然而实验上并不存在严格的一维量子气体，用两束正交驻波在横向形成二维的光晶格，在轴向则加一个相对较弱的光束缚势，可以将BEC分割成一系列雪茄状的准一维系统。这样形成的束缚势，BEC的横向激发完全被抑制，雪茄状的准一维气体之间互相独立，那么对于每一根“雪茄”来说，就可以近似看做是一维系统

然而实验上并不存在严格的一维量子气体，用两束正交驻波在横向形成二维的光晶格，在轴向则加一个相对较弱的光束缚势，可以将BEC分割成一系列雪茄状的准一维系统。这样形成的束缚势，BEC的横向激发完全被抑制，雪茄状的准一维气体之间互相独立，那么对于每一根"雪茄"来说，就可以近似看做是一维系统

　

2011届硕士学位论文

一维相互作用量子

 

气体Bethe-Ansatz方程

作者姓名 李花

指导教师 张云波 教 授

学科专业 凝聚态物理

研究方向 冷原子物理

培养单位 理论物理研究所

学习年限 2008年9月至2011年6月

二〇一一年六月

 

山西大学

 

2011届硕士学位论文

一维相互作用量子

 

气体Bethe-Ansatz方程

作者姓名 李 花

指导教师 张云波 教 授

学科专业 凝聚态物理

研究方向 冷原子物理

培养单位 理论物理研究所

学习年限 2008年9月至2011年6月

二〇一一年六月

 

Thesis for Master・ s degree, Shanxi University, 2011

  

The Solution of Bethe-Ansatz

Equations for One Dimensional Quantum Gas

 

Student Name Hua Li

Supervisor Prof. Yunbo Zhang

Major Condensed Matter Physics

Specialty Cold Atom Physics

Department Institute of Theoretical Physics

Research Duration 2008.09-2011.06

June, 2011

 

目 录

 

中 文 摘 要.........................................................................................................................I

Abstract...............................................................................................................................II

第一章 绪论........................................................................................................................1

1.1 一维量子气体的实验制备....................................................................................1

1.2 一维量子气体原子间相互作用强度的调节........................................................2

1.3 一维量子气体的理论研究方法............................................................................3

1.4 本文内容................................................................................................................4

第二章 玻色子BETHE-ANSATZ方程及其解...................................................................5

2.1 周期边界条件BETHE-ANSATZ方法及其解............................................................5

2.1.1 周期边界条件Bethe-Ansatz方程的解........................................................6

2.1.2 Bethe-Ansatz方程的积分形式.....................................................................8

2.1.3 STG气体的性质.........................................................................................11

2.1.4 热力学Bethe-Ansatz方程..........................................................................12

2.2 开边界条件BETHE-ANSATZ方程..........................................................................16

2.2.1 TG态、STG态和BS态...............................................................................17

2.2.2 单体密度矩阵和关联函数........................................................................19

第三章 两分量气体BETHE-ANSATZ方程介绍............................................................22

3.1 两分量费米子BETHE-ANSATZ方程......................................................................22

3.2 玻色费米混合物..................................................................................................24

3.2.1 玻色费米混合物BA方程..........................................................................25

3.2.2 玻色费米混合物TBA方程........................................................................27

3.2.3 玻色费米混合物TBA方程高阶迭代展开................................................30

3.3 哈伯德模型BETHE-ANSATZ方程..........................................................................34

第四章 结论与展望..........................................................................................................37

附录A：一维气体量子场论哈密顿量和量子力学哈密顿量.........................................38

附录B：排斥相互作用BETHE-ANSATZ方程的解为实数的证明................................41

参考文献............................................................................................................................43

攻读学位期间取得的研究成果........................................................................................47

致 谢..................................................................................................................................48

个人简况及联系方式........................................................................................................49

承 诺 书........................................................................................................................50

学位论文使用授权声明....................................................................................................51

Contents

  

Chinese abstract..................................................................................................................I

 

Abstract...............................................................................................................................II

Chapter 1 Introduction......................................................................................................1

1.1 Experimental realization of one dimensional quantum gases..................................1

1.2 Manipulation of inteaction strength between particles............................................2

1.3 Theoretical methods for one dimensional quantum gases.......................................3

1.4 Contents of thesis....................................................................................................4

 

Chapter 2 The Bethe-Ansatz equations of 1D interacting bosons..................................5

2.1 Periodical boundary condition.................................................................................5

2.1.1 The Bethe-Ansatz equations..........................................................................6

2.1.2 The integral Bethe-Ansatz equations.............................................................8

2.1.3 The property of STG gas.............................................................................11

2.1.4 The thermodynamic Bethe-Ansatz equations..............................................12

2.2 Open boundary condition......................................................................................16

2.2.1 The TG banch, STG banch and BS banch...................................................17

2.2.2 One particle density matrix and two particle correlation function..............19

 

Chapter 3 The Bethe-Ansatz equations of two component quantum gases................22

3.1 Two component Fermions.....................................................................................22

3.2 Bose-Fermi mixture...............................................................................................24

3.2.1 The introduction of BA equations of Bose-Fermi mixture..........................25

3.2.2 The TBA equations of Bose-Fermi mixture................................................27

3.2.3 The iteration of TBA equations of Bose-Fermi mixture..............................30

3.3 The Hubbard model...............................................................................................34

 

Chapter 4 Summary and outlook....................................................................................37

Appendix A: The Hamiltonian in quantum field theory and quantum mechanics for 1D gas.................................................................................................................................38

Appendix B: A proof of reality of the BAE solutions for 1D repulsively interacting bosons................................................................................................................................41

References.........................................................................................................................43

 

Research achievements....................................................................................................47

Acknowledgement............................................................................................................48

Personal profiles...............................................................................................................49

Letter of commitment.......................................................................................................50

Authorization statement..................................................................................................51

中 文 摘 要

 

在实验上，Feshbach共振原理、磁光阱束缚以及原子芯片的应用技术日渐成熟， 实现了制备准一维玻色爱因斯坦凝聚，并且对冷原子的研究已经从单分量气体扩展到玻色费米混合物或是两分量玻色气体混合物等领域。在多体量子系统中，低维系统受到物理学家的关注，体系维数降低时，就会增强粒子间相互作用与量子涨落和关联。

Bethe-Ansatz方法的优点在于给出了多粒子系统在任何相互作用强度下都满足的精确解方程。推广到热力学范围，热力学Bethe-Ansatz方程的结果和实验结论也是一致的。因此在诸多模型中，Bethe-Ansatz方法就成为理论研究的重要手段，并且给出了很多有意义的结果。在理论上，一维多体量子系统处理起来相对比较简单，而且有可能找到其精确解析解。

本文简单介绍了开边界和周期边界条件下的Bethe-Ansatz方程。主要计算了在开边界条件下，一维1相互作用玻色子在排斥和吸引相互作用下的Bethe-Ansatz方程，重点讨论了三个典型的量子相的能谱、单体密度矩阵分布和关联函数。在相图里有两个临界点，Tonks-Girardeau（TG）气体和super Tonks-Girardeau（STG）气体在强相互作用极限有相同的性质；然而在弱相互作用极限0附近，可以从排斥相互作用的基态（TG）平滑地过渡到吸引相互作用的基态（BS）。

另外，基于一维量子气体的Lieb-Liniger模型，从玻色费米混合物的热力学Bethe-Ansatz方程出发，通过迭代求解的方法，我们得到了系统在强相互作用情况下的基态能量解，并和数值解进行了比较分析。

关键词: Bethe-Ansatz方程；热力学Bethe-Ansatz方程；Tonks-Girardeau气体；super Tonks-Girardeau气体；玻色费米混合物

I

Abstract

 

The development of laser cooling and magnetic (or optical) trapping in experiments as well as the remarkable achievements in the Feshbach resonance technique leads to the observation of quasi-one-dimensional Bose-Einstein condensation of alkali atomic gases, and the researches have been expanded to Bose-Fermi mixture and two component Bose gas. Lower dimensional systems, such as one-dimensional (1D) many-body quantum system, attract more and more attention in the strongly interacting regime with anomalous, quantum fluctuations and correlations.

