任何一个实际的波，在空间上都不可能延伸至无穷远，而是有限的.因而，它的频率也不可能是严格单色的，即一个实际的波是由若干个单色纯波的迭加（并相干涉）而成，是个波包，某个理想单色波的波速会比波包的群速高。这是因为速度高的这些单色波在空间上相互干涉，那些跑到波包前面去的波因干涉而相消，能量实际上并没有传播到前面去，它们所传递的能量是那些干涉相增强的波，即波包，所携带的

任何一个实际的波，在空间上都不可能延伸至无穷远，而是有限的.因而，它的频率也不可能是严格单色的，即一个实际的波是由若干个单色纯波的迭加（并相干涉）而成，是个波包，某个理想单色波的波速会比波包的群速高。这是因为速度高的这些单色波在空间上相互干涉，那些跑到波包前面去的波因干涉而相消，能量实际上并没有传播到前面去，它们所传递的能量是那些干涉相增强的波，即波包，所携带的

第三章  晶格振动与格波

§3.2　一维晶格的格波

    实际上，任何材料都不是连续的，在微观尺度，每个原子都是分立的，其质量都集中在原子实内，连续介质的振动实际上是所有原子振动的总和，因而，先分析一下独立双原子分子的振动，以获取一个清晰的物理图像，对分析晶格振动是有益的。

晶体原子间的相互作用能

   从简单入手，我们仍以双原子分子为例。两原子之间的相互作用能为U(r)，其中r为两原子间的距离；把U(r)在平衡位置r₀附近作泰勒展开：

                              (3-3)
    在平衡位置合力为零，即 ，当δ很小时，作二级近似，有： 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(3-4)
故恢复力 ，这就是胡克定律，为屈强系数；以上近似叫简谐近似。取质心坐标系，，则有，故其固有频率^*为.

　

　

　

 

            图3-2

    考虑第n个粒子的受力情况，它只受最近邻粒子的相互作用，即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个粒子的弹性力：;和；从 ，及合力，得：

                                         (3-5)

    在列出(3-5)式时已假设晶格中足够长，忽略边界，故以行波作试探解，即以 代入(3-5)式，

         ，
利用 ，和 ，有：

                  ，
即：                                            (3-6)
由此看出，格波的波速一般是波长的函数。(3-6)式代表一维布喇菲格子的色散关系，它正是我们所寻求的结果。如图3-3所示。
    这条色散关系曲线所具有的特征，不仅适用于一维情况，还可以推广到二维和三维。

               

                       图3-3

   ^*对于一个质量为M的独立的一维简谐振子，如果弹簧的刚度系数为k，则振动动力学方程是Md²x/dt²=kx；这个方程的解为 x=Acos[(k/M)^1/2t]；振子的能量包括动能E_k和势能E_p，E=E_k+E_p=kA²/2。设想一条弹簧被截成二段，其屈强系数则变成原来的二倍，如果物体两端各有一条弹簧相连，则其屈强系数还要加倍，此时 ，设想把两弹簧的另一端分别固定在两面镜子上，则上述物体及其象的振动将构成一维晶格的某一振动模式。
   讨论：
(1)长波极限
    因为色散关系曲线是周期性的且关于原点对称的，我们暂时把注意力集中在0<<的区间内，我们看到，频率仅覆盖在 的范围内。这就像机械低通滤波器，仅在这一范围内的频率可以通过。
    在长波极限时，,利用，色散关系(3-6)式可近似为：
                 (其中)             (3-8)
则：.

     可见,与之间是线性关系，这就是连续介质的情形。把(3.8)式与(3.3)式比较，考虑棒中的介质具有立方结构，并所有原子面作一维纵向振动，则：;利用和，可得到有用的关系式：
                                                             (3-9)
    对α值作一估计：α=(3×10^-10)(10¹¹)=30N/m.

    请注意当增加时，色散曲线偏离直线往下弯，并在=时达到最大，最大频率为： .这正是简谐振子（上一个脚注）的振动频率，可估算出其值位于红外区(10¹⁴秒^-1)。

               

                          图3-4
    定性讨论 和的两种极限情况：q=0波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运动，因而恢复力为0，故 。相反，当=时,，邻近原子反向运动(位相相反)，所以，恢复力和频率取极大值（见图3-4）。

【这就是我们上述的用两条弹簧把一物体分别固定在两面镜子上的那种振动模式.】
   我们还可得到屈强系数是波长的函数的简谐振动。
   问题1：什么是格波？
　

(2)q空间的对称性：第一布里渊区

   色散关系的周期对称性，其周期为,即.

