Thursday, March 14, 2013

liu01 diffgeom01 流形可以描述任何可以用局部平坦空间所覆盖的物体　在年　丘成桐先坦空间所覆盖的物体。在坦空间所覆盖的物体

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物理激发的数学
刘克峰
UCLA and CMS
二十五年前
年　我们　个同学从　泉
年　我们　个同学从　泉路研究生院坐
1986年，我们几个同学从玉泉
年，我们几个同学从玉泉路研究生院坐
一个半小时的汽车来中关村听
一个半小时的汽车来中关村听这样的讨论
个半小时的汽车来中关村听
个半小时的汽车来中关村听这样的讨论
班。戴新生教授介绍了威腾的论文
“Supersymmetry
Supersymmetry and Morse theory”
and Morse theory”。他简单
Supersymmetry
Supersymmetry and Morse theory
and Morse theory 。他简单
地介绍了威腾的文章的大致思路，但其简
洁明了的想法立刻吸引了我　我回去后马
洁明了的想法立刻吸引了我
洁明了的想法立刻吸引了我。我回去后马
上复印了这篇文章，读懂了大
复印了这篇文章，读懂了大概，并开始
考虑在复流形上对全纯向量场实现类似于
实流形上Killing向量场的局部化。
g
威腾的思路
局部化
由此我边学边做，把刚刚学到的
由此我边学边做，把刚刚学到的鲍特留数公
式，谱序列与这个想法联系在一起。
式，谱序列与这个想法联系在一起。我注
式　谱序列与这个想法联系在　起
式　谱序列与这个想法联系在　起　我注
意到它们的共同点就是从局部到整体，或
们的共同点就是从局部到整体，或
者是从整体到局部　这是数学与物理中共
者是从整体到局部。这是数学与物理中共
同的，简单，却非常本质与有用的思想和
非常本质与有用的思想和
技巧　这种思想贯穿了
技巧　这种思想贯穿了威腾与许多物理学
技巧。这种思想贯穿了
技巧。这种思想贯穿了威腾与许多物理学
家的许多工作当中。
类似的想法在数学中出现过，比如亨利
类似的想法在数学中出现过，比如亨利.卡当
考虑过这样的算子，却没有令
考虑过这样的算子，却没有令s趋于无穷。
考虑过这样的算子，却没有令
考虑过这样的算子，却没有令s趋于无穷。
我的硕士论文
我的硕士论文就是这样产生的
我的硕士论文就是这样产生的，是关于复流
形上的全纯向量场，我引进了全纯等边上
形　的全纯向量场　我引进了全纯等边
同调群的概念，把鲍特留数公式理解成等
变同调的局部化　王启明先生很欣赏这篇
变同调的局部化。王启明先生很欣赏这篇
。王启明先生很欣赏这篇
论文，力推我去跟丘成桐先生学习。我当
时根本没有出国的打算　回天津结婚去了
时根本没有出国的打算，回天津结婚去了
。88年2月初，丘先生用快件寄来申请表。
月初，丘先生用快件寄来申请表。
王启明先生帮我收集了杨乐先生与陆先生
，还有他本人的推荐信。
留学哈佛
二月底，杨乐先生带着我的申请表去了美国
，把我的申请表交到丘先生手里。
，把我的申请表交到丘先生手里。1988年9
月27号我开始了我的留学之路。
号我开始了我的留学之路。
这么多年来　我总是很惭愧　不能够在数学
这么多年来，我总是很惭愧，不能够在数学
上做的更好，来报答几位老师对我的帮助
但有　点我在努力做　就是像我的老师
。但有一点我在努力做，就是像我的老师
但有一点我在努力做，就是像我的老师
