一个紧Riemann流形的谱，是指其上Laplace算子的特征值的集合．等谱问题是说，在多大程度上，一个流形的谱确定了它的几何特征?

一

个紧Riemann流形的谱，是指其上Laplace算子的特征值的集合．等谱问题是说，

在多大程度上，一个流形的谱确定了它的几何特征?

数学年刊

18A：3(1997)，917-324．

余辛流形的等谱问题料

一

陈志华 李耀文

～ ·

提 要

0／8；．f f

车文通过构造—十新的张量，称为余辛一Bochner曲率张量，证明了：

如果一十譬无边余辛流形和一十具有常 截曲率0的紧无边余辛空间形式M + fc)具有相

同的谱．其中2n+1=5，7，9，11，13，且2n+1= 13时c ≠0．则它必定也是余辛空间形式，具有

常妒藏曲率0

关t调 叁主墨兰，龟王空间 §鸯 蔓 近展开

MR (1991)主一分羹 53C15，58G

中圈法分类 O186．16

尊 余辛一Bochner曲率张量

一

辫： ．≈ 《 ， 帆流J ，

§1．引 官

一

个紧Riemann流形的谱，是指其上Laplace算子的特征值的集合．等谱问题是说，

在多大程度上，一个流形的谱确定了它的几何特征?

熟知，如果紧Riemann流形 ，当1 n 6时，如它和球面等谱，则M”必等距

于球面(见【1,6，71)．

【6]中证明了上述结果在Sasaki流形的一个类似，即，如果一个2 +l维紧Sasaki

流形和一个具有常 截曲率G的Sasaki流形等谱，且2S S 6，且当n=6时G≠31，

则它也为具有常 截曲率G的Sasaki空间形式．

以上结果的证明分别用到了Weyl共形曲率张量及接触一Bochner曲率张量的概念．

本文通过定义一个新的，称之为余辛-Bochner的曲率张量，得到余辛流形的一些性

质，并讨论了余辛流形与余辛空间形式间的等谱问题 我们证明了与上面所叙述结果的

相类似的等谱结果，这些结果分别表示于本文的定理4．2，4．5与命题4．1．

§2．余辛流形及其曲率性质

设 + 是2 +1维微分流形，它称为具有一个殆接触结构

切空闻上的自同态 一个向量场f及1一形式 ，满足

(￡]=l， =一I+ 0f，

车文1995年12月20 日收到．

·同济大学数学系．上海200092

¨华东师范大学教学系．上海200062

·蝈家自拣科学基金资助的项目

如果其上容有一个

(2．1)

318 数学年刊 l8卷A 辑

其中 表示恒同变换，易见 满足

=0， - =0， (2．2)

即 有秩2n．众所周知，在M “ 上存在一个相配Pdemann度量满足

g( x， y)=g(x，Y)一 ( ) (y)， (2．3)

此时称M “+ 为殆接触度量流形．

一

个殆接触度量流形的基本2一形式西定义为

西( ，Y)=g(~ox， )． (2．4)

如果西和 都为闭形式，且 的Nijenhuis张量Ⅳ =0，则此时的殆接触度量流形

(^ ， g)称为余辛流形，简记为M，它有如下的特征性质

(V )y=0， V =0、 (2．5)

其中V表示M 上Pdemann度量确定的连络．

例如， M ×R，M × 都是余辛流形，其中 表示一个Kaehler流形；又如一个

Kaehler流形的实可定向全测地超曲面．关于余辛流形的一般讨论可见之于【2，3】．

我们分别以皿州，皿J，S表示余辛流形的曲率张量， Ricci曲率张量，数量曲率．

我们对(2．5)分别作Pdcci恒等式有

0=V V』氛一VjV，氛：皿J l (2．6)

由 ( )=1，我们对 ，饥等不加区别，对(2．6)作缩并，有

0=Rj (2．7)

另外，对(2．5)中第一式作Pdcci恒等式有

冗 一R各 I=0， (2．8)

