的點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General

的

點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General

topology)

在處理一個圖形的時候，常將幾何的圖形視為許多點的集合，整個的集

合就形成一個空間；而組合拓樸(Combinatorial topology)和代數拓樸(Algebraic)
topology)則將圖形視為無數極小的組成結構分子(smaller building blocks)的集合。

認識拓樸

1

篇名

認識拓樸

作者

林泂志。台中一中。二年九班

劉育瑞。台中一中。二年九班

柯翔文。台中一中。二年九班

PDF created with pdfFactory trial version

www.pdffactory.com

認識拓樸

2

壹●前言

之所以研究此主題的動機，是由於老師在上課時提到了拓樸學

(topology)，而高

中的課程中並沒有將其列入教材，並且老師因為課堂上的時間關係，實在也無法

深入加以介紹。在我們之中又有人聽過生物領域似乎也有用到這門學

問，這些原

因

使我們對「何謂拓樸」更加疑惑又好奇。

在老師

大略的講解中，似乎透過拓樸就可以將看似不同的兩物視為同樣的東西，

這

種看法衝擊了我們原來對物體的觀點。在我們的觀念中，正方體就是正方體，

長方體就

是長方體，無論如何也看不出不同形狀如何互通，實心又如何變成空

心

。如果我們這樣看待物體又能帶來什麼好處或者是妙用？且這麼抽象的學問又

要如何和講求

實際的生物學扯上關聯？看來這些問題都要靠我們自己去尋找答

案

。雖然不確定現在的我們是否用得到這樣的學問，但既然上課有提到，那麼相

信「

拓樸」應該不是一門我們完全不能了解的學問吧。

貳

●正文

一

、概述

拓樸

指的是數學的一個分支，也可以說是拓樸學中的一個概念。在這裡先撇開開

集合

的定義等等，那是學理上的說法，比較抽象。

拓樸學

(topology)，簡單的說，是一種擺脫了所謂的測量(measurement)和距離

(distance)

的一種幾何的數學上運用的方法。既然擺脫了計量法(metrics)的約束，

自然能

夠允許形變的發生。在空間上，所有的扭曲、伸長、壓縮、壓扁或拉長，

從

拓樸的角度，並不會對原先的空間造成影響。在這個前提之下，我們可以說在

拓樸之上，

圓形和橢圓是一樣的，球體也相當於卵形的橢圓體。當然所謂的形變

並

不包括撕裂的部份，為什麼呢？這個部份稍後再提到。它的整個架構其實包含

得

非常的廣泛。其最大的好處就在於：在一個已經發生形變的狀態下，仍然保有

的

某些特定的性質，而那些不變量(invariants)便是拓樸所要研究的重點。

究

竟什麼是拓樸學呢？就是一個無法分辨圈餅跟咖啡杯的人，有人這樣說。

有

別於一般傳統的幾何學容易讓我們聯想到可測量的量，諸如角度、距離、空間

等等

，在拓樸學則是著重於其連續性(continuity)以及相對位置(relative position)

的關係。

例如最常聽到的點集拓樸(Point-set topology)，或稱一般性的拓樸(General

topology)

在處理一個圖形的時候，常將幾何的圖形視為許多點的集合，整個的集

合

就形成一個空間；而組合拓樸(Combinatorial topology)和代數拓樸(Algebraic

PDF created with pdfFactory trial version

www.pdffactory.com

認識拓樸

3

topology)

則將圖形視為無數極小的組成結構分子(smaller building blocks)的集合。

二

、拓樸學發展歷史

拓樸學的

發展其實可說是歷史悠久了。在19 世紀中的時候，常被視為是代數學

(algebra)

或是解析幾何學(analytic geometry)的分支。但是到了今天，拓樸學已經

從

中獨立出來，成為數學中一門獨立的學問了。

拓樸學的

起源，是在實數軸上對點集的研究、以及流形(manifold)、度量空間及

泛

函分析等等。這裡泛函分析指的是解析學的範疇之一；度量空間則是一集合，

並且其中所有

元素之間距離可定。因為不是主題故不多提。

拓樸學是

數學上的一個分支。一開始是叫做analysis situs，由Leibniz 提出。拓

樸這

個字最早是在1847年德國被Johann Benedict Listing引進，這裡指的拓樸是

topologie

，有別於英文的topology。然而在此之前十幾年中，Listing已經一直在

使

用這個字了。英文的這一個字直到1930年才被Solomon Lefschetz引進，用以

取代

先前的analysis situs。

三

、基本概念

拓樸學主

要研究的內容，在於透過同胚(homeomorphism)的轉變之後留下來不變

的

性質。由於這些轉變一般能夠透過橡膠的操作達到類似的效果，所以拓樸學又

稱

為橡膠幾何(rubber-sheet geometry)。其應用範圍之廣泛，小從電腦網路、生物

學到

粒子物理學甚或是蛋白質組成的幾何形式中都可見到拓樸學的蹤跡。拓樸學

能

夠告訴我們一個點和其他點之間的相對位置關係，但是它並沒有辦法處理粗糙或光滑表面以及距離的問題。在這個前提之下不只是圓和橢圓一樣，我們甚至可

以

說球體和正方體也是同胚。或是徒手畫一個地圖也可以是簡單拓樸的運用。

四、歐幾里得空間與拓