Wednesday, October 30, 2013

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[转载]希尔伯特空间Hilbert空间股票数学模型对冲基金方法

(2012-11-01 22:33:35)

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原文地址：希尔伯特空间Hilbert空间股票数学模型对冲基金方法作者：柳州文铮

Hilbert空间可以用来研究的谐波振动的弦。

一个 Hilbert 空间，大卫·希尔伯特（David Hilbert）的名字命名的数学概念，概括了欧氏空间的概念。它扩展了该二维欧几里得平面和三维空间中，以与任何有限或无限的维数的空间向量代数和演算方法。一个Hilbert空间是一个抽象的向量空间具有的内积，它允许要被测量的长度和角度的结构。此外，希尔伯特空间必须是完整的，规定了必须有足够的空间的限制，允许使用的技术演算的属性。

Hilbert空间自然产生的，并经常在数学，物理，工程，通常无限维函数空间。最早的Hilbert空间进行了研究，从这个角度来看，在20世纪的第一个十年，大卫·希尔伯特，艾哈德·施密特，和弗里杰什Riesz平均。他们的偏微分方程，量子力学，傅立叶分析（包括信号处理和传热的应用程序）和遍历理论，形成的热力学的数学基础理论中的不可缺少的工具。约翰·冯·诺伊曼提出了术语Hilbert空间抽象的概念，这些不同的应用程序的基础。 Hilbert空间方法的成功迎来了一个非常富有成果的时代功能分析。除了经典的欧氏空间，Hilbert空间的例子包括平方可积函数空间，空间序列，包括广义函数， Hardy空间上的全纯函数的 Sobolev空间。

几何直觉的希尔伯特空间理论在很多方面起着重要的作用。毕达哥拉斯定理和平行四边形法则的精确类似物保持在一个Hilbert空间。在更深的层次，垂直投影到子空间（模拟的“ 删除 “三角形的高度）的优化问题和其他方面的理论起到了重要的作用。可以唯一地指定一个希尔伯特空间的一个元素的坐标相对于一组的坐标轴（一个标准正交基），笛卡尔坐标系中的一个平面的类比。 Hilbert空间，也可以有效地想到了方求和的无穷序列，当该组的轴是可数无穷的，这意味着一个Hilbert空间上线性算子同样是相当具体的对象：在良好的情况下，他们简单的伸展空间的转换，由不同的因素在相互垂直的方向在一定意义上，研究其光谱是由精确的。

定义和说明
[ 编辑 ]激励例如：欧氏空间

一个希尔伯特空间的最熟悉的例子之一是欧几里德空间组成的三维向量，由 R 3表示的，并配备与点积。的点积需要两个向量 x 和 y，并产生一个实数x·Y。如果 x 和 y表示在直角坐标系中，然后定义的点积

（X_1，X_2 x_3）， CDOT（Y_1，Y_2，y_3）= x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3。

点产品满足性能：

它是对称的在 x 和y：X·Y = Y·x的
它是在它的第一个参数呈线性关系：（×1 + b的×2）·为y = 的 x 1·Y + b的×2·任何标量a，b，和矢量y为×1，×2，和 y。
这是正定的：对于所有的向量X，X·X≥0，如果与平等且仅当 x = 0处。

对载体上的操作是已知的，类似的点产品，满足这三个属性作为（真实）的内积。甲配备这样的内积向量空间称为（实数）的内积空间。每一个有限维内积空间是一个Hilbert空间。连接它与欧几里德几何的点积的基本特征是，它是两个的向量的长度（或准则），| | X | |，和之间的角度θ通过两个向量 x 和 y表示有关下式

mathbf {X} CDOT mathbf {Y} = | mathbf {x}的 | | mathbf {Y} | ， COS THETA。

完整性是指，如果一个粒子沿着破碎的路径（蓝色）行驶了有限的总距离，然后粒子有一个良好定义的的净位移（橙色）。

欧氏空间中依赖于多变量微积分的计算能力的限制，并有有用的标准，得出的结论是限制存在。一个数学系列

$sum_ {n = 0} ^ infty的 mathbf {X} _n$

组成的R 3 中的矢量，是绝对收敛提供的长度总和收敛作为一个普通的一系列的实数： [1]

$sum_ {k = 0} ^ infty的 | mathbf {X} _k < infty的。$

正如用的标量序列，一系列的向量也收敛绝对收敛到一些限制的欧氏空间中的矢量 L，在某种意义上说，

$mathbf {L} - sum_ {k = 0} ^ N mathbf {X} _k 0 四 {} N infty的。$

此属性表示欧氏空间的完整性：即通常意义上的一个系列，也收敛绝对收敛。

[ 编辑 ]定义

一个 Hilbert 空间 H是一个真正的或复杂的，这也是一个完备的度量空间的距离函数的内积诱导的内积空间。 [2]如果说H 是一个复杂的内积空间H 是一个复杂的向量空间在其上有一个内积 langle X，Y rangle

关联一个复杂的编号，以每一对元素的x，y的 H满足以下属性：

对元素的内积的交换的元素的复共轭的内积等于：

langle Y，X rangle = 划线{ langle X，Y rangle}。

内积是线性的，在它的第一个参数。 [3]对于所有复杂的数 a 和 b，

langle ax_1 + bx_2，Y rangle = langle X_1，Y rangle + B langle X_2， rangle。

一个元素与自身的内积是正定的：

正是拥有平等的情况下，当 x = 0。

从复杂的内部产品性能1和2是反线性的，在它的第二个参数，这意味着，

$langle所述，ay_1 + by_2 rangle = 酒吧{A} langle X，Y_1 rangle + 酒吧{B} langle X，y_2 rangle。$