 

The advantage of Bethe-Ansatz method is that it gives the exact solution of arbitrary coupling interactions. In the thermodynamic limit，the result of thermodynamic Bethe-Ansatz equations is to proven to be consistent with the experiments. Therefore, the Bethe-Ansatz method plays an important role in the theoretical research of 1D system and gives a lot of meaningful conclusions. The exact solutions of 1D solvable models are readily applicable to the research of 1D quantum gases.

In this paper, We reviewed the Bethe-Ansatz methods and thermodynamic Bethe-Ansatz equations for single component bosons and two component mixture under periodic and open boundary conditions. We investigate the Bose gas with repulsive or attractive interactions between atoms in the scheme of Bethe Ansatz equations in a hard wall trap. Three

 II III

typical quantum phases in the current research of 1D interacting cold atoms are clarified in terms of the energy spectrum, single particle density distribution and two-particle correlation function. We identify two matching points in the phase diagram, i.e. the Tonks-Girardeau gas and super Tonks-Girardeau gas show the same profiles at the strongly interacting point 1, and in the weakly interacting limit 0, the ground states TG and bound state join to each other smoothly.

Based on the Lieb-Liniger model, we study the ground state of the 1D Bose-Fermi mixture. In the strongly interaction condition, we iterated the thermodynamic Bethe-Ansatz equations and expanded the ground state energy up to the orders of 31, which is compared with the numerical solutions.

Key words： Bethe-Ansatz equations; the thermodynamic Bethe-Ansatz equations; Tonks-Girardeau gas; super Tonks-Girardeau gas; Bose-Fermi mixture 第一章 绪论

第一章 绪论

 

自从1995年，科学家在实验上观察到了玻色爱因斯坦凝聚现象[1-3]之后,超冷量子气体的实验研究成为热点，随着实验技术逐渐成熟，已经实现了制备不同类型的束缚势。特别是通过调节外部束缚势，在两个方向上压缩原子使其只存在零点振动，这样就制备了准一维束缚量子气体。一维超冷量子气体的物理性质和三维体系相比有很大的不同，例如，降低体系原子密度时，三维量子多体系统趋于理想玻色气体，然而对于一维系统，原子间相互作用强度却增大，因此在研究一维体系时，原子间相互作用是和外部束缚势紧密相关的，是不能忽略的重要部分。原子间相互作用非常大的时候，量子系统呈现强关联特性，称作Tonks-Girardeau气体[4-6]。在近几年一维量子气体的实验研究[7-9]中，并不局限于单一的玻色气体，而是扩展到费米子和玻色费米混合物的研究领域。

1.1 一维量子气体的实验制备

在理论物理研究领域，因为计算方法简单，能建立清晰的模型进行求解，一维多体系统倍受关注。然而实验上并不存在严格的一维量子气体，用两束正交驻波在横向形成二维的光晶格，在轴向则加一个相对较弱的光束缚势，可以将BEC分割成一系列雪茄状的准一维系统。这样形成的束缚势，BEC的横向激发完全被抑制，雪茄状的准一维气体之间互相独立，那么对于每一根"雪茄"来说，就可以近似看做是一维系统，如图1.1所示。

图1.1 准一维量子气体[10]

1 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

2001年，Kertterle小组首先使用磁势阱制备了雪茄状的BEC，但并不能称作严格上的准一维体系[11]。2004年Weiss小组和Bloch小组利用光束缚，在实验上观察到了一维TG气体[5,6]。2009年，Nägerl小组结合光晶格束缚和诱导共振技术调节原子间相互作用，观察到了一维量子气体在强吸引相互作用下具有强关联性质的低激发态，也称作STG气体（Super Tonks-Girardeau Gas）[12]。

利用微刻技术在"原子芯片"上制作微磁阱、一维波导等实验技术也可以实现一维量子气体的制备。2001年，Hänsel等人在原子芯片上实现了87Rb的玻色爱因斯坦凝聚[13]；2008年Amerongen等人在原子芯片上研究了自旋为2的87Rb准一维量子气体[14]的热力学性质。

1.2 一维量子气体原子间相互作用强度的调节

有效的一维相互作用常数与三维s波散射长度以及横向束缚势有关： 3Da

2231213221DDDDagmamaCaa  （1.1）

这个关系式是Olshanii利用赝势近似的方法[15]得到的，其中1/221.0326C为常数，am是横向束缚势的特征长度；在这里13DDaaCaa称作一维散射长度。可以看出，当3Da时，

22312122DDDagmama （1.2）

对于式（1.1）来说有一个临界点，当C3Daa 时，为正的极大值，表示原子间相互作用为强排斥，这时量子气体为TG气体；当1Dg3Daa 时，为负的极大值，表示原子间相互作用为强吸引，这种情况下的量子气体有很强的关联性质，也是最近一维模型研究的热点，尤其是其低激发态，被称作STG气体。 1Dg

实验上，利用Feshbach共振原理来调节粒子间三维s波散射长度3Da。1998年，Heinzen小组（85）[16]和Ketterle小组（）[17]在实验上第一次观测到了冷原子散射的Feshbach共振现象。当在连续的开通道发生碰撞的两个原子的能量，刚好与Rb23Na

2 第一章 绪论

准分子自旋反平行的闭通道的能量相等时，就会出现Feshbach共振。这样，原子间散射长度就可以通过外磁场进行调节，其关系为

542544546548550552-1000-50005001000 a3D/abgB/G

图1.2 87Rb的三维s波散射长度与磁场的关系[18]

301DbgBaaBB （1.3）

在这里为原子间远离共振时的背景散射长度，为共振磁场中心位置，bga1Da0BB为共振磁场的宽度。从图1.2中可以直观地看出，随磁场的改变，散射长度可以在区间,上变化。因此通过调节三维散射长度以及外势3Daa,的大小，相应的一维散射长度和有效一维相互作用常数也可以在区间1Dg上变化。

1.3 一维量子气体的理论研究方法

与三维理想量子气体不同，在低温时，一维均匀无相互作用的理想气体并不会发生玻色爱因斯坦凝聚现象。在理论物理研究领域，一维相互作用量子气体的研究方法有平均场近似、量子蒙特卡罗、Luttinger 流体（Luttinger liquid formalism）、玻色费米映射以及Bethe-Ansatz方程等。由于准一维束缚势强化了粒子之间的量子涨落，所以相对于三维情况来说，传统的平均场理论并不适用于一维量子气。一般来

3 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程 4

说，用Bethe-Ansatz方程精确求解的方法可以给出很合理的物理解释。

由于我们比较感兴趣的是热力学统计里的一维可积模型，因此，主要采用的方法就是Bethe-Ansatz方程。Bethe-Ansatz方程可以精确地求解出系统中每个粒子的准动量。并且，从热力学Bethe-Ansatz方程出发可以轻易地得到体系基态能量。然而只有在特殊区域里，例如TG气体极限下，才有解析解，在任意相互作用强度时，只能通过计算机编程进行数值求解。

1.4 本文内容

本文在第二章详细介绍了一维玻色气体在周期边界条件和开边界条件下的Bethe-Ansatz方程，并特别地分析了在吸引相互作用区域系统的基态及激发态性质。第三章简单介绍了两分量费米子的Bethe-Ansatz方程及其一些研究进展和主要结论，讨论了玻色费米混合物的Bethe-Ansatz方程，并从热力学Bethe-Ansatz（TBA）方程出发，得到了强相互作用时基态能量的解析表达式。最后在第四章总结了所有的工作。 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

第二章 玻色子Bethe-Ansatz方程及其解

坐标Bethe-Ansatz方法是1931年Hans Bethe[19]首先提出的，用来求解海森堡模型的能谱，主要是在局部区域对一维情况下自旋为1/2的粒子进行排列。1938年，Lamek Hulthén用Bethe-Ansatz方法求解反铁磁海森堡模型，并预言了自旋反平行，得到了无限长海森堡链的基态波函数，因此，Bethe-Ansatz也被称作Bethe-Hulthén假设。本章详细地介绍一维玻色子的坐标Bethe-Ansatz方法，并讨论在排斥相互作用和吸引相互作用时方程的解。

