光滑流形(Smooth Manifold)

·by · in 微分幾何. ·

導言

今天要跟各位談的是一種比較特殊的拓樸空間，這個拓樸空間呢叫做流形(Manifold)。這個拓樸空間特別的地方就在於它每個點的附近看起來都像歐氏空間，換句話說，他是由一些歐氏空間所黏貼而成。舉例來說，我們所生長的地球就是一個具有這樣性質的空間。想一想，我們生活在地球上，我們自己覺得是生活在平地上並沒有感覺到我們所生活的空間是彎曲的。由於這個空間局部上看起來很像是歐氏空間，所以我們可以賦予這空間座標系的概念。例如，我們熟知的地球，有經度跟緯度這樣的概念，而經緯的概念就是座標系的概念。在介紹一般的流形概念之前，讓我們先來看一下，在歐氏空間中如何定義曲線與曲面的概念。

歐氏空間的參數化曲線

令I=[a,b]區間，連續函數c:I\to \mathbb{R}^{n}稱為\mathbb{R}^{n}中的一條參數化曲線。如果c(t)=(x_{1}(t),\cdots,x_{n}(t)), t\in I且x_{1},\cdots,x_{n}:I\to\mathbb{R}均是光滑函數，則我們稱c是光滑曲線。如果c是光滑曲線並且c'(t)\neq 0, t\in I,則我們稱c是一條正則的光滑曲線。以下我們討論的曲線均為光滑的正則曲線。
假設t_{0}\in I且c(t_{0})=p,則我們稱c'(t_{0})是曲線c在p點的切向量，我們記v_{p}=c'(t_{0})。
範例:令c(t)=p+tv, t\in\mathbb{R}其中p,v\in\mathbb{R}^{n}且v\neq 0。則c是通過p點且在p點的切向量為v的正則曲線。
令\{e_{1},\cdots,e_{n}\}表示\mathbb{R}^{n}的標準基底。令f:U\subset\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}表示一個可微分函數，其中U是一個開集合。任取一條U中的曲線c:(-\epsilon,\epsilon)\to U,其中\epsilon>0。令c(0)=p且c'(0)=v.我們定義函數f在P點延著v方向的方向導數為
\displaystyle v_{p}[f]=\left.\frac{d}{dt}(f\circ c)(t)\right|_{t=0}.
如果v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i},則
\displaystyle v_{p}[f]=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p).
事實上我們還可以把上述式子改寫為
\displaystyle v_{p}[f]=\left(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)|_{p}f.
換句話說，我們可以把v_{p}當作是微分算子來使用:
\displaystyle v_{p}=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}(p).
如果f,g均是定義在p點附近的光滑函數，則我們可以驗證:
(1) v_{p}(af+bg)=av_{p}(f)+bv_{p}(g), a,b\mathbb{R}
(2) v_{p}(fg)=v_{p}(f)g(p)+f(p)v_{p}(g).
於是切向量就被賦予了新的意義。當然這意義是人工的，我們只是把切向量看成是對函數做微分。這樣的目的是為了在抽象的流形中引入切向量的概念，隨後我們會見到。

歐氏空間中的k維曲面

假設D是\mathbb{R}^{k}中的開集合。令X:D\to\mathbb{R}^{n}表示一光滑映射且
(1)X:D\to X(D)是一個拓樸同胚
(2)任意的u\in D, dX_{u}是一個rank為k的矩陣。
則我們稱映射X是\mathbb{R}^{n}中的一個k維參數化曲面(我們或稱X(D)是一個k維參數化曲面)。我們使用(u_{1},\cdots,u_{k})做為\mathbb{R}^{k}的座標函數，(x_{1},\cdots,x_{n})作為\mathbb{R}^{n}的座標函數。為了簡化符號，讓我們記
\displaystyle\frac{\partial X}{\partial u_{j}}=\partial_{u_{j}}X.
矩陣dX_{u}行向量均形如\beta=\{\partial_{u_{1}}X(u),\cdots,\partial_{u_{k}} X(u)\}。由於dX_{u}是rank為k的矩陣，所以\beta是一個線性獨立集合，我們稱\beta所構成的向量空間是參數化曲面X在p=X(u)的切空間，將其記為T_{p}M。
範例:令D=(0,2\pi)\times (-\pi,\pi).定義X:D\to\mathbb{R}^{3}如下:
X(\phi,\theta)=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta).
則X是一個二維的參數化曲面(事實上它是二維球面的一部分)。而曲面的切向量為
X_{\phi}=(-\sin\phi\sin\theta,\cos\phi\sin\theta,0),
X_{\theta}=(\cos\phi\cos\theta,\sin\phi\cos\theta,-\sin\theta).
當你把不同的k維參數化曲面給黏貼起來，那麼你就得到了一般的k維曲面。
定義:令M表示\mathbb{R}^{n}中的子集合。我們稱U是M的一個開集合若且唯若存在\mathbb{R}^{n}中的開集合U'使得U=U'\cap M。因此M成了一個拓樸空間。如果存在M的一個開覆蓋\{U_{\alpha}\}使得每個U_{\alpha}都是參數化曲面(意思就是:任給一個\alpha, 存在滿足參數化曲面的映射X_{\alpha}:D_{\alpha}\subset\mathbb{R}^{k}\to U_{\alpha})則我們稱M是\mathbb{R}^{n}中的k維曲面。
範例:S^{2}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}是\mathbb{R}^{3}中的一個二維曲面。

