从以上的讨论中我们看到，物理事件是在空间中发生的，用微分几何描述反常理论特具魅力．微分
几何与拓扑学在反常理论中的地位类似群论在粒子物理中的中心地位．我们只要定义规范势及规范场
强，利用微分几何及拓扑学方法，就能得到有效作用量及各种反常，而不需计算Feymann图．Atiyah—
Singer指标定理沟通了几何学与分析学之间的联系，得出在椭圆复流形上其解析指数等于拓扑指数，揭
示了局域与整体的大范围性质．指标定理可用于Yang—MilIs方程的自对偶解个数的确定．
规范对称性的反常是由量子场空间的拓扑性质决定的，而支配这一性质的是指标定理．我们经常研
究的是Fermi场与规范场的相互作用．从以上的讨论看到，Fermi场的解析性质和与之相互作用的规范
场的拓扑性质之间有密切的联系．规范反常与指标定理描述的都是Fermi场相互作用的系统．阿贝尔反
常及非阿贝尔反常均为Atiyah-Singer指标定理的具体表示
第18卷第1期
1996年3月
湖北大学学报(自然科学版)
Journal of Hubel University (Natural Science)
No．1 V0I-18
M ar．19g6
，L
～
弓z一
高维空间的对称及非对称反常
与Atiyah-Singer指标定理
陈孟泉 邵常贵
(四JII雅安建安厂．625000) (湖北大学韧理系．430062)
7
t
2
h 摘要对左一右规范场的Weas-Zumino-Witten有效作用量进行联台规范变换．求出了对称和非对
板萎 iChe rn-烁Simo ns上链f＼一 标走理
．
关键词；对称反常；非对称反常，递推方程 上链 一、 n
分类号O412．2 枧、 钧二 ’ ’
手征规范反常来自Fermi子流的散度jE零．Wess—Zumino先于他人得到手征反常必须满足的自
洽性条件，并相继得到非线性 模型中导致反常的作用量．反常除了阿贝尔反常与非阿贝尔反常外．还
可将它分成两种不同的形式；Gross-Jacokiw对称反常和Bardeer非对称反常．
人们用微分几何与拓扑方法作为数学工具对量子场论的局部和整体关系的大范围性质进行了深入
的讨论．由此得知，手征反常的拓扑起源于规范场上同调的一个非平凡生成元，将规范群上同调密度形
式对相应的底流形积分便得到规范群上同调链群，而规范群上同调的上闭链代表规范理论中的各种反
常．从量子系统的连续性出发就能得到拓扑守恒，它比Noether守恒更为原始和基本，而拓扑荷的存在
标志量子系统的反常出现．根据Chern-Simons示性类，利用外微分0 与拓扑方法便可得到反常，而无
需计算Feymann图．
1 高维手征反常的微分几何形式
设在Ⅳ 维空间中有规范势l一形式；
A( )一A．( )dj ( 一l，2，⋯，N )
这里 A )— 一it (z)
既是形式而同时又为矩阵．
1
相应的场强即规范场2一形式： F=÷F ^d =dA+A
‘
F =一it F = A 一aA +[A ，A ]
#l-~t分算子为d~dx"
下面证明在反常理论中的Bianchi等式．根据(I．3)式有
dF— d。A+ dAA— AdA一(dA十A。)A —A(dA+ A )一EF，A3
这里dA是A 的外微分，A =-AAA是两个矩阵l一形式的外积，于是
dF+ [A，F]一DF 一0
上式即为Bianchi等式．
收稿日期：10g5—04—12
(1．1)
(1．2)
(1．3)
(1．4)
第1期 陈盂泉苷t高维空『可的对称爰非对称反常与A h—Si“ger指标定理 25
由曲度(场强)2一形式所组成的任意不变多项式构成不变多项式乘积的和
TrF 一Ch．(F) (n一0，1，2，I．·) (L 5’
Ch (F)为陈特征式，具有如下重要性质；
1)规范不变0TrF =月Tr FP_。=nTr[F，O]F =TrIF ， (1．6：
2)闭形式dTrF =nTr(dF)P．。~nTr(dF-FAF—FA)P =月Tr(DF)Fm-1一O (1I 7：
3)拓扑不变．在任意微扰变换8A(x)下， 。
BA
7
( y)
5
一一08(L —一 z)
F( )= dSA(x)+ A( )A ( )+ A(x)SA ( )一DSA( ) (1．81
= 一 一 ( 刊
在四维空间中，即当月一2时， Ch (F)一ch：(F)=I．TrF