考虑长度为的一维玻色气体，粒子总数为，哈密顿量的二次量子化形式为LN

2††ˆˆˆˆˆ2DxxgHdxdxm （2.1）

这里和为场算符，为单个粒子的质量，为相互作用耦合系数。令，可以将哈密顿量写成一次量子化形式 †ˆ2ˆ1m1Dgm

2212NijiijiHcxx （2.2）

其中ix1Dg代表每个粒子的位置，所有的粒子在区间12:0,,,NRxxx /cn内，是粒子间相互作用强度，在文章中常用无量纲参数2/cm/nN来表示相互作用，是一维气体平均粒子数密度。一次量子化的哈密顿量（2.2）和场论哈密顿量（2.1）是等价的，证明过程见附录A。这个模型被称作Lieb-Liniger模型，1963年Lieb和Liniger首次求解了不考虑自旋的玻色子系统[20]。 L

2.1 周期边界条件Bethe-Ansatz方法及其解

Bethe-Ansatz方法的核心思想是将一维玻色子位置进行排列，每一种排列方式称为一个局部区域，例如Q为1,2,,NL的一种排列方式，那么在这种方式下的局部区域为120NQQxxxNQ，在局部区域内部没有相互作用，因此满足哈密顿量（2.2）的波函数可以写成粒子平面波的叠加形式，

1()exp()nnNPQPnaPikx （2.3）

5 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

叠加系数则由边界条件、波函数连续性条件来确定，在这里()aPjk为个粒子的波矢，为{1,2，…N}的一个排列，NPP表示对所有的波矢排列方式求和。那么全区域下的波函数，就是对所有局部区域波函数求和

121212,,,,,NNNQQQQQQ xxxxxxxxx （2.4）

其中12121NNNQQQQQQQxxxxxx yxy，xy为阶跃函数，当x时为1，时为0。

2.1.1 周期边界条件Bethe-Ansatz方程的解

取局部区域，波函数满足周期边界条件 112:0NRxxx

220,,,,,,,,,,jNjNxxxxxx  （2.5）

对多体系统，在局部区域中，当相邻两个粒子jx，1jx发生碰撞，占据同一个位置时，相互作用条件为

 1111111,,,,,,,,,jjjjjjNxxjjNxxjjxxxxcxxxxxx （2.6）

在以上两个条件下，代入波函数（2.3），可以推导出粒子准动量jk满足Bethe-Ansatz方程

1()exp()NjijijikkicikLkkic （2.7）

这是个联立的方程组，通过求解方程组（2.7），可以得到一组准动量解Njk，系统总能量为，总的准动量为2iiEkiiK 。这时局域波函数的系数就可以表示为

22()()1()ljljNPPPjlPPikkcaPkkc （2.8）

当粒子之间为排斥相互作用，即时，Bethe-Ansatz方程的解为实数（证明见附录B），将式（2.7）两边取对数得 0c

122arctan[]NjijjikkkLIc 1,2,,jN （2.9）

6 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

其中jI时，称为为一组整数（为奇数）或是半整数（为偶数），当N22互作用强度可以给出两粒子波函数关于相对坐标N2/xjIj 的分布情况， 确定时，就确定一组本征态，因此jIN为决定能级的量子数。对于基态，12jNI。特别是当jjkI 2ijx2.1所示。

-1.0-0.50.00.51.00.00.51.01.5 (x1,x2)(x1-x2) =0.5 =5 =400

1L

0c 三粒子时，。吸引相互作用的基态也叫做束缚态（dimer态，当粒子总数为偶数时，当粒子数为奇数时，准动量中有一个实数解，其余解是成对共轭的纯虚数。例如两粒子时，准动1,2ki1,2ki，cL， 3,41,2ki基态能量随相互作用强度1/12，L态）或塌缩态。 ，3k 的极2ki 粒子总数为偶数时，c的增大是发散的，22//ENLNBS

7 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

吸引相互作用时，类似排斥相互作用的情况，方程（2.9）在条件12jNIj下c222412NNLc 

12,II 1/2,1/21/2,3/2 1/2,5/2 在的那个能级即排斥相互作用时的基态称作TG态，在相互作用很大时对应TG气体极限，同理将STG气体极限所在的能级称为STG态。

-80-4004080-4004080Super TG Gas (-1/2,5/2) (-1/2,3/2) (-1/2,1/2)E/NBound StateTG Gas

2N

2.1.2 Bethe-Ansatz

 

热力学极限下，即N，L

/nNL 态和STG和jk 方程的分立波矢趋于连续分布。jI ,22NN内一系列连续的整数或半整数，并且jI

8 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

续区间内，定义粒子个数为,kkdkBethe-A方程两边对k这就是在热力学极限条件下 为了方便计算，gx dIkdkL方程可以写成连续的方程：，相应k Ldq 且对应的 gx 2 dx ,QQ（dq（k（（，这样Qc

22arctan[]QkqkLIq

22

 

22112

/QnNLkdk （2.12）能量表示成积分形式为：

Q（2.13）

2/QQELkkdk

kQx cQ gxQx1



 

11gxdx为/2ENnem，其中

QQkdkcnc121egxx （

9 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

-3-2-101230.00.51.0 (k)k    

图2.3 准动量密度分布

通过数值计算关联方程（2.14）和（2.15），可以得到热力学极限下系统的动量分布，如上图2.3所示。

0481210-210-1100101102103012 e() Atractive bosons repulsive bosonsg2()/n2||

图2.4 能量和两粒子关联函数分布

能量随相互作用强度的变化可以通过式（2.16）得到，在热力学极限情况下，根据关系22/gnde  ，同时可以得到二阶关联函数††g的分布

1 0 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

情况。图2.4给出了热力学极限下，吸引相互作用和排斥相互作用的能量和关联函数分布情况，可以看出很大时，TG气体和STG气体的能量几乎相同，为一个常数。在较小时，比起TG态，STG态的局部关联要大很多，随相互作用强度增大，这两种情况的关联函数都趋于零。

2.1.3 STG气体的性质

对于多体量子系统，实验上一般只能验证基态的性质，例如TG气体在实验和理论上都已经得到了详细地讨论。因为一般激发态都极其不稳定，会很快的衰退到基态，所以在实验上对激发态的研究是比较困难的。Astrakharchick等在2005年提出，如果相互作用耦合常数为负的无穷大时，一维量子气体存在一个强关联的态，称作Super Tonks-Girardeau气体 [24,25]。2009年，Näger小组在实验上，通过调节相互作用强度，使其从正无穷突变至负无穷，来制备一维强吸引玻色气体的激发态，观察到了相对稳定存在的STG气体[12]，从而证明了STG态是一个强关联的亚稳态。 1Dg

图2.5 振荡频率与外势频率比值22xR关于参数2221DANaa的变化[12]

和TG气体相比，STG气体有很多不同的性质，其中最重要就是这两者呼吸子模型有很明显的差别。实验上，为了束缚一维量子气体，要外加一个很弱的简谐势，这里22/2extxVmxx为外势的频率。当简谐势的频率变化时，一维量子气体会发生集体振荡，称作呼吸子模型。呼吸子模型的振荡频率定义为

11 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

222xxdxd ，其中22/xnxxdxN，是总粒子数，为粒子密度分布。利用局域密度近似计算，局部化学势满足条件 NnxNn

0extnxVx

这里0为没有外势时的化学势，因为总粒子数守恒，归一化条件为。图2.5给出了TG态和STG态呼吸子模型的振荡频率随参数xd2221DANaa的变化趋势，为外势的特征长度。图中点图为实验数据，线图为局域密度近似的理论计算结果[24]，实线为TG态，虚线为STG态。对STG态来说其震荡频率先增大后减小，有一个峰值，在实验中可以通过测量振荡频率，来判断一维量子气体是否处于STG态。 a

2.1.4 热力学Bethe-Ansatz方程

Amerongen等人在2008年将束缚在准一维的简谐势阱中，其空间密度分布与热力学Bethe ansatz方程得到的结果相一致，从而验证热力学Bethe-Ansatz方法是正确的[14]。基于在2.1.1节中提到的Bethe-Ansatz方程，这一节介绍有限温度下的玻色子热力学方程[26]。从前面讨论已经知道，Bethe-Ansatz方程的对数形式为（2.9）式 Rb87

122arctan[]NjijjikkkLIc 1,2,,jN

在粒子总数很大的时候，基态量子数NjI是一系列连续分布在区间,22NN上的点（整数或半整数），并且jk分布在对应的区间,QQ,22NN 上。那么在有限温度下，粒子处于激发态上，即基态上的一些波矢的位置上留下空穴，波矢跃迁到能量较高的位置上。这时量子数不再均匀的分布在区间上，一些量子数会取到比较高的值，从而跳出该区间，在区间中形成一个"空穴"，相应的在区间外存在一个"粒子"，形成配对。定义"空穴"的量子数为J，"粒子"的量子数称为I，那么整个波矢空间为

