phymath999: 假定一个分布，平衡值的计算都归结到计算数学期望

Saturday, May 11, 2013

假定一个分布，平衡值的计算都归结到计算数学期望

品评文小刚的弦网理论（3）

送交者: polik 于 2007-12-09, 01:32:43:

品评文小刚的弦网理论（3）整数量子霍尔效应虽然是周六。但决定还是写一点，不管有没有人看。先发个致谢：感谢短江兄的认可。还要特别感谢短江兄的爱护，生怕我的场子被质疑的人搞塌了。搭个场子，没人来踢踢脚，岂不哀哉。短兄放心，没那么容易垮。再说，被问垮了才是赚了，被提了一个好问，帮你解决了一个糊涂之处，还可能写篇好paper甚至赢个奖什么的。
元江，mirror, bluesky007和gordon诸兄的鼓掌对我是莫大的勉励。请继续捧场。
感谢Amsel, coubert, ott, eddie, 008，hc诸兄的提问和包涵。各位的提问我都跟贴做了回答，如果有进一步疑问的请再提出来，共同提高。之前一直以为湘女是文科财会金融之类的务实派，原来还可以接受这些蛊惑优秀人才上贼船浪费青春的东西。短兄，帮个忙，叫你的酒肉朋友来，加上我的人马，铺上100米红地毯，100人乐队，欢迎湘女。湘女的问题：好极了，谢谢。一个小问题，平衡值是怎样计算？ (无内容) - 湘女 (0 bytes) 2007-12-08, 09:39:43 (190729)polik的特别回答：统计物理或热力学的三分之二强是做这个事的。假定一个分布，平衡值的计算都归结到计算数学期望。
----------------------------------------------------------上回说到了量子霍尔效应，但没有提丝毫的细节，今天讲一点。交代一下QHE的实验条件：首先，电子被约束在二维井中，叫二维电子气（2 Dimensional Electron Gas,2DEG）。固体中的电子叫gas，司空见惯，这个历史悠久，但后面会讲，这个字很可能误导你，先提个醒。第二，实验用的磁场很高，高达～10 特斯拉，低场下只有霍尔大爷的直线。第三，实验的温度很低，绝对零度以上的千分之一度左右。然后呢就是，杂质起重要的作用，可惜今天不能提它。霍尔电阻出现一系列平台是QHE的最惊人特征。平台意味着磁场改变时，电阻没有跟着改变。而非平台区，往往表现出电阻随磁场而陡变。瞧一瞧霍尔电阻的表达式，它与磁场成正比，与载流子密度成反比，磁场增加时，要保证霍尔电阻不变（出现平台），短江都知道必须是载流子密度也得增加并刚好抵销才行。但这可能吗？这好比你的银行帐户里刚进了一笔钱，家里马上就多出几个冲你叫爹叫娘的babies给他们买玩具，所花的钱刚好是刚才那笔进帐。这好事真还可能（Amsel插话：突然多一群冲你叫老公老公的babes多好。polik:如果每个babe叫你送一辆新的BMW呢？）。当时在贝尔实验室左冲右突急于成名而不得的面临没有隔天早饭米危机的Laughlin想出来了一个解释。我们来看看他的解释。当然我得把他的工作做很多美化和简化才拿得出手，包括对他进行一些莫须有的指控，把别人的工作嫁祸到他头上等等。霍尔电阻与载流子密度成反比，挺符合直觉，008都知道错不了。但我想还不如用霍尔电导率跟载流子密度成正比的说法，正面，积极，更符合直觉，最主要的，当然是描述更方便。显然霍尔电导反比于磁场，磁场在这里不干好事。如果横坐标还是磁场，则霍尔电阻的原来的平台就是现在霍尔电导的尖峰。为了得到经典霍尔效应的直线，我们的横坐标现在用磁场的倒数，叫倒磁场好了。因此霍尔效应曲线现在是横电导对倒磁场的直线，斜率由载流子密度控制，而QHE变成一段段错开的直线段，依然有平台，pretty nice，law and order restored。