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| 一维的流形就是一条光滑的曲线，光滑的意思就是处处可微。（一维曲线，处处可微就是其上每点都有确定的导数。） 任何光滑曲线，足够微小的局部都足够可以看成是直线。 开车、开飞机，能否实现直线运动，然后突然严格地90度地转弯？（90度转弯后也是直线运动） 不可能吧？ 所以任一物体的运动轨迹，是光滑的曲线，即一维的流形。（除非碰到奇点了。） 二维流形是一个光滑的曲面，如上类推即可。 一个球面是二维流形，一根尖锥子表面就不是流形了，虽然也是二维。 n维流形可以类推。 广义相对论把引力场中的时空当做一个四维流形，其中任何自由质点的运动轨迹都是四维流形中的一维流形（光滑曲线），空间坐标对时间坐标的偏导给出引力加速度。足够微小时空范围表内，引力场中自由质点的运动都近似匀速直线运动。----这是光滑曲线局部可以看成直线、光滑平面局部可以看成是平面等的推广。 引力场中足够微小时空范围内可以建立惯性系，这种表述等价于等效原理。 [ 本帖最后由 abada 于 2012-1-10 01:04 编辑 ] |
学习外微分形式的一些感受
PB07210141 焦凡书
外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。
如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。
在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)
则面积元素dA=dxdy=|
|dudv=|
|dudv=(
)dudv
|dudv=||dudv=()dudv
若将x,y对换dA=dydx=|
|dudv=|
|dudv=(
)dudv
|dudv=||dudv=()dudv
可得dxdy=-dydx
dxdx=0
我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用
表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。
表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。
可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示
=f(b)-f(a)=
=f(b)-f(a)=
（2）Green公式用外微分表示
Pdx+Qdy,
=
,
Pdx+Qdy,=,
（3）Gauss公式用外微分表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, 
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= 
dxdydz, 
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= dxdydz,
（4）Stokes公式用外微分表示Pdx+Qdy+Rdz, 
,
Pdx+Qdy+Rdz, ,
而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为
外微分形式的次数
|
空间
|
公式
|
对应的度
|
0
|
直线段
|
Newton-Leibniz
|
梯度
|
1
|
平面区域
|
Green
|
旋度
|
1
|
空间曲面
|
Stokes
|
旋度
|
2
|
空间区域
|
Gauss
|
散度
|
由此得出公式的一般形式：
定理 设为
外微分形式，d是它的外微分，则有
外微分形式，d是它的外微分，则有
G是d的积分区域，
G表示G的边界。
的积分区域，G表示G的边界。
Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令，d为算子，则它们对偶.
，d为算子，则它们对偶.
所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。
参考书目：《高等数学导论》
《微积分五讲》龚升
拉格朗日，哈密顿和黎曼几何
-
几何量
- 尘埃之影
-
流形8
拉格朗日力学，哈密顿力学（有限自由度）
首先，底空间是流形M，就是位形空间。流形M上有切丛TM。
然后就可以在切丛上定义朗格朗日函数L了！L是TM→R的标量场。选定坐标系｛qi｝以后，参数是｛qi，∂/∂qi}。所以显然是2N个独立宗量。但是L不是任意定义的，有一定的要求，后面再说。