即

皿 ：=皿 n tI (2．9)

乘以

j itn ‘m+ m =0 (2．10)

m

+mm =0． (2-11)

利用Bianchi恒等式有

R =2 ． (2．12)

在上式中，

= gh h

，

= s ．

我们把(2．12)看为一个2形式，对其作外导数，然后利用第二Bianchi恒等式，有

V 一VJm．= ：n Vmml (2．13)

以及

V Rji： (V，％ i—Vm 1)． (2．14)

3期 陈志华李耀文 余辛澎形的等谱问题

以上利用了余辛流形的性质(2．1)一(2．3)．

从(2．14)知

(V 砌c)( ， y)=0，V★ e：0

如果定义

( 砌c) ， y)=0

对 ， Z∈TM，为 c曲率是 一平行的，则易知它与Ric曲率平行条件等价．

设M2 为余辛流形，其切空间中截面{ ，X)组成的截面曲率称为 截面曲

率．如果所有 截面曲率均为常数e，则称2 为余辛空间形式M。” (e)，其曲率张

量可表示如下

咒， = 础 一gikgfl+ 9 一 鲫+ ★ 一9 仇研+协★怯l

一 ji一2妒” ★ ， (2．15)

R ：!{ e(9 一仇 )，

S：n +1)e．

再给出一个自然的定义：

定义 一个余辛流形称为C Einstein的，如果其砌cci曲率满足下式

：a(gij一仇 )，

式中0为某个函数，利用第二Bianchi恒等式易知， Ⅱ必是常数．

§3．余辛-Bochner曲率张量

Matsumoto，M．及Chuman，G．在文[4]中

率张量，它是Weyl共形曲率张量的一个类似，

下

定义一个S~saki流形的接触Bochaer曲

这里我们定义余辛Bochaer曲率张量如

且， =最， +(．,oll一66) 一(毋I一岛 ) ★+ tl( ★一6 ^)

一

i( 一靠∈ )+妒n屿★一妒 + l0々

一 l妒 一2( ，^ l+肛，妒 )．

在上式中

L ： L：i，

f ：可再1可(一RJt— 毋t+ 叩t )，

【屿，=一 ，t ．

经计算，利用(2．1)一(2．12)，易知

f L 一 ，

J =0， - ：0，

I屿t+尬，=0，

屿t ： ，

(3．1)

(3．2)

(3．3)

数学年刊 18卷A 辑

并且B满足

Bkjih+ B = 0，

Btkih+ Bk， = 0，

马kih=且 k，

： 邶 ’ (34) 0 B{

“

= ， 一

B2，；吼：0，

B岛 ：=B ，

B2，， ”=0．

我们有如下命题

命题3．1 设M n+ 为余辛流形，则M + 为余辛空间形式当且仅当M ” 为

C-Einstein的，且余辛Bochner曲率张量为0．

证 若M 为余辛空间形式M ” (G)，则由(2 15)知它是C Einstein的，由(2．15)

及(3．3)知

L-一TnC

．

由(2．15)及(3．2)知

Lji=一 (野 一 )

一

吾 ·

代入(3．1)知B=0．

若M 为C Einstein的，则 ．=a(gji一 )，而B=0，故由(3．1)，置JM可以计

算，它正如(2．15)所表达， 且

G = ．

命题3．2 若M “+ 为一余辛流形，若具有平行的余辛Bochner曲率张量B，且

数量曲率S为常数，则M 的Kieci曲率平行．

证 由(2．5)，有

V B H=V 皿j +(g．1—66)V k一( l一白 )V LAk+V 厶 ( k一岛 )

一

v L ( k一6 ^)+ “V ^ k一 V ^ k+(V ^ )协k

一

(V ^ ) k一2妒 V ^ l一2(V ^ )