。
=
．
Trk SA (x )rk y ( ) ] 。
=
I。Tri--Dy~(y一 )F( )一F( )D ( — )] (1．91
r
=
2TrI．8(y-x)Ds．F(y)一D (y)8(y-x)一0
同理可证 兽 一o ．
由此，在不改变规范场整体性质的条件下，对于规范场在局部区域的任意扰动，陈特征式Ch (F)
紧致流形上的积分并不改变它的值．
定义规范变换如下 A=一 一FA，“]一一 0F=一[F， ] (1．1o：
“是无穷小的0一形式，它在规范群的李代数中取值．
2月形式的手征U一(1)反常n 。(F)在数学上谓之一阶Chern一示性，它也具有(1I 6)～(1．8)式善
性质． 一 。
根据Poincar6引理(由ldl=0，即对于任意的外微分式∞，有d(d∞)一0)，Chem-示性局域上可写蔓
(2n一1)形式的外微分；
n； (F)= d咄一1(A) (1．1l：
定义 A一￡A (O≤t≤ ¨
F = dA + A =tdA+ t A =tF+ ( 一t)A ． (1．12
这里f为实参数．
Bianchi等式为： D -~zdF + F ]一0
÷F。一F+( 一1)A。=dA+A +(2t-1)A
=
dA+ 2tA 一dA+ {A ，A)一DfA
詈Tr =nTrF 警=一Tr -1nA—nD,Tr -1』4=一dTr A (1．1S：
上式对参数f从0到1进行积分Tr 一TI ；一dI dt A
由TrF 一n (P)一d吨一 (A)
得． ． 一l(A)=ndl dtTr(F~' A)= l dtt一 StriA，(dA+tA ) -1] (1．1~i
上式即为阿贝尔手征反常的微分几何表示．Str表示 个矩阵乘积的对称化迹；
26 胡北大学学报(自然科学j皈> 第l8卷
s 仙 T ，．．邶
求和对(1．．．·，^)的所有置换(户 ．．，A)有效．
通过计算，我们得到各阶阿贝尔手征反常的不同表示
(A ，F )= TrA (H= 1)
(A，F)= Tr(FA一了1 A’) (H= 2)
口蠼(A，F)=Tr(F ^一吉F^’+ A ) (n=3)
(A，F)=Tr(F’^一詈F A’+吉FA。FA+ FA。一 A ) (H=4)
(^，F)=Tr(F‘A一 F’A’一 F A FA— F A -1FAtF A一 瓦5 FA‘FA-CFA’一i1^ F’A
—
AZFA +丢A‘F ^一 A‘FA’一 A‘FA+吾6两23A’) (H=5)
曲(A，F)=Tr(F A一号F‘^ +去F A‘FA一号FA F’A++FZA FA一 FA FA+IA‘F A
—
A‘FA FA+~A。FA一了1 F‘A’+lF。A 一击F A + FA F A 一 ， A +鑫FA。一击A‘F A’
+ A‘FA 一 ^“) = 6)
以(A，F)一Tr(F‘^一 1 F‘A +IF*A FA+~sF‘A +击F’A‘FA—i 1 F’A’+iF A F'A’
+击F A FA FA— tAFA。一 F ^‘FA+3~FA’一{FA F‘A+1FA F A’+吉FA。F A FA
一
击FA FZA 一击F^ FA‘FA+雨1 FAlFA’+ FA A+雨1 FA|FA+~92FA 1一面1 FA‘FA
一
A 一扣 A。FA+ A A‘+击A|FA+ FA一 A A+ A
+雨1 A．FA F^+ A1l+ A‘FA一志A¨) (n-7) (1．15)
从上面的计算中注意到 阿贝尔手征反常畦一 ，F)中规范势A的最高次数为(2n一1)，但缺少
(2n一2)次规范势项}曲率(场强)的最高次数为(n一1)．由此得知，在 >7的更高奇数维空间中
畦一 (A，F)均具有以上性质．
如同(1．13)～(1．14)式，D=2n维中的非阿贝尔手征反常的具体形式为t
。
“，A)： (H+1)I'd￡(1一t)Str[- ud(AFT— )] (L 16) v
但是，非阿贝尔手征反常应该满足we。 一z min0自洽性条件，真空泛函的变分由无穷小规筢算子描
述．SU(3)×SU(3)的Ward恒等式可通xXx~~ 泛函W 作相应于无穷小矢量或手征规范变换进行变
分得到．
Wess-Zum~no自袷性条件I
x。( ) ( )一X‘( ) ( )一i，^ ( )8( 一 ) (1．17)