一个真正的内积空间被定义在相同的方式中，除了H是一个实向量空间和内积需要真正的值。这样的内产品将双线性：那就是，在每个参数的线性。

规范是实值函数

和距离 d的两个点之间的x，y在 H中定义的规范的术语

D（X，Y）= | X-Y | = 开方{ langle X-Y，X-Y rangle}。

这个函数是一个距离函数的装置（1），它是对称的在 x 和y，（2），x和自身之间的距离是零，否则x和 y之间的距离必须是正数，和（3），三角不等式成立，这意味着，一个三角形的xyz的一条腿的长度不能超过其他两条腿的长度的总和：

最后一个属性是最终的结果更根本的柯西-施瓦茨不等式，它声称

平等的，当且仅当x和 y是线性相关的。

相对于以这种方式定义的距离函数，任何内积空间是一个度量空间，并且有时被称为预希尔伯特空间， [4]的任何预希尔伯特空间，另外是同时作为一个完整的空间是一个Hilbert空间。完整性是使用某种形式的柯西准则在 H序列表示：柯西序列收敛，如果每一个Hilbert空间H是完整的，规范空间中的元素。完整性可以其特征在于由下面的等效条件：如果一个向量系列 $文字样式{ sum_ {k = 0} ^ infty的u_k}$ 收敛绝对在这个意义上，

$sum_ {k = 0} ^ infty的 | u_k | < infty的，$

然后一系列收敛H 中，在这个意义上部分和收敛的 H的元素。

作为一个完整的赋范空间，Hilbert空间的定义也Banach空间。这样，他们的拓扑向量空间，在这种拓扑的概念，如开放性和封闭性的子集的定义。特别重要的是一个封闭的一个Hilbert空间，线性子空间的内积引起的限制，也完成（即在一个完整的度量空间的闭集），因此，在自己的权利了Hilbert空间的概念。

[ 编辑 ]第二个例子：序列空间

序列空间 ℓ2包括该系列的所有无穷序列等Ž=（Z 1和 z 2，...）的复数

$sum_ {n = 1} ^ infty的z_n | ^ 2$

收敛。 ℓ2的内积是指由

$langle mathbf {Z}， mathbf {W} rangle = sum_ {n = 1} ^ infty的z_n 划线{w_n}$

后者系列融合的柯西 - 施瓦茨不等式的后果。

空间的完整性认为，每当一系列元素ℓ2绝对收敛（规范），那么它收敛到一个元素ℓ2。证明是基本的数学分析，并允许作为复数（或在一个有限维欧几里德空间的向量）的一系列相同的容易被操纵的空间的元素的数学系列[5]

[ 编辑 ]历史

大卫·希尔伯特（David Hilbert）

在此之前的Hilbert空间的发展，其他的欧氏空间的一般化被称为数学家和物理学家。特别是一个抽象的线性空间的想法已经取得了一定的牵引，在19世纪接近尾声： [6]这是一个空间的元素都可以加在一起，乘以标量（例如实数或复数），而不必确定这些元素与“几何”的载体，如在物理系统中的位置和动量矢量。其他数学家研究的对象，在20世纪之交，特别是空间序列（包括系列）和空格的功能， [7] ，自然可以被认为是线性空间。功能，例如，可以一起加入或乘以常数标量，而这些操作服从满意通过加法和空间向量的标量乘法的代数法律。

在20世纪的第一个十年中，引入Hilbert空间的平行发展。第一个是观察，大卫·希尔伯特和艾哈德·施密特积分方程的研究， [8] ，两个平方可积的实值函数f和 g在区间[A，B]有一个内部产品过程中产生的

langle F，G rangle = int_a ^ B F（X）G（X） DX

其中有许多熟悉的属性的欧几里德点产品。特别是，正交家族功能的想法的意义。施密特利用该内产品的相似性，与通常的点积来证明的类似物的形式的操作者的频谱分解

其中，K是一个连续函数在 x 和 y对称。将所得的本征函数扩展作为一个系列的形式表示的函数 K

K（X，Y）= sum_n lambda_n varphi_n（X） varphi_n（Y）

函数φn是在这个意义上正交⟨φŇ，φ米 ⟩= 0，对于所有的n≠ 米。在这个系列的个别条款有时被称为作为初级产品解决方案。但是，也有无法收敛到平方可积函数：缺少的成分，这确保收敛在一个合适的感的本征函数的扩展，是完整性。 [9]

第二个发展是勒贝格积分，黎曼积分的替代亨利·勒贝格在1904年推出的[10] 。勒贝格积分使我们能够整合更广泛的一类函数。 1907年， Riesz平均弗里杰什西吉斯蒙德菲舍尔和安永会计师事务所独立地证明，方勒贝格可积函数空间L 2是一个完备的度量空间。的几何形状和完整性之间的相互作用的结果[11] ，19世纪的约瑟夫·傅立叶的结果，弗里德里希·贝塞尔和马克-安托万的Parseval 三角级数方便地进行这些更一般的空间， Riesz平均菲舍尔定理现在通常被称为一个几何和分析仪器。 [12]

在20世纪初被证明是更深入的结果。 Riesz表示定理，例如，独立设置的，由莫里斯导数和弗里杰什Riesz平均在1907年。 [13] 约翰·冯·诺伊曼创造了这个词的抽象的Hilbert空间上无界自伴算子在他的作品。 [14]虽然如其他数学家外尔和诺伯特·维纳已经很详细的研究特别是Hilbert空间，往往是从一个物理动机的角度来看，冯·诺伊曼了第一个完整的和不言自明的治疗。 [15]冯·诺伊曼后来在他的开创性工作的基础量子力学， [16]他继续与尤金·魏格纳。 “希尔伯特空间”这个名字很快就被别人所采用，例如，通过外尔在他的书在量子力学和理论组。 [17]

