法國
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Tuesday, May 21, 2013
法國 french math
自然科学概论 引入倾斜坐标系
第十章近代前期自然科学的发展_百度文库
wenku.baidu.com/view/bcc6a5d128ea81c758f57843 轉為繁體網頁自然科学概论平时作业(一) ... 建立了历史上第一个倾斜坐标系和直角坐标系， 建立了历史上第一个倾斜坐标系和直角坐标系， 提出曲线 ... ② 系统地引入符号代数。群論的起源
- 群」這個觀念在數學及自然科學中都非常重要，而它的起源則是為了解方程式。 一次、二次方程式的解法很早就為人所熟悉。高次方程式的解法有兩個方向。其一為數字 ...
-
- zh.wikipedia.org/zh-hk/五次方程
本條目專指只含一個未知數的五次方程（一元五次方程），即方程形如 ... 證明一般五次以上的方程式無根式解的人是埃瓦里斯特·伽羅瓦，他巧妙地利用群論處理了上述 ... -
在數學的歷史中，群論原本起源於對五次方程及更高次方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用 ...
-
群論——跨越時代的創造. 19世紀初，有一些數學問題一直困擾著當時的數學家們，
而如何求解高次方程就是其中之一。 歷史上人們很早就已經知道了一元一次和一元 ...
自然科学概论 - Google 圖書結果
books.google.com.hk/books?isbn=9571111856 - 轉為繁體網頁1996 - Science次方程的類型問題。他的工作卓有成效。伽羅瓦還由此開闢了代數學的一個新的領域群論的研究。一般高次方程求根式解已被證明是不可能的事,數學家們就從另外的 ...-
2010年12月10日 – 群論的起源可追溯到十六世紀初，當時有許多數學家都致力於解一元多次 ... 在十九世紀初，Abel 利用群的概念證實了五次或更高次的代數方程其 ...
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伽羅華（E.Galois，1811－1832）創立了具有劃時代意義的數學分支——群論在數學 ... 當伽羅華17歲時，就著手研究數學中最困難的問題之一一般π次方程求解問題。
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9_多元高次聯立方程式. 10_中國數學家的 ... 理論,解決了方程式根式解的問題,是群論( group theory )的 ... 1828年他開始研究方程式論'數論與橢圓函. 數論。 1829年3 ...
群论则突破了代数 学中对“运算”($+$、$-$、$\times$、$\div$等)的传统理解, 使得作为运算对象的“数”扩展至各种各样的抽象“元素”, 例如向量、张量、置换、变换、映射等
发信人: Andante (须眉), 信区: Science
标 题: Re: 请教数学系群论高手
发信站: BBS 水木清华站 (Mon Jan 4 18:39:46 1999) WWW-POST
【 在 bdgls (LiLiang) 的大作中提到: 】
: 请问数学系的群论高手. 我一直以为群论作为一种高等数学的分支,是建立在初等数学
: 的
: 基础上的.它的许多概念
: 及定理必须借助于初等数学的支持来得以阐述和发挥.那么群论本身提出了什么样的,靠
: 初
: 等数学推理不出来的公
: 理系统呢? 一个具体的问法是: 我们依靠群论这个工具解决了解高次方程和十七等分圆
: 等
: 问题.那么能否将群论
: 解决这些问题的过程转译为由构造群论的初等数学的较为繁琐的更多的步骤来直接解决
: 呢
: ?一个更为深刻的问题
: 是: 数学工具到底起到什么样的作用? 是起到非此工具所达不到的作用呢,还是仅仅是
: 一
: 个简便算法那样节省了
: 解决问题的步骤呢(也就是说不要这个工具也可以解决问题,只是步骤要麻烦的多,要多
: 的
: 多)?
首先说明, 我不是`数学系的群论高手', 但按捺不住也想说两句.
数学是研究“量的规律”的科学, 也就是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学.
它的对象是“形”和“数”. 数学史就是这两个概念的形成、关联、演变和发展的历史.
源自远古的数学, 经过17世纪引进“变量”, 创立微积分的革命和18世纪的充分发展之
后, 迎来了19世纪数学史上的光辉年代. 该世纪众多的数学成果中, 非欧几何与群论是
两个突出的成就. 以它们为转机, “形”与“数”的概念大为扩展, 为几何、代数以及
几乎整个数学的研究开辟了新天地; 研究的思想与方法也为之一新.
非欧几何动摇了千百年来“欧氏几何是描述现实世界的唯一、绝对的几何”的信念, 促
进了“形”的概念向“点集”、“空间”、“流形”等方面的扩展. 群论则突破了代数
学中对“运算”($+$、$-$、$\times$、$\div$等)的传统理解, 使得作为运算对象的
“数”扩展至各种各样的抽象“元素”, 例如向量、张量、置换、变换、映射等. 群论
的方法已渗透到现代数学的许多分支中, 并在结晶学、量子力学、相对论、基本粒子等
若干化学, 物理领域中得到应用.
“群”(group)的概念来自数学对象和科学对象的对称性研究. 群论则是系统地研究群
的性质及其应用的数学理论. 群论的建立, 使数学中一门古老的学科---代数学焕发了
青春. 在群论思想、方法的激励下, 域论、环论、模论、格论、结合代数、非结合代数
等应运而生, 形成了近世代数的庞大体系. 它们的共同特点是研究的对象不再局限于有
理数、实数、复数等数系, 而是又任意元素组成的具有一定结构的集合(即集合$+$结构
).
这里的“结构”主要指代数结构. 它是由运算产生的. “运算”也不再限于数的运算,
而是元素之间按某种约定的对应. 根据这种约定, 集合中任意两个有次序的元素对应
集合中唯一的元素. 因此, 近世代数又称为抽象代数.
以下是群的定义.
一个集合$G$以及$G$内的一个运算$\circ$放在一起叫做一个代数系统. 若这个运算还
满足如下几条规定, 则这个代数系统就称之为“群”.
(1)封闭性:\ \ $G$中任意两个有次序的元素$a$, $b$, 运算结果唯一得到$G$中的元素
$c$, 即$a \circ b = c$;
(2)结合律:\ \ $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$;
(3)有单位元$e$:\ \ $e \circ a = a \circ e = a$;
(4)每个元素有逆元$a^{-1}$: \ \ $a \circ a^{-1}= e$.
这里, 群的元素和运算完全是抽象的. 这正反映了群的“结构”性质. 若元素取为整数,
运算取为普通加法$+$, 则全体整数集合就是一个群(加法群). 这时$0$就是单位元,
$-a$
就是$a$的逆元. 若$G$全体为正有理数集合, 运算取为普通乘法$\times$, 则$G$也是一
个群(乘法群). 这时$1$就是单位元, $1/a$就是$a$的逆元. 可见群的“元素”是数的推
广, “运算”也是普通运算的推广. 从表面看, 这种推广并无特殊之处, 似乎很自然, 然
而从数系到群却走过了艰难的一步. 正是这一飞跃才给代数以至近代数学产生了深远的影
响. 一种科学理论, 抽象程度愈高, 则更具有普遍意义, 更能应用于一般. 群论之所以有
广泛的应用, 正是由于它的高度概括性.
群论的应用是多方面的. 在物理学等领域中群论的应用是从研究对称关系始的. 对称性是
自然界普遍存在的一种规律, 而群论正是研究对称性的工具. A.Bravais于1849年、
E.C.Phedorov于1890年先后用群论的方法将晶体(空间点阵)进行了分类. 这是群论
的第一次直接应用. 本世纪在量子力学、相对论、原子结构、基本粒子理论等研究中, 群
表示论、离散群、Lie群(特殊的连续群)已成为不可缺少的工具.
群论在数学内部的影响更为深远. 它不但是近世代数的基础, 也是现代数学的基础之一
.
1872年, F.Klein在Erlangen纲领中指出: “各种几何都是研究相应的变换群下不变性
质的学科”. 从而将欧氏几何、非欧几何、射影几何等多种几何在群论的观点下统一起
来. 其它如微分几何、复变函数、数论、拓扑学、调和分析等许多数学分支也都渗透了
群论的思想和方法. 总之, 在现代数学中, 群论已居于显著的地位. E.Bell说: “无论
在什么地方, 只要能应用群论, 从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐. 群的概念是
近世纪科学思想的出色的新工具之一. ”
--
Andante cantabile 行板如歌
标 题: Re: 请教数学系群论高手
发信站: BBS 水木清华站 (Mon Jan 4 18:39:46 1999) WWW-POST
【 在 bdgls (LiLiang) 的大作中提到: 】
: 请问数学系的群论高手. 我一直以为群论作为一种高等数学的分支,是建立在初等数学
: 的
: 基础上的.它的许多概念
: 及定理必须借助于初等数学的支持来得以阐述和发挥.那么群论本身提出了什么样的,靠
: 初
: 等数学推理不出来的公
: 理系统呢? 一个具体的问法是: 我们依靠群论这个工具解决了解高次方程和十七等分圆
: 等
: 问题.那么能否将群论
: 解决这些问题的过程转译为由构造群论的初等数学的较为繁琐的更多的步骤来直接解决
: 呢
: ?一个更为深刻的问题
: 是: 数学工具到底起到什么样的作用? 是起到非此工具所达不到的作用呢,还是仅仅是
: 一
: 个简便算法那样节省了
: 解决问题的步骤呢(也就是说不要这个工具也可以解决问题,只是步骤要麻烦的多,要多
: 的
: 多)?
首先说明, 我不是`数学系的群论高手', 但按捺不住也想说两句.
数学是研究“量的规律”的科学, 也就是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学.
它的对象是“形”和“数”. 数学史就是这两个概念的形成、关联、演变和发展的历史.
源自远古的数学, 经过17世纪引进“变量”, 创立微积分的革命和18世纪的充分发展之
后, 迎来了19世纪数学史上的光辉年代. 该世纪众多的数学成果中, 非欧几何与群论是
两个突出的成就. 以它们为转机, “形”与“数”的概念大为扩展, 为几何、代数以及
几乎整个数学的研究开辟了新天地; 研究的思想与方法也为之一新.
非欧几何动摇了千百年来“欧氏几何是描述现实世界的唯一、绝对的几何”的信念, 促
进了“形”的概念向“点集”、“空间”、“流形”等方面的扩展. 群论则突破了代数
学中对“运算”($+$、$-$、$\times$、$\div$等)的传统理解, 使得作为运算对象的
“数”扩展至各种各样的抽象“元素”, 例如向量、张量、置换、变换、映射等. 群论
的方法已渗透到现代数学的许多分支中, 并在结晶学、量子力学、相对论、基本粒子等
若干化学, 物理领域中得到应用.
“群”(group)的概念来自数学对象和科学对象的对称性研究. 群论则是系统地研究群
的性质及其应用的数学理论. 群论的建立, 使数学中一门古老的学科---代数学焕发了
青春. 在群论思想、方法的激励下, 域论、环论、模论、格论、结合代数、非结合代数
等应运而生, 形成了近世代数的庞大体系. 它们的共同特点是研究的对象不再局限于有
理数、实数、复数等数系, 而是又任意元素组成的具有一定结构的集合(即集合$+$结构
).
这里的“结构”主要指代数结构. 它是由运算产生的. “运算”也不再限于数的运算,
而是元素之间按某种约定的对应. 根据这种约定, 集合中任意两个有次序的元素对应
集合中唯一的元素. 因此, 近世代数又称为抽象代数.
以下是群的定义.
一个集合$G$以及$G$内的一个运算$\circ$放在一起叫做一个代数系统. 若这个运算还
满足如下几条规定, 则这个代数系统就称之为“群”.
(1)封闭性:\ \ $G$中任意两个有次序的元素$a$, $b$, 运算结果唯一得到$G$中的元素
$c$, 即$a \circ b = c$;
(2)结合律:\ \ $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$;
(3)有单位元$e$:\ \ $e \circ a = a \circ e = a$;
(4)每个元素有逆元$a^{-1}$: \ \ $a \circ a^{-1}= e$.
