【天搖。地動】
~<界-~~~天地紀>
~多體問體.天文.物理...~
天搖 地動
地動 天遙
無正無負
何順何逆
虛無飄遙
虛空成定
三界俱忘
塵俗何意
若 無他
何 有我
心動
念縈
魂印
識聯
天搖 地動
卻又何必 介意
... ...
*
天何遙 界無定
自心 不見
他心 何求
光電磁引 之界
心念魂識 之境
塵俗 對誤 莫意
... ...
*
~塵劫~:
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INDEX:
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廣義相對論
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關於本條目的避免深奧術語且更容易理解的版本，請見「廣義相對論入門」。
在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系
廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦於1916年發表的用幾何語言描述的重力理論，它代表了現代物理學中重力理論研究的最高水平。廣義相對論將古典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，並在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，重力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處於時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯繫，其聯繫方式即是愛因斯坦的重力場方程式（一個二階非線性偏微分方程式組）。
從廣義相對論得到的有關預言和古典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如重力場內的時間膨脹、光的重力紅移和重力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論並非當今描述重力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備並且自洽的量子重力理論。
愛因斯坦的廣義相對論理論在天體物理學中有著非常重要的應用：它直接推導出某些大質量恆星會終結為一個黑洞——時空中的某些區域發生極度的扭曲以至於連光都無法逸出。有證據表明恆星質量黑洞以及超大質量黑洞是某些天體例如活動星系核和微類星體發射高強度輻射的直接成因。光線在重力場中的偏折會形成重力透鏡現象，這使得人們能夠觀察到處於遙遠位置的同一個天體的多個成像。廣義相對論還預言了重力波的存在，重力波已經被間接觀測所證實，而直接觀測則是當今世界像雷射干涉重力波天文台（LIGO）這樣的重力波觀測計劃的目標。此外，廣義相對論還是現代宇宙學的膨脹宇宙模型的理論基礎。
廣義相對論
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
入門、數學形式
显示▼基礎概念
显示▼現象
显示▼方程式
显示▼進階理論
显示▼愛因斯坦場
方程式的解
显示▼科學家
查·論·編·歷
目錄
1 歷史
2 從古典力學到廣義相對論
2.1 牛頓重力的幾何學
2.2 相對論的概括
2.3 愛因斯坦方程式
3 定義和基礎應用
3.1 定義和基本性質
3.2 物理模型的建立
4 愛因斯坦理論的後續
4.1 重力時間膨脹和重力紅移
4.2 光線偏折和重力時間延遲
4.3 重力波
4.4 軌道效應
4.4.1 近星點的進動
4.4.2 軌道衰減
4.5 測地線效應和參考系拖拽
5 天體物理學上的應用
5.1 重力透鏡
5.2 重力波天文學
5.3 黑洞和其它緻密星體
5.4 宇宙學
6 進階概念
6.1 因果結構和全局幾何
6.2 視界
6.3 奇異點
6.4 演化方程式
6.5 全局和准局部量
7 和量子理論的關係
7.1 彎曲時空中的量子場論
7.2 量子重力
8 當前進展
9 注釋
10 參考文獻
11 外部連結
歷史
愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿扉頁
1905年愛因斯坦發表狹義相對論後，他開始著眼於如何將重力納入狹義相對論框架的思考。以一個處在自由落體狀態的觀察者的理想實驗為出發點，他從1907年開始了長達八年的對重力的相對性理論的探索。在歷經多次彎路和錯誤之後，他於1915年11月在普魯士科學院上作了發言，其內容正是著名的愛因斯坦重力場方程式。這個方程式描述了處於時空中的物質是如何影響其周圍的時空幾何，並成為了愛因斯坦的廣義相對論的核心[1]。
愛因斯坦的重力場方程式是一個二階非線性偏微分方程式組，數學上想要求得方程式的解是一件非常困難的事。愛因斯坦運用了很多近似方法，從重力場方程式得出了很多最初的預言。不過很快天才的天體物理學家卡爾·史瓦西就在1916年得到了重力場方程式的第一個非平庸精確解——史瓦西度規，這個解是研究星體重力塌縮的最終階段，即黑洞的理論基礎。在同一年，將史瓦西幾何擴展到帶有電荷的質量的研究工作也開始進行，其最終結果就是萊斯納-諾斯特朗姆度規，其對應的是帶電荷的靜態黑洞[2]。1917年愛因斯坦將廣義相對論理論應用於整個宇宙，開創了相對論宇宙學的研究領域。考慮到同時期的宇宙學研究中靜態宇宙的學說仍被廣為接受，愛因斯坦在他的重力場方程式中添加了一個新的常數，這被稱作宇宙常數項，以求得和當時的「觀測」相符合[3]。然而到了1929年，哈柏等人的觀測表明我們的宇宙處在膨脹狀態，而相應的膨脹宇宙解早在1922年就已經由亞歷山大·弗里德曼從他的弗里德曼方程式（同樣由愛因斯坦場方程式推出）得到，這個膨脹宇宙解不需要任何附加的宇宙常數項。比利時牧師勒梅特應用這些解構造了宇宙大爆炸的最早模型，模型預言宇宙是從一個高溫高緻密狀態演化來的[4]。愛因斯坦其後承認添加宇宙常數項是他一生中犯下的最大錯誤[5]。
在那個時代，廣義相對論與其他物理理論相比仍保持了一種神秘感。由於它和狹義相對論相融洽，並能夠解釋很多牛頓重力無法解釋的現象，顯然它要優於牛頓理論。愛因斯坦本人在1915年證明了廣義相對論是如何解釋水星軌道的反常近日點進動的現象，其過程不需要任何附加參數（所謂「敷衍因子」）[6]。另一個著名的實驗驗證是由亞瑟·愛丁頓爵士率領的探險隊在非洲的普林西比島觀測到的日食時的光線在太陽重力場中的偏折[7]，其偏折角度和廣義相對論的預言完全相符（是牛頓理論預言的偏折角的兩倍），這一發現隨後被全球報紙競相報導，一時間使愛因斯坦的理論名聲赫赫[8]。但是直到1960年至1975年間，廣義相對論才真正進入了理論物理和天體物理主流研究的視野，這一時期被稱作廣義相對論的黃金時代。物理學家逐漸理解了黑洞的概念，並能夠通過天體物理學的性質從類星體中識別黑洞[9]。在太陽系內能夠進行的更精確的廣義相對論的實驗驗證進一步展示了廣義相對論非凡的預言能力[10]，而相對論宇宙學的預言也同樣經受住了實驗觀測的檢驗[11]。
從古典力學到廣義相對論
理解廣義相對論的最佳方法之一是從古典力學出發比較兩者的異同點：這種方法首先需要認識到古典力學和牛頓重力也可以用幾何語言來描述，而將這種幾何描述和狹義相對論的基本原理放在一起對理解廣義相對論具有啟發性作用[12]。
牛頓重力的幾何學
古典力學的一個基本原理是：任何一個物體的運動都可看作是一個不受任何外力的自由運動（慣性運動）和一個偏離於這種自由運動的組合。這種偏離來自於施加在物體上的外力作用，其大小和方向遵循牛頓第二定律（外力大小等於物體的慣性質量乘以加速度，方向與加速度方向相同[13]）。而慣性運動與時空的幾何性質直接相關：古典力學中在標準參考系下的慣性運動是勻速直線運動。用廣義相對論的語言說，慣性運動的軌跡是時空幾何上的最短路徑（測地線），在閔考斯基時空中是直的世界線[14]。
小球落到正在加速的火箭的地板上（左）和落到地球上（右），處在其中的觀察者會認為這兩種情形下小球的運動軌跡沒有什麼區別
反過來，原則上講也可以通過觀察物體的運動狀態和外力作用（如附加的電磁力或摩擦力等）來判斷物體的慣性運動性質，從而用來定義物體所處的時空幾何。不過，當有重力存在時這種方法會產生一些含糊不清之處：牛頓萬有引力定律以及多個彼此獨立驗證的相關實驗表明，自由落體具有一個普遍性（這也被稱作弱等效原理，亦即慣性質量與重力質量等價），即任何測試質量的自由落體的軌跡只和它的初始位置和速度有關，與構成測試質量的材質等無關[15]。這一性質的一個簡化版本可以通過愛因斯坦的理想實驗來說明，如右圖所示：對於一個處在狹小的封閉空間中的觀察者而言，無法通過觀測落下小球的運動軌跡來判斷自己是處於地面上的地球重力場中，還是處於一艘無重力作用但正在加速的火箭裡（加速度等於地球重力場的重力加速度）[16]；而作為對比，處於電磁場中的帶電小球運動和加速參考系中的小球運動則是可以通過不同小球攜帶不同的電量來區分的。而由於重力場在空間中存在分布的變化，弱等效原理需要加上局部的條件，即在足夠小的時空區域內重力場中的自由落體運動和均一加速參考系中的慣性運動是完全相同的。
由於自由落體的普遍性，慣性運動（實驗中的火箭內）和在重力場中的運動（實驗中的地面上）是無法通過觀察來區分的。這是在暗示一類新的慣性運動的定義，即在重力作用下的自由落體也屬於慣性運動。通過這種慣性運動則可以重新定義周圍的時空幾何——從數學上看重力場中慣性運動的軌跡（測地線）和重力勢的梯度有關。
相對論的概括
光錐
牛頓重力的幾何理論儘管看上去很有趣，但這一理論的基礎古典力學不過是（狹義）相對論力學的一個特例[17]。用對稱的語言來說，在不考慮重力的情形下物理學具有勞侖茲不變性，而並非古典力學所具有的伽利略不變性。(狹義相對論的對稱性包含在龐加萊群中，它除了包含有勞侖茲變換所包含的勞侖茲遞升和旋轉外還包含平移不變性。)在研究對象的速度接近光速或者高能的情形下這兩者的區別逐漸變得明顯[18]。
在勞侖茲對稱性下可以引入光錐的概念（見左圖），光錐構成了狹義相對論中的因果結構：對於每一個發生在時空中的事件A，原則上有能夠通過傳播速度小於光速的信號或交互作用影響到事件A或被事件A影響的一組事件（具有因果聯繫），例如圖中的事件B；也有一組不可能互相影響的事件（不具有因果聯繫），例如圖中的事件C；而這些事件間有無因果聯繫都與觀測者無關[19]。將光錐和自由落體的世界線聯繫起來可以導出時空的半黎曼度規，或至少可以得到一個正的純量因子，在數學上這是共形結構的定義[20]。
狹義相對論的建立改變了人們對質量唯一性的觀念：質量不過是系統能量和動量的一種表現形式，這使得愛因斯坦著手將弱等效原理納入一個更廣泛的框架中：處於封閉空間中的觀察者無論採用什麼測量方法（而不僅限於投擲小球）都無法區分自己是處於重力場還是加速參考系中。這種概括成為了著名的愛因斯坦等效原理：在足夠小的時空區域中物理定律退化成狹義相對論中的形式；而不可能通過局部的實驗來探測到周圍重力場的存在。狹義相對論是在不考慮重力的情況下建立的，因此對於實際重力可以忽略的應用這是一個合適的模型。如果考慮重力的存在並假設愛因斯坦等效原理成立，則可知宇宙間不存在全局的慣性系，而只存在跟隨著自由落體的粒子一起運動的局部近似慣性系。用時空彎曲的語言來說，是表徵了無重力作用的慣性系的直的類時世界線在實際時空中彼此會產生彎曲，這意味著重力的引入會改變時空的幾何結構[21]。愛因斯坦等效原理由此暗示重力作用應歸屬於時空彎曲的範疇，無加速度的慣性運動和重力作用下的自由落體具有完全相同的定義。
實驗數據表明，處於重力場中的時鐘測量出的時間——或者用相對論的語言稱為原時——並不服從狹義相對論定律的制約。用時空幾何的語言來說，這是由於所測量的時空並非閔考斯基度規。對於牛頓重力理論而言這暗示著一種更一般的幾何學。在微小尺度上所有處於自由落體狀態的參考系都是等效的，並且都可近似為閔考斯基性質的平直度規。而接下來我們正在處理的是對閔考斯基時空的彎曲化的一般性概括，所用到的度規張量定義的所在的時空幾何——具體說來是時空中的長度和角度是如何被測量的——並不是狹義相對論的閔考斯基度規，這種度規被概括地稱作半黎曼度規或偽黎曼度規。並且每一種黎曼度規都自然地與一種特別的聯絡相關聯，這種聯絡被稱作列維-奇維塔聯絡；事實上這種聯絡能夠滿足愛因斯坦等效原理的要求並使得時空具有局部的閔考斯基性（這是指在一個適合的局部慣性坐標系下度規是閔考斯基性的，其度規的導數和連接係數即克里斯托費爾符號都為零。）[22]。總體上可以歸納為，在愛因斯坦的理論中重力引起的時空彎曲是一種可微分流形，這種流形在局部是平直的，但整體上可能具有非常不同的全局幾何。
愛因斯坦方程式
主條目：愛因斯坦重力場方程式
在建立了描述重力效應的相對論性幾何化版本後，還有一個關於重力的起源問題沒有解決。牛頓理論中的重力來源於質量，而在狹義相對論中質量的概念被包含在更具有一般性的能量-動量張量中。這個張量包含了對系統的能量和動量的密度，以及應力（即壓強和切應力的統稱）的描述[23]，通過等效原理就可以將能量-動量張量概括到彎曲的時空幾何中去。如果和幾何化的牛頓重力作進一步的類比，可以很自然地通過一個場方程式將能量-動量張量和里奇張量聯繫起來，而里奇張量正描述了潮汐效應的一類特殊情形：一團初始狀態為靜止的測試粒子形成的雲的體積會由於這群測試粒子作自由落體運動而變化。在狹義相對論中，能量-動量張量的守恆律在數學上對應著它的散度為零，而這一守恆律也可以被概括到更一般的彎曲時空中，其方法是將古典的偏導數替換為它們在曲面流形上的對應物：協變導數。在這一附加條件下，能量-動量張量的協變散度，以及場方程式右邊所有可能出現的項統統為零，這一組簡潔的方程式表述被稱作愛因斯坦重力場方程式。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} = \kappa T_{ab}.\,
方程式左邊是一個由里奇張量R_{ab}\,構成的並且散度為零的特別組合，這種組合被稱作愛因斯坦張量。特別地，
R=R_{cd}g^{cd}\,
是時空曲率的里奇純量。而里奇張量本身與更一般化的黎曼張量之間的關係為
\quad R_{ab}={R^d}_{adb}.\,
方程式右邊的T_{ab}\,是能量-動量張量。將重力場方程式的理論和對行星軌道實際觀測的結果（或等價地考慮到弱場低速時近似為牛頓重力理論）相比較，可得到方程式中的比例常數\kappa = 8\pi G/c^4\,，其中G\,是萬有引力常數而c\,是光速[24]。當沒有物質存在時能量-動量張量為零，這時的愛因斯坦場方程式的形式化簡為所謂真空解法：
R_{ab}=0.\,
某些廣義相對論的替代理論在基於同樣的前提下通過附加其他準則或約束得到了形式不一樣的重力場方程式，例如愛因斯坦-嘉當理論[25]。
定義和基礎應用
前一章節概括介紹了確立廣義相對論的基本內容所需的全部信息，並指出了廣義相對論理論的幾個關鍵性質。那麼隨之而來的問題是，廣義相對論對物理學究竟有多重要的意義；具體說來，如何從廣義相對論理論建立具有應用價值的具體物理模型呢？
定義和基本性質
廣義相對論是重力的度規理論，其核心是愛因斯坦場方程式。場方程式描述的是用四維半黎曼流形所描述的時空幾何學，與處在時空中物質的能量-動量張量之間的關係[26]。古典力學中由重力引起的現象（例如自由落體、星體軌道運動、太空飛行器軌道等），在廣義相對論中對應著在彎曲時空中的慣性運動，即沒有所謂外來的重力使得物體的運動偏離它們原本的自然直線運動路徑。重力本身是時空屬性的幾何學改變，使處在其中的物體沿著時空中最短的路徑作慣性運動[27]；而反過來時空的曲率是由處在時空中的物質的能量-動量張量改變的。用約翰·惠勒的話來解釋說：時空告訴物體如何運動，物體告訴時空如何彎曲[28]。
廣義相對論用一個對稱的二階張量替換了古典力學中的重力純量勢，不過前者在某些極限情形下會退化為後者。在弱重力場並且速度遠小於光速的前提下，相對論的結果和牛頓古典理論的結果是重合的[29]。
廣義相對論是用張量表示的，這是其廣義協變性的體現：廣義相對論的定律——以及在廣義相對論框架中得到的物理定律——在所有參考系中具有相同的形式[30]。並且，廣義相對論本身並不包含任何不變的幾何背景結構，這使得它能夠滿足更嚴格的廣義相對性原理：物理定律的形式在所有的觀察者看來都是相同的[31]。而廣義相對論認為在局部由於有等效原理的要求，時空是閔考斯基性的，物理定律具有局部勞侖茲不變性[32]。
物理模型的建立
廣義相對論性的模型建立的核心內容是愛因斯坦場方程式的解。在愛因斯坦場方程式和一個附加描述物質屬性的方程式（類似於馬克士威方程組和介質的本構方程式）同時已知的前提下，愛因斯坦場方程式的解包含有一個確定的半黎曼流形（通常由特定坐標下得到的度規給出），以及一個在這個流形上定義好的物質場。物質和時空幾何一定滿足愛因斯坦場方程式，因此特別地物質的能量-動量張量的協變散度一定為零。當然，物質本身還需要滿足描述其屬性的附加方程式。因此可以將愛因斯坦場方程式的解簡單理解為一個由廣義相對論制約的宇宙模型，其內部的物質還同時滿足附加的物理定律[33]。
愛因斯坦場方程式是非線性的偏微分方程式組，因此想要求得其精確解十分困難[34]。儘管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但只有一些具有物理上的直接應用[35]。其中最著名的精確解，同時也是從物理角度來看最令人感興趣的解包括史瓦西解、萊斯納-諾斯特朗姆解、克爾解，每一個解都對應著特定類型的黑洞模型[36]；以及弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解和德西特宇宙，每一個解都對應著一個膨脹的宇宙模型[37]。純粹理論上比較有趣的精確解還包括哥德爾宇宙（暗示了在彎曲時空中進行時間旅行的可能性）、Taub-NUT解（一種均勻卻又各向異性的宇宙模型）、反德西特空間（近年來由於超弦理論中的馬爾達西那假說的提出而變得知名）[38] 。
尋找愛因斯坦場方程式的精確解並非易事，因此在更多場合下愛因斯坦場方程式的解是通過計算機採用數值積分的方法，或者對精確解作微擾求得的近似解。在數值相對論這一分支中，人們使用高性能的計算機來數值模擬時空幾何，以用於數值求解兩個黑洞碰撞等有趣場合下的愛因斯坦場方程式[39]。原則上只要計算機的運算能力足夠強大，數值相對論的方法就可以應用到任何系統中，從而有可能對裸奇異點等基礎問題做出解答。另一種求得近似解的方法是藉助於像線性化重力[40]和後牛頓力學近似方法這樣的微擾理論，這兩種微擾方法都是由愛因斯坦發展的，其中後者為求解時空內分布的物體速度遠小於光速時的時空幾何提供了系統的方法。後牛頓力學近似方法是一系列展開項，第一項對應著牛頓重力，而後面的微擾項對應著廣義相對論理論對牛頓力學所作的修正[41]。這種近似展開的一種擴展方法是參數化後牛頓形式，應用這種方法可以量化地比較廣義相對論和其替代理論的預言結果[42]。
愛因斯坦理論的後續
廣義相對論對物理學的影響非常深遠，其引發了諸多理論和實驗的研究成果。其中一部分是從廣義相對論的定律中直接導出的，而有些則從廣義相對論發表至今經過長久的研究才逐漸變得明朗。
重力時間膨脹和重力紅移
主條目：重力時間膨脹和紅移
光波從一個大質量物體表面出射時頻率會發生紅移
如果等效原理成立[43] ，則可得到重力會影響時間流逝的結論。射入重力勢阱中的光會發生藍移，而相反從勢阱中射出的光會發生紅移；歸納而言這兩種現象被稱作重力紅移。更一般地講，當有一個大質量物體存在時，對於同一個過程在距離大質量物體更近時會比遠離這個物體時進行得更慢，這種現象叫做重力時間膨脹[44]。
重力紅移已經在實驗室中[45]及在天文觀測中[46]得到證實和測量，而地球重力場中的重力時間延緩效應也已經通過原子鐘進行過多次測量[47]。當前的測量表明地球重力場的時間延緩會對全球定位系統（GPS）的運行產生一定影響[48]。這種效應在強重力場中的測試是通過對脈衝雙星的觀測完成的[49]，所有的實驗結果都和廣義相對論相符[50]。不過在當前的測量精度下，人們還不能從中判斷這些觀測到底更支持廣義相對論還是同樣滿足等效原理的其他替代理論[51]。
光線偏折和重力時間延遲
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題、重力透鏡和重力時間延遲效應
從光源（圖中藍點表示）發射出的光線在途徑一個緻密星體（圖中灰色區域表示）時發生的光線偏折
廣義相對論預言光子的路徑在重力場中會發生偏折，即當光子途徑一個大質量物體時路徑會朝向物體發生彎曲。這種效應已經通過對來自遙遠恆星或類星體的光線途徑太陽時的路徑觀測得到證實[52]。
這種現象（以及其他相關現象）的原因是光具有被稱作類光的（或被稱作零性的）測地線——相對於在古典物理中光的傳播路線是直線，類光的（或零性的）測地線是廣義相對論的相應概括，來源於狹義相對論中的光速不變原理[53]。選取了合適的時空幾何（例如黑洞視界外的史瓦西解，或後牛頓展開項）[54]就可以進一步看到重力場對光的傳播的影響，這種影響是純粹廣義相對論性的。即是說儘管從古典力學出發，通過計算中心質量對光子的古典散射也可以得到光線的偏折效應[55]，但從這種古典方法得到的偏折角度只有廣義相對論結果的一半。[56]
和光線偏折現象密切相關的另一現象是重力時間延遲效應（或稱作夏皮羅延遲效應），這種現象是指在重力場中光的傳播時間要比無重力場的情形下要長，這種效應已經被多個觀測成功證實[57]。在參數化後牛頓形式中，對光線偏折和對時間延遲的測量共同決定了一個參數\gamma\,，這個參數表徵了重力對時空幾何的影響[58]。
重力波
主條目：重力波
懸浮在空間中的靜止粒子排列成的環
測試粒子受到重力波的作用
弱重力場和電磁場相比有一個重要類同之處：類似於隨時間變化的電磁場會輻射電磁波，重力場也有可能會輻射重力波。重力波有如時空度規的漣漪，以光速在空間中傳播[59]。最簡單的一類情形如右所示：排列成一個環狀的自由懸浮粒子（右上靜態圖像），當有一束正弦重力波穿過這個環並朝向讀者傳播時，重力波會將這個環以一種具有特徵性和旋律性的方式扭曲（右下動畫）[60]。由於愛因斯坦場方程式是非線性的，強重力場中的任意強度的重力波不滿足線性疊加原理。但在弱場情形下可採用線性近似，由於從遙遠的天體輻射出的重力波到達地球時已經非常微弱，這時線性化的重力波已經足以精確描述其到達地球時的強度，其引起的空間距離的相對變化大約在10-21或更低。這些線性化的重力波是可以進行傅立葉分解的，對這些重力波信號進行的數據分析正是基於這個原理[61]。
場方程式的個別精確解能夠在不藉助任何近似條件的前提下描述重力波，如一束傳遍整個空間的波列[62]，以及所謂高蒂宇宙（多種充滿重力波的膨脹宇宙的總稱）[63]。不過對於天體物理學意義上的重力輻射而言，例如黑洞雙星的合并過程，後牛頓力學近似方法、微擾理論或數值相對論等近似途徑是僅有的處理手段[64]。
軌道效應
主條目：廣義相對論中的克卜勒問題
對於作軌道運動的物體，廣義相對論和古典力學的預言在很多地方有所不同。廣義相對論預言公轉星體的軌道會發生總體的旋轉（進動），而軌道本身也會由於重力輻射而發生衰減。
近星點的進動
行星繞恆星作公轉的古典力學軌道（紅）和廣義相對論軌道（藍）比較
廣義相對論中，任意軌道的拱點（軌道上最接近或最遠離系統質心的點）會發生進動，這使得軌道不再是橢圓，而是一個繞著質心旋轉的准橢圓軌道，其總體上看接近於玫瑰線的形狀。愛因斯坦最早通過近似度規來表示牛頓力學的極限，並將軌道運動的物體看作一個測試質點從而在理論上得到了這一結果。這一結果的重要性在於，它能夠最簡潔地解釋天文學家勒維耶在1859年發現的水星近日點的反常進動，而這對於當時的愛因斯坦而言是最終確認重力場方程式的正確形式的一個重要依據[65]。
從精確的史瓦西度規[66]或採用更為一般的後牛頓力學近似形式[67]也能夠推導出這種效應。從本質上說，這種進動是由於重力對時空幾何的影響，以及對物體重力的自能量的貢獻（其意義包含在愛因斯坦場方程式的非線性中）[68]。現在已經觀測到了所有能夠進行精確軌道進動測量的太陽系行星（水星、金星、地球）的相對論進動[69]，而且已經觀察到某些脈衝雙星系統的軌道進動效應，其效應要比太陽系內行星高出五個數量級[70]。
軌道衰減
對脈衝雙星PSR1913+16的周期變化長達三十年的觀測，其周期變化在秒量級內
根據廣義相對論，一個雙星系統會通過重力輻射的形式損失能量。儘管這種能量損失一般相當緩慢，卻會使得雙星間的距離逐漸降低，同時降低的還有軌道周期。在太陽系內的兩體系統或者一般的雙星中，這種效應十分微弱因此難以觀測。然而對於一個密近脈衝雙星系統而言，在軌道運動中它們會發射極度規律的脈衝信號，地球上的接收者從而能夠將這個信號序列作為一個高度精確的時鐘。這個精確的時鐘是用來精確測量脈衝雙星軌道周期的最佳工具。並且由於組成脈衝雙星的恆星是中子星，其緻密性能導致有較多部分的能量以重力輻射的形式傳播出去[71]。
最早觀測到這種因重力輻射導致的軌道周期衰減的實驗是由赫爾斯和泰勒完成的，他們所觀測的脈衝雙星是他們於1974年發現的PSR 1913+16。這也是人類首次在實驗上證實重力波的存在，儘管這只是一種間接觀測，這項工作因此獲得1993年的諾貝爾物理學獎[72]。從那以後更多的脈衝雙星被發現，值得一提的是PSR J0737-3039，雙星系統的兩個成員都是脈衝星[73] 。
測地線效應和參考系拖拽
主條目：測地線效應和參考系拖拽
有些相對論效應與坐標的方向性有關[74]，其一是測地線效應，例如一個在彎曲時空中作自由落體運動的陀螺的自轉軸會因此而改變，即使陀螺的自轉軸方向在運動過程中儘可能保持一直穩定（即所謂在曲面上作「平行輸運」）[75]。地球-月球系統的測地線效應已經通過月球雷射測距實驗得到驗證[76]。近年來物理學者通過重力探測器B衛星測量測試質量在地球重力場中的測地線效應，其結果和理論值的誤差小於0.3%[77][78]
在一個旋轉質量的周圍還會產生重力磁性以及更一般的參考系拖拽效應，觀察者會認為旋轉質量對周圍的時空產生拖拽效應，處於旋轉質量周圍的物體會因此發生坐標改變。一個極端的版本是旋轉黑洞的所謂能層區域，當有任何物體進入旋轉黑洞的能層時都會不可避免地隨著黑洞一起發生轉動[79]。理論上這種效應也可以通過觀察其對一個自由落體狀態的陀螺自轉方向的影響進行驗證[80] 。在存在爭議的LAGEOS衛星實驗中參考系拖拽效應得到了初步證實[81]。火星全球探勘者號在火星獲得的數據資料，也被用來做廣義相對論的參考系拖拽實驗[82][83]。
天體物理學上的應用
重力透鏡
主條目：重力透鏡
愛因斯坦十字：同一個天體在重力透鏡效應下的四個成像
重力場中光線的偏折效應是一類新的天文現象的原因。當觀測者與遙遠的觀測天體之間還存在有一個大質量天體，當觀測天體的質量和 相對距離合適時觀測者會看到多個扭曲的天體成像，這種效應被稱作重力透鏡[84]。受系統結構、尺寸和質量分布的影響，成像可以是多個，甚至可以形成被稱作愛因斯坦環的圓環，或者圓環的一部分弧[85]。最早的重力透鏡效應是在1979年發現的[86]，至今已經發現了超過一百個重力透鏡[87]。即使這些成像彼此非常接近以至於無法分辨——這種情形被稱作微重力透鏡——這種效應仍然可通過觀測總光強變化測量到，很多微重力透鏡也已經被發現[88]。
重力透鏡已經發展成為觀測天文學的一個重要工具，它被用來探測宇宙間暗物質的存在和分布，並成為了用於觀測遙遠星系的天然望遠鏡，還可對哈柏常數做出獨立的估計。重力透鏡觀測數據的統計結果還對星繫結構演化的研究具有重要意義[89]。
重力波天文學
主條目：重力波天文學
藝術家的構想圖：雷射空間干涉重力波探測器LISA
對脈衝雙星的觀測是間接證實重力波存在的有力證據（參見上文軌道衰減一節），然而對來自宇宙深處的重力波的直接觀測始終未能實現，這也成為了相對論前沿研究的主要課題之一[90]。現在已經有相當數量的地面重力波探測器投入運行，最值得注目的干涉重力波探測器是GEO600、LIGO（包括三架雷射干涉重力波探測器）、TAMA300和VIRGO[91]歐洲獨立在太空中操作的雷射干涉探測器新重力波天文台（New Gravitational wave Observatory，NGO，原名「雷射干涉空間天線」，LISA）現在正處於開發階段[92]，其先行測試計劃LISA探路者（LISA Pathfinder）將於2014年底之前正式發射升空[93]。
對重力波的探測將在很大程度上擴展基於電磁波觀測的傳統觀測天文學的視野[94] ，人們能夠通過探測到的重力波信號了解到其波源的信息。這些從未被真正了解過的信息可能來自於黑洞、中子星或白矮星等緻密星體，可能來自於某些超新星爆發，甚至可能來自宇宙誕生極早期的暴脹時代的某些烙印，例如假想的宇宙弦[95]。
黑洞和其它緻密星體
主條目：黑洞
基於廣義相對論理論的計算機模擬一顆恆星塌縮為黑洞並釋放出重力波的過程
廣義相對論預言了黑洞的存在，即當一個星體足夠緻密時，其重力使得時空中的一塊區域極端扭曲以至於光都無法逸出。在當前被廣為接受的恆星演化模型中，一般認為大質量恆星演化的最終階段的情形包括1.4倍左右太陽質量的恆星演化為中子星，而數倍至幾十倍太陽質量的恆星演化為恆星質量黑洞[96]。具有幾百萬倍至幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞被認為定律性地存在於每個星系的中心[97]，一般認為它們的存在對於星系及更大的宇宙尺度結構的形成具有重要作用[98]。
在天文學上緻密星體的最重要屬性之一是它們能夠極有效率地將重力能量轉換為電磁輻射[99]。恆星質量黑洞或超大質量黑洞對星際氣體和塵埃的吸積過程被認為是某些非常明亮的天體的形成機制，著名且多樣的例子包括星系尺度的活動星系核以及恆星尺度的微類星體[100]。在某些特定場合下吸積過程會在這些天體中激發強度極強的相對論性噴流，這是一種噴射速度可接近光速的[101]且方向性極強的高能電漿束。在對這些現象進行建立模型的過程中廣義相對論都起到了關鍵作用[102]，而實驗觀測也為支持黑洞的存在以及廣義相對論做出的種種預言提供了有力證據[103]。
黑洞也是重力波探測的重要目標之一：黑洞雙星的合并過程可能會輻射出能夠被地球上的探測器接收到的某些最強的重力波信號，並且在雙星合并前的啁啾信號可以被當作一種「標準燭光」從而來推測合并時的距離，並進一步成為在大尺度上探測宇宙膨脹的一種手段[104]。而恆星質量黑洞等小質量緻密星體落入超大質量黑洞的這一過程所輻射的重力波能夠直接並完整地還原超大質量黑洞周圍的時空幾何信息[105]。
宇宙學
主條目：物理宇宙學
威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）拍攝的全天微波背景輻射的溫度漲落
現代的宇宙模型是基於帶有宇宙常數的愛因斯坦場方程式建立的，宇宙常數的值對大尺度的宇宙動力學有著重要影響。
R_{ab} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{ab} + \Lambda\ g_{ab} = \kappa\, T_{ab}
這個經修改的愛因斯坦場方程式具有一個各向同性並均勻的解：弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規[106]，在這個解的基礎上物理學家建立了從一百四十億年前熾熱的大爆炸中演化而來的宇宙模型[107]。只要能夠將這個模型中為數不多的幾個參數（例如宇宙的物質平均密度）通過天文觀測加以確定[108]，人們就能從進一步得到的實驗數據檢驗這個模型的正確性[109]。這個模型的很多預言都是成功的，這包括太初核合成時期形成的化學元素初始丰度[110]、宇宙的大尺度結構[111]以及早期的宇宙溫度在今天留下的「迴音」：宇宙微波背景輻射[112]。
從天文學觀測得到的宇宙膨脹速率可以進一步估算出宇宙中存在的物質總量，不過有關宇宙中物質的本性還是一個有待解決的問題。現在估計宇宙中大約有90%以上的物質都屬於暗物質，它們具有質量（即參與重力交互作用），但不參與電磁交互作用，即它們無法（通過電磁波）直接觀測到[113]。目前在已知的粒子物理[114]或其他什麼理論[115]的框架中還沒有辦法對這種物質做出令人滿意的描述。另外，對遙遠的超新星紅移的觀測以及對宇宙微波背景輻射的測量顯示，我們的宇宙的演化過程在很大程度上受宇宙常數值的影響，而正是宇宙常數的值決定了現在宇宙的加速膨脹。換句話說，宇宙的加速膨脹是由具有非通常意義下的狀態方程式的某種能量形式決定的，這種能量被稱作暗能量，其本性也仍然不為所知[116]。
在所謂暴脹模型中，宇宙曾在誕生的極早期（～10-33秒）經歷了劇烈的加速膨脹過程[117]。這個在於二十世紀八十年代提出的假說是由於某些令人困惑並且用古典宇宙學無法解釋的觀測結果而提出的，例如宇宙微波背景輻射的高度各向同性[118]，而現在對微波背景輻射各向異性的觀測結果是支持暴脹模型的證據之一[119]。然而，暴脹的可能的方式也是多樣的，現今的觀測還無法對此作出約束[120]。一個更大的課題是關於極早期宇宙的物理學的，這涉及到發生在暴脹之前的、由古典宇宙學模型預言的大爆炸奇異點。對此比較有權威性的意見是這個問題需要由一個完備的量子重力理論來解答，而這個理論至今還沒有建立[121]（參見下文量子重力）。
進階概念
因果結構和全局幾何
主條目：因果結構
一個無限的靜態閔考斯基宇宙的潘洛斯圖
在廣義相對論中沒有任何有靜止質量的物體能夠追上或超過一束光脈衝，即是說發生於某一點的事件A在光從那一點傳播到空間中任意位置X之前無法對位置X產生影響。因此，一個時空中所有光的世界線（零性測地線）包含了有關這個時空的關鍵因果結構信息。描述這種因果結構的是潘洛斯-卡特圖，在這種圖中無限大的空間區域和時間間隔通過共形變換被「收縮」（數學上稱為緊化）在可被容納的有限時空區域內，而光的世界線仍然和在閔考斯基圖中一樣用對角線表示[122]。
潘洛斯和其他研究者注意到因果結構的重要性，從而發展了所謂全局幾何。全局幾何中研究的對象不再是愛因斯坦場方程式的一個個特定解（或一族解），而是運用一些對所有測地線都成立的關係，如Raychaudhuri方程式，以及對物質本性的非特異性假設（通常用所謂能量條件的形式來表述）來推導普適性結論[123]。
視界
主條目：視界、無毛定理和黑洞力學
在全局幾何下可以證明有些時空中存在被稱作視界的分界線，它們將時空中的一部分區域隔離起來。這樣的最著名例子是黑洞：當質量被壓縮到空間中的一塊足夠小的區域中後（相關長度為史瓦西半徑[124]），沒有光子能從內部逸出。而由於任何有質量的粒子速度都無法超過光速，黑洞內部的物質也被封閉在視界內。不過，從視界之外到視界之內的通道依然是存在的，這表明黑洞的視界作為一種分界線並不是物理性質的屏障[125]。
一個旋轉黑洞的能層，在從旋轉黑洞抽取能量的過程中扮演著重要角色
早期的黑洞研究主要依賴於求得愛因斯坦場方程式的精確解，著名的解包括球對稱的史瓦西解（用來描述靜態黑洞）和反對稱的克爾解（用來描述旋轉定態黑洞，並由此引入了能層等有趣的屬性）。而後來的研究通過全局幾何揭示了更多的關於黑洞的普適性質：研究表明經過一段相當長的時間後黑洞都逐漸演化為一類相當簡單的可用十一個參數來確定的星體，包括能量、動量、角動量、某一時刻的位置和所帶電荷。這一性質可歸納為黑洞的唯一性定理：「黑洞沒有毛髮」，即黑洞沒有像人類的不同髮型那樣的不同標記。例如，星體經過重力塌縮形成黑洞的過程非常複雜，但最終形成的黑洞的屬性卻相當簡單[126]。
更值得一提的是黑洞研究已經得到了一組制約黑洞行為的一般性定律，這被稱作黑洞（熱）力學，這些定律與熱力學定律有很強的類比關係。例如根據黑洞力學的第二定律，一個黑洞的視界面積永不會自發地隨著時間而減少，這類似於一個熱力學系統的熵；這個定律也決定了通過古典方法（例如，潘洛斯過程）不可能從一個旋轉黑洞中無限度地抽取能量[127]。這些都強烈暗示了黑洞力學定律實際是熱力學定律的一個子集，而黑洞的表面積和它的熵成正比[128]。從這個假設可以進一步修正黑洞力學定律。例如，由於黑洞力學第二定律是熱力學第二定律的一部分，則可知黑洞的表面積也有可能減小，只要有某種其它過程來保證系統的總熵是增加的。而熱力學第三定律認為不存在溫度為絕對零度的物體，可以進一步推知黑洞應該也存在熱輻射；半古典理論計算表明它們確實存在有熱輻射，在這個機制中黑洞的表面重力充當著普朗克黑體輻射定律中溫度的角色，這種輻射稱作霍金輻射（參見下文量子理論一節）[129]。
廣義相對論還預言了其他類型的視界模型：在一個膨脹宇宙中，觀察者可能會發現過去的某些區域不能被觀測（所謂「粒子視界」），而未來的某些區域不能被影響（事件視界）[130]。即使是在平直的閔考斯基時空中，當觀察者處於一個加速的參考系時也會存在視界，這些視界也會伴隨有半古典理論中的盎魯輻射[131]。
奇異點
主條目：重力奇異點
廣義相對論的另一個普遍卻又令人困擾的特色問題是時空的分界線——奇異點的出現。時空可以通過沿著類時和類光的測地線來探索，這些路徑是光子及其他所有粒子在自由落體運動中的可能軌跡，但愛因斯坦場方程式的某些解具有「粗糙的邊緣」——這被稱作時空奇異點，這些奇異點上類時或類光的測地線會突然中止，而對於這些奇異點沒有定義好的時空幾何來描述。需要說明的是，「奇異點」往往可能並不是一個「點」：那些場方程式的解的「粗糙邊緣」在既有坐標系下，不僅可能是一個「點」，還可以以其他幾何形式出現（比如克爾黑洞的「奇環」等）。一般意義上的奇異點是指曲率奇異點，這是說在這些點上描述時空曲率的幾何量，例如里奇張量為無限大[132]（曲率奇異點是相對所謂坐標奇異點而言的，坐標奇異點本質上不屬於奇異點的範疇：有些度規在某個特定坐標下會產生無窮大，但本質上這些點不具有奇性，在其他合適的坐標下是光滑的，也不會產生無窮大的曲率張量）。描述未來的奇異點（世界線的終結）的著名例子包括永遠靜態的史瓦西黑洞內部的奇異點[133]，以及永遠旋轉的克爾黑洞內部的環狀奇異點[134]。弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度規，以及其他描述宇宙的時空幾何都具有過去的奇異點（世界線的開端），這被稱作大爆炸奇異點，而有些還具有未來的奇異點（大擠壓）[135]。
考慮到這些模型都是高度對稱從而被簡化的，人們很容易去猜測奇異點的出現是否只是理想狀態下的不自然產物。然而著名的由全局幾何證明的奇異點定理指出，奇異點是廣義相對論的一個普遍特色結果，並且任何有質量的實體發生重力塌縮並達到一個特定階段後都會形成奇異點[136]，而在一系列膨脹宇宙模型中也一樣存在奇異點[137]。不過奇異點定理的內容基本沒有涉及到奇異點的性質，這些關於確定奇異點的一般結構（例如所謂BKL假說）的問題是當前相關研究的主要課題[138]。另一方面，由於在對於物理規律的破壞方面而言，一個被包裹於視界之中的奇異點被認為要好過一個「裸」的奇異點，故而宇宙監督假說被提出，它認為所有未來的實際奇異點（即沒有完美對稱性的具有實際性質的物體形成的奇異點）都會被藏在視界之內，從而對外面對觀察者不可見，即自然界憎恨裸奇異點。儘管還沒有實際證據證明這一點，有數值模擬的結果支持這一假說的正確性[139]。
演化方程式
每一個愛因斯坦場方程式的解都是一個宇宙，這裡的宇宙含義既包括了整個空間，也包括了過去與未來——它們並不單單是反映某些事物的「快照」，而是所描述的時空的完全寫真。每一個解在其專屬的特定宇宙中都能描述任意時間和任意位置的時空幾何和物質狀態。出於這個表徵，愛因斯坦的理論看上去與其他大多數物理理論有所不同：大多數物理理論都需要指明一個物理系統的演化方程式（例如量子力學中的埃倫費斯特定理），即如果一個物理系統在給定時刻的狀態已知，其演化方程式能夠允許描述系統在過去和未來的狀態。愛因斯坦理論中的重力場和其他場的更多區別還在於前者是自身交互作用的（是指它在沒有其他場出現時仍然還是非線性的），並且不具有固定的背景結構（在宇宙尺度上會發生演化）[140]。
為了更好地理解愛因斯坦場方程式這個與時間有關的偏微分方程式，可以將它寫成某種能夠描述宇宙隨時間演化的形式。這種形式被稱作「3+1」分解，其中時空被分為三維空間和一維時間。最著名的形式叫做ADM形式[141] ，在這種分解下廣義相對論的時空演化方程式具有良好的性質：在適當的初始條件給定的情形下方程式有解並且是唯一的[142]。場方程式的「3+1」分解形式是數值相對論的研究基礎[143]。
全局和准局部量
主條目：廣義相對論中的質量
演化方程式的觀念與廣義相對論性物理中的另一個方面緊密聯繫：在愛因斯坦的理論中，一個系統的總質量（或能量）這個看似簡單的概念無法找到一種普遍性的定義。其原因在於，重力場原則上並不像其他的場那樣具有可以局域化的能量[144]。
儘管如此，試圖通過其他途徑來定義一個系統的總質量還是可能的，在古典物理中，質量（或能量）的定義可以來自時間平移不變性的守恆量，或是通過系統的哈密頓形式。在廣義相對論中，從這兩種途徑出發可以分別得到如下質量的定義：
柯瑪質量[145]：從類時的Killing向量出發通過柯瑪積分得到的在時間平移不變性下的守恆量，表現為一個靜態時空的總能量；
ADM質量[146]：在一個漸近平直時空中建立廣義相對論的哈密頓形式，從中定義系統的總能量。
如果將一個系統的總質量中被重力波攜帶至無限遠處的能量除去，得到的結果叫做零性無限遠處的邦迪質量[147]。這些定義而來的質量被舍恩和丘成桐的正質量定理證明是正值[148]，而動量和角動量也具有全局的相應定義[149]。在這方面的研究中還有很多試圖建立所謂准局部量的嘗試，例如僅通過一個孤立系統所在的有限空間區域中包含的物理量來構造這個孤立系統的質量。這類嘗試寄希望於能夠找到一個更好地描述孤立系統的量化方式，例如環假說的某種更精確的形式[150]。
和量子理論的關係
如果說廣義相對論是現代物理學的兩大支柱之一，那麼量子理論作為我們藉此了解基本粒子以及凝態物理的基礎理論就是現代物理的另一支柱[151]。然而，如何將量子理論中的概念應用到廣義相對論的框架中仍然是一個未能解決的問題。
彎曲時空中的量子場論
作為現代物理中粒子物理學的基礎，通常意義上的量子場論是建立在平直的閔考斯基時空中的，這對於處在像地球這樣的弱重力場中的微觀粒子的描述而言是一個非常好的近似[152]。而在某些情形中，重力場的強度足以影響到其中的量子化的物質但不足以要求重力場本身也被量子化，為此物理學家發展了彎曲時空中的量子場論。這些理論藉助於古典的廣義相對論來描述彎曲的背景時空，並定義了廣義化的彎曲時空中的量子場理論[153]。通過這種理論，可以證明黑洞也在通過黑體輻射釋放出粒子，這即是霍金輻射，並有可能通過這種機制導致黑洞最終蒸發[154]。如前文所述，霍金輻射在黑洞熱力學的研究中起到了關鍵作用[155]。
量子重力
主條目：量子重力
參見：弦論及迴圈量子重力
物質的量子化描述和時空的幾何化描述之間彼此不具有相容性[156]，以及廣義相對論中時空曲率無限大（意味著其結構成為微觀尺度）的奇異點的出現，這些都要求著一個完整的量子重力理論的建立。這個理論需要能夠對黑洞內部以及極早期宇宙的情形做出充分的描述，而其中的重力和相關的時空幾何需要用量子化的語言來敘述[157]。儘管物理學家為此做出了很多努力，並有多個有潛質的候選理論已經發展起來，至今人類還沒能得到一個稱得上完整並自洽的量子重力理論[158]。
一個卡拉比-丘流形的投影，由弦論所提出的緊化額外維度的一種方法
量子場論作為粒子物理的基礎已經能夠描述除重力外的其餘三種基本交互作用，但試圖將重力概括到量子場論的框架中的嘗試卻遇到了嚴重的問題。在低能區域這種嘗試取得了成功，其結果是一個可被接受的重力的有效（量子）場理論[159]，但在高能區域得到的模型是發散的（不可重整化）[160]。
迴圈量子重力中的一個簡單自旋網路
試圖克服這些限制的嘗試性理論之一是弦論，在這種量子理論中研究的最基本單位不再是點狀粒子，而是一維的弦[161]。弦論有可能成為能夠描述所有粒子和包括重力在內的基本交互作用的大統一理論[162]，其代價是導致了在三維空間的基礎上生成六維的額外維度等反常特性[163]。在所謂第二次超弦理論革新中，人們猜測超弦理論，以及廣義相對論與超對稱的統一即所謂超重力[164]，能夠構成一個猜想的十一維模型的一部分，這種模型叫做M理論，它被認為能夠建立一個具有唯一性定義且自洽的量子重力理論[165]。
另外一種嘗試來自於量子理論中的正則量子化方法。應用廣義相對論的初值形式（參見上文演化方程式一節），其結果是惠勒-得衛特方程式（其作用類似於薛丁格方程式）。雖然這個方程式在一般情形下定義並不完備[166]，但在所謂阿西特卡變數的引入下[167]，從這個方程式能夠得到一個很有前途的模型：迴圈量子重力。在這個理論中空間是一種被稱作自旋網路的網狀結構，並在離散的時間中演化[168]。
取決於廣義相對論和量子理論中的哪些性質可以被接受保留，並在什麼能量量級上需要引入變化[169]，對量子重力的嘗試理論還有很多，例如動力三角剖分[170]、因果組合[171]、扭量理論[172]以及基於路徑積分的量子宇宙學模型[173]。
所有這些嘗試性候選理論都仍有形式上和概念上的主要問題需要解決，而且它們都在面臨一個共同的問題，即至今還沒有辦法從實驗上驗證量子重力理論的預言，進而無法通過多個理論之間某些預言的不同來判別其正確性。在這個意義上，量子重力的實驗觀測還需要寄希望於未來的宇宙學觀測以及相關的粒子物理實驗逐漸成為可能[174]。
當前進展
在重力和宇宙學的研究中，廣義相對論已經成為了一個高度成功的模型，至今為止已經通過了每一次意義明確的觀測和實驗的檢驗。然而即便如此，仍然有證據顯示這個理論並不是那麼完善的[175]：對量子重力的尋求以及時空奇異點的現實性問題依然有待解決[176]；實驗觀測得到的支持暗物質和暗能量存在的數據結果也在暗暗呼喚著一種新物理學的建立[177]；而從先驅者號觀測到的反常效應也許可以用已知的理論來解釋，也許則真的是一種新物理學來臨的預告[178]。不過，廣義相對論之中仍然充滿了值得探索的可能性：數學相對論學家正在尋求理解奇異點的本性，以及愛因斯坦場方程式的基本屬性[179]；不斷更新的電腦正在進行黑洞合并等更多的數值模擬[180]；而第一次直接觀測到重力波的競賽也正在前進中[181]，人類希望藉此能夠在比至今能達到的強得多的重力場中創造更多檢驗這個理論的正確性的機會[182]。在愛因斯坦發表他的理論九十多年之後，廣義相對論依然是一個高度活躍的研究領域[183]。
注釋
^ 這段研究發展歷程請參見 Pais（1982年）和 Janssen（2005年）的第九章至第十五章；涵蓋當前最新研究並包含有最初版本的多個重印版都收集在 Renn（2007年）中；在 Renn（2005年），p. 110ff.有相關概述。在 Einstein（1907年）還提供了一篇早期的重要文章，並參見 Pais（1982年），ch. 9。以場方程式為主要特色內容發表的文章是 Einstein（1915年），並參見 Pais（1982年），ch. 11–15。
^ 參見 Schwarzschild（1916a年）， Schwarzschild（1916b年）和 Reissner（1916年）（其後在 Nordström（1918年）有補充）。
^ 參見 Einstein（1917年），並參考 Pais（1982年），ch. 15e。
^ 哈柏的原文是 Hubble（1929年）；相關概述請見 Singh（2004年），ch. 2–4。
^ 正如伽莫夫在 Gamow（1970年）中所指出的，愛因斯坦的懺悔被證明是為時尚早，參見下文的宇宙學一節。
^ 參見 Pais（1982年），p. 253–254。
^ 參見 Kennefick（2005年）和 Kennefick（2007年）。
^ 參見 Pais（1982年），ch. 16。
^ 參見 Israel（1987年），ch. 7.8–7.10和 Thorne（1994年），ch. 3–9。
^ 參見下文的軌道效應，重力時間膨脹和紅移和光線偏折和重力時間延遲及其參考文獻
^ 參見下文的宇宙學及其參考文獻；歷史發展回顧請見 Overbye（1999年）。
^ 下文的表述參考自 Ehlers（1973年），section 1。
^ 例如參見 Arnold（1989年），chapter 1。
^ 參見 Ehlers（1973年），pp. 5f.。
^ 參見 Will（1993年），section 2.4或 Will（2006年），section 2。
^ 參見 Wheeler（1990年），chapter 2；在大多數廣義相對論的通俗讀物中都會提到這個演示。
^ 按照需要的數學水平從低到高排序，參考讀物包括 Giulini（2005年）， Mermin（2005年），以及 Rindler（1991年）；相關的精確實驗測量參見 Ehlers & Lämmerzahl（2006年）的第四部分。
^ 關於這兩種對稱群的比較請見 Giulini（2006a年）。
^ 例如參見 Rindler（1991年），section 22；較為全面的處理方法參見 Synge（1972年），ch. 1 and 2。
^ 例如 Ehlers（1973年），sec. 2.3.
