考慮方程式的運算，我們可以直接將兩圓相減，得出根軸的直線方程式,化圓為方問題是指求作一正方形使其面積等於一已知圓

考慮方程式的運算，我們可以直接將兩圓相減，得出根軸的直線方程式

http://www.phy.iitb.ac.in/~dkg/PH-102/emw.pdf

http://www.wulixueyuan.com/zhexue/

補充教材

尺規作圖正多邊形與棣美弗定理

范志軒  編輯

天，是能量的起伏，地，是物質的聚散，人類心智起伏聚散於其間，與天地無別

壹、尺規作圖

古希臘的人們採用直尺和圓規建構出廣闊的幾何世界，在這浩瀚的幾何世界裏，他們嘗試以最簡單的法則去堆砌出所有的幾何物件，並且在堆砌的過程之中，思索著這世界運作的原理。就如同現今科學家們竭盡心力想要找出建構這世界的基本法則一般，古希臘的人們在作圖時，
限制只能使用直尺與圓規，也是因為這是最基本的兩種工具，而之所以不定義度量的單位，是想保有度量的彈性，避免僵化的刻度比較限制了度量的自由，然而問題在於：任何的幾何物件一經建立，便有了形相，只要是有固定形相的東西，相對之下就定會有比較與分別產生，分別比較之中就會有苦惱，就如同隨意畫個圓，圓的直徑與周長的比較就讓人很苦惱，隨意作個角，切割成任意等份的分別也讓人很苦惱，更別說相似體積的邊長比較，雖然說希臘的幾何發展輝煌燦爛盛極一時，歐基里得、阿基米德、阿波羅尼斯等人在幾何上的演繹已到了匪夷所思的地步，但這些隱藏在基本性質之中的小小苦惱，卻如同漣漪一般不斷擴大，最終演變成了三大幾何問題，問題很簡單，但卻是怎麼樣也作不出來，真是苦惱極了！這時人們被迫回到本質的層面來思考，是否尺規作圖的限制還不夠基本？尺規究竟能作出哪些圖形？反過來說，哪些圖形無法用尺規作出？尺規作圖是否有其侷限性？這些問題經過一千多年，
直到希臘文明沒落了也還沒找出答案，一直要等到西元1637年笛卡兒建立了解析幾何之後，結合了代數的威力，人們才慢慢發覺問題的所在。接下來，就讓我們仔細來研究一下，尺規作圖到底哪裡有問題？

貳、尺規作圖的限制

尺規可作的圖形看似千變萬化，但仔細分解它們可作的每一個動作，不難發現，可以作出的物件不外乎以下五種：

     (1) 可作一直線
     (2) 可作一圓
     (3) 可作二直線交點
     (4) 可作一直線和一圓的交點
     (5) 可作二圓交點

現在，就從平面坐標系出發，結合尺規作圖與代數方程，來看看會發生甚麼事：

(1) 尺規作圖：可作一直線
代數方程：相當於在平面坐標系中，給定任意直線方程式：

(2) 尺規作圖：可作一圓
代數方程：表示給定任意圓方程式：

(3) 尺規作圖：可作二直線交點：
代數方程：即是已知兩直線 ， 可得聯立解

       說明：對應克拉瑪法則： ， ，
所謂解出聯立方程組即是指：可以從原直線方程式的係數，經過有限次的加(減)乘除運算，得出 。

(4) 尺規作圖：可作一直線和一圓的交點
代數方程：等同於在平面坐標系中，給定直線 與圓： ，
                    可得聯立解

       說明：這表示我們可以算出來：
      
        (不失一般性，令 ) 代入圓中得：
      
      
      
       同理，我們亦可解出同形式的 。
       也就是說，我們可以從原式所給定的係數，經過有限次的加減乘除與開二次方根運算，
       得出

(5) 尺規作圖：可作二圓交點：
代數方程：相當於給定兩圓： ， ，
                     可得出聯立解

       說明：考慮方程式的運算，我們可以直接將兩圓相減，得出根軸的直線方程式，再利用上述第(4)點的步驟，藉由直線與圓交點的求法，便可求出交點坐標
這也表示，我們可以從原式所給定的係數，經過有限次的加減乘除與開二次方根運算，得出