I~-Y- X。 )=一 盎一i严A：盎 ‘1-18)
对真空泛函进行变分即可得出手征规范反常
X‘( )矸，rA1= rA1( ) (1．19)
第1期 陈盂采等-高维空间的对称爰非对称反常与Afiyah-~ngex指标定理 27
引入 口·一Id ‘( )x‘( ) ( 一， )
两次无穷小规范变换的对易仍为一无穷小规范变换t ．
，一 鑫．= 6 ．，]
有效作用量存有的可积性条件即w—z自拾条件现在重写为；
· ·口 ]一"· ·dA3=I-u，口]·口 ]
， r
’
口[A]一J sD ( )矿[A]( )一J sD 一 ，A)
积分区域为D维球，吐 ， )的上指标为 的阶效，下指标为微分形式的次数．不难证明
足可积条件(1．22a)．
通过计算．得到非阿贝尔手征反常的不同表示。
，
A)一Tru(dA) ( 一1)
(“，A)；Trud[A(dA)+ 1Aa] (”一2)
(口．A)一Tr d[A(dA)‘+ A(dA)A。+ A (dA)+ i2A ] ( 一3)
(口，A)=Tr d[A(dA)’+詈A(dA) A。 + A(dA)A。(dA)+ A(dA)A
+i2A (dA) + 10A’(dA)A + 10A (dA)+ A ] 一4)
(1．20)
(1．21)
(1．22a)
(1．22b)
(1．22b)满
。 ，
A)一Tr d[A(dA)‘+ A(dA) A‘+ A(dA) A (dA)+ 5A(dA)。A‘
+ AdAA (dA) +西15A (dA) + 15A(dA)A。(dA)A。+装A(dA)A (dA)+ A(dA)A
+ A’(dA)’+ 西15A (dA) A。+西15^． (dA)A (dA)+ A (dA)A‘+ A (dA)A
+ A (dA)+ i1A’] 一5) (1．23)
”一2时，为Gross-Jackiw 形式的对称反常．在上面的计算结果中，我们看到，(1．15)式下面的讨论在
非阿贝尔手征反常理论中也成立，即偶效维空间中非阿贝尔手征反常 ； ．A)规范势的最高次效为
(2n-1)，同样没有(2 一2)次规范势项，规范场时空流形上规范势的外微分dA(d—d 昙)的最高次
效为(n-1)．
2 对称与非对称反常
首先讨论反常理论中非常重要的递推方程．
用 表示规范变换，d表示时空漉形上的微分
d， d一
为规范群流形上的反导效，，是群元素g依赖的参效．即 g=g(x，f)
定义规范变换如下t A( )一 ．1( ，f)(A( )+d+ )g ，t)
d 一 一d + 舢； 0 (2．1)
28 胡北大学学报(自然科学版) 第l8卷
由 A(x，t)一占 ，})(A( )+d) ( ，t)u~g (2．2)
有 =一D D=d+[A，] Ou=-U OF=Fu-uF (2．3)
“是在规范群的李代数中取值的无穷，j 的0一形式． 秩对称不变多项式P(F-)满足下面关系：
P(F‘)： 0 dP(F )= 0 (2．4)
从TrF~-TrF]：P(P)知道，由于dP(F。)=O与P( )对应的是一个(2n-1)～ 形式 一 )，即
P (F )： d 一1(Al，Fl；A：，F：) (2．5)
以及由 P(F-)一0 。
又有 吨一1(Al，Fl}A：，F：)一一d 一2“ ，A1，Fl}A：，F：) (2．6)
n秩对称不变多项式既是闭的又是规范不变的．
由d z一俨=dd+dd=0
不难得到0．d．一z=-d~L一；
一，一-d~ok一．
日 ：一。一一d吐一5
，
日 一‘一O (2．7)
从 ．=砌 一。一-d( 盅一 )=O
及(2．6)式并利甩(2．1)式，得到铀{ 产一d矗一 ( —l，2，⋯．2m) (2．8)
上式为一般的规范变换和空间外微分间的一组Chern—Simons递推关系，上标 为 一单形，下标
(2n-k-1)为底漉形微分形式的维数，(2．5)～(2．7)式为反常的递推方程， i ( ，A ，F ；A ，F。)为
(2n-2)一维中的反常．
引入单参数1一形式： A。=t + )
曲率(场强)2一形式； 一(d+ )A+A (2．9)
经过与上节类似的计算，得到(2 一2)一维反常；
．1
∞
一
： ，Ai，Fl}A：，F：)；n(n一1)I dt(1一t)P[ud(A1，Fl；Az，F2)F7 ] (2．i0)