^ 參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.和 Schutz（1985年），sec. 5.1。
^ 實驗證據請參見 Ehlers（1973年），sec. 1.4.，並見下文重力時間膨脹和重力紅移。選擇另一種非零的連接係數扭率張量就會得到愛因斯坦-嘉當理論。
^ 參見 Ehlers（1973年），p. 16； Kenyon（1990年），sec. 7.2； Weinberg（1972年），sec. 2.8。
^ 例如參見 Kenyon（1990年），sec. 7.4。
^ 關於更多的替代理論參見 Brans & Dicke（1961年）， Weinberg（1972年）的第七章第三節， Goenner（2004年），sec. 7.2以及 Trautman（2006年）。
^ 例如參見 Wald（1984年），ch. 4， Weinberg（1972年），ch. 7或任意一本廣義相對論教科書
^ 這種說法至少是近似成立的，參見 Poisson（2004年）。
^ 例如見於 Wheeler（1990年）p. xi
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.1。
^ 關於定義廣義相對性原理以及將其從廣義協變性的觀念中分離出來這一過程中所遇到的困難，參見 Giulini（2006b年）。
^ 例如 Weinberg（1972年）的第十二章第五節。
^ 參見 Stephani等作者（2003年）中的介紹章節。
^ 在 Geroch（1996年）中有關於愛因斯坦場方程式在聯繫其他具有物理意義的偏微分方程式下的回顧討論。
^ 關於這些解的背景和列表，參見 Stephani等作者（2003年）；另一個更新的回顧討論是 MacCallum（2006年）。
^ 例如參見 Chandrasekhar（1983年）的第三、五、六章。
^ 例如參見 Narlikar（1993年）的第四章和第3.3節。
^ 在 Hawking & Ellis（1973年），ch. 5中有關於這些解的簡略描述和其他更多的有趣精確解。
^ 參見 Lehner（2002年）的概述。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 4.4。
^ 例如參見 Will（1993年），sec. 4.1 and 4.2。
^ 參見 Will（2006年）的第3.2節以及 Will（1993年），ch. 4。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26 vs. pp. 236–237和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。事實上，愛因斯坦早在1907年就通過（愛因斯坦）等效原理（EEP）推導出了這些效應，參見 Einstein（1907年）和 Pais（1982年），pp. 196–198中的描述。
^ 參見 Rindler（2001年），pp. 24–26； Misner，Thorne & Wheeler（1973 年），§ 38.5。
^ 龐德-雷布卡實驗，參見 Pound & Rebka（1959年）， Pound & Rebka（1960年）； Pound & Snider（1964年）；更多的實驗列表在 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 例如參見 Greenstein，Oke & Shipman（1971年）；最新也是最精確的對於天狼B的觀測成果發表在 Barstow，Bond & Holberg（2005年）。
^ 這類測量以Hafele-Keating實驗為起始，參見 Hafele & Keating（1972a年）和 Hafele & Keating（1972b年），在重力探測器A的探測中達到頂峰；對這類實驗的概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.1 on p. 186。
^ 通過比較地面上的原子鐘和軌道衛星上的原子鐘來檢測GPS的工作一直在持續進行中；關於相應的相對論效應參見 Ashby（2002年）和 Ashby（2003年）。
^ 在 Stairs（2003年）和 Kramer（2004年）中有回顧評論。
^ 一般性綜述在Will 2006的2.1節；Will 2003, pp. 32–36； Ohanian & Ruffini（1994年），section 4.2。
^ 參見 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 164–172。
^ 參見 Kennefick（2005年） 以了解愛丁頓爵士的早期古典測量；關於現代更多更新的同類測量概述參見 Ohanian & Ruffini（1994年），chapter 4.3。現在所能達到的最精確測量方法是通過脈衝星，參見 Shapiro等作者（2004年）。
^ 狹義相對論中的光速不變不是一條獨立的公理，它能通過愛因斯坦場方程式和電磁場的拉格朗日量並使用WKB方法導出，參見 Ehlers（1973年），section 5。
^ 對這一方面的一個簡明摘要可見於 Blanchet（2006年），section 1.3。
^ 或對光子應用自由落體定律，參見 Rindler（2001年），section 1.16；其他歷史實例可見於 Israel（1987年），p. 202–204.；事實上愛因斯坦在 Einstein（1907年）這篇文獻中已經發表過這種推導，其中的計算默認了時空是歐幾里德性的。參見 Ehlers & Rindler（1997年）。
^ 從愛因斯坦理論的立場來看，這些推導考慮的是重力對光的作用，而並非將重力看作是時空的彎曲，參見 Rindler（2001年），sec. 11.11。
^ 關於在太陽重力場中雷達信號到達金星或水星等行星後返回的延遲，參見 Shapiro（1964年），其教學性的介紹可見於 Weinberg（1972年），ch. 8, sec. 7；關於從太空探測器返回的信號延遲（收發機測量），參見 Bertotti，Iess & Tortora（2003年）；概述可見於 Ohanian & Ruffini（1994年），table 4.4 on p. 200；關於更新的對接收到的脈衝雙星信號的測量，其中一顆脈衝星的信號在另一顆脈衝星的重力場中被延遲，參見 Stairs（2003年），section 4.4。
^ 參見 Will（1993年），sec. 7.1 and 7.2。
^ 關於重力波的概述請見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），part VIII。需要注意到是儘管性質類同於電磁波，重力波輻射的主導項來自於波源的四極矩而非電磁波一樣的偶極矩，參見 Schutz（2001年）。
^ 大多數廣義相對論的教科書都會包含這方面的說明，例如 Schutz（1985年），ch. 9。
^ 例如參見 Jaranowski & Królak（2005年）。
^ 參見 Rindler（2001年），ch. 13。
^ 參見 Gowdy（1971年）， Gowdy（1974年）。
^ 關於數值相對論方法的簡要介紹參見 Lehner（2002年），而 Seidel（1998年）介紹了數值相對論與重力波天文學之間的銜接關係。
^ 參見 Schutz（2003年），pp. 48–49和 Pais（1982年），pp. 253–254。
^ 參見 Rindler（2001年），sec. 11.9。
^ 參見 Will（1993年），pp. 177–181。
^ 在參數化後牛頓形式中，對這種效應的測量決定了兩個參數\beta和\gamma的線性組合，參見 Will（2006年），sec. 3.5和 Will（1993年），sec. 7.3。
^ 在太陽系行星上做出的最精確測量是VLBI測量，參見 Will（1993年），chapter 5， Will（2006年），section 3.5， Anderson等作者（1992年）；概述見於 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 406–407。
^ 參見 Kramer等作者（2006年）。
^ 參見 Stairs（2003年）和 Schutz（2003年），pp. 317–321；以及 Bartusiak（2000年），pp. 70–86。
^ 關於這段研究的概述在 Weisberg & Taylor（2003年）；脈衝雙星本身的發現可見於 Hulse & Taylor（1975年）；關於重力波存在的最早證據在 Taylor（1994年）。
^ 參見 Kramer（2004年）。
^ 例如參見 Penrose（2004年），§14.5和 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），sec. §11.4。
^ 參見 Weinberg（1972年），sec. 9.6和 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 7.8。
^ 參見 Bertotti，Ciufolini & Bender（1987年）和更新的評論 Nordtvedt（2003年）。
^ 參見 Kahn（2007年）
^ 任務的介紹可見於 Everitt等作者（2001年）；飛行後的首次評估可見於 Everitt等作者（2007年）；更多更新即將見於此項任務的網站 Kahn（2012年）。
^ 例如參見 Townsend（1997年），sec. 4.2.1和 Ohanian & Ruffini（1994年），pp. 469–471.。
^ 例如參見 Ohanian & Ruffini（1994年），sec. 4.7和 Weinberg（1972年），sec. 9.7；更新的評論在 Schäfer（2004年）。
^ 例如參見 Ciufolini & Pavlis（2004年）和 Ciufolini，Pavlis & Peron（2006年）；參見參考系拖拽了解相關的爭論。
^ Iorio L., COMMENTS, REPLIES AND NOTES: A note on the evidence of the gravitomagnetic field of Mars, Classical Quantum Gravity. August 2006, 23 (17): 5451–5454, doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01, Bibcode: 2006CQGra..23.5451I
^ Iorio L., On the Lense-Thirring test with the Mars Global Surveyor in the gravitational field of Mars, Central European Journal of Physics. June 2010, 8 (3): 509–513, doi:10.2478/s11534-009-0117-6, Bibcode: 2010CEJPh...8..509I
^ 關於重力透鏡及其應用的概述參見 Ehlers，Falco & Schneider（1992年）和 Wambsganss（1998年）。
^ 關於重力透鏡效應的簡單推導參見 Schutz（2003年），ch. 23；以及 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3。
^ 參見 Walsh，Carswell & Weymann（1979年）。
^ 所有這些已知的重力透鏡的照片都可以在CASTLES計劃中找到： Kochanek等作者（2007年）。
^ 相關概述參見 Roulet & Mollerach（1997年）。
^ 參見 Narayan & Bartelmann（1997年），sec. 3.7。
^ 重力波天文學的概述可參見 Barish（2005年）；以及 Bartusiak（2000年）和 Blair & McNamara（1997年）。
^ 重力波探測器概述可見於 Hough & Rowan（2000年）。
^ 參見 Danzmann & Rüdiger（2003年）。
^ LISA pathfinder overview. ESA [23-4-2012].
^ 參見 Thorne（1995年）。
^ 參見 Cutler & Thorne（2002年）。
^ 參見 Miller（2002年），lectures 19 and 21。
^ 例如參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年），sec. 3。
^ 參見 Springel等作者（2005年） and the accompanying summary Gnedin（2005年）。
^ 參見 Blandford（1987年），section 8.2.4。
^ 關於這種機制的基本原理參見 Carroll & Ostlie（1996年），sec. 17.2；關於由這種機制形成的不同種類的天體的更多信息參見 Robson（1996年）。
^ 有關相對論性噴流的介紹參見 Begelman，Blandford & Rees（1984年）。有趣的是，對於一個距離遙遠的觀測者而言，某些相對論性噴流的速度看上去甚至超過了光速；但這其實是一種光學上的幻象而並不違反相對論，參見 Rees（1966年）。
^ 關於恆星演化的最終階段參見 Oppenheimer & Snyder（1939年），以及 Font（2003年），sec. 4.1包含了更多更新的數值計算成果；對於超新星爆發的過程仍有一些主要問題沒有被解決，參見 Buras等作者（2003年）；關於吸積和噴流形成的數值模擬，參見 Font（2003年），sec. 4.2。而重力透鏡效應則被認為在接收來自X射線脈衝星的信號中起到了一定作用，參見 Kraus（1998年）。
^ 這些證據包括通過對吸積驅動效應的觀測得到的星體緻密度的極限（「愛丁頓光度」），參見 Celotti，Miller & Sciama（1999年）；對我們的銀河系中心附近的恆星動力學觀測，參見 Schödel等作者（2003年）；對某些X射線暴（其中心星體往往是一顆中子星或黑洞）的研究表明宇宙中至少有某些緻密星體並沒有固態的表面，參見 Remillard等作者（2006年）及 Narayan（2006年），sec. 5；以及對銀河系中心的超大質量黑洞的事件視界的「陰暗」部分的搜索觀測正在積極進行中，參見 Falcke，Melia & Agol（2000年）.
^ 參見 Dalal等作者（2006年）。
^ 例如參見 Barack & Cutler（2004年）。
^ 參見 Carroll（2001年），ch. 2。
^ 參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 9–11；這些宇宙模型之所以能夠被認可，是由於觀測到的宇宙在大尺度（一億光年以上）上是均勻且各向同性的，參見 Peebles等作者（1991年）。
^ 例如參考來自WMAP的數據，參見 Spergel等作者（2003年）。
^ 這些檢驗來自於彼此獨立的觀測，例如參見 Bridle等作者（2003年）中圖2。
^ 參見 Peebles（1966年）；對這些預言的解釋參見 Coc等作者（2004年）；以及 Weiss（2006年）；對這些觀測的比較參見 Olive & Skillman（2004年）， Bania，Rood & Balser（2002年）， O Meara等作者（2001年）以及 Charbonnel & Primas（2005年）。
^ 回顧評論可見於 Lahav & Suto（2004年）和 Bertschinger（1998年）；更新的研究成果在 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Alpher & Herman（1948年），教學性的介紹參見 Bergström & Goobar（2003年），ch. 11；最早對微波背景輻射的觀測在 Penzias & Wilson（1965年），通過人造衛星所作的精確測量在 Mather等作者（1994年） (COBE)和 Bennett等作者（2003年） (WMAP)。未來的觀測還有可能揭示極早期宇宙誕生時就存在的重力波的一些證據；這些附加的信息包含在微波背景輻射的偏振中，參見 Kamionkowski，Kosowsky & Stebbins（1997年）和 Seljak & Zaldarriaga（1997年）。
^ 暗物質存在的證據：一部分來自於對宇宙學參數的確定以及對星系和星系團的一些觀測，參見 Peebles（1993年）的第十八章；一部分來自於重力透鏡，參見 Peacock（1999年），sec. 4.6；一部分來自對大尺度結構形成的模擬，參見 Springel等作者（2005年）。
^ 參見 Peacock（1999年），ch. 12和 Peskin（2007年）；特別地，觀測顯示除了少到可以忽略的一部分之外這些物質基本上不是由通常狀態下的基本粒子組成的（即它們並非強子組成的物質），參見 Peacock（1999年），ch. 12。
^ 也就是說，有些物理學家開始懷疑暗物質存在的證據是否其實是愛因斯坦理論（當然也包括牛頓理論）對重力的描述存在偏差的證明，關於這一猜測的概述參見 Mannheim（2006年），sec. 9。
^ 參見 Carroll（2001年）；概述可見於 Caldwell（2004年）。對於暗能量，有些科學家也認為暗能量並非是一種新的能量形式，而是我們的宇宙學模型需要修正，參見 Mannheim（2006年），sec. 10；不過這不一定意味著要對廣義相對論進行修正，而可以是我們對宇宙各向異性的處理方法需要修正，參見 Buchert（2007年）。
^ 關於暴脹模型有一篇很好的介紹： Linde（1990年）；以及一篇更近的回顧評論： Linde（2005年）。
^ 更準確地說，其中包括平坦問題、視界問題和單極矩問題；教學性介紹參見 Narlikar（1993年），sec. 6.4以及 Börner（1993年），sec. 9.1。
^ 參見 Spergel等作者（2007年），sec. 5 & 6。
^ 更具體地說，在暴脹的動力學中起到關鍵作用的位能函數在現階段只是簡單推測來的，並沒有經過一個物理理論的推導。
^ 參見 Brandenberger（2007年），sec. 2。
^ 參見 Frauendiener（2004年）， Wald（1984年），section 11.1，以及 Hawking & Ellis（1973年），section 6.8 & 6.9。
^ 例如參見 Wald（1984年），sec. 9.2–9.4和 Hawking & Ellis（1973年），ch. 6.。
^ 參見 Thorne（1972年）；對更新的數值計算結果的解釋可見於 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 有關這一概念的演化介紹，參見 Israel（1987年）。 用更精確的數學描述來區別不同種類的視界，著名的包括事件視界和表面視界，可見於 Hawking & Ellis（1973年），pp. 312–320或 Wald（1984年），sec. 12.2；對於不需要在無限遠處時空性質的孤立系統，還存在直覺的定義，參見 Ashtekar & Krishnan（2004年）。
^ 初步知識參見 Israel（1971年）；相關推導參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 9.3或 Heusler（1996年），ch. 9 and 10；最近的研究成果回顧參見 Heusler（1998年）和 Beig & Chruściel（2006年）。
^ 黑洞力學定律首先是在 Bardeen，Carter & Hawking（1973年）中描述的；一個具有教學性的演示發言可見於 Carter（1979年）；更新的回顧評論參見 Wald（2001年）的第二章。涵蓋了所需要數學的較為全面詳細的介紹參見 Poisson（2004年）。關於潘洛斯過程參見 Penrose（1969年）。
^ 參見 Bekenstein（1973年）和 Bekenstein（1974年）。
^ 黑洞存在量子輻射的事實最早是在 Hawking（1975年）中推導出的；一個更全面的推導可見於 Wald（1975年）；相關回顧評論參見 Wald（2001年）第三章。
^ 參見 Narlikar（1993年），sec. 4.4.4 and 4.4.5。
^ 關於視界參見 Rindler（2001年），sec. 12.4； 關於盎魯效應參見 Unruh（1976年）, cf. Wald（2001年），chapter 3。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），section 8.1， Wald（1984年），section 9.1。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 2；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 3。
^ 參見 Townsend（1997年），chapter 4；這一精確解的延伸處理參見 Chandrasekhar（1983年），chapter 6。
^ 參見 Ellis & van Elst（1999年）；關於奇異點本身的探討參見 Börner（1993年），sec. 1.2。
^ 這是指束縛的零性表面（en:trapped null surface），參見 Penrose（1965年）。
^ 參見 Hawking（1966年）。
^ BKL假說是在 Belinskii，Khalatnikov & Lifschitz（1971年）中建立的；更新的回顧評論參見 Berger（2002年），以及 Garfinkle（2007年）。
^ 對未來奇異點的約束條件自然地排除了像大爆炸奇異點這樣的初始奇異點的存在可能，而這些奇異點原則上在經過一定宇宙學上的時間尺度後是可以被觀測者看到的。宇宙監督假說首先見於 Penrose（1969年）；教科書水平的解釋見於 Wald（1984年），pp. 302–305。更多的數值模擬結果參見評論 Berger（2002年），sec. 2.1。
^ 參見 Hawking & Ellis（1973年），sec. 7.1。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）；教學性介紹參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§21.4–§21.7。
^ Fourès-Bruhat（1952年） and Bruhat（1962年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），ch. 10；在線的回顧評論參見 Reula（1998年）。
^ 參見 Gourgoulhon（2007年）；並參見數值相對論的基礎回顧 Lehner（2001年），其中還包含從愛因斯坦方程式特性引發的問題。
^ 參見 Misner，Thorne & Wheeler（1973年），§20.4。
^ 參見 Komar（1959年）；教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2；儘管定義方法差別很大，對於定態時空而言可以證明它和ADM質量等價，參見 Ashtekar & Magnon-Ashtekar（1979年）。
^ 參見 Arnowitt，Deser & Misner（1962年）。
^ 教學性介紹參見 Wald（1984年），sec. 11.2。
^ 在 Wald（1984年）的第295頁給出了很多參考；這對於時空的穩定性問題而言非常重要——如果負質量態存在，那麼當平直的閔考斯基時空中的質量為零時將有可能向這些態演化。
^ 例如參見 Townsend（1997年），ch. 5。
^ 這樣的准局部的質量-能量定義包括霍金能量、Geroch能量，以及潘洛斯通過扭量方法定義的准局部能量-動量，參考評論 Szabados（2004年）。
^ 系統介紹量子理論的教科書有很多，如 Messiah（1999年）；更基礎的解釋可參見 Hey & Walters（2003年）。
^ 參見教科書 Ramond（1990年）， Weinberg（1995年）或 Peskin & Schroeder（1995年）；以及概述 Auyang（1995年）。
^ 參見 Wald（1994年）和 Birrell & Davies（1984年）。
^ 霍金輻射參見 Hawking（1975年）， Wald（1975年）黑洞蒸發的更基礎解釋參見 Traschen（2000年）。
^ 參見 Wald（2001年）第三章。
^ 簡單說來，物質是時空曲率的源，由於物質是量子化的，所以我們也期待時空也具有相應的量子性質，參見 Carlip（2001年）第二節。
^ 例如參見 Schutz（2003年）的第407ff頁。
^ 有關時間表和概述可見於 Rovelli（2000年）。
^ 參見 Donoghue（1995年）。
^ 有關重整化參見 Weinberg（1996年）的第十七和十八章；關於重整化對重力場在高能範圍內失效參見 Goroff & Sagnotti（1985年）。
^ 本科生水平的弦論介紹參見 Zwiebach（2004年）；更全面的介紹參見 Polchinski（1998a年）和 Polchinski（1998b年）。
^ 在當前的實驗所能達到的能量下，弦和點狀粒子仍然是無法區分的；但關鍵一點在於，同一種類的基本弦在不同的振動模式下所表現出來的粒子攜帶有不一樣的電荷，例如參見 Ibanez（2000年）。這一理論的成功之處是有一種振動模式總是能與重力的媒介子即重力子對應，例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 2.3 and 5.3。
^ 例如參見 Green，Schwarz & Witten（1987年），sec. 4.2。
^ 例如參見 Weinberg（2000年），ch. 31。
^ 例如參見 Townsend（1996年）， Duff（1996年）。
^ Cf. section 3 in Kuchař（1973年）.
^ 這種變數用電場和磁場在數學上的類比來表示幾何重力，參見 Ashtekar（1986年）， Ashtekar（1987年）。
^ 回顧評論參見 Thiemann（2006年）；更詳細的解釋參見 Rovelli（1998年）， Ashtekar & Lewandowski（2004年）以及講義 Thiemann（2003年）。
^ 例如參見系統性的說明 Isham（1994年）和 Sorkin（1997年）。
^ 參見 Loll（1998年）。
^ 參見 Sorkin（2005年）。
^ 參見 Penrose（2004年）的第三十三章和其包含的參考文獻。
^ 參見 Hawking（1987年）。
^ 例如參見 Ashtekar（2007年）， Schwarz（2007年）。
^ 參見 Maddox（1998年），pp. 52–59 and 98–122， Penrose（2004年），section 34.1 and chapter 30。
^ 參見上文量子重力。
^ 參見上文宇宙學。
^ 參見 Nieto（2006年）。
^ 參見 Friedrich（2005年）。
^ 關於數值模擬的諸多問題，以及由此發展的解決技術的回顧評論參見 Lehner（2002年）。
^ 參見 Bartusiak（2000年）了解到2000年為止的重力波探測，更新的結果可見於各大重力波探測計劃主頁，例如GEO 600和LIGO。
^ 緻密雙星旋近的重力波偏振的相關論文參見 Blanchet等作者（2008年）和 Arun等作者（2007年）；緻密雙星的研究回顧評論參見 Blanchet（2006年） 和 Futamase & Itoh（2006年）；廣義相對論的實驗驗證概述參見 Will（2006年）。
^ 高度推薦在線的當代廣義相對論研究評論期刊Living Reviews in Relativity。
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廣義相對論
耶魯大學教學視頻：狹義與廣義相對論來自Google Video
相對論：狹義與廣義的理論 PDF
廣義相對論教學視頻來自麻省理工學院教授Edmund Bertschinger
廣義相對論系列講義來自2006年龐加萊研究所（入門和進階課程）
廣義相對論教程 作者約翰·貝伊茲
Sean Carroll. Lecture Notes on General Relativity. ArXiv. 加州理工學院的教授Sean Carroll所編寫的廣義相對論課堂講義，這是它的PDF版本。
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汉漢▼
沿著快速加速的觀察者的世界線來看的時空。
豎直方向表示時間。水平方向表示距離，虛劃線是觀察者的時空軌跡（「世界線」）。圖的下四分之一表示觀察者可以看到的事件。上四分之一表示光錐- 將可以看到觀察者的事件點。小點是時空中的任意的事件。
世界線的斜率（從豎直方向的偏離）給出了相對於觀察者的速度。注意看時空的圖像隨著觀察者加速時的變化。
狹義相對論是由愛因斯坦、洛侖茲和龐加萊等人創立的時空理論，是對牛頓時空觀的拓展和修正。牛頓力學是狹義相對論在低速情況下的近似。
目錄
1 背景
1.1 伽利略變換與電磁學理論的不自洽
1.2 麥可遜尋找以太的實驗
1.3 實驗的結果——零結果
2 愛因斯坦的狹義相對論
2.1 狹義相對論的基本原理
2.2 勞侖茲坐標變換
2.2.1 形式
2.2.2 推導
2.2.3 注意事項
2.3 時間膨脹（愛因斯坦延緩）
2.4 長度收縮（勞侖茲收縮）
2.5 同時的相對性
2.6 相對論質量
2.7 相對論力學
2.8 相對論能量
2.9 相對論動量與能量
2.10 相對論下的電效應——磁場與電場的統一
2.11 實驗驗證
3 相關條目
背景
伽利略變換與電磁學理論的不自洽
到19世紀末，以馬克士威方程組為核心的古典電磁理論的正確性已被大量實驗所證實，但馬克士威方程組在古典力學的伽利略變換下不具有協變性。而古典力學中的相對性原理則要求一切物理規律在伽利略變換下都具有協變性。
麥可遜尋找以太的實驗
為解決這一矛盾，物理學家提出了「以太假說」，即放棄相對性原理，認為馬克士威方程組只對一個絕對參考系（以太）成立。根據這一假說，由馬克士威方程組計算得到的真空光速是相對於絕對參考系（以太）的速度；在相對於「以太」運動的參考系中，光速具有不同的數值。
實驗的結果——零結果
但斐索實驗和邁克生-莫立實驗表明光速與參考系的運動無關。該實驗結果否定了以太（ether）假說，表明相對性原理的正確性。勞侖茲把伽利略變換修改為勞侖茲變換，在勞侖茲變換下，馬克士威方程組具有相對性原理所要求的協變性。勞侖茲的假說解決了上述矛盾，但他不能對勞侖茲變換的物理本質做出合理的解釋。隨後數學家龐加萊猜測勞侖茲變換和時空性質有關。
愛因斯坦的狹義相對論
光錐
愛因斯坦意識到伽利略變換實際上是牛頓古典時空觀的體現，如果承認「真空光速獨立於參考系」這一實驗事實為基本原理，可以建立起一種新的時空觀（相對論時空觀）。在這一時空觀下，由相對性原理即可導出勞侖茲變換。1905年，愛因斯坦發表論文《論動體的電動力學》，建立狹義相對論，成功描述了在亞光速領域巨觀物體的運動。
狹義相對論的基本原理
光速不變原理。
在所有慣性系中，真空中的光速都等於c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}=299 792 458 m/s（\mu_0：真空磁導率，\epsilon_0：真空介電常數），與光源運動無關。邁克生－莫立實驗是其有力證明。
狹義相對性原理。
在所有慣性系中，物理定律有相同的表達形式。這是力學相對性原理的推廣，它適用於一切物理定律，其本質是所有慣性系平權。
狹義相對論，是僅描述平直線性的時空（指沒有重力的，即閔考斯基時空）的相對論理論。牛頓的時空觀認為運動空間是平直非線性的時空，可以用一個三維的速度空間來描述；時間並不是獨立於空間的單獨一維，而是空間坐標的自變數。
狹義相對論同樣認為空間和時間並不是相互獨立的，而它們應該用一個統一的四維時空來描述，並不存在絕對的空間和時間。在狹義相對論中，整個時空仍然是平直線性的，所以在其中就存在「全局慣性系」。狹義相對論將「真空中，光速為常數」作為基本假設，結合狹義相對性原理和上述時空的性質可以推出勞侖茲變換。
勞侖茲坐標變換
狹義相對論中，勞侖茲變換描述時空中兩個慣性參考系的時間、空間坐標之間的變換關係的。它最早由勞侖茲從以太說推出，用以解決古典力學與古典電磁學間的矛盾（即邁克生-莫立實驗的零結果）。後被愛因斯坦用於狹義相對論。
形式
當兩個參考系s與s 在t=0時重合，且s 相對s以速度v沿x軸正方向運動時，一個事件在s系的坐標(x,y,z,t)與在s 系的坐標(x ,y ,z ,t )滿足以下關係：
x = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
y = y
z = z
t = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
或使用矩陣乘法的形式，寫作：
\begin{bmatrix}x \\ct \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma\\ -\beta\gamma&\gamma \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}
其中
\beta = \frac{v}{c}
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}，稱為勞侖茲因子。
用張量表示方法可以簡單的表示為
x _i = a_{ij} x_j
其中 x _i=\begin{bmatrix}x \\ct \end{bmatrix}； x_j=\begin{bmatrix}x\\ct\end{bmatrix}； a_{ij}=\begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma\\ -\beta\gamma&\gamma \end{bmatrix}
推導
注意事項
勞侖茲變換要求t=0時，x=0，y=0，z=0，且相對速度僅有x分量。
正如伽利略變換中x2+y2+z2為守恆量，勞侖茲變換中x2+y2+z2+(ict)2為守恆量。
時間膨脹（愛因斯坦延緩）
\ T = \frac{T_0}{\sqrt{1 - ( \frac{v}{c} )^2}} 當物體運動時，它內部所有一切的物理化學變化反應都會變慢的這種假說，就是時間膨脹 (簡稱時慢)。時慢假說認為等速運動的物體帶在身上的時鐘，用靜系觀察者的時鐘去測量，不論運動方向，測量結果動鐘都隨著運動速度增加而變慢.
動系的時間膨脹率 = 勞侖茲因子,
愛因斯坦利用畢氏定理以及假設光速對任何相對等速運動的觀察者都一樣就推論出:
動鐘計時值 t = 靜鐘計時值t * 勞侖茲因子
假如有一個絕對靜止系，顯然，我們就可以測得各種物體的絕對時慢。所以處於相對靜止系的我們，所得之一切時慢之觀測值，都是相對時慢的觀測值。例如由勞侖茲變換的假說去推論，在動系的觀察者就測量出靜系的時間膨脹: t = 勞侖茲因子 t, 同時也測量出靜系的長度縮收: x =x/勞侖茲因子.
注意: 這裡假設的時間膨脹率，絕非只因為都卜勒效應讓時頻變低的視值。假設的時間膨脹率只跟受測物的相對速度有關，與近接或遠離的方向無關。遠離的都卜勒效應時頻視值[Fr=(C/(C+V ))F]是變慢的，但近接的都卜勒效應時頻視值[Fa=(C/(C-V ))F]是變快的。按照 愛因斯坦延緩假說，對靜系觀察者來說不論近接或遠離，動系通過一段固定距離的時間都加長了. 也就是說通過那段固定距離的動系速度V 被靜系觀察者計算成比較慢的V, 慢率是勞侖茲因子, V=V /勞侖茲因子. 所以靜系觀察者所測出的都卜勒效應被愛因斯坦延緩假說修改成為: Fr=(C/(C+(V /勞侖茲因子)))F 和 Fa=(C/(C-(V /勞侖茲因子)))F.
長度收縮（勞侖茲收縮）
\ L = L_0 \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}
勞侖茲收縮就是指當物體在運動時，在運動的那個軸向，會產生收縮。其收縮率，就是勞侖茲因子。其它軸向的長度，並不會有影響.
邁克生-莫立實驗那種實驗，就是勞侖茲收縮的最佳証明.
當然，被勞侖茲收縮的人事物本身，並不會察覺到被收縮了；從靜系看來，動系上的觀測者，就像拿著一根被收縮的尺，去測量被收縮的物體.
但是，因為絕對靜止系不可得，所以我們僅能測得相對短縮。因為我們不知道自己設定的靜止參考系，是否真的比我們要測的運動物體還要靜止。
假如運動物體上面有個觀測者，他又設定他的慣性系才是靜止的，那我們就變成他的動系了。當他觀測我們時，我們才是被收縮的一方，而他是正常的一方。
另外，勞侖茲收縮率，從移動電荷所產生的電場推遲的效應，也就可以推出來。
高速運動電荷產生的電場形變之等勢面，因為電場傳播不是無限快，所以必定會產生推遲，所以它向四周散發出的電場之等勢面，就不再是正球面對稱了。
同時的相對性
因為絕對靜止系不可得，所以各慣性系的觀測者，對於兩事件發生，僅能作出是否相對同時的判斷，而沒有辦法作出是否絕對同時的判斷，除非兩事件發生在同一時空點上。
當慣性系中的觀測者，在對該系中的有距離之兩鐘，進行校時，他把同步訊號源放在兩鐘的正中央，同步脈波呈球面對稱，半徑光速擴展，當鐘被同步波緣觸及時，即歸零 (或重置在相同的計時初值)，此時兩鐘的計時步調，即相對同步計時，有時也簡稱相對同時。
相對論質量
m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
m0指絕對質量（及牛頓力學中的質量），m為相對論質量 由公式可以看出，一個物質的速度v不可能到達或者超過光速，否則分母為一個虛數，不符合物理(光子沒有質量，因此其速度可以達到光速）。而當v遠遠小於c時，m可以近似的等於m0，近似的符合牛頓力學。
相對論力學
在狹義相對論中牛頓第二定律F = ma並不成立，而下式卻仍然成立
\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}
只不過在式中m不是恆量，所以根據d（uv）=udv+vdu，得
\mathbf{F} = \frac {d(M\mathbf{v})}{dt} = \frac {dM}{dt}\mathbf{v} + M\frac {d\mathbf{v}}{dt} = m\frac {d\gamma}{dt}\mathbf{v} + \gamma m\frac {d\mathbf{v}}{dt} 接著易得
\mathbf{F} = \frac{\gamma^3 m \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right)}{c^2} \, \mathbf{v} + \gamma m\, \mathbf{a}.
由上式可見，加速度並不和力的方向一致，且隨著速度逐漸趨向於光速，物體的質量趨向於無窮大，加速度趨向於零。
相對論能量
根據m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}公式，運動時物體質量增大，同時運動時將會有動能，質量與動能均隨速度增大而增大。
根據 \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}
得{dE_k}=\mathbf{F}{dx}= \frac{d\mathbf{p}}{dt}{dx}
因為\frac{dx}{dt}=v,所以{dE_k}=vd(mv)=v^2dm+mvdv
由m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}公式易得m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2
因為m,v都是t的函數，將該式兩邊對t求導，得mvdv=c^2dm-v^2dm，
帶入上{dE_k}式，得
{dE_k}=c^2dm
對其積分，{E_k}={\int_{m_0}^{m}c^2\,dm}=mc^2-m_0c^2
這就是相對論下的動能公式。當速度為0，m=m_0，動能為0。m_0c^2為物體靜止時的能量，而總能量=靜止能量+動能，因此總能量E=mc^2.
相對論動量與能量
根據式m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}，
等式左右兩邊平方，再同乘以光速的四次方
得:E^2 = (p c)^2 + (m_0 c^2)^2 \,
此外，不難證明:\mathbf{p} c^2 = E \mathbf{v} \,.
