如何构造拉格朗日量（密度）重回顾。
来自: Chen Lan(大是大非) 2013-04-04 04:09:31
http://multiverse.la
@Tabris，我把以前关于如何构造拉格朗日量做了一个回顾，如果你还有其它的，请给补充。构造拉格朗日量 $L(q,\dot q,t)$以及拉氏密度
【构造特征零】：满足相应背景时空对称性以及其它内部空间对称性；为了保证可重整量纲不能超过4（经典情况您随便）.
【构造特征一】：并不是所有 $q,\dot q,t$ 组成的函数都能做 $L$。最简单的一个例子 $L=q$，很容易看出，如果你把这个拉格朗日量代入欧拉--拉格朗日方程，你会得到 $1=0$ 的矛盾！
【构造特征二】：并不是所有有运动方程的体系都有相应的拉格朗日量。也就是说体系虽然有运动方程，但是可以没有拉格朗日量，一个简单的例子，譬如 $m\ddot x_i=\alpha \varepsilon_{ijk} x_j \dot x_k $，（参考文献[1], 公式(5) ）很显然，方程右边在通常的情况下是不能写成拉格朗日形式的。
【构造特征三】：拉格朗日量中可以含高阶导数。从宇宙到粒子，高阶导的出现再普遍不过了，那些认为高阶导不“自然”的同学，多数把“自然”等同于大部分牛顿能标下的物理了。经典物理中一个电子的自作用就可以出现高阶导（参见费曼第二册公式28.9）；量子物理中，存在高阶导的模型可以很自然的消除发散问题，譬如Lee-Wick模型，但是高阶导的存在导致了鬼场的引入，譬如Pauli–Villars鬼，继而也要面对幺正破坏问题。
【构造特征四】：动能项符号为负（鬼），势能为复（非实谱）或无底界（不稳定）在经典范围是不允许的。但是在量子范围是允许的，然而需要解决相应的问题，比如势能为复（对应算符非厄密），在量子力学中这要面临着能谱不为实数的危险，于是为了允许势能为复，需要附加其它的条件，在这里需要这个复势满足PT对称。
[1] Witten, Edward. "Global aspects of current algebra." Nuclear Physics B 223.2 (1983): 422-432.
@Tabris，我把以前关于如何构造拉格朗日量做了一个回顾，如果你还有其它的，请给补充。构造拉格朗日量 $L(q,\dot q,t)$以及拉氏密度
【构造特征零】：满足相应背景时空对称性以及其它内部空间对称性；为了保证可重整量纲不能超过4（经典情况您随便）.
【构造特征一】：并不是所有 $q,\dot q,t$ 组成的函数都能做 $L$。最简单的一个例子 $L=q$，很容易看出，如果你把这个拉格朗日量代入欧拉--拉格朗日方程，你会得到 $1=0$ 的矛盾！
【构造特征二】：并不是所有有运动方程的体系都有相应的拉格朗日量。也就是说体系虽然有运动方程，但是可以没有拉格朗日量，一个简单的例子，譬如 $m\ddot x_i=\alpha \varepsilon_{ijk} x_j \dot x_k $，（参考文献[1], 公式(5) ）很显然，方程右边在通常的情况下是不能写成拉格朗日形式的。
【构造特征三】：拉格朗日量中可以含高阶导数。从宇宙到粒子，高阶导的出现再普遍不过了，那些认为高阶导不“自然”的同学，多数把“自然”等同于大部分牛顿能标下的物理了。经典物理中一个电子的自作用就可以出现高阶导（参见费曼第二册公式28.9）；量子物理中，存在高阶导的模型可以很自然的消除发散问题，譬如Lee-Wick模型，但是高阶导的存在导致了鬼场的引入，譬如Pauli–Villars鬼，继而也要面对幺正破坏问题。
【构造特征四】：动能项符号为负（鬼），势能为复（非实谱）或无底界（不稳定）在经典范围是不允许的。但是在量子范围是允许的，然而需要解决相应的问题，比如势能为复（对应算符非厄密），在量子力学中这要面临着能谱不为实数的危险，于是为了允许势能为复，需要附加其它的条件，在这里需要这个复势满足PT对称。
[1] Witten, Edward. "Global aspects of current algebra." Nuclear Physics B 223.2 (1983): 422-432.
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