物
體的相對位置和順序, 而與幾何量的大
小無關
從
尤拉公式到空間的平面分割
宋
秉信
摘
要: 本文通過具體事例, 介紹拓樸學在初等數學中的應用。把歐拉定理引入初等幾何, 得到
定
理一。它為“直線分割平面問題”的求解提供一個模式。再將定理一縱向延伸, 也就是
將
布安加雷定理橫向延伸, 得到定理二。它為“平面分割空間問題”的求解提供了一個
模
式。
關
鍵詞: 頂點、面數、稜數、分割。
(
一)
1735
年夏天的一個晚上, 哥德巴赫
(Goldbach)
對歐拉(Euler, Leonhard)
說
: “在我的故鄉, 東普魯士的哥尼斯堡
(Konigsberg),
有條普雷格爾河(Pregl)。
它
分成兩叉流進城內, 然後在克內福弗島
(Kneiphof)
匯集。河面上有七座大橋, 把
克
內福弗島與兩岸城區相聯。島上有所古老
的
哥尼斯堡大學。每天傍晚時分, 大學生們都
喜
歡散步於這七座大橋之間”。說著哥德巴赫
在
紙上畫了張示意圖。(圖一)
圖
一
“
有一天, 有一個大學生和同伴們打賭:
看
誰能連著一次走遍這七座橋, 每座橋只准
走過一
次, 既不能重複也不准遺漏”。
“
這雖然是一個普通的玩笑, 但是它卻難
倒
了哥尼斯堡所有的人。連以博學著稱的哥
尼
斯堡大學的教授們也感到一籌莫展”。
“
故鄉的人們寫信找我, 要我幫助解決。
我想
你也許對這個問題會有興趣”。
歐
拉將信從頭到尾認真看了一遍。他認
為
這絕不是一個普通遊戲, 而是一個頗有價
值
的數學問題。在以後的思考中, 他首先想到
的是德
國大數學家萊布尼茲(Leibniz, Got-
tfriedWilhelm)
在1679年寫的「幾何特徵」
一
書。他在研究紮記中寫道: “古希臘研究的
幾
何學, 是研究幾何量(長度和角度) 大小及
其
測量方法的學科。萊布尼茲首先提出了幾
54
從
尤拉公式到空間的平面分割55
何學
的另一個分支, 即位置幾何學。這個分支
至
今還很少為人所知。它研究的對象只依賴
於物
體的相對位置和順序, 而與幾何量的大
小
無關”。根據這個思想, 他認為兩岸的陸地
和
河中的小島只是聯結橋樑的節點, 它們的
大小
與這個問題無關, 所以可以縮成四個點。
七
座橋是必須經過的路線, 且每條路只允許
走過一
次, 可抽象成七條線來表示。如圖二。
這
樣,
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A
B
C
D
6
5
7
2
4
1
3
(
圖二)
歐
拉把一個貌似複雜的實際問題抽象並簡化
成
圖二的形式, 即通過四個點, 七條線的“一
筆
畫”問題。而且歐拉從眾多人的失敗中想
到
, 這樣的走法可能根本就不存在。隨後, 他
用
MM 方法出色地證實了自己的猜想是正
確的
。並於1736年完成了題為「哥尼斯堡七
橋
問題」的著名論文。這篇論文奠定了數學的
一
個分支—「拓撲學」和「現代圖論」的基礎。
在
此基礎上歐拉又作出了一個重要貢獻, 這
就
是人所共知的“多面體公式”。
(
二)
歐
拉在研究任意的凸多面體時, 發現凸
多
面體頂點數、稜數與面數之間, 存在著以下
的
奇妙關係:
頂
點數V − 稜數E+ 面數F = 2。
這
便是拓樸學中著名的歐拉定理。其中
凸
多面體中的頂點數、稜數、面數的關係式:
V
− E + F = 2 被後人稱之為“歐拉示性
數
”。
我
們知道, 這裡所說的邊可以是彎曲的,
而
且都有兩個端點( 這兩個端點就是平面圖
的
頂點, 所謂邊就是兩個頂點之間的連線),
這
樣的圖有而且只有一個無限面。
我
們現在來研究另一種平面圖, 它是由
一
些直線構成的。我們把這種圖叫做直線網。
如圖
(三) 就是一個由五條直線構成的平面
圖。
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1