一个Hilbert空间的概念，强调的意义[18]总之，一个量子力学系统的状态是在一定的希尔伯特空间向量，观测值的实现，它提供了一个最好的量子力学的数学公式。，空间上的自伴算子，对称的系统是单一的运营商，并测量正交投影。量子力学对称性和单一的运营商提供了动力单一组表示理论的发展，在1928年的工作外尔发起的关系。 [17]另一方面，在20世纪30年代初，它成为某些属性[19]的经典动力系统可以分析使用Hilbert空间技术的遍历理论的框架。

量子力学的观测值的代数自然是一个Hilbert空间上的算子代数，根据海森堡的矩阵力学制定的量子理论。冯·诺伊曼在20世纪30年代开始研究算子代数，作为一个Hilbert空间上的算子环。现在被称为von Neumann代数的一种代数研究的冯诺依曼和他的同时代人。在20世纪40年代，以色列的Gelfand ，马克奈马克和欧文·西格尔定义了一种算子代数称为C * -代数，一方面没有提到一个基本的Hilbert空间，并推断许多有用的功能算子代数，以前曾研究。特别是自伴算子的谱定理许多现有的希尔伯特空间理论的基础是广义的C *代数。这些技术现在基本的抽象调和分析和代表性理论。

[ 编辑 ]实例
[ 编辑 ]Lebesgue空间
主要文章： Lp空间

Lebesgue空间的测度空间（X，M，μ），其中 X为一组相关联的功能空间，M是一个σ-代数 X 的子集，μ是M 上的一个可数可加测度。让，L 2（X，μ）是空间的那些复杂的值X 上的可测函数的绝对值的平方的函数的Lebesgue积分是有限的，即，L 2 中的函数f（X， μ），

识别功能，当且仅当它们的区别仅在一个组测度为零。

函数 f 和g，L 2（X，μ）的内积，则定义为

$langle F，G rangle = int_X F（T）划线{G（T）} D 亩（T）。$

对于L 2 中的f和 g，该积分的存在是因为Cauchy-Schwarz不等式，并且定义了一个空间上的内积。 L 2配备这种内在的产品，其实是完整的。 [20] [21]勒贝格积分是必不可少的，以确保完整性：实数域上，例如，没有足够的功能是黎曼可积。

Lebesgue空间出现在许多天然的设置。 L 2（R）和 L 2（[0,1]）的平方可积函数的空间上的实线和单位时间间隔，分别相对于Lebesgue测度，是天然的域，在其上定义的傅立叶变换和傅立叶系列。在其他情况下，该措施可能是勒贝格测度的实线比普通的事。例如，如果w是任何积极测函数，所有可测量的空间中函数 f在区间[0，1]满足

被称为加权 L 2空间 L 2
瓦特（[0,1]），和 w被称为权重函数。的内积的定义是由

$langle F，G rangle = INT_0 ^ 1 F（T）（T）划线{G（T）} W DT。$

加权空间L 2
W（[0,1]）是相同的Hilbert空间L 2（[0,1]，μ）的勒贝格可测集的测度μA定义的

加权L 2的场所，如经常被用来研究正交多项式，正交多项式，因为不同的家庭不同的权重函数是正交的。

[ 编辑 ]Sobolev空间

Sobolev空间，由 H 或 W s的，2表示，是Hilbert空间。这是一种特殊的函数空间中，可以进行分化，但（不像其他Banach空间，如持有人的空间）支持的内部产品结构。由于分化是允许的，Sobolev空间的偏微分方程的理论是一个方便的设置。 [22]他们也构成了直接的方法在变分法的理论基础。 [23]

对于一个非负整数，和Ω⊂R n中，Sobolev 空间H（Ω）含有L 2功能，其弱衍生物的顺序为 s L 2。 H S中的内积（Ω）是

$langle F，G rangle = int_ 欧米茄F（X）酒吧{G}（X），DX + int_ 欧米茄D F CDOT D 酒吧{G}（X），DX + cdots + int_ 欧米茄D ^呎（X） CDOT D ^ 酒吧{G}（X） DX$

其中点表示点在欧氏空间的偏导数的每个订单的产品。 Sobolev空间也可以被定义，当 s是不是一个整数。

Sobolev空间，还研究了从点光谱理论的观点，依靠更具体的的希尔伯特空间结构上。如果Ω是一个合适的域名，然后可以定义Sobolev 空间H（Ω）作为贝塞尔潜力的空间; [24]粗略地说，

$H ^（欧米茄）= {（1 - 三角洲）^ {-S / 2} | F 在L ^ 2（欧米茄）}。$

这里Δ是拉普拉斯算子，（1 - Δ） -据了解，在S / 2的谱映射定理。除了非整数 s的Sobolev空间提供了一个可行的定义，这个定义也有特别理想的性能下的傅立叶变换，使研究伪运营商的理想选择。一个紧凑的黎曼流形上使用这些方法，可以得到例如Hodge分解，这是霍奇理论基础[25] 。

[ 编辑 ]全纯函数空间

Hardy空间上的

Hardy空间上的功能空间，所产生的复杂的分析和谐波分析，它的元素是一些全纯函数在一个复杂的领域。 [26] 设 U表示在复平面上的单位圆盘。然后Hardy 空间 H的空间的全纯函数 f 2（U）被定义为U 上，使得装置

$M_r（F）= 压裂{1} {2 PI} INT_0 ^ {2 PI} |（重新^ { THETA}）| ^ 2 D THETA$

保持有界，R <1。这Hardy空间上的规范定义

$| F | _2 = lim_ {R 1 SQRT {M_r（F）}。$

傅立叶级数Hardy空间上的光盘是相关的。当且仅当函数 f是H 2（U）

$函数f（z）= sum_ {n = 0} ^ infty的a_nz ^ N$

哪里

$sum_ {n = 0} ^ infty的 | A_N | ^ 2 < infty的。$

因此，H 2（U）由L 2上一圈，而其负频率傅立叶系数消失的那些功能。

Bergman空间

[27] 设 D是一个有界开集在复平面上（或更高维的复杂的空间），并让L 2，H（D）空间的全纯函数Bergman空间是另一个家庭的全纯函数的Hilbert空间。 f在D的也L 2 中（D）的，在这个意义上说

| F | ^ 2 = int_D | F（Z）| ^ 2 D 亩（Z）< infty的，

与的勒贝格测度在 D方面采取积分。显然，L 2，H（D）是L 2（D）的一个子空间;，事实上，它是一个封闭的子空间，并且因此，在自己的权利的希尔伯特空间。这是一个估计的结果，紧凑的子集K的ð，有效的