下面就采用我的讲法。如果有人说我这种搞法前面已经有人提过或使用过，看官们别信他的。经典导电模型中，对给定的材料，载流子密度是个固定值。因此，对一给定材料和温度，经典霍尔电导是一根斜率固定的直线。QHE的那些平台意味着某些特定范围倒磁场增加时，载流子密度刚好作相同倍数的减少。也就是说，QHE里，载流子密度时而固定（直线段部分），时而受倒磁场的控制作同步减小（平台部分）。问题变形到这一步，虽然问题尚未解决，但看起来没那么狰狞了，甚至有点妩媚了，平常在研究组里表现不佳饱受欺压的Laughlin有点蠢蠢欲动了。直线段部分甚至可以先不理它，那是霍尔老爷子的事。平台才是问题所在：我们要回答为何在某些（倒）磁场范围，载流子密度随倒磁场增加作同步减小。答案惊人的简单：电子是量子力学物体。BS！谁不知道电子是量子力学物体？但这也就是答案。当然，类似地，我们也可以说，意识也必定是量子力学的。但凡夫俗子是不能靠提几个代表，几X几Y来混日子的，更不能靠这种语录去拿诺奖，不是因为你说得不对，而是因为凡夫俗子命定就是做具体事的，就是做苦工。你苦工做完而且做得好，就有人过来说恭喜你实践了三个代表，给你戴大红花。QHE也一样，具体苦力活做完后，有人上来说，恭喜你实践了量子力学，给你发彩色贴纸。小书生一般羡慕得奖的，其实给别人发奖才真正过瘾，张阳德兄就深知此理。自己设个国际奖颁给关系户，羞死那些暗递红包的土老帽。得奖的充其量是好苦力，授奖的才是真正的人上人。扯远了。电子在磁场里的能量会分成一系列能级。这个问题其实多年前被恶霸Landau已经做过了。因此这些能级也叫Landau能级。这套能级很简单，就是简谐振子。如果不是这样，你肯定会知道不对，因为电子在磁场里作回旋运动，大体（！）就是简谐振子。据说Landau当初根本没解方程序就直接写出了解，学生苦工补上细节，然后将命名的Landau能级到处宣传。其实，最初von Klitzing看到的现在叫整数量子霍尔效应（IQHE）的现像，大体上能从Landau的理论找到答案。我们这里对半导体里的电子做巨多的简化，导带，价带，费米面等也没办法在此做些解释，幸亏不碍大事。简言之，某一能态上的载流子数目由该能级的简并度决定。因此扣掉一些罗罗嗦嗦，我们可以说载流子密度就是态密度。倒磁场减小时，能级间隔变稀，原来在费米面内（上）的一些能级可能超过费米面而被清空，迫使下面的能级变得拥挤，也就是态密度增加，也就是载流子密度增加。事实上，态密度随倒磁场减小而同步增大，这就是平台。在下一个能级出现清空之前，载流子密度保持不变，这就是霍尔老爷子的直线部分（电导随倒磁场增加而增加）。当然，如果真是如此简单的话，QHE有点意思，但绝对不够意思。还好，大鳄Landau给后代还是留了些食物的，例如，他没有写出电子波函数的具体表达式。就像当初Schriefer猜超导波函数一样，Laughlin猜到了QHE的波函数形式。可见，polik常说的，做任何行当，蒙功绝对是第一的，是至理，希望以后也会成名言造福人类。蒙出波函数以后，Laughlin继续解释了平台为何出现在一系列整数对应的位置（IQHE的来源）。他说明为何要称2DEG的这种状态为不可压缩液体。也就是说，他的工作说明一件事：无法无天的气体是中规中矩的液体。一听就蛮酷的。关键提示：QHE告诉我们，通常的电子气体可以相变为液体，这种液体还可以有不同的相。这与通常的相变有本质区别：不是对称破缺驱动的，在零温下也会发生。是"纯粹的"量子效应，因而叫量子相变。好，今天各位已经爬了好高了，况且是周末，休息一下。继续有反响的话，即如果有鼓掌的，喝（倒）彩的，明儿我将写第4讲并贴出来。

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