在统计结构层次上，固体是具有同等内含和一致结构的介质微团经一定变形后的结合
体
[1]；固体内部维持联系、传递相互作用的最快、最直接的道路称为连络键，它是微观粒子
间键相互作用的统计特性，是局部（短程）线性的，但不必是整体（长程）线性的。固体内
存在各种缺陷（如位错、微裂纹、微纤维等），它们会使变形无法简单地用位移场描述，还
会使固体不能用欧氏空间表示，或者说与欧氏空间同胚
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论弹性变形的相容性
1
邹文楠 董荭 屈小章
南昌大学工程力学研究所, 江西南昌(330031)
email: zouwn@ncu.edu.cn
摘 要
：本文研究弹性变形相容性，特别是弹性变形不相容性的刻划。通过对固体的弹性变
形和空间结构特征（度量张量、挠率张量和曲率张量）的分析，指出用纯变形场表示缺陷的
经典表述是似是而非的，提出基于参考构形的、将缺陷独立于弹性变形的变形描述理论，使
弹性变形、位错、旋错具有清晰的分界，试图为将来建立包含缺陷等广义变形的力学理论奠
定基础。
关键词
：纯变形场，度量张量，连络，曲率张量，缺陷
1．引言
在统计结构层次上，固体是具有同等内含和一致结构的介质微团经一定变形后的结合
体
[1]；固体内部维持联系、传递相互作用的最快、最直接的道路称为连络键，它是微观粒子
间键相互作用的统计特性，是局部（短程）线性的，但不必是整体（长程）线性的。固体内
存在各种缺陷（如位错、微裂纹、微纤维等），它们会使变形无法简单地用位移场描述，还
会使固体不能用欧氏空间表示，或者说与欧氏空间同胚。
经过一个复杂的变形过程，再将作用于固体上的载荷整体卸除，不一定能保证它会恢复
到无变形的原始状态，这时从原始构形到当前构形的变化既有塑性变形又有弹性变形，甚至
有缺陷产生，要建立它们之间的局部对应关系是不可能的。为了考察当前构形下的固体的弹
性变形状态和空间结构特征，可以定义一个参考构形（体）：它占据与固体相同的位置空间，
它各处的介质微团均处于没有弹性变形的状态，并且与当前构形中同一位置上的介质微团相
差一个可积的弹性变形场；作为微分流形参考构形具有和变形固体一致的拓扑结构。这样，
固体变形状态的宏观描述分成两个层次：参考构形的缺陷描述；从参考构形到当前构形的可
积弹性变形描述。
2．纯变形场和旋转场
在经典弹性理论中，弹性变形可以以原始构形为参照进行描述，也可以以当前构形为参
照进行描述。对于一般（有限的、不完全弹性的）变形过程，固体可以经历塑性变形、可以
具有或产生缺陷，原始构形不再能用作当前构形的参照，相应的经典描述只能以当前构形为
参照进行。在当前构形中，固体内一点
p (r)附近介质微团的变形状态可以用线元来描述[1]。
所谓线元是以
p 为中心的一个物质微球的径向线段，这个物质微球很小以至将作用其上的平
衡力系释放掉后它上面的所有线元都可近似为线性变化。
1
本文工作得到中国自然科学基金（项目编号：10372038）和中国博士后基金的支持
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设固定在当前构形和参考构形上的笛卡儿坐标系分别为
{O; x1, x2 , x3}和{O; x1, x2 , x3} ) ) ) ，相
应的标架基为
{e r i}
i
= ∂ ∂x 和{e r i}
i
) = ∂ ∂x) 。当前构形中的任意微线元表示为x e i
i
d
= dx ，如对
沿方向
l ie , l 1
i
= l = 、长度为dl的微线元有限制：dx1 : dx2 : dx3 = l1 : l2 : l3， ( ) ( ) i 2 2
i
Σ
dx = dl 。
由于当前构形中的标架基在参考构形中变形为
e e
j e j l
i i j i j l i
→ζ = ) f = ) S v ， (1)
微线元在参考构形上对应的无应力线元为
X i
i
δ = ζ dx ，其中j
i
v
是将作用在物质微球上的平衡
力系比例卸载后回复的纯变形，是对称矩阵。对于给定的应力场
j
i
σ ，可以通过本构关系求
得弹性纯变形场
j
i
v
，再由j
i
v
总可以找到旋转场j
i
S
（可以相差一个刚体旋转），使弹性总变形
j
i
f
是可积的，即X i
i
δ = ζ dx 是全微分dX。这必然导出微分1-形式组i i j k
j k
θ ≡ S v dx 是封闭的：
d
θi = 0（如果固体是单连通的，两者还等价[2]）。定义j
i
S
的空间旋率
1
2
wi i s ijk l l
s j k
= w dx = ε S dS ， (2)
可得
i i
( p q p q )
k l l k ipq k l l k
∂ v −∂ v =ε w v −w v ，
从中可以解出
(
1 ) 1
2
i det v i j m m j
k rpq r p q ij r p q k
w
= −ε ⎡⎣v ∂ v −δ v ∂ v ⎤⎦v ， (3)
