黎曼发展了高斯的高斯曲率思想，把几何从二维、三维推广到任意维，把曲线、曲面推广到任意维流形

: 黎曼01 微分几何教案（二十） 5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯—科达齐—迈因纳 由 marketreflections 于 2011-12-17 20:53:32

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微分几何学是随着微积分一起产生的．有了微积分这种有力工具，加上解析几何带来的坐标表示，不难求出给定曲线的切线，曲线的长度，曲线的曲率(弯曲程度的度量)．对于三维空间中的曲面，可以具体求出曲面在一点的切平面，法线，并研究曲面上曲线的一些性质．1827年德国大数学家高斯建立了曲面的“内在”几何学．他用曲线坐标(好像球面上经纬度)来代替三维笛卡儿坐标，证明曲面在一点的全曲率(即高斯曲率，为两个主曲率的乘积)，只依赖于曲面上两点间的无穷小距离平方ds₂，与如何把曲面嵌入到三维欧几里得空间的方式无关．黎曼发展了高斯的思想，把几何从二维、三维推广到任意维，把曲线、曲面推广到任意维流形，从而开拓了黎曼几何的新篇章．它的主要工具是张量分析．
在黎曼的影响下，德国数学家克里斯托费尔(E.B.Chri-stoffel，1829—1900)把ds₂推广成一般的形式∑gijdxidxj，研究在局部坐标变换之下，两个ds₂是如何互相变换的．这样他引进了以他名字命名的克里斯托费尔记号Гjki．利用这个记号他能够对于向量场进行微分，即所谓协变微分法．1887年意大利数学家里奇(R．Ricci-Curbastro，1853—1925)定义了张量概念，在克里斯托费尔公式的启发下，定义了张量的一般运算，即协变微分或绝对微分法．有了这个工具，对于黎曼几何的研究对象黎曼流形(即微分流形具有一个指定的正定黎曼度量ds₂)，也可以定义类似高斯曲率的量，但这时曲率不是一个数量，而是一个张量，称为曲率张量(或黎曼——克里斯托费尔张量)．如果曲率张量处处相等，则黎曼流形称为常曲率的．非欧双曲几何(罗巴切夫斯基几何)，就是研究曲率＜0的常曲率空间；而非欧椭圆几何，则是研究曲率＞0的常曲率空间．普通欧几里得空间，处处曲率都等于0