两连杆Dd及dp，其中Dd可绕D点转动，dp可绕d点转动．在P点处有一小球，今
分析P点在平面X广 上的运动
http://file.lw23.com/5/5f/5f7/5f7eceab-94d2-4c0e-87f5-36d65bfcfd92.pdf
第2I卷第1期
l992年2月
信息与控制
Information and Control
Vo1．2I，No．I
Fcb．．1992
微分几何方法与非线性控制系统(1)
；7- 张嗣 王景才 刘晓平丫尸z-7a
’
- - _ _ _ _ ● ll● _ _ - _
(东北工学院自控系，沈阳l10006)
．
，
砂珂 身}缓 ．系缀 柱利系
l 引言
近年来，微分几何方法作为一种新的工具，被引入控制系统特别是非线性控制系统的
研究中，并得到很大发展．正如Isidori在[1】中所说：。近10年来，微分几何方法对于非线
性系统的研究证明是成功的，这就象50年代研究单输入单输出线性系统所用的拉氏变换
及复变函数，60年代研究多变量线性系统用线性代数那样 ．
因此，从某种意义上说，微分几何方法的引入，标志着控制理论发展的一个新阶段．
微分几何方法较之拉氏变换或线性代数，似乎更为抽象和困难，事实也确实如此．但
是，微分几何与控制系统之间，毕竟存在着内在联系，不然也不会得到应用和发展．弄清
这些联系，可能就不会感到很抽象了．何况，有时就需要理解和掌握抽象的东西．此外，
由于它涉及数学知识较多，使得学习这种工具增加了难度，但是，只要付出一定努力，理
论工作者和工程师都是能够掌握和运用它的．
本文中，特别是初始阶段，我们将尝试说明一些这种联系并多做些感性上的解释，当
然，也只能做到一定程度．
2 微分几何与控制系统的“接口
R．W．Brockctt于1976年发表了一篇文章旺)，名为。非线性系统及微分几何 ，文中
分析了一个例子．
考虑如下的非线性系统
(f)= 1． (jc)+ 2 )，x(O)= o∈
其中。控制 1， 2可分别取±1或0，于是系统可按 = ± 或 = ± 运动．今
设系统逐次按 =． )，戈=．f2(x)， = 一 )， =一A(x)各运动t单位时问，如果
初始位置为 。，试问运动过程终了后系统是否又回到 o．
设运动终了I对的位置为 (参看图1)，今计算 ．应用展式
(f)= o+t．A(xo)+(等) f,(xo)+口(f’)
经计算后可得
．= 。+
a f2_
．
(xo ．f2(xolJ)+⋯收稿日期：199卜。O9—25
38 信息与挖制I99：苹第2l卷笫I静
可见在一般情况卜，X 同不到 。．
更 的 ： ． ’： ’ 。 ： 的项，
八
图l 运动示意
不是l几帅，J，J 是微分几坷中的李括号
『 1一 i3x ． 一 ( 1)
是系统的·【Ji 位 ，j 佯， 瓶
就与可达集从而与 统的能控性联系起
来， ：是便找到了控刹系统 微分几何问
的一个“接口 ， 使得微分几何有·I『能作为
研究非线性系统的一种上具．
．
，
．
是『fI】量， 进行李括号运算后，
，
朗仍然是一个阳 ．
在以后的研究中，天 一般非线性系统能控问题的结论，粗略 来， 是这样的。 ．
考虑系统
=
．
f(x， “) (2)
定义
，全f．厂( ，u)lu=const} (3)
即，为当“为常数Il寸一【刀．f(x，“)的集合．i 为，所生成的李代数
l
垒fF}L =fΣ，if厂 ，．厂 ，⋯，．厂 j∈ ；
iI I ’
·
．
厂；∈ ．，=1，⋯， z： 2<。c)；t<。c)} (4)
这里