再从
ik
w
解出的旋转场只有一个刚体旋转的不确定性。于是，不计刚体旋转的不确定性，
对于一个可积弹性变形场来说，旋转场完全由纯变形场确定。
3．固体的空间结构和缺陷
度量张量
c
( )ei e j k kei e j ei e j
i j i j ij
≡ ζ ⋅ζ ⊗= v v ⊗= c ⊗(4)
只与卸载时的纯变形有关，反映了当前构形中线元的物质度量。比如，任意微线元
x e i
i
d
= dx
在卸载状态时的长度的平方为：
x c x i j
ij
d
⋅⋅d = c dx dx ，任意两条微线元x e i
i
d
= dx 和y e i
i
d
= dy 在
卸载状态时的内积为：
x c y i j
ij
d
⋅⋅d = c dx dy ，以下称之为物质内积。
另一方面，当前构形中的一条（物质化）线段在参考构形中不仅会弯曲，还会有伸长或
缩短，反之亦然；每点上的微线元代表线段的一个微段，在另一构形中它的变化是线性的，
即只有均匀的伸长或缩短和整体一致的旋转，这样，在不同点上具有相同长度、处于同一方
位的对应线元，在另一构形中会具有不同的长度、处于不同的方位。通常假定在参考构形中，
如同在原始构形中所假设的一样，各点处的介质微团具有同构性，即将一点的介质微团移到
另一点后，只要进行同构变换，它就将具有与该点的介质微团具有完全相同的力学性质和响
应特征。这样，如果比较当前构形中
p 点的微线元dx与其临近点上微线元dx的同构差别，
就有所谓的微线元或坐标基的连络的概念
[3]
(
x) j e k i
ki j
D d
= Γ dx ⊗dx ，或 e j e k
i ki j
D
= Γ dx ， (5)
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式中符号
D 通常称为协变（或绝对）微分算子， j e
ki j
Γ 表示沿xk 方向单位距离处的xi方向的
单位长线元在
p 点的同构线元与p 点的xi方向的单位长线元之差，或者是p 点上xi方向的
单位长线元在
xk 方向单位距离处的同构线元与该处的xi方向的单位长线元之差的负值。由
定义式
e ej j
i i
⋅= δ ，协变基ei 的连络诱导出逆变基ei 的连络
e
i i e j k
kj
D
= −Γ dx 。 (6)
连络结构的存在使变形固体成为一个微分流形
[3][4]。
从度量张量和连络出发，可以定义三个重要的张量：Q-张量、挠率张量和曲率张量
[4][5]。
度量张量的协变微分称为 Q-张量
Q c
( l l )ei e j k ei e j k
k ij il kj lj ki ijk
−≡ D = ∂ c −c Γ −c Γ ⊗dx = Q ⊗dx 。 (7)
对当前构形中一点上的两条微线元
x e i
i
d
= dx 和y e i
i
d
= dy 的物质内积为：dx ⋅c ⋅dy ，把它们进
行同构移动
dr 后，得到的微线元为[ ] ( ) r x x x d δ% = d −D d 和[ ] ( ) r y y y d δ% = d −D d ，当地的度量张量
为
( ) ( ) [ r] c x r c x c d + d = + d ，于是不同点处同构线元的物质内积之差为
( )
[ r] x c x r y x c y x Q y d δ% ⋅+ d ⋅δ% −d ⋅⋅d = −d ⋅⋅d ，
如果固体在参考构形（卸载状态）具有内积不变性（这一般可以从原始构形继承而来），即
不同点处介质微团的同构变换只有平移和整体旋转，同时物质内积也具有不变性、Q-张量处
处等于零，这时的固体称为简单介质，固体的表示空间为Cartan 空间。
在笛卡儿标架下连络 j
ki
Γ 关于下指标的反对称部分形成挠率张量i
jk
T
i i i
jk kj jk
T
= Γ −Γ 。 (8)
由于参考构形和当前构形只有一个可积变形场的不同，由(1)，当前构形中标架基的连络在
参考构形中表现为
j k
i j ki
D
ζ = ζ Γ dx ，又可用参考构形的连络j
ki
Γ
)
表示为
(
e ) j e j e ( j k j m k )
i j i j i j k i km i
D D f df f dx f dx
ζ = + = ∂ +Γ )) ) ) ) ，
利用关系式
i i j
j
dx
) = f dx ，有连络的变换关系
j
1 j ( l l m n )
ki l k i mn k i
f f f f
−Γ = ∂ +Γ
)
。 (9)
而在一般标架下挠率张量的定义为
j j j
1m 1n j 1m 1n j j j 1m 1n ( j j )
ki ik ki i k n m k i m n ik ki i k n m m n
T
= Γ −Γ + f −f −∂ f −f −f −∂ f = Γ −Γ + f −f −∂ f −∂ f
) ) ) ) )
， (10)
它满足张量变换关系：
