gr01 黎曼 线元的长度是二阶微分式之和的平方根 (爱因斯坦约定)

现在可以安全地说，   的紧化添加的无穷远点集合拓扑上等价于它的光锥两头用对径映射等同起来。三维时空的无穷远点就是 Klein 瓶把一条经线捏成一点。outward first, then internalizing
*
曼采取了最简单的一种,即:线元的长度是二阶微分式之和的平方根
ds
2
= g
*

*曼认识到,*坐标变换之下,ds


2

ij

*尔与黎曼几何的拓展



*刘祥
(中国科学院 *然科学史研究所 *京 100010)



* * *文*一手文献的基础上,重点考察了外尔 1917-1923 *间对黎*几何的系统



*述和重大*广,包括*蕴地定义*射联络、*立"纯粹*穷小几何"*引入投影*保形结

*、*及对"度量本质"*群论分析。*尔的这些推广,*其是他的"纯粹无穷小几何"*
*对 "度量*质"的分*,由于没*进入当代*分几何的*准语汇之*,今天已*隐退到



*史的幕后了。*作者认为,*尔的这些工作是从黎曼几何过渡到纤维丛理论的一个重要环
*,同时也是外尔从分析学转向李群理论的主要动因。

*键词 *曼几何 *射联络 *尔度量 *影与保形结构 *量的本质



dx
i
dx
j
*常不是不变的,*为ds


2

3
* n (n+1) / 2 *位*函数 g

*定,*坐标变换只有 n *关系。*完全确定度量关系,*须给定n (n - 1) / 2 *位置函*。

*了保证ds


2
*坐标变换之下的不变性,*曼建立了曲率的概念:*形上任一点的曲率,*n

(n - 1) / 2 *截面曲率唯一地确定。黎曼把截面曲率称为"曲率量度",并且指出,




1
*曼的这篇讲演有中译文,系从英文翻译而来,收入«数学珍宝»(李文林主编,科学出版社,1998 *)

*,但该译文有不少错误,该译文所依据的英译文(*7*,411-425)也有错误。


2

3
*下简称«黎曼几何思想»*

*里采用了爱因斯坦约定,下同。


按照外尔的思想，一种真正的无穷小几何，所谓

“纯粹无穷小几何”
，是不容许远程比
较矢量长度的。我们在此不妨将这种几何称之为“外尔几何”
。在外尔几何中，任意一点
P
的度量要由一个二阶对称张量

g
ij
和一个不为零的标量

λ

共同确定。选定了
P
的

λ

的值，
我们就说校准了
P
点矢量长度的标度。
P
点的坐标变换使矢量各分量经历一个线性变换，而
P
点的标度变换则改变矢量的长度值。
仿照矢量的无穷小平行位移概念，
外尔定义了矢量长度
l
的无穷小合同移动