这里, 群的元素和运算完全是抽象的. 这正反映了群的“结构”性质. 若元素取为整数,
运算取为普通加法$+$, 则全体整数集合就是一个群(加法群). 这时$0$就是单位元,
$-a$
就是$a$的逆元. 若$G$全体为正有理数集合, 运算取为普通乘法$\times$, 则$G$也是一
个群(乘法群). 这时$1$就是单位元, $1/a$就是$a$的逆元. 可见群的“元素”是数的推
广, “运算”也是普通运算的推广. 从表面看, 这种推广并无特殊之处, 似乎很自然, 然
而从数系到群却走过了艰难的一步. 正是这一飞跃才给代数以至近代数学产生了深远的影
响. 一种科学理论, 抽象程度愈高, 则更具有普遍意义, 更能应用于一般. 群论之所以有
广泛的应用, 正是由于它的高度概括性.
群论的应用是多方面的. 在物理学等领域中群论的应用是从研究对称关系始的. 对称性是
自然界普遍存在的一种规律, 而群论正是研究对称性的工具. A.Bravais于1849年、
E.C.Phedorov于1890年先后用群论的方法将晶体(空间点阵)进行了分类. 这是群论
的第一次直接应用. 本世纪在量子力学、相对论、原子结构、基本粒子理论等研究中, 群
表示论、离散群、Lie群(特殊的连续群)已成为不可缺少的工具.
群论在数学内部的影响更为深远. 它不但是近世代数的基础, 也是现代数学的基础之一
.
1872年, F.Klein在Erlangen纲领中指出: “各种几何都是研究相应的变换群下不变性
质的学科”. 从而将欧氏几何、非欧几何、射影几何等多种几何在群论的观点下统一起
来. 其它如微分几何、复变函数、数论、拓扑学、调和分析等许多数学分支也都渗透了
群论的思想和方法. 总之, 在现代数学中, 群论已居于显著的地位. E.Bell说: “无论
在什么地方, 只要能应用群论, 从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐. 群的概念是
近世纪科学思想的出色的新工具之一. ”
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Andante cantabile 行板如歌
phymath01 相变与临界现象总伴随着热力学量的奇异性：不连续或发散！
相变与临界现象总伴随着热力学量的奇异性：不连续或发散！
http://physics.bnu.edu.cn/application/research/statistics_group/research/talks/bnu.pdf
两相（或多相）共存。
再微分：比热，磁化率.....
http://physics.bnu.edu.cn/application/research/statistics_group/research/talks/bnu.pdf
一级相变(First Order Phase Transition)：内能不连续（潜热），
两相（或多相）共存。
具体步骤：
1. 写出系统Hamiltonian(能量与微观状态的关系）:
H = H();
2. 计算配分函数（自由能）：
Z =
Σ
e
H()
kBT
其中e
H()
kBT
叫Boltzmann权重，反映一个微观状态出现的几率，
或权重。3. 对自由能微分：内能，压强，磁化强度....
再微分：比热，磁化率.....
phymath01 相（Phase）：热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处于某相
相（Phase）：
热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处
于某相。比如水可以处于固相，液相，气相。
相变(Phase Transition)：
从一种相转变成令一种相。比如冰融化就是水的固液相变。
http://astronomy.nju.edu.cn/~zjl/nl/nl03.pdf
《非线性动力学引论》
"指数分布单参数变换群"
双参数指数分布尺度参数的区间估计Ξ
210.30.208.205/common/fckeditor/openfile.jsp?id...
轉為繁體網頁
基礎物理總論熱力學與統計力學（三） - 物理學系- 東海大學
http://physics.bnu.edu.cn/application/research/statistics_group/research/talks/bnu.pdf
基礎物理總論熱力學與統計力學（三） - 物理學系- 東海大學
phys.thu.edu.tw/~ctshih/teach/fundamental/statistics.ppt
Sunday, May 19, 2013
qft01 在经典理论中，直接可测量的量是力，例如作用于一个粒子或物体或电荷上的力。 在經典理論中，直接可測量的量是力，例如作用於一個粒子或物體或電荷上的力。 因此即使当“势”的概念被引入引力场和电磁场时，出现于运动方程或麦克斯韦场方程中的也只是它们的微商。 因此即使當“勢”的概念被引入引力場和電磁場時，出現於運動方程或麥克斯韋場方程中的也只是它們的微商
在经典理论中，直接可测量的量是力，例如作用于一个粒子或物体或电荷上的力。 在經典理論中，直接可測量的量是力，例如作用於一個粒子或物體或電荷上的力。 因此即使当“势”的概念被引入引力场和电磁场时，出现于运动方程或麦克斯韦场方程中的也只是它们的微商。 因此即使當“勢”的概念被引入引力場和電磁場時，出現於運動方程或麥克斯韋場方程中的也只是它們的微商
在經典物理學中，“粒子”和“場”是兩個不同的概念；它們涉及不同的現象，並分別用於描述分立性和連續性。 一个系统可能包含巨大数量的粒子，例如气体中的分子，但只要它们是可数的，基本理论就是经典力学 。一個系統可能包含巨大數量的粒子，例如氣體中的分子，但只要它們是可數的，基本理論就是經典力學 。 但如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度 ，则基本理论就是所谓的场论①。但如果一個系統的變量是不可數的，如電場強度 ，則基本理論就是所謂的場論①。
经典物理学中，我们所熟悉的两种场是电磁场和引力场。經典物理學中，我們所熟悉的兩種場是電磁場和引力場。
在经典理论中，直接可测量的量是力，例如作用于一个粒子或物体或电荷上的力。 在經典理論中，直接可測量的量是力，例如作用於一個粒子或物體或電荷上的力。 因此即使当“势”的概念被引入引力场和电磁场时，出现于运动方程或麦克斯韦场方程中的也只是它们的微商。 因此即使當“勢”的概念被引入引力場和電磁場時，出現於運動方程或麥克斯韋場方程中的也只是它們的微商。 一个场的“势”，在引力场中仅被定义为一个常数，在电磁场 A 、中则为一规范变换。 一個場的“勢”，在引力場中僅被定義為一個常數，在電磁場 A 、中則為一規範變換。
在量子力学中，直接出现于波动方程中的是“势”而不是“力”。在量子力學中，直接出現於波動方程中的是“勢”而不是“力”。 因此一个粒子的薛定谔方程是因此一個粒子的薛定諤方程是
而电磁场中一个电子的狄拉克方程是而電磁場中一個電子的狄拉克方程是
式中出现的是势 V 、 A 、Ψ而不是力。 式中出現的是勢 V 、 A 、Ψ而不是力。
重要的问题是：势是否有可观察的效应？重要的問題是：勢是否有可觀察的效應？
（ 1 ）不可积的相 （ 1 ）不可積的相
容易看出，一个自由电子的波函数Ψ 0 满足 容易看出，一個自由電子的波函數Ψ 0 滿足
它与（ 1 ）式中波函数Ψ之不同在于位相 它與（ 1 ）式中波函數Ψ之不同在於位相 
（ 2 ）可积的相 （ 2 ）可積的相
如果方程（ 1 ）中的（ A ，Ψ）经过规范变换 如果方程（ 1 ）中的（ A ，Ψ）經過規範變換
其中其中
其中其中
为可积的。為可積的。 ） ）
（ 3 ）阿哈罗诺夫－玻姆实验阿 （ 3 ）阿哈羅諾夫－玻姆實驗阿
哈罗诺夫－玻姆（ 1959 年）提出由下述实验来探测位相（ 3 ）的效应。 哈羅諾夫－玻姆（ 1959 年）提出由下述實驗來探測位相（ 3 ）的效應。 取一细长的螺线管 （垂直于纸平面），让一束电子在点 A 处被分为纸平面中环绕螺线管的两个半圆 C 1 、 C 2 ，并于 B 点重新汇合起来。 取一細長的螺線管 （垂直於紙平面），讓一束電子在點 A 處被分為紙平面中環繞螺線管的兩個半圓 C 1 、 C 2 ，並於 B 點重新匯合起來。 除了螺线管内部以外，磁场 H 处处为零。 除了螺線管內部以外，磁場 H 處處為零。 因为 A μ dx μ 是洛伦兹不变量， 因為 A μ dx μ 是洛倫茲不變量，
。 。 B 点处两束电子的相差为 B 點處兩束電子的相差為
其中σ为被两束电子圈起的面。 其中σ為被兩束電子圈起的面。 由这种相差引起的干涉效应已为钱伯斯（ 1960 年）所观察到。 由這種相差引起的干涉效應已為錢伯斯（ 1960 年）所觀察到。
这个实验非常重要：①在量子力学中，势 A 产生了一个可观察效应（尽管与规范变换相联系的势将不具有这一阿哈罗诺夫－玻姆效应）；② 螺线管场的存在好像改变了空间的（拓扑）性质－－它不再简单地像在没有 A 场时那样连接了。 這個實驗非常重要：①在量子力學中，勢 A 產生了一個可觀察效應（儘管與規範變換相聯繫的勢將不具有這一阿哈羅諾夫－玻姆效應）；② 螺線管場的存在好像改變了空間的（拓撲）性質－－它不再簡單地像在沒有 A 場時那樣連接了。
这里可以提一下，另一个磁场影响波长的位相的例子，是狄拉克的磁单极理论（ 1931 年）。 這裡可以提一下，另一個磁場影響波長的位相的例子，是狄拉克的磁單極理論（ 1931 年）。
2. 统一场：引力场和电磁场 2. 統一場：引力場和電磁場
正如我们所已经知道的，最简单的两种场统一的例子是电场和磁场的正如我們所已經知道的，最簡單的兩種場統一的例子是電場和磁場的
一。 一。 这种统一的取得是通过引入一个四维矢量 （ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 = 這種統一的取得是通過引入一個四維矢量 （ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 =
其分量给出了两个三维矢量 E ， B 的 6 个分量。 其分量給出了兩個三維矢量 E ， B 的 6 個分量。 在这个例子中，闵可夫斯基四维空间是平直的，即电磁场不影响自由场空间的度规。 在這個例子中，閔可夫斯基四維空間是平直的，即電磁場不影響自由場空間的度規。 这一统一不仅“令人愉悦”，而且也是狭义相对论理论的必要成分。 這一統一不僅“令人愉悅”，而且也是狹義相對論理論的必要成分。
在爱因斯坦的引力理论中，牛顿的万有引力 “作用”被看作是四维空间的内禀性质，即“引力”是植根于时空结构的度规性质中的。 在愛因斯坦的引力理論中，牛頓的萬有引力 “作用”被看作是四維空間的內禀性質，即“引力”是植根於時空結構的度規性質中的。 这可以与电磁相互作用作一对照。 這可以與電磁相互作用作一對照。 在他完成引力理论（ 1916 年）后不久，爱因斯坦就开始考虑电磁场和引力场的统一。 在他完成引力理論（ 1916 年）後不久，愛因斯坦就開始考慮電磁場和引力場的統一。 从上所述，我们可以看出这一问题的困难性质。 從上所述，我們可以看出這一問題的困難性質。 爱因斯坦后来在这个问题上花费了大量精力。 愛因斯坦後來在這個問題上花費了大量精力。