光滑流形的一般定義

嚴謹的流形定義如下:假設X是一個拓樸空間，如果此拓樸空間滿足下列條件，則我們稱此拓樸空間為一個拓樸流形:任給一個X上的點x，存在x的開鄰域U與歐氏空間\mathbb{R}^{n}中的開集合V使得U與V是拓樸同胚。換句話說，存在一個一對一且映成的連續函數\varphi:U\subset X\to V\subset\mathbb{R}^{n}, 使得\varphi^{-1}:V\to U也是連續函數。任取U上的點p,則\varphi(p)=(x_{1}(p),\cdots,x_{n}(p))。我們稱函數組\{x_{1},\cdots,x_{n}\}是x點附近的一個局部座標系。而\varphi^{-1}:V\to U則稱為U的參數化(parametrization)。
假設X是一個拓樸流形，並且存在X上的開覆蓋\{U_{\alpha}\}, 以及U_{\alpha}上的局部座標系\varphi_{\alpha}使得當U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\phi時，
\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})\to\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})
是\mathbb{R}^{n}中的微分同胚，則我們稱X為光滑流形。而\{U_{\alpha},\varphi_{\alpha}\}就稱為X的地圖集(atlas)。

以下我們談到的X指的均是光滑流形。附註:如果\varphi_{\alpha}:U_{\alpha}\to V_{\alpha}\subset\mathbb{C}^{n}且\varphi_{\beta}\circ\varphi_{\alpha}^{-1}是\mathbb{C}^{n}上的複解析函數，那麼我們稱X是一個複流形。
定理: (Whitney Embedding Theorem) 假設M是一個n微流形，則存在N>0使得M是\mathbb{R}^{N}的n維曲面。
這個定理告訴我們，所有的光滑流形都是某個歐氏空間中的光滑曲面。