IHkJ，粒子，空穴 （2.17）

方程（2.9）变为

1 2 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

22arctan[]iikkkHkkLc （2.18）

对于粒子总数很大的热力学系统，可以定义"空穴"和"粒子"的态密度为和,在区间内粒子数为hkk ,kkdkdIkLdk，空穴数为，所以有 hdJkLdk

hdHkdIdJkLdkkLdk （2.19）

热力学极限下，替换为，离散式子可以写成微积分形式 ikq

22arctan[]QQkqHkkLqLdqc （2.20）

方程两边对求导得到 k

22221QhQckkqkqc （2.21）

粒子总数和能量为

 

/QQNLkdk （2.22）

2/QQELkkdk （2.23）

在区间内，粒子数是,kkdkkLdk，空穴数是hkLdk，按统计学定义，所有可能的状态数为dW

!!!hhkkLdkdWkLdkkLdk （2.23）

对此式取对数得到微熵

 

!lnln!!lnlnlnhhhhhhkkLdkdSdWkLdkkLdkkLdkkLdkkLdkkLdkkLdkkLdkkLdkkLdk

系统的熵为

 1 3 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

/{lnlnlnQQQhhhQSLdSdkkkkkkkkkkSTN 吉布斯自由能定义为GE，T表示温度，是化学势。在热力学平衡时，自由能最小，要求吉布斯自由能变分为零

0GkESTNk （2.24）

将对应的式子代入上式，可以导出

 

222lnlnQhhQhkqTcTkkqckq （2.25）

定义exphkkkT ，式（2.25）变为

222ln1expQQTckkqTdckq （2.26）

并且满足条件式（2.21），也就是 k

22221exp1QQckqkqckT （2.27）

（2.26）和（2.27）就是热力学BA方程（TBA方程），也称为Yang-Yang热力学公式[26]。通过迭代计算可以得到和kk，这样就可以计算整个体系的热力学性质。系统压强和自由能为

ln1exp2QQTkPdT （2.28）

EPLN

 

0T0k 0k exp0kT1expexpkTkT

222QQkckkdckq

1 4 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

（2.31）

21QQkP 4

c31/c

22532

3353232243153QPPQQQcPcc Q

Q0QQ

23325321210353QQ

Qk PQ

3/21/221/232342221832381453PPcccP

Pn 39 

1/23/2222334218170164032（2.37）

代入压强表达式导出

 

31/22342318158132400391527nnnccc

2=1

 

232232223233211624803

223231412321131ELnPn

1 5 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程 方程导出的。

101102103123 E/N exact solution numerical solution

开边界条件Bethe-Ansatz方程 这一节主要介绍一维均匀玻色子在开边界条件下，即无限深方势阱中的Bethe-Ansatz

边界条件

 

局部区域112:0NRxxxL里，假设波函数具有形式

220,,,,,,,,,,0jNjNxxxxxxL

其中n将波函数代入本征方程，

1,,,1()exp()nnNNnPQPrrnaPirkx

1r

1 6 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

2.2.1 STG态和BS态

1()()exp()()NljljjlljljljikkcikkcikLikkcikkc

c,

4N 这三个态的能量有两界点，在强相互作用极限，即

吸引相互作用激发态（

 

110TG气体极限，这两者能量趋于同一个常数为 2212 ENNNL，图中实线和虚线在10相等；另一方面，在弱相互作用区域0， 1时，无论是在排斥相互作用还是在吸引相互作用，系统基态能量趋于同一个值，即中，实线和折线在1 22ENL 和周期边界条件相比，开边界条件在STG态和TG态情况动量对称分布的，并且随着相互作用强度的增大，STG态和TG态的准动量接近于同一

1 7 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

组值。开边界条件BS态的相等虚部互为解，

1,2k11i，3,422ki，在相互作用无穷大时，12N。图2.8给出了50的准动量解，其中横轴表示准动量实部，纵轴表示虚部。

4N 50用强度，使其从+ 变至-，从图

气体从TG气体演变至STG气体。然而从TG到STG的动力学演化实际过程是比较复杂的，我们计算了TG态到G态和态的跃迁几率随相互作用强度的变化。从TG态到STG态跃迁几率幅为ST（BS态）STGTGt=XX，相应的从TG态到BS态的跃迁几率幅是BS到吸引相互作用激发态TGt=XX。图2.9中给出了初态排斥相互作用分别为200,1 TG态到STG态的跃这种情况，系统有很大的几率最后处于BS

1 8 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

，玻色子在x处的几率可以用单体密度矩

对应吸引相互作用激发态（STG

（BS态）三种不同的情况，图2.10给出了不同相互作用强度下的单体密度

2122,,NNxNxxxdxdx ，表示玻色子的占据几率越

x 0  x度减小。中间的一组图为排斥相互作用基态时的态的几率比较大，但当时的一个峰变为TG气体极限下的四个峰，表明随排斥相互作用强度变大系统的费米化程度增大，而BS态密度分布随相互作用强度变化不大，在势阱中心位置粒子占据几率一直保持最大。在时，STG气体（左下）和TG气体（中下）的密度用（右上）基态密度分布基本相同。这也从另一个角度说明，从突变至时，  0 0时，处于束缚态的几率较大。

1 9 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

N = 40.1态依次取,1,2.5,5,12.5,25,100 0.1,0.5,1,2,3,4,5。 0.1,1,2.5,5,12.5,25,100

下的二阶关联函数在势阱中心位置

 

2231,,,NNgxNNxxxxdxdx

2gxx /2L

4N

2 0 第二章 玻色子 Bethe-Ansatz 方程及其解

0  2 1 如图所示，弱相互作用时，STG 态的关联函数要比 TG 态较大，在 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

第三章 两分量气体Bethe-Ansatz方程介绍

碰撞相互作用的自旋1/2的费米子或两分量玻色子也可以用Bethe-Ansatz方法求解，在这方面，Gaudin和Yang在1967年就给出了精确解模型的BA方程[29,30,31]，本章简单介绍一下这方面的主要结果。为了求解自旋为1/2的一维费米子的多体系统，必须引入代数Bethe-Ansatz方法[32]。代数Bethe-Ansatz方法的基本思想是，在自旋空间构造一个赝真空态（所有粒子自旋朝下），用产生算符和湮灭算符作用赝真空态，表示生成一个自旋向上的粒子并消灭一个自旋向下的粒子，这样就可以求得哈密顿量的本征函数。

3.1 两分量费米子Bethe-Ansatz方程

自旋为1/2的一维费米气体系统的哈密顿量为[30,31]

22†††,2FFHdxxxgdxxxxmx （3.1）

这个模型也被称作Gaudin-Yang模型，†和为费米子场算符，表示自旋向上或是向下，为费米子间相互作用强度。一次量子化后，哈密顿量（3.1）也可以化简为Lieb-Liniger模型 ,Fg

2212NFiiijFiHgmx （3.2）

N为费米子总数。在局部区间QNQQxxx...21内，假设系统的波函数为

PQNPNQPQPNxikxikxikPQaxxx...exp,,...,,221121 （3.3）

总波函数同样可以通过对局域波函数的粒子置换得到。这里PQa,是一个的矩阵，表示粒子坐标顺序的排列，是矩阵的行；!!NNQP表示粒子准动量顺序排列，是矩阵的列。利用粒子间的碰撞导致的函数边界条件和波函数连续性条件，可以得到各个系数之间的关系 PQa,

1,,1,1,,1,11llPllQaullPQauPQaPllPPllP （3.4）

2 2 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

其中，ickkkkunmnmmn，表示和1,lll1l位置的交换。1,llP表示的置换如下所示：

PNPllPPPNll...1...21...1...21 （3.5）

对应的表示的置换为1,llQ

QNQllQQQNll...1...21...1...21 （3.6）

如果把矩阵的某一列向量标记为PQa,P，则P满足关系

............1,mnYnmllmn （3.7）

其中，，叫做杨算符，在这里表示对粒子坐标排列中的第处和第b处进行置换。根据（3.6）式，可以得到满足两个关系式。由于abmnmnabmnPuIuY1.........,1,YmnYllmnllmnabPYaabmn.........,11nmYnmllnm，因此得到第一个关系式为