    让我们用一个例子来说明其物理起因：考虑和的点，其对应的波长为和，如果后者存在的话，其振动必如图3-5所示。

           

                         图3-5
    由于原子质量集中在原子实，所以对格点振动有贡献的是原子实，两原子实之间的振动在物理上是没有意义的。即

的振动是没有物理意义的；假如有这样的波存在，那么它与的波在物理上是不可分辨的。换句话说，在晶格
中具有物理意义的波长仅存在于的区间内，负号表明行波方向相反，由于左行波与右行波是等价的，因而
具有关于原点的对称性，而这正是一维晶格的第一布里渊区。在布里渊区边界处，正好满足布拉格条件^*。

  *复习X射线衍射的结果，当k达到布里渊区边界时发生衍射，但这一条件并不局限于第一布里渊区，它可以发生在第2、3…区，（即n级衍射），这是因为电磁波存在于两原子之间是有物理意义的，格波就不同，它在两原子之间的振动是没有物理意义的。

(3)位相和群速度
　　波速，相速（phase velocity）：

         群速（group velocity）：；              (3-11)

    对三维情况。
    这些速度的物理差异是，相速是指频率ω和波矢q精确确定的（单色）一个纯波动或理想波的传播速度，这一波动延伸至正负无穷远；而群速则描述平均频率为ω和平均波矢为q的波包（wave packet）的速度，它在空间上相对集中，是能量和动量在介质中的传播速度，因而物理上群速更有意义^*。
    对非连续的晶格，在长波极限时，群速等于相速，且它们都等于声速；此时，点阵的行为象一个连续体，没有色散发生。随着波长的变短，群速减少，到短波极限=时减至0。那么，导致群速为0的波矢的物理意义何在呢?
    由于邻近原子振动的位相差为qa，即邻近原子散射的子波的位相差为π，故被B反射的子波到达被A反射的子波时，它们的位相相同（或相差2π的整数倍）。这种情形适用于被其它晶格点所反射的子波，在=处，所有的散射子波相长地干涉，结果反射取极大。这与X射线中的布拉格条件相同，只不过这里是弹性波。从物理上看，由于反射极大，它与入射波形成驻波，当然它的群速为零。可见，它是波动性与晶体结构的周期性结合的必然结果。
　　注意:布里渊区边界并非晶界，布里渊区边界的反射（布啦格反射）实际上发生在每一个原子身上，这与晶界反射截然不同。

　^*一般而言，任何一个实际的波，在空间上都不可能延伸至无穷远，而是有限的.因而，它的频率也不可能是严格单色的，即一个实际的波是由若干个单色纯波的迭加（并相干涉）而成，是个波包，某个理想单色波的波速会比波包的群速高。这是因为速度高的这些单色波在空间上相互干涉，那些跑到波包前面去的波因干涉而相消，能量实际上并没有传播到前面去，它们所传递的能量是那些干涉相增强的波，即波包，所携带的。

(4)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数（periodic boundary condition）
　　我们在列出方程(3-5)时，是忽略了第1个原子和第N个原子的影响，这是平移对称性所要求的。其中N为晶格中的晶胞数。引入周期性边界条件，即第1个原子和第N+1个原子的振动完全相同：；即，或，有

。n=0，±1，±2，等的整数。在第一布里渊区，，对应于，，故n只能取N

个值。我们把它称为模数，最后我们得出结论，在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格振动模式，因此，这些 值的

数目必须等于晶格的自由度数N。那么，为什么要引入周期性边界条件呢^*?

　　对格波及声子的详细讨论的意义并不局限于晶格振动的本身，在固体物理中，很多物理现象及运动规律都涉及到波动性，如电子在晶格中的运动，铁磁相中的自旋波等。对晶格，格波产生于相邻原子的相对位移；对铁磁相，自旋波产生于相邻自旋的相对取向差。
　　问题2：如果组成一维晶格的原子质量增加而保持原子间互相作用不变，则色散关系有何变化？对纳米晶，其晶格振动及格波会怎样？

　　*有关周期性边界条件的看法：首先，我们一直把晶格看作无穷大，即晶格具有平移对称性，但是，平移对称性在实际晶体的边界受到破坏；其次，在具有平移对称性的晶格中，格波具有行波的性质。而周期性边界条件可以保持晶格的平移对称性，方程(3-6)对每个原子都适用，当然亦就有行波解.在有限大晶格情形，当组成晶格的原子中够多时，边界效应可以忽略不计，但当原子数少时，大部分的原子不再具有平移对称性，边界效应变得显著，晶体性质发生改变，周期性边界条件不再适用。所以，周期性边界条件只是一种近似，且在原子数足够多时是一种很好的近似。

　　对格波及声子的详细讨论的意义并不局限于晶格振动的本身，在固体物理中，很多物理现象及运动规律都涉及到波动性.如电子在晶格中　　的运动；铁磁相中的自旋波等，对晶格，格波产生于相邻原子的相对位移；对铁磁相，自旋波产生于相邻自旋的相对取向差。

　

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