们一样尽力帮助年轻一代的学子们，希望
他们比我有更大的成就。
椭圆亏格
年我来到哈佛读书　学　了许许多多的
1988年我来到哈佛读书，学习了许许多多的
年我来到哈佛读书，学习了许许多多的
知识，但这种局部化的思想贯穿了我学习
知识　但这种局部化的思想贯穿了我学习
的过程。我的博士论文就来自于两次局部
化　首先
化　首先　威腾从路径空间把指标理论局
从路径空间把指标理论局
化。首先，威腾从路径空间把指标理论局
从路径空间把指标理论局
部化到有限维的流形，得到了椭圆亏格，
把指标定理与数论中的模形式联系在　起
把指标定理与数论中的模形式联系在一起
。再考虑流形上的紧李群群作用，威腾提
出了一系列著名的关于无穷序列的椭圆算
关于无穷序列的椭圆算
子的刚性猜测。
刚性定理
我很快就用我理解的局部化思想开始学习有
关的知识，两年后我用数论中的模变换技
我用数论中的模变换技
关的知识　两年后
关的知识　两年后我用数论中的模变换技
我用数论中的模变换技
巧给出了刚性定理的统一证明，也极大地
统一证明，也极大地
简化了鲍特与陶布思的证明　这种证明也
简化了鲍特与陶布思的证明。
简化了鲍特与陶布思的证明。这种证明也
将几何中的指标的刚性问题与无穷维李代
数表示的模不变性联系在一起
数表示的模不变性联系在一起。
直到现在，我与朋友张伟平，韩非还在用模
形式的想法推倒出新的反常消除公式。
指标定理
指标定理被认为是上个世纪最伟大的定理之
一，它的发现是由于辛格首先意识到旋流
它的发现是由于辛格首先意识到旋流
形的A- 亏格恰好是黎曼流形上狄拉克算子
的指标。
几何分析中许多有效的方法都是受物理学家
启发的　如
启发的　如平均曲率流是物　上首先
平均曲率流是物　上首先引进
启发的。如平均曲率流是物理上首先
平均曲率流是物理上首先引进
，而Ricci流几乎是物理学家与哈密尔顿同时
流几乎是物理学家与哈密尔顿同时
发现的。我稍后还会谈到这一点。
我稍后还会谈到这一点。
曾经改变了世界的方程式
F=ma
E=mc²
F=ma
E=mc²
F ma
E mc
F ma
E mc
大自然的规律
这些公式极其简单，却蕴含了万物的相互作
用和变化规律。今天我们能够制造飞船登
上月球, 能够利用核能量为人类服务, 这些
上月球, 能够利用核能量为人类服务, 这些
公式为此提供了重要的理论基础。
这些美妙的公式也印证了老子的名言: “大道
至简。”
永恒的方程式
古今科学家们都坚信　数学是表达大自然规
古今科学家们都坚信，数学是表达大自然规
律最好的语言。任何科学理论最终和最完
美的表达方式应该是数学方程式
美的表达方式应该是数学方程式。
爱因斯坦曾说过：“政治是暂时的，而数学
爱因斯坦曾说过：　政治是暂时的，而数学
方程式是不朽的。”
作为数学家和物理学家　我们苦苦追寻的就
作为数学家和物理学家，我们苦苦追寻的就
是这样的方程式，它们简单、漂亮，能够
深刻地揭示大自然的奥秘
深刻地揭示大自然的奥秘。
伟大的数学物理学家
历史上有许多伟大的数学物理学家，比如阿
基米德　他发现了杠杆原理和穷竭法；牛
基米德，他发现了杠杆原理和穷竭法；牛
顿，发现了万有引力定律，发明了微积分
欧拉　发现了流体力学的欧拉方程和数
；欧拉，发现了流体力学的欧拉方程和数
学的变分法；高斯，发现了电磁场的高斯
定律　也奠定了微分几何基础　爱因斯坦
定律，也奠定了微分几何基础；爱因斯坦
，其广义相对论不仅是宇宙学的基础，也
推进了现代微分几何与微分方程的发展