有了L就可以定义作用量S，标量场L沿着曲线γ 积分，就是作用量S，所以S是个泛函！然后就要对S变分！所谓变分就是泛函的微分，而微分可以认为是增量的线性主部算子，举个例子，有泛函Φ，Φ(γ+h)-Φ(γ)=F(h)+R，R是小量，那么变分就是δΦ=F(h)了！还是一个泛函！利用最短程远离，变分为零得出拉格朗日方程。
于是，拉格朗日力学的基本思想如下，在演化曲线上，满足：
1.从流形M到TM（qi，vi）的提升曲线满足∂qi/∂t=vi（保证相切）
2.满足拉格朗日方程
和拉格朗日的表述是对偶的，哈密顿力学不是切丛而是余切丛T*M，注意到∂L/∂vi=pi为T*M上元素，故有TM上的标量场H=pi*dqi/dt-L，而另一方面，对H微分有dH只和dqi和dp有关，说明H是T*M上的标量场，这其中的关系主要在于勒让德变换，也就是pi和vi的转换J=∂2L/vi vj是否退化。这关系到是否存在约束的问题。
约束可以分为两种，一种是可以通过消去某些坐标形成约束面，也就是流形M的子流形。另一方面，约束面上并非一定有任意点都有演化曲线通过，这就形成了第二类约束。
首先，底空间是流形M，就是位形空间。流形M上有切丛TM。
然后就可以在切丛上定义朗格朗日函数L了！L是TM→R的标量场。选定坐标系｛qi｝以后，参数是｛qi，∂/∂qi}。所以显然是2N个独立宗量。但是L不是任意定义的，有一定的要求，后面再说。
有了L就可以定义作用量S，标量场L沿着曲线γ 积分，就是作用量S，所以S是个泛函！然后就要对S变分！所谓变分就是泛函的微分，而微分可以认为是增量的线性主部算子，举个例子，有泛函Φ，Φ(γ+h)-Φ(γ)=F(h)+R，R是小量，那么变分就是δΦ=F(h)了！还是一个泛函！利用最短程远离，变分为零得出拉格朗日方程。
于是，拉格朗日力学的基本思想如下，在演化曲线上，满足：
1.从流形M到TM（qi，vi）的提升曲线满足∂qi/∂t=vi（保证相切）
2.满足拉格朗日方程
和拉格朗日的表述是对偶的，哈密顿力学不是切丛而是余切丛T*M，注意到∂L/∂vi=pi为T*M上元素，故有TM上的标量场H=pi*dqi/dt-L，而另一方面，对H微分有dH只和dqi和dp有关，说明H是T*M上的标量场，这其中的关系主要在于勒让德变换，也就是pi和vi的转换J=∂2L/vi vj是否退化。这关系到是否存在约束的问题。
约束可以分为两种，一种是可以通过消去某些坐标形成约束面，也就是流形M的子流形。另一方面，约束面上并非一定有任意点都有演化曲线通过，这就形成了第二类约束。
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几何量
- 尘埃之影
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流形8
关于无限自由度的情况
实际上，无限自由度是，拉格朗日函数被拉氏密度取代，可以认为是一个依赖于位形空间上标量场Φ及其导数的流形上的标量场（取值在流形的切丛上），这时，作用量就成为了依赖于Φ的泛函。
而对于哈密顿力学，始终要求有一个确定的时间方向，在物理中，必须对时空进行3+1分解，就是说要确定时空中的3维子流形
实际上，无限自由度是，拉格朗日函数被拉氏密度取代，可以认为是一个依赖于位形空间上标量场Φ及其导数的流形上的标量场（取值在流形的切丛上），这时，作用量就成为了依赖于Φ的泛函。
而对于哈密顿力学，始终要求有一个确定的时间方向，在物理中，必须对时空进行3+1分解，就是说要确定时空中的3维子流形
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几何量
- 尘埃之影
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流形8
可以参考勒让德变换的初等形式
y=f（x），对p，有g(x，p)=px-f(x),取∂g/∂x=0,则p=∂f/∂x
如果能保证p-x对应关系，也就有了完整约束
力学无非是把x变成了相空间的坐标，一个道理，
所以一般都说要满足∂L/∂vi∂vj非退化才有哈密顿方程
y=f（x），对p，有g(x，p)=px-f(x),取∂g/∂x=0,则p=∂f/∂x
如果能保证p-x对应关系，也就有了完整约束
力学无非是把x变成了相空间的坐标，一个道理，
所以一般都说要满足∂L/∂vi∂vj非退化才有哈密顿方程
可否借力学吧一转？~~~
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