phymath999: diffgeom01 把行列式定义成一个多线性斜对称函数，满足如下一长串的公理（多重线性性，斜或反对称性，归一化）

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把行列式定义成一个多线性斜对称函数，满足如下一长串的公理（多重线性性，斜或反对称性，归一化）

曾博BBOC: 李启超:

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行列式的几何途径公开 2012-11-11 16:26 | (分类:默认分类)

     微分几何是微积分和线性（抽象）代数的结合体。做微分几何，尤其是和子流形几何沾点边的人，几乎每天和形状算子shape opera第二基本形式the second fundamental form等概念打交道，就更离不开线性变换和二次型等概念了
       今天上校内看到有人分享行列式的几何观点，看得上瘾也上来分享一下我学过的一种理解方式。
       行列式直观上就是n个列向量所张成的高维平行多面体的定向体积。出于各种原因如今的线性代数教材讲到行列式都是从公理化定义出发的。
       行列式有好几种公理化定义，比如用置换定义，
                         photo-media

表达式简单粗暴，初学望之茫然：好处是给出了行列式函数的存在性（existence of determinant），不过要是直接从这个定义出发证明行列式的各种运算性质，比如任意方阵转置的行列式与原来行列式相等，恐怕要花点心思。
第二种方式就是按照行或列的展开规则来定义，洋洋洒洒十几页各种变换。也能得出各种性质。

教材里最常见的一种可能是把行列式定义成一个多线性斜对称函数，满足如下一长串的公理（多重线性性，斜或反对称性，归一化）： photo-media

         好处是与较现代的微分形式的理念更接近，由此出发也容易得到行列式的各种运算性质。
         除以上三种，柯斯特力金《代数学引论》第一卷里还有好几种公理化定义方式，对初学者来说都不是省油灯，记得大一时张英伯老师基本是用这卷书给我们讲高等代数，讲到这时特意嘱咐我们回去把这几种公理化定义都下去实践一下。我一直就没完成作业。
         以上公理化手段严格归严格，简洁归简洁，可是对初学者来说就是有一种看山不像山，看水不像水的感觉。有时候，严格比不上几何化的直观。
        以下分享我学来的一种行列式的几何描述，和平行多面体体积定义法不太一样，但同样简洁直观。以下描述都称不上是证明，但容易记住。
1行列式解释成体积变换因子volume change factor

        A是个n×n实方阵，我们把它看成线性空间R^n到自身的线性变换，x→Ax。
        从直观入手。现在A是2×2方阵，其列向量记成a和b，那么A把平面上的正方形变成以a，b向量为边的长方形（注意到A作为线性变换是同胚变换的话，把区域内部映到内部，边缘映到边缘）
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2以下我们从这个定义出发描述（或者说画出）行列式的斜对称性，多重线性性和乘法规则detAB=detAdetB
待续

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曾博BBOC: 回复李启超：可以把微分几何通俗的jiangyijiang !有很多可以说的，可能找例子很难
 回复 2012-11-12 09:42

李启超: 回复曾博BBOC: 我一直就对行列式这个函数挺感兴趣的，加上大一时老师就专门介绍过好几种公理化定义，后来微分几何里又接触了Pfaffian概念，都挺有意思的，想直观的讲出来看来不太容易另外，你有没有时间再写篇日志，直观地把线性映射概念讲一讲？
回复 2012-11-12 09:47

曾博BBOC: 回复李启超: 哈哈，好啊。。。寒假吧==
回复 2012-11-12 10:13

曾博BBOC: 回复李启超: 第四部分涉及了一点线性变换
 回复 2012-11-12 10:13

刘德康: 缩水率。。。。
回复 2012-11-12 12:40

陈忠均: 走火入魔了！
回复 2012-11-12 22:29

陈忠均: 学数学最忌讳这个了！
回复 2012-11-12 22:32

苏晓羽: 回复李启超：考虑两个有限维向量空间V上的线性变换A,B满足AB-BA=B,求证:A,B有共同特征向量.(提示证明不超过五句话)
回复 2012-11-25 15:00