j 1 j m n l
ki l k i mn
T
= f −f f T
)
。如果标架变换是可积的：
j j
k i i k
∂ f = ∂ f ，则连络的
反对称性可以传递，并且也有变换关系
[ ] [ ]
j
1 j m n l
ki l k i mn
Γ = f −f f Γ
)
。 (11)
在物理方面，考虑当前构形中一点上的任意两个微线元
x e i
i
d
= dx 和y e i
i
d
= dy ，分别从其前
端伸出同构线元
[ ] ( ) x y y y d δ% = d −D d 和[ ] ( ) y x x x d δ% = d −D d ，则这四条微线元的封闭性程度（位
错）为
( ) ( )
[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) y x y y x x x y i i e j k i e j k
d d kj jk i jk i
δ% −d −δ% −d = D d −D d = Γ −Γ dx dy = T dx dy ，
可见位错正比于挠率张量。如果参考构形中不同点处介质微团的同构变换只有平移，则按上
述方式得到的四条微线元必然是封闭的，即这时参考构形中的连络具有反对称性，当标架变
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换为可积时，根据(11)式，当前构形中的连络也具有反对称性，上述当前构形中的四条微线
元也是封闭的。固体中的位错是固体一种客观状态，由挠率张量描述。如果固体中没有位错，
则连络关于它的两个下指标对称：
j j
ki ik
Γ = Γ ，称之为无挠连络。Q-张量等于零且具有无挠连
络时固体的表示空间是黎曼空间（参见[3]）。在黎曼空间，利用内积不变性
Dc = 0和连络的
对称性，可以导出连络与变形度量的关系（参见王自强[5]）
1
( ) 1 ( )
2 2
l kl , l
ij i jk j ik k ij ijk kl ij i jk j ik k ij
Γ = c ∂ c + ∂ c −∂ c 或Γ = c Γ = ∂ c + ∂ c −∂ c 。 (12)
其中
( 1 ) ( 1 ) ij i j
k k
c
= v−v−，也就是左柯西－格林变形张量的分量；在一般情况下，记l
ijk kl ij
T
= c T ，
k ij ij
,k ∂ c = c ，并引入Schouten记号{ijk} jki kij ijk φ = φ + φ −φ ，有分解公式
{ } { } { }
1 ( )
2 ,
l kl
ji ij k kij ijk
Γ = c c +T +Q 。 (13)
由连络衍生的另一个张量是曲率张量
l l l l m l m
, or m m m
kji k ji j ki km ji jm ki kjil lm kji k jil j kil ki jlm ji klm
R
= ∂ Γ −∂ Γ + Γ Γ −Γ Γ R = c R = ∂ Γ −∂ Γ + Γ Γ −Γ Γ 。 (14)
曲率张量处处等于零，连络将变成可积的，可以表示
[2]成j 1l j
ki i k l
Γ = A−∂ A ，即连络由可微的线
性变换场
j
i
A
确定，这时固体的表示空间是平坦空间。将微线元沿闭合回路做同构移动，则
回到原处时微线元的沿程变化未必会等于零，刻划这一特征的量就是曲率张量
[6],比如对坐
标基
ei 沿微闭合回路dx j →dxk →−dx j →−dxk 同构移动一圈后的变化（旋错）为
e
l e j k
i jki l
Δ = R dx ∧ dx 。
旋错是一种拓扑缺陷，在任意连续可微的标架变换下都具有协变性。
绝大部分固体在原始无应力状态都可以处理为无缺陷的简单介质，但在复杂变形过程中
通常简单性（
Q-张量等于零）是可以继承的，若变形过程中还没有塑性流动和缺陷产生，
则弹性变形就称为相容的，可以用位移场来描述。如果固体具有原始缺陷或在变形过程
中有缺陷产生或变形过程中有塑性流动，则变形就不能从原始构形出发进行描述，位移
场和弹性变形相容性的经典描述也就无从谈起，从这个意义上，我们说判断纯变形场是
否对应有位移场（即缺陷存在与否）的弹性变形相容性的经典描述是似是而非的。
4．弹性变形相容性的经典表述
由当前应力状态确定的弹性纯变形场
j
i
v
并不是固体状态的唯一表征，要从当前构形
的弹性变形状态去判断弹性变形相容性必然要预先加入某些约束，在经典描述中就是限
定固体表示空间为黎曼空间，这包括两个条件（1）固体是简单介质（Q-张量处处等于
零），（2）固体中没有位错（挠率张量处处等于零）。基于这些前提条件，连络可以
完全用度量张量描述（见公式(13)），而用度量张量（纯变形）表述的曲率张量处处等
于零就是所谓的弹性变形相容性的经典描述
[7][8][9]。
曲率张量处处等于零，连络就是可积的，有表示
j
( 1 )j l
ki l k i
Γ = A−∂ A 。 (15)
