群论则突破了代数 学中对“运算”($+$、$-$、$\times$、$\div$等)的传统理解, 使得作为运算对象的“数”扩展至各种各样的抽象“元素”, 例如向量、张量、置换、变换、映射等

发信人: Andante (须眉), 信区: Science
标  题: Re: 请教数学系群论高手
发信站: BBS 水木清华站 (Mon Jan  4 18:39:46 1999) WWW-POST

【 在 bdgls (LiLiang) 的大作中提到: 】
: 请问数学系的群论高手. 我一直以为群论作为一种高等数学的分支,是建立在初等数学
: 的
: 基础上的.它的许多概念
: 及定理必须借助于初等数学的支持来得以阐述和发挥.那么群论本身提出了什么样的,靠
: 初
: 等数学推理不出来的公
: 理系统呢? 一个具体的问法是: 我们依靠群论这个工具解决了解高次方程和十七等分圆
: 等
: 问题.那么能否将群论
: 解决这些问题的过程转译为由构造群论的初等数学的较为繁琐的更多的步骤来直接解决
: 呢
: ?一个更为深刻的问题
: 是: 数学工具到底起到什么样的作用? 是起到非此工具所达不到的作用呢,还是仅仅是
: 一
: 个简便算法那样节省了
: 解决问题的步骤呢(也就是说不要这个工具也可以解决问题,只是步骤要麻烦的多,要多
: 的
: 多)?

首先说明, 我不是`数学系的群论高手', 但按捺不住也想说两句.

数学是研究“量的规律”的科学, 也就是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学. 
它的对象是“形”和“数”. 数学史就是这两个概念的形成、关联、演变和发展的历史.


源自远古的数学, 经过17世纪引进“变量”, 创立微积分的革命和18世纪的充分发展之
后, 迎来了19世纪数学史上的光辉年代. 该世纪众多的数学成果中, 非欧几何与群论是
两个突出的成就. 以它们为转机, “形”与“数”的概念大为扩展, 为几何、代数以及
几乎整个数学的研究开辟了新天地; 研究的思想与方法也为之一新. 

非欧几何动摇了千百年来“欧氏几何是描述现实世界的唯一、绝对的几何”的信念, 促
进了“形”的概念向“点集”、“空间”、“流形”等方面的扩展. 群论则突破了代数
学中对“运算”($+$、$-$、$\times$、$\div$等)的传统理解, 使得作为运算对象的
“数”扩展至各种各样的抽象“元素”, 例如向量、张量、置换、变换、映射等. 群论
的方法已渗透到现代数学的许多分支中, 并在结晶学、量子力学、相对论、基本粒子等
若干化学, 物理领域中得到应用. 

“群”(group)的概念来自数学对象和科学对象的对称性研究. 群论则是系统地研究群
的性质及其应用的数学理论. 群论的建立, 使数学中一门古老的学科---代数学焕发了
青春. 在群论思想、方法的激励下, 域论、环论、模论、格论、结合代数、非结合代数
等应运而生, 形成了近世代数的庞大体系. 它们的共同特点是研究的对象不再局限于有
理数、实数、复数等数系, 而是又任意元素组成的具有一定结构的集合(即集合$+$结构
). 
这里的“结构”主要指代数结构. 它是由运算产生的. “运算”也不再限于数的运算, 
而是元素之间按某种约定的对应. 根据这种约定, 集合中任意两个有次序的元素对应
集合中唯一的元素. 因此, 近世代数又称为抽象代数. 

以下是群的定义.

一个集合$G$以及$G$内的一个运算$\circ$放在一起叫做一个代数系统. 若这个运算还
满足如下几条规定, 则这个代数系统就称之为“群”.

(1)封闭性:\ \ $G$中任意两个有次序的元素$a$, $b$, 运算结果唯一得到$G$中的元素
$c$, 即$a \circ b = c$;

(2)结合律:\ \ $a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c$;

(3)有单位元$e$:\ \ $e \circ a = a \circ e = a$;

(4)每个元素有逆元$a^{-1}$: \ \ $a \circ a^{-1}= e$.

这里, 群的元素和运算完全是抽象的. 这正反映了群的“结构”性质. 若元素取为整数,

运算取为普通加法$+$, 则全体整数集合就是一个群(加法群). 这时$0$就是单位元,
$-a$
就是$a$的逆元. 若$G$全体为正有理数集合, 运算取为普通乘法$\times$, 则$G$也是一

个群(乘法群). 这时$1$就是单位元, $1/a$就是$a$的逆元. 可见群的“元素”是数的推

广, “运算”也是普通运算的推广. 从表面看, 这种推广并无特殊之处, 似乎很自然, 然

而从数系到群却走过了艰难的一步. 正是这一飞跃才给代数以至近代数学产生了深远的影

响. 一种科学理论, 抽象程度愈高, 则更具有普遍意义, 更能应用于一般. 群论之所以有

广泛的应用, 正是由于它的高度概括性. 

群论的应用是多方面的. 在物理学等领域中群论的应用是从研究对称关系始的. 对称性是

自然界普遍存在的一种规律, 而群论正是研究对称性的工具. A.Bravais于1849年、
E.C.Phedorov于1890年先后用群论的方法将晶体(空间点阵)进行了分类. 这是群论
的第一次直接应用. 本世纪在量子力学、相对论、原子结构、基本粒子理论等研究中, 群

表示论、离散群、Lie群(特殊的连续群)已成为不可缺少的工具. 

群论在数学内部的影响更为深远. 它不但是近世代数的基础, 也是现代数学的基础之一
.
1872年, F.Klein在Erlangen纲领中指出: “各种几何都是研究相应的变换群下不变性
质的学科”. 从而将欧氏几何、非欧几何、射影几何等多种几何在群论的观点下统一起
来. 其它如微分几何、复变函数、数论、拓扑学、调和分析等许多数学分支也都渗透了
群论的思想和方法. 总之, 在现代数学中, 群论已居于显著的地位. E.Bell说: “无论
在什么地方, 只要能应用群论, 从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐. 群的概念是
近世纪科学思想的出色的新工具之一. ”

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Andante cantabile  行板如歌