J 0
(2．1西式在n=3时，得到Gross-jackiw反常．
下面定义左一右规范场的规范变换： AL—A ；n一 (AL+d)肌 gL=e
AR—·ARII： R’1(AR+ d)gR gal ena
(gL，ge)是手征规范群SU(N) x 【，(Ⅳ) 的元素，N=3时分别有8个矢量和轴矢量规范粒子．A 、A
与矢量、轴矢量规范场的关系为， A =A—y， A =A+y
gv= e~ g^一e
= 一 一 +
由 Tr -TrFI：d以一1(Al，F1；A2，Fz) (2．11)
得到 以一l(A1，FlIAt，F2)一曲一1(Al，F1)+ 2 一l(A2，F：)一(闭形式) (2．12)
(闭形式)为区域上(2n一2)一形式fZ~-z(A。， }A ，F：)的外微分d 一：(A1，F。}A2，F )，根据外微分的
性质有
d[叫L—l(AI，Fl}A：，Fz)一 一l(Al，F1)+ 一1(A2，F：)]：d[d z．一l(A1．F1；A2，F2)]一0 (2．13)
现在给出一个左一右规范场的Wess-Zumino-Witten有效作用量，并对其作无穷小规范变换岛、矢量
规范变换占~、轴矢量规范变换 、无穷小左一右规范变换 、 ，将得到自治反常、非对称反常、对称
反常．
Wess-Zumino-Witten有效作用量
第1期 阵盂泉等。高维空闻的对称及非对称反常与Atiyah-Singer指标定理 29
r- [AL，Aa,^]一J ⋯口扣一z(A ‘AR)+a 一2(AL；hdh-1)+a 一：(AL；AR)+J 一 以一1(^．’dh)
一
I一一，[以一-(A￡；AR)一以一1(A )+ 一 (AR)+ ．．1(AL；hdh叫)一以一1(AL)+ ⋯hdh叫)
+以～-(A IAR)一 一-(AL)+屿一·(AR)]+I一一，叫．_1(^ dh)
r
—
I 一。[吨一1(A￡；AR)一∞2．_1(A￡)+2 一1(AR)+ 01(AL；hdh-1)
r
一
2 一I(AL)+吨一I(hdh )+咄一1(At．，AR)+I 一．以一I(^_。dh) (2·14)
边界D 为(2 一1)一维盘，其边aD 是(2n一2)一维紧致化时空S ，h为手征场(Goldstone玻色
场)，在(2．14)式中代表手征规范群SU(Ⅳ) XSU(Ⅳ)R的非线性实现．A 一^ (^L+d)^，A 在手征规
范群变换下同右手规范场的变换性质相同，手征场h在手征规范变换下的性质为：
h— gC’hgL— e- ^e
(2．14)式中最后一项中的被积函数为
一
1(^ dh)一 ．一．(A )一 一．(A)+ da2一z(A ) (2．15)
由于无穷小规范变换只对规范场有效，此时左手规范场等同于右手规范场，矢量场与轴矢量场无甚区
别；同理在进行矢量、轴矢量规范变换时，算子a~， 不对除矢量场及轴矢量场之外的规范场有效，左一
右规范变换算子 ， 也具有同样性质．例如 一-(AJ)在无穷小规范变扶下是对称的，即
—
(A )一0．下面利用递推方程的性质，对w—z—w 有效作用量进行规范变换．
ar [ ， ，^]一(岛+a~+ + + w [A ，Aa，^]
r r r r
—
J 一： ；一一：(A， )+J ⋯一z( ， ，A)一J ⋯；一一(0L,AL)+J 一一z( ,Aa)(2．16)
=
dTr(0a^)+ dTr( aA)一dTr( L )+ dTr(靠 )
=
dTr(0a^)+ dTr(以aA)一d[Tr( )一 aR)] ，
上式第一项为自洽反常．由于在矢量规范变换下， r一[A ，A ，^]一0．是不变的，故只有轴矢规范变
换才对反常有贡献，所以第二项谓之非对称反常，第三项为对称反常，即既有左手规范场反常，又有右手
规范场反常，两者之差为左一右对称反常，在无手征理论中．反常自由，这时对称反常自行消除．
自洽反常 一2(A， )= (n-1)I dt(1-t)Str[~t(AF； )] (2．17)
其中 F。= (d+ )A。+A A。：f(A+ )
当n一3时，自洽反常为四维空间的Gross-Jackiw反常，同时当 ≥2时，才有反常存在，反之亦然．利
用递推方程，对称手征反常为
(Sak+ )r[AL，AR，^]一d[Tr(ORaR一 )]