2 3
4
5
(
圖三)
定
義1: 在直線網中, 只有一個端點或沒有端
點
的邊叫做無限邊。邊界含無限邊的面叫做
無
限面。
由此
可見, 直線網中不只一個無限面。
如
果直線網中有兩條邊所在的直線相交, 那
麼該
直線網一定是連通的。不連通的只是那
些
由互相平行的直線構成的直線網。其頂點
數
一定是0, 面數比稜數多1。
定
理一: 如果是連通的直線網, 那麼有
V
− E + F = 1
56
數學傳播22卷3期民87年9月
其中
V 、E、F 分別為連通的直線網的頂點
數
, 邊數和面數。
證
明: 我們不妨用一個足夠大的圓把直
線
網中的所有頂點都圈在裡面。結果每條無
限
邊都必然會與圓有且只有一個交點。因此,
圓上
點的個數就是無限邊的條數, 用E′ 表
示
。而E′ 個點把圓分成E′ 段弧, 這些弧與
直
線網中的F′ 個無限面一一對應。於是有
E
′ = F′。抹掉直線網中所有的無限邊, 便得
到
一個拓樸學中的連通平面圖,其頂點數、邊
數
、面數分別為V 、E −E′、F −F′ +1, 由
歐
拉定理, 得
V
− (E − E′) + (F − F′ + 1) = 2,
即
V − E + F = 1。(證畢)
註
: (1) 對於不連通的直線網, 也有V −
E
+ F = 1, 這是一個很明顯的事實。
(2)
歐拉定理對於直線網不成立。定理
一
僅僅是將歐拉定理加以延伸。
如圖
四所示, 它是由7條直線構成的連
通
的直線網。其中V = 16, E = 41, F =
26,
則有V −E + F = 16− 41+ 26 = 1。
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6
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(
圖四)
有
了定理一, 為我們求解“直線分割平
面
”問題提供了一個數學模型。
例
1: 平面上有n 條直線, 其中任何兩
條
不平行, 任何三條不過同一點, 證明這n 條
直
線把平面分成1
2
(n2 + n + 2) 個部分。
證
明: 因n 條直線中任何兩條不平行,
所
以知道在n 條直線中的任何一條都與另外
n
−1 條直線相交。故每條直線上都有n 條邊
和
n−1 個頂點, 其中每個頂點都是兩條直線
公共
的。由此可知, V = 1
2
n(n−1), E = n2,
由
定理一, 得
F
= E + 1 − V
=
n2 + 1 −
1
2
n
(n − 1)
=
1
2
n
2 +
1
2
n
+ 1
=
1
2
(
n2 + n + 2)。(證畢)
例
2: 平面上有n條拋物線, 其中每兩條
只
相交於兩個點, 並且每三條都不相交於同
一點
。求證這n 條拋物線把平面分成n2 +1
個
平面。
(
圖五)
證
明: 在拓撲學中對於直線與曲線被看
成是相
同的, 因為它們中的每一條都代表兩
點
之間的道路。如圖五中直線AB 與曲線
CD
。這樣一來, 我們可以把拋物線看作是直
從
尤拉公式到空間的平面分割57
線
。因為
V
=
1
2
n
(2n − 2) = n2 − n,
E
= n(2n − 1) = 2n2 − n。
根
據定理一, 得
F
= E − V + 1
= 2
n2 − n − (n2 − n) + 1
=
n2 + 1. (證畢)
例
3: n(n ≥ 3) 條直線將平面分割成多
少
塊? 試就下列情況加以解答:
i)
n 條直線中恰有p(p ≥ 2) 條互相平
行
, 此外沒有再相互平行的。而且n 條直線
中
沒有三條相交於同一個點;
ii)
n 條直線中恰有K(K ≥ 3) 條相交
於同一個點, 除這個交點外, 再沒有多於
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