由VB=0，VS：0，与(3．2)，则有

V Ls‘ 丽-1 V ％

V ．=一(V Lst) ：．

另外，由第二Bianchi恒等式有

％ = =一皿^．，+ ，l·

3期 陈志华李耀文 采辛流形的荨谱问题

(2．1)又可写成

±

k ：=一 + tit

对以上诸式进行计算，并利用(2．14)命题立证．

对(3．1)直接微分，有

命息3．3 若M “ 为余辛流形，若VB=0，且数量曲率S为常数，则M 是局部

对称的．

注 从命题3．2和3．3看出，余辛流形性质似乎比Sasaki流形性质更好一些．因为

Sasaki流形，若具有平行的C-Bochner曲率张量，数量曲率为常数，则只能推出它是局

部D_·对称或Ricci曲率为 平行的．

我们有如下的命题：

命息3．4 设M。” 为余辛流形，则有

(I)IBI。=IRI。一南lmcI。+ ，

其中IRI，l砒cl'S分别表示曲率张量的模长； Ricci曲率张量的模长，数量曲率．

(II)lRjc ，等号当且仅当M 为C-Einstein的．

(III)lRI ≥ 币 s。，等号当且仅当M 为余辛空间形式．

证 (I)利用性质(2．3)，(2．6)一(2．12)及(3．1)-(3．3)进行直接而较为冗长的计算即可

证得．

(II)在M 的任一点p，选取一个含有 的正交向量场基使矩阵(兄，)对角化，由于

余辛流形中mc( ∈)=0，则

．

2n 。 2n

S。=(Σ‰)‘≤2nΣR =2nlmc]。．

t= l ‘= 1

上式中等号成立当且仅当Riccl算子在接触分布D上为 ，，，为恒同，它和 c(∈，∈)=o

一

起，等价于M 为C-Einstein．

(III)利用(I)，(Ⅱ)：

=

IRl。一 ( 一芸)．

因为上式恒非负，知(ⅡI)中不等式成立．另外由命题3．1，(III)中等式成立当且仅当M

为余辛空间形式．

§4．余辛流形的谱

设(M ，g)为一个紧Riemann流形， g表示其上的Kiemann度量，作用于M 的

c 函数，上的Laplace算子定义为

羹 ，

这里9：det(g~，)，{ )为M 上的局部坐标系统． (M ，g)的谱， Sp(M"，9)，是△ 的特

征值的集合，熟知

(M”，g)={0：^0≤Al≤^2 ···)， r

上式中k重特征值被书写 次．

数学年刊 l8卷A 辑

定理4．11 ， l 6_ 对任意Riemann流形存在毗(i=0，1

Σe。‘ =(4 )一号Σ 。∥+o(

； '= 1

· ·

)使有如下谱渐近展开式

号)，

盯仕怎 厩豆·

理论上所有 可以计算，但只有0o，n-，a2，n。计算了， 以上定理中

咖=

／ =Vol(M)，

JM

一

厶s ，

．

n。=丽1 (21只I 2Imc]2+5S2)

，

一

击厶

f=-~321VSl 6236．VRicI。一 IVRI。+95s2一；sirecI。

+

~SlRI 47．y 2J．y"2i~h一西2O h

一

R R 一 R 硝．

R坷 h=【R( ，ej) ，e^】， Rkh=ΣR ^

(4．1)

(4．2)

(4．3)

(4．4)

其中R表示曲率张量．

下面考虑余辛流形的等谱问题．

命题4．1 设有两个紧余辛流形(M。 ，g)和(M ，9 )等谱．其中

M。” =M。” (c)

是余辛空间形式， M 是C—Einstein的．则M 也为(2n+1)维的具有常 截曲率C

的余辛空间形式．

证 等谱条件意味着有着相同的谱渐近展开式，从而维数以及。i值均相同，由(4 1)

和(4．2)有

JLM JLM‘。 ， ( · )

／s =／ s (4．6)

由于C-Einstein的余辛流形具有常数量曲率．由(4．5)和(4．6)知S= S ，我们还有

帅=n；及下式

a2

厶( 一 Imcl。+5S2)

