拉格朗日，哈密顿和黎曼几何
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几何量
- 尘埃之影
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流形8
拉格朗日力学，哈密顿力学（有限自由度）
首先，底空间是流形M，就是位形空间。流形M上有切丛TM。
然后就可以在切丛上定义朗格朗日函数L了！L是TM→R的标量场。选定坐标系｛qi｝以后，参数是｛qi，∂/∂qi}。所以显然是2N个独立宗量。但是L不是任意定义的，有一定的要求，后面再说。
有了L就可以定义作用量S，标量场L沿着曲线γ 积分，就是作用量S，所以S是个泛函！然后就要对S变分！所谓变分就是泛函的微分，而微分可以认为是增量的线性主部算子，举个例子，有泛函Φ，Φ(γ+h)-Φ(γ)=F(h)+R，R是小量，那么变分就是δΦ=F(h)了！还是一个泛函！利用最短程远离，变分为零得出拉格朗日方程。
于是，拉格朗日力学的基本思想如下，在演化曲线上，满足：
1.从流形M到TM（qi，vi）的提升曲线满足∂qi/∂t=vi（保证相切）
2.满足拉格朗日方程
和拉格朗日的表述是对偶的，哈密顿力学不是切丛而是余切丛T*M，注意到∂L/∂vi=pi为T*M上元素，故有TM上的标量场H=pi*dqi/dt-L，而另一方面，对H微分有dH只和dqi和dp有关，说明H是T*M上的标量场，这其中的关系主要在于勒让德变换，也就是pi和vi的转换J=∂2L/vi vj是否退化。这关系到是否存在约束的问题。
约束可以分为两种，一种是可以通过消去某些坐标形成约束面，也就是流形M的子流形。另一方面，约束面上并非一定有任意点都有演化曲线通过，这就形成了第二类约束。
首先，底空间是流形M，就是位形空间。流形M上有切丛TM。
然后就可以在切丛上定义朗格朗日函数L了！L是TM→R的标量场。选定坐标系｛qi｝以后，参数是｛qi，∂/∂qi}。所以显然是2N个独立宗量。但是L不是任意定义的，有一定的要求，后面再说。
有了L就可以定义作用量S，标量场L沿着曲线γ 积分，就是作用量S，所以S是个泛函！然后就要对S变分！所谓变分就是泛函的微分，而微分可以认为是增量的线性主部算子，举个例子，有泛函Φ，Φ(γ+h)-Φ(γ)=F(h)+R，R是小量，那么变分就是δΦ=F(h)了！还是一个泛函！利用最短程远离，变分为零得出拉格朗日方程。
于是，拉格朗日力学的基本思想如下，在演化曲线上，满足：
1.从流形M到TM（qi，vi）的提升曲线满足∂qi/∂t=vi（保证相切）
2.满足拉格朗日方程
和拉格朗日的表述是对偶的，哈密顿力学不是切丛而是余切丛T*M，注意到∂L/∂vi=pi为T*M上元素，故有TM上的标量场H=pi*dqi/dt-L，而另一方面，对H微分有dH只和dqi和dp有关，说明H是T*M上的标量场，这其中的关系主要在于勒让德变换，也就是pi和vi的转换J=∂2L/vi vj是否退化。这关系到是否存在约束的问题。
约束可以分为两种，一种是可以通过消去某些坐标形成约束面，也就是流形M的子流形。另一方面，约束面上并非一定有任意点都有演化曲线通过，这就形成了第二类约束。
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流形8
关于无限自由度的情况
实际上，无限自由度是，拉格朗日函数被拉氏密度取代，可以认为是一个依赖于位形空间上标量场Φ及其导数的流形上的标量场（取值在流形的切丛上），这时，作用量就成为了依赖于Φ的泛函。
而对于哈密顿力学，始终要求有一个确定的时间方向，在物理中，必须对时空进行3+1分解，就是说要确定时空中的3维子流形
实际上，无限自由度是，拉格朗日函数被拉氏密度取代，可以认为是一个依赖于位形空间上标量场Φ及其导数的流形上的标量场（取值在流形的切丛上），这时，作用量就成为了依赖于Φ的泛函。
而对于哈密顿力学，始终要求有一个确定的时间方向，在物理中，必须对时空进行3+1分解，就是说要确定时空中的3维子流形
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几何量
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流形8
可以参考勒让德变换的初等形式
y=f（x），对p，有g(x，p)=px-f(x),取∂g/∂x=0,则p=∂f/∂x
如果能保证p-x对应关系，也就有了完整约束
力学无非是把x变成了相空间的坐标，一个道理，
所以一般都说要满足∂L/∂vi∂vj非退化才有哈密顿方程
y=f（x），对p，有g(x，p)=px-f(x),取∂g/∂x=0,则p=∂f/∂x
如果能保证p-x对应关系，也就有了完整约束
力学无非是把x变成了相空间的坐标，一个道理，
所以一般都说要满足∂L/∂vi∂vj非退化才有哈密顿方程
可否借力学吧一转？~~~
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