推进了现代微分几何与微分方程的发展。
物理激发的数学
许多主要的数学领域，也是由于物理的刺激
而发展起来的，如微分方程、微分几何、
而发展起来的　如微分方程　微分几何
算子代数等等。
我这里要阐述的是近三十年来由弦理论激发
出的一系列数学成果。特别是我亲身经历
的一些发展。
大统一理论
在历史上，最成功的两个物理理论是量子场
论和广义相对论，他们分别精确地描述了
论和广义相对论　他们分别精确地描述了
微观世界里的粒子和宏观世界里的星球的
运动规律。
量子场论中的基本方程是薛定谔以及其它相
关方程　广义相对论的基本方程是爱因斯
关方程，广义相对论的基本方程是爱因斯
坦场方程，它们在一定程度上却互不相容
。
万有理论
从爱因斯坦开始，几代物理学家梦寐以求的
就是将这两组方程统一到同一个理论框架
就是将这两组方程统　到同　个　论框架
下，这样大至星球，小到粒子这些宇宙万
物的运行规律和相互作用都由这一组方程
物的运行规律和相互作用都由这　组方程
式来描述。这就是大统一理论，被人们称
为“万有理论” 或者“终极理论”
为　万有理论　，或者　终极理论　。
弦理论
经过几代物理学家的努力和无数次的失败
经过几代物理学家的努力和无数次的失败。
弦理论到目前为止被认为最有希望完成大
统一的梦想。弦理论的基本假设是，宇宙
最基本的粒子是一些高速震荡的弦。就像
最基本的粒子是　些高速震荡的弦　就像
振颤的小提琴琴弦给我们美妙的旋律一样，
弦理论中这些震动的弦作为最基本的元素
构成了我们五彩缤纷的世界。
量子力学
薛定谔方程式统治微观世界
广义相对论
爱因斯坦方程统治宇宙宏观
R
ij
ij
ij
R
R
g T
-
=
2
j
j
j
g
四种基本力
力的作用
弦对偶
大统一理论应该是唯一的，但是在过去三十
年间，弦论学家们发展了五种自恰的弦理
年间　弦论学家们发展了五种自恰的弦
论，这五种理论看起来很不相同，但每一
种都很合理地揭示了一些物理中的奥秘
种都很合理地揭示了　些物理中的奥秘。
在1994年的第二次弦理论革命中，威滕提出
年的第二次弦理论革命中，威滕提出
了M 理论将这五种理论联系在一起　发现
理论将这五种理论联系在一起　发现
了M-理论将这五种理论联系在一起，发现
理论将这五种理论联系在一起，发现
它们彼此是通过弦对偶互相等价的。
弦对偶
我们说两种理论相互对偶，如果他们可以描
述同一种物理现象。过去十几年间，弦对
述同　种物　现象　过去十几年间　弦对
偶已经产生出了很多惊人的数学与物理成
果　把在不同的弦理论中的计算公式通过
果。把在不同的弦理论中的计算公式通过
对偶等同起来，人们得到了许多令人叹为
观止的数学公式和方程
观止的数学公式和方程。
M 理论与五种弦理论
M-理论与五种弦理论
M-theory as Mother
卡拉比-丘流形
弦理论中　个最基本的研究对象是卡拉比
弦理论中一个最基本的研究对象是卡拉比
弦理论中一个最基本的研究对象是卡拉比—
丘流形。流形可以描述任何可以用局部平
坦空间所覆盖的物体　在
年　丘成桐先
坦空间所覆盖的物体。在
坦空间所覆盖的物体。在1976年，丘成桐先
生证明了著名的卡拉比猜想，此猜想断言，
任何第一陈类为零的特殊流形，叫作紧凯
勒流形，都具有黎奇平坦的度量，这一类
流
在被称为卡
流
在被称为卡
流
流形现在被称为卡拉比
流形现在被称为卡拉比-丘流形。
天地有　气　杂然赋流形
天地有正气, 杂然赋流形.
下则为河岳, 上则为日星.