上兩式說明動量與能量是密切相關的
相對論下的電效應——磁場與電場的統一
實驗驗證
橫向都卜勒效應實驗
高速運動粒子壽命的測定
1、在超新星爆發中產生的宇宙射線，在近光速運動中半衰期延長。[來源請求]
2、在日內瓦強子對撞機中派介子半衰期延長。[來源請求]
攜帶原子鐘的環球飛行實驗
1、上世紀中期，有兩架波音客機搭載原子鐘分別向東和向西，第三台原子鐘留在地面，證實了雙生子佯謬成立。[來源請求]
相關條目
E=mc²
勞侖茲變換
伽利略變換
相對論
廣義相對論
論動體的電動力學
E=mc²
移動中的磁鐵與導體問題
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基本交互作用
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基本交互作用為物質間最基本的交互作用，常稱為自然界四力或宇宙基本力。迄今為止觀察到的所有關於物質的物理現象，在物理學中都可藉助這四種基本交互作用的機制得到描述和解釋。
名稱 相對強度 (以強交互作用為準) 性質 (對距離的作用大小) 作用的範圍(米) 傳遞交互作用的中間玻色子
強交互作用 1 1/r7 10-15 膠子
電磁交互作用 1/137 1/r2 無限大 光子
弱交互作用 10-13 1/r5 - 7 10-18 W 及 Z 玻色子(W±,Z0)
重力交互作用 10-39 1/r2 無限大 重力子
大統一理論認為：強交互作用、弱交互作用和電磁交互作用可以統一成一種交互作用，目前統一弱交互作用和電磁交互作用的電弱統一理論已經獲得實驗證實。
目錄
1 重力交互作用
2 電磁交互作用
3 強交互作用
4 弱交互作用
5 參見
重力交互作用
主條目：萬有引力
重力交互作用，簡稱重力或引力，是四個基本交互作用中最弱的，但是同時又是作用範圍最大的（不會如電磁力一般相互抵銷）。但當距離增大，重力交互作用的影響力就會遞減，假設兩物件的相互距離為r，其作用力則可以1/r2的計算式推論出來。不像其他的交互作用，重力可以廣泛地作用於所有的物質。由於其廣泛的作用範圍，當物質質量為極大，物質有關的屬性以及與物質的帶電量有時可以相對地忽略。
而由於其廣泛的作用範圍，重力可以解釋一些大範圍的天文現象，比如：銀河系、黑洞和宇宙膨脹；以及基本天文現象例如：行星的公轉；還有一些生活常識例如物體下落、很重的物體好像被固定在地上、人不能跳得太高等。
萬有引力是第一種被數學理論描述的交互作用。在古代，亞里士多德建立了具有不同質量的物體是以不同的速度下落的理論。到了科學革命時期，伽利略·伽利萊用試驗推翻了這個理論－如果忽略空氣阻力，那麼所有的物體都會以相同的速度落向地面。艾薩克·牛頓看到蘋果掉落時發現地心重力，進而引伸出萬有引力定律 (1687年) ，是一個用來描述通常重力行為非常好的近例。在1915年, 阿爾伯特·愛因斯坦完成了廣義相對論，將重力用另一種方式描述－時空幾何，並指出重力是空間與時間彎曲的一種影響。
如今，一個活躍的領域正致力於用一個使用範圍更廣的理論來統一廣義相對論和量子力學－大統一理論。在量子力學中，一個在量子重力理論中設想的粒子－重力子被廣泛地認為是一個傳遞重力的粒子。重力子仍是假想粒子，目前還沒有被觀測到。
儘管廣義相對論在非量子力學限制的情況下較精確地描述了重力，但是仍有不少描述萬有引力的替代理論。這些在物理學界嚴格審視下的理論都是為了減少一些廣義相對論的局限性，而目前觀測工作的焦點就是確定什麼理論修正廣義相對論的局限性是可能的。
但是，最近的研究似乎顯示，萬有引力並不是基本力，而是熵力。[1]
電磁交互作用
主條目：電磁交互作用
世上大部分物質都具有電磁力，而磁與電是電磁力的其中一種表現模式。例如電荷異性相吸、同性相斥的特性是其中之一。電磁力和重力一樣，其作用影響範圍是無限大的。
強交互作用
主條目：強交互作用
強交互作用又稱為強核力，所有存在宇宙中的物體都是由原子構成，而原子核是由中子和質子組成。中子沒有電荷，而質子則帶正電；但需要牽引力把它們結合在一起，而強交互作用就是這種「牽引力」
弱交互作用
主條目：弱交互作用
弱交互作用，或弱核力，可以說是核能另一種來源，主要是核子產生之天然輻射，四種交互作用中，弱交互作用只比重力強一點。
參見
^ On the Origin of Gravity and the Laws of Newton（英文）
強交互作用
弱交互作用
電磁交互作用
重力交互作用
交互作用
標準模型理論
電弱統一理論
大統一理論
萬有理論
宇宙速度
力
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物理學的基本交互作用
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精細結構常數
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精細結構常數是物理學中一個重要的無因次量，常用希臘字母α表示。其定義為
\alpha = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar c}
或者:\alpha = \frac{e^{2}}{2\varepsilon_{0}hc}
其中：
e是基本電荷
\varepsilon_{0}是真空電容率
\hbar是約化普朗克常數，h是普朗克常數
c是光速
根據2002年CODATA的推薦值，
\alpha=7.297352568(24)\times 10^{-3}=\frac{1}{137.03599911(46)}
近似計算可以取1/137。
目錄
1 精細結構常數的引入
2 精細結構常數的物理含義
3 精細結構常數是否隨時間變化？
4 進一步閱讀
5 參考文獻
6 外部連結
精細結構常數的引入
1913年丹麥物理學家波耳發表了波耳原子模型。波耳原子模型假設電子只能在一系列特定能量的軌道上繞原子核做圓周運動。當電子從一個能級跳到另一個能級上時，就會發射或者吸收與能級之間能量差相對應的光子。波耳原子模型很好地解釋了氫原子光譜線的分布規律。
然而進一步研究發現，氫原子光譜線具有精細結構，原先的一條譜線實際上是有幾條靠得很近的譜線組成的，波耳原子模型不能解釋光譜的精細結構。
德國物理學家索末菲在波耳原子模型的基礎上做了一些改進，建立了索末菲模型。在這個模型中，索末菲認為電子繞原子核運動的軌道不一定是正圓形，而是橢圓形。電子的軌道能級不僅與波耳模型中的主量子數 n 有關，還與角量子數有關。不同角動量量子數的軌道之間的能級差正比於某個無因次常數的平方。這個無因次常數是索末菲在解釋光譜的精細結構時引入的，因此被稱為精細結構常數。
引入精細結構常數後，波耳模型中電子的運動速度和能級可以表示成更為簡潔的形式：
v_{n}=\frac{\alpha c}{n}
E_{n}=-\frac{1}{2}m_{e}(\frac{\alpha c}{n})^{2}=-\frac{\alpha ^{2}}{2n^{2}}E_{0}
其中E0是電子的靜質量能。
因此，原子光譜中，能級的粗結構主要是由庫侖交互作用引起的，能量為α2E0數量級。
圖中是美國物理學家費米。黑板上第二行寫的就是精細結構常數，不過這裡寫錯了。
精細結構常數的物理含義
引入精細結構常數後，人們對它物理含義的第一個解釋就是波耳模型中處於基態的電子運動速度與光速的比值。然而隨著量子力學的發展，薛丁格方程式建立起來，人們開始用電子云和機率描述核外電子，拋棄了電子具有古典理論中確定的軌道和速度的概念。
英國物理學家狄拉克把量子波動力學與相對論相結合，提出電子的相對論性量子力學方程式——狄拉克方程式。狄拉克方程式認為光譜的精細結構是由電子的自旋-軌道作用引起的，是一種相對論效應，能量為α4E0數量級，是粗結構的α2倍。隨後發展起來量子電動力學將精細結構常數賦予了更深刻的含義。量子電動力學認為，精細結構常數是電磁交互作用中電荷之間耦合強度的度量，表徵了電磁交互作用的強度。精細結構常數的數值無法從量子電動力學推導出，只能通過實驗測定。在量子電動力學中，電子之間通過相互交換光子而發生交互作用。相互交換光子的複雜程度對最終結果的貢獻隨光子的吸收或發射次數呈指數式下降，這個指數的底就是精細結構常數。也就是說，任何電磁現象都可以用精細結構常數的冪級數來表達。
在描述強交互作用的量子色動力學和描述弱交互作用的電弱統一理論中，都有類似量子電動力學中交換粒子的過程，也具有類似的精細結構常數——耦合常數。耦合常數的大小表徵交互作用的強度。強交互作用的耦合常數約為1，比電磁交互作用的精細結構常數大得多，因此強交互作用的強度也比電磁交互作用強很多。相比之下，弱交互作用的耦合常數約為10-13，重力交互作用的耦合常數則為10-39。
精細結構常數將電動力學中的電荷e、量子力學中的普郎克常數h、相對論中的光速c聯繫起來，是無法從第一性原理出發導出的無因次常數，其大小為什麼約等於1/137至今尚未得到滿意的回答。歷史上很多物理學家和數學家嘗試了各種各樣的方法，試圖推導出精細結構常數的數值，但至今無法得到令人信服的結果。英國著名天文學家、物理學家愛丁頓曾試圖使用純邏輯的方法斷言精細結構常數的倒數等於整數137，然而實驗數據表明精細結構常數的倒數並不是整數。著名物理學家費曼曾說：
這個數字自五十多年前發現以來一直是個謎。所有優秀的理論物理學家都將這個數貼在牆上，為它大傷腦筋……它是物理學中最大的謎之一，一個該死的謎：一個魔數來到我們身邊，可是沒人能理解它。你也許會說「上帝之手」寫下了這個數字，而我們不知道他是怎樣下的筆。
精細結構常數是否隨時間變化？
1938年，英國物理學家狄拉克提出了大數假說，認為萬有引力常數G是隨時間變化的。1948年美國物理學家愛德華·特勒等人提出，精細結構常數與萬有引力常數之間有聯繫，因此精細結構常數也是隨時間變化的，現在正以約每年3萬億分之一的速度在增大。如果精細結構常數是隨時間變化的，那麼包括相對論在內的現有許多物理學理論都要進行修正。很多物理學家致力於測量精細結構常數隨時間的變化情況。
美國宇航局噴氣推進實驗室的研究人員精確測量了銫原子鐘、汞離子鍾和氫原子微波激射器的頻率在140天內的相對頻率漂移。結果發現，在現階段，精細結構常數的變化率不超過每年30萬億分之一，約為大數假說預言的十分之一。基本否定了狄拉克的大數假說。
在精細結構常數是否發生變化的爭論中，討論最多的是來自奧克勞天然核反應爐的數據。這是目前已知的世界上唯一一座天然核反應爐，位於加彭的奧克勞。它形成於大約20億年前，持續了數十萬年。研究人員測量了奧克勞鈾礦中釤149的中子散射截面，發現20億年來強交互作用的精細結構常數的變化率不超過十億分之四，年相對變化率不超過 2 × 10-19，遠低於狄拉克大數假說的數值。儘管得到的是強交互作用的精細結構常數變化率的數值，但是科學家們傾向於認為，如果精細結構常數的變化是由光速的改變引起的，那麼強交互作用的精細結構常數與電磁作用的精細結構常數的變化應該是一致的。但是2004年，美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室的史蒂夫·拉莫萊克斯等人重新分析了奧克勞天然核反應爐的數據，認為從奧克洛天然核反應爐形成以來，精細結構常數的數值至少減少了4.5×10-8。
類星體是位於宇宙遙遠位置的天體，類星體發出的光穿過瀰漫在宇宙中的氣體雲，形成吸收線。通過測量類星體光譜中的吸收線，可以得到幾十億到上百億年前精細結構常數的信息。澳大利亞新南威爾斯大學的天體物理學家韋伯領導的一個小組通過比較類星體光譜中不同元素吸收線的位置變化，將精細結構常數變化的測量精度提高了一個數量級。他們發現在宇宙早期大約0.5<z<3.5的紅移範圍內，精細結構常數比現在小大約百萬分之7[1]。2001年這一結果發表後，立刻引起一陣轟動。一些媒體宣稱「愛因斯坦的相對論被推翻了」，掀起了新一波「推翻相對論」的浪潮。然而反對者認為，韋伯等人結果的可靠性尚存在爭議。而即使精細結構常數發生了改變，未必意味著光速發生了變化。在未得到進一步確認前，認為「相對論被推翻」為時過早。
2004年6月，德國的一些研究人員以很高的精度測量了原子鐘的數據，並未發現精細結構常數在1999年至2003年間有10-15數量級上的變化。2004年4月，韋伯小組中來自劍橋大學的邁克·墨菲宣布，他們利用夏威夷的凱克望遠鏡研究了143個類星體的光譜，認為精細結構常數在過去10億年間大約改變了20萬分之一[2]。有消息稱，歐洲太空總署計劃於2006年在環地軌道上進行一次比墨菲小組的精度還要高100倍的原子鐘實驗，有望進一步測量精細結構常數的變化。
進一步閱讀
閒話精細結構常數
PhysicsWeb: Are the laws of nature changing with time?
參考文獻
^ J.K.Webb et al.Phys.Rev.Lett.87,091301(2001)
^ Michael Murphy s Research
外部連結
精細結構常數可能並不是常數
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拉普拉斯-龍格-冷次向量
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在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 \mathbf{r}\,\! 表示；而其大小則用 r\,\! 來表示。
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在經典力學裏，拉普拉斯-龍格-冷次向量（簡稱為 LRL 向量）主要是用來描述，當一個物體環繞著另外一個物體運動時，軌道的形狀與取向。典型的例子是行星的環繞著太陽公轉。在一個物理系統裏，假若兩個物體以萬有引力交互作用，則 LRL 向量必定是一個運動常數，不管在軌道的任何位置，計算出來的 LRL 向量都一樣[1] ；也就是說， LRL 向量是一個保守量。更廣義地，在克卜勒問題裏，由於兩個物體以連心力交互作用，而連心力遵守平方反比定律，所以，LRL 向量是一個保守量[2]。
氫原子是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律的靜電力互相作用．靜電力是一個標準的平方反比連心力。所以，氫原子內部的微觀運動是一個克卜勒問題。在量子力學的發展初期，薛丁格還在思索他的薛丁格方程式的時候，沃爾夫岡·包立使用 LRL 向量，關鍵性地導引出氫原子的發射光譜[3]。這結果給予物理學家很大的信心，量子力學理論是正確的。
在經典力學與量子力學裏，因為物理系統的某一種對稱性，會產生一個或多個對應的保守值。 LRL 向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裡，克卜勒問題等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維球面[4]；所以，整個問題涉及四維空間的某種旋轉對稱[5]。
拉普拉斯-龍格-冷次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯，卡爾·龍格，與威爾漢·冷次而命名。它又稱為拉普拉斯向量，龍格-冷次向量，或冷次向量。有趣的是，LRL 向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次[6]。它等價於天體力學中無因次的離心率向量[7]。發展至今，在物理學裡，有許多各種各樣的 LRL 向量的推廣定義；牽涉到狹義相對論，或電磁場，甚至於不同類型的連心力。
目錄
1 概論
2 歷史
3 數學定義
4 克卜勒軌道導引
5 圓形的速端曲線
6 運動常數與超級可積分性
7 在微擾勢下的系統演化
8 帕松括號
9 氫原子量子力學
10 保守性與對稱性
11 旋轉對稱性在四維空間
12 克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明
12.1 直接證明
12.2 哈密頓-亞可比方程式
12.3 諾特定理
12.4 李變換
13 推廣至別種位勢和相對論
14 別種比例與表述
15 參閱
16 參考文獻
17 外部連結
概論
在一個物理系統裏，在任意保守的連心力的作用下（參閱保守力），一個粒子的運動，都會擁有至少四個運動常數；能量與角動量 \mathbf{L} 的三個分量皆為運動常數。粒子的軌道被限制於一個平面。粒子的動量 \mathbf{p} 和從力中心點的位置到粒子位置的位移 \mathbf{r} （參閱圖 1）。粒子的運動平面垂直於角動量 \mathbf{L} 。用方程式表示，
\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=0 。
LRL 向量 \mathbf{A} ，也肯定地包含於粒子的運動平面。可是，只有當連心力遵守平方反比定律時， \mathbf{A} 才是常數向量[1]。對於別種連心力， \mathbf{A} 不是常數向量，其大小與方向都會改變。假若連心力近似地遵守平方反比定律，則 \mathbf{A} 的大小近似常數，而方向會緩慢地轉動。對於所有的連心力，我們可以定義一個廣義 LRL 向量，但是，這廣義向量通常並沒有解析解，假若有，也會是一個非常複雜的函數[8][9]。
歷史
在重要的克卜勒問題中， LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數，時常用來描述天文軌道，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它比較難以被直覺地理解內涵的物理。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次[6]。1710 年，在一個不著名的義大利學刊裏，雅各布·赫爾曼最先發表了關於 LRL 向量的論文。在導引一個軌道方程式的過程中，他計算出 LRL 向量的大小， A 是保守的[10]；並且導引出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴約翰·白努利，他的恩師。白努利又更進一步地導引出 LRL 向量的方向。這樣，LRL 向量得到了它的現代形式[11]。所以，不容質疑地，LRL 向量是赫爾曼和白努利共同發現的。
在那個世紀末尾，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯又重新地發現了 LRL 向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法[12]。十九世紀中葉，威廉·哈密頓導引出全等的離心率向量[7]。他用離心率向量來證明，在平方反比連心力作用下，速端曲線顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動[13] （參閱圖 3）。二十世紀初，約西亞·威拉德·吉布士，應用向量分析，導引出同樣的向量[14]。後來，卡爾·龍格將吉布士的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題[15] 。1924 年，威爾漢·冷次發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考[16]。1926 年， 沃爾夫岡·包立用 LRL 向量與矩陣力學，而不是薛丁格方程式，來導引氫原子的光譜[3]。這傑作說服了大多數物理學家，使他們覺得量子力學理論是正確的。
數學定義
圖 1:在平方反比連心力的作用下，一個移動中的粒子，在橢圓軌道的四點（標記為 1, 2, 3, 與 4 ）的 LRL 向量 \mathbf{A} （紅色表示）。力中心點表示為一個小黑點；從這黑點，位置向量 \mathbf{r} （黑色表示）以徑向方向指出。角動量 \mathbf{L} 垂直於軌道的平面。共面的向量 \mathbf{p}\times\mathbf{L} 與 mk\hat{\mathbf{r}} 分別用藍色與綠色表示。LRL 向量 \mathbf{A} 是一個運動常數向量
平方反比連心力 \mathbf{F}(r) 可以表達為
\mathbf{F}(r)= - \frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}} ；
其中，k 是比例常數，\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r} 是單位向量，\mathbf{r} 是粒子的位置向量，r 是 \mathbf{r} 的大小。
感受到此力的作用，一個粒子的軌道運動，其 LRL 向量的數學定義方程式為
\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}}；
其中，m 是粒子的質量，\mathbf{p} 是動量，\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} 是角動量。
由於平方反比連心力為保守力，能量 E=\frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} 是運動常數：
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{p}{m}\dot{p} + \frac{k}{r^2}\dot{r}=0。
再者，角動量 \mathbf{L} 也是保守的，可以決定粒子移動平面的取向。因為 \mathbf{p}\times\mathbf{L} 與 \mathbf{r} 都垂直於 \mathbf{L} ，所以，LRL 向量 \mathbf{A} 垂直於角動量； \mathbf{A} 包含於軌道的平面。
這個單獨粒子的 LRL 向量定義，也可以延伸至像克卜勒問題一類的二體問題。我們只需要設定質量 m 為二個物體的約化質量，設定位置向量 \mathbf{r} 為二個物體之間的相對位置向量。
同樣的運動常數可以有很多種不同的表述．最常見的一種牽涉到離心率向量。定義離心率向量 \mathbf{e} 為 LRL 向量與 mk 的除商：
\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}} 。
克卜勒軌道導引
圖 2：這是圖 1 的簡化版，角 \theta 定義為 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 之間的夾角。
克卜勒問題的運動軌道，其形狀與取向，可以用 LRL 向量決定[1]。 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 的內積為
\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}=Ar\cos\theta=\mathbf{r}\cdot\left(\mathbf{p}\times\mathbf{L} \right) - mkr ；
其中， \theta 為 \mathbf{A} 與 \mathbf{r} 之間的夾角。
置換其三重積，
\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) = \mathbf{L}\cdot\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right) = \mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2 。
所以，
Ar\cos\theta=L^2 - mkr 。
編排成圓錐曲線的方程式形式：
\frac{1}{r}=\frac{mk}{L^{2}}\left(1 +\frac{A}{mk}\cos\theta\right) 。
離心率 e 為
e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k} 。
克卜勒軌道與能量的關係可以由 LRL 向量導引出。\mathbf{A} 與自己的內積為
\begin{align} \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} & =(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}})\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - mk\mathbf{\hat{r}}) \\ & =p^2 L^2+m^2k^2 - 2mk\hat{\mathbf{r}}\cdot(\mathbf{p}\times\mathbf{L}) \\ & =\left(2mE+\frac{2mk}{r}\right)L^2+m^2k^2 - \frac{2mk}{r}L^2 \\ \end{align} 。
所以，
A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2 。
稍微編排，離心率的平方 e^{2} 是能量 E 的函數：
e^{2}=1+\frac{2L^{2}}{mk^{2}}E 。
假若能量 E 是負值的（束縛軌道），則離心率小於 1 ，這軌道是橢圓形軌道。相反地，假若能量是正值的（非束縛軌道，又稱為散射軌道）則離心率大於 1 ，這軌道是雙曲線軌道。最後，假若能量等於零，則離心率等於 1 ，這軌道是拋物線軌道。對於所有狀況， LRL 向量與圓錐曲線的對稱軸平行，而且從力中心點指向近拱點。
圓形的速端曲線
圖 3 :在平方反比連心力作用下，隨著粒子的軌道運動，使用速端曲線圖，固定動量向量 \mathbf{p} (藍色表示) 的尾部於原點，則其頭部呈圓形移動。四個標記的點對應於圖 1 的四點。圓形的中心是在 py-軸，py-座標為 A/L （以品紅色表示），半徑是 mk/L （以綠色表示）。
假設一個粒子在做軌道運動。其速度向量的物理行為可以用速端曲線顯示出來，而動量是速度乘以質量。所以，速端曲線也可以顯示出動量的物理行為。在平方反比連心力作用下，速端曲線（圖 3 ）顯示出，粒子的動量向量的頭部呈圓形移動；這事實可以用 LRL 向量 \mathbf{A} 與角動量 \mathbf{L} 的保守性來證明[13][6]。計算 \mathbf{L} 與 \mathbf{A} 的叉積：
L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L} 。
設定 xyz 參考系的圓點在力中心點，\mathbf{L} 與 z-軸同方向，x-軸與半長軸同軸。則
p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2} 。
換句話說，動量 \mathbf{p} 的頭部被限制於一個圓圈；圓圈的半徑為 mk/L ，圓心為 (0,\ A/L) 。如圖 3 所示，圓形的動量速端曲線 毫無疑問地顯示出克卜勒問題的對稱性。
夾角 \eta 的一邊是點 2 與圓心的連線，另一邊是負 py-軸。很顯然地，離心率等於 \cos\eta 。為了簡化運算，我們在這裡提出一個很有用的變量 p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|} 。
運動常數與超級可積分性
在克卜勒問題裏，兩個向量 \mathbf{A} ，\mathbf{L} 與一個純量 E 加起來一共有七個常數純量。它們之間的相依性表達於 \mathbf{A}\cdot\mathbf{L}=0 與 A^2=m^2k^2+2mEL^2 這兩個公式。因為 \mathbf{A} 的大小可以由角動量 \mathbf{L} 與能量 E 計算出來。再者，\mathbf{A} 必須垂直於 \mathbf{L} 。所以，\mathbf{A} 只能貢獻 1 個運動常數。
由於有上述兩個關係公式，這物理系統一共有五個獨立的運動常數。這結果與設定粒子軌道所需的六個初始條件（粒子的初始位置向量與初始速度向量，每一個向量有三個分量）相符合，原因是運動常數不涉及初始時間（視六個初始條件函數的參數為自變量初始時間。用其中的一個初始條件函數除去這自變量；將此初始條件函數當作一個自變量，則剰餘五個初始條件函數，函數的參數為新自變量）。
因為運動方程式是二階微分方程式，一個擁有 d 自由度的物理系統，需要 2d 個初始條件來設定解答。由於運動常數不涉及初始時間，這物理系統最多只能擁有 2d - 1 個運動常數。一個擁有超過 d 個運動常數的物理系統稱為超級可積分系統；而一個擁有 2d - 1 個運動常數的物理系統稱為最大超級可積分系統[17]。哈密頓-亞可比方程式的解答，採用任意一種坐標系統，最多只能求得 d 個運動常數[18]。
克卜勒問題擁有三個自由度（ d=3 ）與五個運動常數；克卜勒問題的系統是最大超級可積分系統；採用球坐標或拋物線坐標，哈密頓－亞可比方程式都是可積分的[19]；這論據，稍後會有詳細的解釋。最大超級可積分系統可以用對易關係來量子化，這論據，稍後也會又更明瞭的說明[20]。
在微擾勢下的系統演化
圖5：橢圓軌道的慢進動，離心率 e=0.667 。 假若，引性的連心力與平方反比定律稍微有點不同，類似的進動就會發生。
只有在一個標準的平方反比連心力下，粒子的 LRL 向量 \mathbf{A} 是保守的。對於大多數的實際問題，例如行星運動，作用力並不會完全地遵守平方反比定律，而可能會含有別種微擾的連心力；稱其負值不定積分為微擾勢，標記為 h(r) 。在這種狀況下，LRL 向量會緩慢地轉動於軌道平面，相應於軌道的慢進動。假若微擾勢 h(r) 為一個保守的連心勢，也就是說，總能量 E 與角動量 \mathbf{L} 都是保守的，則粒子的運動 仍舊包含於一個垂直於 \mathbf{L} 的平面，大小 A 仍舊是保守的。微擾勢 h(r) 可以是任何形式的函數。但是，微擾值應該顯著地弱於主連心勢。一個典形的微擾勢可以表示為
h(r)=-\ \frac{h}{r^n} ；
其中，h 是微擾勢強度，整數 n\le 2 。
用正則微擾理論與作用量-角度座標，可以直接地導引出 LRL 向量的轉動率是[1]
\begin{align} \bar{\Omega}=\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \, \mathrm{d}t \right\} \\ & = \frac{\partial}{\partial L}\left\{ \frac{m}{TL} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) \, \mathrm{d}\theta \right\} \\ \end{align} ；
其中，T 是軌道週期，恆等式 Ldt=mr^2 \mathrm{d}\theta 轉變時間積分為角積分（如圖 5 ）。角括號表達式 \langle h(r)\rangle 是週期平均微擾勢；也就是說，物體繞軌道一個公轉 的平均微擾勢。取平均值可以減少轉動率的變動。
這方法曾經被用來證實愛因斯坦的廣義相對論。廣義相對論在常見的牛頓萬有引力項目外，又添加了一項小的反立方微擾[21] 。
h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right) 。
將此函數代入積分。再代入 r 與 \theta 的關係公式
\frac{1}{r} =\frac{mk}{L^{2}}\left(1+\frac{A}{mk}\cos\theta\right) ，
就可以計算出這非牛頓微擾所產生的近拱點進動率[21]:
\bar{\Omega}=\frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}} 。
計算出的答案準確地符合實驗觀測到的水星進動數據[22]和雙重脈衝星數據[23]。這與實驗數據一致的結果被認為是廣義相對論的強證[24][25] 。
帕松括號
角動量 \mathbf{L} 的三個分量 L_i 的帕松括號是[1]
\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ；
其中，指標 i,\ j=1,\ 2,\ 3 代表直角座標系的三個座標 (x,\ y,\ z) ， \epsilon_{ijs} 是列維-奇維塔符號；在這裡，為了避免與力強度的標記 k 發生混淆，採用 s 為連加運算的指標。
定義一個與 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D} 為
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{2m\left|E\right|}} 。
向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。\mathbf{D} 與 \mathbf{L} 的帕松括號為[26]
\{ D_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s} 。
向量 \mathbf{D} 與自己的帕松括號相依於總能量 E 的正負號；也就是說，相依於是否總能量 E 是正值（在平方反比連心力作用下，產生開放的雙曲線軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓軌道）。假若總能量 E 是正值，帕松括號是
\{ D_{i}, D_{j}\} = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} 。
反之，假若總能量 E 是負值，帕松括號是
\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} 。
由於以下這三個帕松括號方程式，
\{ L_{i}, L_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ，
\{ D_{i}, L_{j}\}= \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s} ，
\{ D_{i}, D_{j}\} = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ，
我們可以確定，如果總能量 E 是負值，則克卜勒問題的對稱群是四維的旋轉群 SO(4) 。
假若總能量 E 是負值，卡西米爾不變量 C_1,\ C_2 定義為
C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|} ，
C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0 。
而且，卡西米爾不變量與 \mathbf{D} 的每一個分量的帕松括號皆為零：
\{ C_{1}, D_{i} \}=\{ C_{2}, D_{i} \}=0 。
還有，卡西米爾不變量與 \mathbf{L} 的每一個分量的帕松括號皆為零：
\{ C_{1}, L_{i} \}=\{ C_{2}, L_{i} \}=0 。
既然兩個向量 \mathbf{D} 與 \mathbf{L} 永遠是互相垂直的，C_{2} 明顯地是零。可是，另外一個不變量 C_1 只相依於質量 m ，力強度 k ，與總能量 E 。不變量 C_1 分別與 D_{i} ，L_{i} 的帕松括號等於零的導引並不明顯。這不變量 C_1 ，讓我們只需用到量子力學的正則對易關係，就可以導引出類氫原子的原子能級，而不必用到的薛丁格方程式。
氫原子量子力學
圖 6 ：從 LRL 向量算符與角動量算符的對易關係，預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。
帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化經典系統。兩個量子算符的對易關係等於 i\hbar 乘以對應的經典變量[27]。經過這量子化程序，計算克卜勒問題的卡西米爾算符 C_{1} 的本徵值 ，沃爾夫岡·包利成功地導引出類氫原子的原子能級（參閱圖 6 ），以及其發射光譜[3]。早在薛丁格方程式成立之前[28]，包利就研究出這重要的結果！
LRL 向量 \mathbf{A} 的量子算符有一個奧妙之處，那就是動量算符與角動量算符並不對易。動量與角動量的叉積必須仔細地加以定義[26]。LRL 向量的直角座標分量典型地定義為
A_{k}\equiv - m_e \alpha \hat{r}_{k} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ijk} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right) ；
其中，m_e 是電子的質量，常數 \alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} ，e 是單位電荷量，\epsilon_0 是真空電容率。
這定義有一個特性：指標 i,\ j 是對稱的，指標 i,\ j 的互換不會改變 A_k 的數值。表示為向量形式，
\mathbf{A}=- m_e \alpha \hat{r}+\frac{1}{2}(\mathbf{p}\times\mathbf{L} - \mathbf{L}\times\mathbf{p}) 。
那麼，其對應的哈密頓算符是
H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e} - \frac{\alpha }{r} 。
與 \mathbf{A} 向量成正比的 \mathbf{D} 向量則是
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{\sqrt{ - 2m_eH}} 。
請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。
經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係：
\{L_{i},\,L_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k} 、
\{L_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} D_{k} 、
\{D_{i},\,D_{j}\} = i\hbar\epsilon_{ijk} L_{k} 、
\{H,\,D_{i}\} =0 。
定義第一階張量算符為
J_{0}\equiv D_3 、
J_{\pm 1}\equiv \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( D_{1} \pm i D_{2} \right) 。
一個歸一化的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為
C_1\equiv \mathbf{D}^2+\mathbf{L}^2=\frac{m_e\alpha^2}{ - 2H} - \hbar^2 。
注意到 J_{+1} 和 J_{ - 1} 的對易關係是
\{J_{+1},J_{ - 1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\} = -\hbar L_{3} 。
應用維格納-艾卡定理 (Wigner-Eckart theorem) ，
J_0|l,\,m\rangle =i\sqrt{l^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m\rangle - i\sqrt{(l+1)^2 - m^2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m\rangle 、
J_{+1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l - m)(l - m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m+1\rangle - i\sqrt{(l+m+1)(l+m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle 、
J_{ - 1}|l,\,m\rangle = - i\sqrt{(l+m)(l+m - 1)/2}\ \mathfrak{C}_l|l - 1,\,m - 1\rangle - i\sqrt{(l - m+1)(l - m+2)/2}\ \mathfrak{C}_{l+1}|l+1,\,m - 1\rangle ；
其中，|l,\,m\rangle 是角量子數為 l 、磁量子數為 l 的本徵態，\mathfrak{C}_l 是常數係數。
經過一番運算， J_{+1} 和 J_{ - 1} 的對易算符作用於 |l,\,m\rangle 的結果是
\begin{align}\{J_{+1},\,J_{ - 1}\}|l,\,m\rangle & = - m[(2l-1)\mathfrak{C}_l^2-(2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2]|l,\,m\rangle \\ & = - \hbar L_3|l,\,m\rangle= - m\hbar^2 \\ \end{align} 。
所以，\mathfrak{C}_l 的遞迴關係是
(2l - 1)\mathfrak{C}_l^2 - (2l+3)\mathfrak{C}_{l+1}^2= \hbar^2 。
假設 \mathfrak{C}_l^2 是非負值，則為了滿足上述公式，l>0 。再假設 l 的最大值是 l_{max} 。由於態向量 |l_{max}+1,\,\ \rangle 不存在，\mathfrak{C}_{l_{max}+1}=0 。因此，\mathfrak{C}_{l_{max}}=\frac{\hbar^2}{2l_{max} - 1} 。設定 n=l_{max} - 1 ，稍加計算，\mathfrak{C}_l 的一般方程式為
\mathfrak{C}_l=\sqrt{\frac{n^2 - l^2}{4l^2 - 1}}\ \hbar 。
我們會發覺原來這個 n 就是跟能級有關的主量子數。讓我們先計算 D^2 ：
\begin{align}D^2|n,\,l,\,m\rangle & =[J_{+1}J_{ - 1}+J_{ - 1}J_{+1}+J_0^2]|n,\,l,\,m\rangle \\ & =(n^2 - l^2 - l - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle \\ \end{align} 。
所以，第一卡西米爾算符 C_1 作用於態向量 |n,\,l,\,m\rangle 可以得到
C_1|n,\,l,\,m\rangle=(D^2+L^2)|n,\,l,\,m\rangle=(n^2 - 1)\hbar^2|n,\,l,\,m\rangle 。
第一卡西米爾算符 C_{1} 的本徵值是 (n^2 - 1)\hbar^2 。重點是，這些本徵值不相依於量子數 l 與 m ，這造成了原子能階的簡併[26] ：
E_{n} = - \frac{m_e \alpha^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}}= - \frac{m_e e^4}{2n^2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}。
這就是著名的氫原子波耳公式。
保守性與對稱性
在克卜勒問題裏，LRL 向量的保守性 對應於系統的一種微妙的對稱性。在經典力學裏，對稱性可以由連續運算顯示出來；這連續運算可以將一個軌道映射至另外一個軌道，而同時保持系統的能量不變。在量子力學裏，連續運算將同能級原子軌域混合在一起，也就是說，（簡併原子能級）。
通常，對於每一個對稱性都會存在有一個保守量[1]。例如，連心力系統必對稱於旋轉群 SO(3) ；因而指引出角動量 \mathbf{L} 的保守性。在經典力學裏，整個系統的旋轉不會影響軌道的能量。在量子力學裏，假若旋轉只混合角量子數相同的球諧函數，則系統的能量不會改變。
圖 7 ：同能量的動量的速端曲線家族。每一個圓圈都經過在px-軸上，同樣的兩點 \pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|} 。這一家族的速端曲線對應於一個家族的阿波羅尼奧斯圓，和雙極坐標的 \sigma 坐標曲面。
平方反比連心力系統的對稱性是更高維與更微妙的。這奇特的對稱性是由角動量 \mathbf{L} 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的雙重保守性造成的；這保證了氫原子的能級不相依於角量子數 l 與磁量子數 m 。由於對稱性運算必須發生於更高維空間，使得這對稱性更加的微妙；這類的對稱性常稱為隱祕對稱性[29]。在經典力學裡，克卜勒問題的高維對稱性 容許連續的改變軌道．只要保持能量不變，而角動量可以改變；換句話說，同能量，不同角動量（離心率）的軌道可以互相的連續變換。在量子力學裡，這對應著不同角量子數 l 與磁量子數 m 的軌域的混合，例如 s (l=0) 與 p (l=1) 原子軌域的混合。這種混合是不能用普通的三維平移運算或旋轉運算達成的。可是，這種混合等價於高維度空間的旋轉。
在一個束縛 (bounded) 系統裏，能量是負值的，這高維對稱群是 SO(4) ；特性是四維向量的長度保持不變：
\left| \mathbf{e} \right|^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2+e_4^2 。
1935 年，弗拉基米爾·佛克 (Vladimir Fock)表明，在量子力學裡，束縛的克卜勒問題 等價於 一個粒子自由地移動於 四維空間的三維單位球[4]。更具體地，佛克表明，在克卜勒問題的動量空間，薛丁格波函數是球諧函數的球極平面投影。圓球的旋轉與重複射影造成了橢圓軌域的連續映射，同時維持能量不變；這對應於主量子數 n 相同的軌域的混合。隨後，華倫泰·巴格曼注意到，跟 LRL 向量成比例的向量 \mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的帕松括號形成 SO(4) 的李代數[5]。簡單地說，\mathbf{D} 與 \mathbf{L} 的六個物理量對應於在四維空間裏的六個保守的角動量分量，相伴於在四維空間裏的六個合法的簡單旋轉（從四個軸中，選兩個軸為旋轉軸。一共有六種可能）。這結論並不意示我們的宇宙是一個三維球面；而只是說，這個特別的物理問題（克卜勒問題），在數學上，等價於移動於三維球面的一個自由粒子。
在一個非束縛 (unbound) ，散射系統裏，能量是正值的，對應的高維對稱群是 SO(3,1) ；其特性是保持四維向量的閔考斯基長度不變：
ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2} 。
連心力系統（包括克卜勒問題的那些系統）的軌道對於反射也具有對稱性。所以，軌道的完全對稱群並不是前面所提的 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 群；而分別是 O(3) 、O(4) 、O(3,1) 。然而，我們只需要連通子群 SO(3) 、SO(4) 、SO(3,1) 來展示出角動量與 LRL 向量的保守性；反射對稱性與保守性不相關。保守性可以由群的李代數導引出來[30][31]。
旋轉對稱性在四維空間
圖 8 ：圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影。每一個大圓線都與 \eta_x-軸相交，後者垂直於頁面。投影是從北極（ w 單位向量）到 \eta_x\eta_x-平面，如同這裡的虛黑線表示於品紅色速端曲線。在緯度 \alpha 的大圓線對應於離心率 e=sin\ \alpha 。在這圖裏的大圓線的顏色對應於它們在圖 7 的速端曲線。
克卜勒問題與四維旋轉對稱性 SO(4) 的關聯可以很容易地觀察出來[30][32][33]。標記四維直角座標為 (w,\ x,\ y,\ z) ；其中， (x,\ y,\ z) 代表三維位置向量 \mathbf{r} 的直角座標。三維動量 \mathbf{p} 與三維單位球的四維向量 \boldsymbol\eta 的關係為
\boldsymbol\eta =\displaystyle \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p} ；
其中， \mathbf{\hat{w}} 是新的 w-軸的單位向量。
很簡單地，我們可以核對 \boldsymbol\eta 也是一個單位向量：
\boldsymbol\eta=\hat{\boldsymbol\eta} 。
從 \mathbf{p} 至 \hat{\boldsymbol\eta} 的映射有一個獨特唯一的逆反；例如，動量 \mathbf{p} 的 x-軸分量是
p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}} 。
p_y 與 p_z 也有類似的公式。換句話說，三維動量向量 \mathbf{p} 是四維單位向量 \hat{\boldsymbol\eta} 的球極平面投影，其比例因子為 p_0 。
選擇一個合適的直角座標，使 z-軸與角動量 \mathbf{L} 同直線，使動量的速端曲線的取向如同圖 7 ，圓心包含於 y-軸。這樣，不失廣義性，我們可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，\mathbf{p} 與 \mathbf{L} 互相垂直，而且，p_z=\eta_z=0 。因此，我們只需要專注於三維向量 \hat{\boldsymbol\eta}=(\eta_w,\ \eta_x,\ \eta_y) 。圖 7 速端曲線的阿波羅尼奧斯圓 家族對應於在三維單位球 \boldsymbol\eta 的大圓線家族。每一個大圓線與 \eta_x 相交於兩個交點 \eta_x=\pm 1 。這兩個交點相對於速端曲線圖的兩點 p_x=\pm p_0 。這兩個交點也是這些大圓線的共同交點。所以，這些大圓線的互相關係是一個環繞著 \eta_x-軸的簡單旋轉（參閱圖 8 ）。以 \eta_x-軸為轉軸，每一個大圓線的位置是從 \eta_x\eta_y-平面旋轉 \alpha 角。
取任意一個大圓線 \eta_y 最大值的一點，其坐標為 (\eta_w,\ 0,\ \eta_y,\ 0) 。那麼，
p_x=0 、
p_y=p=(A+mk)/L 、
\eta_y=cos(\alpha)=\frac{2p_0 p_y}{p_y^2+p_0^2} 。
經過一番運算，代入 p_0 的值，可以得到
\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{p_y^2 - p_0^2}{p_y^2+p_0^2} \\ & =\frac{(A+mk)^2 - 2m|E|L^2}{(A+mk)^2+2m|E|L^2} \\ \end{align} 。
給予一個束縛軌道，能量是負值的：
\begin{align} sin(\alpha) & =\frac{(A+mk)^2+2mEL^2}{(A+mk)^2 - 2mEL^2} \\ & =\frac{A}{mk}=e \\ \end{align} 。
所以，離心率 e=sin(\alpha) 是緯度 \alpha 的正弦函數。
由於圖 7 的動量的速端曲線對應於 \eta 三維單位球的大圓線的球極平面投影，而這速端曲線家族的成員都擁有相同的能量。所以，這旋轉的對稱性使所有能量相同的軌道都能夠互相變換。但是，這旋轉正交於通常的三維旋轉，因為它涉及了第四維 \eta_w 。高維度的對稱性是克卜勒問題對應於 LRL 向量的一個特徵。
採用橢圓柱坐標 \chi,\ \psi,\ \phi 來代替四維座標 \boldsymbol\eta ，克卜勒問題有一個精緻的作用量-角度座標解答[34]：
\eta_{w} = \mathrm{cn}\, \chi \ \mathrm{cn}\, \psi ，
\eta_{x} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \cos \phi ，
\eta_{y} = \mathrm{sn}\, \chi \ \mathrm{dn}\, \psi \ \sin \phi ，
\eta_{z} = \mathrm{dn}\, \chi \ \mathrm{sn}\, \psi ；
其中， \mathrm{sn},\,\mathrm{cn},\,\mathrm{dn} 是亞可比橢圓函數。
克卜勒問題 LRL 向量恆定的證明
以下幾種導引可以推導出，在平方反比連心力下，LRL 向量守恆。
直接證明
假設，一個連心力 f(\mathbf{r})\hat{\mathbf{r}} 作用於一個粒子。根據牛頓第二定律，運動方程式為
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=f(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}} ；
其中，f(\mathbf{r}) 是函數，\mathbf{r} 為粒子的位置，\mathbf{p} 是動量，t 是時間。
由於在連心力下，角動量 \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} 是恆定的，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{L} = 0 。
所以，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \mathbf{p}\times\mathbf{L} \right)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{L} = f(\mathbf{r}) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) = f(\mathbf{r}) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right) - r^{2} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \right] 。
代入以下恆等式：
\mathbf{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}\right) =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\right)=r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}，
可以得到方程式，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right] = - m f(\mathbf{r}) r^{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) 。
代入平方反比連心力的方程式 f(\mathbf{r})=\frac{ - k}{r^{2}} ，
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = m k \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) 。
所以，在平方反比連心力下，\mathbf{A} 是恆定的：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0 。
哈密頓-亞可比方程式
我們也可以用哈密頓-亞可比方程式的可分性導引出 LRL 向量的恆定性[19][35]。採用拋物線座標 (\xi,\ \eta) ，定義
\xi =r+x 、
\eta =r - x ；
其中，(x,\ y) 是直角座標，r 是軌道的徑向距離：
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} 。
逆反過來，
x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right) 、
y = \sqrt{\xi\eta} 。
則克卜勒問題的哈密頓量為
\begin{align}H & = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2-\frac{k}{r} \\ & =\frac{2\xi p_{\xi}^2}{m(\xi+\eta)}+\frac{2\eta p_{\eta}^2}{m(\xi+\eta)} - \frac{2k}{\xi+\eta} \\ \end{align} ；
其中，p_{\xi},\ p_{\eta} 分別是廣義座標 \xi,\ \eta 的共軛動量。
由於克卜勒問題的勢函數只相依於廣義座標，哈密頓量是個能量運動常數，H=E 。稍加編排，可以得到
2\xi p_{\xi}^2 - mk - mE\xi= - 2\eta p_{\eta}^2+mk+mE\eta 。
這公式的左手邊與右手邊分別相依於不同的廣義座標，所以，兩邊都相等於一個運動常數，標記為 \Gamma ：
2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = - \Gamma 、
2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \Gamma 。
思考 LRL 向量的 x 分量，
\begin{align} A_{x} & = p_{y}(xp_{y} - yp_{x}) - mk\frac{x}{r} \\ & = xp_{y}^2 - yp_{x}p_y - mk+m\eta\frac{k}{r} \\ \end{align} 。
代入能量方程式 E=\frac{1}{2}mv^2 - \frac{k}{r} ，則
A_{x}=xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta - mk - mE\eta 。
這公式右手邊，前三個項目，經過一番計算，可以得到
xp_{y}^2 - yp_{x}p_y+\frac{1}{2}m^2 v^2 \eta =\frac{m^2}{8}\dot{\eta}^2\frac{(\eta+\xi)^2}{\eta}=2\eta p_{\eta}^2 。
所以，A_x 也是運動常數：
A_x=\Gamma 。
諾特定理
LRL 向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用諾特定理來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明 LRL 向量是運動常數。諾特定理表明[36]：在一個物理系統裏，對於廣義坐標 q_{i} 的微小變分 \delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t) ，假若，取至微小參數 \epsilon 的一階，拉格朗日量 \mathcal{L} 的變分 \delta \mathcal{L} 是
\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} G(\mathbf{q},\ t) ，
則必存在保守量 \Gamma 滿足方程式
\Gamma = - G+\sum_{i}g_i\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right) ；
其中，g_i(\mathbf{q},\ \mathbf{\dot{q}},\ t) 、 G(\mathbf{q},\ t) 都是函數。
更具體地，在一個克卜勒問題裏，試設定坐標 x_{i} 的微小變分為
\delta x_i=\frac{\epsilon}{2} \left[ 2p_{i}x_{s} - x_{i}p_{s} - (\mathbf{r}\cdot \mathbf{p})\delta_{is} \right] ；
其中，i=1,\ 2,\ 3 ，x_i 與 p_i 分別為位置 \mathbf{r} 與動量 \mathbf{p} 的 i-軸分量，\delta_{is} 是克羅內克爾δ，s 是固定的下標。
由於克卜勒問題的拉格朗日量是
\mathcal{L}=\sum_{i}\left(\frac{1}{2}m\dot{x}_i\dot{x}_i\right)+\frac{k}{r} 。
其運動方程式為
m\ddot{x}_i+k\frac{x_i}{r^3}=0 。
對應於坐標 x_{i} 的變分，速度 \dot{x}_{i} 的變分為
\begin{align} \delta \dot{x}_{i} & = \frac{\epsilon}{2} \left[2\dot{p}_{i} x_{s}-x_{i}\dot{p}_{s}+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} - (\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{p}})\delta_{is} \right] \\ & = \frac{\epsilon}{2} \left[ - \frac{k}{r^3}x_i x_s+p_{i}\dot{x}_{s} - \frac{p^2}{m}\delta_{is} +\frac{k}{r}\delta_{is} \right] \\ \end{align} 。
拉格朗日量取至一階的變分是
\begin{align} \delta \mathcal{L} & =\sum_{i}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i}\delta x_i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i\right) \\ & =\sum_{i}\left( - \frac{kx_i}{r^3}\delta x_i+m\dot{x}_i\delta\dot{x}_i\right) \\ \end{align} 。
代入 \delta x_i 和 \delta\dot{x}_i 的公式，經過一番繁瑣的運算，可以得到
\delta\mathcal{L}=\epsilon mk\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{x_{s}}{r} \right) 。
再代入保守量 \Gamma 的公式，則會得到
\Gamma=p^{2} x_{s} - p_{s}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) - \frac{mkx_{s}}{r}=\left[\mathbf{p}\times \mathbf{L} - mk\hat{\mathbf{r}}\right]_{s} ；
而這正是 LRL 向量的 s-軸分量 A_s 。
李變換
圖 9: 導引出 LRL 向量保守性的李變換。當這比例參數 \lambda 改變時，能量與角動量的大小也一起改變，可是離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小與方向不變。
諾特定理精緻地導引出 LRL 向量的保守性。美中不足地，這導引有一個弱點：坐標變分\delta x_{i} 不只涉及了位置 \mathbf{r} ，而且還涉及了動量 \mathbf{p} [37] 。假若，我們使用數學家索菲斯·李創建的方法來導引，可以除去這弱點[38][39] 。具體地，我們可以定義一個李變換[29]，座標 \mathbf{r} 與時間 t 都按照比例變換，比例是參數 \lambda 的不同羃數：
t \rightarrow \lambda^{3}t, \ \mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \ \mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p} 。
這變換改變了角動量 L 的大小與能量 E ：
L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E 。
可是，仍舊保持乘積 EL^2 不變。所以，離心率 e 與 LRL 向量 \mathbf{A} 的大小不變。這可以從 A^2 的公式觀察出：
A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2 。
由於半短軸與半長軸的取向 不因整體的比例變換 而改變，LRL 向量 \mathbf{A} 的方向也會保持不變。在李變換下，克卜勒第三定律也仍舊成立：半長軸 a 與週期 T 形成常數{T^2}/{a^3} 。
推廣至別種位勢和相對論
LRL 向量可以推廣至其他狀況；可以用來辨認在其他狀況下的保守值。
假設，一個物理系統裏，存在著電場 \mathbf{E} ，保守的廣義 LRL 向量 \mathcal{A} 是[19][40]
\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right] ；
其中，q 是粒子的電荷量。
最廣義的 LRL 向量的形式可以表達為[8]
\mathcal{A}=\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right)+\left[\xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2} \mathbf{\hat{r}} ；
其中，u=\frac{1}{r} （參閱伯特蘭定理），\xi=\cos\theta ，角 \theta 定義為
\theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}} ；
其中，\gamma 是勞侖茲因子。
如同前面所提，計算 \mathbf{L} 與 \mathcal{A} 的叉積，可以得到一個保守的副法線向量 \mathcal{B} ：
\mathcal{B}=\mathbf{L}\times\mathcal{A} 。
綜和兩個向量成為一個保守的並矢張量 \mathcal{W} ：
\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B} 。
舉例說明，計算一個非相對論性，均向性諧振子的 LRL 向量。由於作用力是連心力，\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}，力子的角動量是保守的，粒子的運動包含於一個平面。請注意， \mathbf{P} 與 \mathbf{L} 不是一定互相垂直的。保守的並矢張量可以表達為一個簡單的形式：
\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} 。
其相應的 LRL 向量必較複雜
\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\} ；
其中， \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} 是自然振率。
別種比例與表述
不同於動量與角動量，並沒有學術界一致認同的 LRL 向量定義；在科學文獻裏，存在有幾種不同的比例因子與符號。前面所述的定義是最普遍的定義。另外一種常見的定義，將 \mathbf{A} 除以常數 mk ；這樣，可以得到一個無因次的離心率向量 \mathbf{e} ：
\mathbf{e}=\frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{L}\right) - \mathbf{\hat{r}} ；
其中，\mathbf{v} 是速度。
離心率向量 \mathbf{e} 的方向與 \mathbf{A} 相同，大小是軌道的離心率。
別種比例的版本也可能會用到。例如，將 \mathbf{A} 除以 m ：
\mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}，
或者，將 \mathbf{A} 除以 P_0 ：
\mathbf{D}=\frac{\mathbf{A}}{P_{0}}=\frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}} \left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\} 。
\mathbf{D} 與角動量 \mathbf{L} 的單位相同。在非常稀有的狀況， LRL 向量的正負號會改變。這些，都不會影響它是運動常數的事實。
圖 4: 角動量 \mathbf{L} ， LRL 向量 \mathbf{A} ，與副法線向量 \mathbf{B} 都互相垂直。\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 分別和橢圓的半長軸與半短軸的指向相同。
另外一個保守的向量是副法線向量 \mathbf{B} 。威廉·哈密頓曾經研究過這向量[7]。
\mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \ \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right) 。
這保守的向量與橢圓的半短軸同直線。\mathbf{A} 是 \mathbf{B} 叉積 \mathbf{L} （參閱圖 4 ）。兩個向量 \mathbf{A} 與 \mathbf{B} 可以結合起來形成一個保守的並矢張量 \mathcal{W} [8]：
\mathcal{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B} ；
其中，\alpha 與 \beta 是任意比例常數，符號 \otimes 表示張量積。展開這公式為
\mathcal{W}_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j} 。
由於兩個向量互相垂直，\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 可以視為保守的張量 \mathcal{W} 的主軸，也就是說，按比例的特徵向量。由於\mathbf{A} 與 \mathbf{B} 都垂直於 \mathbf{L} ，張量 \mathcal{W} 垂直於角動量 \mathbf{L} ：
\mathbf{L} \cdot \mathcal{W} = \alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0 。
參閱
二體問題
伯特蘭定理
量子力學
太空動力學: 軌道, 離心率向量, 軌道根數
參考文獻
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外部連結
加利福尼亞大學河濱分校物理網頁：Baez, John. Mysteries of the gravitational 2-body problem.