光滑流形的環空間定義方式

令U是X中的開集合，並且f:U\to \mathbb{R}是一個連續函數。如果對任意的\alpha使得U\cap U_{\alpha}\neq\phi，合成函數
f\circ \varphi_{\alpha}^{-1}:\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\to\mathbb{R}
是定義在\varphi_{\alpha}(U\cap U_{\alpha})\subset\mathbb{R}^{n}上的光滑函數，則我們稱f:U\to\mathbb{R}^{n}是定義在U上的一個光滑函數。令C_{X}^{\infty}(U)表示所有定義在U上的實值光滑函數所形成的集合。
定理:函數空間C_{X}^{\infty}(U)構成實交換環。
如果V是U的開子集並且f是U上的光滑函數，令f|_{V}表示f限制在V上的函數。換句話說，我們定義f|_{V}:V\to\mathbb{R}為f|_{V}(P)=f(P), P\in V.利用光滑函數的定義，我們可以證明f|_{V}是V上的光滑函數。因此f|_{V}\in C_{X}^{\infty}(V). 我們很自然的得到了一個環的同態映射(homomorphism)
r_{U,V}:C_{X}^{\infty}(U)\to C_{X}^{\infty}(V), f\mapsto f_{V}.
假如W\subset V\subset U,我們還可以證明
r_{U,W}=r_{V,W}\circ r_{U,V}.
如果f是定義在U上的光滑函數，假設\{U_{\alpha}\}是U的開覆蓋，並且f|_{U_{\alpha}}=0, 利用連續函數的性值，我們可以推得f=0. 假設f_{\alpha}\in C_{X}^{\infty}(U_{\alpha}), 並且
f_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}=f_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}},
我們定義f:U\to\mathbb{R}為f(x)=f_{\alpha}(x), x\in U_{\alpha}.那麼f:U\to\mathbb{R}是一個良定的函數，並且
f|_{U_{\alpha}}=f_{\alpha}.
層(sheaf)的概念便從此而生。層的定義煩請閱讀:層sheaf。
定義:如果X是一個拓樸空間，\mathcal{O}_{X}是X上的層環，那麼我們稱序對(X,\mathcal{O}_{X})是一個環空間。
定理:C_{X}^{\infty}是光滑流形X上的一個層(sheaf)。而(X,C_{X}^{\infty})構成了一個環空間。
假設X是一個拓樸空間，並且\mathcal{O}_{X}:\mbox{Top}(X)\to\mbox{Rings}是一個定義在X上的環層(sheaf of rings)。則我們稱序對(X,\mathcal{O}_{X})是一個環空間。
換句話說，環空間除了具有拓樸空間的概念外，我們也定義了他上面由環層\mathcal{O}_{X}所構成的函數空間族。接著，我們來談談光滑流形之間的映射。假設\varphi:X\to Y是光滑流形之間的一個連續函數。如果對任意的光滑函數f:V\subset Y\to\mathbb{R}，合成函數
f\circ\varphi:\varphi^{-1}(V)\subset X\to \mathbb{R}
也是一個光滑函數，則我們稱映射\varphi是一個光滑映射。
任給一個Y上的光滑函數f:V\subset Y\to \mathbb{R}，我們定義
\varphi^{*}(f):\varphi^{-1}(V)\subset X\to\mathbb{R}.
則我們有一環同態(ring homomorphism)\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}(V)\to C_{X}^{\infty}(f^{-1}(V)).換句話說，光滑映射\varphi:X\to Y誘導了一個環層同態
\varphi^{*}:C_{Y}^{\infty}\to \varphi_{*}C_{X}^{\infty}.
定理:光滑流形與其上的光滑映射構成了一個範疇。
基本上來說，光滑流形可以視為某一類的環空間(X,C_{X}^{\infty})滿足:存在一個X開覆蓋\{U_{\alpha}\}使得對任意的\alpha，環空間(U_{\alpha},C_{X|U_{\alpha}}^{\infty})與環空間(\mathbb{R}^{n},C_{\mathbb{R}^{n}}^{\infty})是同構的。換句話說，光滑流形局部上來說，他跟歐氏空間一樣，他上面的函數空間跟歐氏空間上的光滑函數所形成的空間也是一樣的(在同構意義下)。換句話說呢，如果給一個X上的可微分函數，我們取局部座標系(x_{1},\cdots,x_{n}),那麼f就可以寫成歐氏空間中的可微分函數y=f(x_{1},\cdots,x_{n}). 這樣的對應關係
f\mapsto f(x_{1},\cdots,x_{n})
是一個代數上的同構關係。不僅如此，透過這樣的代數關係，我們把歐氏空間中的微積分學就這樣的搬到了光滑流形上。局部上來說，由於光滑流形看起來就是歐氏空間，流形上的光滑函數就是歐氏空間中的光滑函數。你當然希望你的微積分在座標變換下的意義是不變的，因此，你會要求你的函子C_{X}^{\infty}是一個層。基本上來說，層的概念就是透過微分流形才產生的。而層的一些條件就是在告訴你，微分流形上的微積分學是良定(well-defined)的(在座標變換的意義下不變)。從現在開始，你知道的微分流形的概念，把古典微積分學套入，你就可以開始研究微分幾何。

5 responses on “光滑流形(Smooth Manifold)”

  1. “光滑流形的一般定義"附註定義複流形有個地方寫phi_beta circle phi_beta inverse 應該是 phi_beta circle phi_alpha inverse
  2. 還有想請問一下，那個Whitney Embedding Theorem敘述裡
    的manifold是不是要Housdorff該定理才會對?(因為這裡的mainfold好像沒有特別說是Housdorff)
  3. “另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为
    另一个微分算子是 Θ 算子，定义为
    有时候这也称为齐次算子，
    “—-http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%AE%97%E5%AD%90
    ——
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    I understand 微分算子 as 拉普拉斯算子, what is 齐次算子 as qutoed in the above wiki?
    a good article:
    [PDF]
    物理激发的数学 – 中国科学院数学研究所
    http://www.math.ac.cn/index_E/post/…/PPT110907.pdf – 轉為繁體網頁
    檔案類型: PDF/Adobe Acrobat – 快速檢視
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