关于这种统一的第一个理论，是由数学家 T ． 關於這種統一的第一個理論，是由數學家 T ． 卡鲁查发表的；他的手稿于 1919 年（？）交给爱因斯坦，并由爱因斯坦于 1921 年送去发表。 卡魯查發表的；他的手稿於 1919 年（？）交給愛因斯坦，並由愛因斯坦於 1921 年送去發表。 卡鲁查提出了一个五维世界，具有度规 卡魯查提出了一個五維世界，具有度規
A 1 A 1 g 11 g 11 g 12 g 12 g 13 g 13 g 14 g 14
g αβ =A 2 g αβ =A 2 g 21 g 21 g 22 g 22 g 23 g 23 g 24 g 24
A 3 A 3 g 31 g 31 g 32 g 32 g 33 g 33 g 34 g 34
A 4 A 4 g 41 g 41 g 42 g 42 g 43 g 43 g 44 g 44
其中（ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ）是电磁场的四维矢势，而 g μν （μ，ν =1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是（爱因斯坦理论中的）四维（黎曼）空间的度规张量分量。 其中（ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ）是電磁場的四維矢勢，而 g μν （μ，ν =1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是（愛因斯坦理論中的）四維（黎曼）空間的度規張量分量。 所有 g αβ 都假定分别为 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的函数。 所有 g αβ 都假定分別為 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的函數。 场方程（通过扩展爱因斯坦理论）假定为 場方程（通過擴展愛因斯坦理論）假定為
其中 R αβ 是（收缩后的）黎曼张量， T αβ 是排除了纯电磁学部分的能量－动量张量。 其中 R αβ 是（收縮後的）黎曼張量， T αβ 是排除了純電磁學部分的能量－動量張量。 通过对一质量为 m 、电荷为 e 的单个粒子的情况作特殊简化， 通過對一質量為 m 、電荷為 e 的單個粒子的情況作特殊簡化，
于是对α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ，人们得到引力场方程；对α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，人们得到麦克斯韦方程；此时人们须确定μ 5 =e/m 。 於是對α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ，人們得到引力場方程；對α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，人們得到麥克斯韋方程；此時人們須確定μ 5 =e/ m 。 m μ α 是五维动量－能量－电荷矢量 。 m μ α 是五維動量－能量－電荷矢量 。
五维理论是有趣的，但结果多少来自对 g αβ 构造的不同假定。 五維理論是有趣的，但結果多少來自對 g αβ 構造的不同假定。 爱因斯坦于 1923 年致力于继续研究这一理论，但在 1926 年， O ． 愛因斯坦於 1923 年致力於繼續研究這一理論，但在 1926 年， O ． 克莱因发展了卡鲁查的理论，并把新发展起来的量子力学结合进来。 克萊因發展了卡魯查的理論，並把新發展起來的量子力學結合進來。 爱因斯坦于 1929 年与爱丁顿一起致力于五维理论；于 1930 年至 1932 年间与 W ． 愛因斯坦於 1929 年與愛丁頓一起致力於五維理論；於 1930 年至 1932 年間與 W ． 迈耶尔致力于它；于 1938 － 1941 年间又与 P. 柏格曼和 V. 柏格曼致力于它。 邁耶爾致力於它；於 1938 － 1941 年間又與 P. 柏格曼和 V. 柏格曼致力於它。 此后不久，他放弃了这条研究途径。 此後不久，他放棄了這條研究途徑。
由克莱因的工作和以后的发展，人们认识到把量子力学原理与五维理论联系起来，只会使电磁场和引力场的统一更加复杂化。 由克萊因的工作和以後的發展，人們認識到把量子力學原理與五維理論聯繫起來，只會使電磁場和引力場的統一更加複雜化。 看起来广义相对论与量子力学的结合是没有希望的（泡利， 1955 年）。 看起來廣義相對論與量子力學的結合是沒有希望的（泡利， 1955 年）。 场理论在爱因斯坦的意义上是决定论的，因而不能以一种根本的方式与其基础为不确定性原理的量子力学相混合。 場理論在愛因斯坦的意義上是決定論的，因而不能以一種根本的方式與其基礎為不確定性原理的量子力學相混合。 近年来，统一引力场和其他已知场（电弱的和强的）的尝试采取了新的方向（见下面第 7 节）。 近年來，統一引力場和其他已知場（電弱的和強的）的嘗試採取了新的方向（見下面第 7 節）。
3. 经典场 3. 經典場
在经典物理学中，“粒子”和“场”是两个不同的概念；它们涉及不同的现象，并分别用于描述分立性和连续性。在經典物理學中，“粒子”和“場”是兩個不同的概念；它們涉及不同的現象，並分別用於描述分立性和連續性。 一个系统可能包含巨大数量的粒子，例如气体中的分子，但只要它们是可数的，基本理论就是经典力学 。一個系統可能包含巨大數量的粒子，例如氣體中的分子，但只要它們是可數的，基本理論就是經典力學 。 但如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度 ，则基本理论就是所谓的场论①。但如果一個系統的變量是不可數的，如電場強度 ，則基本理論就是所謂的場論①。
在经典场论，例如电磁场中，定律通常以偏微分方程表示，这些方程为从拉格朗日密度得出的哈密顿方程，且皆为相对论性协变形式。在經典場論，例如電磁場中，定律通常以偏微分方程表示，這些方程為從拉格朗日密度得出的哈密頓方程，且皆為相對論性協變形式。
但自爱因斯坦 1905 年的辐射量子论始，诸如光电效应和康普顿效应等直接实验对电磁辐射的粒子性质给出了有力的证据。 但自愛因斯坦 1905 年的輻射量子論始，諸如光電效應和康普頓效應等直接實驗對電磁輻射的粒子性質給出了有力的證據。 这引导我们去寻求一种数学理论以描述连续场的量子性质－－类似于量子力学中原子和分子现象的量子化。 這引導我們去尋求一種數學理論以描述連續場的量子性質－－類似於量子力學中原子和分子現象的量子化。 把量子力学拓展到场的量子化性质，这个理论就称作量子场论。 把量子力學拓展到場的量子化性質，這個理論就稱作量子場論。
粒子动力学的“量子化”数学方法由为索末菲和威尔逊所普遍化的玻尔量子条件开始，粒子動力學的“量子化”數學方法由為索末菲和威爾遜所普遍化的玻爾量子條件開始，
这个条件是一开始引导玻恩和海森伯在他们的矩阵力学中假定对易关系這個條件是一開始引導玻恩和海森伯在他們的矩陣力學中假定對易關係 
的线索。的線索。
我们已经看到，这个关系如何与量子力学中的概率公设一起，成功地处理了经典物理学中所描述的“粒子”和“波”，并导出爱因斯坦－ 德布罗意关系式我們已經看到，這個關係如何與量子力學中的概率公設一起，成功地處理了經典物理學中所描述的“粒子”和“波”，並導出愛因斯坦－ 德布羅意關係式
现在，我们希望从粒子回到老问题－－ 电磁场的量子理论 ，以把粒子动力学（坐标和动量、角动量和能量）的量子化方法扩展到连续场。現在，我們希望從粒子回到老問題－－ 電磁場的量子理論 ，以把粒子動力學（坐標和動量、角動量和能量）的量子化方法擴展到連續場。
这种方法由下述程序组成：這種方法由下述程序組成：
（ 1 ）以经典动力学的哈密顿方程形式中的四维势，来表示电磁场规律，即麦克斯韦的场方程组。 （ 1 ）以經典動力學的哈密頓方程形式中的四維勢，來表示電磁場規律，即麥克斯韋的場方程組。
（ 2 ）定义场变量（“坐标”，例如四维势及其正则共轭）。 （ 2 ）定義場變量（“坐標”，例如四維勢及其正則共軛）。
（ 3 ）通过类似于上述对易关系的关系使场变量量子化。 （ 3 ）通過類似於上述對易關係的關係使場變量量子化。
这种程序当用之于所谓“自由场”（例如不受电荷密度ρ和电流密度 J 影响的电磁场 ）时，能够很容易地实行，并且事实上量子化场由光子表述。 這種程序當用之於所謂“自由場”（例如不受電荷密度ρ和電流密度 J 影響的電磁場 ）時，能夠很容易地實行，並且事實上量子化場由光子表述。 这一理论首先由狄拉克于 1927 年提出。 這一理論首先由狄拉克於 1927 年提出。
具有四维势的电磁场并非最简单的经典场。具有四維勢的電磁場並非最簡單的經典場。 如果我们把克莱因－高登方程如果我們把克萊因－高登方程
看作一经典标量ψ场的方程，则量子化过程甚至更为简单。 看作一經典標量ψ場的方程，則量子化過程甚至更為簡單。 量子化场也适用于描述π 介子 （π 0 ，π 1 ，π 2 ）。 量子化場也適用於描述π 介子 （π 0 ，π 1 ，π 2 ）。
4. 量子化场 4. 量子化場
我们已经看到，由法拉第引入、麦克斯韦发展的电磁场的概念－－尤其是连续统的概念－－首先被电磁现象的整个波谱所确立，尔后又发现了其他一些现象，这就迫使物理学家引进量子概念，这是一个关于离散的概念。 我們已經看到，由法拉第引入、麥克斯韋發展的電磁場的概念－－尤其是連續統的概念－－首先被電磁現象的整個波譜所確立，爾後又發現了其他一些現象，這就迫使物理學家引進量子概念，這是一個關於離散的概念。 这个二象性的两难推论，在概念方面，在哥本哈根学派的实证哲学中是用“互补原理”来“解决”的。 這個二象性的兩難推論，在概念方面，在哥本哈根學派的實證哲學中是用“互補原理”來“解決”的。 在数学方面，这个二象性是用“量子化场”的形式体系描述的，在“量子化场”中，具有能量和动量这些粒子属性的光子乃是使电磁场 “量子化”的结果，而荷电的粒子（电子）则是使由粒子的波函数所描述的“场”量子化的结果。 在數學方面，這個二象性是用“量子化場”的形式體系描述的，在“量子化場”中，具有能量和動量這些粒子屬性的光子乃是使電磁場 “量子化”的結果，而荷電的粒子（電子）則是使由粒子的波函數所描述的“場”量子化的結果。 电荷之间的相互作用，是通过它们与电磁场的相互作用进行的（电荷本身是电磁场之“源”）。 電荷之間的相互作用，是通過它們與電磁場的相互作用進行的（電荷本身是電磁場之“源”）。 法拉第最初的这种观念，现在被翻译成为相互作用场－－电子场和电磁场 －－的量子理论语言了。 法拉第最初的這種觀念，現在被翻譯成為相互作用場－－電子場和電磁場 －－的量子理論語言了。 相互作用场的数学理论成为量子电动力学的主题。 相互作用場的數學理論成為量子電動力學的主題。 这个理论的发展自 1930 年代以来使许多大物理学家为之忙碌。 這個理論的發展自 1930 年代以來使許多大物理學家為之忙碌。 这些大物理学家中， 30 年代有海森伯、泡利、狄拉克、费米； 40 年代后期有朝永振一郎、施温格和费因曼。 這些大物理學家中， 30 年代有海森伯、泡利、狄拉克、費米； 40 年代後期有朝永振一郎、施溫格和費因曼。 这种相互作用场理论的数学结构有着许多非常基本的困难－－在理论中出现无穷大问题难以消除。 這種相互作用場理論的數學結構有著許多非常基本的困難－－在理論中出現無窮大問題難以消除。 这个理论决非一个单纯的形式结构；它导致了电子的所谓兰姆移位和 g 值（磁矩与角动量之比），它是由兰姆、 卢瑟福和库什在实验中发现的。 這個理論決非一個單純的形式結構；它導致了電子的所謂蘭姆移位和 g 值（磁矩與角動量之比），它是由蘭姆、 盧瑟福和庫什在實驗中發現的。
