Thursday, March 14, 2013

位置幾何 物體的相對位置和順序, 而與幾何量的大無小關

的相對位, 而與




空間的平




: 本文通過事例, 學在初學中的應用入初,


的求。再將定, 也就


安加, 到定空間的求供了




: 、分

(

)

1735
,

(Goldbach)
(Euler, Leonhard)

: “我的故,

(Konigsberg),
有條(Pregl)

城內, 然後弗島

(Kneiphof)
,

弗島城區有所

大學。晚時, 大學

步於這七說著

張示意圖。()


, 個大學和同:

能連著一這七,

走過一
, 能重也不准

這雖然是玩笑,

所有的人。著稱

大學的教們也

人們,

我想
個問會有

將信真看。他

這絕,

的數學問。在以後的思,

的是德
國大學家布尼(Leibniz, Got-

tfriedWilhelm)
1679

。他在: “

何學, 是研() 大小及

方法的布尼出了

54



空間的平55

何學
個分, 何學。個分

所知

於物
的相對位, 而與

思想,

聯結節點,

大小
與這個問, 以可以

橋是必須經過路線, 每條只允

走過一
, 。如圖

,

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A

B

C

D

6

5

7

2

4

1

3

(
)

拉把

的形式, 通過四,

多人

, 樣的就不存在。,

MM 方法實了想是正

確的
。並1736

定了

個分拓撲學」和「代圖

又作出了重要,

知的面體

(

)

意的面體, 發現

面體與面, 存在以下

奇妙:

V E+ F = 2

便學中。其中

面體數的:

V
E + F = 2 示性


, 可以,

兩個( 兩個是平

, 兩個連線),

樣的限面

在來一種, 是由

成的這種

如圖
() 條直成的平

圖。

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1

2 3

4

5

(
)

1: , 或沒有


限面

由此
, 中不限面

果直的直,

麼該
連通。不連通

相平的直成的直。其

0, 數比1

: 果是連通的直, 那麼

V
E + F = 1

56

學傳223期民879

其中
V EF 分別連通的直

,

: 們不

的所有點都果每條無

必然會個交。因,

圓上
是無的條數, E

E圓分E,

F限面一一於是有

E
= F所有的無, 便

學中連通,

分別V E EF F+1,

,

V
(E E) + (F F+ 1) = 2,

V E + F = 1()

: (1) 連通的直, V

E
+ F = 1, 很明事實。

(2)
於直。定

僅僅加以

如圖
所示, 是由7條直成的

的直。其中V = 16, E = 41, F =

26,
V E + F = 1641+ 26 = 1

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1

2

3

4 5

6

7

(
)

了定, 為我

供了

1: n 條直, 其中任何兩

, 任何一點, n

1

2

(n2 + n + 2) 分。

: n 條直中任何兩,

n 條直任何都與

n
1 條直交。故每條直n

n1 , 其中點都條直

公共
由此, V = 1

2

n(n1), E = n2,

,

F
= E + 1 V

=
n2 + 1

1

2

n
(n 1)

=

1

2

n
2 +

1

2

n
+ 1

=

1

2

(
n2 + n + 2)()

2: n, 其中

兩個, 並且

一點
證這n n2 +1


(
)

: 拓撲學中對於直線與線被

成是相
, 們中的每

道路。如圖AB

CD
, 們可以把拋是直


空間的平57

。因

V
=

1

2

n
(2n 2) = n2 n,

E
= n(2n 1) = 2n2 n

,

F
= E V + 1

= 2
n2 n (n2 n) + 1

=
n2 + 1. ()

3: n(n 3) 條直

? 就下列加以解答:

i)
n 條直p(p 2) 相平

, 沒有n 條直

沒有條相;

ii)
n 條直K(K 3) 條相

, 除這個交, 沒有

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