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原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表
在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。
有一些差别。这里不涉及任何对称性或者群作用。如果在每个局部坐标系 U 里有一组数据，当一个区域可以使用不同局部坐标 U, U’，而 U 里头的数据可以通过某种（依赖于局部坐标变换的）规则同 U’ 里的数据联系起来的时候，这组数据就组成了一个整体定义的量。这跟狭义相对论还是有所不同，在那里，时空是平直的，坐标系之间的变换同空间本身的 Poincare 群作用几乎可以对等，所以教材上面从来不区分是“坐标变换” 还是“点变换”。在流形上，坐标都是局部的，这种区别就很关键了。
拓樸學主
原帖由 星空浩淼 于 2008-2-5 18:27 发表
在流形上，与局部坐标选取无关的“概念”，“性质”，和与局部坐标变换相容的“ 量”，才是有几何意义的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这句话如果这样说可能更好理解（假如可以这样说的话）：只有保持拓扑变换不变的量（即微分同胚变换不变的量），才是有几何意义的。
有一些差别。这里不涉及任何对称性或者群作用。如果在每个局部坐标系 U 里有一组数据，当一个区域可以使用不同局部坐标 U, U’，而 U 里头的数据可以通过某种（依赖于局部坐标变换的）规则同 U’ 里的数据联系起来的时候，这组数据就组成了一个整体定义的量。这跟狭义相对论还是有所不同，在那里，时空是平直的，坐标系之间的变换同空间本身的 Poincare 群作用几乎可以对等，所以教材上面从来不区分是“坐标变换” 还是“点变换”。在流形上，坐标都是局部的，这种区别就很关键了。
拓樸學主
要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
的
性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又
稱
為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物
學到
粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學
能
夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可
以說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。
認識拓樸
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篇名
認識拓樸
作者
林泂志。台中一中。二年九班
劉育瑞。台中一中。二年九班
柯翔文。台中一中。二年九班
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認識拓樸
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壹●前言
之所以研究此主題的動機，是由於老師在上課時提到了拓樸學
(topology)，而高
中的課程中並沒有將其列入教材，並且老師因為課堂上的時間關係，實在也無法
深入加以介紹。在我們之中又有人聽過生物領域似乎也有用到這門學
問，這些原
因
使我們對「何謂拓樸」更加疑惑又好奇。
在老師
大略的講解中，似乎透過拓樸就可以將看似不同的兩物視為同樣的東西，
這
種看法衝擊了我們原來對物體的觀點。在我們的觀念中，正方體就是正方體，
長方體就
是長方體，無論如何也看不出不同形狀如何互通，實心又如何變成空
心
。如果我們這樣看待物體又能帶來什麼好處或者是妙用？且這麼抽象的學問又
要如何和講求
實際的生物學扯上關聯？看來這些問題都要靠我們自己去尋找答
案
。雖然不確定現在的我們是否用得到這樣的學問，但既然上課有提到，那麼相
信「
拓樸」應該不是一門我們完全不能了解的學問吧。
貳
●正文
一
、概述
拓樸
指的是數學的一個分支，也可以說是拓樸學中的一個概念。在這裡先撇開開
集合
的定義等等，那是學理上的說法，比較抽象。
拓樸學
(topology)，簡單的說，是一種擺脫了所謂的測量(measurement)和距離
(distance)
的一種幾何的數學上運用的方法。既然擺脫了計量法(metrics)的約束，
自然能
夠允許形變的發生。在空間上，所有的扭曲、伸長、壓縮、壓扁或拉長，
從
拓樸的角度，並不會對原先的空間造成影響。在這個前提之下，我們可以說在
拓樸之上，
圓形和橢圓是一樣的，球體也相當於卵形的橢圓體。當然所謂的形變
並
不包括撕裂的部份，為什麼呢？這個部份稍後再提到。它的整個架構其實包含
得
非常的廣泛。其最大的好處就在於：在一個已經發生形變的狀態下，仍然保有
的
某些特定的性質，而那些不變量(invariants)便是拓樸所要研究的重點。
究
竟什麼是拓樸學呢？就是一個無法分辨圈餅跟咖啡杯的人，有人這樣說。
有
別於一般傳統的幾何學容易讓我們聯想到可測量的量，諸如角度、距離、空間
等等
，在拓樸學則是著重於其連續性(continuity)以及相對位置(relative position)
的關係。
例如最常聽到的點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General
topology)
在處理一個圖形的時候，常將幾何的圖形視為許多點的集合，整個的集
合
就形成一個空間；而組合拓樸(Combinatorial topology)和代數拓樸(Algebraic
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認識拓樸
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topology)
則將圖形視為無數極小的組成結構分子(smaller building blocks)的集合。
二
、拓樸學發展歷史
拓樸學的
發展其實可說是歷史悠久了。在19 世紀中的時候，常被視為是代數學
(algebra)
或是解析幾何學(analytic geometry)的分支。但是到了今天，拓樸學已經
從
中獨立出來，成為數學中一門獨立的學問了。
拓樸學的
起源，是在實數軸上對點集的研究、以及流形(manifold)、度量空間及
泛
函分析等等。這裡泛函分析指的是解析學的範疇之一；度量空間則是一集合，
並且其中所有
元素之間距離可定。因為不是主題故不多提。
拓樸學是
數學上的一個分支。一開始是叫做analysis situs，由Leibniz 提出。拓
樸這
個字最早是在1847年德國被Johann Benedict Listing引進，這裡指的拓樸是
topologie
，有別於英文的topology。然而在此之前十幾年中，Listing已經一直在
使
用這個字了。英文的這一個字直到1930年才被Solomon Lefschetz引進，用以
取代
先前的analysis situs。
三
、基本概念
拓樸學主
要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變
的
性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又
稱
為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物
學到
粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學
能
夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可
以
說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。
四、歐幾里得空間與拓
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