綜合上述討論，我們可以經由解析幾何對尺規作圖的可能性訂定一個判斷的標準：

一個作圖是否可以用尺規來完成，其充要條件是：作圖過程中所必須求出的未知量能夠由給定的已知量經過有限次的加減乘除與開二次方根求出。

更進一步的說，可以經由有限次加減乘除與開平方根求出的量，以此量為根的整係數多項方程式中，最小次數必為2的乘冪(形如 )

例如： 是由有限次加減乘除與開平方根形成的量，其對應的代數方程式為：
           
             
           
      可以看到以 為根的整係數多項方程式其次數為

又例如黃金比例： 可滿足方程式 ，都是最小次數為2的乘冪( )之整係數多項方程式。

最後，我們可以做一個總結：針對任何作圖問題，未知量 是否可由尺規作出，取決於：

若滿足 為根的整係數多項方程式其最小次數為2的乘冪 ( 形式)

可以由尺規作圖作出

現在就由這個重要的結論來剖析幾何三大問題：

(1)立方倍積  (2)三等分角  (3)化圓為方

說明如下：

(1) 所謂立方倍積問題，即是求作一正立方體，使其體積是一己知正立方體體積的二倍

假設給定的己知正立方體，其邊長為 ，所求的正立方體其邊長為 ，則倍立方問題所對應的代數方程式為：給定正數 ，解 ，即計算 ，由於尺規作圖無法對應立方根的運算，亦即以 為根的整係數多項方程式最小次方不為 形式，所以 不可能從給定的線段 經由尺規作圖作出。

(2) 三等分角問題即是給定任意角，將其三等分
假設給定的角度為 ，我們可以藉由直角三角形中斜邊與底邊的長度比例(除法)，求出 ，令其為已知量 ，如果我們能求出 ，就可以作出 的角度，但是由於

       所以 滿足以下方程式：

       這也是 所能滿足的方程式中次方最低者，所以 無法滿足最小次數為 形式的整係數多項方程式，因此尺規作圖無法三等分任意角。

(3) 化圓為方問題是指求作一正方形使其面積等於一已知圓

       假設所給定的圓其半徑為已知量 ，則其面積為 ，化圓為方問題所對應的代數方程式即為 ，因此，如果我們能夠作出 ，便可以作出正方形的邊長，關於 的問題，在西元1882年時，德國數學家林德曼借助於尤拉式 ，成功證明出 是一個超越數，所謂超越數的定義是：不為任何整係數多項方程式的根，因此，我們不可能找到根為 的整係數多項方程式，更不用說次數是否為 形式，所以化圓為方無法由尺規作圖作出。

關於尺規作圖的限制性，還有兩個人值得一提：分別是法國的伽羅瓦(Galois Evariste 1811~1832)與挪威的阿貝爾(Nieles Henrik Abel，1802~1829)。這兩人出生於同一時代，同屬於天才型人物，同時各自獨立創建了近代數學史上最重要的代數理論，同時對五次及更高次方程式無公式解提出證明，然而，同樣地有悲慘而短暫的一生，伽羅瓦21歲時死於爭風吃醋的決鬥，而阿貝爾則在27歲時於收到聘書前兩天貧病交迫而亡。兩人短暫的生命似乎正呼應著在數學上的巨大成就，對於困擾人類幾千年的一些代數和幾何上的不可能性問題，這兩人同時另闢蹊徑，從運算的本質著手，建構出全新的系統理論與架構，從而創建出了群論，在群論的世界裏，問題變得簡單而清晰，甚至阿貝爾22歲時寄給高斯(Carolus Fridericus Gauss，1777~1855）的五次方程式無公式解的證明，也僅只有六頁(因為他很窮，這是他自費的印刷品)，可惜高斯認為這麼短的一篇論文無法詳析這千古難題，將它扔到一邊。伽羅瓦則是在19歲時便建立了群論，可惜將論文三次投稿到巴黎科學院，卻均被刻意遺失或退回，在決鬥前夕，他給朋友寫了一封信，告知若有不測，請朋友將論文公諸於世，不測果然發生，但論文卻一直到14年後才正式公開發表，直到1870年人們才全面理解論文的內容(因為太年輕，文章寫得過於簡潔而不夠周全)，在伽羅瓦的理論中，不僅對於五次方程式無公式解提出了一個漂亮的解答，甚至對於尺規作圖中，可以作出哪些正多邊形或者為何不能三等分任意角等問題的解答，同時開拓出全新的思考方向。在本文中，關於三大幾何問題的探討僅止於粗淺的說明，真正嚴格的證明必須要經由群論來完成，同學們若是有興趣，可以參看網路上康明昌教授所著『古希臘幾何三大問題』一文 (網址：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_08_2_01/index.html)，至於，關於阿貝爾與伽羅瓦這兩位先生的生平事蹟，網路上資料甚多，在此不再贅述，底下，針對正多邊形的尺規作圖，我們來稍作探討。