,
---文天祥
卡拉比丘流形
卡拉比-丘流形
而这里的陈类是以陈省身先生的名字命名的
一种深刻的几何不变量，由陈先生在上世
纪四十年代所发现。
复三维的卡拉比-丘流形在弦理论中非常重要，
丘流形在弦理论中非常重要，
复三维的卡拉比丘流形在弦理论中非常重要，
它们代表着弦理论所需要的，我们目前无
法看到的四维时空之外的六维空间　弦理
法看到的四维时空之外的六维空间。弦理
论断言，有了这神秘的六维空间，就有了
万有理论　它的运动引导了宇宙间万物的
万有理论。它的运动引导了宇宙间万物的
千变万化。
多维空间
Calabi-Yau as “curled up” dimension of the Universe
卡拉比丘流形
卡拉比-丘流形
Calabi Yau as Hidden Space
Calabi-Yau as Hidden Space
弦对偶与数学
通过比较不同弦理论的数学描述　人们常常
通过比较不同弦理论的数学描述，人们常常
发现意外而深刻的数学猜想，得到许多令
人兴奋的数学结果。
比如镜对称，大N陈-赛蒙斯与拓扑弦理论的
如镜对称　大　陈赛蒙斯与拓扑弦
的
对偶。而所有这些又往往与卡拉比-丘流形
紧密地联系在一起。
紧密地联系在　起
弦对偶与数学
通过弦对偶，人们找到了实三维流形的拓扑
几何与复三维流形的复几何之间的惊人联
几何与复　维流形的复几何之间的惊人联
系。很多困难的数学计算，在转化到实的
三维空间后变得异常简单　而实三维和四
三维空间后变得异常简单。而实三维和四
维空间中的一些意想不到的联系也通过复
三维的卡拉比丘流形被发现
三维的卡拉比-丘流形被发现。
弦对偶与数学
基于对偶理论的猜想和新的想法，许多困难
的数学问题得到解决，而这些新的方法和
的数学问题得到解决　而这些新的方法和
结果又往往是数学家们此前连做梦都想不
到的。
这些来自弦对偶的猜想的解决又反过来帮助
物　学家最精确地验　了这些物
论的
物　学家最精确地验　了这些物
论的
物理学家最精确地验证了这些物理理论的
正确性，这也是当今世界还无法用传统的
试验方法能够做到的。
卡拉比与丘成桐 2005 哈佛
卡拉比与丘成桐 2005 哈佛
对偶的魔法
为了让大家能够对历史上数学与物理之间激
动人心的交融有所了解，我这里介绍几个
动人　的交融有所了解　我这里介绍几个
我过去二十年间亲身经历的例子。
我们将看到卡拉比丘流形与弦对偶在这些进
我们将看到卡拉比-丘流形与弦对偶在这些进
丘流形与弦对偶在这些进
展中所起的奇妙作用。
IIA 与 IIB 对偶
IIA 与 IIB 对偶
与　两种弦理论的对偶　也被称为镜对称
两种弦理论的对偶　也被称为镜对称
IIA与IIB两种弦理论的对偶，也被称为镜对称
两种弦理论的对偶，也被称为镜对称
理论。这种对偶的一个基本的假设是，一
个卡拉比-丘流形都有它的一个镜像，它们
丘流形都有它的一个镜像，它们
描述等价的物理理论。通过镜对称理论得
到的最惊人的数学发现是著名的坎德拉斯
镜公式。
这个1991年发现的公式曾经令数学界与物理
年发现的公式曾经令数学界与物理
学界都兴奋异常。它使得数学家们开始密
切关注弦论的进展，而物理学家们也开始
学习最深刻的数学。
数学挑战
这里涉及的数学问题有近百年的历史。数学
家们一直想要计算出，对每一个给定的正
家们　直想要计算出　对每　个给定的正
整数，我们称作阶，在一个特殊的卡拉比
整数，我们称作阶，在一个特殊的卡拉比-
丘流形，即五次卡拉比
丘流形，即五次卡拉比-丘超曲面中有多少
丘流形，即五次卡拉比丘超曲面中有多少
条有理曲线。用更通俗的语言就是说在这
个特殊的卡拉比丘空间中　对每一个阶
丘空间中　对每一个阶
个特殊的卡拉比-丘空间中，对每一个阶，
丘空间中，对每一个阶，
我们能够放进多少个球。当阶为
我们能够放进多少个球。当阶为1的时候，
我们知道为
而阶为　的时候为
我们知道为2875，而阶为二的时候为
，而阶为二的时候为60925。
这两个数字的计算曾花费了数学家上百年
两个数字的计算曾花费了数学家　百年
的时间。
卡拉比-丘五次曲面
这里面能放多少球？
镜对称的回答
令人惊奇的是　这个问题在
令人惊奇的是　这个问题在　弦　论的计算
弦　论的计算
令人惊奇的是，这个问题在
令人惊奇的是，这个问题在IIA弦理论的计算
中也出现了，他们把这些数叫做瞬子数。
通过镜对称理论，坎德拉斯研究小组把这个
问题转化为IIB弦理论中一个简单的　计算
弦理论中一个简单的　计算
问题转化为IIB弦理论中一个简单的，计算
弦理论中一个简单的，计算
镜像卡拉比-丘流形的周期问题，而这只需
丘流形的周期问题，而这只需
要求解　个常规的四阶常微分方程　这样
要求解一个常规的四阶常微分方程。这样
我们就可以一下子非常轻松地算出所有想
要的数字。
镜对称的答案
完整的答案：
3阶: 317206375
3阶: 317206375,
4阶: 242467530000,
5阶: 229305888887625,
10阶: 704288164978454686113488249750
10阶: 704288164978454686113488249750.
