为什么圆周的atlas需要两张chart

开始看《微分几何入门与广义相对论》 Leave a comment

近来闲赋在家，于是开始看起了买来很久的《微分几何入门与广义相对论》。

之前在大三下学广义相对论的时候，配合着《广义相对论导论》看过一段时间这本书，但是当时进行到第二章的时候就无以为继了，因为人太懒。

近来又开始重看这本书，又一次地从第一页开始看起，发现许多东西又有了新的疑问和看法。

比如，看到连续性的时候，书上给了一种从集合的角度来判断的连续的定义，这让我困惑了一长段时间。

定义是这样的：f:X->Y，如果Y上任一开区间的逆像是X上n个开区间的并，那么该映射f连续。当时困惑就困惑在：原本f连续，现在X上挖走一点，说f现在依然连续我是没什么意见。但是，如果f原本在X:=R-{p}上连续，在{p}处不连续，那么现在在R-{p}上是否连续呢？

按照连续的集合定义，似乎现在f变得连续，但是按照原本连续的ε-δ定义，似乎现在的f又是不连续的。毕竟，ε-δ定义是基于集合上的度量结构的，而连续的集合定义则基与集合上的拓扑结构——这在后面讲拓扑空间上的连续的两种定义的时候也讲到过了。

这个问题想了很长时间，最后只能这么认为：在各自连通的开区间上f是连续的，但是各个不连通的区间之间不存在连续与否的概念。

还有一些问题则是以前困扰我的，现在倒想通了。比如为什么圆周的atlas需要两张chart。以前一直困扰在以极坐标为背景的时候[0,360)是可以被一个单元素开集覆盖的。但是现在才发现当初犯了一个多么幼稚的错误：[0,360)不是开集（这里都采用通常拓扑，所以不是开集。事实上，如果采用离散拓扑，这个就是开集了，因而对应的微分结构也就只需要一张chart了。可见，拓扑结构决定了原空间微分结构的性质——这个从微分结构的定义上也就能看出来了）。chart事实上是给出的并不是从M到R到映射，或者说不单单是这种映射关系，它更给出了M上拓扑结构T到R上拓扑结构S的一种对应关系。就好比要求两个拓扑空间同胚时对两个拓扑空间的拓扑结构也有要求一样，建立微分结构的时候也就对M和R上的拓扑结构进行了要求，而这个要求具体由微分结构的具体chart决定。

此外，还有一个概念理清了，就是微分结构上的“矢量”与普通几何学上的矢量有很大差异。事实上，微分结构上的矢量可以理解为是一种对标量场的算符——这里的标量场是指建立在M上的所有映射到R的映射的集合。事实上，无论是微分结构还是拓扑结构，这里都讨论的是脱离了具体表象的抽象的性质，所以很容易和一些以往的直观概念发生混淆。

反正，看这书总感觉是一件很奇妙的事情，总有许多自己原来想也没想过的问题会出现，很有意思。

解释，覆盖，开覆盖，有限覆盖，有限覆盖定理

2012-08-14 20:37 提问者： potato94home|浏览次数：212次

问题补充：

要自己的话，不要定义流

我来帮他解答

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2012-08-15 10:54热心网友

为了直观理解方便，就在二维空间里解释吧：
 
首先在平面上规定一个区域，叫做A区域。这个区域可以任意规定，可以是曲线围出来的部分，也可以就是几条曲线，或者仅仅几个点也行，甚至可以同时包括这些东西。比如可以规定A是一个实体正方形和一个圆周在加上其它几个点。
 
现在另外找一堆区域，比如说可以找一堆圆盘，如果用这一堆区域能够把A区域“盖住”，就说这一堆区域是A的一个“覆盖”，这里的“盖住”就理解为日常生活中的“盖住”就行，比如说拿一个锅盖把一个锅“盖住”，要是一个锅盖盖不住，就用好几个锅盖，这些锅盖可以互相重叠，怎么盖都行，只要把锅盖住了就好。
 
因为“区域”本身在数学上被定义为点集，所以有开集、闭集之说，如果我们找到的那堆用来覆盖A的区域全都是开集，就说这个覆盖是“开覆盖”。
 
如果能找到有限个区域把A覆盖，就说这有限个区域是A的一个“有限覆盖”。这种情况是存在的，因为如果A比较简单，比如就是一个正方形，那就找一个大正方形就能把它盖住，那么这个大正方形就是A的一个有限覆盖。
 
有限覆盖定理说的是：对于A的任何一个开覆盖，也就是一堆开集，它们覆盖了A，总是可以在这个开覆盖中找到有限个开集，用这有限个开集就能把A覆盖了。

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2012-08-14 21:05热心网友

S=-----。。。------。。。------。。。
H=---（a1,a2)--------(a3,a4)----------(a5,a6)-----
Sj∈H(ai,ai+1)
 
设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S. 
　　若H中的开区间的个数是有限（无限）的，那么就称H为S的一个有限（无限）覆盖. 
设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].开覆盖的定义：

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2012-08-15 13:32houshuai1012|二级

首先在平面上规定一个区域，叫做A区域。这个区域可以任意规定，可以是曲线围出来的部分，也可以就是几条曲线，或者仅仅几个点也行，甚至可以同时包括这些东西。比如可以规定A是一个实体正方形和一个圆周在加上其它几个点。
 
现在另外找一堆区域，比如说可以找一堆圆盘，如果用这一堆区域能够把A区域“盖住”，就说这一堆区域是A的一个“覆盖”，这里的“盖住”就理解为日常生活中的“盖住”就行，比如说拿一个锅盖把一个锅“盖住”，要是一个锅盖盖不住，就用好几个锅盖，这些锅盖可以互相重叠，怎么盖都行，只要把锅盖住了就好。
 
因为“区域”本身在数学上被定义为点集，所以有开集、闭集之说，如果我们找到的那堆用来覆盖A的区域全都是开集，就说这个覆盖是“开覆盖”。
 
如果能找到有限个区域把A覆盖，就说这有限个区域是A的一个“有限覆盖”。这种情况是存在的，因为如果A比较简单，比如就是一个正方形，那就找一个大正方形就能把它盖住，那么这个大正方形就是A的一个有限覆盖。
 
有限覆盖定理说的是：对于A的任何一个开覆盖，也就是一堆开集，它们覆盖了A，总是可以在这个开覆盖中找到有限个开集，用这有限个开集就能把A覆盖了。