量子化场的概念，首先是从电磁场和电子场（狄拉克场）发展起来的，接着由汤川秀树卓有成效地于 1935 年应用于一种当时还未知的场，如今我们称它为介子场，它与核子（质子与中子）的耦合可以说明核子间的强相互作用。 量子化場的概念，首先是從電磁場和電子場（狄拉克場）發展起來的，接著由湯川秀樹卓有成效地於 1935 年應用於一種當時還未知的場，如今我們稱它為介子場，它與核子（質子與中子）的耦合可以說明核子間的強相互作用。 介子场的量子化“粒子”后来在宇宙射线中找到，接着又在实验室的高能加速器中发现，例如π 介子 。 介子場的量子化“粒子”後來在宇宙射線中找到，接著又在實驗室的高能加速器中發現，例如π 介子 。
法拉第的同一个基本思想，即粒子通过与一个场的相互作用而形成粒子间的相互作用，也被费米于 1933 ～ 1934 年应用到电子－中微子场，以说明另一种相互作用－－所谓的弱相互作用－－它们支配诸如原子核的β衰变和介子的π - μ 衰变 。 法拉第的同一個基本思想，即粒子通過與一個場的相互作用而形成粒子間的相互作用，也被費米於 1933 ～ 1934 年應用到電子－中微子場，以說明另一種相互作用－ －所謂的弱相互作用－－它們支配諸如原子核的β衰變和介子的π - μ 衰變 。
下表列出各种已知场及其所起作用的相似性。下表列出各種已知場及其所起作用的相似性。
在基础物理学发展的目前阶段，对于自然界中所有各种相互作用的统一性还远未得到完备的理解，不过，它们之间在定性的相似性上已有明显的统一。在基礎物理學發展的目前階段，對於自然界中所有各種相互作用的統一性還遠未得到完備的理解，不過，它們之間在定性的相似性上已有明顯的統一。 物理学中真正的基本问题之一，就是这些相互作用的本质问题。物理學中真正的基本問題之一，就是這些相互作用的本質問題。
1928 年，狄拉克建立了电子的相对论性波动方程。 1928 年，狄拉克建立了電子的相對論性波動方程。 它取得了下述成功：它的形式是洛伦兹不变的；它以回磁比 g=2 包含电子自旋；它预言了反粒子正电子的存在，并于 1932 年为安德森在实验中发现；它给出了氢原子能级的正确的精细结构。 它取得了下述成功：它的形式是洛倫茲不變的；它以回磁比 g=2 包含電子自旋；它預言了反粒子正電子的存在，並於 1932 年為安德森在實驗中發現；它給出了氫原子能級的正確的精細結構。 狄拉克方程也有一些“困难”。 狄拉克方程也有一些“困難”。 其一是把这一为单一电子建立的理论推广到一个多电子系统。 其一是把這一為單一電子建立的理論推廣到一個多電子系統。 另一困难则更为基本，即着手于描述单一电子的理论结果却由于为说明处于负能态的无限电子海而不可避免地具有多体效应。 另一困難則更為基本，即著手於描述單一電子的理論結果卻由於為說明處於負能態的無限電子海而不可避免地具有多體效應。 在一个强场中，一个电子不再孤立存在，而是一个包含无穷多（并且其数目非不变的）电子和正 在一個強場中，一個電子不再孤立存在，而是一個包含無窮多（並且其數目非不變的）電子和正
子中的电子的例子中已有所提示，当 Z=137 时，通常的能级理论遭破坏。 子中的電子的例子中已有所提示，當 Z=137 時，通常的能級理論遭破壞。 因此，严格说来，单一电子理论仅在自由电子的极限情形中有效，并且必然为“多电子”理论所取代。 因此，嚴格說來，單一電子理論僅在自由電子的極限情形中有效，並且必然為“多電子”理論所取代。
眼下，一个数目无限大并且可变的“粒子”系统的适当表述是“场”－－正像“光子”表述的是电磁场 。眼下，一個數目無限大並且可變的“粒子”系統的適當表述是“場”－－正像“光子”表述的是電磁場 。 由此我们可以说，从粒子的观点出发，人们寻求一种满足相对性原理的粒子理论，结果发现合适的理论为一多体理论，而多体系统的适当表述是“场”。由此我們可以說，從粒子的觀點出發，人們尋求一種滿足相對性原理的粒子理論，結果發現合適的理論為一多體理論，而多體系統的適當表述是“場”。
这样，问题就在于构造一多电子场论。這樣，問題就在於構造一多電子場論。 人们可以从一自由电子的狄拉克方程出发人們可以從一自由電子的狄拉克方程出發
并把它看做一经典场Ψ（在此情形中为一四分量场）的方程。 並把它看做一經典場Ψ（在此情形中為一四分量場）的方程。 然后把Ψ μ 看作场变量（类似于电磁场中的四维势 A Ψ）及其正则共轭。 然後把Ψ μ 看作場變量（類似於電磁場中的四維勢 A Ψ）及其正則共軛。 再以对易关系形式引入量子化条件，如所期望的，人们可得到电子作为量子化场的粒子。 再以對易關係形式引入量子化條件，如所期望的，人們可得到電子作為量子化場的粒子。 这样一种量子化程序被称为“二次量子化”。 這樣一種量子化程序被稱為“二次量子化”。 量子化的ψ拥有波动和粒子两种性质－－正如量子化的电磁场拥有光子和波动性质一样。 量子化的ψ擁有波動和粒子兩種性質－－正如量子化的電磁場擁有光子和波動性質一樣。
纯电子场的量子理论不存在困难，但对电子加上电磁场的耦合系统，一种相对论性量子理论 （即量子电动力学）则存在严重的根深蒂固的困难，即物理量计算结果中顽固的无穷大问题。純電子場的量子理論不存在困難，但對電子加上電磁場的耦合系統，一種相對論性量子理論 （即量子電動力學）則存在嚴重的根深蒂固的困難，即物理量計算結果中頑固的無窮大問題。
紧随狄拉克 1927 年的量子化电磁场论而来的，有约旦和维格纳、海森伯和泡利以及费米（ 1930 年）等人的工作。 緊隨狄拉克 1927 年的量子化電磁場論而來的，有約旦和維格納、海森伯和泡利以及費米（ 1930 年）等人的工作。 但直到 40 年代中叶，随着日本的朝永振一郎和美国的施温格、费因曼和戴森等人的工作，才取得突破性进展。 但直到 40 年代中葉，隨著日本的朝永振一郎和美國的施溫格、費因曼和戴森等人的工作，才取得突破性進展。 尽管无穷大依然存在，但这种理论以一种确定的、协变的方式成功地“消减”它们，从而可得出有限的结果，并与观察到的兰姆移位和“反常磁矩 g ”〔 g=2 （ 1+ α／ 2 π + …），α =1 ／ 137 〕精确地一致。 儘管無窮大依然存在，但這種理論以一種確定的、協變的方式成功地“消減”它們，從而可得出有限的結果，並與觀察到的蘭姆移位和“反常磁矩 g ” 〔 g=2 （ 1+ α／ 2 π + …），α =1 ／ 137 〕精確地一致。 从 40 年代中叶到 50 年代中叶的 10 年，是热衷于量子电动力学研究的时期，既进一步分析这一“重整化”理论，也致力于使理论摆脱无穷大（即不仅仅分离和掩盖它们）。 從 40 年代中葉到 50 年代中葉的 10 年，是熱衷於量子電動力學研究的時期，既進一步分析這一“重整化”理論，也致力於使理論擺脫無窮大（即不僅僅分離和掩蓋它們） 。 但是，迄今仍未找到一种令人满意的解决问题的办法①，而同时，物理学家已把他们的兴趣转向其他领域－－ 基本粒子及其相互作用和它们的统一。 但是，迄今仍未找到一種令人滿意的解決問題的辦法①，而同時，物理學家已把他們的興趣轉向其他領域－－ 基本粒子及其相互作用和它們的統一。
5. 粒子和相互作用 5. 粒子和相互作用
1935 年，汤川秀树提出了关于两个核子间的“强”相互作用的介子理论。 1935 年，湯川秀樹提出了關於兩個核子間的“強”相互作用的介子理論。 介子 （π 介子 ）的波动方程（取为克莱因－高登方程）给出了介子场，经量子化导出了π 介子 。 介子 （π 介子 ）的波動方程（取為克萊因－高登方程）給出了介子場，經量子化導出了π 介子 。
30 年代早期，泡利提出了中微子假设，费米则对作为“弱相互作用”典型的β衰变提出了中微子理论。 30 年代早期，泡利提出了中微子假設，費米則對作為“弱相互作用”典型的β衰變提出了中微子理論。 1932 年，查德威克发现了中子，而在 30 年代后期，实验研究证明了核子－核子相互作用与电荷无关。 1932 年，查德威克發現了中子，而在 30 年代後期，實驗研究 證明了核子－核子相互作用與電荷無關。 1946 － 1947 年间π 介子的发现证实了汤川秀树的“强相互作用”。 1946 － 1947 年間π 介子的發現證實了湯川秀樹的“強相互作用”。 到 50 年代前期，在自然界中已知有四种相互作用，按强度顺序依次排列，即 到 50 年代前期，在自然界中已知有四種相互作用，按強度順序依次排列，即
（ 1 ）核子间的强相互作用，强度级为 1 ， （ 1 ）核子間的強相互作用，強度級為 1 ，
（ 2 ）电磁相互作用，强度级为 10 -2 ， （ 2 ）電磁相互作用，強度級為 10 -2 ，
（ 3 ） β衰变 、π～μ 衰变中的弱相互作用，强度级为 10 -12 ， （ 3 ） β衰變 、π～μ 衰變中的弱相互作用，強度級為 10 -12 ，
（ 4 ）引力相互作用，强度级为 10 -29 。 （ 4 ）引力相互作用，強度級為 10 -29 。
到 60 年代，随着高能加速器的发展而开展的实验研究和理论工作，已导致了许多粒子、包括中微子（电子中微子和μ子中微子）、 介子和超子的发现。 到 60 年代，隨著高能加速器的發展而開展的實驗研究 和理論工作，已導致了許多粒子、包括中微子（電子中微子和μ子中微子）、 介子和超子的發現。 到 80 年代，已知上百种粒子： 到 80 年代，已知上百種粒子：
轻子 ：电子，μ子，τ 轻子 ，与之相应的中微子； 輕子 ：電子，μ子，τ 輕子 ，與之相應的中微子；
重子 ：核子，Λ，Σ + ，Σ 0 ，Σ － ，Ξ － ，Ξ 0 ，Ω － ，△ － ，△ 0 ，△ + ，△ ++ ，Λ c ，Λ b ； 重子 ：核子，Λ，Σ + ，Σ 0 ，Σ － ，Ξ － ，Ξ 0 ，Ω － ，△ － ，△ 0 ，△ + ，△ ++ ，Λ c ，Λ b ；
介子 ：π ± ，π 0 ， K ± ， K 0 ，η，η＇，ρ ± ，ρ c ， J ／ψ，Υ族； 介子 ：π ± ，π 0 ， K ± ， K 0 ，η，η＇，ρ ± ，ρ c ， J ／ψ，Υ族；
夸克： u ， d ， c ， s ；（ t ）， b ，每种味有三种可能的色（红、黄、蓝）。 夸克： u ， d ， c ， s ；（ t ）， b ，每種味有三種可能的色（紅、黃、藍）。
尚未发现孤立形式中的这些夸克，但有很强的证据说它们是构成重子和介子的“基本”粒子。 尚未發現孤立形式中的這些夸克，但有很強的證據說它們是構成重子和介子的“基本”粒子。 例如，质子由（ u ， u ， d ）组成，中子由（ u ， 例如，質子由（ u ， u ， d ）組成，中子由（ u ，
这些粒子及其“量子数”（例如重子或轻子数，电荷，自旋 J ，同位旋 I 、 I 3 ，超荷 Y ，奇异数 S ，粲数 C 等等）是如此数目众多，我们不想在这里解释它们的意义。 這些粒子及其“量子數”（例如重子或輕子數，電荷，自旋 J ，同位旋 I 、 I 3 ，超荷 Y ，奇異數 S ，粲數 C 等等）是如此數目眾多，我們不想在這裡解釋它們的意義。 我们的所有兴趣在于理解不同的相互作用，以及统一这些相互作用的可能性。 我們的所有興趣在於理解不同的相互作用，以及統一這些相互作用的可能性。 这里的统一，与爱因斯坦试图统一电磁与引力相互作用中的意义相同。 這裡的統一，與愛因斯坦試圖統一電磁與引力相互作用中的意義相同。
6. 统一场：电磁与弱相互作用 6. 統一場：電磁與弱相互作用
在上一节里，我们已经认识了四种相互作用。在上一節裡，我們已經認識了四種相互作用。 我们现在的兴趣是探讨它们是否能统一起来。我們現在的興趣是探討它們是否能統一起來。 为此目的，相互作用（场）的规范变换的对称群将作为指导性原理。為此目的，相互作用（場）的規範變換的對稱群將作為指導性原理。