註：關於伽羅瓦短暫傳奇的一生，存在有太多過度渲染的文章，建議同學參看底下這篇：『伽羅瓦短暫的一生』(網址：http://campus2.chgsh.chc.edu.tw/science/content/1983/00090165/0014.htm)，或許會有較真實的認識。

參、正多邊形的尺規作圖

古希臘的數學家很早就知道如何使用尺規作出某些正多邊形，歐幾里得《幾何原本》第四卷中給出正3、4、5、6和15邊形的作法。據此，再利用二等分角或弧的技巧，可以作出邊數為 倍的正多邊形，例如正8邊形或正10邊形。但是在這之後的二千多年，沒有人知道怎麼樣用尺規作出正7、9、11、13或正17邊形。這問題之難，令西元1800年之前的所有大數學家全都鎩羽而歸，但令人意外的，這些問題的解答最終卻是由年僅十九歲的高斯，在西元1796年提出，他發現了正17邊形的尺規作圖法，並在兩年之後給出正多邊形是否可用尺規作圖的判別依據：

他是這麼說的：

正n多邊形可以用尺規作出
   
或
其中 是若干不相同的費馬質數

所謂費馬質數是指形如 的質數，如 ， ， ， ， ，費馬（Pirre Fermat , 1601~1665）猜測所有 的數皆為質數，這猜測不好驗證，過了一百多年人們才發現他猜錯了，尤拉（Euler , 1707~1783）發現 可以分解成 ，所以 不是一個質數(尤拉如何找到641？這是另一個有趣的故事)，事實上如果再繼續找下去， ， ， ，…… 也都不是質數，就算是在有電腦輔助運算的今天，除了 、 、 、 、 之外，我們還是沒有找到任何新的費馬質數(經過檢查的數目已大到難以想像)，所以在 的情況下 是否皆不為質數？反倒成了最新的猜測(目前有串連全球電腦的檢測運算正在進行)。依據目前已知的5個費馬質數來看，高斯的正多邊形作圖準則可以得到一個結論，可尺規作圖的正奇數多邊形，其邊數必為不同的費馬質數之乘積，也就是說，從3 , 5 , 17 , 257 , 65537中任選1到5個數字相乘，所有乘出的結果即為可尺規作圖的正奇數多邊形之邊數，因此由組合運算可知，選取數字的方法數為：

= 種

可尺規作圖之正奇數邊形之邊數如下表所列，共 種

3	5	7	15	21	35
105	257	771	1285	1799	3855
5397	8995	26985	26985	65537	196611
327685	458759	983055	1376277	6881385	16843009
50529027	84215045	117901063	252645135	353703189	589505315
1768515945

至於可尺規作圖的正偶數多邊形，其邊數也是2的乘冪與上述這31種情況的乘積，底下列出邊數小於1000的可尺規作圖的正 邊形，共52種，同學們請自行檢驗：

3	4	5	6	8	10
12	15	16	17	20	24
30	32	34	40	48	51
60	64	68	80	85	96
102	120	128	136	160	170
192	204	240	255	256	257
272	320	340	384	408	480
510	512	514	544	640	680
768	771	816	960

既然已經知道有哪些正多邊形可以由尺規作出，那麼該如何作？這是最後也是最初的問題。同一種正多邊形往往有許多不同的尺規作圖法，為此，人們從古至今提出了許多充滿創意的巧思，但是，靈光一閃的創意並無法確保每一種正多邊形的尺規作圖法皆可被找出(但一閃的靈光卻往往是開啟另一扇門的工具)，而高斯的貢獻在於，經由複數的運算，結合棣美弗定理中1的 次方根在複數平面上的位置，為規律性的尺規作正多邊形法，提供了一條解決的途徑。

( 註：由群論的觀點來看，一個正 邊形可以由尺規作出的充要條件是 的尤拉函數值 必為2之乘冪，此處 表小於 且與 互質之正整數個數，關於尤拉函數在稍後會提到 )