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在物理學裏，作用力可以分類為連心力與非連心力。連心力的方向永遠指向一個固定點；稱此點為力中心點。許多宇宙最基本的力，像萬有引力、靜電力，都是連心力。而勞侖茲力的磁力部分則乃非連心力[1]。連心力以方程式表達為
\mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}\,\! ；
其中，\mathbf{F}\,\! 是連心力，\mathbf{r}\,\! 是從力中心點到檢驗位置的徑向向量。
連心力可以進一步細分為兩種版本：強版本和弱版本。強版連心力要求連心力相依於徑向距離：
\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}\,\! 。
弱版連心力沒有這嚴厲的條件。在物理學裡，大多數重要的連心力都是強版連心力；簡單擺的繩索作用於擺錘的拉力是一種弱版連心力，這拉力的方向是徑向方向，但對於小角度擺動，拉力的大小可以近似為一個常量，是擺錘感受到的重力大小。
目錄
1 角動量恆定
2 平面運動
3 平面速度恆定
4 連心勢
5 有效勢能
6 有心運動的軌跡的確定
6.1 平方反比類連心力的運動軌跡方程式
6.2 任意冪次連心力的情況
7 參閱
8 注釋和參考文獻
角動量恆定
假設一個粒子，感受到連心力 \mathbf{F}\,\! 的作用，則施加於此粒子的力矩 \boldsymbol{\tau}\,\! 為零：
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{r}\times F\hat{\mathbf{r}}=0\,\! 。
角動量 \mathbf{L}\,\! 對於時間 t\,\! 的導數是力矩：
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}\,\! 。
所以，角動量守恆，是個常數。
平面運動
關於此粒子的運動，
\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r}\times(m\mathbf{v}))=0\,\! 。
此粒子的位置向量 \mathbf{r}\,\! 垂直於恆定的角動量 \mathbf{L}\,\! ，所以，此粒子的運動必局限於垂直於角動量的平面。
平面速度恆定
採用極坐標系 (r,\theta)\,\! 來表示此粒子的平面運動，原點為力中心點。則角動量為
L=mr^2\dot{\theta}\,\! ；
這裡，m\,\! 是粒子的質量、\dot{\theta}\,\! 是角速度。
粒子與力中心點的連線，掃過的平面的平面速度 \frac{dA}{dt}\,\! 為
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\dot{\theta}=\frac{L}{2m}\,\! 。
所以，受連心力作用的粒子與力中心點的連線，掃過的平面，速度恆定。
連心勢
主條目：保守力
假若連心力 \mathbf{F}\,\! 是一個函數 V(\mathbf{r})\,\! 的負梯度：
\mathbf{F}= - \nabla V(\mathbf{r})\,\! ，
則連心力是保守力：
連心力的旋度是 0 ：
\nabla\times\mathbf{F}= - \nabla\times\nabla V=0\,\! ，
對於任何簡單的閉合迴路，連心力所做的機械功 W\,\! 是 0 ：
W = \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= 0\,\! 。
此函數 V\,\! 是一個純量勢，注意到由於 \mathbf{F}=F\hat{\mathbf{r}}\,\! ，純量勢 V\,\! 只能相依於 r\,\! ：
\mathbf{F}= - \frac{\partial V}{\partial r}\ \hat{\mathbf{r}}\,\! 。
稱 V(r)\,\! 為連心勢。連心力也只能相依於 r\,\! ：
\mathbf{F}=F(r)\hat{\mathbf{r}}\,\! 。
這連心力是強版連心力。
有效勢能
一個運動於勢能 V(r)\,\! 的粒子的拉格朗日量等於動能減去勢能：
\mathcal{L}(r,\theta) = \frac{m}{2}\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2\right) - V(r)\,\! 。
其拉格朗日方程式為
m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2 - F(r)=0\,\! 、
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(mr^2\dot{\theta})=0\,\! ；
其中，F(r)= -\ \frac{\partial V(r)}{\partial r}\,\! 為連心力。
由於連心勢與角坐標 \theta\,\! 無關，因此其共軛動量（角動量）是個運動常數：
P_{\theta}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = m r^2 \dot{\theta}\,\! 。
為了善用此運動常數，應用勒壤得轉換轉到相空間得到哈密頓量和運動方程式：
\dot{p}_{r} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ \frac{P_{\theta}^2}{2 m r^2} + V(r) \right]\,\! 。
因此，我們得到粒子的徑向運動等同於一個在以下有效勢能中的一維運動：
V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} + V(r)\,\! 。
星體在 \frac{1}{r^2}\,\! 萬有引力下運動的有效勢能是：
V_{\rm Eff}(r) = \frac{P_{\theta}^2}{2m} \frac{1}{r^2} - \frac{K}{r}\,\! 。
因此可以看到，有效勢能所造成的作用力，在短距離因為角動量守恆項目而排斥，在遠距離因為萬有引力項目而吸引。兩者平衡點－即有效勢能最低點－正是圓形軌道半徑。
有心運動的軌跡的確定
連心力的運動軌道可以用比內（Binet）公式來計算。在平面極坐標系中，如果令：
u = \frac{1}{r}, h = \frac{L_0}{m}
其中L_0為物體做有心運動時的角動量，則有：
-mh^2 u^2(\frac{d^2 u}{d\theta^2}+u) = F(u)
解這個微分方程式[2]可以得到運動軌跡的半徑與角度的關係[3]：
r = \frac{1}{u(\theta)} = r(\theta)
平方反比類連心力的運動軌跡方程式
將大小與到力心位置距離成平方反比的連心力表示為：F(r) = \frac {k}{r^2}，將它代入上述的方程式，得到：
-mh^2 u^2 (\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + u) = \frac {k}{r^2}
通過移項整理，可以得到一個二階常係數線性非齊次方程式：
\frac {d^2 u}{d \theta ^2} + mf(u) = 0
的式子，其中m為移項整理後關於f(u)這個多項式的外層係數。通過類比彈簧振子簡諧運動方程式的求解方法[4]，可以類似地解得上述方程式的通解：
r = \frac {1}{u} = \frac {\frac {mh^2}{k^2}}{1 + \frac {mh^2}{k^2} \cos (\theta-\theta_0)}
可以看出，其運動軌跡為圓錐曲線中的一種。
任意冪次連心力的情況
物體在連心力作用下的運動情況常常涉及複雜的二階線性非齊次方程式，表現為非線性動力學問題[5]。作為特殊情況，當連心力可以表示為反比或者平方反比時，通常可以像以上演算法來簡化微分方程式的求解，這也給天文學家分析問題帶來了很大的方便[6]。但是其他冪次的情況則複雜得多。
參閱
克卜勒問題
伯特蘭定理
三體問題
注釋和參考文獻
^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7. ISBN 0201657023.
^ 這是個二階常係數非齊次線性方程式。
^ 陳世民. 理論力學簡明教程. 高等教育出版社: 49頁. ISBN 978-7-04-023918-8.
^ 彈簧振子簡諧振動的運動微分方程式\frac {d^2 r}{d t^2} + \frac {kx}{m} = 0有通解為：r = A \cos (\omega t) \!，其中A為積分常數，可以通過初始條件確定；\omega = \sqrt{\frac {k}{m}}，為簡諧振的角速度。
^ 陳世民. 理論力學簡明教程. 高等教育出版社: 63頁. ISBN 978-7-04-023918-8.
^ 萬有引力即是典型的平方反比類型的力。
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多體問題
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多體問題是指找出已知初始位置、速度和質量的多個物體在經典力學情況下的後續運動。
目錄
1 多體問題的數學公式
1.1 一般考慮:解決多體問題
2 二體問題
3 三體問題
4 為解決多體問題設立的奧斯卡二世獎
5 Sundman的三體問題理論
6 多體問題的通用解
6.1 多體問題的奇妙
7 其它
多體問題的數學公式
天體力學中的普遍情況下的多體問題是一組已知初始值的常微分方程組：即已知初始值 q_j(0), \quad\dot q_j(0), j=1,\ldots,n （當j 不等於k 時， q_j(0) \neq q_k(0) ），解出這個二階常微分方程組
m_j \ddot q_j = \gamma \sum\limits_{k\neq j }^{n} \frac{m_j m_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1)
其中 m_1,m_2,\ldots m_n 是代表n個質點質量的常量。 q_1,q_2,\ldots,q_n 是以時間t為變數描述質點位置的三維矢量函數。
約翰·伯努利已經完全解決了 n=2 的情況。（參見#二體問題）
一般考慮:解決多體問題
在有關多體問題（n\geq 3 ）的物理文學作品裡有時會發現像「解決多體問題是不可能的」這樣的描述。
n 體問題包含6n 個變數，因為每個質點需要3個空間坐標和3個分速度表示。
二體問題
主條目：二體問題
假如兩個物體的共同質心是靜止的，每一個物體沿著一條圓錐曲線運行,而這條圓錐曲線的焦點與這個系統的質心重合（對於雙曲線，是與焦點同側的那一支）。
假如這兩個物體被限制在一起，它們的運動軌跡都為橢圓；這時的勢能（經常為一負值）相對於它們離得很遠情況在絕對值上大於這個系統總動能（這些物體在它們坐標軸的旋轉能這裡未計算在內）。
假如它們正在遠離，它們將一同沿著拋物線或雙曲線運動。
對於雙曲線的情況，勢能的絕對值小於這個系統的總動能；即兩種能量的和為正值。
對於拋物線的情況，兩種能量的和為0。當兩物體相距很遠時，它們的相對速度趨於0。
注釋：拋物線軌道的能量為0的事實由當物體相距無限遠時，重力勢能為0這一假定產生的。系統在無限分離的狀態下可以被認為具有任意值（例如42焦）的勢能。那一種狀態被假定具有0勢能（即0焦）。
三體問題
主條目：三體問題
當n\geq 3 時的多體問題現在知道得很少。n=3的情況研究得最多，且很多結論可以推廣到更大的n。最先嘗試解決三體問題是從量化的、尋找顯式解的角度。
1767年歐拉找到了共線周期軌道,其中任意質量的三個物體振蕩在旋轉線上。
1772年拉格朗日發現了一些周期解，存在周期性的擴張和收縮的旋轉等邊三角形的頂點上。這些解引領了關於中心結構的研究，其中\ddot q=kq （k為大於零的常數）。
三體問題是很令人費解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay曾經在地-月-日系統做出了主要研究。他曾於1860年和1867年分別出版了長達900頁的關於這個問題的著作。
為解決多體問題設立的奧斯卡二世獎
Sundman的三體問題理論
多體問題的通用解
多體問題的奇妙
其它
多體問題在電視劇《犯罪心理》中"Compulsion"這段被顯著提到。
多體問題也出現在1951年科幻電影《地球停轉之日》，其中Klaatu為了吸引一位科學家的注意而解決了這個問題。
科幻小說《夜幕低垂》即是在多體問題的世界中（n>6），星球上的居民一生中從沒有遇過黑夜直到2049年一次的「日蝕」。
中國大陸作家劉慈欣的科幻小說《三體》中一個主題就是三體問題。
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天體力學
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高斯引力常數
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高斯引力常數是卡爾·弗里德里希·高斯引入的以太陽系為單位的引力常數，其好處是不需要準確地知道在常用單位（如公制單位）下的太陽系的尺度或是太陽和行星的質量，就可以精確地描述行星的運動。
高斯使用下列的單位：
長度（A）：天文單位（地球繞太陽公轉的平均軌道半徑）。
時間（D）：平太陽日（相對於太陽，地球繞軸自轉的平均週期）。
質量（S）：太陽質量。
由克卜勒第三定律使用於地球的運動，他推導出他的引力常數：
k = 0.01720209895 A3/2 S−1/2 D−1.
在1939年，國際天文聯合會採納他上述的數值作為天文學上的常數，由此推導出天文單位，並不再實際定義地球到太陽的軌道。在近代的天體曆，地球的平均軌道軸比1天文單位略長一些，而且恆星年比1高斯年略短一些。
高斯並未完全了解實際的平太陽日會逐漸增長，和未察覺時鐘速率在相對論上的區別。以這個常數定義的日稍後被作為曆書時的依據，以這個常數定義的一日的1/86,400做為曆書時秒的單位；並且在現代的用法是作為質心力學時（TDB）的單位，並且曆表時秒的長度如同地球表面上的計時器測量的秒，被做為公制中秒的單位。
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物理常數
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分析力學
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分析力學是理論力學的一個分支，是對古典力學的高度數學化的表達。
古典力學最初的表達形式由牛頓給出，大量運用幾何方法和向量作為研究工具，因此它又被稱為向量力學（有時也叫「牛頓力學」）。拉格朗日，哈密頓，亞可比等人使用廣義坐標和變分法，建立了一套同向量力學等效的力學表述方法。同向量力學相比，分析力學的表述方法具有更大的普遍性。很多在向量力學中極為複雜的問題，運用分析力學可以較為簡便的解決。分析力學的方法可以推廣到量子力學系統和複雜動力學系統中，在量子力學和非線性動力學中都有重要應用。
分析力學又分為拉格朗日力學和哈密頓力學。前者以拉格朗日量刻劃力學系統，運動方程式稱為拉格朗日方程式，後者以哈密頓量刻劃力學系統，運動方程式為哈密頓正則方程式。
參閱
古典力學
拉格朗日力學
哈密頓力學
＊＊＊
哈密頓力學
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古典力學
\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})
牛頓第二定律
歷史、年表
显示▼分支
显示▼理論表述
显示▼基礎概念
显示▼重要理論
显示▼科學家
查·論·編·歷
哈密頓力學是哈密頓於1833年建立的古典力學的重新表述，它由拉格朗日力學演變而來。拉格朗日力學是古典力學的另一表述，由拉格朗日於1788年建立。哈密頓力學與拉格朗日力學不同的是前者可以使用辛空間而不依賴於拉格朗日力學表述。關於這點請參看其數學表述。
適合用哈密頓力學表述的動力系統稱為哈密頓系統。
目錄
1 作為拉格朗日力學的重新表述
2 哈密頓系統的幾何
3 數學表述
4 黎曼流形
5 亞黎曼流形
6 帕松代數
7 參閱
8 參考
作為拉格朗日力學的重新表述
從拉格朗日力學開始，運動方程式基於廣義坐標
\left\{\, q_j | j=1, \ldots,N \,\right\}
而相應的廣義速度為
\left\{\, \dot{q}_j | j=1, \ldots ,N \,\right\}
通過延伸記號的意義，我們將拉格朗日函數寫作
L(q_j, \dot{q}_j, t)
其中帶下標的變數視為所有N個該類型的變數。哈密頓力學的目標是用廣義動量（也稱為共軛動量）變數取代廣義速度。這樣一來，就可能處理特定的系統，例如量子力學的某些方面，否則其表述會更複雜。
對於每個廣義速度，有一個對應的共軛動量，定義為:
p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}
在直角坐標系中，廣義動量就是物理上的線性動量。在極坐標中，對應角速度的廣義動量就是物理上的角動量。對於廣義坐標的任意選取，可能不能找到共軛動量的直觀解釋。
在依賴於坐標的表述中不太明顯的一點是：不同的廣義坐標實際上無非就是同一辛流形的不同坐標表示。
哈密頓量是拉格朗日量的勒壤得轉換：
H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t)
若定義廣義坐標的變換方程式和t無關，可以證明H等於總能量E = T + V.
H的定義的每邊各產生一個微分:
\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt \end{matrix}
把前面共軛動量的定義代入這個方程式併合並係數，我們得到哈密頓力學的運動方程式，稱為哈密頓正則方程式:
{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}
哈密頓方程式是一階微分方程式，因而比拉格朗日方程式容易解，因為那個是二階的。但是，導出運動方程式的步驟比拉格朗日力學更繁瑣 - 從廣義坐標和拉格朗日量開始，必須先計算哈密爾頓量，用共軛動量來表達每個廣義坐標，然後將共軛動量代入哈密頓量。總之，用哈密頓力學來解決問題不比用拉格朗日力學簡單多少。最終，它們導致和拉格朗日力學和牛頓運動定律同樣的解。
哈密頓方法的主要優點在於它提供了古典力學理論的更深刻結果的基礎。
哈密頓系統的幾何
哈密頓系統可以理解為時間R上的一個纖維叢E，其纖維Et，t ∈ R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢(射流叢)J上的函數；取拉格朗日量的纖維內的勒壤得轉換就產生了一個時間上的對偶叢的函數，其在t的纖維是餘切空間T*Et，它有一個自然的辛形式，而這個函數就是哈密頓量。
數學表述
任何辛流形上的光滑實值函數H可以用來定義一個哈密頓系統。函數H稱為哈密頓量或者能量函數。該辛流形則稱為相空間。哈密頓量在辛流形上導出一個特殊的向量場，稱為辛向量場。
該辛向量場，稱為哈密頓向量場，導出一個流形上的哈密頓流。該向量場的一個積分曲線是一個流形的變換的單參數族；該曲線的參數通常稱為時間。該時間的演變由辛同胚給出。根據劉維定理每個辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱為哈密頓系統的哈密頓力學。
哈密頓向量場也導出一個特殊的操作，帕松括號。帕松括號作用於辛流形上的函數，給了流形上的函數空間一個李代數的結構。
特別的有，給定一個函數f
\frac{d}{dt} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,H\,\}.
若我們有一個機率分布, ρ, 則(因為相空間速度( {\dot p_i} , {\dot q _i} )有0散度，而機率是不變的)其傳達導數(convective derivative)可以證明為0，所以
\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho ,H\,\}.
這稱為劉維定理。每個辛流形上的光滑函數G產生一個單參數辛同胚族，而若{ G, H } = 0, 則G是守恆的，而該辛同胚是對稱變換。
哈密頓向量場的可積性是未解決的問題。通常，哈密頓系統是混沌的；測度，完備性，可積性和穩定性的概念沒有良好的定義。迄今為止，動力系統的研究主要是定性的，而非定量的科學。
黎曼流形
哈密頓量的重要特例是二次型，也就是，可以如下表達的哈密頓量
H(q,p)= \frac{1}{2} \langle p,p\rangle_q
其中\langle\cdot,\cdot\rangle_q 是纖維T_q^*Q（組態空間中的點q上的餘切空間）上的余度量。該哈密頓量完全由動能項組成。
若考慮一個黎曼流形或一個偽黎曼流形，使得存在一個可逆，非退化的度量，則該余度量可以簡單的由該度量的逆給出。哈密頓-亞可比方程式的解就是流形上的測地線。特別的有，這個情況下的哈密頓流就是測地流。這些解的存在性和解集的完備性在測地線條目中有詳細討論。
亞黎曼流形
當余度量是退化的時，它不是可逆的。在這個情況下，這不是一個黎曼流形，因為它沒有一個度量。但是，哈密頓量依然存在。這個情況下，在流形Q的每一點q余度量是退化的，因此余度量的階小於流行Q的維度，因而是一個亞黎曼流形。
這種情況下的哈密頓量稱為亞黎曼哈密頓量。每個這樣的哈密頓量唯一的決定余度量，反過來也是一樣。這意味著每個亞黎曼流形由其亞黎曼哈密頓量唯一的決定，而其逆命題也為真：每個亞黎曼流形有唯一的亞黎曼哈密頓量。亞黎曼測地線的存在性由Chow-Rashevskii定理給出。
連續實值海森堡群提供了亞黎曼流形的一個例子。對於海森堡群，哈密頓量為
H(x,y,z,p_x,p_y,p_z)=\frac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right).
p_z沒有在哈密頓量中被涉及到。
帕松代數
哈密爾頓系統可以幾種方式推廣。如果不僅簡單的利用辛流形上的光滑函數的結合代數，哈密爾頓系統可以用更一般的交換有單位的實帕松代數表述。一個狀態是一個（裝備了恰當的拓撲結構的）帕松代數上的連續線性泛函，使得對於代數中的每個元素A，A2映射到非負實數。
進一步的推廣由南部力學給出.
參閱
哈密頓原理
古典力學
拉格朗日力學
參考
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
Rychlik, Marek, "拉格郎日和哈密頓力學-- 一個簡介"
Binney, James, "古典力學" (PostScript) 筆記 (PDF)
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經典力學
哈密頓力學
動態系統
辛拓撲
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重力結合能
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重力結合能是將鬆散物質通過引力作用相互聚攏的能量，其在量上等於將物體移動至無限遠處所需的能量，或者物體從無限遠處開始加速的過程中所釋放的能量（通常以熱能的形式）。
一個系統的重力結合能等於這個系統的重力勢能的相反數。在一個天體和一顆衛星的系統中，重力結合能較衛星與天體之間的重力勢能，其絕對值大得多。這是因為，後者僅將兩部分分離的能量計算在內，而不計算各部分本身的能量。
對於一個均質球體，重力結合能U的定義為：
U = \frac{(3/5)GM^2}{r}
其中，G代表重力常數，M是這個球體的質量，r是球體半徑。與將兩個相互接觸的相同球體分離至無限遠所需的能量相比，這一能量還要大20%。
假設，地球是一個均質球體，質量M=5.97×1024kg，半徑r=6.37×106m，那麼U就是2.24×1032J。這大致上等於太陽一周所釋放的能量。它是37.5 MJ/kg，是表面上的勢能的60%。
根據緯里理論，一顆恆星的重力結合能大約是內部熱能的兩倍。
雖然萬有引力本身相對質量非常小，但是當總體質量很大時，比如地球，其因重力產生的能量 就會變得不容忽視，現代科學家相信，地核的高溫，就與重力結合能有關
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萬有引力
能量
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勢能
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（重定向自重力势能）
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汉漢▼▲
古時候攻城用的拋石機，利用平衡重鎚的重力勢能，將石頭拋向敵城。
勢能，是儲存於一物理系統內的一種能量，是一個用來描述物體在保守力場中做功能力大小的物理量。保守力作功與路徑無關，故可定義一個僅與位置有關的函數，使得保守力沿任意路徑所做的功，可表達為這兩點對應函數值的差，這個函數便是勢能。
從物理意義上來說，勢能表示了物體在特定位置上所儲存的能量，描述了作功能力的大小。在適當的情況下，勢能可以轉化為諸如動能、內能等其他能量。
目錄
1 勢能
1.1 勢能的保守力定義
1.2 廣義勢能
1.3 勢能的性質
1.4 勢能物理意義
1.5 機械能
1.6 物體在勢能場中的平衡
1.7 勢
2 幾種常見勢能
2.1 引力勢能
2.2 重力勢能
2.3 彈性勢能
2.4 電勢能
2.5 分子勢能
3 參見條目
4 腳註
5 參考資料
勢能
勢能的保守力定義
主條目：保守力
如果分別作用於兩個質點上的作用力與反作用力作功與具體路徑無關，只取決於交互作用質點初末位置，那麼這樣的一對力就叫作保守力。不滿足這個條件的則稱為非保守力。可以證明保守場的幾個等價條件[1]，於是我們得到保守力的性質有：
保守力沿給定兩點間作功與路徑無關；
保守力沿任意環路作功為零；
保守力可以表示為一個純量函數的（負）梯度；
推廣到多質點體系和連續分布物體，如果一封閉系統中任意兩個質點之間的作用力都是保守力，則稱該系統為保守體系。保守體系的位形，即在保守體系中各質點的相對位置發生變化時，其間的交互作用力作功，作功之和只與各質點相對位置有關。將保守體系在保守力作用下的這種與相對位置相聯繫的作功的能力定義為一個函數，稱為該保守體系的勢能函數或位能函數，簡稱勢能或位能[2]。這樣，體系從一種位形變為另一種位形時對外界所作的功等於後者與前者的勢能之差，從而賦予了勢能函數以直觀的物理意義。
除此之外，我們還可以將勢能的定義從現在的基礎上拓展。比如熱學中氣體分子間的交互作用勢能，它是大量分子勢能的和，實際不是用相對位置（位形）來描述的，而是用體積、溫度、壓強等熱學參量。又如，在一些特定的約束條件下，某些平時是非保守力的力也成為了保守力[3]，或者幾種力的淨力恰巧成為了一個保守力。如此種種。
廣義勢能
主條目：廣義勢能
對於一個理想、完整體系，有拉格朗日方程式
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} = Q_{\alpha} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s
其中，T為體系動能，qα為廣義坐標的α分量，Qα為廣義力淨力的α分量，s為廣義坐標數。在傳統的勢能定義下，保守力淨力可以寫為
F_i = - \frac{\partial V}{\partial x_i} \qquad i=1,2,3
其中，V為體系勢能。用廣義坐標寫為
Q_{\alpha} = - \frac{\partial V}{\partial q_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s
代入拉格朗日方程式便可得到
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - V)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - V)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s
若廣義力Qα並不能表示成關於任意函數V的上述函數，卻能找到另一個函數U，使得Qα可以表示為
Q_{\alpha} = - \frac{\partial U}{\partial q_{\alpha}} + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{\alpha}} \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s
則代入拉格朗日方程式仍有
\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \frac{\partial (T - U)}{\partial \dot{q}_{\alpha}} - \frac{\partial (T - U)}{\partial q_{\alpha}} = 0 \qquad \alpha=1,2, \cdots ,s
這時U具有與V相似的數學形式，但已經不再與保守力有關。我們把U叫做廣義勢能[4]。
廣義勢能最主要的應用在於帶電粒子在電磁場中的運動上。帶有電荷q，以速度v移動的粒子在電場E和磁場B中受到勞侖茲力
\boldsymbol{F} = q (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})
再輔以馬克士威方程組，定義電勢φ與矢勢A，可以得到一個滿足上述條件的函數[5]
U = q (\phi - \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v})
在下面的介紹中，不經特殊說明，我們只涉及傳統意義上的勢能，不涉及廣義勢能。
勢能的性質
勢能為能量的一種，具有能量因次，在國際單位制下的單位是焦耳（J），另外在涉及到粒子物理時常用到電子伏特（eV），高斯單位制下為爾格（erg）。勢能一般使用「Ep」[2]表示，也常使用「W」[6]「U」和「V」[7]。
勢能是一個純量函數，當一個物體與多個物體共有勢能或共有多種勢能時，這個物體所具有的總勢能為所有勢能的代數和。
由定義可知，勢能取決於兩個或多個物體的相對位形，是兩個或多個物體所共有的。然而，在兩物體A、B組成的保守體系中，如果我們以其中一個物體A作為參考系，則勢能僅取決於另一物體B的相對位置。這時，在不引起混淆的情況下，我們常把「A、B具有的勢能」稱作是「B的勢能」。比如，在電場中的電荷具有靜電勢能，或者是在一個天體附近的另一個天體具有引力勢能。除此之外，有時候保守體系中只存在一個物體，勢能來自於物體內部各部分間的相對位移，這時候我們也說，勢能是這個物體所具有的。比如，彈簧，或者是具有體分布電荷的絕緣體球。
需要注意的是，即使在同一保守力場中的同一處，不同物體的勢能也一般不同，比如在重力作用範圍內，物體的重力勢能不僅取決於其高度，還取決於其質量。
勢能物理意義
三峽水力發電站。用大壩將水高高蓄起，然後在大壩處飛瀉而下，帶動發電機。雖然經過一系列複雜的轉換，然而電能的根本來源是水的重力勢能。
當物體從高勢能處來到低勢能處時，該物體勢能減少，而保守力向外作等量功使其它某種能量增加。從中我們可以發現，勢能可以表示一個物體所儲存的能量的多少。如，放在高處的物體相比放在放在低處的物體而言具有更多的重力勢能，當它從空中向下墜落的時候，重力勢能減少，轉化為動能；而當它沿粗糙斜面下滑時，重力勢能同時轉化為動能和內能。
具有更多勢能的物體有能力對外界作出更多的功，用非保守力對物體做功也可以使之獲得更多的勢能。[8]故，當物體在保守力的作用下（但不一定僅受保守力）從a處沿任意路徑移動到b處時，總勢能變化量為保守力作功的相反值，即
E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\int_{a}^{b} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}
通常我們並不在意勢能的絕對大小，而是關心其變化量，這從勢能的定義可以明顯看出；實際上，談一個物體究竟擁有多少絕對勢能是沒有意義的。不過，有時為了計算或者敘述方便，我們也取一個勢能零點O，規定O處勢能Ep(O)=0，這樣質點在a點的勢能大小為
E_p(a)=-W_{O \to a}=-\int_{O}^{a} \boldsymbol{F}_{con} \cdot \mbox{d} \boldsymbol{r}
原則上勢能零點可任意取，一般依方便而定；如果可能，一般選Fcon=0點為勢能零點。[9]
勢能為保守力關於位移的積分，相對地，保守力為相應勢能函數關於位移的負梯度，即
\boldsymbol{F}_{con} =-\nabla E_p
使用廣義坐標描述時，可寫為
E_p(b)-E_p(a)=-W_{a \to b}=-\sum_{\alpha =1}^s \int_{a}^{b} Q_{\alpha} \mbox{d}q_{\alpha}
Q_{\alpha} =-\sum_{\alpha =1}^s \frac{\partial E_p}{\partial q_{\alpha}}
描述勢能隨位置變化的圖稱為勢能圖。若勢能為僅與一個坐標（或廣義坐標）有關的函數，這時勢能圖成為勢能曲線，可以在平面直角坐標繫上表示出來，這時負梯度退化為負導數，
F_{con} =-\frac{\partial E_p}{\partial x}
在下面介紹平衡及各種勢能的時候會有勢能曲線的範例。
機械能
主條目：機械能
勢能Ep與動能Ek之和稱為機械能。
E=E_k+E_p
外力的功與非保守內力的功之和等於質點系機械能的增量，這就是質點系的功能原理（英語：work-energy theorem）。用數學方式表達出來為
W_{ex}+W_{nci}=E(b)-E(a)
在x方向上運動的一個機械能守恆的粒子，遭遇到勢阱與勢壘
其中，W_{ex}為外力作功，W_{nci}為非保守內力作功。若W_{ex}=0，W_{nci}=0，則質點系機械能守恆，這就是機械能守恆定律。這時，質點系與外界無能量交換，內部也無機械能與非機械能的轉化，只有動能與勢能的相互轉換。
在構建理想模型時，機械能守恆定律應用得十分廣泛，特別是當一質點處在連心力場時，其機械能守恆；又因為動能Ek>0，在已知總能量的情況下，可以了解到質點理論上的行動範圍（滿足Ek<E的區域）。
設在x方向上有如圖勢能曲線，則我們把AB間勢能最低處叫作勢阱（C右方也有一個勢阱），BC間勢能最高處叫作勢壘，對應的有勢阱深度與勢壘高度。我們設定粒子機械能守恆，那麼：
假設一個粒子從無窮遠處靠近，其機械能為E=0，那麼在C點處其動能為零，再向左走動能為負，速度將為虛數，古典力學中這是不允許的。因此它最多只能到達C處。隨著粒子機械能（即初動能）的增大，其運動範圍的左端將會延伸，當其機械能達到或超過Ep2時，它將可以翻過勢壘。
再假設一個粒子，初始時在AB間。若它機械能為0，那麼它可以在AB間運動，其最大動能為Ek max=Ep1。當其機械能不斷增大，達到Ep2時，它將可以翻越勢壘，到達B右方空間（當然，其在A左方的空間也會延伸）。
粒子在A點不穩定平衡，在B點穩定平衡，在C點隨遇平衡。
勢能圖、勢壘等概念是討論單個質點在保守外場中運動的有力工具，在物理學多個領域中的應用都十分廣泛。[10]
物體在勢能場中的平衡
只受保守力作用的物體，總有向總勢能更低處運動的趨勢。當物體所處位置不受力作用或淨力為零時，即\frac{\partial E_p}{\partial x}=0，則稱物體處於平衡。右圖A、B、C三點皆處於平衡。
當物體偏離平衡位置時，若受淨力背向平衡位置，則物體有離開平衡位置的趨勢，則稱物體處於不穩定平衡。勢能曲線上，不穩定平衡即滿足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}<0的點。右圖A點處於不穩定平衡。
當物體偏離平衡位置時，若受淨力指向平衡位置，則物體有回到平衡位置的趨勢，則稱物體處於穩定平衡。勢能曲線上，穩定平衡即滿足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}>0的點。右圖B點處於穩定平衡。
馬鞍面，即雙曲拋物面。從馬鞍面原點出發，在x方向上為穩定平衡，在y方向上為不穩定平衡。
當物體在平衡位置附近時淨力恆為零，則稱物體處於隨遇平衡。勢能曲線上，隨遇平衡即滿足\frac{\partial^2 E_p}{\partial x^2}=0的點。右圖C點處於隨遇平衡。
以上只是一種粗略的分析方法，實際上，在二維或高維空間中情況會更加複雜，比如，在不同的方向上具有不同的平衡種類[11]。一個最簡單的例子是，若物體被約束在馬鞍形勢能曲面上，位於中心時，在x方向上為穩定平衡，在y方向上為不穩定平衡。
勢
主條目：位勢
在物理中有時會提到勢，請不要與勢能相混淆。勢通常表述為勢能與一個物理量的比值，如電勢（一個粒子靜電勢能與其電荷量的比值），引力勢（一個物體引力勢能與其質量的比值）。一個確定保守力場中，一個物體的勢能與該物體有關，但勢的分布與該物體無關[12]。
需要與勢能區分開的是，物體並不一定總是向勢更低的地方運動。一個正電荷會趨向於達到電勢更低的地方，但一個負電荷會趨向於達到電勢更高的地方，但那裡都分別是它們勢能更低處。
勢也包括一些勢能所不包括的內容，如磁矢勢。
幾種常見勢能
下面介紹幾種常見勢能。
在下面的介紹中，我們常考慮一個兩質點組成的保守體系，兩質點間受且僅受相應的一種保守力。兩質點的勢能是一種最簡單、最理想的模型，然而也是實際模型的基礎。實際的問題理論上都可以由兩質點勢能的函數加以積分得到。
引力勢能
引力和引力勢能隨r變化的示意圖
主條目：萬有引力
注意：在台灣或其他地區將萬有引力統稱為「重力」，然而在大陸地區將萬有引力稱作「引力」，而將「重力」作為萬有引力的一種特殊簡化情形。這裡為了分別介紹兩種情況，不致混淆，暫採用大陸命名方法。
根據牛頓萬有引力定律，對於兩質點m0、m，質點m受到的萬有引力為
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-G m m_0 \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}
其中G是萬有引力常數，m0、m是兩質點的質量，r0、r分別為兩質點的位置向量。引力場中的物體會具有引力勢能。對於兩個質點，定義無窮遠處為勢能零點，則質點m在r處的的引力勢能為
E_G(\boldsymbol{r}) = -G m m_0 \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|}
在實際問題中，對於已知引力勢分布φ=φ(r)，質點m在r處的引力勢能為
E_G(\boldsymbol{r}) = m \phi (\boldsymbol{r})
重力勢能
主條目：萬有引力#重力的量與單位
重力和重力勢能隨h變化的示意圖
重力勢能是引力勢能在一種特殊情況下的簡化形式。可以證明[13]，對一球對稱分布物體在其外一質點產生的引力，上面兩質點間的作用力公式仍適用，其中m0為該物體總質量，r0為其球心位矢。當 |r-r0| 在不太大範圍內變動時，對作用力公式取零級近似，作用力不變，則引力退化為重力。[14]由此可見，重力的近似要求很嚴格。然而由於在日常生活中這個條件很容易滿足，而且極簡便，符合人們的日常生活經驗，故仍有研究價值，單列一項。
在這種情況下，重力大致[15]只與星體性質與物體質量有關，而與位置無關，方向鉛直向下[16]。將重力加速度定為常數g，則物體重力大小為
F(h) = mg
其中m為物體質量，g為重力加速度常數。則物體在h處的重力勢能為
E_p(h) = mgh。
其中h為物體的高度。
重力勢能並沒有嚴格的勢能零點定義，完全依計算方便而定，不過比較常用的是以地面或桌面為勢能零點。
在地球上g的值約為9.8 ms-2，在不同地區稍有不同。這個值已經包括了和地球自轉所需的向心力造成的差別。一般計算中g可近似的取作標準重力加速度，即g=gn=9.80665 ms-2 [17]。
彈性勢能
彈簧的彈力和彈性勢能隨x變化的示意圖
主條目：虎克定律
彈簧、鋼片、金屬絲等滿足虎克定律的物體，在彈性限度內應力與應變成正比。下面以彈簧為例。在彈性限度內，彈簧彈力與長度變化量的關係為
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = - k x
其中，k為彈簧彈性係數，x為彈簧長度變化（即固定一端時另一端相對平衡位置的位移）。則其彈性勢能為
E_p(x) = \frac{1}{2}k x^2
彈性勢能為對應物體自身所擁有，一般選擇彈簧原長時（x=0）為勢能零點。
電勢能
主條目：電勢能
一個質子受到的另一個質子的靜電力和電勢能隨r變化的示意圖
在靜電學裏，根據庫倫定律，對於兩靜止點電荷q、q0，點電荷q受到的靜電力為
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=\frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \cfrac{\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|^3}
其中ε0是電常數，r0、r分別為兩點電荷的位置向量。靜電場中的點電荷會具有電勢能。對於兩個點電荷，定義無窮遠處為勢能零點，則點電荷q在r處的的電勢能為
W(\boldsymbol{r}) = \frac{q q_0}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r_0}|} 。
在實際問題中，對於已知電勢分布φ=φ(r)，點電荷q在r處的電勢能為
E_G(\boldsymbol{r}) = q \phi (\boldsymbol{r})
電勢能基於靜電場的定律庫侖定律。在變化電磁場中，粒子受力不再為保守力，不再能單獨用一個純量勢函數描述，需要使用標勢φ與矢勢A共同描述[18]。
分子勢能
蘭納-瓊斯勢中，分子間作用力和分子勢能隨r變化的示意圖
分子力實際上來源於多個方面，精確的計算與各分子內部結構有很大關係，會變得十分複雜。對於無極性分子，兩分子間作用力可近似用以下半經驗公式表示：[19]
F(r)= \frac{\lambda}{r^s} - \frac{\mu}{r^t}
其中正表示排斥力，負表示牽引力；r為兩分子間距，λ、μ、s、t為常數，隨兩分子不同而不同，且s>t。這種力的特點是
在某一個值r0以內，分子里表現為排斥力並且隨r減小而急劇上升；
在r0以外表現為牽引力，分子力逐漸增大，到某最大值後減小；
力程短，在r約為r0十倍時已幾乎為零。
由此，對無極性分子間的交互作用勢能有以下幾個常用曲線。一個典型且常用的模型是蘭納-瓊斯勢[20]，該勢能僅與兩分子間距有關，具有球對稱性，其函數解析式為
蘇則朗勢。
E_p(r)=E_{p0} \left[ \left( \frac{r_0}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_0}{r} \right) ^6 \right]
其中，r為兩分子距離，Ep0為分子勢能的勢阱（勢能最低處的勢能絕對值），r0為勢阱處兩分子間距。Ep0與r0需要對於具體分子通過實驗確定。
對蘭納-瓊斯勢在排斥力部分簡化，成為蘇則朗勢（Sutherland potential），即
E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ -E \left( \frac{d}{r} \right)^6 & r > d \end{cases}
其中E、d為常數，因分子而異。滿足蘇則朗勢的氣體稱為范德瓦爾斯氣體，分子力又稱作范德瓦爾斯力，滿足范德瓦爾斯方程式[21]。
剛球勢。
對蘇則朗勢在引力部分再次簡化，成為剛球勢，即
E_p(r)= \begin{cases} \infty & r \le d\\ 0 & r > d \end{cases}
d=0時，分子勢能完全忽略，變為質點勢，這時氣體稱作理想氣體[22]，滿足理想氣體狀態方程式。
參見條目
能量
保守力
磁矢勢
拉格朗日方程式
腳註
^ 文麗，吳良大．《高等數學·第二冊：物理類（修訂版）》，P354。
^ 2.0 2.1 鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P157。
^ 見磁標勢。
^ 以上證明見金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P48。
^ 金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P49。
^ 賈瑞皋，薛慶忠．《電磁學（第二版）》，P46。
^ 金尚年，馬永利．《理論力學（第二版）》，P18。
^ 非保守力能增加物體的總勢能，而若是用保守力對物體做功，則物體一種勢能增加而另一種勢能減少，總勢能不變。
^ 舒幼生．《力學（物理類）》，P86。
^ 趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P115。
^ 鄭永令，賈起民，方小敏．《力學（第二版）》，P163。
^ 準確地說，當該物體對周圍環境影響足夠小時。比如電場中一個電量很小的點電荷（被稱作試探電荷），當電量較大時會嚴重影響到周圍物體上的電荷分布從而影響到勢分布。關於試探電荷見電場#電場強度或賈起民，鄭永令，陳暨耀．《電磁學（第二版）》，P13。
^ 趙凱華，羅蔚茵．《力學（第二版）》，P337。
^ 實際對於重力的定義略稍複雜，參見萬有引力#兩者的微妙差別。
^ 對於計入離心力的重力定義，重力還與物體所處經緯度有關。參見萬有引力#兩者的微妙差別。另外，由於地球實際分布非完全球對稱及地球實際略橢，也導致重力在各地有微小差異。
^ 由於離心力的原因，在一般情況下「鉛直向下」方向並不指向地心，然而重力方向仍然是與鉛直向下方向完全一致的。
^ http://qxg.com.cn/n/?cid=44&nid=764&fc=nd
^ 使用拉格朗日方程式時也可以使用廣義勢能U=q(φ+v·A)描述，見#廣義勢能
^ 包科達．《熱物理學基礎》，P44。
^ 包科達．《熱物理學基礎》，P45。
^ 包科達．《熱物理學基礎》，P58。
^ 包科達．《熱物理學基礎》，P48。
參考資料
舒幼生. 《力學（物理類）》. 北京: 北京大學出版社. 2005. ISBN 7-301-09401-9.