在第六章第 7 节中，我们已知电磁场和狄拉克方程在规范变换（现在是四维表示法） 在第六章第 7 節中，我們已知電磁場和狄拉克方程在規範變換（現在是四維表示法）
下是不变的。 下是不變的。 这些变换形成局部规范群 U （ 1 ），（由ψ到ψ＇的变换矩阵为 1 × 1 幺正矩阵）。 這些變換形成局部規範群 U （ 1 ），（由ψ到ψ＇的變換矩陣為 1 × 1 么正矩陣）。
由β衰变由β衰變
所代表的弱相互作用涉及一个由 2 × 2 幺正矩阵表示的同位旋空间的变换，这一变换属于规范群 SU （ 2 ）（二维幺正单模群）。 所代表的弱相互作用涉及一個由 2 × 2 么正矩陣表示的同位旋空間的變換，這一變換屬於規範群 SU （ 2 ）（二維么正單模群）。
电磁相互作用与弱相互作用的统一，由温伯格、萨拉姆和格拉肖于 60 年代的研究所取得。 電磁相互作用與弱相互作用的統一，由溫伯格、薩拉姆和格拉肖於 60 年代的研究所取得。 两种相互作用统一为一种现在称之为“电弱”的相互作用，它属于对称性 SU （ 2 ）× U （ 1 ）。 兩種相互作用統一為一種現在稱之為“電弱”的相互作用，它屬於對稱性 SU （ 2 ）× U （ 1 ）。 电弱相互作用的传递者为中间玻色子 W + 、 W － 、 Z 0 和γ（γ是仅有电磁相互作用时的光子）。 電弱相互作用的傳遞者為中間玻色子 W + 、 W － 、 Z 0 和γ（γ是僅有電磁相互作用時的光子）。 W ± 和 Z 0 的质量分别约为 82GeV 和 94GeV 。 W ± 和 Z 0 的質量分別約為 82GeV 和 94GeV 。
这一理论的成功确实是令人惊异的①。這一理論的成功確實是令人驚異的①。
7. 强相互作用 7. 強相互作用
强相互作用理论的历史很长，也很复杂。 強相互作用理論的歷史很長，也很複雜。 它始自 50 年代早期费米和他的同事们的工作。 它始自 50 年代早期費米和他的同事們的工作。 很快就发现了与不同的“基本”粒子及其激发态相一致的大量“共振态”。 很快就發現了與不同的“基本”粒子及其激發態相一致的大量“共振態”。 对这些粒子的衰变过程，用非常类似于原子光谱分析的方法进行了分析。 對這些粒子的衰變過程，用非常類似於原子光譜分析的方法進行了分析。 为了使衰变结构系统化，引入了一些不同于熟悉的质量、自旋、电荷等的概念，以便在目前即使其中某些物理意义尚未搞清的情况下，可通过经验选择定则来表达某些规则性。 為了使衰變結構系統化，引入了一些不同於熟悉的質量、自旋、電荷等的概念，以便在目前即使其中某些物理意義尚未搞清的情況下，可通過經驗選擇定則來表達某些規則性。 这使人联想起 20 年代早期原子光谱学中的情形，当时在 1925 年电子自旋引入之前，许多诸如 J 、 S 这样的量子数的意义也不清楚。 這使人聯想起 20 年代早期原子光譜學中的情形，當時在 1925 年電子自旋引入之前，許多諸如 J 、 S 這樣的量子數的意義也不清楚。
强相互作用中（多少经验地）引入的“量子数”是：強相互作用中（多少經驗地）引入的“量子數”是：
± Q ± Q J J I I S S Y Y B B
其中其中
Y= B+S Y= B+S
经验的“选择定则”是：經驗的“選擇定則”是：
1 ）在变换（ 衰变 ）中， 重子数不变， 1 ）在變換（ 衰變 ）中， 重子數不變，
2 ）总电荷数不变； 2 ）總電荷數不變；
3 ）奇异数 S 不变，即 3 ）奇異數 S 不變，即
4 ）从未发现违背 B 和 L 的守恒（其中 L 是轻子数）的情形。 4 ）從未發現違背 B 和 L 的守恆（其中 L 是輕子數）的情形。
这些定则与大量关于许多强子和介子的经验结果（其中有些见本章第 4 节）一起，导致盖耳－曼和奈曼分别独立建议这些粒子（或“层”）由 SU （ 3 ）群来表示。 這些定則與大量關於許多強子和介子的經驗結果（其中有些見本章第 4 節）一起，導致蓋耳－曼和奈曼分別獨立建議這些粒子（或“層”）由 SU （ 3 ）群來表示。 这些思想引导盖耳－曼和兹韦克于 1964 年分别独立地提出夸克理论，认为每个核子和介于分别由 3 个和 2 个夸克和反夸克构成。 這些思想引導蓋耳－曼和茲韋克於 1964 年分別獨立地提出夸克理論，認為每個核子和介於分別由 3 個和 2 個夸克和反夸克構成。 现行的理论中有六种“味”的夸克，每味又有三种“色”，及其反夸克，所有这些都具有自旋 1/2 和重子数 1/3 。 現行的理論中有六種“味”的夸克，每味又有三種“色”，及其反夸克，所有這些都具有自旋 1/2 和重子數 1/3 。 下页表概括了它们的性质。 下頁表概括了它們的性質。
所有的反夸克都有相同的 I ，但对重子和所有其他量子数都带有相反的符号。 所有的反夸克都有相同的 I ，但對重子和所有其他量子數都帶有相反的符號。
由此，对质子、中子、π 介子 ，我们有由此，對質子、中子、π 介子 ，我們有
关于夸克的量子理论的简略概要，请见书末附录 13 。 關於夸克的量子理論的簡略概要，請見書末附錄 13 。 强相互作用与电弱相互作用的统一，将意味着一个立足于规范群 SU （ 3 ）× SU （ 2 ）× U （ 1 ）的理论。 強相互作用與電弱相互作用的統一，將意味著一個立足於規範群 SU （ 3 ）× SU （ 2 ）× U （ 1 ）的理論。 这种相互作用的传递者是胶子，而以电弱理论作为一个部分。 這種相互作用的傳遞者是膠子，而以電弱理論作為一個部分。 这一理论尚未完成。 這一理論尚未完成。
8. 引力场 8. 引力場
关于引力波存在的证据已由韦伯报告过，但迄今还是非结论性的。 關於引力波存在的證據已由韋伯報告過，但迄今還是非結論性的。 所以，“引力子”目前还只是一个理论上的概念。 所以，“引力子”目前還只是一個理論上的概念。 自从爱因斯坦和韦耳时期以来，理论物理学的最终目标就是把所有已知的相互作用统一进一个单一的相互作用。 自從愛因斯坦和韋耳時期以來，理論物理學的最終目標就是把所有已知的相互作用統一進一個單一的相互作用。 近年来，有许多尝试性的理论想把引力场和其他的（电弱和强）场统一起来，“弦”和“超弦”理论在数学上是很难的（并且是猜测性的，像所有全新理论一样）。 近年來，有許多嘗試性的理論想把引力場和其他的（電弱和強）場統一起來，“弦”和“超弦”理論在數學上是很難的（並且是猜測性的，像所有全新理論一樣）。 评述这些尝试已非本书的范围所能及。 評述這些嘗試已非本書的範圍所能及。 关于对称性和场的进一步论述，请见书末的附录 13 。 關於對稱性和場的進一步論述，請見書末的附錄 13 。
参考文献參考文獻
T ． T ． Y ． Y ． WuandPauchyW ． WuandPauchyW ． Y ． Y ． Huang ， RelativisticQuantumMechanics and Quantum Fields ， WorldScientificPubl ． Huang ， RelativisticQuantumMechanics and Quantum Fields ， WorldScientificPubl ． Co. ， Singapore ， 1991 Co. ， Singapore ， 1991
（经典场论，量子场论，量子电动力学，标准模型 , 阿哈罗诺夫 - 玻姆理论） （經典場論，量子場論，量子電動力學，標準模型 , 阿哈羅諾夫 - 玻姆理論）
W ． W ． Pauli ， Pauli ，
A.Pais ， A.Pais ，
（卡鲁查和克莱因的统一场论) （卡魯查和克萊因的統一場論)
在經典物理學中，“粒子”和“場”是兩個不同的概念；它們涉及不同的現象，並分別用於描述分立性和連續性。 一个系统可能包含巨大数量的粒子，例如气体中的分子，但只要它们是可数的，基本理论就是经典力学 。一個系統可能包含巨大數量的粒子，例如氣體中的分子，但只要它們是可數的，基本理論就是經典力學 。 但如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度 ，则基本理论就是所谓的场论①。但如果一個系統的變量是不可數的，如電場強度 ，則基本理論就是所謂的場論①。
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113年5月9日 星期四
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经典场论和量子场论 經典場論和量子場論
吴大猷 吳大猷
1. 量子力学中的场 1. 量子力學中的場 经典物理学中，我们所熟悉的两种场是电磁场和引力场。經典物理學中，我們所熟悉的兩種場是電磁場和引力場。
在经典理论中，直接可测量的量是力，例如作用于一个粒子或物体或电荷上的力。 在經典理論中，直接可測量的量是力，例如作用於一個粒子或物體或電荷上的力。 因此即使当“势”的概念被引入引力场和电磁场时，出现于运动方程或麦克斯韦场方程中的也只是它们的微商。 因此即使當“勢”的概念被引入引力場和電磁場時，出現於運動方程或麥克斯韋場方程中的也只是它們的微商。 一个场的“势”，在引力场中仅被定义为一个常数，在电磁场 A 、中则为一规范变换。 一個場的“勢”，在引力場中僅被定義為一個常數，在電磁場 A 、中則為一規範變換。
在量子力学中，直接出现于波动方程中的是“势”而不是“力”。在量子力學中，直接出現於波動方程中的是“勢”而不是“力”。 因此一个粒子的薛定谔方程是因此一個粒子的薛定諤方程是
而电磁场中一个电子的狄拉克方程是而電磁場中一個電子的狄拉克方程是
式中出现的是势 V 、 A 、Ψ而不是力。 式中出現的是勢 V 、 A 、Ψ而不是力。
重要的问题是：势是否有可观察的效应？重要的問題是：勢是否有可觀察的效應？
（ 1 ）不可积的相 （ 1 ）不可積的相
容易看出，一个自由电子的波函数Ψ 0 满足 容易看出，一個自由電子的波函數Ψ 0 滿足
它与（ 1 ）式中波函数Ψ之不同在于位相 它與（ 1 ）式中波函數Ψ之不同在於位相 （ 2 ）可积的相 （ 2 ）可積的相 如果方程（ 1 ）中的（ A ，Ψ）经过规范变换 如果方程（ 1 ）中的（ A ，Ψ）經過規範變換
其中其中
□χ =0 ，χ为一标量函数 □χ =0 ，χ為一標量函數
容易得出方程（ 1 ）变为 容易得出方程（ 1 ）變為 其中其中
为可积的。為可積的。 ） ）
（ 3 ）阿哈罗诺夫－玻姆实验阿 （ 3 ）阿哈羅諾夫－玻姆實驗阿
哈罗诺夫－玻姆（ 1959 年）提出由下述实验来探测位相（ 3 ）的效应。 哈羅諾夫－玻姆（ 1959 年）提出由下述實驗來探測位相（ 3 ）的效應。 取一细长的螺线管 （垂直于纸平面），让一束电子在点 A 处被分为纸平面中环绕螺线管的两个半圆 C 1 、 C 2 ，并于 B 点重新汇合起来。 取一細長的螺線管 （垂直於紙平面），讓一束電子在點 A 處被分為紙平面中環繞螺線管的兩個半圓 C 1 、 C 2 ，並於 B 點重新匯合起來。 除了螺线管内部以外，磁场 H 处处为零。 除了螺線管內部以外，磁場 H 處處為零。 因为 A μ dx μ 是洛伦兹不变量， 因為 A μ dx μ 是洛倫茲不變量，
。 。 B 点处两束电子的相差为 B 點處兩束電子的相差為
其中σ为被两束电子圈起的面。 其中σ為被兩束電子圈起的面。 由这种相差引起的干涉效应已为钱伯斯（ 1960 年）所观察到。 由這種相差引起的干涉效應已為錢伯斯（ 1960 年）所觀察到。
