流形、李群、复定向与辛几何
(2013-01-10 13:22:33)
对于几何对象而言，只要一被赋予群结构，就立刻会变得很有意思，（光滑）流形赋予群结构之后就变成李群。下面我们就来讨论一下：怎样的流形可以具有李群结构？
在讨论这个问题之前，先看一下群结构到底意味着什么？很多同学都认为群就是对称，这样的说法并不适合李群。流形上群的作用比一般对称性要高，准确的说应该是各向同性，就是说相关性质处处都一样，这是因为在某一点的性质可以通过群作用“平移”到其他所有的点。
判断一个几何对象能够赋予群结构，除了按照定义检验一些常见例子之外，大致有两种方法：首先是用结构定理直接秒杀，与典型结构相同的就能赋予群，能赋予群的一定有这样的典型结构；但多数情况下并没有这么理性，那就得看群结构能够带来什么典型性质，不满足这个性质的自然就不能有群结构了，但满足性质的并不一定就能赋予群结构。还需要用其他方法仔细考察才行。
这个过程有点像侦探小说的破案过程，到底哪些人才是罪犯呢？先确定有直接目击证人的情况，假若由此破案，那么只有拿出罪犯名单比对一下就行；假若未能破案，就只能先把有不在场证明的人排除掉，最后对剩下来的人详细排查。
下面看流形与李群的关系，对于复情形是特别明显的。由复分析中的定理可以证明，一个紧连通的复李群一定是交换的，因此一定是环面的积，这就得到了紧复流形可以作为复李群的所有可能性。事实上，一般紧李群的结构分类也已经完成，只是稍微麻烦一点，这里也就不再详述了。
假若没有结构分类或者是分类太麻烦，那可以用典型性质，具体可以分成拓扑性质与几何性质。李群的拓扑性质就是基本群是交换的，这就是说明了像两个一维环面的连通和之类流形就不是李群。此外，上同调群之类的高级工具也可以用来排除一些例子，比如下面要讨论的七维球面S^7不是李群就是这样处理的，这里就不再详述了。
李群的一个典型几何性质就是可平行化（parallelizable），其含义就是切丛平凡。事实上，李群的群结构可以把局部平凡的丛结构推到整体，因此李群是可平行化的流形。这样我们可以得到一个让可能初学者有点惊讶的结论，二维球面S^2不是李群，因为拓扑学中著名的毛球定理说明了S^2的切丛不是平凡丛。
既然已经谈到这个问题，我们顺便对一般球面的切丛做一番概述。数学家Adams在其paper：Vector fields
on spheres中证明如下结论：假若球面S^n的切丛是平凡的，那么n只能取1，3或7.
事实上，这三个值分别对应复数，Hamilton四元数与Cayley八元数。它们都是李群吗？不，n=1或3时S^n确实是李群，但Cayley八元数不满足结合律，因此就不能建立群结构，前面已经提到了S^7的确不是李群。由此也可见，切丛的可平行化并不是李群的充要条件。
可平行化的一个特殊情况就是流形是可定向的。假若一个可平行化n维流形M是不可定向的（比如Klein
bottle），则切丛M×R^n也是不可定向的，但我们知道任何流形的切丛都是可定向的，这就导出了矛盾！可见像Klein
bottle这样的不可定向流形都不可能构成李群！
有的同学可能会提出疑问，他似乎在某些书上看到Klein bottle
K的切丛TK是不可定向的。主要原因是这里定向的含义有所不同，TK作为丛是不可定向的，但作为流形却一定是可定向的。事实上，向量丛的（丛）定向就是定义为其基流形（别说底流形啊！）的定向，为什么要引入这样的定义呢？主要原因是切丛的可定向有点平庸，本来不可定向的流形，只不过把自己克隆一下，这才变成可定向的。
有一个类似的情况就是复流形，它也是通过克隆自己才导致可定向的。我们考虑是不是要对复流形也引入有一个新的定向呢？乍一看似乎不可能，由不同坐标得到Jacobian变成了复数，并不能直接比较大小。但可定向性还有一个体积形式的等价定义、这里Strongart教授定义复流形是可复定向的，假若存在处处非零的全纯体积形式。这样的定义还有一个好处，就是能够使得复射影空间的复定向与实射影空间的（实）定向一致。
下面看几个可复定向流形的例子，为此就得引入Berger通过完整群（或和乐群，holonomy
groups）对不可约、非对称单连通流形的分类，这部分内容在Mark Gross等人的Calabi-Yau Manifold and Related
Geometries或伍洪熙的《黎曼几何选讲》中有概述。在Berger的分类中，完整群的SU（m）的Calabi-Yau
manifold就是典型复可定向流形，实际上更为一般的almost Calabi-Yau manifold也是复可定向的。
这里的复可定向性与辛几何有着天然的联系，辛流形总是自带一个辛结构ω，其外积构成辛流形的辛形式，它是处处非零的。一般而言，辛流形的辛形式只是光滑的，只能保证辛流形的可定向的，必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向，这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢？答案是肯定的，在Berger的分类中，完整群为Sp（m）的hyperkahler
manifold就是全纯辛流形，因此一定是复可定向的。
对于全纯辛流形而言，就连复定向也变成平庸的了，似乎还要考虑更高层次的辛定向，定义为存在处处非零的辛体积形式，使得四元数射影空间具有与复射影空间或实射影空间类似的定向。
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