以下由棣美弗定理的觀點出發，討論正3邊至正17邊形的尺規作圖

肆、正三邊形的尺規作圖

先看看1的3次方根：

若 ，由棣美弗定理可知：3個根為：1， ，
其中 且 ， ，

由此可知：

又：

由根與係數關係可知： 是二次方程式 的兩根

所以由公式解： ，令 ，則
故由 ，可知：

上述的餘弦函數值由除法構成，這表示 可由尺規作出，並進而得出正三邊形

正三邊形尺規作圖步驟如下：

1. 作互相垂直兩直線 交於一點O

2. 以O為圓心適當長度為半徑作圓 ，交 於

3. 在直線 上取一點D，使得A , D在O的兩側且

4. 過D作直線平行 交圓 於 ，以 為圓心 為半徑作圓交圓 於

5. 連接 ， ， 即為所求。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

伍、正五邊形的尺規作圖

一樣地，先找出1的5次方根：

若 ，由棣美弗定理可知：5個根為：1， ， ， ，
其中 且 ，  
由此可知：

  (*1)

另一方面，由於
                           
所以， ，例如：

接下來將(*1)拆開成兩部分，這裡有一個小技巧(此技巧的原理在正17邊形中會詳細介紹)：

先將4個根排成一列，排列的順序為：令首項為 ，其後每一項的次方為前項次方乘上3倍再除以5取餘數，因此可得以下數列：

， ， ，

若我們將此數列從中二分排成兩列：

可以看出，第二列中的每一個數，都是上方第一列中相對數字的共軛虛數。

其次，取第一行之和令為 ，第二行之和令為 ，則有
且
               
               
               
                 (怎麼知道要這樣算？請稍作思考，在正17邊形作圖中會交代清楚)
由根與係數關係可知： 是二次方程式 的兩根
故 ，
其中
所以 ， ，得知：

上述 是由加法，除法與開二次方根所構成，這表示此分式可由尺規作出，並進而作出正五邊形

正五邊形尺規作圖步驟如下：

1. 作互相垂直兩直線 交於一點O

2. 以O為圓心適當長度為半徑作圓 ，交 於

3. 作 中點C，並在直線 上取一點D，使得A , D在O的兩側且

4. 以D為圓心 為半徑作圓交 於E

5. 過E作直線平行 交圓 於 ，以 為圓心 為半徑作圓交圓 於 ，以 為圓心   為半徑作圓交圓 於 ，以 為圓心 為半徑作圓交圓 於

6. 連接 ， ， ， ， 即為所求。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

肆、正十七邊形的尺規作圖

仿照上述正3、5邊形作圖思路，可先構想如下：

若 ，由棣美弗定理可知：17個根為：1， ， ， ，…，  
其中 且 ，  

由此可知：

(*2)

接下來，為了要理解高斯處理(*2)中16個根所使用的技巧，讓我們先看看一些數論中的預備知識：

I. 尤拉定理(Euler’s Theorem)

所謂尤拉定理是指對任何兩個互質的正整數 , （即 ）， ，恆有：

上式是數論中的重要結論，非常有意思，其中 讀作phi (ㄈ一ˋ)， 稱為『尤拉函數』，是指小於或等於 的正整數中與 互質的數的數目，例如：

         ，( 小於或等於2的正整數中與2互質的有 ，共1個 )
         ，( 小於或等於3的正整數中與3互質的有 ，共2個 )
         ，( 小於或等於4的正整數中與4互質的有 ，共2個 )
         ，( 小於或等於5的正整數中與5互質的有 ，共4個 )
         ，( 小於或等於6的正整數中與6互質的有 ，共2個 )
         ，( 小於或等於7的正整數中與7互質的有 ，共6個 )
         ，( 小於或等於8的正整數中與8互質的有 ，共4個 )
         ……………

而符號 是同餘表示法，意思是指 除以 得餘數為 ，即 可以被 整除的意思，其中 是整數，例如：

； ； ； ；……

另外，有兩個非常重要的同餘運算法則需要認識：

                                    若 ，
                                    則  且

例如：已知 ， ，可推論：

； ；

同餘運算法則的證明非常簡單，只是符號須要一些時間適應，同學們可以自行驗證。

從尤拉定理當中我們可以發掘出一些意想不到的數字關係，例如：

即

即

即

即
即
……

關於尤拉定理的證明，若同學有興趣，可以參考任何一本數論著作或由代數學入手。

II. 原根(primitive root)

反過來說，在尤拉定理中我們雖然知道 是一定會成立的結果，但是 是否為上式成立時的最小的次方？很明顯地，答案是否定的，也就是說如果 ， 時，有可能 會小於 ，例如 ，其中 就是一例，因此，針對此性質，特別給出以下定義：