1 1
(2．18)
；
dTr([ d(ARdAR+÷Ai)]一[oo(A dAL+÷A})]) (n一3时)
非对称手征反常为
(a~+ )r[A ，Aa，^]一 r[A ，Aa，^]；一{dTr [F +{，盖
一
导(A：F +AF A+FvA。)+警A·] ( =3时)
其中 r[A ，AR．^]一0
F^一A + A+ dA Fv— + A + d (2．1 9)
(2．18)式为左一右规范场理论中的Gross—Jackiw 形式的对称手征反常．(2．1 9)式为四维空间中
辫北大学学报(自然科学版) 第18卷
l~rdeen形式的非对称手征反常．这两种反常形式虽然不同，但仅相差一个Bardeen的局域抵消项
一
2(ALIAR)，其具体形式为
九 I'l-t
a毒．一l(ALIAR)； 一n(n一1)I dtI drStr(Al，A2iF ) (2．20)
0 0
正是有了这个适当的抵消项致使对称手征反常改变为非对称手征反常．不难得到一>3时的更高维空间
的对称及非对称反常．
规范对称性无反常的条件是Tr[T．L{7{，丁÷)]；Tr[丁 {丁}，7 )] (2．21)
其中7：，砰分别为规范生成元在左、右手Fermi子所属表示中的矩阵．文[2]中把一般微扰论中的无反
常条件推广到非徽扰理论中，给出了2n一维空间中无反常条件的大范围形式及M 维空间中无阿贝
尔矢量反常的条件； “(A．)； (^R)
3 反常与指标定理
在Fujikawa路径积分反常理论中，当手征转动角 ( )与 无关时，反常相因子为
exp[2i Id )]．Atiyah等人。 利用族指数定理分析了存在反常的各级拓扑障碍．积分反常Idx ( )
为Dirac算子 零横本征值正负手征性零横之差，这个差正好为Dirac算子的指数，这便是Atiyah—
Singer指标定理[‘]．
在阿贝尔反常 la(z)dx=2ldx22对 (3．1)
中，由于 {B ， )一0
因雨只有E．一O的态才对反常作出贡献，E．≠O的简并手诬态对反常的贡献相互抵消，对反常有贡献的
是E．=O的本征函数，这时
-+ -一
Id‘Ⅱ( )一Id‘ Σ ；Id‘ (Σ +一Σ 一)；一+一一一 (3．2)
根据指标定理，代数不变量(n+一一一)为一个适当的拓扑不变量，反常相因子体现了规范场流形的非平
庸拓扑性质．在描述夸克相互作用的QCD中，(一+一一一)；q，口是背景场的拓扑荷．如果有由一个瞬子
组成的背景场，这时q=1，由此得知，在单瞬子场中对每一种味夸克至少有一种零模态．
在超对称理论中也有类似性质．设IB)、IF>是Hilbert空间中的玻色态、费米态(一1) 作用在
IB)、IF)上分别具有本征值士1，Tr(-1) 为Witten指数，F是费米数算子，零模IB>鼓一 与零模；F)
效^；为Witten指数，即
△ ； Tr(一1) r= H 一一蜡
△ 为零意味着超对称自发破缺．Witten指数△是一个拓扑指数，在场的参数变换下是绝热不变的．
阿贝尔轴矢反常与Atiyah-Singer指数定理有十分重要的关系，2n维空间中的阿贝尔反常和
(2n一2)维空间中的非阿贝尔反常的若系相当密切．阿贝尔反常的空间积分为Dirae算子的指数，由指
数定理知，这一指数由Chern-示性的积分给出；
Ch(F)-~Trexpl'iF／2n]
T +击TrF+ TrF +⋯ — T F +⋯一+一一一
r
— i j 1rrP
r l n 。 )； (3
．
3)
第1期 陈孟寨等，高雏空阿的对称及非对称反常与Atlyah-Singer指标定理 31
其中 =者【 j为阿贝尔反常的归一化常数，它的2 倍为非阿贝尔反常的归一化常数·W
—
z—w 有效作用量必须满足量子化条件．而唯象的W—z—w 有效作用量由非阿贝尔反常决定，
(2n-2)维中非阿贝尔反常与族指数定理密切相关，从而指数公式的归一化常数与非阿贝尔反常的归一
化常数有直接的关系．(3．3)式中的 ≠0为一整数，代表与规范势耦合的Dirac指数．
给定一个以轨道空间 ， 为底，结构群为 的纤维丛，《 一{A( ))为联络空间．联络空间中的
余切矢量 8A= 也g—D^(g ) 口∈ 鼋 ／ g∈
D^=d+[A，] (3．4)