王沐涛: 回复苏晓羽: 应该是AB-BA=0吧...
回复 2012-12-04 23:11

苏晓羽: 回复王沐涛：等于0就太显然了
 回复 2012-12-06 22:51

苏晓羽: 回复王沐涛：提示，用lie定理
 回复 2012-12-06 22:54

王沐涛: 好吧，我看看，。。。
回复 2012-12-06 22:54

李启超: 回复苏晓羽：这个真不会。
回复 2012-12-07 13:28

苏晓羽: 回复李启超：Lie’s Theorem----Let V be an n-dimensional complex vector space and let L be a solvable Lie subalgebra of gl(V ). Then there is a basis of V in which every element of L is represented by an upper triangular matrix.
回复 2012-12-12 17:35

苏晓羽: 注意到[AB]=AB-BA=B,从而span{A,B}为gl(V)的(二维)可解李子代数.从而存在V的一组基,使span{A,B}中所有元素在这组基下都是上三角阵.选取基的第一个元素,即是A与B共同特征向量
 回复 2012-12-12 17:39

李启超: 回复苏晓羽：谢谢啦！你们大牛人啊，这么早就自学李代数了。
回复 2012-12-14 21:45

李启超: 回复苏晓羽：以后有什么好东西拿来分享哈。
回复 2012-12-16 12:35

苏晓羽: 回复李启超：没,这是这学期邓邦明老师和曾紫婷老师开了李代数的讨论班,所以讨论了这个定理.塔马李代数中的证明都是相对初等的驴踢定理啊,很难解释一个人脑子不被驴踢如何想出这样奇葩的证明.......
回复 2012-12-16 18:37

李启超: 回复苏晓羽：驴踢定理，你太有幽默感了！

回复 2012-12-16 22:00

刘雨晨: 怎么用几何解释行列式转置不变?
回复 2012-12-17 11:20

李启超: 回复刘雨晨：犀利的question，我一直没搞懂怎么画出这个，是不是一定要用点代数才行？比如1）方阵A退化。那么转置也退化，二者行列式都等于零.2)A满秩，那么A和她的转置都可以写成初等矩阵的乘积，而初等矩阵与其转置的行列式的值相等是能从画出来的，再利用乘积法则，A与其转置的行列式相等。大侠有更直观的方法吗？
回复 2012-12-17 11:36

刘雨晨: 回复李启超：这个方法不错，只不过复合顺序就得调换了，还是不是特别令人满意。我也没有找到比较好的解释办法，所以一直觉得这地方几何解释可能很难令人满意，代数的威力也就体现出来了。
回复 2012-12-17 11:42

李启超: 回复刘雨晨：同意，代数是不可取代的，大一时学行列式证明这个式子耗了很多遍才懂的。
回复 2012-12-17 11:45

李知明: 要知道行列式的动机是什么，故而它应该满足什么性质，从而得出存在性和唯一性，表达式自然导出，有些书一上来就将行列式定义，还放在矩阵前面明显是不负责任的。另外这文章写得真搞笑，5个等价条件证明6次就可以了，还10次，而且左逆右逆就是对应单射满射，A为方阵明显是等价的，根本不用证。
回复 2013-09-03 11:35

李启超: 同学你是来找茬的还是过来找茬的...
回复 2013-09-03 11:36

李知明: 没有找茬的意思，只是发现你里面说的那些等价命题很多是一目了然，一开始一定义就能得出的结论，专门提没有必要，线性代数离开抽象代数的框架就变味了。
回复 2013-09-03 11:40

李启超: 那你也写个体会我们拜读一下
 回复 2013-09-03 11:41

李知明: 回复李启超:其实我觉得理解矩阵最重要的就是线性空间和线性函数，矩阵就是有限维线性空间上的线性变换，一些定义结论还能推广至无穷维，这些都是抽象代数的知识，有了这些观点，理解很多问题就更加本质了，不应该从具体的例子入手。
回复 2013-09-03 12:08

李知明: 回复李启超:Samsung Galaxy S3 原来你把那段删了……，我还以为我转发错了惊惶失措呢……