=

厶2( 。一 2 s。)一 (1 )+ 5n2 +4n+3s2] ．

3期 陈志华李鼍文 亲辛洼形的等谱问囊

在C-Einstein情形， 由命题3．4(II)有

5n2+4n+3／Ms =J(f． ( 一 s )+5n咖2+4 n+3 [S*2V *．．

从而由命题3 4(III)知． M 为余辛空间形式，且S：S ，即C=C ．

定理4．2 设( 。 (G)，g)为一个紧的余辛流形，具有常 一截曲率C，设2n+l=

5，7，9，11，它和另一紧余辛流形(M ， )等谱，则M 也为具有常 一截曲率C的余辛空

间形式．

证 由假设，首先有， dimM =2n+l以及(4．5)，(4．6)成立．

我们将62写成为含IB L。的形式

毗=

厶 。+ (i础 一 )+5n 2+4+n1+)35~ 1V (4 )

由于n<6，02=n；，有

5n2 + 4n + 3

s。厶

=

厶。2 + (I 个一 )] +5n2+4nT 3／M S．=V~．．

由命题3 401)知

s。J厶^f JLM。 s _ ( _

另外，由Schwartz不等式及(4．5)，(4．6)知

s。厶 厶． =s (厶 )。=( s )。

、

=

(厶．s ) 厶．s 厶． ，

S。／ ／ s ． (4．9)

(4．8)和(4．9)意味着S =S=const 注意到等式成立当且仅当IBI=0及imci。=

，

由命题3．1，M 也为余辛空间形式．

推论4．1 若(M，9)和(M ，g )为两个紧余辛流形， dimM =13，若它们等谱，则

IBI=0及S=const．当且仅当， IB i=0及S’=const．．

设若( “，9)为紧余辛流形， 2n+l 5，iBi=0，且S=const．，则63可以表为

一

厶丽 熹研s + s3+ s。 ，

其中

A(n)=一42n 一274n。一2672n。一3160n一8OO，

丑(n)= 一28n2+84n一12．

事实上我们对公式(4．4)计算，应用命题3．2，3．3以及余辛流形性质，注意对lqJcci平行的

流形成立下式

RijR Rk．+ 最，RklRt ，= 0．

324 数学年刊 18卷A辑

通过直接而较为冗长的计算可得n 的上述表达式．

定理4．3 设( ”(e)，9)是13维紧余辛空间形式，且C≠0，( ，g )是另一紧余

辛流形，若

spec(M ，g )=spec(M”(e)，9)，

则 必为具有常 截曲率C =C的余辛空间形式．

证 易知有dimM’=13，由命题3．1及推论4．1知对 ’也有余辛一Bochner曲率

张量为0，及数量曲率为常数，根据上述讨论及等谱性，有

o=

。

( 。一 ) ．

由于A(6)≠0，上式推出在S =S：n(礼+1)c ≠0条件下有M 是C EinsteiⅡ

的，再由命题3．1定理获证．

参 考 文 献

1】Berger，M．G．＆Mazet，E．．Le spectre d llile vari6t南 Lecture Notes in

M ath．Vo1．194，Springer-Verlag，Berlin and New York，1971．

2】Cabras，A．，Ianus，S．＆ Pitis，G．H．，Extrinsic spheres and parallel submanifolds in

cosympletic manifolds，Math Toyama Univ．，17(1994)，31—53．

3l Ludden，G．，Submanifolds of cosympletlc manifolds， Dif．Geom．，4(197o)，237-244．

4】Matsumoto，M．＆Chuman．G．，On the C—Bochner curvature tensor，TRU Math． ．

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5】Sakai，T．，On eigenvalues of Laplacian and curvatLtre of Riemanaian manifolds．Tohoku

Math． ，23：2(1971)，589—603．

q Shibuya，Y．，The spectrum of Sa~akian manifolds，Kodai．Math． ，3(1980)，197-211．

7】Wai~o，S．，Eigenvalues of the Laplacian of Riemannian manifolds，Tohoku Math． ，

25：2(1973)，391—403．