趙凱華，羅蔚茵. 《新概念物理教程·力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-015201-0.
文麗，吳良大. 《高等數學·第二冊：物理類（修訂版）》. 北京: 北京大學出版社. 2002. ISBN 7-301-07543-X/O·0600.
鄭永令，賈起民，方小敏. 《力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5.
賈起民，鄭永令，陳暨耀. 《電磁學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-008603-4.
金尚年，馬永利. 《理論力學（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 7-04-010808-9.
包科達. 《熱物理學基礎》. 北京: 高等教育出版社. 2001. ISBN 7-04-010154-8.
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拉格朗日力學
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汉漢▼
古典力學
\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \mathbf{v})
牛頓第二定律
歷史、年表
显示▼分支
显示▼理論表述
显示▼基礎概念
显示▼重要理論
显示▼科學家
查·論·編·歷
拉格朗日力學是分析力學中的一種，於1788年由拉格朗日所創立。拉格朗日力學是對古典力學的一種的新的理論表述，著重於數學解析的方法，是分析力學的重要組成部分。
古典力學最初的表述形式由牛頓建立，它著重於分析位移，速度，加速度，力等向量間的關係，又稱為向量力學。拉格朗日引入了廣義坐標的概念，又運用達朗伯特原理，求得與牛頓第二定律等價的拉格朗日方程式。不僅如此，拉格朗日方程式具有更普遍的意義，適用範圍更廣泛。還有，選取恰當的廣義坐標，可以大大地簡化拉格朗日方程式的求解過程。
目錄
1 自由度
2 廣義坐標
3 拉格朗日量
4 拉格朗日方程式
5 拉格朗日力學的擴展
6 參見
7 參考文獻
自由度
主條目：自由度
力學系統可以由一組坐標來描述。例如，一個質點的運動（在笛卡爾坐標系中）由 x ，y ，z 三個坐標來描述。一般而言，N 個質點組成的力學系統由 3N 個坐標來描述。力學系統中常常存在著各種約束，使得這 3N 個坐標並不都是獨立的。力學系統的獨立坐標的個數稱之為自由度。對於 N 個質點組成的力學系統，若存在 m 個約束，則系統的自由度為
S=3N - m 。
廣義坐標
主條目：廣義坐標
在向量力學中，約束的存在體現於作用於系統的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為複雜。但若能選取適當的 s 個完全滿足約束條件的獨立坐標，則約束不再出現在問題中，只需要求解關於 s 個未知變數的方程式，使問題得以大大簡化。而如果運用牛頓力學來解約束問題，通常約束越多，需要求解的方程式個數就越多，反而增加了一定的難度。這樣的 s 個坐標不再局限於各質點的位置坐標，而可以是任何能描述系統的幾何參量，因此稱為「廣義坐標」。
拉格朗日量
主條目：拉格朗日量
拉格朗日力學的一個基本假設是：具有 n 個自由度的系統，其運動狀態完全由 n 個廣義坐標及廣義速度決定。或者說，力學系統的運動狀態由一個廣義坐標和廣義速度的函數描述：
\mathcal{L}(q_1,\ q_2,\ \dots , \ q_n;\ \dot{q_1},\ \dot{q_2},\ \dots ,\ \dot{q_n},\ t) 。
這個函數稱為拉格朗日函數或拉格朗日量。
如果一個力學系統所受外力僅包含保守力，則可以引入位能函數V \![1]。這時拉格朗日函數表示為：
\mathcal{L} = T - V
其中T \!和V \!分別是這個力學體系的動能和位能。
拉格朗日方程式
主條目：拉格朗日方程式
拉格朗日力學中，運動方程式由 n 個二階微分方程式（拉格朗日方程式）給出：
{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}{\partial{\mathcal{L}}\over \partial{\dot{q_i}}} - {\partial{\mathcal{L}}\over \partial q_i} =0 。
拉格朗日方程式的地位等同於牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。
拉格朗日力學的擴展
哈密頓量 H 可以通過對拉格朗日量進行勒壤得轉換得到。哈密頓量是古典力學的另一種表述哈密頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數，而哈密頓量是相對應的餘切叢上的函數。哈密頓量在量子力學中到處出現（參看哈密頓算符 (量子力學)）。
1948年，費曼發明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的機率是所有可能導向它的軌跡的機率之和。在古典力學的範圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理。
參見
分析力學
哈密頓力學
達朗伯特原理
參考文獻
^ 陳世民. 理論力學簡明教程. 高等教育出版社: 185-186頁. ISBN 978-7-04-023918-8.
梁昆淼：《力學》
蘭道：《力學》
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潮汐
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本文介紹的是在地球的海洋潮汐。關於潮汐的其它意思，請參見「潮汐 (消歧義)」。
加拿大芬地灣的高潮。
加拿大芬地灣的低潮。
潮汐是地球上的海洋表面受到太陽和月球的潮汐力作用引起的漲落現象[1][2][3]。潮汐造成海洋和港灣口積水深度的改變，並且形成震盪的潮汐流，因此製作沿海地區潮汐流的預測在航海上是很重要的（參見航海）。在漲潮時會埋在海水中，而在退潮時會裸露出來的潮間帶，是潮汐造成的重要海洋生態（參見潮間帶）。
潮汐的變化位置與月球、太陽和月球的相對位置有關，並且會與地球自轉的效應耦合和海洋的海水深度、大湖及河口[4]。潮汐現象除了發生在海洋之外，也會在其它引力場的時間和空間系統內發生（參見其它的潮汐）。
在每天的海平面變化，特別是在淺海和港灣實際發生的，不僅受到天文的潮汐力影響，還會受到氣象（風和氣壓）的強烈影響，例如風暴潮。
目錄
1 特徵
2 潮汐的組成
2.1 主太陰半日潮
2.2 變動的範圍：大潮和小潮
2.3 半日潮潮差的差異
2.4 海洋測深學
2.5 其它的成分
2.6 相位和振幅
3 物理學
3.1 潮汐物理學的歷史
3.2 力
4 規律
5 影響
6 名稱由來
7 應用
8 外部連結
9 參考資料
特徵
圖1：潮汐的類型。
潮汐是海平面以下面幾個階段變化的重覆週期：
海水經歷幾個小時的上漲或在海灘上進展，
水達到被稱為高潮的最大高度。
經歷幾個小時的海平面降低，或是像瀑布一樣從海灘退出，
水面在所謂的低潮停止降低。
潮汐停止的瞬間稱為滯水或憩潮，然後潮水會改變方向，稱為轉向。憩潮通常發生在潮水最高和最低的附近，但是在高低水位的時刻，它們的位置有著顯著的不同[5]。
潮汐可能是半日潮（一天有兩次高潮和兩次低潮），或一日潮（每天只有一次循環）。在大多數的地區，潮汐都是半日潮。每天的分擔是不同的，因此在選定的日子裡，兩次高潮的高度不同（日均差）。在潮汐表內，會有不同的高高潮和低高潮。同樣的，每天的兩次低潮也會有高低潮和低低潮。日均差會隨著時間變化，通常在月球越過赤道的時候最小[6]。
潮汐的組成
潮汐的變化是多種不同週期活動最終的結果，這種影響稱為潮汐的組成。
潮汐變化的時間尺度範圍從數小時到一年，所以要在固定的觀測站以潮汐表 精確的紀錄水位的高低變化，可以篩選出變化週期短於一分鐘的水位變化。這些資料將會和參考值（或已知數），通常是平均海平面，做比較.[7]。
主太陰半日潮
因為地球自轉快於月球公轉，
漲潮會在月球至中天前到來（月球公轉與地球自轉方向相同），相差約3度[8]。月球與潮汐隆起(tidal bulge，或稱隆堆)相互吸引，使得地球自轉漸漸變慢，而月球公轉漸快。這使得當前每一年月球軌道約推離地球38毫米，而地球的一日延長約23微秒。 因為月球對地球萬有引力的作用，地球視作一固態整體，較背對月球一側的海水更被拉近月球，因此背對月球一側的海水形同「升高」了。[9][10]這造成兩端的潮汐隆起與每天兩次的漲潮。
在大多數的地區，潮汐最主要的成分是主太陰半日潮，也稱為M2，它的週期是12小時25.2分鐘，正好是太陰潮汐日的一半，也是月球至下一次中天所需的一半時間，也是地球上同一個地點因為自轉再一次正對著月球的週期。使用簡單的潮汐鐘就可以追蹤這個成分的潮汐。因為月球以和地球公轉相同的方向環繞著地球運轉，因此太陰日比地球日長一點。以手錶上的分針做比較就可以瞭解：分針與時針在12:00重合，但再次重合的時間是1:05，而不是1:00就可以瞭解了。
變動的範圍：大潮和小潮
Spingtide.jpg
圖2： 藝術家概念下的大潮 Neaptide.jpg
圖3： 藝術家概念下的小潮
半日潮的潮差（在半天之內水域的最高和最低位置的變化）各自有兩個星期或14天週期的不同變化。在新月和滿月，當太陽、月球和地球的在一條線上，也就是朔望的時刻，太陽的潮汐力會加強月球的潮汐，潮汐的潮差會達到最大：稱為大潮（英文為spring tide，但與春季無關，不能譯為春潮，而是在字面上源自較古老的含義：跳躍、向前噴出、上升等水文學的自然現象）。當月球在上弦或下弦的位置，從地球看到的太陽和月球相距90度， 太陽的力量抵銷了部分的月球力量，使兩者的合力效果最小。在月相週期的這種位置上，潮汐的潮差最小：稱為小潮（英文neap tide的字源不清楚）。大潮的時候，高水位高於平均值，而低水位低於平均值，憩潮的時間比平均短，但潮流比平均值強大；小潮的結果是一切都小於平均值。大潮和小潮的時間間隔大約是7天。
月球與地球之間的距離變化也影響到潮汐的高度，當月球在近地點，潮汐的潮差會增加，而在遠地點時潮汐的潮差會減少。每7.5個朔望月，新月或滿月會和近點月重合，會造成近點月大潮使潮汐的潮差達到最大。如果在此時有風暴出現在沿海地區，其結果是造成的災害（各種形式上的財物損失，等等）會特別的嚴重。
半日潮潮差的差異
當一天有兩次但高度不同的漲潮（也有兩次高度不同的退潮），這種形式稱為混合型半日潮 [11]。
海洋測深學
濱線和海床形狀的變化會改變潮汐的傳播，所以潮汐時間和高度的預測不能單純的只觀測月球在天空中的位置。海岸的特性，如水下的深度和海岸的形狀，都會影響到每個不同地區的潮汐預報；精確的海水高度和潮汐時間可能需要依據不同地區的海岸地形學特徵對潮汐流動影響的模型來預報。但是，對給定地點的潮汐，月球的高度和滿潮與乾潮時間的關係（月潮間隔）是有相對應的常數和可預測的，而相同海岸的其他地點的潮汐之間也是有關聯的。例如，維吉尼亞州諾福克的漲潮可預測出現在月球過中天之前的2.5小時。
大塊的陸地和海灘對原本可以在全球自由流動的海水是一種障礙，它們不同的形狀和大小經常會影響到潮汐的大小，結果是潮汐有不同的類型。例如，美國大陸東海岸的主要形式是單日潮，大西洋沿岸的歐洲也是如此，而美國大陸西岸的形式則是混合的半日潮[12][13][14]
其它的成分
影響潮汐的因素包括太陽的引力、地軸的傾斜、月球軌道的傾角和地球與月球軌道的橢圓形狀。
少於半天的周期變化稱為諧振成分。反之，長周期的成分是超過一天、一個月或一年的循環。
相位和振幅
Map showing relative tidal magnitudes of different ocean areas。
圖4： M2 潮汐的成分。振幅以顏色顯示，白線為間隔一小時的等潮線。環繞無潮點的的曲線顯示潮汐的方向，每個指示6小時的同步週期[15][16]
因為M2的成分是主宰潮汐的最主要因素，潮汐的階段或相位，使用在滿潮之後幾小時來呈現是有用的概念。潮汐的階段也可以用角度來測量，一個循環是360度。潮汐相位相同階段的連線稱為等潮線，類似地形圖上的等高線。等潮線（也稱為潮汐相位）沿著同時發生高潮的海岸延伸至海洋中，並且等潮線會沿著海岸推進。半日和長期相位的成分由海水每日的最高水位的高度來測量。這些與下面討論的精確性只適用於一個單一的潮汐成分。
對一個像水盆一樣被海岸線環繞的海洋，等潮線的點會快速的向內並匯聚在 一個共同的點，稱為無潮點。無潮點是在一次的滿潮和乾潮的高低水位之間，海面沒有起與落，穩定不動的點（罕見的異常在潮期中經常發生在小島和它的周圍，如同環繞在紐西蘭和馬達加斯加。）。潮汐的運動一般在掃過大陸的海岸線時會減少，因此橫越過等潮線的是振幅相同的輪廓（在高潮和低潮之間一半的距離），並在無潮點衰減為零。一個半日潮的無潮點大約在潮汐鐘正面的中間，時針指向滿潮的等潮線的方向；它的方向與乾潮的等潮線相對著。 滿潮線以無潮點為中心，以等潮線上升的方向，遠離退潮的等潮線，約每12小時旋轉一周。由於柯氏力效應，這種轉動通常在南半球是順時針方向，而在北半球是逆時針方向。與參考潮汐相位在相位上的差異稱為期。參考潮汐是在無陸地的0°經線，也就是格林威治子午線上假設的一個平衡潮成分。
在北大西洋，因為等潮線是以無潮點向逆時針方向旋轉，在紐約港的滿潮會比諾福克港早約一個小時。南方的哈特拉斯角的潮汐力更為複雜，因而不能只依靠北大西洋的等潮線來預測。
物理學
參見：潮汐力及潮汐理論
圖5：從北極鳥瞰的地球和月球。
潮汐物理學的歷史
牛頓在他的自然哲學的數學原理 (1687)一書中以科學的研究奠定了用數學解釋潮汐發生的基礎力量[17][18]。牛頓首先應用牛頓萬有引力定律計算由太陽和月球吸引造成的潮汐[19]，並且提供了引潮力最初的理論。但是牛頓的理論和他的後繼者是採用之前拉普拉斯的均衡理論，在很大的程度上是以近似值描述潮汐即使在覆蓋整個地球的非慣性海洋中也會發生[17] 引潮力（或是相當於位能）對潮汐理論依然是有意義的，但做為一個中間的數值，而不是最終的結果；理論已經考慮地球動力學與潮汐的關係，而受到地形、地球自轉和其它因素的影響[20]。
在1740年，在巴黎的法國皇家科學院提供獎金給最佳的潮汐理論，由Daniel Bernoulli、Antoine Cavalleri、Leonhard Euler、和柯林·馬克勞林共享這筆獎金。 馬克勞林使用牛頓的理論顯示一個覆蓋了足夠深度海洋的單一平滑球體，在潮汐力的作用下會變形成為扁長的橢球體，而長軸就指向引起變形的天體。馬克勞林也是第一個寫下地球的柯里奧利力對運動的影響。 歐拉意識到在水平方向的力（引潮力）才是驅動潮汐的力（比垂直方向的起潮力大）。 在1744年，Jean le Rond d Alembert研究潮汐的大氣方程式，但沒有包括轉動的因素。
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯以偏微分方程的形式制訂有關海洋在水平的流動和海表面高度的系統，是第一件主要的潮汐動力理論，而且拉普拉斯潮汐方程在今天仍在使用。William Thomson, 1st Baron Kelvin重寫了拉普拉斯方程中的渦度項目，使方程式可以描述與解決驅動沿岸陷落波，也就是所知的克耳文波 [21] [22] [23]。
其他人，包括克耳文與亨利·龐加萊繼續開發拉普拉斯理論，根據這些發展與E W 布朗和Arthur Thomas Doodson的月球理論在1921年開發和發佈[24]，第一個現代化的引潮諧波形式：道森列出了388項潮汐頻率[25]，其中有些方法現在仍被使用著[26]。
力
規律
月球對地球不同部分的引力與對地心引力的差別
某個天體受外天體萬有引力的作用下，正對外天體和背對外天體的部位向外凸出，而與外天體垂直的部位向內凹進。一般固體形變不明顯，流體形變比較明顯。
影響
潮汐的存在使天體之間的相對速度減小，對彼此的自轉起剎車作用。比如，月球和地球之間的潮汐使月球的自轉周期等於它的公轉周期，稱之為潮汐鎖定。
潮汐使天體被拉長，如果是黑洞等質量巨大的天體引起的潮汐，一旦潮汐力超過分子間作用力，會把周圍的物體撕得粉碎。
雖然潮汐對固體形變的影響不大，但是潮汐往往成為地球上地震（星震）的誘因之一。
名稱由來
地球上的海水或江水，受到太陽、月球的引力以及地球自轉的影響，在每天早晚會各有一次水位的漲落，這種現象，早稱之為潮，晚稱之為汐。
應用
水位的漲落形成了水的勢能和動能，即潮汐能。潮汐能是一種蘊藏量大、潔淨無污染的可再生能源。人們通常在潮汐能資源豐富的海灣或河口修建潮汐發電站，利用潮汐能發電。
對於以浮潛為玩樂的人士來說，漲潮時比退潮時更適合進行潛水活動。
外部連結
潮汐的成因
淺說星球的潮汐現象
解釋為甚麼每天有兩次漲潮 (繁體)(簡體)
參考資料
^ M. P. M. Reddy, M. Affholder. Descriptive physical oceanography: State of the Art. Taylor and Francis. 2001: 249. ISBN 9054107065. OCLC 47801346 223133263 47801346.
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^ Moon - encyclopedia article - Citizendium
^ 是什麼引起了潮汐現象？為什麼每天都有兩次潮起潮落？ 博聞網
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^ U S National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) National Ocean Service (Education section), map showing world distribution of tide patterns, semidiurnal, diurnal and mixed semidiurnal.
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^ See also U S National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) National Ocean Service (Education section), "What Causes Tides?"
^ See for example, in the Principia (Book 1) (1729 translation), Corollaries 19 and 20 to Proposition 66, on pages 251-254, referring back to page 234 et seq.; and in Book 3 Propositions 24, 36 and 37, starting on page 255.
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^ See e.g. T D Moyer (2003), "Formulation for observed and computed values of Deep Space Network data types for navigation", vol.3 in Deep-space communications and navigation series, Wiley (2003), e.g. at pp.126-8.
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月球
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陰曆 • 月 • 藝術和文化 • 月球錯覺
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月球軌道
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與地球的關係
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物理特性
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參見太陽系、天然的衛星
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日震
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日震這個名詞原來是由地震衍生出來的，日震的研究方向包含了太陽的溫度、密度、運動、磁場等等的太陽內部的結構狀況，日震是利用觀測太陽表面的震波來了解太陽內部的結構。每個星球都有地震，恆星及行星甚至是隕石都可能有地震現象的發生，因此，研究日震必可依靠地震的研究方法來研究太陽的地震結構。
參見
地震
月震
地震波
參考資料
日震學與星球內部觀測
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太陽
太陽內部結構
核心 · 輻射層 · 差旋層 · 對流層
Yohkohimage.gif
大氣層
光球
超米粒組織 · 米粒組織 · 光斑 · 太陽黑子
色球
譜斑 · 針狀體 · 莫爾頓波
日冕
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活動
太陽週期 · 太陽極大期 · 太陽極小期 · 沃夫數 · 閃焰 · 毫微閃焰 · 日震
太陽圈
太陽風 (電流片) · 終端震波 · 日鞘 · 日球層頂 · 弓形震波
相關條目
太陽系 · 太陽發電機 · 太陽望遠鏡 · 日食 · 太陽光 · 太陽輻射 · 太陽常數 · 太陽微中子問題 · 微中子振盪 · 蒙德極小期
太陽星雲 · 太陽系的形成和演化 · 日震學
恆星光譜:G2
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地震
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月震
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月震即是一場在月亮的地震。他們是由阿波羅宇航員發現的。月震比地震較弱且次數較小。因為月亮不像地球迅速地減弱震動（可能由於缺少水），月震震動的時間通常比地震長。
關於月震的資訊由阿波羅宇航員從1969年至1972年在月亮安置的地震儀。由阿波羅12、14、15和16放置的儀器一直良好地運作，直到他們在1977年被關閉了。
根據美國航空太空局，有至少四種不同的月震[1]:
深層月震（在表面之下約700 公里，由於地球和太陽的潮汐重力而產生）
隕石衝擊振動
熱量月震（當陽光返回在第二個月球星期的夜晚以後，寒冷的月球外殼向外擴展）
淺層月震（在表面之下20至30 公里）
頭三種月震通常是提到傾向是溫和的。 但是，淺層月震可能具5.5級芮氏地震規模。在1972年和1977年之間，科學家觀察到二十八個淺層月震。在地球上，4.5級的地震已可能對大廈和其它堅硬的結構造成損傷。
參考
^ Moonquakes: NASA astronauts are going back to the moon and when they get there they may need quake-proof housing.. NASA. 2006-03-15 [2007-03-21].
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萬有引力
電重力 · 潮汐 · 引力磁性 · 動量
流星
隕石 · 撞擊坑 · 彗星 · Dust rail · 流星群一覽 · 深度撞擊號 · ZHR
太陽系
地震 · 大十字（Grand Cross） · 月震 · 日震學
地震波
地震儀 · P波 · S波 · 面波 · 海嘯
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地震
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汉漢▼
全球地震分布區, 1963年–1998年
全球板塊構造運動
地震是地殼快速釋放能量過程中造成的振動，期間會產生地震波。
地震可由地震儀所測量，地震的震級是用作表示由震源釋放出來的能量，通常以「芮氏地震規模」來表示；烈度則透過「修訂麥加利地震烈度表」來表示，某地點的地震烈度是指地震引致該地點地殼運動的猛烈程度，是由震動對個人、傢具、房屋、地質結構等所產生的影響來斷定。
在地球的表面，地震會使地面發生震動，有時則會發生地面移動。震動可能引發山泥傾瀉甚或火山活動。如地震在海底發生，海床的移動甚至會引發海嘯。
一般而言，地震一詞可指自然現象或人為破壞所造成的地震波。人為自然地形的破壞、大量氣體（尤其是沼氣）遷移或提取、水庫蓄水、採礦、油井注水、地下核試等；自然的火山活動、大型山崩、地下空洞塌陷、大塊隕石墜落等均可引發地震。
震動的發源處稱為震源。大多數震源都在地殼和上地幔頂部，即岩石圈內。根據震源的深度，地震可分為三類：淺源地震（深度在0-70公里）、中源地震（深度在70-300公里）和深源地震（深度在300公里以上）。由震源豎一垂直線至地面上的位置稱為震央。震央是地表距離震源最近的地方，因此地震波最早到達這處，震動也最為強烈，破壞程度也最大。
目錄
1 地震的成因
1.1 構造地震
1.2 火山地震
1.3 陷落地震
1.4 誘發地震
2 地震的規模
2.1 震級
2.2 烈度
3 地震分布
3.1 時間分布
3.2 地理分布——地震帶
4 地震災害
5 地震測報
6 地震前兆
7 地震防護
8 常見名詞
9 參見
10 參考文獻
10.1 註釋
10.2 一般參考
11 外部連結
地震的成因
構造地震
由於地殼運動引起地殼岩層斷裂錯動而發生的地殼震動，稱為構造地震。由於地球不停地運動變化，從而從地殼 內部產生巨大地應力作用。在地應力長期緩慢的作用下，造成地殼的岩層發生彎曲變形，當地應力超過岩石本身能承受的強度時便會使岩層斷裂錯動，其巨大的能量突然釋放，形成構造地震，地震學家通常用彈性回跳理論來描述這個現象。世界上絕大多數地震都屬於構造地震。
火山地震
由於火山活動時岩漿噴發衝擊或熱力作用而引起的地震，稱為火山地震。火山地震一般較小，數量約佔地震總數的7%左右。地震和火山往往存在關聯。火山爆發可能會激發地震，而發生在火山附近的地震也可能引起火山爆發。一般影響不大
陷落地震
由於地下水溶解可溶性岩石，或由於地下採礦形成的巨大空洞，造成地層崩塌陷落而引發的地震，稱為陷落地震。這類地震約佔地震總數的3%左右，震級也都比較小。
誘發地震
在特定的地區因某種地殼外界因素誘發而引起的地震，稱為誘發地震。這些外界因素可以是地下核爆炸、隕石墜落、油井灌水等，其中最常見的是水庫地震。水庫蓄水後改變了地面的應力狀態，且庫水滲透到已有的斷層中，起到潤滑和腐蝕作用，促使斷層產生滑動。但是，並不是所有的水庫蓄水後都會發生水庫地震，只有當庫區存在活動斷裂、岩性剛硬等條件，才有誘發的可能性。
地震的規模
目前衡量地震規模的標準主要有震級和烈度兩種。
震級
參見：芮氏地震規模
地震強度大小的一種度量，根據地震釋放能量多少來劃分。目前國際上一般採用美國地震學家查爾斯·弗朗西斯·芮克特（Charles Francis Richter）和賓諾·古騰堡（Beno Gutenberg）於1935年共同提出的震級劃分法，即現在通常所說的芮氏地震規模。芮氏規模是地震波最大振幅以10為底的對數，並選擇距震央100公里的距離為標準。芮氏規模每增強一級，釋放的能量約增加31.6倍，相隔二級的震級其能量相差1000倍。
小於芮氏規模2.5的地震，人們一般不易感覺到，稱為小震或微震；芮氏規模2.5-5.0的地震，震央附近的人會有不同程度的感覺，稱為有感地震，全世界每年大約發生十幾萬次；大於芮氏規模5.0的地震，會造成建築物不同程度的損壞，稱為破壞性地震。芮氏規模4.5以上的地震可以在全球範圍內監測到。有記錄以來，歷史上最大的地震是發生在1960年5月22日19時11分南美洲的智利，根據美國地質調查所，芮氏規模達9.5。
烈度
參見：麥加利地震烈度
指地震對地面所造成的破壞和影響程度，由地震時地面建築物受破壞的程度、地形地貌改變、人的感覺等宏觀現象來判定。地震烈度源自和應用於十度的羅西福瑞震級 (Rossi-Forel) ，由義大利火山學家朱塞佩·麥加利（Giuseppe Mercalli）在1883年及1902年修訂。後來多次被多位地理學家、地震學家和物理學家修訂，成為今天的修訂麥加利地震烈度（Modified Mercalli Scale）。「麥加利地震烈度」從感覺不到至全部損毀分為1（無感）至12度（全面破壞)，5度或以上才會造成破壞[來源請求]。
每次地震的震級數值只有一個，但烈度則視乎該地點與震央的距離，震源的深度，震源與該地點之間和該地點本身的土壤結構，以及造成地震的斷層運動種類等因素而決定。
地震分布
統計資料表明，地震在大尺度和長時間範圍內的發生是比較均勻的，但在局部和短期範圍內有差異，表現在時間和地理分布上都有一定的規律性。這些都與地殼運動產生的能量的聚累和釋放過程有關。
時間分布
地震活動在時間上具有一定的周期性。表現為在一定時間段內地震活動頻繁，強度大，稱為地震活躍期；而另一時間段內地震活動相對來講頻率少，強度小，稱為地震平靜期。
地理分布——地震帶
主條目：地震帶
地震的地理分布受一定的地質條件控制，具有一定的規律。地震大多分布在地殼不穩定的部位，特別是板塊之間的消亡邊界，形成地震活動活躍的地震帶。全世界主要有三個地震帶：
一是環太平洋地震帶，包括南、北美洲太平洋沿岸，阿留申群島、堪察加半島，千島群島、日本列島，經台灣再到菲律賓轉向東南直至紐西蘭，是地球上地震最活躍的地區，集中了全世界80%以上的地震。本帶是在太平洋板塊和美洲板塊、亞歐板塊、印度洋板塊的消亡邊界，南極洲板塊和美洲板塊的消亡邊界上。
二是歐亞地震帶 ，大致從印度尼西亞西部，緬甸經中國橫斷山脈，喜馬拉雅山脈，越過帕米爾高原，經中亞細亞到達地中海及其沿岸。本帶是在亞歐板塊和非洲板塊、印度洋板塊的消亡邊界上。
三是中洋脊地震帶包含延綿世界三大洋（即太平洋、大西洋和印度洋）和北極海的中洋脊。中洋脊地震帶僅含全球約5﹪的地震，此地震帶的地震幾乎都是淺層地震。
地震災害
汶川大地震中倒塌的房屋
地震是地球上主要的自然災害之一。地球上每天都在發生地震，其中大多數震級較小或發生在海底等偏遠地區，不為人們所感覺到。但是發生人類活動區強烈地震往往會給人類造成巨大的財產損失和人員傷亡。通常來講，芮氏3以下的地震釋放的能量很小，對建築物不會造成明顯的損害。人們對於芮氏4以上的地震具有明顯的震感。在防震性能比較差且人口相對集中的區域，芮氏5以上的地震就有可能造成人員傷亡。
地震產生的地震波可直接造成建築物的破壞甚至倒塌；破壞地面，產生地面裂縫，塌陷等；發生在山區還可能引起山體滑坡，雪崩等；而發生在海底的強地震則可能引起海嘯。餘震會使破壞更加嚴重。地震引發的次生災害主要有建築物倒塌，山體滑坡以及管道破裂等引起的火災，水災和毒氣泄漏等。此外當傷亡人員屍體不能及時清理，或污穢物污染了飲用水時，有可能導致傳染病的爆發。在有些地震央，這些次生災害造成的人員傷亡和財產損失可能超過地震帶來的直接破壞。
地震測報
早在中國東漢時期，張衡就發明了地動儀，並於138年記錄到隴西大地震，但只是對地震發生後的一種記錄儀器，並不能對地震做任何預測。長期以來，人類一直嘗試著對地震做出預報，以便在地震發生之前做好準備，減小地震災害的損失。一般認為科學的地震預報應對一次地震發生的時間、地點和震級作出較為準確的判斷。但由於地球內部活動的複雜性以及人類對此缺乏有效監測手段和預報模型，時至今日，地震預報技術尚不完善，成功的例子很少，地震預報仍是當今世界科學的一大難題。多數政府目前都否認地震可以預報，包括2008年汶川大地震和2009年義大利地震。
世界上首次成功預報的地震是1975年2月4日發生在中國遼寧海城的芮氏7.3地震。中國的地震部門在震前數小時正式發布了臨震預報，當地政府及時採取了防護措施，疏散了大量居民。據信這次成功的預報避免了數萬人的傷亡[1][2]。
在中國1976年7月28日凌晨，發生在中國河北唐山的大地震央, 震前存在不同預報意見, 沒有形成官方預報, 但鄰近的青龍縣在其範圍內發布了預報，使全縣的47萬受這次地震影響的人群中，死亡比例遠遠低於受此次地震影響的其他地區。[3][4]
目前全球範圍內已經建立了比較廣泛的地震監測台網，科學家們還通過超深鑽井等手段獲取更多的地球內部信息。但是人類地震預報的水平還僅限於通過歷史地震活動的研究，對地震活動做出粗略的中長期預報。在短期和臨震預報方面主要還是依靠傳統的地震前兆觀測和監測。
地震前兆
參見：地震預測
地震目前仍無法準確預測發生時間，但通常地震發生之前都會有一些自然現象，特別是較大的地震發生之前的各類異常現象。分為宏觀前兆和微觀前兆。前者可以由人的感覺器官直接覺察，如動植物、地下水等的異常以及地光、地鳴等。後者不能被人的感覺器官直接覺察，需用專業儀器才能測出，如地形變、地磁場、重力場、地溫梯度、地應力的異常等。對地震前兆的觀察和監測是地震臨短期預報的重要手段。
地震防護
任何建築物(防震建築)在設計與建造時，有效的防震設計，可有效的防止生命財產的損失。
地震發生時，關鍵是保持清醒的頭腦，正確的防護對於保證生命安全，減少人員傷亡是至關重要的。通常可能造成危險的是比較強烈的近震。近震常以上下顛簸開始，振動較為明顯，應迅速逃生。逃生應遵循就近躲避的原則，注意保護頭部。
在室內應先關閉煤氣，可暫時躲避在堅實的傢具旁或牆角、廚房、衛生間等承重牆較多，跨度較小的地方，注意避開外牆體等薄弱部位，並且可以使用枕頭、被子等物，或直接用雙手保護頭部。躲避在堅固的傢具旁能在建築物倒塌時提供一些空間，而對於規模較小地震，在傢具下則能防護掉落物。主震過後，應迅速撤至戶外，高層人員應盡量避免乘坐電梯。在室外可跑向比較開闊的空曠地區躲避，避免聚集在高層建築及高壓輸電線下方。如在山區還要注意山崩和滾石，可尋找地勢較高處躲避。地震央被埋在廢墟下的人員，若環境和體力許可，應設法逃生。如無力脫險自救，應盡量減少體力消耗，等待救援人員到來。
常見名詞
地震波：分為體波和表面波兩種。體波包含縱波（P波）和橫波（S波）兩種。橫波傳播速度2.0-5公里/秒，能引起地面的水平晃動。縱波傳播速度3.5-10公里/秒，能引起地面上下顛簸振動。表面波（L波）只在地表傳遞，能造成嚴重傷害，速度最慢。地震時，縱波先到達地表，所以人先感覺到地面上下振動。但由於縱波衰減比橫波快，所以離震央較遠的地方，只感到水平晃動。具體參見：地震波
震源：地震發生的位置。
震央：震源在地面上的垂直投影。震央是地表距離震源最近的地方，也是震動最強烈，受地震破壞程度最大的地方。震央及其附近的地方稱為震央區，也稱極震區。
震源深度：震央到震源的深度。
震央距：觀測點到震央的距離。
震源距：觀測點到震源的距離。
烈度：量度地震對某一特定地點所受到的影響和破壞的量度單位。
參見
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地震
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維基詞典上的詞義解釋：
地震
地震列表
地震光
地震雲
芮氏地震規模
麥加利地震烈度
參考文獻
註釋
^ 成功的地震預報實踐
^ 事前成功預測並採取措施 海城地震傷亡18308人
^ 唐山警示錄，張慶洲著
^ 唐山地震青龍縣奇蹟回放：全縣僅1人死亡
一般參考
香港天文台
外部連結
（中文） 如何準備地震和適當的反應時，他們發生的指導兒童青年和家庭
（中文） 中國地震局
（中文） 中國地震信息網
（中文） 地震數據管理與服務系統
（中文） 地震資訊
（中文） 921地理資訊系統
（中文） 台灣地震資料查詢系統
（中文） 國家地震工程研究中心(台灣)
（英文） 美國地質調查局國家地震信息中心
（英文） 歐洲 - 地中海地震央心
地震防護常識（圖片版）
地震減震工法
譯言：地震救災
中央氣象局:《地震百問》
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地震
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天災
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地球
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芮氏地震規模
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芮氏地震規模（Richter magnitude scale），亦稱近震震級（local magnitude，ML）、又譯里氏、黎克特制震級，是表示地震規模大小的標度。它是由觀測點處地震儀所記錄到的地震波最大振幅的常用對數演算而來。由於地震儀的位置一般並不在震央，考慮到地震波在傳播過程中的衰減以及其它干擾因素，計算時需減去觀測點所在地規模0地震所應有的振幅之對數。
目錄
1 發展歷史
2 缺點和改進
3 震級與發生頻率
4 震級與能量
5 參看
6 外部連結
發展歷史
芮氏地震規模最早是在1935年由兩位來自美國加州理工學院的地震學家芮克特（Charles Francis Richter）和古騰堡（Beno Gutenberg）共同制定的。
此標度原先僅是為了研究美國加州地區發生的地震而設計的，並用伍德-安德森扭力式地震儀（Wood-Anderson torsion seismometer）測量。芮克特設計此標度的目的是區分當時加州地區發生的大量小規模地震和少量大規模地震，而靈感則來自天文學中表示天體亮度的星等。
為了使結果不為負數，芮克特定義在距離震央100公里處之觀測點地震儀記錄到的最大水平位移為1微米（這也是伍德-安德森扭力式地震儀的最高精度）的地震作為0地震。按照這個定義，如果距震央100公里處的伍德-安德森扭力式地震儀測得的地震波振幅為1公釐（103微米）的話，則震級為芮氏3。芮氏地震規模並沒有規定上限或下限。現代精密的地震儀經常記錄到規模為負數的地震。
由於當初設計芮氏地震規模時所使用的伍德-安德森扭力式地震儀的限制，近震規模 ML 若大於約6.8或觀測點距離震央超過約600公里便不適用。後來研究人員提議了一些改進，其中面波震級（MS）和體波震級（Mb）最為常用。
缺點和改進