任意阶数的答案都可以通过镜像卡拉比
任意阶数的答案都可以通过镜像卡拉比-丘流
形的计算轻松得到.
坎德拉斯公式在1997年由我与连文豪、丘成
年由我与连文豪、丘成
坎德拉斯公式在1997年由我与连文豪、丘成
年由我与连文豪、丘成
桐完整证明。
伟大的华人科学家
陈省身　杨振宁　丘成桐是　位伟大的华人
陈省身、杨振宁、丘成桐是三位伟大的华人
科学家。陈省身的重要贡献包括陈
科学家。陈省身的重要贡献包括陈-韦伊理
论和陈赛蒙斯理论　这都与他的陈类相关
赛蒙斯理论　这都与他的陈类相关
论和陈-赛蒙斯理论，这都与他的陈类相关
赛蒙斯理论，这都与他的陈类相关;
除了以宇称破缺获得诺贝尔奖；杨振宁在
理论物理中以杨米尔斯方程和杨　克斯特
理论物理中以杨-米尔斯方程和杨-巴克斯特
方程最为著名; 丘成桐则以卡拉比-丘流形,
质　猜想的
广为
质　猜想的
广为
他　的　些
正质量猜想的证明而广为人知
正质量猜想的证明而广为人知.他们的这些
贡献在数学与理论物理中都有划时代的意
义.我们将看到他们的工作通过弦对偶理论
我们将看到他们的工作通过弦对偶理论
深刻地联系在一起。
陈省身 2004
杭州
陈省身 2004
杭州
陈-塞蒙斯对偶
陈-塞蒙斯对偶
在过去　十年间
在过去　十年间　通过　何　程化技
通过　何　程化技　弦论学
在过去二十年间, 通过几何工程化技巧
通过几何工程化技巧,弦论学
家们已经成功地把陈
家们已经成功地把陈-赛蒙斯、杨-米尔斯理
论等同为弦理论的一部分。通过弦对偶
论等同为弦理论的一部分。通过弦对偶,人
们发现了许多与扭结不变量　黎曼面模空间
们发现了许多与扭结不变量
们发现了许多与扭结不变量, 黎曼面模空间
等有关的惊人而美妙的数学公式。这其中
很关键的工具是诺贝尔奖获得者特胡福特
的大N展开技巧, 就是在李群SU(N)中令Ｎ趋
于无穷　并以此发现全新的现象
于无穷，并以此发现全新的现象。
陈塞蒙斯理论
陈-塞蒙斯理论
年　当代伟大的弦论学家威滕首先意识
1986年，当代伟大的弦论学家威滕首先意识
年，当代伟大的弦论学家威滕首先意识
到陈—赛蒙斯理论是一种量子场论，并用
赛蒙斯理论是一种量子场论，并用
它构造出了扭结不变量，即著名的琼斯不
变量　随后数学家用量子群重新构造了扭
变量。随后数学家用量子群重新构造了扭
结与三维流形的不变量，这样陈
结与三维流形的不变量，这样陈-赛蒙斯不
变量就可以通过量子群来构造　而量子群
变量就可以通过量子群来构造。而量子群
中最基本的方程就是杨
中最基本的方程就是杨-巴克斯特方程。
模空间
黎曼面的模空间是经过几代伟大数学家的发
展而成为数学许多学科中最基本的研究对
象　对许多　究领域的发　起到　重　的
象，对许多研究领域的发展起到了重要的
作用，许多数学工具也都可以应用到模空
间的研究中去。
计算模空间上的浩治积分是很重要也很困难
计算模空间　的浩治积分是很重要也很困难
的数学问题。从1980年开始，经过近十年的
努力，数学家们也只能计算出一些很简单
努力，数学家们也只能计算出　些很简单
的特例。
模空间
年　威滕根据物　中的矩阵模型与　维
1990年，威滕根据物理中的矩阵模型与二维
年，威滕根据物理中的矩阵模型与二维