$sup_ {Z K} |函数f（z）| 乐C_K | F | _2，$

这反过来又由柯西积分公式。因此，L 2的全纯函数序列的收敛（D）还意味着衔接紧凑，并因此限制功能也全纯的。这种不平等的另一个后果是线性泛函，计算函数 f 的 D点在L 2，H（D）实际上是连续的。 Riesz表示定理意味着，评价功能，可以被表示为L 2，H（D）的一个元素。因此，对于每个z∈D，有一个函数η 的z∈L 2，H（D），使得

$函数f（z）= int_D（泽塔）划线{ eta_z（泽塔）} ，亩（泽塔）$

所有f∈L 2，H（D）。积

$K（泽塔，Z）= 划线{ eta_z（泽塔）}$

是被称为Bergman核的 D。积分核满足再生性质

一个Bergman空间的再生核Hilbert空间，这是一个希尔伯特空间的功能以及与核K（ζ，Z），验证再生性质类似于这个就是一个例子。 Hardy空间H 2（D）也承认，再生核，称为[28] 。再生核Szegő内核以及在其他领域的数学。例如，在谐波分析的的泊松核心是为平方可积调和函数在单位球的希尔伯特空间的再生核。后者是一个Hilbert空间是调和函数的中值定理的结果。

[ 编辑 ]应用程序

许多应用Hilbert空间利用Hilbert空间支持的事实，他们的通常的有限维设置，如投影和变化的基础上，从简单的几何概念的推广。特别是，一个Hilbert空间上的连续自伴线性算子谱理论的概括了一般的矩阵谱分解，这在理论数学和物理等领域的应用中往往扮演着重要的角色。

[ 编辑 ]的Sturm-Liouville理论
主要文章：常微分方程的Sturm-Liouville理论和谱理论

色彩的振动的弦。这些本征函数的相关Sturm-Liouville问题。本征值1,1 / 2,1 / 3，...形式（音乐）谐波系列。

在常微分方程的理论，在一个合适的希尔伯特空间的谱方法被用来研究差分方程的特征值和特征函数的行为。例如， Sturm-Liouville问题的研究中产生的谐波波在小提琴的弦鼓，是在常微分方程中的一个核心问题。 [29]这个问题是一个差分方程的形式

- 压裂{D} {DX} 离开[P（X）压裂{DY} {DX} ] + Q（X）Y = 拉姆达W（X）

一个未知函数 y在区间[A，B]，满足一般均匀Robin边界条件

{情况下，} α-Y（A）+ 字母“Y”（A）= 0 测试Y（B）+ 测试版'Y'（B）= 0。 {情况下}

函数p，q和瓦特预先给定的，并且问题是要找到的函数 y和常数λ的方程有一个解决方案。问题只解决方案的某些的λ值，被称为系统的特征值，而这是一个紧算子施加到积分算子定义为系统的格林函数的光谱定理后果。此外，这种一般的结果的另一个后果是，越来越趋向于无穷大的序列可以被布置在该系统的特征值λ的。 [30]

[ 编辑 ]偏微分方程

[22]对于偏微分方程，如线性椭圆方程的多类，它是一个通用的解决方案，被称为一个微弱的解决方案可以考虑通过扩大类Hilbert空间形成一个基本的工具，在偏微分方程的研究。的功能。很多薄弱的配方中涉及的类的的索伯列夫功能，这是一个Hilbert空间。合适的弱形式降低到一个几何问题，分析问题，找到解决办法，往往更为重要的是，有一个解决方案，是唯一的给定的边界数据。对于线性椭圆方程，几何结果，以确保独特的一大类问题的可解性是LAX-Milgram定理。这一战略形成的雏形，偏微分方程数值解的Galerkin方法（有限元方法）。 [31]

一个典型的例子是泊松方程 -ΔU = G Dirichlet边界条件的有界域ΩR 2。弱形式包括找到一个函数 u，使得对所有在Ω的边界上消失的连续可微函数 V：

int_ 欧米茄 nablaü CDOT nabla v = int_ 欧米茄GV。

这可以被改写的Hilbert空间H 1
0（Ω）组成的函数U使得U，随着其脆弱的偏导数，平方可积Ω，并消失在边界上。接下来的问题减少到发现u在这个空间里，这样，在这个空间里对所有的v

其中a是一连续的双线性形式，和 b是一个连续的线性的功能，分别给出了由

（U，V）= int_ 欧米茄 nabla U CDOT nabla v，四B（V）= int_ 欧米茄GV。

由于泊松方程是椭圆形的，它从庞加莱的不平等，双线性形式，一个是强制性的。的Lax-Milgram定理，然后确保这个方程的解的存在性和唯一。

Hilbert空间允许以类似的方式制定的许多椭圆型偏微分方程，其Lax-Milgram定理是一个基本的工具，在他们的分析中。通过适当的改进，类似的技术可以应用到抛物型偏微分方程和一定的双曲型偏微分方程。

[ 编辑 ]遍历理论

路的台球球在Bunimovich体育场的描述的由遍历动力系统。

遍历理论领域的混沌动力系统的长期行为的研究。遍历理论适用于一个领域，protypical的情况下，在其中，虽然是热力学系统的微观状态是非常复杂的（这是不可能了解的合奏物质粒子之间的个人冲突）的平均行为在足够长的时间间隔是听话的。热力学定律是这样的平均行为的断言。特别地，一个配方的热力学第零定律声称，在足够长的时间尺度，唯一的功能上是独立的测量，一个可以使一个热力学系统处于平衡状态是它的总能量，在温度的形式。