芮氏地震規模的主要缺陷在於它與震源的物理特性沒有直接的聯繫，並且由於「地震強度頻譜的比例定律」（The Scaling Law of Earthquake Spectra）的限制，在8.3-8.5左右會產生飽和效應，使得一些強度明顯不同的地震在用傳統方法計算後得出芮氏地震規模（如(MS）數值卻一樣。到了21世紀初，地震學者普遍認為這些傳統的地震規模表示方法已經過時，轉而採用一種物理含義更為豐富，更能直接反應地震過程物理實質的表示方法即矩震級 （Moment magnitude scale，MW）。地震矩規模是由同屬加州理工學院的金森博雄（Hiroo Kanamori）教授於1977年提出的。該標度能更好的描述地震的物理特性，如地層錯動的大小和地震的能量等。
地震震級與地震烈度是不同的概念。地震烈度（例如麥加利地震烈度）是表示地震破壞程度的標度，與地震區域的各種條件有關，並非地震之絕對強度。
震級與發生頻率
下表列出的是不同芮氏規模（ML）的年均發生次數和震央地區的影響：
程度 芮氏規模 地震影響 大約發生頻率（全球）
極微 2.0以下 很小，沒感覺 約每天 8,000次
甚微 2.0-2.9 人一般沒感覺，設備可以記錄 約每天 1,000次
微小 3.0-3.9 經常有感覺，但是很少會造成損失 估計每年49,000次
弱 4.0-4.9 室內東西搖晃出聲，不太可能有大量損失。當地震強度超過4.5時，已足夠讓全球的地震儀監測得到。 估計每年6,200次
中 5.0-5.9 可在小區域內對設計／建造不佳或偷工減料的建築物造成大量破壞，但對設計/建造優良的建築物則只會有少量的損害。 每年800次
強 6.0-6.9 可摧毀方圓100英里以內的居住區。 每年120次
甚強 7.0-7.9 可對更大的區域造成嚴重破壞。 每年18次
極強 8.0-8.9 可摧毀方圓數百英里的區域。 每年1次
超強 9.0-9.9 摧毀方圓數千英里的區域 每20年1次
超強+ 10+ 從來沒有記載，見下文地震能量當量。 極其罕見（未知）
（數據來自美國地質調查局。需要注意的是由於地震影響還受當地地質條件等因素的影響，表中描述的是極端影響）
歷史紀錄中最強烈的地震是1960年5月22日的智利大地震，芮氏規模8.9（矩震級為9.5）。
震級與能量
由於芮氏地震規模是以32為底的對數，因此在估算能量的時候，芮氏規模每增加0.1釋放的能量約增加\sqrt{2}倍，每增加1釋放的能量大約增加32倍。
下表列出的是不同級別的地震釋放的能量相當於的TNT當量：（注意，此表中TNT當量與實例嚴重不符，其正確性有待考證）
芮氏震級 大致相應的TNT當量 實例
0.5 84.4 公克 手榴彈爆炸
1.0 474 公克 建築爆破
1.5 2.67 公斤 二戰期間常規炸彈
2.0 15.0 公斤 二戰期間常規炸彈
2.5 84.4 公斤 二戰期間的"Cookie" 巨型炸彈
3.0 474 公斤 2003年大型燃料空氣炸彈（MOAB）
3.5 2.67 公噸 1986年前蘇聯切爾諾貝爾核事故
4.0 15.0 公噸 小型原子彈
4.5 84.4 公噸 常見的龍捲風
5.0 474 公噸 日本廣島、長崎投放的原子彈
5.5 2.67×103 公噸 1992年美國內華達州Little Skull Mtn.地震
6.0 15.0×103 公噸 1994年美國內華達州Double Spring Flat地震
6.5 84.4×103 公噸 1994年Northridge地震
7.0 474×103 公噸 目前最大型的氫彈（註：前蘇聯曾試爆5000萬噸級別的氫彈）
7.5 2.67×106 公噸 1992年美國加利福尼亞Landers地震
1999年台灣921集集大地震
8.0 15.0×106 公噸 1976年中國唐山大地震
2008年中國汶川大地震
8.5 84.4×106 公噸 1950年印度阿薩姆與中國察隅交界處1950年墨脫大地震
8.8 336×106 公噸 2010年智利大地震
9.0 474×106 公噸 1964年美國阿拉斯加安克雷奇耶穌受難日地震（地震發生後引發海嘯，造成阿拉斯加部份地區受到海嘯襲擊狀況嚴重）
2004年印度洋大地震（地震發生後引發海嘯，即2004年南亞大海嘯）
2011年3月11日東日本大地震（地震發生後引發海嘯，造成日本本州東北三縣受災慘重）
9.5 2.67×109 公噸 1960年智利大地震（地震發生後引發海嘯，絕大多數太平洋沿岸地區受到海嘯衝擊）觀測史上記錄到規模最大的地震
10.0 15.0×109 公噸 約相當於一個直徑約為100公里的隕石以秒速25公里撞擊地球時所產生的地震。
參看
麥加利地震烈度
地震列表
外部連結
中央氣象局 地震紀錄
美國地質調查局關於芮氏地震規模的介紹（英文）
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地震度量（Seismic scales）
現代度量
烈度度量
歐洲宏觀地震度量（EMS） · INQUA · 中國地震烈度度量（CSIS） · Medvedev-Sponheuer-Karnik（MSK） · 修訂麥加利地震烈度（MM） · 日本氣象廳震度階級
震級度量
體波震級（mb） · 芮氏地震震級（近震震級，ML） · 矩震級（Mw） · 面波震級（Ms）
曾用度量
麥加利-坎加尼-希耶伯格（MCS） · 麥加利-伍德-紐曼（MWN） · 奧莫里 · 羅斯-佛熱
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度量衡
地震學
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星震學
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星震學顧名思義就是研究天體震動的學問，利用都卜勒效應觀測天體的震動，研究天體的震動可以觀測一些關於天體內部的東西，例如氦的豐度以及對流區的深度都是，其作理就像地震學家通過研究地震波來了解地球。星震學最常研究的天體當然就是太陽了，光是太陽的振波會形成一個包含有多種離散共振模式的頻譜，目前有數千個模式被觀測到，其中有數百個被認為是真實存在的。這些震動都可以提供一些關於太陽的詳細數據。
Physics template.svg 星震學是一個與物理學相關的小作品。你可以通過編輯或修訂擴充其內容。
參見
日震學
相關太空任務
開普勒太空望遠鏡
對流旋轉和行星橫越任務
太陽和太陽風層探測器
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恆星
演化
形成 · 主序前 · 主序星 · 水平分支 · 漸近巨星分支 · 上翻 · 不穩定帶 · 紅群聚 · 行星狀星雲 · 原行星雲 · 高光度藍變星 · 沃夫-瑞葉星 · 假超新星 · 超新星 · 極超新星 · 赫羅圖
原恆星
分子雲 · 包克球 · 初期恆星體 · 林忠四郎軌跡 · 林忠四郎極限 · 亨耶跡 · 原恆星 · 金牛T星 · 赫比格Ae/Be星
類型
次矮星 · 矮星 (藍 · 橙 · 紅 · 黃) · 次巨星 · 巨星 (紅) · 亮巨星 · 超巨星 (藍 · 紅 · 黃) · 特超巨星 (黃) · 藍掉隊星 · 殼層星 · 碳星 (CH星) · 鋇星 · S-型星 · 特殊恆星 · 鍀星 · 汞-錳星 · 變星
特徵
分類 · UBV色 · 核合成 · 有效溫度 · 金屬量 · 自轉 · 磁場 · 微觀湍流 · 行星系 · 視向速度 · 自行 · 視差 · 空間速度
失敗的恆星
棕矮星 · 次棕矮星 · Planetar
結構
核心 · 對流層 · 輻射層 · 光球層 · 色球層 · 冕 · 星風 · 星風泡 · 星震學
殘骸
黑矮星 · 白矮星 · 中子星 · 脈衝星 · 磁星 · 夸克星 · 奇異星 · 黑洞 · 超重黑洞
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天文學
恆星現象
恆星天文學
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INFO:
ＮＡＳＡ：
http://www.nasa.gov/
地震學聯合研究會（IRIS）—最近的地震（英文）
http://www.iris.edu/seismon/
美國地質調查所（USGS）—最近7天的地震列表（英文）
http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/recenteqsww/Quakes/quakes_all.html
地震列表
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以下是重大地震的列表：
目錄
1 重大地震
2 2007年的大地震
3 其他重大地震
4 震級最強地震
5 死亡人數紀錄
6 參考文獻
7 外部連結
重大地震
日期
(UTC) 時間
(UTC) 主震持續時間 地點 經度 緯度 死亡人數 震級（M） 參考文獻
1556年1月23日 子時 中國陝西
參見明嘉靖關中大地震 東109.7 北34.5 830,000 8.0-8.3
1700年1月26日 北加州到溫哥華島的卡斯卡迪亞地層潛沒帶
參見1700年卡斯凱迪亞地震 9.0 Satake et al, 1996
1755年11月1日 10:16 葡萄牙里斯本
參見1755年里斯本大地震 西11 北36 70,000 8.7 Johnston, 1996
1896年6月15日 19:32 日本三陸 東144 北39.5 8.5
1906年1月31日 15:36 哥倫比亞-厄瓜多 西81.5 北1 1,000 8.8 Kanamori, 1977
1906年4月18日 13:12 美國舊金山
參見1906年舊金山大地震 西122.48 北37.67 3,000 7.8 Bakun, 1999
1906年8月17日 0:40 智利瓦爾帕萊索（Valparaíso） 西72 南33 20,000 8.2 Kanamori, 1977
1908年12月28日 4:20 義大利墨西拿（Messina） 東15.6 北38.3 70,000 7.2
1920年12月16日 12:05 中國寧夏-甘肅
參見海原大地震 東105.32 北36.6 200,000 7.8 Kanamori, 1977
1923年9月1日 2:58 日本關東
參見關東大地震 東139.08 北35.4 143,000 7.9 Kanamori, 1977
1927年5月22日 22:32 中國甘肅古浪 東102.31 北37.39 40,000 7.6 Kanamori, 1977
1939年12月26日 23:57 土耳其埃爾津詹（Erzincan） 東39.53 北39.77 32,700 7.8
1950年8月15日 14:09 阿薩姆-西藏察隅 東96.5 北28.5 1,526 8.6 Kanamori, 1977
1952年11月4日 16:58 俄羅斯堪察加 東160.06 北52.76 9.0 Kanamori, 1977
1957年3月9日 14:22 美國阿拉斯加安德里諾夫群島 西175.39 北51.56 8.6 Johnson et al., 1994
1960年5月22日 19:11 3分鐘 智利
參見智利大地震 西73.05 南38.24 5,700 9.5 Kanamori, 1977
1964年3月28日 3:36 美國阿拉斯加威廉王子灣
參見耶穌受難日地震 西147.65 北61.02 125 9.2 Kanamori, 1977
1965年2月4日 5:01 美國阿拉斯加Rat Islands 西178.5 北51.21 8.7 Kanamori, 1977
1970年5月31日 20:23 秘魯 西78.84 南9.25 66,000 7.9 Kanamori, 1977
1976年7月27日 19:42 中國唐山
參見唐山大地震 東117.89 北39.61 255,000* 7.5 Kanamori, 1977
1985年9月19日 13:17 墨西哥墨西哥城 西102.36 北18.44 9,500 8.0 PDE Monthly Listing
1988年12月7日 7:41 亞美尼亞 東44.11 北40.93 25,000 6.8 PDE Monthly Listing
1989年10月18日 0:04 美國舊金山 西121.76 北37.14 63 6.9 Wald et al., 1991
1993年9月29日 22:25 印度馬哈拉斯特拉 東76.52 北18.08 9,748 6.2 PDE Monthly Listing
1994年1月17日 12:30 美國洛杉磯
參見1994年北嶺地震 西118.56 北34.18 60 6.7 PDE Monthly Listing
1994年12月28日 約香港時間20時 日本八戶市 東135.01 北34.58 3 7.5 USGS NEIC
1995年1月16日 20:46:52 日本神戶
參見阪神大地震 東135.01 北34.58 6,434 6.9 USGS NEIC
1996年5月3日 11:32:48 中國包頭
東109.367 北40.427 26 6.4 USGS NEIC
1999年8月17日 00:01:39 土耳其伊茲麥 東29.86 北40.74 17,118 7.6 USGS NEIC
1999年9月21日 01:47:18 102秒 台灣南投
參見921大地震 東120.98 北23.77 2,400 7.6 USGS NEIC
2001年1月26日 03:16:40 印度古吉拉特邦 東70.23 北23.41 20,023 7.6 USGS NEIC
2003年12月26日 01:56:52 伊朗巴姆 東58.337 北29.004 31,000 6.6 USGS NEIC (WDCS-D)
2004年12月26日 00:58:53 印尼蘇門答臘西北外海
參見2004年印度洋大地震 東95.854 北3.316 283,106 9.1 USGS NEIC (WDCS-D)
2005年3月28日 16:09:36 印尼蘇門答臘北部
參見2005年蘇門答臘地震 東97.013 北2.074 1,313 8.2 USGS NEIC (WDCS-D)
2005年10月8日 03:50:40 喀什米爾
參見2005年喀什米爾大地震 東73.629 北34.493 80,361 7.6 USGS NEIC (WDCS-D)
2006年3月14日 06:57:33 印尼塞蘭（SERAM） 東127.211 南3.593 4 6.7 USGS NEIC (WDCS-D)
2006年3月31日 01:17:01 西伊朗 東48.794 北33.581 70 6.1 USGS NEIC (WDCS-D)
2006年5月26日 22:53:58 印尼爪哇
參見2006年5月爪哇地震 東110.458 南7.962 5,749 6.3 USGS NEIC (WDCS-D)
2006年7月17日 08:19:28 印尼南爪哇
參見2006年7月爪哇地震 東107.320 南9.222 730 7.7 USGS NEIC (WDCS-D)
2006年12月26日 20:26:21 台灣屏東恆春近呂宋海峽
參見2006年恆春地震 東120.538 北21.825 2 7.1 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年1月13日 04:23:20 東千島群島
參見2007年千島群島地震 東154.455 北46.272 8.1 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年1月21日 11:27:45 摩鹿加海（MOLUCCA SEA） 東126.395 北1.222 4 7.5 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年3月6日 03:49:39 印尼南蘇門答臘 東100.524 北0.512 70 6.4 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年3月25日 00:41:57 靠近日本本州西海岸
參見能登半島地震 東136.602 北37.281 1 6.7 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年4月1日 20:39:56 索羅門群島 東156.978 南8.481 54 8.1 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年7月16日 01:13:22 靠近日本本州西海岸
參見2007年新潟縣中越沖地震 東138.469 北37.576 9 6.6 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年8月15日 23:40:57 靠近中秘魯海岸
參見2007年秘魯大地震 西76.509 南13.354 519 8.0 USGS NEIC (WDCS-D)
2007年9月12日 11:10:26 印尼南蘇門答臘
參見2007年蘇門答臘地震 東101.374 南4.520 9 8.5 USGS NEIC (WDCS-D)
2008年5月12日 06:28 中國四川省汶川縣
參見汶川大地震 東103.270 北31.104 87,000 8.0 USGS NEIC (WDCS-D)
2010年1月13日 21:53:09 35~40秒 海地太子港
參見2010年海地地震 200,000+ 7.0 USGS NEIC (WDCS-D)
2010年2月27日 06:34:17 40~49秒 智利康塞普西翁
參見2010年智利大地震 279 8.8
2010年3月4日 00:18 台灣高雄
參見2010年甲仙地震 6.4
2010年4月13日 23:49 中國青海省玉樹縣
參見2010年玉樹地震 東 96.629 北 33.271 2957 6.9
2011年2月22日 23:51 紐西蘭基督城
參見2011年基督城地震 166 6.3
2011年3月11日 14:46:23 300秒 日本宮城縣仙台市外海
參見2011年東北地方太平洋近海地震 東 142.369 北 38.322 9.0
2011年3月24日 20:25:23 1分鐘 緬甸東北部撣邦境內
參見2011年緬甸地震 東 99.8 北 20.8 7.2
2011年10月23日 10:41 ? 土耳其與伊朗邊境
參見2011年土耳其地震 東43.497° 北38.691° 1000左右 7.3
2007年的大地震
日期 時間 地點 緯度 經度 死亡 其他 震級
3月6日, 2007年 05:49:28 UTC 蘇門答臘，印度尼西亞 (參看2007年3月蘇門答臘地震) 0.490°S 100.529°E >60 之後發生6.3級餘震和更小地震導致破壞擴大，房屋通訊線路和公路受損，數千人被迫疏散。 6.4
3月25日, 2007年 00:40:02 (UTC) 萬那杜 20.597°S 169.413°E 0? 7.2
3月25日, 2007年 00:42:02 (UTC) 本州島西部近海，日本 (參看能登半島地震) 37.537°N 136.438°E 1 110人受傷。在該地震之後針對鄰近海岸地區發布海嘯警報，隨後在震央附近的海岸測得6英吋高的海嘯。 6.7
4月1日, 2007年 20:39:56 (UTC) 索羅門群島 (參看2007年索羅門群島地震) 8.474°S 156.950°E >28 之後發生6.7級餘震。海嘯破壞至少60所建築，至少2000人無家可歸。10-20人失蹤。 8.1
4月12日, 2007年 10:32當地時間（16.32 GMT） Managua東南7公里太平洋中，臨近尼加拉瓜Puerto Sandino. 11.706°N 86.381°W 0 Cocos板塊和加勒比板塊碰撞導致地震. [1] 5.2
4月13日, 2007年 05:42:23 (UTC) Guerrero，墨西哥 17.353°N 100.101°W 0 之後發生5.4級餘震。並造成墨西哥城和Acapulco停電，沒有嚴重破壞 6.0
4月20日, 2007年 01:45:56 (UTC) 琉球群島西南，日本 25.714°N 125.250°E 0 之後發生6級和多次5.9級餘震。 6.1
4月28日, 2007年 07:18:11 (UTC) 肯特，英國 (參照2007年肯特地震) 51.080°N 1.170°E 0 474所房屋結構破壞或者出現裂縫;其中73所必須重建。 4.2
5月16日, 2007年 08:56:18 (UTC) Laos 20.470°N 100.703°E 0 導致曼谷部分建築受損。沒有傷亡。 6.3
6月2日, 2007年 21:34:58 (UTC) 雲南，中國 23.013°N 101.053°E 2 死亡2人，受傷超過200人（15人重傷）。部分房屋道路通訊線路和自來水管線受損。 6.2
6月13日, 2007年 19:29:46 (UTC) 瓜地馬拉近岸 13.628°N 90.732°W 0? 瓜地馬拉電話中斷，很多房子受損，人員失蹤。El Salvador有震感，震波傳到中途島。在五天之前規模5.8的地震也侵襲該地區。 6.8
7月6日, 2007年 01:09:21 (UTC) Chiapas，墨西哥 16.678°N 93.479°W 0? 電力和電話中斷。建築和商業在三個墨西哥的州受影響。 6.1
7月16日, 2007年 01:13:28 (UTC) 本州，日本 (參照2007年新潟縣中越沖地震) 37.574°N 138.440°E 9 很多木結構建築倒塌，幾百人受傷，9人死亡。50cm海浪影響震央附近海岸。Kashiwazaki-Kariwa核電站失火，導致放射性材料流入海洋。餘震5.8級;幾小時後西部另外一次餘震6.8級但因為震源比較深沒有很大破壞。 6.6
7月18日, 2007年 20:30:00 (EAT) 內羅畢, 肯亞
Ol Doinyo Lengai, 坦尚尼亞
1.283°S 36.817°E 0 The current largest event of an ongoing earthquake swarm, possibly as a result of volcanic activity on Ol Doinyo Lengai volcanic mountain in Northern Tanzania. Tremor occurrences began on 7月12, 2007. Shook buildings and caused panic in 東非 5.9
7月20日, 2007年 04:40:00 Local 洛杉磯，加利福尼亞 37.801°N 122.184°W 0 輕度破壞，無傷亡報告。 4.2
8月1日, 2007年 17:08:54 (UTC) 萬那杜 15.671°S 167.602°E 0? 震源較深，沒有引起海嘯 7.2
8月2日, 2007年 02:37:43 (UTC) 韃靼海峽，俄羅斯 47.259°N 141.750°E 1 之後有6.1級餘震。12英尺海嘯影響日本北部。Several injuries and one fatality from a collapsed roof in the Russian
其他重大地震
未被美國地質調查所列入的地震
日期 地點 死亡人數 震度或強度 備註
前1831年 中國泰山 ? – 有史以來最早的地震[2]
前464年 希臘斯巴達 ? – 導致希洛人的起義，伯羅奔尼撒戰爭的起因之一[3]
前226年 希臘羅德島 ? – 摧毀了世界七大奇跡中的羅得島太陽神銅像[4]
526年5月20日 敘利亞安提阿克亞
(中國古稱條支) 250,000 –
856年 伊朗達姆甘（Damghan） 200,000 –
856年 希臘科林斯 45,000 –
893年 印度烏代浦爾（UDaipur） 180,000 –
893年 伊朗阿爾達比（Ardebil） 150,000 –
1138年8月9日 敘利亞阿勒坡（Aleppo） 230,000 XI
1201年7月5日 上埃及和敘利亞 1,100,000 IX 歷史上死亡人數最多的地震
1290年9月27日 中國直隸（河北省） 100,000? IX 元至元27年8月
1303年9月17日 山西洪洞趙城 200,000 XI 元大德七年八月初六戌時
1604年12月29日 中國泉州外海 ? IX 明萬曆32年
1605年7月13日 中國海南瓊山 3,300 IX 明萬曆33年
1667年11月 亞塞拜然 80,000 –
1668年7月25日 山東郯城 50,000 XII 清康熙七年六月十七戌時
1693年1月11日 義大利西西里島 70,000 –
1730年12月30日 日本北海道 137,000 –
1737年10月11日 印度加爾各答 300,000 – 最近的研究指出傷亡主要是熱帶氣旋造成，而不是地震
1739年1月3日 中國寧夏平羅 50,000 X 清乾隆3年10月
1850年9月12日 中國四川西昌 20,000 X 清道光30年8月
1879年7月1日 中國甘肅武都 20,000 XI 清光緒5年5月
1906年3月16日 台灣嘉義 1,260 7.1 參見1906年梅山地震
1932年12月25日 中國甘肅昌馬堡（玉門市昌馬鄉） 70,000 7.6
1935年4月21日 台灣新竹-台中 3,279 7.1 參見1935年新竹台中地震
震級最強地震
排名 日期 位置 震級
1 1960年5月22日 智利 瓦爾迪維亞 （參看: 1960年智利大地震） 9.5
2 1964年3月27日 美國阿拉斯加威廉王子灣 (參看: 耶穌受難日地震) 9.2
3 2004年12月26日 印度尼西亞北蘇門答臘西海岸（參看: 2004年印度洋地震） 9.1-9.3
4 1952年11月4日 堪察加，俄羅斯 9.0
5 2011年3月11日 日本宮城縣（參看：2011年東北地方太平洋近海地震） 9.0
6 1700年1月26日 卡斯凱迪亞 (參看: 1700年卡斯凱迪亞地震) ~9.0
7 2010年2月27日 智利康賽普西翁（參看：2010年智利大地震） 8.8*
8 1906年1月31日 哥倫比亞與厄瓜多 8.8
9 1965年2月4日 加拉特群島（Rat Islands），阿拉斯加，美國 8.7
10 1833年11月25日 印度尼西亞蘇門答臘 8.7
11 1755年11月1日 葡萄牙里斯本 (參看: 1755年里斯本大地震) ~8.7
12 2005年3月28日 印度尼西亞北蘇門答臘 8.5-8.7*
13 2012年4月11日 印度尼西亞北蘇門答臘西海岸（參看：2012年蘇門答臘近海地震） 8.6
14 1950年8月15日 阿薩姆-西藏察隅 8.6
15 2007年9月12日 印度尼西亞南蘇門答臘 8.5
16 1575年12月16日 智利瓦爾迪維亞 8.5
17 1668年7月25日 中國 山東 郯城、莒縣 ~8.5
*科學家尚未承認官方發布的震級
死亡人數紀錄
排名 地震名 日期 位置 遇難人數 震級 附註
1 嘉靖大地震 1556年1月23日 陝西, 中國 830,000 ~8.3 不包括沒有登記戶口的居民
2 2010年海地地震 2010年1月12日 太子港, 海地 316,000 7.0 由於是西半球最貧窮的國家救災嚴重落後
3 2004年印度洋大地震 2004年12月26日 北蘇門答臘西海岸，印度尼西亞 ~280,000 9.1-9.3 死於地震和海嘯。
4 唐山大地震 1976年7月28日 唐山，中國 255,000 (官方) 7.5
5 1138年阿勒頗地震 1138年8月9日 阿勒頗, 敘利亞 230,000 Death toll disputed as first mention of 230,000 dead was in the 15th century.
6 "Damghan" 856年12月22日 Damghan, 伊朗 200,000
海原大地震 1920年12月16日 寧夏-甘肅，中國 200,000 7.8 較大裂縫，塌方
洪洞趙城地震 1303年9月17日 山西洪洞趙城，中國 200,000 ~8
9 "Ardabil" 893年3月23日 Ardabil，伊朗 150,000
10 關東大地震 1923年9月1日 關東平原, 日本 143,000 7.9 東京大火災
11 阿什哈巴德地震 1948年10月6日 阿什哈巴德, 土庫曼 110,000 7.3
12 2005年克什米爾地震 2005年10月8日 克什米爾 & N.W.F.P, 巴基斯坦 100,000 (估計) , 80,000 (官方) 7.6 or 7.8 350萬人無家可歸, 10萬人生命受到威脅
來源: USGS[1]
參考文獻
^ http://www.elnuevodiario.com.ni/2007/04/12/ultimahora/3010
^ 吳階平, 喻滄, 季羨林. [2002] (2002) 世紀中國學術大典: 測繪學, 大氣科學, 固體地球物理學, 應用地球物理學, 海洋科學. 福建教育出版社. ISBN 7-5334-3446-3, 9787533434465. p 41.
^ Armijo, R., Lyon-Caen, H. & Papanastassiou, D. 1991. A possible normal-fault rupture for the 464 BC Sparta earthquake. Nature, 351, 137-139.
^ Erel, T.L. & Adatepe, F. 2007. Traces of Historical earthquakes in the ancient city life at the Mediterranean region. J. Black Sea/Mediterranean Environment, 13, 241-252.
Bakun, W.H., 1999, Seismic Activity of the San Francisco Bay region, Bull. Seism. Soc Am. 89, 764-784.
Johnston, A., 1996, Seismic moment assessment of earthquakes in stable continental regions – III. New Madrid 1811-1812, Charleston 1886, and Lisbon 1755, Geophys. J. Int. 126, 314-344.
Kanamori, H., 1977, The energy release in great earthquakes, J. Geophys. Res. 82, 2981-2987.
PDE (Preliminary Determination of Epicenters) Monthly Listing, U.S. Geol. Surv., Golden, CO.
QED (Quick Epicenter Determinations), U.S. Geol. Surv., Golden, CO.
外部連結
地震學聯合研究會（IRIS）—最近的地震（英文）
美國地質調查所（USGS）—最近7天的地震列表（英文）
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美國國家航空暨太空總署
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美國國家航空暨太空總署
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簡介
成立 1958年7月29日
前身 NACA
總部 華盛頓哥倫比亞特區
員工 17,900[1]
年預算 176億美元（2009年）[2]
部門主管 查理斯·富蘭克·波登2世，執行長
蘿莉·貝斯·加佛，代理執行長
網站
www.nasa.gov
汉漢▼
美國國家航空暨太空總署（英語：National Aeronautics and Space Administration，NASA）[3]是美國聯邦政府的一個行政機構，負責美國的民用太空計劃、與航空科學暨太空科學的研究。1958年7月29日，美國總統艾森豪簽署了《美國公共法案85-568》（United States Public Law 85-568，即《美國國家航空暨太空法案》），創立了NASA，取代了其前身NACA。於1958年10月開始運轉。自此，美國國家航空暨太空總署負責了美國的太空探索，例如登月的阿波羅計畫，太空實驗室，以及隨後的太空梭。自2006年2月，美國國家航空暨太空總署的願景是 「開拓未來的太空探索，科學發現及航空研究」。美國國家航空暨太空總署的使命是「理解並保護我們賴以生存的行星；探索宇宙，找到地球外的生命；啟示我們的下一代去探索宇宙」。在太空計劃之外，美國國家航空暨太空總署還進行長期的民用以及軍用航空太空研究。美國國家航空暨太空總署被廣泛認為是世界範圍內太空機構中執牛耳者。美國國家航空暨太空總署透過地球觀測系統提升對地球的了解，透過太陽科學研究計畫精進太陽科學。美國國家航空暨太空總署注重於利用先進的機械任務探索太陽系中的的所有天體並利用天文觀測台及相關計畫研究天體物理學中的主題，例如大爆炸理論。美國國家航空暨太空總署與許多美國國內及國際的組織分享其研究數據。
目錄
1 歷史
1.1 太空競賽
1.2 計劃
1.3 現狀與將來
2 NASA太空計劃
2.1 載人飛行
3 參見
3.1 其他太空機構
3.2 相關作品
4 外部連結
4.1 綜合性
4.2 更深層次的研究
5 參考文獻
歷史
太空競賽
主條目：太空競賽
水星-紅石3號於1961年5月5日發射，太空人艾倫·謝潑德成為了第一位進入太空的美國太空人。
蘇聯於1957年10月4日成功地將第一枚人造衛星斯普特尼克1號送入太空之後，美國的注意力轉移到自己正在起步的太空工業發展。國會受到此一史潑尼克危機的震撼，要求政府立即採取行動，但艾森豪總統與其顧問團則認為應該更審慎地考量，在數個月的商議後，認為有必要成立一個全新的政府機構，以領導所有非軍事太空行動。
美國的第一顆環地球人造衛星「探險者1號」在1958年1月31日發射昇空。同年7月29日，艾森豪總統簽署了NASA的成立，1958年10月1日NASA正式成立。NASA以擁有46年歷史的研究機構國家航空諮詢委員會（NACA）的四個主要實驗機構與其中80名成員改組而成。由在戰後遷移美國的前德國火箭專家沃納·馮·布勞恩所領導的德國火箭計劃，對於美國進入太空競賽領域有著重大的貢獻，被譽為「美國太空計劃之父」。陸軍彈道飛彈署（Army Ballistic Missile Agency）和美國海軍研究實驗室（Naval Research Laboratory）的一部份也整合到NASA的組織裡。
計劃
原計劃中，在水星計劃和雙子星座計劃結束之後的阿波羅計劃啟動，以在太空中做「有意思」的工作，甚至把太空人送入月球軌道（並未計劃登月）。甘迺迪總統在1961年5月25日的演說中聲稱美國應該在1970年以前「把一個太空人送到月球上並把他安全帶回來」使得阿波羅計劃被迅速調整。阿波羅計劃也就變成了載人登月計劃。雙子星座計劃很快變成了為複雜得多了的阿波羅計劃提供輔助太空飛行器技術的任務。
奧爾德林（阿波羅11號）在月球表面行走
包括阿波羅1號中美國第一次有太空人犧牲的事件，阿波羅8號首次太空飛行器環繞月球的壯舉在內，8年的初期準備之後，阿波羅計劃為阿波羅11號派遣尼爾·阿姆斯特朗和巴茲·奧爾德林於1969年7月20日登月並於7月24日返回做好了準備。在踏出登月艙之後，阿姆斯特朗說道：「這是一個人的一小步，也是全人類的一大步。」到1972年為止，共有12個太空人登月成功。
美國國家航空暨太空總署贏得了登月競賽，但在某種意義上失去了方向，至少失去了以保持保證國會批准高額預算的來自公眾的關注和興趣。詹森總統下台之後，美國國家航空暨太空總署失去了其主要的政治支持，火箭科學家沃納·馮·布勞恩被派到華盛頓遊說政客。作為後續計劃，建立宇宙太空站，建立月球基地，並在1990年前由太空人登陸火星的想法被提出，但是土星火箭和阿波羅計劃所使用的設備卻無法支持這些目標。阿波羅13號氧氣罐爆炸近乎失事而差點損失全部3名太空人的性命，引起了全國上下的注意和關切。儘管阿波羅計劃一直安排到阿波羅20號，阿波羅17號為她的母計劃畫上了句號。這個計劃因為預算緊縮（部分因為越南戰爭的高額支出），和建造可重複使用太空飛行器的計劃而結束。
現狀與將來
NASA的「蠕蟲」標誌，使用於1975年至1992年間
包括馬克·韋德（Mark Wade）在內的一些評論家[來源請求]指出，NASA在載人飛行的計劃中陷入了停滯不前的狀況。美國政府花費數十億美元完成的阿波羅計劃以及土星計劃中使用的太空飛行器自1970年起就不再被使用。雖然阿波羅計劃結束之後NASA的財政預算被大幅縮減，但機構內的官僚作風卻沒有改變，導致嚴重的鋪張浪費，而且器械也沒有保持在最佳狀態。
美國佛羅里達州：攝於NASA太空計劃（STS-95），1998年10月31日
目前，NASA的載人太空計劃依靠的仍是太空梭。太空梭擔任的任務包括為在建的國際太空站運送主要的建築構件和材料。在1986年和2003年的兩次重大事故中，已有兩架太空梭被毀，導致14位太空員死亡。其中，1986年失事的挑戰者號是一架用替換零件拼湊的太空梭。而2003年的哥倫比亞號則造成美國國內對太空梭未來的信心大減。NASA目前不考慮建造新的替補太空梭，而是轉而研發新的奧賴恩計劃。
NASA計劃出現的問題導致了國際太空站計劃的停滯不前。按照原計劃，國際太空站在2005年應達到七名太空人的配置，但現在卻只有最基本的兩名，以致很多計劃中的研究項目被推遲。 其他在國際太空站的項目上投了巨資（比如歐洲太空總署）的國家因此擔心國際太空站會像太空實驗室一樣以失敗告終。同時，歐洲國家和日本對國際太空站的貢獻也已經落後於時間表。
2004年，美國政府提出了代替宇宙飛船的機組探測飛行器計劃，以允許太空局再次將太空人送至月球。此計劃後來演變為現在的獵戶座飛船計劃。
NASA太空計劃
載人飛行
水星計劃
雙子星座計劃
阿波羅計劃
天空實驗室
國際太空站（與俄羅斯、加拿大、歐洲、巴西以及日本合作）
星座計劃
參見
太空主題 太空主題首頁
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美國國家航空暨太空總署
太空人
太空梭
太空探索
太空競賽
其他太空機構
中國國家航天局
中華民國國家太空中心
日本宇宙航空研究開發機構
歐洲太空總署
英國宇航署
法國國家太空研究中心
德國航空太空中心
俄羅斯聯邦太空局
相關作品
大騙局（丹·布朗小說）
外部連結
綜合性
NASA主頁
NASA觀察
NASA的作品 - 古騰堡計劃
更深層次的研究
NASA 歷史系列文獻
NASA 歷史數據書籍（SP-4012）
NASA歷史中的研究：NASA歷史計劃指南（大 PDF文件 - 大於1012Kb）
NTRS: NASA技術報告伺服器
Eventscope
NASA兒童專欄
參考文獻
^ http://www.employeeorientation.nasa.gov/contractors/default.htm
^ FY09 Budget Request Summary (PDF). NASA. February 1, 2008.