引力场的对偶作了一个惊人的猜测，认为
引力场的对偶作了　个惊人的猜测　认为
一大类浩治积分的无穷生成函数满足一系
列的偏微分方程。
1992年，康切维奇证明了这个猜想，这揭开
年，康切维奇证明了这个猜想，这揭开
了这个研究领域激动人心的序幕
了这个研究领域激动人心的序幕。
模空间
在
年　通过找出威滕方程的循　精确解
在2007年，通过找出威滕方程的循环精确解，
年，通过找出威滕方程的循环精确解，
我与徐浩证明了著名的法波猜想。徐浩目
我与徐浩　明了著名的法波猜想　徐浩目
前在哈佛教书。我们的文章出来后
前在哈佛教书。我们的文章出来后, 加拿大
班夫研究所举办了一周的会议 40余位国际
班夫研究所举办了　周的会议
班夫研究所举办了　周的会议, 40余位国际
专家专门探讨法波猜想
专家专门探讨法波猜想.
数学家法波
年提出的这个猜想给出了无
数学家法波1992年提出的这个猜想给出了无
年提出的这个猜想给出了无
穷多个浩治积分精巧的显式表达式。十几
年间，不少著名代数几何学家曾经试图解
决它。Griffiths
Griffiths等称此为惊人的公式。
等称此为惊人的公式。
决它。Griffiths
Griffiths等称此为惊人的公式。
等称此为惊人的公式。
模空间与对偶
在过去的　十年间
通过对卡拉比丘流形
在过去的二十年间里
在过去的二十年间里, 通过对卡拉比-丘流形
做手术,威滕、大栗博司、瓦法等一批弦论
威滕、大栗博司、瓦法等一批弦论
,
学家把陈-赛蒙斯理论系统地发展成为弦理
赛蒙斯理论系统地发展成为弦理
论的一部分。基于这一理论在2001年　对于
论的　部分。基于这　理论
论的　部分。基于这　理论,在2001年, 对于
一大类浩治积分的无穷生成函数
一大类浩治积分的无穷生成函数, 马利诺和
瓦法提出了一个由陈赛蒙斯不变量表达的
瓦法提出了一个由陈
瓦法提出了一个由陈-赛蒙斯不变量表达的
赛蒙斯不变量表达的
有限闭公式猜测。
马里诺瓦法公式
马里诺-瓦法公式
在
年我与刘秋菊　周坚　起　明了这个
我与刘秋菊　周坚　起　明了这个
在2003年,我与刘秋菊、周坚一起证明了这个
我与刘秋菊、周坚一起证明了这个
漂亮的公式。
而前面提到的威滕猜想和其他几个有关浩治
积分的著名公式都可以通过对马利诺瓦法
积分的著名公式都可以通过对马利诺
积分的著名公式都可以通过对马利诺-瓦法
公式求极限来得到。
随后我与李俊，刘秋菊，周坚一起在此基础
上建立了拓扑顶点理论的数学基础。
陈赛蒙斯对偶
弦论学家拉巴斯提达　马利诺　大栗博司
弦论学家拉巴斯提达、马利诺、大栗博司、
瓦法等进一步发展了陈
瓦法等进一步发展了陈-赛蒙斯理论并将其
与M理论联系在一起
与M理论联系在一起。
2000年他们作出了另一个惊人的猜测，我们
年他们作出了另一个惊人的猜测，我们
称作
猜想　他们的猜想宣称由无穷多
称作LMOV猜想。他们的猜想宣称由无穷多
猜想。他们的猜想宣称由无穷多
个陈-赛蒙斯扭结不变量组成的生成函数具
赛蒙斯扭结不变量组成的生成函数具
有不可思议的代数性质并可以转化成另一
个整系数的生成函数。
在2007年我与彭磐一起证明了这个猜想。
年我与彭磐一起证明了这个猜想。
向物理学家学习
在上面的　个例子
我们从弦　论中学到