遍历动力系统是为其中之一，除了能测量的哈密尔顿，有没有其他功能上是独立的守恒量相空间。更明确地说，假设的能量 E是固定的，而ΩE是所有的能量E（势能面）相空间的子集，并让T T表示在相空间的演化算符。如果没有连续的非恒定功能E，使得Ω的动力系统是遍历

对所有wΩE和所有的时间 t。刘维定理意味着存在一个测度 μ的能量上表面，下是不变的时间的词条。其结果是，时间的词条是一个酉变换的希尔伯特空间 L 2（ΩE，μ）组成的相对于内积的能量表面ΩÊ平方可积的功能。

$langle F，G rangle_ {L ^ 2（ Omega_E，亩）} = int_E F 酒吧{G} D 亩。$

冯·诺伊曼的平均遍历定理[19]阐明如下：

如果 U t是一个强连续单参数半群的酉算子Hilbert 空间H，P是U T的公共不动点的空间上的正交投影，{X∈H | U T X = X为所有的t> 0}，然后

$PX = lim_ {T 至 infty的} 压裂{1} {T} INT_0 ^ TU_tx DT。$

遍历系统中，只包含固定的时间演化的常量函数，所以遍历定理意味着下列内容： [32]的函数f∈L 2（ΩE，μ），

$底流{T 为 infty的} {L ^ 2 - LIM} 压裂{1} {T} INT_0 ^ T（T_tw），DT = int_ { Omega_E} F（Y ），亩（Y）。$

也就是说，在很长一段时间平均可观察f等于其预期值的能源表面。

[ 编辑 ]傅立叶分析

正弦波基础函数（底部）的叠加，以形成一个锯齿波（顶部）

球面谐波，在球体上的平方可积函数的希尔伯特空间的标准正交基，示出沿径向方向作图

傅立叶分析的基本目标之一，是一个函数分解成一个（可能是无限）的给定的基函数的线性组合：相关的傅立叶级数。经典的傅立叶系列相关联的一个函数 f定义在区间[0，1]的形式是一系列

$sum_ {n = - infty的} ^ infty的A_N E ^ {2 PI THETA“}$

哪里

$A_N = INT_0 ^ 1F（θ）E ^ {-2 PI在 THETA} ，D：θ波。$

加起来的锯齿波函数的傅立叶级数的第一几个术语的例子中示出在图中。基函数是与λ/ n的组（n =整数）小于锯齿波本身（对于 n = 1，基波除外）的波长λ的波长的正弦波。所有基函数的节点的节点的锯齿波，但所有但根本的更多的节点。有关锯齿波振荡的求和条款被称为Gibbs现象。

一个显着的问题在经典傅立叶级数要求在何种意义上的傅立叶级数收敛，如果在所有的函数 f。 Hilbert空间方法提供了一个可能的答案，这个问题[33] 。功能E N（θ）= E2πiNθ形式的正交基的Hilbert空间L 2（[0,1]）。因此，任何平方可积函数可以表示为一个系列

（θ）= sum_n A_N e_n（θ），四A_N = langle F，e_n rangle

，此外，本系列的收敛在希尔伯特空间意义上（即，在L 2的平均值）。

从抽象的角度来看，这个问题也可以研究每一个Hilbert空间有一个标准正交基，和Hilbert空间的每一个元素可以写在这些基础要素的总和的倍数一种独特的方式。有时被称为抽象的系数出现在这些基础元素的元件的空间的傅里叶系数。 [34]的抽象是特别有用的，当它是更自然的，使用不同的基础函数的空间如 L 2（[0 ，1]）。在许多情况下，它是一个功能分解转化为三角函数，而到正交多项式小波例如， [35] ，在高维成球谐。 [36]

比如，如果 e n是任何标准正交基函数的 L 2 [0,1]，然后L 2 中的一个给定的功能[0,1]可以近似为一个有限的线性组合[37]

F（X）约f_n（X）= A_1 E_1（X）+ A_2 E_2（X）+ cdots +（X A_N e_n）

系数{j}中的选择应使得| | - ƒƒÑ| | 2作为尽可能小的幅度的差异。几何上，最佳逼近到{E j}中的所有线性组合组成的子空间上的正交投影 ƒ，并可以计算出由[38]

$a_j = INT_0 ^ 1 划线{e_j（X）} F（X），dx的。$

这个公式最大限度地减少了| |ƒ - ƒÑ| | 2 贝塞尔的不平等和帕瑟瓦尔的公式的结果。

在各种应用中的物理问题，一个函数可以被分解成物理意义的本征函数的微分算子（通常是拉普拉斯算子）：形成的函数的光谱研究的基础，在参考的微分算子的频谱。 [39一个具体的物理应用涉及的问题，听到鼓的形状，鼓面的振动能够生产的基本模式，可以推断鼓本身的形状[40]这个问题涉及的数学公式在飞机上的拉普拉斯方程的Dirichlet特征值的，代表的整数，表示根本的小提琴琴弦的振动模式的振动直接类比的基本模式。

谱理论背后的某些方面的一个函数的傅里叶变换。鉴于傅里叶分析分解到离散频谱的拉普拉斯算子（其对应的振动的琴弦或鼓）上的紧集定义的函数，一个函数的傅里叶变换是所有的欧几里德空间上定义的函数的分解成其组成部分的拉普拉斯算子的连续谱。的傅里叶变换也是几何，在一定意义上的准确程度，是由Plancherel定理，断言一个希尔伯特空间（“时域”）与另一（“频域”），它是一个等距。这等距属性的傅里叶变换是一个反复出现的主题抽象调和分析证明，例如Plancherel定理球面产生的在非交换谐波分析功能。

