平面点集
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§1 .平面点集
一、领域、点列的极限
在解析几何中，我们已经知道平面上的点可以用坐标
来表示，又知道平面上任何两点 和 之间的距离是 现在，固定一点 ，凡是与 距离小于 的那些点 组成的平面点集，叫做 的 领域，记为
,换句话说，领域 是由坐标 满足下列不等式
的一切点 所组成的。从几何上看 ， 就是一个以 为圆心，以 为半径的园的内部，但不包含圆周本身。
设 是 轴上的一个点列， 是 轴上的一个点列，则以 为坐标的点 组成平面上的一个点列，记作 ，又设 是平面上的一点，它的坐标是 ，如果对 的任何一个 领域 ，总存在正整数 ，当 时有 就称点列
收敛，并且收敛于 ，记为 或者记为
二、开集、闭集、区域
设 是一个平面点集
1.内点
设 ，如果存在 的一个 领域 ，使得
我们就说 是 的一个内点。
2.外点
设 ，如果存在 的一个 领域 ，使得 中没有 的点，就称 是 的一个外点。
3边界点
设 是平面上的一点，它可以属于 ，也可以不属于 ，如果对 的任何 领域 ，其中既含有
的点，又含有非 的点，就称 是 的一个边界点。 的边界点的全体叫做 边界。
4开集
如果 的点都是 的内点，就称 是开集。
5聚点
设 是平面上的一点，它可以属于 ，也可以不属于
。如果对 的任何一个 领域 ，在这一领域内至少含有 中一个（不等于 的）点，就称 是
的一个聚点。
性质： 设 是 的聚点，则在 中存在一个点列
以 为极限。
6.闭集
设 的所有聚点都在 内，就称 是闭集。
7.区域
设 是一个开集，并且 中任何两点 和 之间都可以用有限条直线所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在 中，我们就称 是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
设 是平面上的闭区域，如果存在一个常数 ，使得 ，就称 是有界的。这时 就是平面上的有界闭区域。
三、平面点集的几个基本定理
矩形套定理 设 是矩形序列，如果其中每一个矩形都含在欠一个矩形中，并且 ，那么有我唯一 的一点 它位于每一矩形之中，亦即
致密性定理（魏尔斯特拉斯定理）
如果序列 有界。那么从其中必能选取收敛的子列。
有界覆盖定理 若一开矩形集合 覆盖一有界闭区域，那么从 例，必可选出有界个开
矩形，他们也能覆盖这个区域。
收敛原理 平面点列 有极限的充要条件是：对任意给定的 ，存在正整数 ，当 时，有
一、领域、点列的极限
在解析几何中，我们已经知道平面上的点可以用坐标
来表示，又知道平面上任何两点 和 之间的距离是 现在，固定一点 ，凡是与 距离小于 的那些点 组成的平面点集，叫做 的 领域，记为
,换句话说，领域 是由坐标 满足下列不等式
的一切点 所组成的。从几何上看 ， 就是一个以 为圆心，以 为半径的园的内部，但不包含圆周本身。
设 是 轴上的一个点列， 是 轴上的一个点列，则以 为坐标的点 组成平面上的一个点列，记作 ，又设 是平面上的一点，它的坐标是 ，如果对 的任何一个 领域 ，总存在正整数 ，当 时有 就称点列
收敛，并且收敛于 ，记为 或者记为
二、开集、闭集、区域
设 是一个平面点集
1.内点
设 ，如果存在 的一个 领域 ，使得
我们就说 是 的一个内点。
2.外点
设 ，如果存在 的一个 领域 ，使得 中没有 的点，就称 是 的一个外点。
3边界点
设 是平面上的一点，它可以属于 ，也可以不属于 ，如果对 的任何 领域 ，其中既含有
的点，又含有非 的点，就称 是 的一个边界点。 的边界点的全体叫做 边界。
4开集
如果 的点都是 的内点，就称 是开集。
5聚点
设 是平面上的一点，它可以属于 ，也可以不属于
。如果对 的任何一个 领域 ，在这一领域内至少含有 中一个（不等于 的）点，就称 是
的一个聚点。
性质： 设 是 的聚点，则在 中存在一个点列
以 为极限。
6.闭集
设 的所有聚点都在 内，就称 是闭集。
7.区域
设 是一个开集，并且 中任何两点 和 之间都可以用有限条直线所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在 中，我们就称 是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
设 是平面上的闭区域，如果存在一个常数 ，使得 ，就称 是有界的。这时 就是平面上的有界闭区域。
三、平面点集的几个基本定理
矩形套定理 设 是矩形序列，如果其中每一个矩形都含在欠一个矩形中，并且 ，那么有我唯一 的一点 它位于每一矩形之中，亦即
致密性定理（魏尔斯特拉斯定理）
如果序列 有界。那么从其中必能选取收敛的子列。
有界覆盖定理 若一开矩形集合 覆盖一有界闭区域，那么从 例，必可选出有界个开
矩形，他们也能覆盖这个区域。
收敛原理 平面点列 有极限的充要条件是：对任意给定的 ，存在正整数 ，当 时，有
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