这个实验非常重要：①在量子力学中，势 A 产生了一个可观察效应（尽管与规范变换相联系的势将不具有这一阿哈罗诺夫－玻姆效应）；② 螺线管场的存在好像改变了空间的（拓扑）性质－－它不再简单地像在没有 A 场时那样连接了。 這個實驗非常重要：①在量子力學中，勢 A 產生了一個可觀察效應（儘管與規範變換相聯繫的勢將不具有這一阿哈羅諾夫－玻姆效應）；② 螺線管場的存在好像改變了空間的（拓撲）性質－－它不再簡單地像在沒有 A 場時那樣連接了。
这里可以提一下，另一个磁场影响波长的位相的例子，是狄拉克的磁单极理论（ 1931 年）。 這裡可以提一下，另一個磁場影響波長的位相的例子，是狄拉克的磁單極理論（ 1931 年）。
2. 统一场：引力场和电磁场 2. 統一場：引力場和電磁場
正如我们所已经知道的，最简单的两种场统一的例子是电场和磁场的正如我們所已經知道的，最簡單的兩種場統一的例子是電場和磁場的
一。 一。 这种统一的取得是通过引入一个四维矢量 （ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 = 這種統一的取得是通過引入一個四維矢量 （ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 =
其分量给出了两个三维矢量 E ， B 的 6 个分量。 其分量給出了兩個三維矢量 E ， B 的 6 個分量。 在这个例子中，闵可夫斯基四维空间是平直的，即电磁场不影响自由场空间的度规。 在這個例子中，閔可夫斯基四維空間是平直的，即電磁場不影響自由場空間的度規。 这一统一不仅“令人愉悦”，而且也是狭义相对论理论的必要成分。 這一統一不僅“令人愉悅”，而且也是狹義相對論理論的必要成分。
在爱因斯坦的引力理论中，牛顿的万有引力 “作用”被看作是四维空间的内禀性质，即“引力”是植根于时空结构的度规性质中的。 在愛因斯坦的引力理論中，牛頓的萬有引力 “作用”被看作是四維空間的內禀性質，即“引力”是植根於時空結構的度規性質中的。 这可以与电磁相互作用作一对照。 這可以與電磁相互作用作一對照。 在他完成引力理论（ 1916 年）后不久，爱因斯坦就开始考虑电磁场和引力场的统一。 在他完成引力理論（ 1916 年）後不久，愛因斯坦就開始考慮電磁場和引力場的統一。 从上所述，我们可以看出这一问题的困难性质。 從上所述，我們可以看出這一問題的困難性質。 爱因斯坦后来在这个问题上花费了大量精力。 愛因斯坦後來在這個問題上花費了大量精力。
关于这种统一的第一个理论，是由数学家 T ． 關於這種統一的第一個理論，是由數學家 T ． 卡鲁查发表的；他的手稿于 1919 年（？）交给爱因斯坦，并由爱因斯坦于 1921 年送去发表。 卡魯查發表的；他的手稿於 1919 年（？）交給愛因斯坦，並由愛因斯坦於 1921 年送去發表。 卡鲁查提出了一个五维世界，具有度规 卡魯查提出了一個五維世界，具有度規
d σ 2 =g αβ dx α dx β ，α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 d σ 2 =g αβ dx α dx β ，α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5
其中 g αβ 被假设具有简单的形式 其中 g αβ 被假設具有簡單的形式 A 1 A 1 g 11 g 11 g 12 g 12 g 13 g 13 g 14 g 14
g αβ =A 2 g αβ =A 2 g 21 g 21 g 22 g 22 g 23 g 23 g 24 g 24
A 3 A 3 g 31 g 31 g 32 g 32 g 33 g 33 g 34 g 34
A 4 A 4 g 41 g 41 g 42 g 42 g 43 g 43 g 44 g 44
其中（ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ）是电磁场的四维矢势，而 g μν （μ，ν =1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是（爱因斯坦理论中的）四维（黎曼）空间的度规张量分量。 其中（ A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ）是電磁場的四維矢勢，而 g μν （μ，ν =1 ， 2 ， 3 ， 4 ）是（愛因斯坦理論中的）四維（黎曼）空間的度規張量分量。 所有 g αβ 都假定分别为 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的函数。 所有 g αβ 都假定分別為 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 的函數。 场方程（通过扩展爱因斯坦理论）假定为 場方程（通過擴展愛因斯坦理論）假定為
其中 R αβ 是（收缩后的）黎曼张量， T αβ 是排除了纯电磁学部分的能量－动量张量。 其中 R αβ 是（收縮後的）黎曼張量， T αβ 是排除了純電磁學部分的能量－動量張量。 通过对一质量为 m 、电荷为 e 的单个粒子的情况作特殊简化， 通過對一質量為 m 、電荷為 e 的單個粒子的情況作特殊簡化，
于是对α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ，人们得到引力场方程；对α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，人们得到麦克斯韦方程；此时人们须确定μ 5 =e/m 。 於是對α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ，人們得到引力場方程；對α，β =1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，人們得到麥克斯韋方程；此時人們須確定μ 5 =e/ m 。 m μ α 是五维动量－能量－电荷矢量 。 m μ α 是五維動量－能量－電荷矢量 。
五维理论是有趣的，但结果多少来自对 g αβ 构造的不同假定。 五維理論是有趣的，但結果多少來自對 g αβ 構造的不同假定。 爱因斯坦于 1923 年致力于继续研究这一理论，但在 1926 年， O ． 愛因斯坦於 1923 年致力於繼續研究這一理論，但在 1926 年， O ． 克莱因发展了卡鲁查的理论，并把新发展起来的量子力学结合进来。 克萊因發展了卡魯查的理論，並把新發展起來的量子力學結合進來。 爱因斯坦于 1929 年与爱丁顿一起致力于五维理论；于 1930 年至 1932 年间与 W ． 愛因斯坦於 1929 年與愛丁頓一起致力於五維理論；於 1930 年至 1932 年間與 W ． 迈耶尔致力于它；于 1938 － 1941 年间又与 P. 柏格曼和 V. 柏格曼致力于它。 邁耶爾致力於它；於 1938 － 1941 年間又與 P. 柏格曼和 V. 柏格曼致力於它。 此后不久，他放弃了这条研究途径。 此後不久，他放棄了這條研究途徑。
由克莱因的工作和以后的发展，人们认识到把量子力学原理与五维理论联系起来，只会使电磁场和引力场的统一更加复杂化。 由克萊因的工作和以後的發展，人們認識到把量子力學原理與五維理論聯繫起來，只會使電磁場和引力場的統一更加複雜化。 看起来广义相对论与量子力学的结合是没有希望的（泡利， 1955 年）。 看起來廣義相對論與量子力學的結合是沒有希望的（泡利， 1955 年）。 场理论在爱因斯坦的意义上是决定论的，因而不能以一种根本的方式与其基础为不确定性原理的量子力学相混合。 場理論在愛因斯坦的意義上是決定論的，因而不能以一種根本的方式與其基礎為不確定性原理的量子力學相混合。 近年来，统一引力场和其他已知场（电弱的和强的）的尝试采取了新的方向（见下面第 7 节）。 近年來，統一引力場和其他已知場（電弱的和強的）的嘗試採取了新的方向（見下面第 7 節）。
3. 经典场 3. 經典場
在经典物理学中，“粒子”和“场”是两个不同的概念；它们涉及不同的现象，并分别用于描述分立性和连续性。在經典物理學中，“粒子”和“場”是兩個不同的概念；它們涉及不同的現象，並分別用於描述分立性和連續性。 一个系统可能包含巨大数量的粒子，例如气体中的分子，但只要它们是可数的，基本理论就是经典力学 。一個系統可能包含巨大數量的粒子，例如氣體中的分子，但只要它們是可數的，基本理論就是經典力學 。 但如果一个系统的变量是不可数的，如电场强度 ，则基本理论就是所谓的场论①。但如果一個系統的變量是不可數的，如電場強度 ，則基本理論就是所謂的場論①。
在经典场论，例如电磁场中，定律通常以偏微分方程表示，这些方程为从拉格朗日密度得出的哈密顿方程，且皆为相对论性协变形式。在經典場論，例如電磁場中，定律通常以偏微分方程表示，這些方程為從拉格朗日密度得出的哈密頓方程，且皆為相對論性協變形式。
但自爱因斯坦 1905 年的辐射量子论始，诸如光电效应和康普顿效应等直接实验对电磁辐射的粒子性质给出了有力的证据。 但自愛因斯坦 1905 年的輻射量子論始，諸如光電效應和康普頓效應等直接實驗對電磁輻射的粒子性質給出了有力的證據。 这引导我们去寻求一种数学理论以描述连续场的量子性质－－类似于量子力学中原子和分子现象的量子化。 這引導我們去尋求一種數學理論以描述連續場的量子性質－－類似於量子力學中原子和分子現象的量子化。 把量子力学拓展到场的量子化性质，这个理论就称作量子场论。 把量子力學拓展到場的量子化性質，這個理論就稱作量子場論。
粒子动力学的“量子化”数学方法由为索末菲和威尔逊所普遍化的玻尔量子条件开始，粒子動力學的“量子化”數學方法由為索末菲和威爾遜所普遍化的玻爾量子條件開始，
这个条件是一开始引导玻恩和海森伯在他们的矩阵力学中假定对易关系這個條件是一開始引導玻恩和海森伯在他們的矩陣力學中假定對易關係 的线索。的線索。
我们已经看到，这个关系如何与量子力学中的概率公设一起，成功地处理了经典物理学中所描述的“粒子”和“波”，并导出爱因斯坦－ 德布罗意关系式我們已經看到，這個關係如何與量子力學中的概率公設一起，成功地處理了經典物理學中所描述的“粒子”和“波”，並導出愛因斯坦－ 德布羅意關係式
现在，我们希望从粒子回到老问题－－ 电磁场的量子理论 ，以把粒子动力学（坐标和动量、角动量和能量）的量子化方法扩展到连续场。現在，我們希望從粒子回到老問題－－ 電磁場的量子理論 ，以把粒子動力學（坐標和動量、角動量和能量）的量子化方法擴展到連續場。
这种方法由下述程序组成：這種方法由下述程序組成：
（ 1 ）以经典动力学的哈密顿方程形式中的四维势，来表示电磁场规律，即麦克斯韦的场方程组。 （ 1 ）以經典動力學的哈密頓方程形式中的四維勢，來表示電磁場規律，即麥克斯韋的場方程組。
（ 2 ）定义场变量（“坐标”，例如四维势及其正则共轭）。 （ 2 ）定義場變量（“坐標”，例如四維勢及其正則共軛）。
（ 3 ）通过类似于上述对易关系的关系使场变量量子化。 （ 3 ）通過類似於上述對易關係的關係使場變量量子化。
这种程序当用之于所谓“自由场”（例如不受电荷密度ρ和电流密度 J 影响的电磁场 ）时，能够很容易地实行，并且事实上量子化场由光子表述。 這種程序當用之於所謂“自由場”（例如不受電荷密度ρ和電流密度 J 影響的電磁場 ）時，能夠很容易地實行，並且事實上量子化場由光子表述。 这一理论首先由狄拉克于 1927 年提出。 這一理論首先由狄拉克於 1927 年提出。