引入在紧化空间M与轨道空间 ， 的直积M×铉 ／ ，丛上的联络形式为
A + = A — GAD 8A (3．5)
对应的曲率形式 =(d+8)(A+ )+(A+ )。=F+巩A+瓯 (3．6)
为联络空间铉 上的联络形式： =一G^口 8A GA=(D D^) (3．7)
我们将余切矢量8A分解成水平分量与垂直分量 ]．和J用族指数定理，在《 ／ (轨道空间)上的示性类
为M×铉 ， 上示性类对底M 的积分； Q．(M)=l P(r) (3．8)
P(D 是f的 一秩不变多项式， (M)是《 ／ 上的 一形式。
在局域上，取水平规范D aA=0使 =0，利用
(d+ 瓯)P( )= 0
得到 P( )=莩 ： 一。 ，瓯A) (3．9)
(3．1O)
把Chern类 (^ 一．)(q／l~上的 一形式)提升到联络空间《 上成为《 上的 一形式
(^ 一．)．这时铉 有平庸的拓扑，Q (^ 一．)成为闭的且是恰当的，水平和垂直上同调和族指数定理
紧密相联．(3．i0)式中的g 为 阶Chern-Simons类型的示性多项式密度．由于 (^ ．一 )是闭的且
又是恰当的，我们可将示性多项式密度在欧氏空间中积分，从而得到铉 上的联络形式，并得到曲率形
式，然后对铉 中的路径积分，这时我们将得出所给理论的反常．反常以
Ⅱ-+ ( ／ )= Q( ¨ ，M 一．一1)一 ( ，^ 一 一1)= ／／ ( )= 2
的形式出现．
递推方程中的微分形式通过积分便能得出上闭链． 阶Chern-Simons上链的上边缘是 +1阶
Chern-Simons上链的外微分．从Chern-Simons上链的拓扑性质，可从它得到非阿贝尔反常及各种
拓扑反常，规范不变的Wes$一Zumino有效作用量以及反常对易于的Schwinger项的拓扑性质．
4 结 语
从以上的讨论中我们看到，物理事件是在空间中发生的，用微分几何描述反常理论特具魅力．微分
几何与拓扑学在反常理论中的地位类似群论在粒子物理中的中心地位．我们只要定义规范势及规范场
强，利用微分几何及拓扑学方法，就能得到有效作用量及各种反常，而不需计算Feymann图．Atiyah—
Singer指标定理沟通了几何学与分析学之间的联系，得出在椭圆复流形上其解析指数等于拓扑指数，揭
示了局域与整体的大范围性质．指标定理可用于Yang—MilIs方程的自对偶解个数的确定．
规范对称性的反常是由量子场空间的拓扑性质决定的，而支配这一性质的是指标定理．我们经常研
究的是Fermi场与规范场的相互作用．从以上的讨论看到，Fermi场的解析性质和与之相互作用的规范
场的拓扑性质之间有密切的联系．规范反常与指标定理描述的都是Fermi场相互作用的系统．阿贝尔反
常及非阿贝尔反常均为Atiyah-Singer指标定理的具体表示，所以对它们的探讨便具有特别重要的意
32 湖北大学学报(自然科学版) 第18卷
义
参考文献
陈省身．微分几何讲义北京：北京大学出版社一1983．65～[01
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Chen M engquan
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Shao Changgui
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Abstract A gauge transformation is giver for W ess- Zum ino——W itten action of L ——R gauge
field．the symmetric and antisymmetric anomalies are calculated，and the relation between anomaly
and Atiyah——Singe index theorem is discussed．
Keywords Symmetric anomaly：Antisymmetric anomaly：Zig— zag equation}Chern Simons
COChain
(责任编辑严家利)
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