^ 中國大陸譯作美國國家航空航天局、美國宇航局，台灣譯作美国国家航空暨太空总署， 港澳譯作美國太空總署
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查 · 論 · 編
美國政府載人太空計劃
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公共太空機構
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美國太空 - 美國國家航空暨太空總署（NASA）
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美國國家航空暨太空總署
1958年建立
太空機構
美國政府
＊＊＊
《山海經》
http://ctext.org/shan-hai-jing/zh
＊＊＊
《淮南子》 [西漢 (公元前206年 - 9年)]
http://ctext.org/huainanzi/zh
＊＊＊
中國天文學史
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中國天文學史是天文學史的一個分支，也是自然科學史的一個組成部分。
中國史學異常發達，在中國古代社會，頒曆法為皇權的象徵之一。自秦漢以降，大約有一百多種曆法。中國的古代天象記錄是當時世界上最豐富，最有系統的。《春秋》魯文公十四年（前613年），出現哈雷彗星的記載，是中國最早的記錄；到清代宣統二年（1910年），史書對哈雷彗星出現的記載多達31次。
公元前2137年，10月22日歷史上最早的日食記錄。[來源請求]
公元前2000年左右，中國測定木星繞天一周的周期為12年。[來源請求]周天分為十二分，稱為十二次，木星每的行經一次，就用木星所在星次來紀年。
目錄
1 地圓說
2 三代
3 漢朝
4 魏晉南北朝
5 隋朝
6 唐
7 宋、遼、金
8 元
9 明
10 參見
11 站外連結
12 注釋
地圓說
某些人認為古代中國是有地圓說的，不過在當時沒有「天圓地方」那麼權威性，前4世紀的中國法家思想家慎到就提到「天形如彈丸，半覆地上，半隱地下，其勢斜倚」，慎到認為天體是圓球形的，沿著傾斜的極軸在不停地轉動。[1]戰國時期的另一位政治家惠施提到「天與地卑，山與澤平……天地一體也」，認為既然天體是球形的，那大地也應如此，支持地圓說。[2]對於天圓地方之說，略早前生活在前5世紀的曾子就有過困惑，當單居離問曾子關於是否有「天圓地方」之說時，曾子反問道：如果天是圓的，地是方的，不是有四個角露出來遮掩不住嗎？曾子認為一個半球形的天穹要如何覆蓋在一個方形的大地，可惜曾子沒有進一步深思這個問題，卻用答非所問的方式轉移問題，他引用孔子的話：「天道曰圓，地道曰方」。[3]
三代
夏帝桀十年（前1809年），五星錯行，夜中星隕如雨（《古今圖書集成·卷三五·星變部》、《竹書紀年》）
商帝辛四八年（前1590年），二日並出（《古今圖書集成·日異部》）
大約公元前1400年－中國已有規律的記錄日食與月食，並有兩顆新星的記錄（七日己巳夕有新大星併火，辛未酉殳新星）。
公元前12世紀，中國殷末周初採用二十八宿劃分天區。
公元前11世紀，傳說中國周朝建立測景台，最早測定黃赤交角，與測出春分點。
懿王元年（前899年4月21日）天再旦於鄭（《竹書紀年》）
公元前776年，中國《詩經·小雅》：「十月之交，朔日辛卯，日有蝕之……」，是世界最早的可靠的日食記事。
《左傳》記載：「魯莊公七年（前687年）四月辛卯，夜中星隕如雨。」
《春秋》記載：「魯文公十四年（前680年）七月，有星李入於北斗。」這是哈雷彗星的最早紀載。
公元前613年，《春秋》中可能記載了最早的哈雷彗星出現記錄（秋七月，有星孛入於北斗）。
公元前532年，「周景王十三年春，有星出婺女」，可能是新星的記錄。
漢朝
公元前2世紀，西漢司馬遷著的《史記·天官書》詳細記載了天象。
漢惠帝二年（前193年）有「天開東北，廣十餘丈。」[4]
漢景帝前二年（前155年）八月，熒惑逆行守北辰，月出北辰間，歲星逆行天庭中。（《資治通鑑》）
《淮南子》記載：「日中有駿鳥」（前140年）
西漢武帝建元二年（前139年）夏四月，有星如日，夜出。（《資治通鑑》）
建元三年（前138年）四月，有星孛於天紀，至織女。占曰：織女有女變，天紀為地震。至四年十月而地動，其後陳皇后廢。[5]
建元六年（前135年），熒惑守輿鬼。占曰：為火變，有喪。是歲高園有火災，竇太后崩。[6]
《漢書·天文志》：「元光元年（前134年）五月，客星見於房。」房是28宿星的房宿，即現在天蠍星座的頭部。法國人比奧編《新星彙編》將這顆超新星列為第一星。
《漢書˙五行志》記：「征和四年八月辛酉晦（前89年9月28日），日有食之，不盡如溝，在亢二度，晡時（15—17點）從西北；日下晡時，復。」
《資治通鑑》「西漢成帝建始元年（前32年）八月，有兩月相承，晨見東方」
公元前28年（漢成帝河平元年三月乙未），《漢書．五行志》記載了最早的太陽黑子記錄，「日出黃，有黑氣大如錢，居日中央」。
公元103年，東漢永元十五年，賈逵創制出黃道銅儀，發現了月亮運動不均勻，稱之為月行有遲疾。
《後漢書·五行志》「後漢靈帝建寧元年（168年），日數出東方，正赤如血無光，高二丈餘，乃有景（影），且入西方，去地二丈亦如之」。
《後漢書·天文志》載：「中平二年（185年）十月癸亥，客星出南門中，大如半筵，五色喜怒，稍小，至後年六月消。」這是超新星爆發最早的記載：RCW86。
魏晉南北朝
《資治通鑑》載「西晉惠帝永寧元年，自正月至於是月，五星互經天，縱橫無常。」
公元三世紀，魏晉南北朝虞喜發現歲差。
隋朝
公元五世紀，陳卓編《全天星圖》共1464星。
《隋書·天文志》記載：「太清二年五月（548年6月），兩月現。」
唐
公元687年，最早的流星雨記錄。
《新唐書·天文志》記載說：「貞觀年，突厥有三月並現。」
《新唐書˙天文志》記：「乾寧三年（896年）十月有客星三：一大，二小，在虛、危間（今寶瓶座），乍合乍離，相隨東行，狀如鬥。經三日，而二小星沒。其大星後沒」。
宋、遼、金
宋太祖建隆元年（960年）正月癸卯，匡胤軍中知星者河中苗訓，見日下復有一日，黑光摩盪。（《續通鑑》）
公元1054年，北宋至和元年（1054年7月4日）有超新星的記錄，現稱為蟹狀星雲。
宋徽宗宣和七年（1125年）十二月庚申，日有五色暈，挾赤黃珥，又有重日相盪摩，久之乃隱。（《續通鑑》）
《夷堅志甲卷十九》「宋孝宗乾道二年（1166年），趙清憲賜笫在京師府司巷……以暑月不寐，啟戶納涼，見月滿中庭如晝，方嘆曰：『大好月色。』俄廷下漸暗，月痕稍稍縮小，斯須光滅，仰視星斗粲然，而是夕乃晦日，竟不曉為何物光也」（一次月食的記錄）
金世宗大定二十一年（1181年）六月，「客星見於華蓋，凡百五十有六日滅」。（《金史·天文》）這是仙后座超新星爆發。
宋孝宗淳熙十三年（1186年）八月乙亥朔，日月五星聚軫（烏鴉星座）。（《續通鑑》）這是太陽月亮和五大行星連成一直線的記錄。
元
元順帝至正十年（1350年）六月壬子廿九日，有星大如月，入北斗，震聲若雷，三日復還。（《續通鑑》）
明
《明史·天文二》載： 「洪武三十一年十月，熒惑守心。」
明英宗正統十四年（1449年）八月辛未日，月晝見，與日並明。（《明通鑑》）
明世宗嘉靖廿九年（1550年）六月戊申，太白晝見，連日陰雨，凡晝見者七日。（《明通鑑》）
隆慶六年（1572年）十月，客星見東北方，出閣道旁，壁宿度，曆十九日。
萬曆三十二年（1604年）九月，客星見尾分，一更時出西南方，三十三年二月始滅。
參見
站外連結
天文史學
中國天文學史
注釋
^ 《慎子·外篇》
^ 《莊子·天下第三十三》
^ 單居離問於曾子曰："天圓而地方者，誠有之乎？"曾子曰："離！而聞之，云乎！"單居離曰："弟子不察，此以敢問也。"曾子曰："天之所生上首，地之所生下首，上首謂之圓，下首謂之方，如誠天圓而地方，則是四角之不揜也"……"且來！吾語汝。參嘗聞之夫子曰： 天道曰圓，地道曰方。《大戴禮記·曾子天圓第五十八》
^ 《漢書．天文志》
^ 《漢書·天文志》
^ 《漢書·天文志》
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四象
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四象在中國傳統文化中指青龍、白虎、朱雀、玄武，分別代表東西南北四個方向。在二十八宿中，四象用來劃分天上的星星，也稱「四神」、「四聖」。
中國傳統方位是以南方在上方，和現代以北方在上方不同，所以描述四象方位，又會說左青龍（東）、右白虎（西）、前朱雀（南）、後玄武（北）來表示，並與五行在方位（東木西金，北水南火，中央土）上相呼應。四象另一說：太陽、太陰、少陽、少陰，八卦中四極的稱號。
Compass rose pale.svg 北 · 玄武 Compass rose pale.svg
西 · 白虎 北 東 · 青龍
西 中央 東
南
南 · 朱雀
流行文化中的四象
四方神獸時常出現在日本動畫、日本漫畫和電玩遊戲等流行文化。
以下四象設定角色的ACG作品：
夢幻遊戲
幽遊白書
月華劍士
賽爾號
戰鬥陀螺
數碼寶貝馴獸師
遙久時空
太王四神記
太空戰士 零式
陰陽大戰記
少年陰陽師
相關
五行
太極
陰陽
八卦
四象及二十八宿（星名對照表） 東方青龍 角木蛟 亢金龍 氐土貉 房日兔 心月狐 尾火虎 箕水豹
北方玄武 斗木獬 牛金牛 女土蝠 虛日鼠 危月燕 室火豬 壁水貐
西方白虎 奎木狼 婁金狗 胃土雉 昴日雞 畢月烏 觜火猴 參水猿
南方朱雀 井木犴 鬼金羊 柳土獐 星日馬 張月鹿 翼火蛇 軫水蚓
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天文學
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天文學主題 天文學主題首頁
「天文」重定向至此。關於日本年號，詳見「天文 (後奈良天皇)」。
天文學是觀察和研究宇宙間天體的學科，它研究天體的分布、運動、位置、狀態、結構、組成、性質及起源和演化，是自然科學中的一門基礎學科。天文學與其他自然科學的一個顯著不同之處在於，天文學的實驗方法是觀測，通過觀測來收集天體的各種信息。因而對觀測方法和觀測手段的研究，是天文學家努力研究的一個方向。在古代，天文學還與曆法的制定有不可分割的關係。現代天文學已經發展成為觀測全電磁波段的科學。
月球天文照片：這張照片是阿波羅11號1969年環繞月球時拍攝的，大隕石坑是位於接近月球背面的中心的代達羅斯隕石坑，它的直徑有93千米（58英里）。
目錄
1 發展歷史
2 天文學的研究方法與手段
3 天文學的研究對象和領域
4 天文學分支
5 天文學與占星術
6 相關條目
7 外部連結
8 參考文獻
發展歷史
主條目：天文學史
天文學是一門古老的學科，至少已經有幾千年的歷史。顧炎武《日知錄》有云：「三代以上，人人皆知天文：七月流火，農夫之辭也；三星在戶，婦人之語也；月離於畢，戍卒之作也；龍尾伏辰，兒童之謠也」[1]。天文學在人類早期文明中佔有非常重要的地位。古時候，人們通過用肉眼觀察太陽、月亮、星星來確定時間和方向，制定曆法，指導農業生產，這是天體測量學最早的開端。在此基礎上誕生了占星術，即通過天體的運行來占卜凶吉禍福，預測自然災害、戰爭的輸贏和個人的命運。
2世紀時，古希臘天文學家托勒密提出了地心說，認為宇宙中的天體，包括太陽，圍繞著地球運轉。這一學說受到了教會的歡迎，統治了西方社會對宇宙的認識長達一千多年。16世紀，波蘭天文學家哥白尼提出了新的宇宙體系理論——日心說。1610年，義大利天文學家伽利略首次將望遠鏡用於天文觀測，觀察到了太陽黑子、月球表面、行星的盈虧，以及木星的四顆衛星。英國著名物理學家牛頓提出了萬有引力定律，創立了經典力學，促使天體力學這一新的天文學分支的誕生，使天文學從單純描述天體的幾何關係和運動狀況進入到研究天體之間的相互作用和運動原因的新階段，在天文學史上是一次巨大的飛躍。
19世紀中葉天文攝影和分光技術的發明，使天文學家可以進一步深入地研究天體的物理性質、化學組成、運動狀態和演化規律，從而更加深入到問題本質，從而也產生了一門新的分支學科天體物理學。這又是天文學的一次重大飛躍。
20世紀第二次世界大戰結束以後，電波望遠鏡開始廣泛應用於天文觀測，開啟了除可見光外電磁波譜的一個新窗口，並在1960年代取得了被稱為「天文學四大發現」（微波背景輻射、脈衝星、類星體和星際有機分子）的新成就。隨著人類技術水平的不斷提高，空間天文學得到了迅速發展，人類可以突破地球大氣層的阻隔，到地球以外觀測天體的紫外線、紅外線、X射線、γ射線等波段的輻射，天文學進入了全波段發展的新時代。與此同時，新技術促使地面上的望遠鏡口徑和解析率都在不斷提高，從4米、5米、6米級的望遠鏡到1990年代若干8到10米級別的望遠鏡投入使用，這些望遠鏡與空間天文衛星一道，積累了大量的觀測資料，發現了活躍星系核、伽瑪射線暴、X射線雙星、重力透鏡、暗物質與暗能量等一大批新的現象和天體。
恆星天文學中一個恆星演化的例子：螞蟻星雲實際上是一個已經垂死的恆星，它正在噴出大量氣體，圖案非常對稱。（由哈柏太空望遠鏡拍攝）
天文學的研究方法與手段
天文學是以觀測為基礎的科學。與其他學科的實驗方法不同，天文觀測是一種被動的實驗，通常觀測的對象距離觀測者極其遙遠，本身的尺度極大，演化時間極長，而且往往涉及到一些極端的物理條件，如高溫、高密度、強磁場等等，這些條件通常在地面的實驗室中是很難模擬和再現的。天文學家經常遵循「觀測——理論——觀測」的方法來進行研究，即提出理論來解釋一些天文現象，然後再根據新的觀測結果，對原來的理論進行修正或者用新的理論來代替。
由於地球大氣層對大部分電磁波段來說是不透明的，因此許多太空探測方法和手段相繼出現，例如氣球、火箭、人造衛星和太空飛行器等，在此基礎上發展起來太空天文學，大大拓寬了天文學家的視野，使現代天文學發展成為全波段的天文學。
天文學的研究對象和領域
天文學的研究對象是宇宙中的各種天體。隨著天文學的發展，人類觀測的宇宙範圍在不斷擴大。根據天體的尺度大小，天文學的研究對象可以分為：
行星尺度：包括行星系中的行星、圍繞行星旋轉的衛星和大量的小天體，如小行星、彗星、流星體以及行星際物質等。太陽系是目前能夠直接觀測的唯一的行星系。但是宇宙中存在著無數像太陽系這樣的行星系統。
恆星尺度：現在人們已經觀測到了億萬個恆星，太陽只是無數恆星中很普通的一顆。
星系尺度：太陽系處於由數百億顆恆星組成的銀河系中，銀河系是一個普通的旋渦星系，銀河系以外還存在著許多的河外星系。星系又進一步組成了星系群、星系團和超級星系團等更大級別的天體系統。
宇宙學尺度：一些天文學家提出了比超級星系團還高一級的總星系，總星系是人類目前所能觀測到的宇宙的範圍，半徑超過了100億光年。
對於遙遠的天體，它的光線從發出到被人們所接收，要經過漫長的時間。例如對於10億光年以外的天體，人們觀察到的實際是它10億年前的形象。這表明天體的物理性質不僅反映出其本身的形態，還反映出其所在的演化階段。人們觀測到的眾多天體，實際上是很大時間尺度上的樣本，能夠提供它們在數億年間的演化線索。因此根據統計分類和理論研究，天文學家可以建立完整的天體演化模型。
在天文學研究中最熱門、也是最難令人信服的課題之一就是關於宇宙起源與未來的研究。對於宇宙起源問題的理論層出不窮，其中最具代表性，影響最大，也是最多人支持的就是1948年美國科學家伽莫夫等人提出的大爆炸理論。根據現在不斷完善的這個理論，宇宙是在約137億年前的一次猛烈的爆發中誕生的。然後宇宙不斷地膨脹，溫度不斷地降低，產生各種基本粒子。隨著宇宙溫度進一步下降，物質由於引力作用開始塌縮，逐級成團。在宇宙年齡約10億年時星系開始形成，並逐漸演化為今天的樣子。
現代天文學研究的領域非常廣泛，有許多非常熱門的研究課題。例如：
微中子振蕩問題
日震與星震
超新星
脈衝星、中子星和奇異星
X射線雙星
類星體和活躍星系核
黑洞和吸積盤
γ射線暴
星系團
宇宙微波背景輻射
重力透鏡
重力波的探測
暗物質與暗能量
天文學分支
天文學的分支主要可以分為理論天文學與觀測天文學兩種。天文學觀察家常年觀察天空，並將所得到的信息整理後，理論天文學家才可能發展出新理論，解釋自然現象並對此進行預測。
天文學中習慣於按照研究方法和觀測手段來分類：
按照研究方法，天文學可分為：
天體測量學
天體力學
天體物理學：主要研究物理學在天文學中的應用以及利用物理學來解釋天文學觀測的結果。
按照觀測手段，天文學可分為：
光學天文學
無線電天文學
紅外線天文學
X射線天文學
伽馬射線天文學
空間天文學
紫外線天文學
其他更細分的學科還有：
天文學史
業餘天文學
宇宙學
星系天文學
超星系天文學
遠紅外線天文學
伽馬射線天文學
高能天體天文學
無線電天文學
太陽系天文學
紫外線天文學
X射線天文學
太空地質學
電漿天體物理學
相對論天體物理學
中微子天體物理學
大地天文學
行星物理學
宇宙磁流體力學
宇宙化學
宇宙氣體動力學
月面學
月質學
運動學宇宙學
照相天體測量學
中微子天文學
方位天文學
航海天文學
航空天文學
河外天文學
恆星天文學
恆星物理學
後牛頓天體力學
基本天體測量學
考古天文學
空間天體測量學
曆書天文學
球面天文學
無線電天體測量學
無線電天體物理學
實測天體物理學
實用天文學
太陽物理學
太陽系化學
星系動力學
天體生物學
天體演化學
天文地球動力學
天文動力學
天文學與占星術
天文學應當和占星術分開。後者是一種試圖通過天體運行狀態來預測一個人命運的偽科學。在1975年，美國186位知名科學家（當中包括18位諾貝爾得獎者），曾在《人道主義者》雜誌上發表聯署文章批判占星學，指稱為偽科學。
儘管兩者的起源相似，在古代常常混雜在一起。但當代的天文學與占星術卻有著明顯的不同：現代天文學是使用科學方法，以天體為研究對象的學科；而占星術則通過比附、聯想等方法把天體位置和人事對應。概而言之，占星學著眼於預測人的命運。
相關條目
空間科學
天文學大事年表
時間
宇宙速度
相對論
天文學家
地外文明
望遠鏡
天文學學科列表
天文台
深空天體
天文觀測
國際天文聯會
外部連結
（英文）美國國家航空暨太空總署
（英文）《天空和望遠鏡》雜誌
（英文）天文及天體物理學百科全書
（簡體中文）中國國家天文台
（簡體中文）北京天文館
（繁體中文）香港太空館
（繁體中文）美國國家航空暨太空總署每日一天文圖正體中文站
（繁體中文）台北市立天文科學教育館
（繁體中文）網路天文館（台北市立天文科學教育館）
參考文獻
^ 《日知錄》卷三十
显示▼
查 · 論 · 編
天文學
显示▼
查 · 論 · 編
自然科學
天文學分支
編輯
宇宙學 | 星系天文學 | 銀河系天文學 | 星系的形成和演化
恆星天文學 | 恆星演化 | 恆星形成 | 天體測量學
行星科學 | 天體化學 | 天體生物學
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天文學
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古希臘天文學
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安提基特拉機械是製造於公元前 150 至 100 年一種用於計算天體位置的模擬計算機
古希臘天文學是指古典時期用希臘語記錄的天文學，涵蓋古典希臘時期、希臘化時期、希臘羅馬時期、古典時代晚期等時期的天文學。它不局限於地理上的希臘或種族上的希臘人，因為在亞歷山大大帝的南征北戰之後，希臘語已經成為希臘化世界學術界的通用語言。這一時期的希臘天文學又被稱為希臘化天文學，而希臘化時期之前的希臘天文學則被稱為古典希臘天文學。在希臘化和羅馬時期，許多追隨希臘傳統的希臘和非希臘天文學家都曾在托勒密埃及的繆塞昂和亞歷山大圖書館進行過研究。
古典希臘和希臘化時期天文學家發展的天文學被歷史學家認為是天文學史上的一個重要時期。古希臘天文學以開始尋求天象的理性、物理的解釋為標誌。[1]北天的多數星座以及很多恆星和行星的名稱都來源於古希臘天文學。[2]古希臘天文學主要受到巴比倫天文學的影響，也部分受到埃及天文學的影響；其本身則影響了印度天文學、阿拉伯伊斯蘭天文學和西歐天文學。
目錄
1 古風時代的天文學
1.1 早期古希臘天文學中的行星
2 曆法
3 歐多克斯天文學
4 希臘化天文學
4.1 行星模型和觀測天文學
4.2 日心說和宇宙尺度
5 希臘古典時期和古典時代晚期的天文學
5.1 托勒密天文學
6 對印度天文學的影響
7 腳註
8 參見
9 參考文獻
10 外部連結
古風時代的天文學
關於可以辨別的恆星和星座的記載早在現存最早的古希臘文學作品——荷馬和赫西俄德的作品中就出現了。在《伊利亞特》和《奧德賽》中，荷馬提到了這些天體：
牧夫座
畢星團
獵戶座
昴星團
天狼星
大犬座
阿那克西曼德
活躍於公元前七世紀的赫西俄德則在《工作和時日》中提及了大角星。儘管荷馬和赫西俄德的作品本身並不是科學著作，它們傳達了一種原始的宇宙學——平坦的大地被一條大洋河所包圍。一些恆星會升起和落下（從古希臘人的觀點來看，落下即是消失在海洋中）；而其它恆星則是不落的。根據一年中時候的不同，有些恆星會在日出或日落的時候升起或落下。
公元前五、六世紀的前蘇格拉底哲學中關於宇宙的推測相當普遍。阿那克西曼德（約前 610—前 546）描述了一個懸在宇宙中心、被火圈包圍的圓柱形大地。畢達哥拉斯學派的菲洛勞斯（約前 480—前 405）認為宇宙由恆星、行星、太陽、月亮、大地和對地等十個圍繞一團看不見的中心火焰旋轉的天體組成。這些觀點表明公元前五、六世紀的古希臘人已經認識到行星的存在，並且對宇宙的結構進行了推測。
早期古希臘天文學中的行星
西方語言中「行星」這個名稱來源於希臘語「πλανήτης」（轉寫成拉丁字母即是「planētēs」），意思是「漫遊者」。行星被稱為「漫遊者」的原因是古代天文學家注意到它們在天空中移動的軌跡相對於其他天體有所不同。水星、金星、火星、木星、土星這五顆行星可以裸眼觀察到；有時候太陽和月亮也被歸類成裸眼行星。由於行星在接近太陽時時常會被太陽的光芒掩蓋，要識別出全部五顆行星需要進行仔細的觀察。金星的觀察就是這樣一個例子。早期的古希臘人認為在傍晚和清晨出現的金星分別是兩個不同的天體，直到畢達哥拉斯發現它們其實是同一個行星。
古希臘人用希臘神話中的人物為行星命名，羅馬神話中對應的人物名字則是現在英語中各個行星的名字的基礎。
曆法
許多古代曆法都以太陽或月亮的運行周期為基礎。古希臘曆法中也包含這兩個周期。然而，同時基於太陽和月亮的周期的陰陽曆並不容易編製。一些古希臘天文學家創造出了基於食的周期的曆法。
歐多克斯天文學
在古典希臘，天文學是數學的一個分支，天文學家的研究目的是創造可以模擬天體運動現象的幾何模型。這個傳統始於畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派將天文和算術、幾何、音樂並舉為四種數學技藝。後來由這四種技藝組成的數學研究就被稱為「四藝」。
儘管不是一位創造性的數學家，柏拉圖（前 427—前 347）在《理想國》中將四藝作為哲學教育的基礎。他鼓勵了比他更年輕的數學家歐多克斯（約前 410—約前 347）去發展一套古希臘的天文學體系。現代科學史家大衛•林德伯格說道：
「在他們的工作成果中我們可以看到：(1) 關注的重點從恆星轉向行星，(2) 「雙球模型」這種幾何模型被創造出來用以表示恆星和行星現象，(3) 統領用以解釋行星觀測的理論的準則被建立起來。」（Lindberg 1992，第 90 頁）
雙球模型是一個地心說模型。它把宇宙分成兩個區域：
處於中心、靜止不動的地球
多個由以太組成、圍繞地球旋轉的球體構成的球形天空
文藝復興時期描繪雙球模型的木刻畫
柏拉圖關於宇宙學的主要著作是《蒂邁歐篇》和《理想國》。在這兩部作品中，他描述了雙球模型，並說有八個球體搬運著七個行星和恆星。他按從地球從近到遠的順序把天體排列成：
月亮
太陽
金星
水星
火星
木星
土星
恆星
根據《理想國》中的「伊爾神話」，宇宙就是，由塞壬掌管、被統稱為摩伊賴或命運三女神的必然女神的三個女兒旋轉的「必然」的紡錘。
根據辛普利丘斯（公元 6 世紀）講述的一個故事，柏拉圖向同時代的古希臘數學家提出了一個問題：「行星的視運動可以通過假設怎樣的均勻、有序運動來解釋？」（Lloyd 1970，第 84 頁）。柏拉圖提出，行星表面上的不規則運動可以通過以球形大地為中心的勻速圓周運動的組合來解釋。這在公元 4 世紀是一個新穎的觀點。
歐多克斯對柏拉圖的問題的解答是為每個行星指定一組同心球。通過傾斜球體的旋轉軸，為每個球指定不同的旋轉周期，歐多克斯得以逼近天體的「出沒」。這使得他成為嘗試給出行星運動的數學描述的第一人。他關於行星的著作《論速度》的主要思想可在亞里士多德的《形上學》（第七章第 8 節）以及辛普利丘斯對亞里士多德的另一部著作《論天》的一部評著中得以一瞥。由於歐多克斯的著作都已失傳，人們對他的認識都來自二次文獻。阿拉托斯關於天文學的詩作即是基於歐多克斯的成果；西奧多修斯的《球面幾何學》可能亦是如是。這說明歐多克斯的工作除行星運動外對球面天文學亦有涉獵。
公元 4 世紀的古希臘天文學家卡利普斯在歐多克斯的 27 個球體（26 個屬於行星，1 個屬於恆星）之外又添加了 7 個球體。亞里士多德描述了歐多克斯和卡利普斯的同心球體系，但是認為每組同心球中需要加入額外的球體來抵消外層球體的運動。亞里士多德的動機是對同心球體系的物理本質的考量：如果沒有這些額外的球體，外層球體的運動就會被轉移到內層球體上。
希臘化天文學
行星模型和觀測天文學
歐多克斯的同心球體系有幾個重要的缺陷。第一，它不能精確地預測行星運動。卡利普斯的工作可能就是修正這項缺陷的一次嘗試。第二，它不能解釋行星視運動中的速度變化。第三，它不能解釋在地球上看到的行星亮度的變化，因為歐多克斯的球體是同心的，行星和地球之間的距離是不變的。這個問題在古典希臘時期就已被奧托呂科斯（約前 310 年）指出。
針對這些缺陷，阿波羅尼奧斯（約前 262—約前 190）提出了兩種新機制使得行星的距離和速度都可以變化：偏心圓（偏心本輪）模型和本輪—均輪模型。本輪是一個運載行星圍繞地球運動的圓。（「本輪」一詞來源於拉丁語「ferro」、「ferre」，意即「搬運」。）偏心本輪即是中心稍微偏離地球的本輪。在本輪—均輪模型中，本輪運載一個較小的圓形均輪，均輪本身則運載行星。阿波羅尼奧斯定理證明，本輪—均輪模型可以模擬偏心圓模型。本輪—均輪模型還可以解釋逆行，即行星相對黃道的視運動在一段短時間內方向逆轉。現在天文史學家已經確定歐多克斯的模型只能粗略地近似部分行星的逆行，其它行星的逆行則完全不能解釋。
公元前 2 世紀，喜帕恰斯在得知巴比倫天文學家可以精確地預測行星的運動之後，認為古希臘天文學家也應達到同樣的水平。他根據巴比倫的觀測或預測記錄創造了更好的行星運動的幾何模型。對於太陽，他根據對晝夜平分點的觀測使用了一個簡單的偏心輪模型。這使得他可以解釋太陽運動速度和季節長短的變化。對於月亮，他使用了一個本輪—均輪模型。對於其他的行星，他未能給出精確的模型，比且批評其他古希臘天文學家創造了不精確的模型。
喜帕恰斯也編織了一份星表。根據老普林尼，喜帕恰斯還觀測到了一顆新星。為了使後世可以知道星體的出現、消失、移動以及亮度變化，他記錄星體的位置和亮度。托勒密把這份星表和喜帕恰斯發現歲差聯繫起來。（歲差即是由地球自轉軸的偏移導致的晝夜平分點沿黃道的緩慢移動。）喜帕恰斯認為歲差是由運載恆星的球體的運動導致的。
日心說和宇宙尺度
公元前 3 世紀，阿里斯塔克斯提出了另外一種宇宙學——一個太陽系的日心說模型，把太陽而非地球放置在已知宇宙的中心（因此有時他也被稱為「古希臘的哥白尼」）。但他的天文學觀點並不被廣泛接受，只有少數簡略的描述流傳下來。現在人們知道阿里斯塔克斯的一個追隨者是塞琉古。
阿里斯塔克斯撰寫了《論日月的大小和距離》，這是他唯一一部傳世著作。在書中，他計算了太陽和月亮的大小以及以地球半徑為單位的它們和地球之間的距離。之後不久，埃拉托斯特尼計算了地球的大小，為阿里斯塔克斯的計算結果提供具體的數據。喜帕恰斯撰寫了另外一部《論日月的大小和距離》，但已失傳。阿里斯塔克斯和喜帕恰斯都低估了太陽和地球之間的距離。
希臘古典時期和古典時代晚期的天文學
喜帕恰斯被認為是古希臘最重要的天文學家之一，因為他把精確預測的觀念引入了天文學。他也是托勒密之前最後一位具有創新性的天文學家。托勒密是公元 2 世紀在羅馬埃及的亞歷山大港工作的一位數學家。他的天文學和占星學著作包括《天文學大成》《行星假說》《四書》《實用天文表》《坎努帕斯碑文》等等。
托勒密天文學
《天文學大成》是西方天文學史上最具影響力的著作之一。在書中，托勒密通過引入一個新的數學工具——偏心勻速點——解釋了行星運動的預測方法，這是喜帕恰斯所未能做到的。《天文學大成》是一部系統性的天文學論著，綜合了許多前人的地理、模型和觀測結果。這可能正是使得它得以流傳下來，而不像其他專門性著作一樣被忽視和失傳的原因。托勒密把各個行星按順序排列成：
月亮
水星
金星
太陽
火星
木星
土星
恆星
這個順序在被日心說體系和第谷體系取代之前一直是天文學的標準觀點。
托勒密對其他數學家的成果的依賴程度，尤其是喜帕恰斯星表的使用，自 19 世紀以來一直是一個有爭議的問題。 Robert R. Newton 在 1970 年代提出了一個特別具爭議性的觀點。在《The Crime of Claudius Ptolemy》一書中，他聲稱托勒密偽造了觀測結果，並把喜帕恰斯編製星表的工作成果據為己有。但是，Newton 的觀點並不為多數天文史學家所接受。
古典時期晚期的一些數學家為《天文學大成》撰寫了評註，這其中包括帕波斯、賽翁以及他的女兒希帕提婭。托勒密天文學一直是中世紀西歐和伊斯蘭天文學的標準學說，直到在 16 世紀之前被馬拉格、日心說、第谷等學說體系取代為止。但是，最近發現的一些手稿顯示古典時期的希臘占星學家仍然用托勒密體系以前的方法進行計算（Aaboe，2001）。
對印度天文學的影響
參見：印度天文學
希臘天文學在公元前3世紀，在印度旁邊的阿里—坎拉姆的希臘巴克特里亞城發源。一些日晷儀，包括一個根據烏賈因的緯度調整的赤道日晷儀已被考古發掘出來。一些與孔雀帝國的交流，與後來的印度-希臘王國擴張至印度境內都顯示一些交流可能發生在這一時期。
一些希臘羅馬占星術的書籍在公元前幾世紀傳入印度。Yavanesvara在公元後2世紀翻譯了希臘人的一本書Yavanajataka（Sayings of the Greeks），受到了西部總督Saka王Rudradaman I的保護。Rudradaman s在烏賈因的首都「變成了印度天文學家的格林尼治和阿拉伯和拉丁人天文學論文的Arin，因為他和他的繼承人們將希臘占星術和天文學帶入了印度。」
在6世紀晚期，the Romaka Siddhanta("羅馬人的信條")和the Paulisa Siddhanta ("保羅的信條")被當做五部重要天文學專著中的兩部，編入了Varahamihira的Pañca-siddhāntikā ("五部專著")。Varahamihira在Brihat-Samhita中這樣寫道：「希臘人，儘管魚龍混雜，但必須在科學之類的方面得到尊重，超過別人。」Garga Samhita也說：「Yavanas是野蠻人，但因為天文學從他們中起源，因此他們必須被像神一樣的崇敬。」
腳註
^ Krafft, Fritz, Astronomy//Cancik, Hubert; Schneider, Helmuth, Brill s New Pauly. 2009
^ Thurston, H., Early Astronomy. Springer, 1994. p.2
參見
安提基特拉機械
古希臘數學
天文學史
巴比倫天文學
參考文獻
Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer, 2001.
Dreyer, J. L. E. A History of Astronomy from Thales to Kepler. New York: Dover Publications, 1953.
Evans, James. The History and Practice of Ancient Astronomy. New York: Oxford University Press, 1998.
Heath, Thomas. Aristarchus of Samos. Oxford: Clarendon Press, 1913.
Lindberg, David C. The Beginnings of Western Science: The European Scientific Tradition in Philosophical, Religious, and Institutional Context, 600 B.C. to A.D. 1450. Chicago: University of Chicago Press, 1992.
Lloyd, G. E. R. Early Greek Science: Thales to Aristotle. New York: W.W. Norton & Co., 1970.
Neugebauer, Otto. A History of Ancient Mathematical Astronomy. 3 vols. Berlin: Springer, 1975. (Commonly abbreviated as HAMA)
Newton, Robert R. The Crime of Claudius Ptolemy. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1977.
Pedersen, Olaf. Early Physics and Astronomy: A Historical Introduction. 2nd edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
（義大利文） Pastore Giovanni, ANTIKYTHERA E I REGOLI CALCOLATORI, Rome, 2006, privately published
外部連結
Almagest Planetary Model Animations
MacTutor History of Mathematics Archive
The Antikythera Calculator (Italian and English versions)
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昴宿星團
觀測資料：J2000 曆元
分類：
星座： 金牛座
赤經： 3h 47m 24s[1]
赤緯： +24° 7′ ″[1]
距離： 440 ly (135 pc[2][3])
視星等 (V)：
視尺度(V)：
物理性質
質量： ( M☉)
半徑：
VHB:
估計年齡：
外形特徵：
其他名稱： M45,[1] 七姐妹[1]
參考：疏散星團, 疏散星團列表
昴宿星團[4][5]，簡稱昴星團，又稱七姊妹星團，梅西爾星雲星團表編號M45，是一個大而明亮的疏散星團，位於金牛座，裸眼就可以輕易的看見，肉眼通常見到有六顆亮星。昴星團的視直徑約2°，形成斗狀。成員星數在200個以上，是一個很年輕的星團。昴星團也是一個移動星團。
昴宿星團的雲氣是最接近地球的星雲之一，並且可能是最著名的。它有時被稱為瑪亞女神的星雲，這種錯誤或許是因為反射星光的雲氣本質上是環繞在邁亞的四周所造成的（參見下文）。
這群以藍色高溫恆星為主的星團是在最近的一億年形成的，由微量的灰塵形成的反射星雲圍繞在最亮星的附近，起初被認為是星團形成時留下的，但是現在知道只是目前正在經過，與星團無關的塵埃雲。天文學家估計這個星團大約可以再存在二億五千萬年，之後就會被銀河系的引力扯碎，散佈在鄰近的星空之中。
大約 1600BC 的內布拉星象盤，該盤右上角的一群點相信是昴宿星團。
目錄
1 觀測的歷史
2 距離
3 組成
4 年齡與未來的演化
5 反射星雲
6 神話和文藝
6.1 幽浮學及新紀元信仰
7 參見
8 參考資料
9 外部鏈結
觀測的歷史
在2005年初，梅克赫茲彗星經過昴宿星團的附近。
昴宿星團在北半球的冬季和南半球的夏季是很突出的天體，從上古時代的所有古文明國就開始提到，包括澳洲的土著、毛利人、中國和馬雅人（稱之為Tzab-ek）、阿茲台克人、北美洲的蘇族。在儒學讖緯(論語比考讖)中提到來自昴宿的五位老者，曾給聖人孔子傳達過天啟。一些古希臘的天文學家認為它是個明確的星座，並且在赫西俄德、荷馬的伊利亞特和奧德賽（冒險之旅）之中被提到；在聖經中也曾被提及三次（約伯記 9:9, 38:31; 阿摩司書 5:8）。在印度神話中，昴宿星團（Krittika）是戰神室建陀的六個母親，他有六種不同的相貌，可以逐一的顯現出來；有些回教的學者認為昴宿星團（At-thuraiya）是古蘭經中的Najm。
史匹哲太空望遠鏡以紅外線拍攝的昴宿星團，顯示出伴隨著的塵埃。創建者：NASA／JPL-Caltech。
長久以來，他們就被知道是一個彼此相關的星群，而非正巧在同方向上。在1767年，牧師約翰·米契爾就已經計算過如此多的亮星出現在同方向上的機率只有五十萬分之一，並且因而認定昴宿星團和許多其他的星團都是彼此間在物理有關聯的[6]。首度研究恆星的自行時，它們被發現都以相同的速率、向著相同的方向移動，橫越過天空，這進一步的顯示他們是有關聯的。
梅西爾測量包括M45在內的一些星團的位置，編製成類似彗星的天體目錄，在1771年發行。因為多數的梅西爾天體都是昏暗、類似彗星而易被混淆的天體，似乎沒有理由列入昴宿星團，所以梅西爾可能因為覺得奇特而收錄了昴宿星團，一起的還有獵戶座星雲、蜂巢星團。還有一個可能就是梅西爾只是單純的希望他的目錄能比對手拉卡伊的更為龐大 － 在1755年發行，收錄了42個天體，所以梅西爾加入了幾個明亮的、眾所周知的天體在它的目錄中[7]。
距離
在被稱為宇宙距離尺度的階梯上，昴宿星團的距離是很重要的第一步，依序完成整個宇宙的一序列距離標尺。第一步的大小是校準整個階梯的基礎，因此使用了許多方法來測量第一步的標尺。由於昴宿星團是如此的靠近地球，相對的，它的距離也很容易測量。正確的距離知識，允許天文學家使用赫羅圖來測量星團的距離，與距離已知的星團比較圖形，就可以估計待測量星團的距離。其他的方法可以延伸測量的距離從疏散星團至星系，乃至於星系團，宇宙距離尺度的階梯就被建構起來了。對昴宿星團距離的認知，最終可以影響到天文學家對宇宙年齡的理解和未來的演變。
在依巴谷衛星發射之前，一般認知的昴宿星團與地球的距離是135秒差距。依巴谷衛星利用星團中恆星視差 —一種直接和準確的技術，測量的結果是118秒差距，使天文學家大為驚訝。後續的工作發現依巴谷衛星對昴宿星團距離的測量是錯誤的，但是並不知道發生錯誤的原因[8]。目前認為昴宿星團距離的上限值大約是135秒差距（相當於440光年）[2][3]。
組成
昴宿星團的X-光影像顯示這些恆星有溫度極高的大氣層。綠色的方框標示出光學上最明亮的七顆恆星。
這個星團的半徑大約是8光年，而潮汐半徑達到43光年。雖然圖中未能排除聯星，但統計星團中被證實的成員已經超過1000顆[9]。它們主要是年輕、高溫的藍色星，依據觀測環境的不同，裸眼最多能看見14顆亮星。最明亮的恆星排列有些類似於大熊座和小熊座，星團的總質量估計大約是太陽質量的800倍[10]。
星團內有許多棕矮星 － 質量低於太陽的8%，在核心沒有足夠的溫度和壓力引發核融合成為真正的恆星。它們的數量大約佔星團成員的25%，但質量卻低於總質量的2%[11]。天文學家已經盡了最大的努力在昴宿星團和其他年輕的星團中尋找和分析棕矮星，因為棕矮星在年輕的星團中還算明亮和容易觀測，而在較老的星團中都已經黯淡而更難以研究。
目前在星團中也發現了一些白矮星，但星群中正常的年輕恆星還沒有達到可以期望演化成白矮星的年齡，因為這個過程通常需要幾十億年的時間。一般相信，這不是由單一的低或中質量恆星演化過來的，這些白矮星的前身一定是聯星系統中的大質量恆星。大質量恆星在快速的演化中將質量傳輸給伴星，結果使演化成為白矮星的腳步更為加快，但是這個過程的細節還需要對深奧的重力有更多了解，才能更確實的解釋作用的機制[可疑] (討論)。
年齡與未來的演化
經由星團和恆星演化理論模型的比較，從赫羅圖可以估計出星團的年齡。使用這種技術，估計昴宿星團的年齡在7500萬至1億5000萬年之間。在估計年齡上的擴散度是恆星演化模型不確定的結果，特別是模型中包含了所謂的對流過衝（對流超射）現象。這是恆星內部的對流層是否擊穿非對流層的現象，結果可能使年齡顯得較高。
另一種估計星團年齡的方法是搜尋低質量的恆星。一般主序帶上的恆星，鋰在核融合反應中會很快的被摧毀，因為它的燃燒點只有250萬K，而質量最大的棕矮星最後會將鋰摧毀。因此測量星團內質量最高的棕矮星是否有鋰的存在，可以估計出星團理想的年齡。使用這種方法估計的昴宿星團年齡是1億1500萬歲[12][13]。
星團的相對運動最終將推導出它們的可能的位置，從地球觀察未來數千年的位置，將會經過目前獵戶座的腳下。同樣的，像多數的疏散星團一樣，昴宿星團的沒有足夠的引力維繫整個集團，當它與其他的集團接近或遭遇時，有些成員可能會被潮汐的重力場拋射出去。計算的結果認為在2億5000萬年後，昴宿星團將會因為與巨分子雲的重力交互作用而消失，而且銀河系的螺旋臂也會加速它的崩潰。
反射星雲
靠近昴宿五附近的哈柏太空望遠鏡影像。
在理想的觀測條件下，有些跡象顯示雲氣只是在星團的附近，特別是在長期曝光的照片中。這只是一個反射星雲，因為塵埃反射高溫、年輕恆星的光而呈現藍色。
這些塵土以前被認為是形成星團時殘留的，但是星團通常需要大約一億年才能形成，因此當初的塵土早就該被輻射壓驅散了。換言之，很單純的只是星團行經一處星際物質較多的區域造成的現象。
研究顯示，這些塵土的分布是不均勻的，並且在視線方向上是沿著星團行經的路徑分為主要的兩層。這些層次也許是因為塵土向著恆星移動時，受到輻射壓力而減速造成的[14]。
神話和文藝
昴宿星團的星圖
而在中國古代，昴宿為二十八宿之一，這些恆星則稱昴宿七（Atlas）、昴宿增十二（Pleione）、昴宿四（Maia）、昴宿一（Electra）、昴宿增九（Celaeno）、昴宿二（Taygeta）、昴宿五（Merope）、昴宿六（Alcyone）和昴宿三（Sterope）。
昴宿星團中最明亮的七顆星在希臘神話中稱為普勒阿得斯七姐妹，分別為邁亞、塔宇革忒、厄勒克特拉、阿爾庫俄涅、斯忒洛珀、刻萊諾和墨洛珀。還有他們的父親擎天神阿特拉斯和母親普勒俄涅。做為擎天神的女兒，畢宿也是昴宿的姐妹們，稱為許阿得斯。
古代日本人把昴星團看成美麗的首飾，對此擁有特別的情意結，有日本流行歌曲以此作題材，如歌唱家谷村新司代表作《すばる》（即關正傑的粵語歌曲《星》與羅文的《號角》），日本國立天文台1998年在夏威夷落成啟用的一台8.2米望遠鏡稱作「昴」（Subaru），富士重工業生產的汽車品牌為Subaru等等。
幽浮學及新紀元信仰
在幽浮學中有些人相信"類人"的說法，認為昴宿星團內的數顆行星上居住著昴宿星人。 而昴宿人及地球人類本是同一族群，天琴星系（lyra）才是我們發源地。
在美國發行的蓋子藝術Xexyz曾經選用了一幅昴宿的圖。
參見
梅西耶天體
梅西耶天體列表
深空天體
金牛座
昴宿
參考資料
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 SIMBAD Astronomical Database. Results for NGC 2244 [2007-04-20].
^ 2.0 2.1 Percival, S. M.; Salaris, M.; Groenewegen, M. A. T. (2005), The distance to the Pleiades. Main sequence fitting in the near infrared, Astronomy and Astrophysics, v.429, p.887.
^ 3.0 3.1 Zwahlen, N.; North, P.; Debernardi, Y.; Eyer, L.; Galland, F.; Groenewegen, M. A. T.; Hummel, C. A. (2004), A purely geometric distance to the binary star Atlas, a member of the Pleiades, Astronomy and Astrophysics, v.425, p.L45.
^ 「昴宿」，拼音：mǎo xiù
^ 由於字形相近，昴（mǎo）經常被誤寫誤讀為昂（áng）。
^ Michell J. (1767), An Inquiry into the probable Parallax, and Magnitude, of the Fixed Stars, from the Quantity of Light which they afford us, and the particular Circumstances of their Situation, Philosophical Transactions, v. 57, p. 234-264
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^ Moraux, E.; Bouvier, J.; Stauffer, J. R.; Cuillandre, J.-C. (2003), [http://adsabs.harvard.edu/abs/2003A%26A...400..891M Brown in the Pleiades cluster: Clues to the substellar mass function], Astronomy and Astrophysics, v.400, p.891.
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^ Gibson, Steven J.; Nordsieck, Kenneth H. (2003), The Pleiades Reflection Nebula. II. Simple Model Constraints on Dust Properties and Scattering Geometry, The Astrophysical Journal, v.589, p. 362
外部鏈結
M45 imaged with a semiprofessional amateur-telescope.
The Pleiades (M45) At the astro-photography site of Mr. T. Yoshida.
Photos and information on the Pleiades from the University of Calgary
Information on the Pleiades from SEDS
Information and images from the Anglo-Australian Observatory
WEBDA open cluster database webpage on Pleiades cluster - E. Pauzen (Univ. Vienna)
NightSkyInfo.com: The Pleiades
Maya Astronomy
Doppler Imaging: Results first Doppler image of a Pleiades solar-type G dwarf - HII314，Strassmeier & Rice 2001, A&A 377, 264
WikiSky上關於The Pleiades的內容：DSS2, SDSS, GALEX, IRAS, 氫α, X射線, 天文照片, 天圖, 文章和圖片
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太陽系穩定性問題
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太陽系穩定性是一個天文學中的熱門課題。雖然幾乎所有的預測都表明，在未來的數十億年內沒有行星會相互碰撞或脫離太陽系且地球是相對穩定的，但太陽系的確是一個混沌系統。
自從牛頓提出萬有引力定律（1687）以來，數學家和天文學家們已經找到了一些關於行星穩定運動的證據，這些探索引領了不少數學的發展，其中幾個連續的「證明了」太陽系的穩定性。
概況和挑戰
主要話題：混沌理論
行星軌道趨向於長期變化，為太陽系建立模型的理論成為多體問題。在太陽系中一個有關混沌的著名例子是在3：2軌道共振的海王星-冥王星系統，雖然它們自身的振動保持穩定，但在任意準確度下預測1-2千萬年（李雅普諾夫時間）後冥王星的位置是不可能的。另一個例子是地球的黃赤交角，因為月球與地球的潮汐相互作用產生的摩擦增加了，這將會在距今15至45億年後的某一點導致混沌。
行星軌道在更長的時間尺度下是混沌的，這樣在0.02-2.3億年的範圍內整個太陽系會經歷一個李雅普諾夫時間。就一切情況而論這都意味著行星的軌道位置最終一定會趨於不可預測，在某些情況下軌道自身也會出現顯著的改變。這樣的混沌最強烈的表現在於偏心率的變化，行星軌道會因此變成更圓或更扁的橢圓。
太陽系基本上是穩定的，在未來的數十億年內沒有行星會相互碰撞或脫離太陽系。超過這個範圍，火星的偏心率將可能在50億年後增長到0.2左右，導致它的軌道穿過地球的軌道而引起潛在的對撞危險。在同樣的時間尺度下，水星的偏心率增長可能會更大，而緊密靠近金星使得它們在理論上可以一起逃出太陽系或推動金星撞向地球。
在計算中，不確定的因素還包括小行星、由於太陽輻射和太陽風的造成的動量損失、太陽風對行星磁層的拖拽作用、銀河系的潮汐作用、微擾以及穿過恆星的影響等。此外，動量方程描述的是一個固有的連續性過程，所以我們無法從大規模並行運算中得利。
研究
Longstop
Longstop（Long-term Gravitational Study of the Outer Planets）是Archie Roy於1982年發起的太陽系動力學國際合作項目。它涉及到在超級計算機上創建模型以整合外層行星的軌道。它的結果顯示了外層行星之間有著奇特的能量交換，但並未發現顯著的不穩定現象。
數字太陽系儀
另一個項目涉及了數字太陽系儀的構造，它是由 Gerry Sussman和他的MIT小組於1988年提出的。小組用超級計算機整合了超過8.45億年（太陽系年齡的20%)的外層行星軌道。在1988年，Sussman和Wisdom發現太陽系儀中的數據顯示了冥王星軌道有混沌的跡象，部分原因是由於它與海王星之間特有的共振。
Laskar
1989年，法國精度管理局的Jacques Laskar發表了他對太陽系超過2億年的數值積分結果，他沿線運用了拉普拉斯平衡方程而非完整的動量方程。Lasker的工作顯示，地球軌道是混沌的，現在對地球軌道15米那麼小的測量誤差就會導致僅僅1億年後其軌道的不可測量。
參考
^ a b J. Laskar (1994). "Large-scale chaos in the solar system". Astronomy and Astrophysics 287: L9–L12.