[ 编辑 ]量子力学

中的氢原子的电子的轨道的能量的本征函数。

在数学上严格的配方，由保罗·狄拉克的量子力学[41] 约翰·冯·诺伊曼， [42]可能的状态（更确切地说，是纯态）的量子力学系统为代表的单位向量（称为状态向量）驻留在一个复杂的可分Hilbert空间，称为状态空间，以及定义范数1（相位因子）到复数。换句话说，可能的状态是点在一个希尔伯特空间projectivization ，通常被称为复射影空间。这Hilbert空间的确切性质是依赖于系统中，例如，一个非相对论自旋为零的粒子的位置和动量的状态是所有平方可积函数空间，而单个质子的自旋状态是二维的复杂的希尔伯特空间的旋量的单位元件。每一个观察到的由自共轭作用的状态空间上的线性算子表示。每个本征态的可观察到的对应的一个特征向量的操作者，和相关联的本征值的值对应于在该本征态的观察到的。

的时间演化的量子态薛定谔方程，在哈密尔顿，相应的运营商系统的总能量，产生随时间的演化。

两个状态矢量之间的内积是一个复数称为作为概率振幅。在量子力学的系统的一个理想的测量，之间的初始和最终状态的概率的振幅的绝对值的平方，从一个给定的初始状态到一个特定的本征态的系统崩溃的概率由下式给出。可能的结果，测量的特征值的操作，这也解释了选择自伴算子，所有的特征值必须是真实的。可观察到的在一个给定的状态的概率分布，可以发现，通过计算相应的操作员的光谱分解。

对于一般的系统中，各国通常不是纯粹的，而是被表示为统计的纯态的混合物，或混合状态，密度矩阵 Hilbert空间上的自伴算子的迹线1。此外，对于一般的量子力学系统中，一个单一的测量的影响可以影响系统的其他部分中的描述的方式，而不是由一个正算子值测度。这样的结构要复杂得多比纯态的理想化的状态和观测值的一般理论。

海森堡的不确定性原理为代表的声明，对应一定的观测值的运营商不能互换，并给出了一个具体的形式，换向器必须有。

[ 编辑 ]属性
[ 编辑 ]毕达哥拉斯的身份

两个向量u和 v在Hilbert 空间是正交的时 langle U，V rangle

= 0。这是U⊥v的符号。更一般地，当 S的一个子集符号H，U⊥S表示，u是正交的每一个元素从 S。
当u和 v是正交的，一个具有

$U + V | ^ 2 = langleü+ V，U + V rangle = langle U，U rangle + 2 ， mathrm {RE} langle U，V rangle + langle V， V rangle = U | ^ 2 + | V | ^ 2。$

对 n进行归纳，这是任何家庭扩展到U 1，...，U n的N个正交向量，

| U_1 + cdots + u_n | ^ 2 = | U_1 | ^ 2 + cdots + | u_n | ^ 2。

而毕达哥拉斯的身份，表示在任内积空间是有效的，完整的需要的扩展系列毕达哥拉斯的身份。当且仅当A系列ΣU K在 H 正交向量收敛的一系列的规范收敛的平方，

$bigl sum_ {k = 0} ^ infty的u_k bigr | ^ 2 = sum_ {k = 0} ^ infty的 | u_k | ^ 2。$

此外，一系列的正交向量的总和是独立的顺序，它是采取。

[ 编辑 ]的平行四边形身份和极化

几何上，平行四边形的身份断言，AC 2 + BD 2 = 2（AB 2 + AD 2）。在词语，对角线的平方的总和的两倍的任何两个相邻的边的平方的总和。

根据定义，每一个Hilbert空间是一个Banach空间。此外，在每一个Hilbert空间的的平行四边形身份持有：

U + V | ^ 2 + | U-V | ^ 2 = 2（ | U | ^ 2 + | V | ^ 2）。

相反，每一个平行四边形身份持有Banach空间是一个Hilbert空间，并且由偏振标识，被唯一地确定的规范的内积。 [43]对于实Hilbert空间，偏振的身份是

$langle U，V rangle = 压裂{1} {4} （ | U + V | ^ 2 - | UV | ^ 2）。$

对于复杂的Hilbert空间，它是

$langle U，V rangle = 压裂{1} {4} （ | U + V | ^ 2 - | UV | ^ 2 + | U +四 | ^ 2-I | U-IV | ^ 2 ）。$

平行四边形法则意味着，任何希尔伯特空间是一个一致凸Banach空间。 [44]

[ 编辑 ]最佳逼近

如果 C是一个非空闭凸Hilbert 空间 H 和 x H 中的点的子集的，存在唯一的点Y∈C的x和在 C点之间的距离最小化， [45]

Y | X - Y | = mathrm {区}（X，C）= 分 { | X - Z |：Z C }。

这相当于说，有一个点的最小范数在翻译的凸集D = C - X。证明中显示，每个极小化序列（D N）⊂D的柯西（使用平行四边形身份），因此一个点在 D中具有最小范数的收敛（完整性）。更普遍的是，这个拥有任何一致凸Banach空间。 [46]

当这个结果被施加到一个封闭的子空间F的 H，它可以被显示，点y∈F最接近 x的特征在于由[47]

这一点y是x 的正交投影到 F的映射P F：X→Y是线性的（正交补充和预测）。这个结果尤其显着，应用数学，特别是数值分析，最小二乘法的基础上形成[ 需要的引证 ]。

特别是，当F是不等于 H时，可以找到一个非零矢量 v 至 F正交（选择 x不是在 F 和 v = X - Y）。一个非常有用的标准是通过将观察到的闭子空间F的一个子集S 的 H。