                                  若是在 中， 時，
                                  最小的 恰等於 ，則稱 為 的『原根 (primitive root) 』。

原根是數論中非常重要的觀念，十分有用，例如現今網路世界中許多金鑰的加解密系統，皆是利用尤拉定理中的原根來定義，但是原根卻很不好找，除了直接運算以外，至今還沒有一個辦法可以找到 時的原根，尤其是當 為巨大質數的時候，這也是它為什麼可以構成加密系統的原因。

III. 費馬小定理(Fermat Little Theorem)

當尤拉定理中的 是質數 時，尤拉定理可改寫成：

這是因為小於或等於 的正整數中與 互質的數字必有 個，故可將尤拉函數 改寫成 ，這是尤拉定理中的一個特例，又稱為費馬小定理(Fermat Little Theorem)。

IV. 高斯週期(Gaussian periods)與分圓方程式

事實上，高斯在西元1796年給出了正17邊形作圖的代數證明時，並沒有說明架構證明的思考歷程，直到兩年後，在西元1798年時發表了《算術研究(Disquisitiones Arithmeticae)》一書，在書中才提出了高斯週期(Gaussian period)理論，並在第七章中成為架構分圓方程可解性的依據，由這此一方程推導出正 邊形可作圖的充分條件，即前文中提過的 或 與費馬質數的乘積，關於高斯週期與分圓方程的建構方式，簡要說明如下：

假設 是質數：

考慮方程式 ，由棣美弗定理可知此方程式有n個根： ，其中

因為 ，所以 ，故可知除去1之外的 個根，其總和必為 ，即

接下來，如何處理這 個根，就是分圓方程式的核心問題，方法如下：

先將 個根按照以下方式排成一列：取首項為 ，其後每一項的次方為前項次方乘上 倍
， 為質數 的原根，如此可得數列： ，因為 是質數 的原根，所以 ，這表示 ， ，又因 ，故

首項

因此在 之後形成次方上的循環，例如 ， ，……

另一方面，也因為 是質數 的原根，所以 等 個數除以 所得餘數皆不同，分別為 ，因此將 等 個數，將其次方除以 後取餘數令為新次方，則恰與 相對應，由以上說明，得出下列高斯週期建構法則：

若 是質數， 為質數 的原根， ，

(1) 取首項為

(2) 其後每一項的次方為前項次方乘上 倍，形成 項的數列

(3) 將此數列每一項之次方除以 後取餘數令為新次方，得新數列：

(4) 取此數列之級數 稱為 項高斯週期

(5) 取上列級數依奇、偶數項，拆成兩個級數如下：

   各有 項，稱為 項高斯週期

(6) 以此類推，不斷依奇、偶數項將級數依序對拆成兩個級數，得 項、 項、…

    直到拆出單項高斯週期

(7) 高斯分圓方程式的求解技巧，便是將1的 次方根除去1之後，將剩下的 個根以上述週期法則拆成兩個 項級數，由根與係數關係可知，此兩級數恰為某整係數一元二次方程式的兩根，因此可得出此兩級數和，再利用這兩個級數和，依照上述週期模式，拆成四個 項級數，分別對應某兩個實係數一元二次方程式的四根，再次由根與係數關係，求出此四個 項級數和，依此類推直到求出單項級數和為止，即可得出 以加減乘除與開二次方根的表示法。

理論的說明總是令人頭昏腦脹，有實例總是比較好，底下我們來看看高斯應用上述理論建構17邊形的過程，或許會比較清楚整個過程。

V. 高斯正17邊形建構法

前提： 是質數， 為質數 的原根， ，

很明顯地，高斯在處理17次方根的時候，顯然已經找到3是 的原根，即 ，其中16是可得出餘數1的3的最小次方，因此依照高斯週期模式，取首項為 ，其後每一項的次方為前項次方乘上3倍，形成 項的數列

將此數列每一項之次方除以 後取餘數令為新次方，得新數列：

 ……(3*)