具有四维势的电磁场并非最简单的经典场。具有四維勢的電磁場並非最簡單的經典場。 如果我们把克莱因－高登方程如果我們把克萊因－高登方程
看作一经典标量ψ场的方程，则量子化过程甚至更为简单。 看作一經典標量ψ場的方程，則量子化過程甚至更為簡單。 量子化场也适用于描述π 介子 （π 0 ，π 1 ，π 2 ）。 量子化場也適用於描述π 介子 （π 0 ，π 1 ，π 2 ）。
4. 量子化场 4. 量子化場
我们已经看到，由法拉第引入、麦克斯韦发展的电磁场的概念－－尤其是连续统的概念－－首先被电磁现象的整个波谱所确立，尔后又发现了其他一些现象，这就迫使物理学家引进量子概念，这是一个关于离散的概念。 我們已經看到，由法拉第引入、麥克斯韋發展的電磁場的概念－－尤其是連續統的概念－－首先被電磁現象的整個波譜所確立，爾後又發現了其他一些現象，這就迫使物理學家引進量子概念，這是一個關於離散的概念。 这个二象性的两难推论，在概念方面，在哥本哈根学派的实证哲学中是用“互补原理”来“解决”的。 這個二象性的兩難推論，在概念方面，在哥本哈根學派的實證哲學中是用“互補原理”來“解決”的。 在数学方面，这个二象性是用“量子化场”的形式体系描述的，在“量子化场”中，具有能量和动量这些粒子属性的光子乃是使电磁场 “量子化”的结果，而荷电的粒子（电子）则是使由粒子的波函数所描述的“场”量子化的结果。 在數學方面，這個二象性是用“量子化場”的形式體系描述的，在“量子化場”中，具有能量和動量這些粒子屬性的光子乃是使電磁場 “量子化”的結果，而荷電的粒子（電子）則是使由粒子的波函數所描述的“場”量子化的結果。 电荷之间的相互作用，是通过它们与电磁场的相互作用进行的（电荷本身是电磁场之“源”）。 電荷之間的相互作用，是通過它們與電磁場的相互作用進行的（電荷本身是電磁場之“源”）。 法拉第最初的这种观念，现在被翻译成为相互作用场－－电子场和电磁场 －－的量子理论语言了。 法拉第最初的這種觀念，現在被翻譯成為相互作用場－－電子場和電磁場 －－的量子理論語言了。 相互作用场的数学理论成为量子电动力学的主题。 相互作用場的數學理論成為量子電動力學的主題。 这个理论的发展自 1930 年代以来使许多大物理学家为之忙碌。 這個理論的發展自 1930 年代以來使許多大物理學家為之忙碌。 这些大物理学家中， 30 年代有海森伯、泡利、狄拉克、费米； 40 年代后期有朝永振一郎、施温格和费因曼。 這些大物理學家中， 30 年代有海森伯、泡利、狄拉克、費米； 40 年代後期有朝永振一郎、施溫格和費因曼。 这种相互作用场理论的数学结构有着许多非常基本的困难－－在理论中出现无穷大问题难以消除。 這種相互作用場理論的數學結構有著許多非常基本的困難－－在理論中出現無窮大問題難以消除。 这个理论决非一个单纯的形式结构；它导致了电子的所谓兰姆移位和 g 值（磁矩与角动量之比），它是由兰姆、 卢瑟福和库什在实验中发现的。 這個理論決非一個單純的形式結構；它導致了電子的所謂蘭姆移位和 g 值（磁矩與角動量之比），它是由蘭姆、 盧瑟福和庫什在實驗中發現的。
量子化场的概念，首先是从电磁场和电子场（狄拉克场）发展起来的，接着由汤川秀树卓有成效地于 1935 年应用于一种当时还未知的场，如今我们称它为介子场，它与核子（质子与中子）的耦合可以说明核子间的强相互作用。 量子化場的概念，首先是從電磁場和電子場（狄拉克場）發展起來的，接著由湯川秀樹卓有成效地於 1935 年應用於一種當時還未知的場，如今我們稱它為介子場，它與核子（質子與中子）的耦合可以說明核子間的強相互作用。 介子场的量子化“粒子”后来在宇宙射线中找到，接着又在实验室的高能加速器中发现，例如π 介子 。 介子場的量子化“粒子”後來在宇宙射線中找到，接著又在實驗室的高能加速器中發現，例如π 介子 。
法拉第的同一个基本思想，即粒子通过与一个场的相互作用而形成粒子间的相互作用，也被费米于 1933 ～ 1934 年应用到电子－中微子场，以说明另一种相互作用－－所谓的弱相互作用－－它们支配诸如原子核的β衰变和介子的π - μ 衰变 。 法拉第的同一個基本思想，即粒子通過與一個場的相互作用而形成粒子間的相互作用，也被費米於 1933 ～ 1934 年應用到電子－中微子場，以說明另一種相互作用－ －所謂的弱相互作用－－它們支配諸如原子核的β衰變和介子的π - μ 衰變 。
下表列出各种已知场及其所起作用的相似性。下表列出各種已知場及其所起作用的相似性。
在基础物理学发展的目前阶段，对于自然界中所有各种相互作用的统一性还远未得到完备的理解，不过，它们之间在定性的相似性上已有明显的统一。在基礎物理學發展的目前階段，對於自然界中所有各種相互作用的統一性還遠未得到完備的理解，不過，它們之間在定性的相似性上已有明顯的統一。 物理学中真正的基本问题之一，就是这些相互作用的本质问题。物理學中真正的基本問題之一，就是這些相互作用的本質問題。
1928 年，狄拉克建立了电子的相对论性波动方程。 1928 年，狄拉克建立了電子的相對論性波動方程。 它取得了下述成功：它的形式是洛伦兹不变的；它以回磁比 g=2 包含电子自旋；它预言了反粒子正电子的存在，并于 1932 年为安德森在实验中发现；它给出了氢原子能级的正确的精细结构。 它取得了下述成功：它的形式是洛倫茲不變的；它以回磁比 g=2 包含電子自旋；它預言了反粒子正電子的存在，並於 1932 年為安德森在實驗中發現；它給出了氫原子能級的正確的精細結構。 狄拉克方程也有一些“困难”。 狄拉克方程也有一些“困難”。 其一是把这一为单一电子建立的理论推广到一个多电子系统。 其一是把這一為單一電子建立的理論推廣到一個多電子系統。 另一困难则更为基本，即着手于描述单一电子的理论结果却由于为说明处于负能态的无限电子海而不可避免地具有多体效应。 另一困難則更為基本，即著手於描述單一電子的理論結果卻由於為說明處於負能態的無限電子海而不可避免地具有多體效應。 在一个强场中，一个电子不再孤立存在，而是一个包含无穷多（并且其数目非不变的）电子和正 在一個強場中，一個電子不再孤立存在，而是一個包含無窮多（並且其數目非不變的）電子和正
子中的电子的例子中已有所提示，当 Z=137 时，通常的能级理论遭破坏。 子中的電子的例子中已有所提示，當 Z=137 時，通常的能級理論遭破壞。 因此，严格说来，单一电子理论仅在自由电子的极限情形中有效，并且必然为“多电子”理论所取代。 因此，嚴格說來，單一電子理論僅在自由電子的極限情形中有效，並且必然為“多電子”理論所取代。
眼下，一个数目无限大并且可变的“粒子”系统的适当表述是“场”－－正像“光子”表述的是电磁场 。眼下，一個數目無限大並且可變的“粒子”系統的適當表述是“場”－－正像“光子”表述的是電磁場 。 由此我们可以说，从粒子的观点出发，人们寻求一种满足相对性原理的粒子理论，结果发现合适的理论为一多体理论，而多体系统的适当表述是“场”。由此我們可以說，從粒子的觀點出發，人們尋求一種滿足相對性原理的粒子理論，結果發現合適的理論為一多體理論，而多體系統的適當表述是“場”。
这样，问题就在于构造一多电子场论。這樣，問題就在於構造一多電子場論。 人们可以从一自由电子的狄拉克方程出发人們可以從一自由電子的狄拉克方程出發
并把它看做一经典场Ψ（在此情形中为一四分量场）的方程。 並把它看做一經典場Ψ（在此情形中為一四分量場）的方程。 然后把Ψ μ 看作场变量（类似于电磁场中的四维势 A Ψ）及其正则共轭。 然後把Ψ μ 看作場變量（類似於電磁場中的四維勢 A Ψ）及其正則共軛。 再以对易关系形式引入量子化条件，如所期望的，人们可得到电子作为量子化场的粒子。 再以對易關係形式引入量子化條件，如所期望的，人們可得到電子作為量子化場的粒子。 这样一种量子化程序被称为“二次量子化”。 這樣一種量子化程序被稱為“二次量子化”。 量子化的ψ拥有波动和粒子两种性质－－正如量子化的电磁场拥有光子和波动性质一样。 量子化的ψ擁有波動和粒子兩種性質－－正如量子化的電磁場擁有光子和波動性質一樣。
纯电子场的量子理论不存在困难，但对电子加上电磁场的耦合系统，一种相对论性量子理论 （即量子电动力学）则存在严重的根深蒂固的困难，即物理量计算结果中顽固的无穷大问题。純電子場的量子理論不存在困難，但對電子加上電磁場的耦合系統，一種相對論性量子理論 （即量子電動力學）則存在嚴重的根深蒂固的困難，即物理量計算結果中頑固的無窮大問題。
紧随狄拉克 1927 年的量子化电磁场论而来的，有约旦和维格纳、海森伯和泡利以及费米（ 1930 年）等人的工作。 緊隨狄拉克 1927 年的量子化電磁場論而來的，有約旦和維格納、海森伯和泡利以及費米（ 1930 年）等人的工作。 但直到 40 年代中叶，随着日本的朝永振一郎和美国的施温格、费因曼和戴森等人的工作，才取得突破性进展。 但直到 40 年代中葉，隨著日本的朝永振一郎和美國的施溫格、費因曼和戴森等人的工作，才取得突破性進展。 尽管无穷大依然存在，但这种理论以一种确定的、协变的方式成功地“消减”它们，从而可得出有限的结果，并与观察到的兰姆移位和“反常磁矩 g ”〔 g=2 （ 1+ α／ 2 π + …），α =1 ／ 137 〕精确地一致。 儘管無窮大依然存在，但這種理論以一種確定的、協變的方式成功地“消減”它們，從而可得出有限的結果，並與觀察到的蘭姆移位和“反常磁矩 g ” 〔 g=2 （ 1+ α／ 2 π + …），α =1 ／ 137 〕精確地一致。 从 40 年代中叶到 50 年代中叶的 10 年，是热衷于量子电动力学研究的时期，既进一步分析这一“重整化”理论，也致力于使理论摆脱无穷大（即不仅仅分离和掩盖它们）。 從 40 年代中葉到 50 年代中葉的 10 年，是熱衷於量子電動力學研究的時期，既進一步分析這一“重整化”理論，也致力於使理論擺脫無窮大（即不僅僅分離和掩蓋它們） 。 但是，迄今仍未找到一种令人满意的解决问题的办法①，而同时，物理学家已把他们的兴趣转向其他领域－－ 基本粒子及其相互作用和它们的统一。 但是，迄今仍未找到一種令人滿意的解決問題的辦法①，而同時，物理學家已把他們的興趣轉向其他領域－－ 基本粒子及其相互作用和它們的統一。
5. 粒子和相互作用 5. 粒子和相互作用
1935 年，汤川秀树提出了关于两个核子间的“强”相互作用的介子理论。 1935 年，湯川秀樹提出了關於兩個核子間的“強”相互作用的介子理論。 介子 （π 介子 ）的波动方程（取为克莱因－高登方程）给出了介子场，经量子化导出了π 介子 。 介子 （π 介子 ）的波動方程（取為克萊因－高登方程）給出了介子場，經量子化導出了π 介子 。
30 年代早期，泡利提出了中微子假设，费米则对作为“弱相互作用”典型的β衰变提出了中微子理论。 30 年代早期，泡利提出了中微子假設，費米則對作為“弱相互作用”典型的β衰變提出了中微子理論。 1932 年，查德威克发现了中子，而在 30 年代后期，实验研究证明了核子－核子相互作用与电荷无关。 1932 年，查德威克發現了中子，而在 30 年代後期，實驗研究 證明了核子－核子相互作用與電荷無關。 1946 － 1947 年间π 介子的发现证实了汤川秀树的“强相互作用”。 1946 － 1947 年間π 介子的發現證實了湯川秀樹的“強相互作用”。 到 50 年代前期，在自然界中已知有四种相互作用，按强度顺序依次排列，即 到 50 年代前期，在自然界中已知有四種相互作用，按強度順序依次排列，即
（ 1 ）核子间的强相互作用，强度级为 1 ， （ 1 ）核子間的強相互作用，強度級為 1 ，
（ 2 ）电磁相互作用，强度级为 10 -2 ， （ 2 ）電磁相互作用，強度級為 10 -2 ，