的子集S 的 H跨越了一个密集的矢量子空间（且仅当），向量0是唯一的向量v∈H正交到 S。

[ 编辑 ]对偶

H *的对偶空间是空间的连续线性函数空间 H的基础领域。它带有一种天然的规范，定义为

$| varphi = sup_ { | X | = 1，X H} | varphi（x）|。$

该规范满足平行四边形法则，所以对偶空间是内积空间。对偶空间也是完整的，所以它是一个Hilbert空间，在自己的权利。

Riesz表示定理的双重提供了一个方便的描述。的每一个元素 u 的 H，有一个独特的元素φu的H *，定义为

映射

从 H到H *是一个反线性映射。 Riesz表示定理指出，这种映射是一个反线性同构。 [48]因此，每一个元素φ的双H *有且只有一个UφH，使得

对于所有的x∈H。对偶空间的内积H *满足

langle varphi， PSI rangle = langle U_ PSI，U_ varphi rangle。

为了在右手边拨回在从该antilinearity 的 Uφφ线性恢复。在现实情况下，实际上是从 H到它的双反线性同构同构，实Hilbert空间自然同构于自己的对偶。

代表矢量 uφ以下列方式获得。当φ≠0，则内核 F =长青春科尔（φ）是一个封闭的矢量子空间的 H，不等于 H，因此存在一个非零矢量 v 至 F正交。是一个合适的标量向量 u多个λv的 v。的要求，即φ（V）=⟨V，U⟩产量

$U = langle v，V rangle ^ {-1} ，划线{ varphi（V）} 诉$

这种对应关系φ↔u是利用市场的胸罩符号在物理。假设的内积，由⟨X | Y⟩表示在右边，是线性的，这是常见的在物理

结果⟨ 所述| Y⟩的行动可以被看作是线性功能⟨ 所述 |（胸罩）上的向量| Y⟩（市场）。

Riesz表示定理依赖根本不存在的内积，同时也对空间的完整性。事实上，该定理意味着，可确定与完成的任何内积空间的拓扑对偶。 Riesz表示定理的直接后果是Hilbert 空间H是自反的，这意味着从 H到它的双偶空间的自然地图是一个同构。

[ 编辑 ]弱收敛序列
主要文章：弱收敛（Hilbert空间）

在Hilbert 空间时，序列{x n} 弱收敛到一个向量x∈H

lim_n langle x_n，V rangle = langle X，V rangle

每V∈Ĥ。

例如，的任何正交的序列{F N}弱收敛到0，贝塞尔不等式的结果。每一个弱收敛序列{X n}的有界，一致有界性的原则。

相反，每一个有界序列Hilbert空间中承认，弱收敛的子序列（ Alaoglu的定理）。 [49]这一事实可以证明最小化的结果为连续凸泛函，以同样的方式，波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理是用连续函数R D。在几个变种，一个简单的声明如下： [50]

如果f：H→R是凸的连续函数，F（X）趋于+∞时| | 所述 | |趋向于∞，则 f承认，在一些点的最低X 0∈H。

这一事实（以及它的各种概括）是变分法中的直接法的基础。凸泛函的最小化的结果也稍微抽象界闭Hilbert 空间 H是弱紧凸子集，由于 H是自反的直接后果。弱收敛的子序列的存在是一个特殊的情况下，埃伯莱因- Šmulian定理的。

[ 编辑 ]Banach空间属性

Banach空间中的任何财产继续保持Hilbert空间。开映射定理指出，一个连续满射从一个Banach空间的线性变换到另一个将开集开集，它是一个开放的映射意义。一个自然的推论是有界逆定理，连续的和双射的线性函数从一个Banach空间到另一个是一个同构（即，连续的线性映射，其逆也是连续的）。这个定理证明在Hilbert空间的情况下，比在一般Banach空间是相当简单。 [51]开映射定理是等价的闭图定理，它主张一个Banach空间到另一个函数是连续的，当且仅如果它的图形是一个闭集。 [52]在Hilbert空间的情况下，这是基本的无限运营商的研究（见闭算子）。

（几何） Hahn-Banach定理断言闭凸集是可以分开的外面通过希尔伯特空间的超平面的任何点。这是一个最佳逼近属性的直接后果是：如果 y是一个闭凸集 F 最接近 x的元素，然后在分离超平面是通过它的中点的段的xy垂直的平面内。 [53]

[ 编辑 ]操作Hilbert空间
[ 编辑 ]有界算子

连续线性算子 A：H 1→H 2从Hilbert空间H 1 H 2第二Hilbert空间有界在这个意义上，他们有界集，界集映射。反之，如果操作者是有界的，那么它是连续的。这样的界线性算子空间有一个规范，操作规范给出的

lVert一个 rVert = 支持左 {， lVert斧 rVert： lVert X rVert LEQ 1 ， }。

的总和，两个界线性算子的复合再有界的，线性的。因此，可以在 H 2中，在地图上发送的x∈H 1至⟨Ŷ⟩的Ax，是线性的和连续的，并根据Riesz表示定理为 y的形式表示

langle所述，A ^ * Y rangle = langle斧，Y rangle

一些矢量A *'Y H 1。这定义了另外一个线性算子A *：H 2→H 1， A的伴随的。人们可以看到，A ** A。

B组（H）H上所有有界线性算，与另外的操作组合，规范和伴随的操作，是一个C *代数，这是一个类型的算子代数。

元素 A的B（H）被称为自伴或 Hermitian如果A * = A。如果 A是埃尔米特和⟨ 斧，X⟩≥0 对任意x，则 A被称为非负，A≥0;如果等式成立仅当 x = 0，则 A被称为积极。自伴算子的一组承认一个偏序，其中A≥B，如果A - B≥0。如果 A的形式为B *'B部分 B，那么A的非负; 如果 B是可逆的，则是积极的。在这个意义上，对于一个非负算子A，存在唯一的非负平方根 B，使得一个反过来也是如此