^ Ian Stewart (1997). Does God Play Dice? (2nd ed.). Penguin Books. pp. 246–249. ISBN 0-14-025602-4.
^ David Shiga (23 April 2008). "The solar system could go haywire before the sun dies". NewScientist.com News Service. Retrieved on 2008-04-28.
^ The stability of the solar system. http://physics.technion.ac.il/~litp/dist/dist_presentations/technion1.ppt.
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地震波
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地震波在地球內部的部分傳遞方式。
地震波意指在地球內部傳遞的波。一般而言，地震波是由構造地震所產生，然而其它自然現象也能生成地震波，例如風。人為的活動也能造成地震波，例如爆炸。對於地球內部構造的瞭解，地震波扮演了一個不可缺的角色。
目錄
1 地震波的產生
2 地震波的觀測
3 地震波的種類
4 地震定位
5 參考資料
6 外部連結
7 參見
地震波的產生
根據彈性回跳理論，造成地震的原因是斷層破裂。斷層破裂時，兩側的岩體會相對移動，並釋放出累積的能量。大部分的能量在克服摩擦力中損失，並以熱能呈現，另一部分能量則造成岩體快速的位移，形成彈性波，釋放到附近的地殼中。當岩體快速位移時，所產生的推力會形成壓縮波，即所謂的P波，沿著斷層面的相對位移則形成剪力波，即所謂的S波。
由斯涅爾定律得知，波在穿越不同物質時，會產生折射、反射以及極端狀況下的全反射，並且偏向低速介質的法線。當地震波由地殼內往近地表的風化層傳遞時，由於波速降低，造成地震波折射時容易進入近地表。這種現象在地震波來源靠近地表時，會更加明顯。而地震波進入近地表的低速層之後，只要產生全反射，震波便會被侷限在低速層中，形成陷波（Trapped Wave）。不同的陷波會互相干涉，造成地層共振並形成駐波（Standing Wave）在地表傳遞，也就是表面波。
地震波的觀測
地震、地球物理學家和工程師使用地震儀、工程用地震儀（Geophone）來紀錄地震波，早期的儀器使用鐘擺原理和類比信號紀錄地震波，近代的儀器則使用壓電晶體和數位信號處理地震波。地震波在介質改變時會有不同的傳遞速度，並在交界面上產生折射、反射等行為，這些特性被用來瞭解地球的內部構造。
地震波的種類
體
波 P波
Pswaves.jpg
S波
表
面
波 洛夫波
雷利波
地震波主要分為兩種，一種是表面波，一種是體波。表面波只在地表傳遞，體波能穿越地球內部。
實體波(Body Wave)：在地球內部傳遞，又分成P波和S波兩種。
P波：P代表主要（Primary）或壓縮（Pressure），為一種縱波，粒子振動方向和波前進方平行，在所有地震波中，前進速度最快，也最早抵達。P波能在固體、液體或氣體中傳遞。
S波：S意指次要（Secondary）或剪力（Shear），前進速度僅次於P波，粒子振動方向垂直於波的前進方向，是一種橫波。S波只能在固體中傳遞，無法穿過液態外地核。
利用P波和S波的傳遞速度不同，利用兩者之間的走時差，可作簡單的地震定位。
表面波（Surface Wave）：淺源地震所引起的表面波最明顯。表面波有低頻率、高震幅和具頻散(Dispersion)的特性，只在近地表傳遞，是最有威力的地震波。
洛夫波（Love Wave）：粒子振動方向和波前進方向垂直，但振動只發生在水平方向上，沒有垂直分量。
雷利波（Rayleigh wave）：又稱為地滾波，粒子運動方式類似海浪，在垂直面上，粒子呈逆時針橢圓形振動。
地震定位
地震儀紀錄下的地震波，可以辨識出P波和S波的抵達時間。
S-P波走時差
地震發生後，P波和S波會以不同的速度向外傳遞，隨著距離的不同，P波和S波抵達的時間差也會不同。我們已知P波和S波波速，利用下列公式即可求出測站距離震央距離。
\frac{r}{V_s}-{r \over V_p}=t
V_p=P波速度
V_s=S波速度
r=震央和測站距離
t=走時差
將每個測站的結果，以離震央距離為半徑，測站為圓心畫圓，當測站數目足夠時，這些圓會交為同一點，即可求得震央。
P波抵達時間
S-P波走時曲線的定位原理非常淺顯易懂，但是在實際狀況中，要精確的判定P波的抵達時間遠比S波容易。在一般情況下，P波信號的強度遠大於背景雜訊，能輕易的判定，而S波的波速低於P波，造成判斷S波的抵達時間會受到P波的干擾而出現誤差。
使用P波抵達時間定位時，會採用多個測站的P波抵達時間，配合地殼的P波波速模型，利用逆推原理來判定震央。在這種情況下，地殼的速度模型就扮演重要的角色，然而地殼的組成複雜，地質構造也會影響波速，地震定位的精確性仍有很大的進步空間。
T_i-T_0=\sqrt{(X_i-X_0)^2+(Y_i-Y_0)^2+(Z_i-Z_0)^2}/V_p
X_i,Y_i,Z_i=測站座標
X_0,Y_0,Z_0=震源座標
T_i=P波抵達測站時間
T_0=P地震發生時間
V_p=P波速度
雙差分定位
理論上，如果兩個地震的震源靠近，震源機制解相同，兩個地震抵達同一測站的地震波會有相似的波形。根據這個原理，比較震源相近的地震波波型，求得兩個地震的走時差，並利用這個數值修正地震之間的相對位置，可以獲得地震的精確位置。
參考資料
Susan Elizabeth Hough. Earthshaking Science: What We Know (and Don t Know) about Earthquakes. Princeton University Press. 2002 （英文）.
Felix Waldhauser and William L. Ellsworth. A Double-Difference Earthquake Location Algorithm: Method and Application to the Northern Hayward Fault, California. Bulletin of the Seismological Society of America. Dec,2000 （英文）.
外部連結
美國地質調查所
經濟部中央地質調查所
交通部中央氣象局
參見
地震學
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地震學
地球科學
時間
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鐘錶是最常見的計時儀器。
時間是指宏觀一切具有不停止的持續性和不可逆性的物質狀態的各種變化過程，其有共同性質的連續事件的度量衡的總稱。
時是對物質運動過程的描述，間是指人為的劃分。時間是思維對物質運動過程的分割、劃分。
目錄
1 定義
1.1 古代中國人的時間觀
2 丈量與記錄
2.1 計時儀器
2.2 單位
3 時間的本原
4 物理學
5 天文學
6 哲學
7 文學
8 參見
9 外部連結
定義
另見：時空和思維
時間是人根據物質運動來劃分的，不是本來就有的，宇宙中的「時」本來是沒有間的。物質運動需要耗費「時」，但是如果不把「時」分割成間，我們的思維就無法識別「時」，我們之所以能思考，是因為思維能對物質世界命名，物為實，思為虛，思命物以虛名，為思所用。沒有進行分割過的「時」，無法被命名，無法進行區分，只有分割成「時間」後，才能被思維所用，因為分割後可以命名了。比如我們把地球繞太陽一周的運動過程劃分為一年，地球自轉一圈的運動過程劃分為一日，這樣的劃分便于思維使用數字元號來計算。如果你不是生活在地球上，絕對不會以地球的運動過程來分割時。所以，時間不過是人為了便于思維思考這個宇宙，而對物質運動進行的一種劃分，是人定的規則，而並非什麼自然規則。間是人為的劃分，怎麼分都可以。
古代中國人的時間觀
位於塔干洛的水平日晷
時間是一種客觀存在。時間的概念是人類認識、歸納、描述自然的結果。在古中國，其本意原指四季更替或太陽在黃道上的位置輪迴，《說文解字》曰：時，四時也；《管子·山權數》說：時者，所以記歲也。隨著認識的不斷深入，時間的概念涵蓋了一切有形與無形的運動，《孟子·篇敘》註：「謂時曰支幹五行相孤虛之屬也。」可見時是用來描述一切運動過程的統一屬性的，這就是時的內涵。由於古代人們研究的問題基本都是宏觀的、粗獷的、慢節奏的，所以只重視了「時」的問題。後來因為研究快速的、瞬時性的對象需要，補充進了「間」的概念。於是，時間便涵蓋了運動過程的連續狀態和瞬時狀態，其內涵得到了最後的豐富和完善，「時間」一詞也就最後定型了。
丈量與記錄
計時儀器
中國古代的計時儀器有太陽鍾和機械鍾兩類。太陽鍾是以太陽的投影和方位來計時，分別以土圭、圭表、日晷為代表。由於地球軌道偏心率以及地球傾角的影響，真太陽時和平太陽時是不一致的，機械鐘應運而生，代表有水鍾、香篆鍾、沙漏。
單位
主條目：時間單位
時間的基本國際單位是秒。它現在以銫133原子基態的兩個超精細能級間躍遷對應的輻射的9,192,631,770個周期的持續時間為標準。
時間的本原
時間的本原就是事物的存在過程。時間是所有事物皆具有的天然屬性，時間是存在的表徵，是過程的記錄，是人們描述事物存在過程及其片段的參數。
事物的存在狀態無外乎靜止及運動變化，事物的運動變化既有其在空間上的位移，也有其性狀的改變。時間是判別一般事物是處於靜止階段還是運動變化階段的關鍵。
一般事物都有其開始的一刻，也有其結束的一刻。但至少有一個事物除外，這就是絕對空間。絕對空間的存在過程——絕對時間就無始無終。而其它事物的存在過程都可對應於絕對時間的某一部分。當然，其它事物的時間在一定條件下也可相互對應。
自然界中有的事物呈現出大致周期性的運動或變化，人們便以其周期來表識和衡量時間，這些事物也就成為人們天然的計時器。不僅如此，人們還根據事物運動、變化背後所包含的科學原理，造出了精度越來越高的人工計時器。需要注意的是，任何計時器度量出的時間都是其本身存在過程的反映，不一定代表其它事物的存在過程。雖然如此，人們還是可以在一定的條件下或通過一定的轉換，用其來描述其它事物存在過程的長短和所處階段。
物體的運動速率與時間之關係: 科學家曾做過一個實驗,將太空船加速至接近光速,上放置一時鐘(不知是指針還是電子鐘),隔一段時間後,將時鐘拿出來看,的確比外界之時間慢,這個問題思考於:若是指針時鐘,則根據P=M×V來看,V已達到極限(愛因斯坦以光速為極限),則M會增加,指針與鐘的吸引力將會加大,因此針便走慢了。有個實驗可做看看,將一杯硫酸和足量的鎂帶反應,觀察單位時間內生成物的產量,若只有操縱變因:速率改變的話,則比照單位時間內生成物的產量是否會減少。若減少的話則證明時間將會變慢。
物理學
四維時空模擬圖形
目前最廣泛被接受關於時間的物理理論是阿爾伯特·愛因斯坦的相對論。在相對論中，時間與空間一起組成四維時空，構成宇宙的基本結構。時間與空間都不是絕對的，觀察者在不同的相對速度或不同時空結構的測量點，所測量到時間的流逝是不同的。 狹義相對論預測一個具有相對運動的時鐘之時間流逝比另一個靜止的時鐘之時間流逝慢。在一九七一年，物理學家哈菲爾(Joe Hafele) 與基廷(Richard Keating) 做了証明。他們將高度精確的原子鐘放在飛機上繞著世界飛行，然後將讀到的時間與留在地面上完全一樣的時鐘做比較。結果証實：在飛機上的時間流逝得比實驗室里的慢。據愛因斯坦的理論，當移動的速度越快，時間流逝速度越慢，當移動速度達到光速的一半時，時間約慢13%。
另外，廣義相對論預測質量產生的重力場將造成扭曲的時空結構，並且在大質量（例如：黑洞）附近的時鐘之時間流逝比在距離大質量較遠的地方的時鐘之時間流逝要慢。現有的儀器已經證實了這些相對論關於時間所做精確的預測，並且其成果已經應用於全球定位系統。
就今天的物理理論來說時間是連續的，不間斷的，也沒有量子特性。但一些至今還沒有被實驗証明過的，試圖將相對論與量子力學結合起來的理論，如量子重力理論，弦理論，M理論，預言時間是間斷的，有量子特性的。一些理論猜測普朗克時間可能是時間的最小單位。
根據史提芬·霍金（Stephen W. Hawking）所解出廣義相對論中的愛因斯坦方程式，顯示宇宙的時間是有一個起始點，由大霹靂（或稱大爆炸）開始的，在此之前的時間是毫無意義的。而物質與時空必須一起並存，沒有物質存在，時間也無意義。不過最近，霍金推翻了他自己的理論。
從人類的開始人們就知道時間是不可逆的，人出生，成長，衰老，死亡，沒有反過來的。玻璃瓶掉到地上摔破，沒有破瓶子從地上跳起來合整的。從古典力學的角度上來看，時間的不可逆性是無法解釋的。兩個粒子彈性碰撞的過程順過來反過去沒有實質上的區別。時間的不可逆性只有在統計力學和熱力學的觀點下才可被理論地解釋。熱力學第二定律說在一個封閉的系統中（我們可以將宇宙看成是最大的可能的封閉系統）熵只能增大，不能減小。宇宙中的熵增大後不能減小，因此時間是不可逆的。
天文學
最早研究時間的科學不是物理學，而是天文學。天文學的一個最重要的任務就是測量時間，從確定日的長短，四季的變化，到制定曆法。在古代中國和在西方一樣，制定曆法的需要是推動天文學理論發展的重要因素之一。
今天的天文學已與曆法或時間測量毫無關聯了，但天文學觀測對時間概念的發展依然非常重要。天體發出的光到地球上被觀測到需要一定的時間。離地球越遠的天體發出的光需要的時間也越長，因此對宇宙越遠的地方的觀測也是對宇宙越古老的時間的觀測。現在最被公認的宇宙學理論（宇宙大爆炸理論）認為時間與空間和宇宙內的質能一樣是在140億年前產生的。目前的天文學觀測估計宇宙的擴展是沒有盡頭的，因此時間也應該是沒有盡頭的。
哲學
什麼是時間？時間是物理的，還是心理的？對時間的感受是絕對的，還是相對的？時間真的是不可逆的嗎？時間有開始和結束嗎？這些問題似乎都是物理或天文的問題，但哲學作為世界觀的理論無法避免對世界上最基本的一個現象——時間，做類似的考慮。
因此對時間的考慮也始終是哲學的問題。
時間是不可分的還是可分的呢？這是困擾哲學家幾千年的題。古希臘哲學家芝諾提出兩個悖論-飛矢不動悖論和阿喀琉斯（Achilles）悖論，討論時間的可分性。
所謂的時間變快變慢指的是什麼？ 相對什麼？最快而又最慢的是時間，最長而又最短的是時間。高爾基說。培根說，合理安排時間，就是節約時間。出處在北師大版小學語文四年紀下冊十一單元。
也有人認為，時間就是一種物質內在或外在的一切變化的記錄。如果一個封閉的環境中，物質不存在任何變化，或者不存在物質，時間也同樣不會存在。
文學
在文學中，時間的流逝和不可逆性是一個古今中外一再提到的內容。光陰似箭，日月如梭，這句成語既體現了古人對時間的最直接的領會：日與夜，光與陰，的交匯，也體現了古人對時間不可逆性的認識以及對此的感慨。
在科幻小說中，時間旅行是熱門題材之一。
參見
時空
時區
時間旅行
外部連結
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維基詞典上的詞義解釋：
時間
時間科普網站（中國）
時間與頻率國家標準實驗室（台灣國全國性時頻追溯體系）
北京區時間網
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時間
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時間測量和標準
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國際單位制
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數量級 (能量)
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本頁焦耳為單位，按能量大小列出一些例子，以幫助理解不同能量的概念。
數量級
數量級 (面積)
數量級 (角速度)
數量級 (貨幣)
數量級 (數據)
數量級 (密度)
數量級 (能量)
數量級 (頻率)
數量級 (長度)
數量級 (質量)
數量級 (數)
數量級 (功率)
數量級 (壓力)
數量級 (電容量)
數量級 (比熱)
數量級 (速度)
數量級 (溫度)
數量級 (時間)
數量級 (體積)
目錄
1 小於10-24
2 10-24
3 10-21
4 10-18
5 10-15
6 10-12
7 10-9
8 10-6
9 10-3
10 10-2
11 10-1
12 100
13 101
14 102
15 103
16 106
17 109
18 1012
19 1015
20 1018
21 1021
22 1024
23 大於1027
24 參考文獻
小於10-24
3.0×10-31J，自2003年以來人類所能製造最低溫的分子平均動能。[1]
10-24
1.5×10-23J，回力棒星雲的分子平均動能，約1K(目前發現最冷的非人造溫度)。[2]
10-21
4.37×10-21J，室溫時，分子平均動能
1.602×10-19J，等於一電子伏特
2.7×10-19 J ～ 5.2-19J，可見光的能量範圍
10-18
5×10-18J，根據質能轉換公式，這等於微中子的質量
10-15
5×10-14J，根據質能轉換公式，這等於渺子中微子的質量
5.1×10-14J，等於電子的質量。
10-12
3.2×10-12J，鈾235核分裂時釋放出的能量。
3.5×10-12J，鈽239核分裂時釋放出的能量。
1.503×10-10J， 等於質子的靜質量。
1.505×10-10J，等於中子的靜質量。
3.005×10-10J，等於氘的靜質量。
5.972×10-10J，等於氦原子核的靜質量。
10-9
8×10−9 J，是CERN的大型電子正子對撞機加速粒子的能量。[3]
1.3×10−8 J， 等於W玻色子的靜質量。
1.5×10−8 J， 等於Z玻色子的靜質量。
4.3×10−8 J ，是CERN的超級質子同步加速器加速粒子的能量。[4]
1.6×10−7 J， 一隻蚊子飛行的動能[5]
1×10−7 J ≡ 1 爾格
10-6
1.8×10−4 J，CERN的大型強子對撞機加速粒子的能量。[3]
10-3
10-2
10-1
100
一焦耳在日常生活中等於：
在地球上，一個蘋果(102公克)從一公尺高的地方掉下產生的動能。
一個不動的人一百分之ㄧ秒釋放的熱量。
一克的乾燥空氣提高攝氏一度的需要的能量。
1 J ≡ 1 N·m (牛頓-米)。
1 J ≡ 1 W·s (瓦特-秒)。
1.356 J ≈ 1 ft·lbf (英呎磅)。
4.184 J ≡ 1卡路里(小卡)
8 J，GZK極限預測宇宙射線的上限。[6]
101
5×101J， 目前發現最高能量的宇宙射線。[7]
8×101J，等於一個一般人揮動球棒的能量。
102
7.457×102 J，=1 hp·s(馬力－秒)。
103
1×103 J ，一種氙閃光燈發出的能量。
1.05×103 J， ≈ 一英制熱量單位。
1.366×103 J，地球上平均一平方米接受到太陽的熱量。[8]
1.42×103 J， 一個 3.5 g (公克)的子彈被 AK-74發射所產生的動能。[9]
3.28×103 J，一個 9.33 g NATO步槍的子彈以838m/s發射的動能。[9]
3.600×103 J ≡ 1 W·h (瓦特-小時)。
4.184×103 J，一克的TNT爆炸時產生的能量。
4.186×103 J ≡ 一卡路里。(大卡)
1.7×104 J，新陳代謝一克的糖或蛋白質產生的能量。
3.8×104 J，一克的油脂的熱量。
5.0×104 J，燃燒一克的汽油產生的能量。
106
1×106 J， 一條巧克力條的熱量。(質疑：一條巧克力的"重量"，不確定性太高)
6.3×106 J，營養學建議一位成年女性一天攝取的熱量。
8.4×106 J，營養學建議一位成年男性一天攝取的熱量。
1.05×108 J ≈ 一色姆(Therm)=100000英熱單位。
109
1.5×109 J， 一次閃電平均釋放的能量。
1.95627185×109 J，等於普朗克能量。[10]
6.12×109 J ≈ 1 bboe (一桶石油的能量)。[11]
4.19×1010 J ≈1 toe(一頓石油的能量)。[11]
5×1010 J， 一個MOBE炸彈所產生的能量。
7.2×1010 J， 一輛普通汽車的動能。
8.64×1010 J ≈ 1 MW·d (百萬瓦-天)
1012
3.6×1013 J，一場暴風雨平均釋放的能量。
6.3×1013 J，小男孩原子彈爆炸時釋放的能量。[12]
8.78×1013 J，胖子原子彈爆炸時釋放的能量。[12]
9.0×1013 J，根據質能轉換公式，這等於一克物質的能量。
6×1014 J， 一個颱風每秒釋放的能量
1015
2.07×1015 J， 2005年多哥共和國所消耗的電量。[13]
1.0×1016 J， 一個足以造成巴林傑隕石坑小行星撞擊產生的能量。
4.42×1016 J，2005年 辛巴威所消耗的電量。[13]
1.74×1017 J，每秒太陽是放到地球的熱量。[14]
2.1×1017 J，沙皇核彈爆炸時釋放的能量。
4.10×1017 J， 2005年挪威所消耗的電量。[13]
8.4×1017 J， 印度尼西亞的喀拉喀托火山爆發時釋放的能量。
1018
2×1018 J，2004年印度洋大地震釋放的能量。[15]
1.37×1019 J， 2005年美國所消耗的電量。[13]
1.46×1019J，2005年美國所生產的電量。[13]
5.2×1019 J， 平均一的颱風釋放的能量。)[16]
1021
6.5×1021 J， 預估地球上的天然氣總共可提供的能量。[17]
7.4×1021 J，預估地球上的鈽總共可提供的能量。
1.5×1022J， 太陽每天釋放到地球的能量。[14]
2.1×1022 J，預估地球上的煤總共可提供的能量。 [18]
3.9×1022 J，預估地球上的石油總共可提供的能量。
5.0×1023 J， 一個足以造成希克蘇魯伯隕石坑小行星撞擊產生的能量。
1024
5.5×1024 J， 太陽每年釋放到地球的能量。[14]
3.86×1026 J， 太陽每秒釋放的能量。[19]
大於1027
3.34×1031 J， 太陽每天釋放的能量。[19]
2.4×1032 J，地球重力結合能的能量。[20]
2.7×1033 J， 地球公轉的動能。[21]
1.22×1034J，太陽每年釋放的能量。[19]
5.37×1041 J， 根據質能轉換公式，這等於一地球質量的能量。
6.9×1041 J，太陽重力結合能的能量。[20]
1.2×1044 J，超新星爆炸時釋放的能量。
1×1046 J， ，極超新星爆炸時釋放的能量。
1×1047 J，伽瑪射線暴釋放的能量。
1.8×1047 J， 根據質能轉換公式，這等於一太陽質量的能量。
4×1058 J， 根據質能轉換公式，這等於一銀河系質量的能量。(不包括暗能量)
1×1059 J， 根據質能轉換公式，這等於一銀河系質量的能量。(包括暗能量)
4×1069 J， 根據質能轉換公式，這等於一全宇宙質量的能量。
參考文獻
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台北101為慶祝愛因斯坦提出「E=mc²」百週年，特別以燈光打出公式及Taipei 101字樣。
E = mc²（讀作E等於mc平方或E等於mc二次，亦稱質能轉換公式或質能方程）是一種闡述能量（E）與質量（m）間相互關係的理論物理學公式，公式中的c是物理學中代表光速的常數。
目錄
1 方程式的含義
1.1 術語的不同
2 方程的證明
2.1 意義
3 背景及其影響
4 方程的可應用性
4.1 使用相對論質量
4.2 使用靜止質量
5 低能量的略計
6 愛因斯坦和他1905年的論文
7 其他貢獻
8 電視傳記
9 參見
10 參考文獻
11 外部連結
方程式的含義
該公式表明物體相對於一個參照系靜止時仍然有能量，這是違反牛頓系統的，因為在牛頓系統中，靜止物體是沒有能量的。這就是為什麼物體的質量被稱為靜止質量。公式中的E可以看成是物體總能量，它與物體總質量（該質量包括靜止質量和運動所帶來的質量）成正比，只有當物體靜止時，它才與物體的（靜止）質量（牛頓系統中的 質量 ）成正比。這也表明物體的總質量和靜止質量不同。
反過來講，一束光子在真空中傳播，其靜止質量是0，但由於它們有運動能量，因此它們也有質量。
術語的不同
注意：有些術語使用中，質量單指靜止質量，因為總質量和能量是等價的概念。若 m, 指代靜止質量，則公式應改寫為
E_0 = mc^2\,
而
E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=\gamma mc^2
因此，\gamma m\, 也就是總質量的表達式。
方程的證明
根據 m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} 公式，運動時物體質量增大，同時運動時將會有動能，質量與動能均隨速度增大而增大。
根據 \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt} ，
得 {dE_k}=\mathbf{F}{dx}= \frac{d\mathbf{p}}{dt}{dx}，
因為 \frac{dx}{dt}=v，所以 {dE_k}=vd(mv)=v^2dm+mvdv \,，
由 m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} 公式易得 m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2 \,，
將該式對 m\, 和 v\, 進行微分，得 mvdv=c^2dm-v^2dm\,，
帶入上 {dE_k}\, 式，得
{dE_k}=c^2dm \,
對其積分，{E_k}={c^2dm}=mc^2-m_0c^2\,
這就是相對論下的動能公式。當速度為0，m=m_0，動能為0。\begin{smallmatrix} m_0c^2 \end{smallmatrix} 為物體靜止時的能量，而 總能量=\,靜止能量+\,動能，因此總能量 \begin{smallmatrix} E=mc^2\, \end{smallmatrix} 。
意義
在狹義相對論裡，這一公式表明能量和質量等同。雖然很多人並不確切的知道這個公式的真實含義，但它已經成為人類歷史上最有名的公式之一，並成為文化的一部分。有人認為這一公式直接導致了原子彈的設計和製造，但事實上質能轉換公式對於原子理論和原子彈的設計和製造並無任何的直接或間接促進作用, 而僅僅是後人用來解釋原子彈原理的解釋工具之一. 而愛因斯坦本人對於原子彈製造的貢獻在於：
「 關於原子彈和羅斯福，我所做的僅僅是：鑒於希特勒可能首先擁有原子彈的危險，我簽署了一封由西拉德起草給總統的信。 」
—《愛因斯坦文集》第三卷335頁
背景及其影響
這個等式源於阿爾伯特·愛因斯坦對於物體慣性和它自身能量關係的研究。研究的著名結論就是物體質量實際上就是它自身能量的量度。為了便於理解此關係的重要性，可以比較一下電磁力和引力。電磁學理論認為，能量包含於與力相關而與電荷無關的場（電場和磁場）中。在萬有引力理論中，能量包含於物質本身。因此物質質量能夠使時空扭曲，但其它三種基本相互作用（電磁相互作用，強相互作用，弱相互作用）的粒子卻不能，這並不是偶然的。
這個方程對於原子彈的發展是關鍵性的。通過測量不同原子核的質量和那個數量的獨立質子和中子的質量和的差，可以得到原子核所包含的結合能的估計值。這不僅顯示可能通過輕核的核聚變和重核的核裂變釋放這個結合能，也可用於估算會釋放的結合能的量。注意質子和中子的質量還在那裡，它們也代表了一個能量值。
一個著名的花絮是愛因斯坦最初將方程寫為dm = L/c² （用了一個「L」，而不是「E」來表示能量，而E在其它地方也用來表示能量）。
一千克物質完全等價於
89,875,517,873,681,764 焦耳或
大約21,470,501,160,000 卡路里
24,965,421,632 千瓦時
21.48076431 百萬噸TNT
大約0.0851900643 Quads（千兆英熱單位）
重要的是要注意實際的靜質量到能量的轉換不大可能是百分之百有效的。 一個理論上完美的轉化是物質和反物質的湮滅；對於多數情況，有很多帶靜質量的副產品而不是能量，因而只有少量的靜質量真正被轉換。在該方程中，質量就是能量，但是為了簡明起見，轉換這個詞常常被用於代替質能等價關係，實際上通常所指的一般是靜質量和能量的轉換。
方程的可應用性
E=mc² 適用於所有有質量的物體，因為它是質量由能量導出的斷言，或者所能量由質量導出的論斷，而兩者可以互相取代。它對運動物體的應用依賴於方程中使用的質量的定義。
通常，該方程用於相對於物體不動的參考點。但是同樣的物體從另外一個參照系來看可以是運動的，所以，對於這個參照系，該方程表示質量是不同的。
從現代物理的觀點來看，這個方程表示物質和能量是同一個概念。
使用相對論質量
洛倫茲(Hendrik Lorentz，1899-1904) 在他的電子理論裡以力和加速度的比（代替動量和速率的比）來定義質量。他發現當外力平行或垂直與運動方向時的有效質量不一樣：平行時m_{\parallel} = \gamma^3 m_0而垂直時m_{\perp} = \gamma m_0。只有在力垂直與運動方向時Lorentz質量才是等同於後來的相對論質量。愛因斯坦在最初的論文（[1]）內計算了以上兩個質量（原文內垂直質量有錯）。文內他用的m指的是靜質量。
現在稱為相對論質量的概念最初由R.C. Tolman在1912年提出[1]。這和靜質量 m0 （也即物體在它在其中靜止的參照系中的質量）關係如下：
m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
但要得到E = mc^2方程，必須從方程E² = p²c² + m²c4出發然後置p = 0，這表示置速度v = 0。也就是說，我們現在有一個特殊情況，物體不在移動，且E²只等於m²c4，或E = mc²。只是在這種特殊情況下，E = mc²成立。在任何其它的速度，我們必須把p²c²放回一般的方程中。
如果我們把v = 0代入方程m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} ，便得m = m_0。所以，當物體靜止時，也就是說，速度v = 0時，靜止質量和相對論質量是相同，方程E = mc²就可以寫為E = m_0c^2，兩者沒有不同。
然後，使用相對論質量，方程E = mc^2 必須寫為E = m_0c^2，它不適用於以任何速度移動的物體，只適用於速度為零的物體，因為m_0只適用於v = 0，當v = 0時，m = m_0。
使用靜止質量
現代的物理學家已很少使用相對論質量了，有人後來指出愛因斯坦本身也不喜歡「相對論質量」此概念[2]：
引入一個運動物體的質量 \begin{smallmatrix} M = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } \end{smallmatrix} 是不好的，它沒有給出明確的定義。最好是除了一個『靜止質量』 m \,\! 之外，不再引入其他質量概念。與其引入 M \,\! ，不如提及運動物體的動量和能量表達式。
——愛因斯坦於1948年寫給林肯·巴涅特的一封信
显示▼原文
作者如Taylor和Wheeler完全避開它因為：
「相對論質量」是很容易被誤解的概念。這就是我們不用它的原因。 首先它把「質量」這應該屬於某四維向量的大小名字強加在的此向量的時間部上。第二、它使我們覺得物體能量隨速度或動量增加是和物體本身內部某些改變有關。實際上能量隨速度的增加不來自物體自本性質而源於時空本身的幾何架構。[3]
現代的物理學家都用m來表示靜止質量，它是四維動量和四維速率的比：
p^{\mu} = m v^{\mu}
而相對論質量就指物體的能量或四元動量的時間部：
E \equiv p^{0} = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} = \gamma mc^2
其中p = \gamma mv是物體的相對論動量。當速度為零時，便化為E = mc²。以下仍用m來表示相對論質量，用mo來表示靜止質量。
低能量的略計
假設在靜止時的能量為 moc²，而總能量是動能加上靜止時的能量，其相對性的動能就是：
E_\mathrm{kinetic} = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = \left(\gamma - 1 \right) m_0 c^2
當低速度的情況時，與動能的古典表達式仍然基本吻合，因此：
E_\mathrm{kinetic}= \frac{1}{2} m_0 v^2 .
兩個公式可以通過用泰勒級數展開\gamma來證明一致，
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \approx \left( 1+ \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 \right).
將上式代回原始的方程有，
E_\mathrm{kinetic} \approx \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c} \right)^2 m_0 c^2 =\frac{1}{2} m_0 v^2,
因此有
\frac{1}{2} m_0 v^2 = E_\mathrm{total} - E_\mathrm{rest} ,
或者
E_\mathrm{total} = E_\mathrm{rest} + \frac{1}{2} m_0 v^2,
也就是能量的相對論表達式，這和只有動能的經典牛頓表達式不同。
這表示相對論是對經典力學的高階修正而且在低能或者說經典領域牛頓和相對論力學不是等價的。
那麼什麼是等價的？僅僅是動能的表達式，而不是總能量。
在從經典力學到高速情形的外推中，愛因斯坦證明了經典力學是錯誤的。在低速物體的情形，例如用於建立經典力學的那些，經典力學是相對論力學的一個子集。兩個理論僅在經典領域之外導致矛盾。
愛因斯坦和他1905年的論文
阿爾伯特·愛因斯坦沒有在他的1905年論文中精確地表述這個方程"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" （「一個物體的慣性依賴於它所包含的能量嗎?」，發表於《物理學年鑒》9月27日），這是他現在被稱為《奇蹟年論文》的文章之一。
該論文所說的確切內容是：『若一個物體以輻射形式發射能量L，它的質量減少L/c²。』，這個情況下輻射的是動能，而質量是那時候通常所指的質量，也就是今天我們根據情況稱為靜能量或者不變質量。
這是在發射能量前後的質量差，它等於L/c²，而不是物體的整個質量。在那時它僅僅是理論上的還未被實驗證明。
其他貢獻
愛因斯坦不是唯一將能量聯繫到質量的人，但他是第一個將這個作為更大的理論的一部分推出的，而且，是根據這個理論的前提所導出的結果。
根據Umberto Bartocci（佩魯賈大學數學史家），該方程早在兩年之前就由Olinto De Pretto發表了，他是一個義大利維琴查的工業家。但是沒有主流史學家認為這個結論是真實的或者是重要的，他們認為即便De Pretto是首位發現該公式的人，但是只有在愛因斯坦真正將它和相對論建立聯繫之後，該公式才真正顯示出價值。
電視傳記
E=mc²也是一部在2005年時播放的愛因斯坦電視傳記之名稱，該傳記主要集中在講述1905年間的事情。
參見
Celeritas，拉丁文：速度或迅捷的意思。是E=mc²用c這個符號指代真空光速的來源。
能量及動量的關係
質能相等
相對性質量
質量、動量及能量
慣性
核聚變
核裂變
核衰變
參考文獻
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外部連結
E=mc² 100歲誕辰 BBC
愛因斯坦的E=mc² 啟發了芭蕾舞 BBC
蘭伯特舞團: Constant Speed E=mc²
愛德華·馬勒的主頁 > 反物質計算器
核爆的能量
愛因斯坦在1905年9月27日發表的論文
愛因斯坦在1912年的手稿顯示了E=mc²
NOVA - 愛因斯坦的偉大構想 (PBS Television)
網際網路電影資料庫（IMDb）上《E=mc²》的資料
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數量級 (時間)
數量級 (體積)
為了幫助比較理解不同的質量數量級，在下面列出了列出了質量從10−36 kg 到1053 kg的事物.
因數 (千克) 值 事物
10−36 1.783×10−36 kg 一電子伏特的能量轉換成的質量
3.6×10−36 kg 中微子(2 eV/c²)
10−35
10−34
10−33
10−32
10−31 9.1×10−31 kg 電子（511 keV/c²），質量的最小可計量量
10−30
10−29
10−28 1.9×10−28 kg μ子 (106 MeV/c²)
10−27
yoctogram (yg) 1.661×10−27 kg 原子質量單位 (u) or dalton (Da)
1.673×10−27 kg 質子 (938.3 MeV/c²)
1.674×10−27 kg 氫 原子，最輕的原子
1.675×10−27 kg 中子 (939.6 MeV/c²)
10−26 1.15×10−26 kg 鋰 原子 (6.941 u)
2.99×10−26 kg 水分子 (18.015 u)
7.95×10−26 kg 鈦 原子 (47.867 u)
10−25 1.79×10−25 kg 銀 原子 (107.8682 u)
1.6×10−25 kg W 及 Z 玻色子 (91.2 GeV/c²)
3.1×10−25 kg 頂夸克 (173 GeV/c²), 最重的基本粒子
3.2×10−25 kg 咖啡因 分子 (194 u)
3.45×10−25 kg 鉛-208原子，最重的穩定原子
10−24
zeptogram (zg)
10−23
10−22 1.1×10−22 kg 血紅蛋白
10−21
阿克 (ag)
10−20 10−20 kg 小型病毒
10−19
10−18
飛克 (fg)
10−17 1.1×10−17 kg 狹義相對論中與一焦耳能量等價的質量
4.6×10−17 kg 狹義相對論中與一卡路里能量等價的質量
10−16 7×10−16 kg 大腸桿菌
10−15
皮克 (pg)
10−14
10−13
10−12
奈克 (ng) 10−12 kg 平均人體細胞
10−11
10−10 3.5×10−10 kg 微小的沙礫 （0.063毫米直徑，350奈克）
10−9
微克 (µg) 2×10−9 kg 國際千克原器的不確定度（2微克）
10−8 2.2×10−8 kg 普朗克質量
10−7
10−6
毫克 (mg) 1–2×10−6 kg 蚊子
10−5
克 (cg) 1.1×10−5 kg 稍大的沙粒
10−4
厘克 (dg) 1.5×10−4 kg 一杯咖啡中的咖啡因 (150毫克)
2×10−4 kg 克拉 (200毫克)
10−3
克 (g) 10−3 kg 一毫升的水 (1 克)
8×10−3 kg Typical coins: euro (7.5 grams) and U.S. dollar (8.1 grams)
10−2
十克 (dag) 1.2–4×10−2 kg 成年老鼠, 12–40 克)
2.4×10−2 kg 一杯酒中的乙醇 (24 克)
2.8×10−2 kg 盎司 (28.35 克)
10−1
百克 (hg) 0.15 kg 人類腎臟 (150 克)
0.454 kg 磅 (avoirdupois) (454 克)
1 kg
千克 (kg) 1 kg 一升水
3 kg 人類新生兒
4.0 kg 女子鉛球
5–7 kg 家貓
7.26 kg 男子鉛球
101 10–30 kg 一台CRT電腦顯示器或電視機
15–20 kg 中型狗
70 kg 成人，大型狗
102 180–250 kg 野生獅子，雌性（180 kg）雄性（250 kg）
700 kg 奶牛
907.18474 kg 美噸（2000 pounds - U.S.）
103
megagram (Mg) 1000 kg 一立方米的水，一噸
1016.0469088 kg 英噸（2240 pounds - U.S.）
800–1600 kg 轎車
3000–7000 kg 成年大象
5000 kg 一茶匙的白矮星物質（5噸）
104 1.1×104 kg 哈伯天文望遠鏡（11噸）
1.2×104 kg 最大的大象（12噸）
1.4×104 kg 大本鐘（14噸）
6.0×104 kg 最大的隕石（60噸）
8–10×104 kg 最大的恐龍阿根廷龍（80–100噸）
105 1.8x105 kg 最大的動物藍鯨（180噸）
1.87×105 kg 國際太空站（187噸）
6×105 kg 安-225運輸機（世界上最重的飛機）最大起飛重量（600噸）
106
十億克 (Gg) 1.25×106 kg 最大的巨杉（1250噸）
1.5×106 kg 泰晤士河大壩的閘門
2.041×106 kg 太空梭的發射重量（2041噸）
6×106 kg Largest clonal colony, the quaking aspen named Pando（6000噸）
107 1.1×107 kg 大吉嶺的茶產量（11,000噸）
2.6×107 kg 鐵達尼號（26,000噸）
9.97×107 kg 最沉的火車（99,700噸）：澳大利亞BHP Iron Ore（2001年數據）
108 6.5×108 kg 最大的船：諾克·耐維斯號滿載時（650,000噸）
109
萬億克 (Tg) 4.3×109 kg 每秒鐘太陽能轉換成的能量
6×109 kg 胡夫金字塔
1010
6×1010 kg 三峽大壩的混凝土，世界上最大的混凝土建築
1011 2×1011 kg 倫敦水庫存水量（0.2 km³）
3×1011 kg 全世界人口的總重量
1–8×1011 kg 南極磷蝦的總量，世界上最大的物種
1012
petagram (Pg) 3.91×1012 kg 2001年世界石油產量
5.5×1012 kg 一茶匙的中子星物質（50億噸）
1013
1014 2–3×1014 kg 1815年坦博拉火山爆發時所產生的火山灰
1015
exagram (Eg) 1×1015 kg 使用現在採礦技術所探測到的煤儲量
1016 1×1016 kg 951 Gaspra, the first asteroid ever to be closely approached by a spacecraft
1017 1.6×1017 kg 土衛十六
1018
zettagram (Zg) 5×1018 kg 地球的大氣層
5.7×1018 kg 土衛七
1019 3×1019 kg 婚神星，小行星帶第五大
1020 8.7×1020 kg 穀神星，小行星帶第一大
1021
yottagram (Yg) 1.35×1021 kg 地球的海洋
1.6×1021 kg 冥衛一
2.3×1021 kg 小行星帶總重量
1022 1.3×1022 kg 冥王星
1.5×1022 kg 海衛一
7.35×1022 kg 月亮
1023 1.3×1023 kg 土衛六
1.5×1023 kg 木衛三
3.2×1023 kg 水星
6.4×1023 kg 火星
1024 4.9×1024 kg 金星
6.0×1024 kg 地球
1025 3.0×1025 kg 奧爾特雲最小質量
8.7×1025 kg 天王星
1026 1.0×1026 kg 海王星
5.7×1026 kg 土星
6.0×1026 kg 奧爾特雲最大質量
1027 1.9×1027 kg 木星
1028 1–17×1028 kg 褐矮星
1029 3.4×1029 kg 巴納德星a near red dwarf star
1030 2×1030 kg 太陽
2.9×1030 kg 錢德拉塞卡極限（1.44倍太陽質量）
1031 4×1031 kg 參宿四，超紅巨星
1032
1033
1034
1035
1036 7.4×1036 kg 銀河系的超大質量黑洞
1037
1038 球狀星團
1039
1040 3.6×1040 kg Mass of OJ287, the largest measured supermassive black hole
1041 3.6×1041 kg 銀河系的可見質量
1042 2×1042 kg 銀河系的總質量
1043
1044
1045
1046 2×1046 kg 室女座超星系團
1047
1048
1049
1050
1051
1052 3×1052 kg 可觀測宇宙的質量
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