物理量由（向量或張量的）分量與基底向量所共同組成，刻意取成搭配的協變與反協變張量，例如 v = vi ei 或 A = Aij ei ej（在此已使用 summenstion convention，即成對出現的相同指標自動視為要作 Σ i=1. . . N 加總），如此一來不管參考座標系統如何更改，都自動保證所組合成的物理量 不隨座標變換而不同。

物理量由（向量或張量的）分量與基底向量所共同組成，刻意取成搭配的協變與反協變張量，例如 v = vⁱ e_i 或 A = Aⁱ_j e_i e^j（在此已使用 summenstion convention，即成對出現的相同指標自動視為要作 Σ _{i=1. . . N} 加總），如此一來不管參考座標系統如何更改，都自動保證所組合成的物理量 不隨座標變換而不同。

物理量及微分運算有不變性（任何座標系普遍適用），

愛因斯坦方程式超簡介

距離的定義

距離，是 "兩點之間的長度"，而此長度是一個實數。
距離的計算方法

直接量
由兩點分量差，利用畢氏定理

Δs² = Δx² + Δy² + Δz² 
（ 或表示為 Δs² = Δx₁² + Δx₂² + Δx₃² ）
 

可定義 距離函數 d(x, y) = [ (y₁-x₁)² + (y₂-x₂)² + (y₃-x₃)² ]^(1/2) （畢氏定理）

 

補充：

有了距離的觀念，可以分遠近。即區分那一些點在某個點的旁邊，那一些不是。能定義鄰近(neighborhood)，就能定義開集合與拓撲，我們就有觀念上的工具可以描述東西大致們形體構造（如有洞的與沒有洞是不同的），即不一定有固定形體的。
宇宙正膨脹中的意涵：以前兩點之間距離較近，後來變遠了。
 

 

距離的定義的推廣

距離應有的性質

d(x, x) = 0：一個點到自己的距離為零
d(x, y) > 0：if x, y 不同點，大於零
d(x,z) <  d(x,y) + d(y,z) ：三角不等式（兩邊長之和大於第三邊）

滿足上述條件的定義

距離函數 d(x, y) = [ (y₂-x₂)² + (y₁-x₁)² ]^(1/2)
另一個距離函數 d'(x, y) = [ 4(y₂-x₂)² + (y₁-x₁)² ]^(1/2)
又另一個距離函數 d''(x, y) = max (| y₂-x₂|, | y₁-x₁| )

ds² = Σ_ij g_ij dx_i dx_j

這是在張量（幾何）的語言中，定義線段長度的方式

 

單位向量與測度之間的關係

g_ij = e_i · e_j
其中
e_i ≡ ∂/∂xⁱ

張量與座標變化的不變性

向量、向量分量、算子與基底的形式

座標變換

需滿足什麼條件？
向量的分量值會改變
物理量不變
連（物理定律中常用的）向量微分的算子，也希望形式不變

要如何做到？

物理量由（向量或張量的）分量與基底向量所共同組成，刻意取成搭配的協變與反協變張量，例如 v = vⁱ e_i 或 A = Aⁱ_j e_i e^j（在此已使用 summenstion convention，即成對出現的相同指標自動視為要作 Σ _{i=1. . . N} 加總），如此一來不管參考座標系統如何更改，都自動保證所組合成的物理量 不隨座標變換而不同。
至於微分算子，則考慮不同位置點上如何"平移"一個向量的規則。從另一個角度說，是一個向量被微分時，除了分量被微分外，基底也有變化上的效應。

好處

物理量及微分運算有不變性（任何座標系普遍適用），才能讓以數學式表現的物理定律有不變性 （任何座標系普遍適用）

 

利用空間自已的自然參數作座標系統

局部座標系

 