（ 3 ） β衰变 、π～μ 衰变中的弱相互作用，强度级为 10 -12 ， （ 3 ） β衰變 、π～μ 衰變中的弱相互作用，強度級為 10 -12 ，
（ 4 ）引力相互作用，强度级为 10 -29 。 （ 4 ）引力相互作用，強度級為 10 -29 。
到 60 年代，随着高能加速器的发展而开展的实验研究和理论工作，已导致了许多粒子、包括中微子（电子中微子和μ子中微子）、 介子和超子的发现。 到 60 年代，隨著高能加速器的發展而開展的實驗研究 和理論工作，已導致了許多粒子、包括中微子（電子中微子和μ子中微子）、 介子和超子的發現。 到 80 年代，已知上百种粒子： 到 80 年代，已知上百種粒子：
轻子 ：电子，μ子，τ 轻子 ，与之相应的中微子； 輕子 ：電子，μ子，τ 輕子 ，與之相應的中微子；
重子 ：核子，Λ，Σ + ，Σ 0 ，Σ － ，Ξ － ，Ξ 0 ，Ω － ，△ － ，△ 0 ，△ + ，△ ++ ，Λ c ，Λ b ； 重子 ：核子，Λ，Σ + ，Σ 0 ，Σ － ，Ξ － ，Ξ 0 ，Ω － ，△ － ，△ 0 ，△ + ，△ ++ ，Λ c ，Λ b ；
介子 ：π ± ，π 0 ， K ± ， K 0 ，η，η＇，ρ ± ，ρ c ， J ／ψ，Υ族； 介子 ：π ± ，π 0 ， K ± ， K 0 ，η，η＇，ρ ± ，ρ c ， J ／ψ，Υ族；
夸克： u ， d ， c ， s ；（ t ）， b ，每种味有三种可能的色（红、黄、蓝）。 夸克： u ， d ， c ， s ；（ t ）， b ，每種味有三種可能的色（紅、黃、藍）。
尚未发现孤立形式中的这些夸克，但有很强的证据说它们是构成重子和介子的“基本”粒子。 尚未發現孤立形式中的這些夸克，但有很強的證據說它們是構成重子和介子的“基本”粒子。 例如，质子由（ u ， u ， d ）组成，中子由（ u ， 例如，質子由（ u ， u ， d ）組成，中子由（ u ，
这些粒子及其“量子数”（例如重子或轻子数，电荷，自旋 J ，同位旋 I 、 I 3 ，超荷 Y ，奇异数 S ，粲数 C 等等）是如此数目众多，我们不想在这里解释它们的意义。 這些粒子及其“量子數”（例如重子或輕子數，電荷，自旋 J ，同位旋 I 、 I 3 ，超荷 Y ，奇異數 S ，粲數 C 等等）是如此數目眾多，我們不想在這裡解釋它們的意義。 我们的所有兴趣在于理解不同的相互作用，以及统一这些相互作用的可能性。 我們的所有興趣在於理解不同的相互作用，以及統一這些相互作用的可能性。 这里的统一，与爱因斯坦试图统一电磁与引力相互作用中的意义相同。 這裡的統一，與愛因斯坦試圖統一電磁與引力相互作用中的意義相同。
6. 统一场：电磁与弱相互作用 6. 統一場：電磁與弱相互作用
在上一节里，我们已经认识了四种相互作用。在上一節裡，我們已經認識了四種相互作用。 我们现在的兴趣是探讨它们是否能统一起来。我們現在的興趣是探討它們是否能統一起來。 为此目的，相互作用（场）的规范变换的对称群将作为指导性原理。為此目的，相互作用（場）的規範變換的對稱群將作為指導性原理。
在第六章第 7 节中，我们已知电磁场和狄拉克方程在规范变换（现在是四维表示法） 在第六章第 7 節中，我們已知電磁場和狄拉克方程在規範變換（現在是四維表示法）
下是不变的。 下是不變的。 这些变换形成局部规范群 U （ 1 ），（由ψ到ψ＇的变换矩阵为 1 × 1 幺正矩阵）。 這些變換形成局部規範群 U （ 1 ），（由ψ到ψ＇的變換矩陣為 1 × 1 么正矩陣）。
由β衰变由β衰變
所代表的弱相互作用涉及一个由 2 × 2 幺正矩阵表示的同位旋空间的变换，这一变换属于规范群 SU （ 2 ）（二维幺正单模群）。 所代表的弱相互作用涉及一個由 2 × 2 么正矩陣表示的同位旋空間的變換，這一變換屬於規範群 SU （ 2 ）（二維么正單模群）。
电磁相互作用与弱相互作用的统一，由温伯格、萨拉姆和格拉肖于 60 年代的研究所取得。 電磁相互作用與弱相互作用的統一，由溫伯格、薩拉姆和格拉肖於 60 年代的研究所取得。 两种相互作用统一为一种现在称之为“电弱”的相互作用，它属于对称性 SU （ 2 ）× U （ 1 ）。 兩種相互作用統一為一種現在稱之為“電弱”的相互作用，它屬於對稱性 SU （ 2 ）× U （ 1 ）。 电弱相互作用的传递者为中间玻色子 W + 、 W － 、 Z 0 和γ（γ是仅有电磁相互作用时的光子）。 電弱相互作用的傳遞者為中間玻色子 W + 、 W － 、 Z 0 和γ（γ是僅有電磁相互作用時的光子）。 W ± 和 Z 0 的质量分别约为 82GeV 和 94GeV 。 W ± 和 Z 0 的質量分別約為 82GeV 和 94GeV 。
这一理论的成功确实是令人惊异的①。這一理論的成功確實是令人驚異的①。
7. 强相互作用 7. 強相互作用
强相互作用理论的历史很长，也很复杂。 強相互作用理論的歷史很長，也很複雜。 它始自 50 年代早期费米和他的同事们的工作。 它始自 50 年代早期費米和他的同事們的工作。 很快就发现了与不同的“基本”粒子及其激发态相一致的大量“共振态”。 很快就發現了與不同的“基本”粒子及其激發態相一致的大量“共振態”。 对这些粒子的衰变过程，用非常类似于原子光谱分析的方法进行了分析。 對這些粒子的衰變過程，用非常類似於原子光譜分析的方法進行了分析。 为了使衰变结构系统化，引入了一些不同于熟悉的质量、自旋、电荷等的概念，以便在目前即使其中某些物理意义尚未搞清的情况下，可通过经验选择定则来表达某些规则性。 為了使衰變結構系統化，引入了一些不同於熟悉的質量、自旋、電荷等的概念，以便在目前即使其中某些物理意義尚未搞清的情況下，可通過經驗選擇定則來表達某些規則性。 这使人联想起 20 年代早期原子光谱学中的情形，当时在 1925 年电子自旋引入之前，许多诸如 J 、 S 这样的量子数的意义也不清楚。 這使人聯想起 20 年代早期原子光譜學中的情形，當時在 1925 年電子自旋引入之前，許多諸如 J 、 S 這樣的量子數的意義也不清楚。
强相互作用中（多少经验地）引入的“量子数”是：強相互作用中（多少經驗地）引入的“量子數”是：
± Q ± Q J J I I S S Y Y B B
Y= B+S Y= B+S
经验的“选择定则”是：經驗的“選擇定則”是：
1 ）在变换（ 衰变 ）中， 重子数不变， 1 ）在變換（ 衰變 ）中， 重子數不變，
△ B=0 △ B=0
表示“重粒子守恒”；表示“重粒子守恆”； 2 ）总电荷数不变； 2 ）總電荷數不變；
3 ）奇异数 S 不变，即 3 ）奇異數 S 不變，即
△ S=0 △ S=0
这一定则有时被破坏，例如在下述情况下：這一定則有時被破壞，例如在下述情況下：
Λ→ p + + π － ，△ S= （－ 1 ）－（ 0 ） = － 1 Λ→ p + + π － ，△ S= （－ 1 ）－（ 0 ） = － 1
Σ + → p + + π 0 △ S=-1 Σ + → p + + π 0 △ S=-1
但这些（违背定则的）过程非常慢，这些转变中的Λ、Σ + 、Σ 0 的寿命约为 10 -10 秒，相比之下，那些遵从△ S=0 的寿命约为 10 -23 秒。 但這些（違背定則的）過程非常慢，這些轉變中的Λ、Σ + 、Σ 0 的壽命約為 10 -10 秒，相比之下，那些遵從△ S=0 的壽命約為 10 -23 秒。 4 ）从未发现违背 B 和 L 的守恒（其中 L 是轻子数）的情形。 4 ）從未發現違背 B 和 L 的守恆（其中 L 是輕子數）的情形。
这些定则与大量关于许多强子和介子的经验结果（其中有些见本章第 4 节）一起，导致盖耳－曼和奈曼分别独立建议这些粒子（或“层”）由 SU （ 3 ）群来表示。 這些定則與大量關於許多強子和介子的經驗結果（其中有些見本章第 4 節）一起，導致蓋耳－曼和奈曼分別獨立建議這些粒子（或“層”）由 SU （ 3 ）群來表示。 这些思想引导盖耳－曼和兹韦克于 1964 年分别独立地提出夸克理论，认为每个核子和介于分别由 3 个和 2 个夸克和反夸克构成。 這些思想引導蓋耳－曼和茲韋克於 1964 年分別獨立地提出夸克理論，認為每個核子和介於分別由 3 個和 2 個夸克和反夸克構成。 现行的理论中有六种“味”的夸克，每味又有三种“色”，及其反夸克，所有这些都具有自旋 1/2 和重子数 1/3 。 現行的理論中有六種“味”的夸克，每味又有三種“色”，及其反夸克，所有這些都具有自旋 1/2 和重子數 1/3 。 下页表概括了它们的性质。 下頁表概括了它們的性質。
所有的反夸克都有相同的 I ，但对重子和所有其他量子数都带有相反的符号。 所有的反夸克都有相同的 I ，但對重子和所有其他量子數都帶有相反的符號。
由此，对质子、中子、π 介子 ，我们有由此，對質子、中子、π 介子 ，我們有
关于夸克的量子理论的简略概要，请见书末附录 13 。 關於夸克的量子理論的簡略概要，請見書末附錄 13 。 强相互作用与电弱相互作用的统一，将意味着一个立足于规范群 SU （ 3 ）× SU （ 2 ）× U （ 1 ）的理论。 強相互作用與電弱相互作用的統一，將意味著一個立足於規範群 SU （ 3 ）× SU （ 2 ）× U （ 1 ）的理論。 这种相互作用的传递者是胶子，而以电弱理论作为一个部分。 這種相互作用的傳遞者是膠子，而以電弱理論作為一個部分。 这一理论尚未完成。 這一理論尚未完成。
8. 引力场 8. 引力場
关于引力波存在的证据已由韦伯报告过，但迄今还是非结论性的。 關於引力波存在的證據已由韋伯報告過，但迄今還是非結論性的。 所以，“引力子”目前还只是一个理论上的概念。 所以，“引力子”目前還只是一個理論上的概念。 自从爱因斯坦和韦耳时期以来，理论物理学的最终目标就是把所有已知的相互作用统一进一个单一的相互作用。 自從愛因斯坦和韋耳時期以來，理論物理學的最終目標就是把所有已知的相互作用統一進一個單一的相互作用。 近年来，有许多尝试性的理论想把引力场和其他的（电弱和强）场统一起来，“弦”和“超弦”理论在数学上是很难的（并且是猜测性的，像所有全新理论一样）。 近年來，有許多嘗試性的理論想把引力場和其他的（電弱和強）場統一起來，“弦”和“超弦”理論在數學上是很難的（並且是猜測性的，像所有全新理論一樣）。 评述这些尝试已非本书的范围所能及。 評述這些嘗試已非本書的範圍所能及。 关于对称性和场的进一步论述，请见书末的附录 13 。 關於對稱性和場的進一步論述，請見書末的附錄 13 。
参考文献參考文獻
T ． T ． Y ． Y ． WuandPauchyW ． WuandPauchyW ． Y ． Y ． Huang ， RelativisticQuantumMechanics and Quantum Fields ， WorldScientificPubl ． Huang ， RelativisticQuantumMechanics and Quantum Fields ， WorldScientificPubl ． Co. ， Singapore ， 1991 Co. ， Singapore ， 1991
（经典场论，量子场论，量子电动力学，标准模型 , 阿哈罗诺夫 - 玻姆理论） （經典場論，量子場論，量子電動力學，標準模型 , 阿哈羅諾夫 - 玻姆理論）
W ． W ． Pauli ， Pauli ，
A.Pais ， A.Pais ，
（卡鲁查和克莱因的统一场论) （卡魯查和克萊因的統一場論)
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