将
i
j
A
作极分解： j 'j l
i l i
A
= S a ，并定义1
2
w'i 'i s 'j 'k
s ijk l l
= w dx = ε S dS ，则利用无挠性： j j
ki ik
Γ = Γ ，
可以解出
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(
1 ) 1
2
'i det a i j m m j
k rpq r p q ij r p q k
w
= −ε ⎡⎣a ∂ a −δ a ∂ a ⎤⎦a (16)
再定义'
m m m m
ij i j i j
c
≡ A A = a a ，则将极分解式和(16)式代入(15)式，直接的计算表明，连络l
ij
Γ 关
于
ik
v
的表示（将k k
ij i j
c v v
= 等代入(12)1式得到）与它关于ik
a
的表示具有完全相同的形式，由解
的唯一性，知必然有
i i
j j
a
= v ，而旋转场'j j
i i
S
= S ，就是可积弹性变形场所要求的旋转场，也
完全由纯变形按(3)确定（可以相差一个刚体旋转）。也就是说，曲率张量等于零的无挠连络
一定可以用一个可积变形场表示。
如前所述，定义微分1-形式组
{ i i j k }
j k
θ = S v dx ，则由连络的无挠性
0
j k i 1 j l k i 1 j ( l i ) 1 j l
ki l k i l i l
= Γ dx ∧ dx = f −∂ f dx ∧ dx = f −d f dx = f −dθ ,
必然有
θi是封闭形式；如果固体还是单连通的，根据彭加勒引理[2]，还存在三个函数{X i (r)}，
定义了
r 点上物质小球的初始位置，使得
θ
i = dX i。 (17)
显然，最终的位置函数可以差一个刚体变化，即一个整体旋转和一个整体平移。当前位置和
初始位置之差就定义了位移场：
u
i
(r) = xi −X i (r)， (18)
它定义了当前构形的无应力构形，如果变形过程中没有塑性流动，它也就是原始构形。而弹
性变形场可以表示成
j j j j
i i i i
f
= ∂ X = δ −∂ u 。 (19)
5．
变形相容性的等价表述
对简单固体，如果位错不等于零，就不能简单地用度量张量表示连络，曲率张量等于零
的条件就不能用弹性纯变形场表示，何况位错本身也是一种缺陷。因此，一般情况下，对弹
性纯变形场的约束表示不能作为缺陷的表征。另一方面，如前所述，对应任一连续可微的弹
性纯变形场，总可以找到一个旋转场（可以相差一个刚体旋转），使总弹性变形是可积的。
在变形固体的每一点处，扣除由弹性纯变形场定义的可积变形，就得到固体的参考构形。
在参考构形不同点处的介质微团的同构变换只有平移和整体旋转，其连络可以用三维旋转群
的李代数或挠率张量表示为
{ }
1
2
j j jl
ki k i jik
Γ = ω = δ T
) )
α
α
γ 。 (20)
可见，参考构形中只要有位错（挠率张量不等于零），连络就不等于零，反之亦然；并且位
错的存在实际上反映的是参考构形的定向序化结构。利用三维旋转群的结构常数
α
βγ
κ [3]
j j l j l
i l i l i
α = −βγ α β γ γ β κ γ γ γ γ γ ,
参考构形中的曲率张量具有表示
l
( ) l
kji k j j k k j i
R
= ∂ ω −∂ ω + ω ω
)
α α α β γ
βγ α
κ γ ， (21)
显然参考构形中的位错是旋错的基础，没有位错就没有旋错，反之则未必。因此旋错可以看
作参考构形中定向序化的形核缺陷。曲率张量等于零将使连络可积，即可以用旋转场"
j
i
S
表
示为
j "T j "l
ki l k i
Γ = S ∂ S
)
，由连络的变换关系(9)，除非"
j
i
S
处处等于零，否则连络j
ki
Γ 无挠和变形
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j
i
f
可积不可兼得。
弹性纯变形可以由当前构形中的应力状态通过本构关系确定，对于有缺陷的变形过程，
当前构形中介质微团的平均旋转并没有唯一的定义之法。如果从当前构形的连络出发进行定
义，根据同伦分析
[2]，相对固体内任一点的变形( ) 0 i r
j
f
，连络定义了唯一的变形场i (r)
k
f
，
满足积分方程
( ) ( )
( )( ) 0 0 i r i r i k l r
j j kl j
A
= A −H Γ dx A ， (22)
其中
H 是同伦算子，可见当前构形的连络不仅确定了旋转场，还确定了变形场（可以相差
一个均匀变形），如果进一步限定连络是无挠的（固体的表示空间是黎曼空间），则曲率张量
等于零与变形场可积等价，这就是变形相容性的经典表述；如果不限制连络是无挠的，则度
量张量、挠率张量和曲率张量是浑然一体的，全由当前构形的连络
j
ki
Γ 确定，弹性变形、位