由光谱定理精确的在一定意义上，可以有效地被认为自伴算子，作为运营商的“真正的”。元素 A的B（H）被称为正常的，如果A *'A = A A *。正常算子分解成自伴算子的自伴算子和虚多个总和

$A = 压裂{A + A ^ *} {2} + 压裂{（A-A ^ *）} {2I}$

那彼此通勤。正常的运营商可以有效地想到了在他们的实部和虚部。

的B（H）被称为一种元素 U 酉如果 U是可逆的，和它的逆U *，由下式给出。这也可以通过以下来表示，要求U是上和⟨UX，UY⟩=⟨，Ŷ⟩对于所有的x 和 y 在 H。酉算子可以形成一个组，根据组合物，该组合物是等距的 H 组。

B（H）的一个元素，它是紧凑的，如果将有界集，相对紧凑的集。等价地，有界算子T是紧凑，对于任何有界序列{x K表 }，序列{TX k}的一个收敛子。许多积分算子结构紧凑，其实定义了一类特殊的被称为希尔伯特-施密特运营商积分方程的研究是特别重要的运营商。 Fredholm算子的不同从一个紧凑的多运营商的身份，并等价的特点为运营商带有限的三维内核和cokernel的的。该指数的Fredholm 运营商T被定义为

operatorname第{index} ，T = 昏暗 ker的T - 昏暗 operatorname【焦化} ，T.

该指数是同伦不变，并通过阿蒂亚-辛格指标定理在微分几何扮演了深刻的角色。

[ 编辑 ]无界运营商

Hilbert空间中无界运营商也听话的，有重要的应用量子力学。 [54]在Hilbert 空间 H的无界算子T是一个线性算子的定义域D（T）是一个线性子空间的 H。通常情况下，域D（T）是一片茂密的子空间，在这种情况下，H，T是一个密集的定义运算符。

一个人口稠密的无界算子的伴随在本质上是相同的方式被定义为有界算子自共轭无限的运营商扮演的角色的观测值在量子力学的数学表述。自共轭无限的希尔伯特空间L 2（R）运营商的例子是： [55]

一个适宜推广的微分算子

其中，i是虚数单位，f是紧凑支持一个可微函数。

-X乘法运算符：

这些对应的动量和位置的观测值。另外，A和B 都不是对所有的 H定义，因为在A的衍生物不必存在的情况下，并在B的情况下，产品的功能不必是平方可积。在这两种情况下，可能的参数的组形成致密的子空间的 L 2（R）。

[ 编辑 ]建设
[ 编辑 ]直和

两个Hilbert空间H 1 和 H 2可以组合成另一个希尔伯特空间，称为（正交）的直和， [56]表示

组成的组的所有有序对（×1，×2），其中 x i∈H I = 1,2，和内积定义的

$langle（X_1，X_2），（Y_1，Y_2） rangle_ {H_1 oplus H_2} = langle X_1，Y_1的 rangle_ {H_1】+ langle X_2，Y_2的 rangle_ {H_2。$

更一般地，如果 H i是一个Hilbert空间索引我的家庭∈I，然后我的直和，记

$bigoplus_ {I I} H_i$

由该组所有索引的家庭

$X =（x_i的 H_i |我 I） prod_ {I I} H_i$

在笛卡尔积的 H i，使得

$sum_ {我} | x_i的 | ^ 2 < infty的。$

的内积的定义是由

$langle X，Y rangle = sum_ {I I} langle的x_i，y_i rangle_的{H_i}。$

每个 H 我是作为一个封闭的子空间的直和所有的 H 我。此外，该H i是两两正交。相反，如果有一个系统的闭子空间，V I，I∈I，在Hilbert 空间 H是相互正交的，其工会是密集的H，H是规范同构的直和V I。在这种情况下，H被称为内部的直接的电压 V i的总和。一个直接的总和（内部或外部）还配备了一个家庭的正交投影到第 i个直接被加数H I EI。这些预测是有界的，自伴，幂等运营商满足正交条件

光谱的特征空间投影的总和的操作，紧凑的自伴算子Hilbert 空间 H上的 H分裂成的特征空间的正交直和的运营商，同时也给出了一个明确的分解定理。希尔伯特空间的直和，也出现在量子力学中为包含可变数量的粒子，希尔伯特空间的直和，其中每个对应于一个额外的自由度的量子力学系统的一个系统的Fock空间。表示理论，彼得·魏尔定理保证了在Hilbert空间的紧凑型组表示，任何单一的有限维表示的直和分裂。

[ 编辑 ]张量积

主要文章：张量积的Hilbert空间

如果H 1 和 H 2，再一个定义如下的张量积（普通）上的内积。在简单的张量，让

langle X_1 otimes X_2，，Y_1 otimes y_2 rangle = langle X_1，Y_1的 rangle langle X_2，Y_2的 rangle。

这个公式，然后的sesquilinearity延伸到内积H 1⊗H 2。 H 1 和 H 2，有时记为Hilbertian张量积 $H_1 widehat { otimes} H_2$ ，是希尔伯特空间，通过完成H 1⊗H 2内产品相关的指标。 [57]

由希尔伯特空间 L 2（[0，1]）提供了一个示例。两个拷贝的 L 2（[0，1]）是Hilbertian张量积，等距和线性同构的空间 L 2（[0，1] 2）的平方可积的功能。正方形[0，1] 2。这同构发送一个简单的张量 F_1 otimes F_2

该函数

在广场上。

典型的例子是在以下意义。 [58]与每一个简单的张量积×1⊗×2的秩一算子

从（连续）双 H * 1 H 2。此定义的映射简单的张量延伸到⊗H 2和有限秩算的空间从 H * 1 到 H 2 H 1之间的线性识别。这延伸到线性等距的Hilbertian张量积 $H_1 widehat { otimes} H_2$ 与希尔伯特-施密特运营商的希尔伯特空间HS（H * 1，H 2）从 H * 1 H 2。