1,,abnmbamnYY （3.8）

由于从......nmj到......jmn 有两条路径可以实现

.........................,........................jmnjnmnjmnmjjmnmjnmnjnmj  （3.9）

并且这两条路径是等价的，因而得到第二个关系

 

bcmnabjnbcjmabjmbcjnabmnYYYYYY （3.10）

这就是著名的Yang-Baxter方程。

将波函数（3.3）代入周期性边界条件NNxxLxx,...,,...,022，得到

...exp2...13......213exp1...2......1221223,111223,1LikNPPPNLikNPPPNNNNN  （3.11）

结合关系式（3.8），可以得到本征方程：

2 3 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

NXXXXXXNLikjjjjjNjjjjj...123.........12exp,121,,2,1 （3.12）

这里IuPuPuIuPYPXijijijijijijijijijijij11jk，I为单位算符,那么只要找出满足本征方程（3.12）的准动量的解，就能得到波函数的具体形式。

如果只考虑单分量无自旋的玻色气体，波函数满足粒子交换对称性，（3.12）就变成了第二章第一节中的满足周期边界条件的BA方程，即式（2.7）；如果考虑单分量的费米气体，体系波函数满足粒子交换反对称性，那么（3.12）就变成了1expLikj，表示粒子间不存在相互作用。若考虑自旋1/2的费米子，其中，M个粒子自旋向下，NM个粒子自旋朝上，并且波函数满足粒子交换反对称性，（3.12）可以化简计算得到两分量费米子的Bethe-Ansatz方程[32]

1/2exp,1,2,...,/2MijFijijFkicikLiNkic （3.13）

11/2,1,2,...,/2NMijFijFjjjiijFijFkicicikicic （3.14）

其中是和波矢k相同类型的变量，也叫作谱参数，这里2FFFcmg。在最近的文章里对强吸引相互作用的两分量费米子的情况进行了深入的分析和讨论[33-35]。

3.2 玻色费米混合物

本节介绍玻色费米混合物的Bethe-Ansatz方程，并推导出混合物的热力学Bethe-Ansatz方程。考虑一个由玻色子和费米子组成的均匀一维系统，系统的哈密顿量是

22††††††1222LxbxbxfxfbbbbbbbfbffbbfHdxggmm（3.15）

其中，分别是玻色子和费米子的场算符，和分别是玻色子和费米子的质量，是玻色子和玻色子之间的相互作用强度，是玻色子和费米子之间的相互作用强度。哈密顿量(3.15)中前两项是动能项，后两项是相互作用项。由于泡利不相容原理，费米子之间不会发生碰撞，因此不存在费米子间的相互作用项。这个模bgfbmfmbfbbg

2 4 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

型只有满足以下两个条件才是精确可解的，第一个条件是玻色子和费米子的质量相等，第二个条件是玻色子和玻色子之间的相互作用强度等于玻色子和费米子之间的相互作用强度，即

 

gggmmmbfbbfb, （3.16）

令，哈密顿量写成一次量子化形式， 12m

jijiNiixxcxH2122 （3.17）

其中。 2/mgc

3.2.1 玻色费米混合物BA方程

1970年，Lai和Yang[36]得到由无自旋的玻色子和自旋1/2的费米子组成的混合物的Bethe-Ansatz方程

NiickickLikMjjijii,...,2,1,2/2/exp1 （3.18）

MiicAicAicicickickbMlliliNjMijjjijijiji,...,2,1,2/2/2/2/111 （3.19）

bMjjljlMlicAicA,...,2,1,12/2/1 （3.20）

其中为玻色子的数目，bMM为玻色子的数目和自旋朝下的费米子的数目之和，N为所有粒子的数目，j和lA为谱参数。

当只存在单分量费米子时，例如令所有费米子自旋朝上，则以上三个互相耦合的方程组变为两个方程组，和bMM等价，这样就得到了不计自旋时，一维玻色和费米混合气体的Bethe-Ansatz方程[37]

MickickNjickickLikNiiiMjjj,,1,2/2/1,,1,2/2/exp11 （3.21）

其中波矢是准动量，谱参数Nkk,,1M,,1是和波矢相同类型的量。可以证明

2 5 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

(3.21)式在排斥相互作用时的解为实数，因此我们同样可以将混合物的BA方程推广到热力学BA方程。

类似玻色子的情况，对上面方程两边取对数，得到

 

1122arctan22/22arctan22/MjjjNiikLIkcJk （3.22）

这里有两组量子数和，分别根据jIJM和的奇偶性取整数或半整数。系统处于基态时，量子数取值满足条件 N

1/2,3/2,,1/21/2,3/2,,1/2jINNNJMMM （3.23）

热力学极限下，即，，，且NkMdIkLLdk,BBNL和ML为常数，定义在区间内波矢的个数是dkkk,dJk，在区间d,内谱参数的个数是，并且的取值范围为Ld，的取值范围为,AA。那么方程(3.22)变为连续方程，得到玻色费米混合物的BA方程的积分形式

2222114,22414.24AABBckdckckdkck （3.24）

玻色子数目和总粒子数守恒，因此k和分别满足归一化条件

/BBnNLkdk （3.25）

/AAmMLd （3.26）

体系能量为

 

2/BBELkkdk （3.27）

类比单分量玻色子情况，能量可以写作22/2ENnem ，在这里， 为玻色子与总粒子数的比值，nc/。在图3.1中给出了不同和时的能量分布。可以看到，当, e1，即粒子全为玻色子，能量分布为Lieb-Liniger模型的情况；当0，

2 6 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

即粒子全为费米子时，能量分布为理想费米子的情况。

 

00.20.40.60.81020406080100024e(,)

图3.1 不同和时的能量,e[37]。

3.2.2 玻色费米混合物TBA方程

如(3.23)式所示，一维玻色费米混合气体基态的量子数和是一系列连续分布的格点（整数或半整数），均匀分布在区间jIIJNJ2/1,2/1NBB,和上，对应的波矢和谱参数2/1,2/1MMAA,B,2/1,2/1NN'IkJk/1分别分布在区间和上。在有限温度下，波矢k或谱参数2就会从原来的位置跃迁到能量较高的位置，超出了区间B'或的范围，在原来的格点处留下"空穴"，并在新的位置形成"粒子"。这时系统处于激发态，量子数A 1MA,,2/和不只局限于区间和M，而是有可能也占据区间外的格点。定义整个空间为和，满足方程

112'2arctan22/2'2arctan22/MNiiIkkLkcJk （3.28）

'Ik为一个均匀连续分布的格点空间（整数空间或半整数空间），由占据的格点和

2 7 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

不被占据的格点组成。同样的，谱参数karcctan对应的格点空间为'Jkk,dc ,d 也成为一个均匀连续分布的格点空间。和玻色子情况相似，在热力学极限下，定义在区间内波矢的个数和空穴的个数分别为是dkkk,IkLdk kkLdkkk2tanar2Jk和LdkkhLdkkhLdh2/2/kc224cckkd kdkd dk dkkk,；由于占据的格点和波矢一一对应，不被占据的格点和空穴一一对应，所以在区间khdkkd内波矢和空穴两者个数的和为

dI'

同理，定义在区间d,J,内谱参数的个数和其空穴的个数分别为和Ld。由于占据的格点和谱参数一一对应，不被占据的格点和谱参数的空穴一一对应，所以区间d内谱参数和其空穴两者个数的和为

dJ'

这样(3.28)式中的求和变为积分

2'22'2AABBIkkL（3.29）

这里A和分别B和k的截断点，上两式分别对k和求导数，得到和满足约束条件

（3.30）

粒子数密度和能量密度的表达式为

 

/BBnNL （3.31）

/AAmML（3.32）

2/BBELkk （3.33）

在k和kh给定的情况下，在区间内波矢和空穴的总个数是

2 8 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

Ldkkkh dkkk,h lnlnlnkkdSdWdWk ，其中，波矢的个数是Ldkkhhkkdk    d,hhLd     ，空穴的个数是Ldkkh!lnlnhhkk hhhkddk，所以在区间内所有可能的状态的数目是 BB

!!!

在和给定的情况下，在区间内所有可能的状态的数目是

 

!!!

