线性组合，所以在这个地方，我们可以充分利用外微分的观念。实际上dx是一个矢量值的一次微分式，所以它是e1与e2的线性组合，它的组合系数是一次微分式。你现在有一组标架，这组标架跟一组参数有关系，而对于这一组标架，就有一个邻近标架，这个邻近标架跟原来标架的关系就是容许联络，容许联络的几何意义是平行移动时保持度量性质不变。尤其是在黎曼流形上，切矢量的长度和夹角在平行移动时是不变的；在黎曼流形的一个邻域内不去考虑自然标架场，而用正交标架场往往是比较方便的。流形上一个局部标架场就是标架丛的局部截面，这里的联络矩阵不是别的，正是标架丛上的一次微分式。

在这个情况下，微分几何跟力学不大一样，力学往往变量是时间，所以一个标架跟着时间在移动，因此你整个标架只有一个变量，都是时间t的函数。现在我们是一个曲面，每点有许多标架，我们这个标架的参数是3，自变量的数目高了，这就使得外微分变得有效。联络矩阵关于指标是反对称的，所以联络矩阵实际上很简单：在对角线上的联络等于0，其它的对着对角线是反对称的，因此实际上只有3个一次微分式。而这三个一次微分式对曲面几何是非常要紧的，即它们都可以用微分式来表示。用纤维丛的好处在于，纤维丛的空间是3维的，它上头有确定的一次微分式。

微分式有个最大的优点，就是微分两次后等于0；对于任何函数的外微分两次一定等于0，这就相当于在空间任意取一个区域，再取它的边界，而边界不再有边界；取边界两次一定是等于0。我们把dx再微分一下就等于0，微分之后，就发现所得到的式子是单位法矢量和两个单位切矢量的线性组合，那么它的系数是二次微分式；而对于这个系数是二次微分式的矢量要等于0的话，所有的系数都要等于0。

henryharry2

2009-06-24 11:27

令法矢量的系数为0，就可以得到所谓的Levi-Civita平行性，现在也称为联络。在这个情形之下，Levi-Civita联络就是法矢量与切矢量的一次微分式ω12。注意ω12是纤维丛里头的一个一次微分式，它就有几何的性质，使得我们可以把这个矢量沿着一条曲线平行的移动。假如有另外一个ω12'也适合，我们把两个联络相减就得到0，那么我们用这个引进所谓的Levi-Civita平行性；我们把法矢量这一项取消，取消是什么意思呢？假如有一个矢量，你把它的法单位矢量取消之后，就是沿着法单位矢量的方向取这个正交投影。现在不再是普通的微分了，用D表示这个新的微分。

D是广义黎曼流形的容许联络，这个条件的意思是基本张量关于容许联络是平行的，这个矢量是Levi-Civita意义下平行的。在Euclid几何的时候，这就是普通的平行，现在是普通平行的推广。在曲面上，有个容许联络后，就有了矢量的微分方程，这个微分方程不一定有解，但是假如你有了一条曲线，你就可以沿着这条曲线求解；所以从这个定义了解这个平行性跟曲线的选择有关。假如有一点，另外还有一点，那么你连这两点有两条不同的曲线，你把同一个矢量沿头一条曲线平行，并沿第二条曲线平行，看到的一般不是同一个矢量。

henryharry2

2009-06-24 13:36

上面我们用容许联络讨论了Levi-Civita平行性，如果取这个矢量在法方向的话，就可以得到这个曲面的要紧的不变式。一个曲面与另一个曲面有什么分别？这个分别在于曲率；曲率是曲面上的函数。一般来说，我们用第一基本式和第二基本式来表示。对于第一基本式，它就是曲面的线元，ω1、ω2的平方和就是曲面的度量。在3维空间里，曲面当然有一个度量，就是它的Riemann度量，是一个2次的微分式。我们也可以对法矢量取-(de3,dx)；这个一般叫做第二基本式。

那么有一个第一基本式，还有个第二基本式，你就取它的特征值。特征值的和的一半叫做曲面的平均曲率，特征值的积K叫做曲面的Gauss曲率，这里要紧极了，Gauss曲率有许多有趣的性质。因此这是怎么样从5个一次微分式和它们的线性组合的关系就得到曲面的不变式；平均曲率跟Gauss曲率这两个不变式描述曲面的几何性质。平均曲率等于0的曲面一般称为极小曲面。Gauss曲率更要紧，在曲面上也一样有Gauss映射。曲面上每个点有一个单位法矢量，把这个单位法矢量看成是人个半径为1的球面的点，就把曲面映射到球面上去了。每个点有一个单位法矢量，你在0点画一个单位法矢量跟它平行，它的端点就在单位球面上。那么对于所有的点都做这个构造的话，就在单位球面上得到一个区域。在这个映射下，两个面积元素的比，即它的像的面积元素跟原来面积元素的比就是Gauss曲率。

在曲线的时候，Gauss映射把切线映射到单位圆上头，把单位圆的度量被原来这个度量除就是曲率；现在把这个概念推广到2维，即推广到曲面，所以我们由这个曲面Gauss映射到一个单位球面上头，这两个面积的比就是Gauss曲率。现在有个很要紧的关系，这是个令Gauss惊讶的公式，它证明了Gauss曲率只跟曲面的Riemann度量有关，跟这个曲面在空间的位置无关。换名话说，你把曲面变形(deform)一下，使得Riemann度量不变，Gauss曲率就不变。

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