協變張量與反協變張量

基底的選用
用切線作基底的必要性

自然的基底向量：切線向量

協變張量與反協變張量的互換：透過測度張量

協變微分

協同變？怎麼變？

Γⁱ_{j k} 的特寫

從何而來？有何作用？

函數的切線向量在彎曲空間 會有 "基底向量的改變" 之效應
函數的切線向量在平坦空間 不會有 基底向量的改變 之效應
切線向量嵌入在高維度空間才能看出有沒有改變方向
補充：曲面上，兩點間最短線的曲線又叫測地線 (geodesic line)。法方向上投影呈直線，符合兩點之間最短距離的線是直線。
剩下的觀念問題是，如何提取出（線、面、體的） "曲率" 而確定空間彎曲的程度。這在微分幾何學與黎曼幾何學中會有系統化的建立。
回憶前面幾何單元，曲率越大，單位弧長變動的切線改變越大。

Γⁱ_{j k} 的定義

基底向量隨著座標參數之變化而變化的情形：

[∂/∂x^j   ] e_i = Γ^k_{i j} e_k

根據 Γⁱ_{j k} 的定義，

 

Γⁱ_{j k} 的重要性

A_{ij; k} = [∂/∂x_k  + Γⁱ_{j k} ] A_ij
上式的詮釋：（第一項）函數本身隨參數變化、加上（第二項）因基底引起的變化。

有了它，才可定義符合張量之變換行為的微分，叫協變微分。如上，能把微分的作用 "V_;k"寫成為指標的一部分，意味者微分過後之結果也是一個張量。

實例：梯度、散度、旋度算子

四維時空（狹義相對論的加入）

勞倫滋轉換
羅馬字指標與希臘字指標

曲率

曲線 -> 曲面 ->  彎曲空間， 都可以定 "曲率" （切線方向的變化率，因此要用到微分）

（數學的威力：模式．推廣）（愛因斯坦需要的，黎曼已經準備好）
待補：二維曲面上的曲率如何建立、三維曲面的曲率如何建立。

測度張量的彎曲，就是空間的彎曲

彎曲的程度，

Richi

Geometrically, the Ricci curvature is the mathematical object that controls the growth rate of the volume of metric balls in a manifold.
若以測地線做為參數，則測度張量會有簡單的近似下形式．測度張量以泰勒展開至第一項得
g_ij = δ_ij + O(|x|²)
以泰勒展開至第二項，則出現 Ricci 曲率張量 :
g_ij = δ_ij + (1/3) R_ijkl x^kx^l + O(|x|³)

(座標系)運動造成之加速度與重力造成之加速度的等效性

核心觀念：

重力造成的加速度與運動造成的加速度，其本質上（觀察上）不可區分，如果是這樣的話，重力的效果對應到怎麼樣的運動？
重力的新圖像：慣性直線運動（本來無一物，何處惹塵埃）
重力造成的加速度不是外力推動有質量的物體，而是空間彎曲，運動軌跡是則是該空間慣性運動所該有的直線運動。

新想法的結果：

就算是沒有質量的光子，也能被質量體改變路徑。這就超越了牛頓的超距性的萬有引力，並且留下了實驗可以驗證的機會。
 

曲率張量待選

愛因斯坦選出來的曲率張量
情況之一：空間彎曲只在物質存在（佔有空間之處），而非包含附近（排除）
情況之另一：

時空方程式

R^m_n = (4πG/c⁴) ( 2T^m_n - Tδ^m_n )

G^μν = k T^μν

其中　G_μν = R_μν - 1/2g_μν R
這裏頭含有測度張量 g ^μν 的微分及組合，其總的數學意義是曲率。
愛因斯坦說，等號左旁是光滑、精緻、堅固、美麗的大理石（幾何）、右邊是粗糙、脆弱、拼湊的木頭（質量、能量、動量、應力），他自己喜歡左邊的部分。

G^μν - Λ g^μν= k T^μν（ Λ 宇宙常數: 愛因斯坦自稱其一生中最大的錯誤）

（發現宇宙的膨脹是加速中之後，有人問：難到愛因斯坦終究還是對了嗎？）

不同數學條件下的空間幾何結構

向量空間

空間點可賦予向量於其上，可對存純量、向量、張量進行座標轉換

仿射空間

引入 Γⁱ_jk ，可定基底向量跨不同空間點之變化律，可作協變微分。（在此已可得廣義的斜率）

測度空間

引入測度 g_μν，可定向量長度

黎曼空間

要求 "向量" 在空間中被 "平行移動" 時，其長度不變