系统的微熵为

 



积分得到系统的熵

 

lnlnlnlnlnlnhhAhhhASkkkkkkkkL（3.34）

吉布斯自由能FGETSNMM ，其中是系统的温度，TF和B是拉格朗日乘子，其物理意义分别是费米子和玻色子的化学势。为了达到热力学平衡，在满足约束条件(3.30)的情况下，吉布斯自由能取极小值，即对和的变分等于零

0kF， 0F （3.35）

这样可以得到积分方程

 2 9 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

222224ln/ln1/0244ln/ln1/024AFhhABFBhhBTckTkkdckTcTkck （3.36）

定义

 

exp//hkTkk ，exp//hT （3.37）

混合物热力学Bethe-Ansatz（TBA）方程为[38]

222224ln1exp/244ln1exp/24AFABFBBTckkTckTckTdkck （3.38）

根据(3.37)式，约束条件(3.30)式变为

22221141exp/,224141exp/.24AABBckkTckcTkck （3.39）

密度函数k和c可以利用迭代的方法联合求解上面方程而获得数值解。当温度T、相互作用强度、化学势F和B被确定时，就可以得到系统所有的热力学性质，例如，压强、自由能和熵分别为

ln1exp/2BBTP （3.40）

BEPLMNM  （3.41）

1exp/ln1exp//1exp/ln1exp//BBAASkkTkTkLTT  （3.42）

系统的熵还可以通过热力学的一般公式,,LNMEST求得，同样也可以得到系统的比热为MNLvTSTC,,。

3.2.3 玻色费米混合物TBA方程高阶迭代展开

在Yin[38]文章中利用数值迭代的方法和局域密度近似讨论了有限温度下的一维

3 0 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

玻色费米混合气体的性质。这一小节我们试图通过第2.1.5小节中相同的迭代方法，得到强相互作用时玻色费米混合气体的TBA方程的高阶精确表达式。这里在温度时，方程组（3.38）和压强（3.40）可以化简为以下三个式子 0T

2224124AFAckkdck （3.43a）

224124BFBBcqdqcq （3.43b）

12BBPdkk （3.43c）

首先，在相互作用强度趋于无穷大时，为了得到ck关于相互作用强度1c的精确表达式，把式子（3.43b）代入（3.43a）积分，保留至31c项，可以得到

22222222222222222224124414244222arctan2arctan4242arctan4AFBFAABABBFFBBBBckkdckcqcddqckcqcqAAkdqcckcccqqAAcdqccAck

将上式右边按1c作级数展开并积分，这里右边的积分可以用（3.43c）式替换成P，

为了计算方便令

 

2242arctan4AAcccA （3.44）

那么的解析式化简为k

2223523222arctan2222arctan35FFBFFBAPckkcckABBcc  （3.45）

k在截断点处为零，即0BB，

3 1 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

22235232220arctan2222arctan35FFBFFBAPcBcckABBcc

从这个方程可以反解出截断点B，重新定义变量

2arctanFFBAc （3.46）

得到关系

 

3/223212124115PPBcc （3.47）

将的表达式（3.45）代入(3.43c)积分，就得出压强在强相互作用下的解为k

3321/21/223/2233223337214332121132834PPBcPPccc 

在推导过程中，需要注意的是，我们保留至31c项，这个式子两边都有变量，重新整理合并为P

25/2223/2332253732141281640323398145PPccc （3.48）

玻色子的数目和总粒子数目是由压强和化学势决定的，热力学性质满足关系

 

BMPmL FBNPPnL

结合定义式(3.46)可以证明22arctanFBAmcn，并且由三角函数关系得出224sin4AcmcAn，因此定义式(3.44)变为

sinmnn （3.49）

这样就导出

 3 2 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

1/2231/23/2325373118170164032392715FBPPPnccc

比较上式左右两边对应的项，整理得到

 

23231/23243621815815232392715nnnccc 

把此式代入式（3.48）中消去变量，最后导出压强的精确表达式

1/2234233233372141132834PPnnccc   （3.50）

根据自由能的定义(3.41)，系统单位长度自由能为

23345632537323453253637311414132323334511414sinsin3313232sinsin345BFEPmnmLnnnncccmmmmnnncnncnmmmmncnnnn

物理上，用无量纲参数cn标志相互作用强度。在上式中mn表示体系玻色子占总粒子数的比例，由此可以看出，单粒子能量在相互作用强度无穷大附近高阶展开只和粒子数密度和玻色子数目占据比例n有关系，

232232314sin12sin32sinsin131EnL

热力学极限下，N，L，nNL为一个常数。当m 时，sin1，表示体系全部为玻色子，这时上述结果和单分量玻色子结果（2.39）趋于一致：

223231412321131EnL 

图3.2中给出了能量和粒子数比的关系，其中实线是图3.1中的数值解，虚线是通过迭代求得的解析解，可以看到在相互作用强度极大时，解析解和数值解的结

3 3 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

果基本一致，尤其当体系中玻色子数目较少时，解析解和数值解完全重合。

 

0.00.20.40.60.81.03.103.153.203.253.30 E/L      

图3.2 在强相互作用条件下能量和粒子数比的关系

3.3 哈伯德模型Bethe-Ansatz方程

自旋1/2的费米子在一维光晶格中的系统可以用哈伯德模型来描述。因为哈伯德模型可以用来计算强关联的电子系统，所以在凝聚态物理的理论研究领域中有很重要的意义。E. H. Lieb和F. Y. Wu在1968年给出了哈伯德模型的Bethe-Ansatz方程 [39]。

考虑自旋1/2的粒子在一维光晶格中，可以用场算符,j来描述，这里j为光晶格的格点位置，可以取1,2,jN，N是光晶格格点总数，,表示自旋，,j满足对易关系

††,',,',,jjjj0†,',ijij，'†00ii  ，（3.51）

这里0为Fock真空态，一维哈伯德模型的哈密顿量为

 ††,,,1,111NNjjjjjjjjHU （3.52）

其中†,jjn 为j格点处的粒子数。定义系统里自旋朝上的粒子总数为，相应的自旋朝下的粒子数为NcNN sNN，那么总粒子数为cNNN，且02。

3 4 第三章 两分量气体的 Bethe-Ansatz 方程介绍

系统本征态由个准动量cNanJ和在热力学极限下，，那么哈伯德模型2Q和jkjjI j jIQe21 jUkUk（jk12s 2J 2 N Kk， Qn表示无自旋时的空间准动量）和sN2, 1,2,和假设其态密度分别为22 个参数（（（（（3.56 3.57为常数时，k3.583.59表示自旋波性质）决定，在周期边界条件下，可以导出哈伯德模型的Bethe-Ansatz方程为

， 1,jN（3.53）

11sin2arct， sN （3.54）

这里量子数jI、分别取整数和半整数：

， 12csNNJ （3.55）

12cosNjjEk

111sNNNjjjja

0K。

N,Bthe-AcN和BB,satzsN上连续分布，方程的积分形式为cNNsNNjk  

228



 

B

  3 5 一维相互作用量子气体 Bethe-Ansatz 方程

QcQdkkNN （3.60）

BsBdN （3.61）

对应的能量的积分形式为

 

2QQcEdkkkN （3.62）

可以看出哈伯德模型的BA方程也可以进一步推广至热力学Bethe-Ansatz方程，但是因为多粒子哈伯德模型BA方程不能精确求解，需要进一步对其进行讨论。

3 6 第四章 结论和展望

第四章 结论与展望

 

综合前几章的论述，本文主要计算了一维相互作用量子气体用Bethe-Ansatz方法得到的精确解模型。简单介绍了单分量玻色子和两分量量子气体在不同外势和不同边界条件下的Bethe-Ansatz方程的推导过程。并且详细讨论分析了一维单分量玻色子在周期边界条件和开边界条件下的Bethe-Ansatz方程的基态和激发态解，比较计算了不同相互作用强度下基态和激发态的基本性质。从热力学统计角度出发，可以将Bethe-Ansatz方程推广到热力学Bethe-Ansatz方程，即TBA方程，由此计算一维多体系统的热力学性质。然而一维多体量子体系的很多性质，例如其动力学演化过程等还需要进一步深入研究。

