温度与负温度
（《新发现》专栏，勿转）
12月份以来，北京连续出现了最高温度低于零度，最低温度低于零下十度的天气。
这里的温度概念是摄氏温度，是瑞典天文学家安德斯·摄西阿斯（Anders Celsius）在十八世纪制定的。这个温度的标准是，在一个大气压下，水的冰点是摄氏零度，沸点是100度。
美国至今还在用的华氏温度则是德国物理学家华伦海脱（Daniel Gabriel Fahrenheit）在1724年制定的，比摄氏温度还早一些。在一个大气压下，水的冰点是32华氏度，沸点是212华氏度。我们不必死记摄氏度和华氏度之间的换算公式，只需要记得华氏水的冰点和沸点就行了。这样，在摄氏100度的范围内，华氏升高了212-32=180度，所以华氏度的阶梯比摄氏度密了1.8倍，冰点高了32度，所以就有F=32+1.8C。
目前，除了美国，开曼群岛、帕劳共和国、巴哈马也用华氏温度。
摄氏温度和华氏温度都不是科学中通用的温度。开尔文或绝对温度才是科学中通用的温度，这个温度的制定者是开尔文勋爵，制定时间是1848年，制定地点是一篇发表在《哲学杂志》的论文。在这篇论文中，开尔文建议用物理学上能够达到的最低温度为零度，温度阶梯与摄氏温度一样，他通过计算得到，冰点是绝对温度273度。根据今天的计算，冰点是绝对温度是273.15度。
那么，为什么存在绝对零度，或可以达到的最低温度？这在热力学中很容易回答。温度是热平衡态中的概念，即两个任意物体在接触下达到平衡时温度相同。进一步，为了定义温度的绝对值，对于一个具体的物理系统，固定所有力学量（如体积，电荷），每提高这个系统一个单位熵所提高的能量就是温度。通常的统计物理告诉我们，随着能量的提高，熵在增大，或者倒过来说，随着熵的增大，能量也在增大。所以，这样定义的温度总是正的，而最低温度无疑就是零度了。
当一个物理系统处于绝对零度时，一切都静止了，没有运动了，也就是说，这个系统处于能量最低态，热力学已经蕴含了这一点。如前，在零度时，即使提高系统的熵，能量的提高也为零，这说明该系统处于能量的极值。进一步，如果系统的能量没有上限，那么这个极值只能是极小值。当然，我们不能排除例外的情况发生，即这个极值其实是一个鞍点，既不是极大也不是极小。到目前为止，还没有发现这样的系统。
在开尔文之后，麦克斯韦和玻尔兹曼独立发现了麦克斯韦-玻尔兹曼分布，这个分布到今天还适用。该分布说，给定温度，处于热平衡中的物理系统的某个状态的几率随着能量的增加而指数减少，具体的公式是P~exp(-E/(kT))，请原谅我在很多专栏之后再一次用公式，这里的常数k叫做玻尔兹曼常数。
从麦克斯韦-玻尔兹曼分布我们看到，温度确实应该是正的，假如它是负的，那么系统处于更高的能量状态的几率会越来越大，对于一个没有能量上限的系统，这个系统真正的能量是无限大，很明显是不可能的。
所以，绝对零度成为物理学中的最低温度，并且是不可到达的温度。为什么？热力学第三定律说：当一个系统处于绝对零度时，其熵趋于常数。这是德国物理学家能斯特在二十世纪初时发现的定律。能斯特还将这个定律表述为：不可能在有限的步骤中达到绝对零度。这第二个表述可以用第一个表述推导出来。
量子力学出现后，人们发现，即使在绝对零度，系统也不可能完全静止，这就是所谓的零点能。一个简单的例子是谐振子（例如微小的弹簧，或者给定频率的光子），它的最低能量不为零。表面上，麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能用了，因为P~exp(-E/(kT))变成零。我们需要注意，这个关系是一个正比关系，它告诉我们，当系统处于绝对零度时，提高任何正能量的几率都等于零，这样，系统处于绝对零度时，该系统的完全处于能量最低态。
既然热力学第三定律告诉我们，不可能在有限步骤中达到绝对零度，那么比绝对零度更低的负温度是不是压根就不存在？从麦克斯韦-玻尔兹曼分布我们知道，如果温度是负的，系统的能量分布就是因为P~exp(E/(k|T|))，也就是说，能量越高几率也越大，显然，对于一个能量没有上限系统，负温度是不可能的，因为不稳定。对于一个能量有上限的系统，如果有无限多个态，这个分布告诉我们系统也是不稳定的，因为几率的求和是无限大。只有当一个系统的能量既有上限，状态只有有限多个时，负温度才是可能的。而且，负温度不等于能量低，也就是说，负温度的能量不比绝对零度的能量更低。
在原子核自旋系统中，负温度早就实现了，因为当我们只考虑自旋时，一个有限系统的状态个数就是有限的。同样，在激光中，负温度也被实现了。
一月四号，《科学》刊登了一篇文章，作者是Schneider等人。这篇文章吸引了媒体的眼球，主要是负温度的概念。前面说过，负温度并不新鲜，真正新鲜的是，这些作者们用超冷原子实现了普通运动自由度（而不是自旋或光子的频率）的负温度，这个系统的能量来自于冷原子的运动。在这个系统中，冷原子是所谓的玻色子，即自旋为整数的粒子。冷原子之间的力是吸引力，利用激光，冷原子之间不会无限制地吸引。实验者发现，原子的动量分布趋向于更大的能量，这是负温度的特征。
用英国《物理世界》的一篇博文的话来说，他们突破了绝对零度吗？没有，他们做了一个精巧的实验。
