第三章 晶格振动与格波
§3.1 引言
在第二章中讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。对一个双原子气体分子，其热运动包括平动(三个自由度)；振动(一个自由度)；转动(二个自由度)；当气态分子凝固成固态物质时，平动及转动消失，振动成为热运动的本质。它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。本章将介绍晶格振动是如何影响这些物理性质的。
先复习一维连续介质的波动方程：当振动产生于连续介质中时，振动不再是独立的，而是相互关联的。结果就是形成弹性波，即振动以波的形式传播。考虑一维棒的纵向振动及其纵波，设在x处的弹性位移为u(x，t)，则应变e=du(x)/dx，又设应力为S，则S=Y e；其中Y为杨氏模量。从牛顿第二定律，可得到波动方程：
先复习一维连续介质的波动方程：当振动产生于连续介质中时，振动不再是独立的，而是相互关联的。结果就是形成弹性波，即振动以波的形式传播。考虑一维棒的纵向振动及其纵波，设在x处的弹性位移为u(x，t)，则应变e=du(x)/dx，又设应力为S，则S=Y e；其中Y为杨氏模量。从牛顿第二定律，可得到波动方程：
为该材料密度，A’为棒的横截面积，简化后得：
(3-1)
上式的求解需要给出边界条件和初始条件，如两端固定的边界条件得出我们熟知的驻波(standing wave)解；对于足够长的棒，不考虑边界，以行波(traveling wave) 
作试探解，求得：
作试探解，求得：
(其中，
) (3-2) 叫色散关系(dispersion relation)*；偏离此线性关系叫色散。(3-2)式表明，对于不同的频率，波速都是一样的。特点:
连续的，即可取无穷多个任意值。固体中Y的典型值
，
，由（3-2）式，可估算出杨氏量为 
。
图3-1
*色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系，斜率为波速。
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