在1931年Bethe用Ansatz方法得到一维海森堡模型的波函数之后不久的时间里，一维相互作用自旋1/2粒子的模型以及其他混合物的精确解模型也相继建立起来。因此理论物理研究领域，一维多体量子系统受到物理学家和数学家的关注已经将近一个世纪时间。由于真实三维世界里不可能存在严格的一维量子气体，这些一维模型一度被称作理论物理学家的"玩具"，只存在于理论计算的范围内。然而，二十世纪末和二十一世纪初，实验技术飞速发展，通过化学合成或是各种物理技术手段制备了准一维系统，因此怎样利用一维模型的理论结果来解释分析实验上准一维系统的性质就成为很多学者感兴趣的研究热点，这也是为什么还有诸多的物理学家还在不断地探索一维模型的原因。

3 7 附录A

附录A：一维气体量子场论哈密顿量和量子力学哈密顿量

用量子场论可以描述多体系统的量子力学问题，在坐标空间里，每个粒子看做一个"场"。一般情况下，粒子是可以产生或是湮灭的，粒子总数不守恒。Bethe-Ansatz方法要求把哈密顿量写成量子力学形式，但是系统的物理性质用量子场论来描述会更好，这里我们将要证明对于一维多体系统量子场论的哈密顿量和量子力学哈密顿量是等价的。

一维玻色气体的场算符为,xt，在t时刻，其对易关系为

†,xyx （A.1）

††,,xyxy （A.2）

量子场论中的哈密顿量为

 

†††xxHdxxxcxxxx （A.3）

定义Fock态0，满足关系00x，xR0 00，也叫做赝真空态，对应的左手赝真空态为†00，同时满足†0，=1。

上述粒子总数为的哈密顿量可以在下面的基矢上展开， N

 ††11,,0!NNNNdxxxxxN （A.4）

因为是玻色子系统，这里1,,N xx是满足对所有的jxN 交换对称的函数。这个波函数表示在赝真空态上利用产生算符在1,,Nxx位置上生成玻色子。这里我们需要证明，如果波函数N是H本征态，即NN，那么N就是的本征态，即NNNNNE，且

2212NNNjjkjcxxx （A.5）

那么首先利用分部积分和对易关系计算哈密顿量的第一项得

 

†xxNdxxx !NNNxdxdxxxxN

3 8 附录A

†11,(!NNNxxx †††)0Nxxxx211,(!NNNx †††)0Nxxxx 211,(!NNNx ††††1),NkNkxxxxx

这里用到关系式

 

†††††110,NNkkxxxxxxx

例如三个粒子的时候有关系

 

3†††1†††††††††23123123†††††††††23123123†††††††††23123123†††2,0,0,0,0000kNkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 30因此

†xxdxxx 

211,(!NNNx †††1)0NkNkxxxxx

2††1211,0!NNNNNkkdxxxxxxN

同理第二项也可以化简为

 

 ††††1††††1††††1†††11,,0!,,0!,,0!,,0!NNNNNNNNNNNNNNNNdxcxxxxdxxxxxNcdxdxxxxxxxxxNcdxdxxxxxxxxxNcdxdxxxxxxxN－

3 9 附录A

†††††11††††11,,,0!,,,0!NNNNkNkNNNNkNkcdxxxdxxxxxxxxNcdxxxdxxxxxxN－ ††††11†††11††††††111†††††1111,,0!,,0!,,0!,,0!NNNNkNkNNNNkNkNNNNkkkkkNkNNNNkkkNkcdxxxdxxxxxxxxNcdxxxdxxxxxxNcdxxxxxxxxxxNcdxxxxxxxxN－－

 †††11††1,,0!,,0!NNNNkkNkNNNNcdxxxxxxxNcdxxxNxxN－  ††112,,!NNjkNNNjkdxcxxxxxxN

21121,,2,,,,NNNNNjkNNNNNjjkj xxcxxxxExx 这样可以得出

4 0 附录B

附录B：排斥相互作用Bethe-Ansatz方程的解为实数的证明

这一节将要证明，当时，Bethe-Ansatz方程组（2.7）的解为实数。这里要用到以下数学性质： 0c

Im()0k时，exp1jikL，1kickic （B.1）

Im()0k时，exp1jikL，1kickic （B.2）

假设满足方程组

 

1()exp()NjijijikkicikLkkic

的解jk为复数解，那么可以定义jk中虚部最大的值为，因此 maxk

maxImImjkk，1,2,,jN，maxjkk （B.3）

把代入Bethe-Ansatz方程得 maxk

maxmax1max()exp()NiiikkiikLkki 

根据（B.1），则上式满足

maxmax1max()exp1()NiiikkicikLkkic （B.4）

又由于（B.2），因此，所以对于任意maxIm0kjk，

maxImIm0jkk （B.5）

相反的，如果定义定义jk中虚部最小的值为，满足 mink

minImImjkk，1,2,,jN，minjkk

同理可以导出

 

maxmax1max()exp1()NiiikkicikLkkic （B.6）

所以

 4 1 附录B

minImIm0jkk （B.7）

综合上述结论，对所有的jk解唯一满足的结果就是Im0jk，也就是说对于排斥相互作用，BA方程组的解只能为实数。

4 2 参考文献

参考文献

  

[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, E. A. Cornell, Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science, 1995, 269, 198.

[2] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J.van Druten, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle, Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms, Phys. Rev. Lett, 1995, 75, 3969.

[3] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tolett, and R. G. Hulet, Evidence of Bose-Einstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive Interactions, Phys. Rev. Lett, 1995, 75, 1687.

[4] L. Tonks, The Complete Equation of State of One, Two and Three-Dimensional Gases of Hard Elastic Spheres, Phys. Rev, 1936, 50, 955；M. Girardeau, Relationship between Systems of impenetrable Bosons and Fermions in One Dimension, J. Math. Phys, 1960, 1, 516.

[5] B. Paredes, A. Widera, V. Murg, O. Mandel, S. Fölling, I. Cirac, G. V. Shlyapnikov, T. W. Hänsch, and I. Bloch, Tonks–Girardeau Gas of Ultracold Atoms in an Optical Lattice, Nature(London), 2004, 429, 277.

[6] T. Kinoshita, T. Wenger, and D. S. Weiss, Observation of a One-Dimensional Tonks-Girardeau Gas, Science, 2004, 305, 1125.

[7] M. Erhard, H. Schmaljohann, J. Kronjäger, K. Bongs, and K. Sengstock, Measurement of a Mixed-Spin-Channel Feshbach Resonance in 87Rb, Phys. Rev. A, 2004, 69, 032705.

[8] A. Widera, O. Mandel, M. Greiner, S. Kreim, T. W. Hänsch, and I. Bloch, Entanglement Interferometry for Precision Measurement of Atomic Scattering Properties, Phys. Rev. Lett, 2004, 92, 160406.

[9] A. G. Truscott, K. E. Strecker, W. I. McAlexander, G. B. Partridge, R. G. Hulet, Observation of Fermi Pressure in a Gas of Trapped Atoms, Science, 2001, 291, 2570.

[10] H. Moritz, T. Stöferle, M. Köhl, and T. Esslinger, Exciting Collective Oscillations in a Trapped 1D Gas, Phys. Rev. Lett. 2003, 91, 250402.

[11] A. Görlitz, J. M.Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman, T. L. Gustavson, J. R.

4 3 参考文献

Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, S. Inouye, T. Rosenband, and W. Ketterle, Realization of Bose-Einstein Condensates in Lower Dimensions, Phys. Rev. Lett. 2001, 87, 130402.

[12] E. Haller, M. Gustavasson, M. J. Mark, J. G. Danzl, R. Hart, G. Pupillo, and H. C. Nägerl, Realization of an Excited, Strongly Correlated Quantum Gas Phase, Science, 2009, 325, 1224.

[13] W. Hänsel, P. Hommelhoff, T. W. Hänsch, and Relchel, Bose-Einstein Condensation on a Microelectronic Chip, Nature, 2001, 413, 498.

[14] A. H. Amerongen, J. J. P. Vanes, P. Wicke, K. V. Kheruntsyan, and N. J. van Druten, Yang-Yang Thermodynamics on an Atom Chip, Phys. Rev. Lett, 2008, 100, 090402.

[15] M. Olshanii, Atomic Scattering in the Presence of an External Confinement and a Gas of Impenetrable Bosons, Phys. Rev. Lett, 1998, 81, 938; V. Dunjko, V. Lorent and M. Olshanii, Bosons in Cigar-Shaped Traps: Thomas-Fermi Regime, Tonks-Girardeau Regime, and In Between, Phys. Rev. Lett, 2001, 86, 5413.