在上面的几个例子里，我们从弦理论中学到
了生动的一课。很多时候计算单个的积分
了　动的　课　很多时候计算单个的积分
也许会非常困难，但把无穷多个积分放在
一起的生成函数可能会很容易一起算出来
起的生成函数可能会很容易　起算出来
，因为这些生成函数往往满足一些犹如天
赐的规律和方程。
而物理学家的学习和研究方法也很值得我们
学习。
Chern Simons and Yang
Simons and Yang Mills
Chern-Simons and Yang
Simons and Yang-Mills
受弦论学家的启发　数学家们发展了　系列
受弦论学家的启发，数学家们发展了一系列
新的猜测来理解一些不变量的整性，而这
新的猜测来　解　些不变量的整性　而这
些新的不变量本质上都是从陈
些新的不变量本质上都是从陈-赛蒙斯或者
杨-米尔斯理论中来的。到这里我们看到，
米尔斯理论中来的。到这里我们看到，
杨米尔斯理论中来的。到这里我们看到，
陈省身、杨振宁、丘成桐这三位伟大的华
人科学家的工作通过弦理论密切地联系在
了一起。
陈省身
杨振宁
丘成桐
杨振宁
其它发展
数学中还有其他许多由物理启发出来的激动
人心的发展。数学家唐纳森在
人心的发展。数学家唐纳森在1980年用杨-
米尔斯理论革命性地推动了四维拓扑学的
进步。
物理学家赛博格-威滕在1996年发现了著名的
新方程　再次革新了低维拓扑学
新方程，再次革新了低维拓扑学。
其它发展
受弦理论的启发　在
年　佩雷尔曼扩展
受弦理论的启发，在2002年，佩雷尔曼扩展
了哈密尔顿的黎奇流，这是他开始解决庞
加莱猜测的出发点。
1986年数学家与弦论学家们互相启迪，并一
年数学家与弦　学家们　相启
并
起发现了椭圆亏格，把几何中的指标理论
与数论中的模形式神奇地联系在一起，而
与数论中的模形式神奇地联系在　起，而
指标理论中的关键是物理学家狄拉克发明
的狄拉克算子。
其它发展
年　通过研究共形场论　弦论学家维林
1990年，通过研究共形场论，弦论学家维林
德发现了著名的维林德公式，给出了黎曼
德发现了著名的维林德公式　给出了黎曼
面上平坦向量丛模空间上一个奇妙的公式
，这立刻刺激了这个领域的飞速发展。
数学家辛钦受物理的启发，构造了西格斯模
空间　而这个模空间是
年费尔兹奖得主
空间，而这个模空间是2010年费尔兹奖得主
吴宝珠解决基本引理的基础。
数学的大统一
综上所述，我们看到，弦理论帮助数学家们
发现了数学中许多主流分支之间不可思议
发现了数学中许多　流分支之间不可思议
的联系，他们的想法和远见帮助数学家解
决了许多极为困难的数学问题　由此　物
决了许多极为困难的数学问题。由此，物
理的大统一理论引发出了数学大统一理论
的可能性。
从这个意义上讲，我们也许可以说：“上帝
是个数学家。”
爱因斯坦成功方程式
A=X+Y+Z
成功=工作+玩耍+闭上嘴巴
成功　工作+玩耍+闭上嘴巴
A代表生活中的成功，
代表生活中的成功，X代表工作，Y代表玩
耍，Z代表闭上嘴巴。
耍，　代表闭　嘴巴
代表闭　嘴巴
谢谢!
Thank You!
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