事實上，依照同餘運算法則，上述數列的次方，亦可由前項的餘數次方乘上3倍後除以17取餘數來完成，如 ， ， ，……

接下來，我們暫時先將(3*)前後對半切開排成兩列：

可以看到，上下相對的兩個根其次方和皆為17，又因為 ，所以可知第二列中的每一個根，都是上方第一列中相對根的共軛虛根，至於，為什麼3的次方除以17所得的餘數，按順序排列之後將整個數列切成兩半上下相對，會造成上下兩者次方和皆為17？這是因為，當整個數列切成兩半時，上下兩數的次方各為 與 除以17所得之餘數，其中 ，
若假設 ，因為已知 ，所以

換成同餘運算可表示成

因此 除以17所得餘數與 除以17所得餘數其總和恰為17。

底下回到正軌，依分圓方程式建構法，將奇、偶項交錯拆開

取出兩級數如下：

                                             
                                             

此時：

(1)  

(2) 另一方面，考慮
       先將 轉換成以下形式：

      
      

再計算得出下列表格內容：

16個乘積合成為4個

故
             
             

可以看出 與 的和與積皆為整數

因此由根與係數關係可知： ， 是整係數二次方程式 的兩根，即：

，

又因為
               
               
               
               

故可知：

，

接下來，重複上述的奇偶項拆項法繼續拆開 ， 得四個級數：

                                         
                                         
                                         
                                         

其中 ， ，而且：

             
             
             

             
             
             

因此同樣由根與係數關係可知： 是二次方程式 的兩根，且 也是二次方程式 的兩根，即：

，

其中
             
             

故可知：

，

同理，

亦可知：

，

繼續再將 依奇偶項拆成兩個級數：

故可知

又

                 
                 
                 

故可知 是二次方程式 的兩根，即：

其中因為 ，所以可得：

，

於是，我們得到了最重要的結論：

也就是說：

由上述的討論過程可依序迭代出一系列的數字：

經過代入計算後，得：

由此可知， 可由整數經加減乘除與開二次方根構成，這表示此分式可由尺規作出，並進而作出正17邊形。

若要作出正17邊形，須考慮下列各數的結構，並逐步建構：

正17邊形尺規作圖步驟如下：

1. 作互相垂直兩直線 交於一點O
     ( 以坐標系統來看：可視 為 軸， 為 軸， 為原點 )

2. 以O為圓心適當長度為半徑作圓 ，交 於 ，交 於
     ( 可將半徑 設為1 )

3. 在直線 上取一點D，使得 , D在O的同側且
     ( 即 ， ，此時 點在 軸上之坐標為  )

4. 以D為圓心 為半徑作圓交 於
     ( 可知 點在 軸上之坐標為 ， 點在 軸上之坐標為  )
     (且 ， )

5. 分別以 為圓心， 為半徑畫弧交 於
     ( ，  )
6. 以 為直徑作圓交 於
     ( 可知  )

7. 以 為圓心 為半徑畫弧交 於
     (  )

8. 以 為圓心 為半徑畫弧交 於 ，作 中點
     (  )

9. 過 作 平行線 交圓 於

10. 以 為圓心 為半徑畫弧交圓 於 ，
       再以 為圓心重複上述以 為半徑畫弧交圓，可得 ，
       連接 即為所求。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

陸、結語

1. 若 是 或 和任意費馬質數的乘積，則此正 邊形可以用尺規作出，高斯認為這個條件也是必要條件，但是他一直沒有發表他的證明。直到西元1837年，Pierre Laurent Wantzel 才給出了一份完整的必要性的證明，形成充要條件，因此這個定理又被稱作Gauss–Wantzel定理。

2. 儘管高斯給出了正17邊形可以用尺規作出的代數證明，但他並沒有直接給出作圖的方法，第一個作圖方法是由 Erchinger 在幾年之後給出的。

3. 西元1832年由Friedrich Julius Richelot和Schwendenwein發表了正257邊形的尺規作圖法，共有217個步驟。

4. 西元1894年，Johann Gustav Hermes發表了正65537邊形的尺規作圖法，作圖極其繁複，他總共花費了十年的時間填滿了200多頁的手稿，現存於哥廷根大學(Georg-August University of Göttingen)。

5. 正17邊形尺規作圖另有許多更便捷的方法，同學們可以自行上網搜尋。