[16] P. Courteille, R. S. Freeland, D. J. Heinzen, F. A. Abeelen, and B. J. Verhaar, Observation of a Feshbach Resonancein Cold Atom Scattering, Phys. Rev. Lett, 1998, 81, 69 .

[17] S. Inouye, M R Andrews, J. Stenger, H-J Miesner, D M Stamper-Kurn and W Ketterle, Observation of a Feshbach Resonance in a Bose–Einstein Condensate , Nature, 1998, 392, 6672.

[18] C. Ospelkaus and S. Ospelkaus, Heteronuclear Quantum Gas Mixtures, J. Phys. B: At Mol Opt, 2008, 41, 203001.

[19] H. A. Bethe, Eigenvalues and Eigenfunctions for the Linear Atomic Chain, Z. Phys, 1931, 71, 205.

[20] E. H. Lieb and W. Liniger, Exact Analysis of an Interacting Bose Gas. I. The General Solution and the Ground State, Phys. Rev, 1963, 130, 1605; E. H. Lieb, Exact Analysis of an Interacting Bose Gas.II. The Excitation Spectrum, Phys. Rev, 1963, 139, 1616.

[21] J. G. Muga, and R. F. Snider, Solvable Three-Boson Model with Attractive Function Interactions, Phys. Rev. A, 1998, 57, 3317. 

[22] K. Sakman, A. I. Streltsov, O. E. Alon, and L. S. Cederbaum, Exact Ground State of Finite Bose-Einstein Condensates on a Ring, Phys. Rev. A, 2005, 72, 033613.

44 参考文献

[23] S. Chen, L. Guan, X. Yin, Y. Hao, and X. Guan, Transition from a Tonks-Girardeau Gas to a Super-Tonks-Girardeau Gas as an Exact Many-Body Dynamics Problem, Phys. Rev. A, 2010, 81, 030609(R).

[24] G. E. Astrakharchik and S. Giorgini, Beyond the Tonks-Girardeau Gas: Strongly Correlated Regime in Quasi-One-Dimensional Bose Gases, Phys. Rev. L, 2005, 95, 190407.

[25] M. T. Batchelor, M. Mortz, X. Guan, and N. Oelkers, Evidence for the Super Tonks-Girardeau Gas, J. State. Mech, 2005, L10001.

[26] C. N. Yang and C. P. Yang, Thermodynamics of a One-Dimensional System of Bosons with Repulsive Delta-Function Interaction, J. Math. Phys, 1969, 10, 1115.

[27] X. W. Guan，M. T. Batchelor and M. Takahashi, Ferromagnetic Behavior in the Strongly Interacting Two-Component Bose Gas, Phys. Rev. A, 2007, 76, 043617.

[28] Y. Hao, Y. Zhang, J. Q. Liang, and S. Chen, Ground-State Properties of One-Dimensional Ultracold Bose Gases in a Hard-Wall Trap, Phy. Rev. A, 2007, 73, 063617.

[29] M. Flicker, E. H. Lieb, Delta-Function Fermi Gas with Two-Spin Deviates, Phys. Rev, 1967, 161, 179.

[30] M. Gaudin, Investigation of the Fermi Surface of V3Si by Means of Positron Annihilation, Phys. Lett, 1967, 24, 55.

[31] C. N. Yang, Some Exact Results for the Many-Body Problem in One Dimension with Repulsive Delta-Function Interaction, Phys. Rev. Lett, 1967, 19, 1312.

[32] L. D. Faddeev, Algebraic Aspects of the Bethe Ansatz, arXiv: hep-th/ (1994), 9404013v1.

[33] E. Zhao，X. W. Guan，W. V. Liu, M. T. Batchelor and M. Oshikawa, Analytic Thernodynamics and Thermometry of Gaudin-Yang Fermi Gases, Phys. Rev. Lett, 2009, 103, 140404; E. Zhao and W. V. Liu, Theory of Quasi-One-Dimensional Imbalanced Fermi Gases, Phys, Rev, A, 2008, 78, 063605.

[34] X. W. Guan, M. T. Batchelor, C. Lee and M. Bortz, Phase Transitions and Pairing Signature in Strongly Attractive Fermi Atomic Gases, Phys. Rev. B, 2007, 76, 085120.

[35] S. Chen, X. Guan, X. Yin, L. Guan, and M. T. Batchelor, Realization of Effective Super Tonks-Girardeau Gases via Strongly Attractive One-Dimensional Fermi Gases,

4 5 参考文献 46

Phys, Rev, A, 2010, 81, 031608(R).

[36] C. K. Lai and C. N. Yang Ground-State Energy of a Mixture of Fermions and Bosons in One Dimension with a Repulsive δ-Function Interaction, Phys. Rev. A, 1971, 3, 393.

[37] A. Imambekov and E. Demler, Exactly Solvable Case of a One-Dimensional Bose–Fermi Mixture, Phys. Rev. A, 2006, 73, 021602(R); A. Imambekov and E. Demler, Applications of Exact Solution for Strongly Interacting One-Dimensional Bose–Fermi Mixture: Low-temperature Correlation Functions, Density Profiles, and Collective Modes, Ann. Phys, 2006, 321, 2390.

[38] X. Yin, S. Chen, and Y. Zhang, Yang-Yang Thermodynamics of a Bose-Fermi Mixture, Phys. Rev. A, 79, 053604.

[39] E. H. Lieb and F. Y. Wu, Absence of Mott Transition in an Exact Solution of Short Range One Band Model in One Dimension, Phys. Rev. Lett, 1968, 20, 1445. 攻读学位期间取得的研究成果

攻读学位期间取得的研究成果

 

[1]李花，一维玻色费米混合物热力学Bethe-Ansatz方程高阶迭代展开，山西大学学报（自然科学版）,第34卷.

[2] Hua Li, Taifeng Liu, Yaojiang Hao, Yunbo Zhang, Tonks-Girardeau gas, super-Tonks- Girardeau gas, and bound states of one-dimensional bosons in a hard-wall trap, arXiv: 1105. 0293, submitted to EPL.

4 7 致谢

致 谢

 

求学路是一条没有终点的攀登之路，科学是没有峰顶的喜马拉雅山，在就读硕士研究生的学习过程中，我只是初窥到科研工作的门径，然而这短短三年学习生活，理论物理研究所严肃又活泼的科研氛围，导师们严谨认真的工作态度，深深地影响着我。在这里我收获的不仅是知识，更重要的是一种不断进取、勇于创新的精神，还有就是老师、同学和朋友们的教诲和友谊。

在此论文完成之际，我要特别感谢我的导师张云波教授，他是一位治学严谨的老师，在工作上，从来都是一丝不苟，兢兢业业。在学习和生活中，他给了我很多指导和帮助。忘不了在过年过节时，他还在办公室忙碌的身影，晚自习结束，经常能看见他是最后一个关灯离开的人，他的人格魅力和学术造诣留给我深刻的印象。同时我也要感谢聂一行教授、李卫东教授、李录教授、李志坚教授、张素英教授、阎维贤教授、姜晓庶教授等理论所导师和院校领导，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，如何做人做事。

感谢尹相国、郝亚江、郭利平、王红梅等师兄师姐给我的建议和帮助，感谢张杰、杜磊、梁成功、梁晋菊、毛丽君、刘太丰、李甜甜、张小欧、王娟、白守燕、万鹏宇等学友的交流学习。感谢家人和朋友们对我的关心和支持。

感谢山西大学、物理电子工程学以及理论物理研究所给我的学习机会和就学环境，在这里我度过了一段最美好的时光！

 48 个人简况及联系方式

个人简况及联系方式

 

个人简况：

 

姓名：李花

性别：女

籍贯：山西省晋城市泽州县

 

个人简历：2008年9月—2011年6月 山西大学理论物理研究所 硕士

联系方式：

 

手机：15034061716

电子信箱：lihua1985@126.com

4 9 承诺书

承 诺 书

 

本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。

作者签名：

 

20 年 月 日

50 学位论文使用授权声明

学位论文使用授权声明

 

本人完全了解山西大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意山西大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。

保密的学位论文在解密后遵守此协议。

作者签名：

导师签名：

 

20 年 月 日

5 1