错、旋错的分界也是不清楚的。
如果用弹性纯变形场来定义旋转场，如式(2)所示，则只要纯变形场是连续可微的，总
弹性变形就总是可积的，这时位错和旋错由参考构形的连络确定，而与弹性变形无关。当然
由于对总弹性变形做了可积性限定，不必再限定当前构形中的连络是无挠的。这样，上述基
于参考构形的表述使弹性变形、位错、旋错具有清晰的分界，而弹性变形的相容性条件可以
确定为没有位错（旋错）的变形过程（可以允许塑性流动）。
6
．结语
弹性纯变形场
j
i
v
较之位移场ui是容易从变形固体的当前状态进行确定的，这一事实导
致弹性变形相容性的讨论。但实际上更为重要的是弹性变形不相容性的刻划，对于小变形情
况，郭仲衡和梁浩云
[4]已经通过变形协调性的分析对位错、旋错等缺陷进行了分类定义，对
有限变形情况，可否通过类似的分析来得到位错、旋错等缺陷的描述，是研究复杂变形过程
的必要基础。
本文对变形固体的空间结构进行了深入的讨论，提出基于参考构形的、将缺陷独立于弹
性变形的变形描述理论，使弹性变形、位错、旋错具有清晰的分界，为将来建立包含缺陷等
广义变形的力学理论奠定了基础。
参考文献
[1] 邹文楠. 论变形的分解[A]. 程昌钧, 戴世强, 刘宇陆: MMM-VII 会议文集[C]. 上海：上海大学出版社,
1997, 141-144.
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Applied Exterior Calculus [M]. John Wiley & Sons, 1985.
[3] Chern S S, et al. Lectures on Differential Geometry [M]. Singapore: World Scientific, 1999.
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[5] 王自强. 理性力学基础[M]. 科学出版社, 2000.
[6] Schwarz A S.
Topology for Physicists [M]. Springer-Verlag: Berlin, 1994.
[7] 匡震邦. 非线性连续介质力学基础[M]. 西安交通大学出版社, 1989.
[8] 黄义. 张量及其在连续介质力学中的应用[M]. 冶金工业出版社, 2002.
[9] 郭仲衡. 非线性弹性理论[M]. 科学出版社, 1987.
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On the Compatibility of Elastic Deformation
Wennan ZOU Hong DONG Xiaozhang QU
Institute of Engineering Mechanics, Nanchang University, Jiangxi Nanchang, PRC, 330031
Abstract
The compatibility of elastic deformation was studied, especially for the description of incompatibility.
According to the analysis of elastic deformation and the features of spatial structures including
deformation measure tensor, torsion tensor and curvature tensor in solid, the classical description of
defect by the pure deformation seemed to be paradox. Based on the reference configuration, a new
theory for deformation description that the defect is foreign to the elastic deformation was put forward,
where the elastic deformation, dislocation and dislination were clearly defined, and so a foundation
was tried to settle for the mechanical theory of generalized deformation including defect.
Keywords:
Pure Deformation, Deformation Measure Tensor, Connection, Curvature Tensor, Defect
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