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12月份以来，北京连续出现了最高温度低于零度，最低温度低于零下十度的天气。
这里的温度概念是摄氏温度，是瑞典天文学家安德斯·摄西阿斯（Anders Celsius）在十八世纪制定的。这个温度的标准是，在一个大气压下，水的冰点是摄氏零度，沸点是100度。
美国至今还在用的华氏温度则是德国物理学家华伦海脱（Daniel Gabriel Fahrenheit）在1724年制定的，比摄氏温度还早一些。在一个大气压下，水的冰点是32华氏度，沸点是212华氏度。我们不必死记摄氏度和华氏度之间的换算公式，只需要记得华氏水的冰点和沸点就行了。这样，在摄氏100度的范围内，华氏升高了212-32=180度，所以华氏度的阶梯比摄氏度密了1.8倍，冰点高了32度，所以就有F=32+1.8C。
目前，除了美国，开曼群岛、帕劳共和国、巴哈马也用华氏温度。
摄氏温度和华氏温度都不是科学中通用的温度。开尔文或绝对温度才是科学中通用的温度，这个温度的制定者是开尔文勋爵，制定时间是1848年，制定地点是一篇发表在《哲学杂志》的论文。在这篇论文中，开尔文建议用物理学上能够达到的最低温度为零度，温度阶梯与摄氏温度一样，他通过计算得到，冰点是绝对温度273度。根据今天的计算，冰点是绝对温度是273.15度。
那么，为什么存在绝对零度，或可以达到的最低温度？这在热力学中很容易回答。温度是热平衡态中的概念，即两个任意物体在接触下达到平衡时温度相同。进一步，为了定义温度的绝对值，对于一个具体的物理系统，固定所有力学量（如体积，电荷），每提高这个系统一个单位熵所提高的能量就是温度。通常的统计物理告诉我们，随着能量的提高，熵在增大，或者倒过来说，随着熵的增大，能量也在增大。所以，这样定义的温度总是正的，而最低温度无疑就是零度了。
当一个物理系统处于绝对零度时，一切都静止了，没有运动了，也就是说，这个系统处于能量最低态，热力学已经蕴含了这一点。如前，在零度时，即使提高系统的熵，能量的提高也为零，这说明该系统处于能量的极值。进一步，如果系统的能量没有上限，那么这个极值只能是极小值。当然，我们不能排除例外的情况发生，即这个极值其实是一个鞍点，既不是极大也不是极小。到目前为止，还没有发现这样的系统。
在开尔文之后，麦克斯韦和玻尔兹曼独立发现了麦克斯韦-玻尔兹曼分布，这个分布到今天还适用。该分布说，给定温度，处于热平衡中的物理系统的某个状态的几率随着能量的增加而指数减少，具体的公式是P~exp(-E/(kT))，请原谅我在很多专栏之后再一次用公式，这里的常数k叫做玻尔兹曼常数。
从麦克斯韦-玻尔兹曼分布我们看到，温度确实应该是正的，假如它是负的，那么系统处于更高的能量状态的几率会越来越大，对于一个没有能量上限的系统，这个系统真正的能量是无限大，很明显是不可能的。
所以，绝对零度成为物理学中的最低温度，并且是不可到达的温度。为什么？热力学第三定律说：当一个系统处于绝对零度时，其熵趋于常数。这是德国物理学家能斯特在二十世纪初时发现的定律。能斯特还将这个定律表述为：不可能在有限的步骤中达到绝对零度。这第二个表述可以用第一个表述推导出来。
量子力学出现后，人们发现，即使在绝对零度，系统也不可能完全静止，这就是所谓的零点能。一个简单的例子是谐振子（例如微小的弹簧，或者给定频率的光子），它的最低能量不为零。表面上，麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能用了，因为P~exp(-E/(kT))变成零。我们需要注意，这个关系是一个正比关系，它告诉我们，当系统处于绝对零度时，提高任何正能量的几率都等于零，这样，系统处于绝对零度时，该系统的完全处于能量最低态。
既然热力学第三定律告诉我们，不可能在有限步骤中达到绝对零度，那么比绝对零度更低的负温度是不是压根就不存在？从麦克斯韦-玻尔兹曼分布我们知道，如果温度是负的，系统的能量分布就是因为P~exp(E/(k|T|))，也就是说，能量越高几率也越大，显然，对于一个能量没有上限系统，负温度是不可能的，因为不稳定。对于一个能量有上限的系统，如果有无限多个态，这个分布告诉我们系统也是不稳定的，因为几率的求和是无限大。只有当一个系统的能量既有上限，状态只有有限多个时，负温度才是可能的。而且，负温度不等于能量低，也就是说，负温度的能量不比绝对零度的能量更低。
在原子核自旋系统中，负温度早就实现了，因为当我们只考虑自旋时，一个有限系统的状态个数就是有限的。同样，在激光中，负温度也被实现了。
一月四号，《科学》刊登了一篇文章，作者是Schneider等人。这篇文章吸引了媒体的眼球，主要是负温度的概念。前面说过，负温度并不新鲜，真正新鲜的是，这些作者们用超冷原子实现了普通运动自由度（而不是自旋或光子的频率）的负温度，这个系统的能量来自于冷原子的运动。在这个系统中，冷原子是所谓的玻色子，即自旋为整数的粒子。冷原子之间的力是吸引力，利用激光，冷原子之间不会无限制地吸引。实验者发现，原子的动量分布趋向于更大的能量，这是负温度的特征。
用英国《物理世界》的一篇博文的话来说，他们突破了绝对零度吗？没有，他们做了一个精巧的实验。
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