『厂：， 厂；，⋯，．厂 】=f¨，’ 【厂：f．厂；，⋯，f． 一 ，． i1
I!p[J后向前逐次进行李括号运 ． 称为系统(2)flO~控性李代数． - ‘ 一
的所有元岽都是 ， 就是由这些向 按上而的定义进行李括号运算后所生成的
空问，若此空间的维数为n(n为控制系统(2)n 维数)
dim =盯 。 (5)
则称能控性李代数满秩．这时系统(2)是存某种定义下能控的(详见f3D．
山此可看到系统的能控性与李括号以及李代数问的关系．对手线性系统
_ ’
= ,
4x+ΣbfU c ， (6)
· I ’
若用上面的方法处理，可得出能控性条件 ’) ，
rank[b1，⋯，bm；Ab1，⋯， 6 ；⋯；A 一 b1，⋯ A 一 b 。】 疗
这种形式的对于线性系统的能控性条件，是为大家所熟悉的．
微分几何方法不仅能用来研究非线性系统的能控、能观性，还可』11来研究系统的解
耦、线性化、分解、实现理沦等方而的问题．
3 流形与映射
3．1 流形， 一个例子
如所熟知，对1二线性控制系统
张嗣瀛等：微分几何方法与非线性控制系统(1) 39
=
A +Bu (7)
在研究它的一些性质时，例如能控、能观性，可应用线性代数的方法，将状态空间分解为
一
些子空间，如能控子空间，( ，B)-不变子空间等．
但对于一般非线性系统，就不能如上那样处理了．这是因为系统的动态木质不同了，
例如，它不雨如线性系统那样，在状态空间中的某种子空问中描述其运动(比如，在某一
线性子空间 +2x =0上运动，且只是在此平面上运动时，才能到达原点，这也就是能控
子空fH-])，而是在一些子流形上描述其运动，
流形是微分几何中的一个基本概念，这里，不想从严格的定义出发介绍流形，而是试
图从更直观和感性易于接受的角度，引人流形．考虑下面的例子“
两连杆Dd及dp，其中Dd可绕D点转动，dp可绕d点转动．在P点处有一小球，今
分析P点在平面X广 上的运动．
P点的运动由两个参数妒， 所确定，
上的一点来表示(参看罔2及3)
P点运动过程中的任何位置，都可，11下而环而
⑦ @
图2 拱 图3 运动流形
这个环面就是一个二维流形，又称是 一圆和 一圆的拓扑乘积．此流形是P点所有运
动状态的集合．
我们看到，虽然P点实际上是在状态空问( 。， 2)中运动，但若用。在环而上的运动
来描述，则更能反映P点运动的本质，清晰地看出运动规律．若用在(jc。，x2)平而上的运
动来描述 就不能有如上那样完整的几何图象及动态行为． ·
由此例又可看到，流形并不是状态空间中的一个子空间(但二者又有对应关系)．上述
这种对运动的描述，就是用在流形上的运动代替了在状态空问中的运动．
此例的流形有简明的几何图形．但在一般情况下，特别是对于高维系统，就不能这样
简单了．例如若上例d点为一球形铰链，亦即P点呵在以d为中心的球而上运动，这时P
点所有可能的运动状态的集合，是圆与球的拓扑乘积，这在三维空间中画不出来，只能想
象．在使用微分几何为工具时，控制系统是定义在流形上的．
3．2 流形的定义
由上例看到， 流形是一个集合，它与另一集合(状态空问点运动的位 )问 有对应的
关系，亦即可建立“映射 ，而且是连续映射．因此，流形的定义将涉及集合、映射等．
定义流形之前，须先定义。拓扑空问 (一种集合)．
拓扑学乃研究拓扑空间与它们之间的连续映射的数学，研究在l司胚映射下空间的不改
变的性质．这样的空间称为 拓扑等价 空间．
映射的连续性，在拓扑学中用。邻域 的概念描述，而不用 距离
芦
●
40 信息与控制1992年第2l卷第1期
连续映射：映射． —y为连续，若xIf仃何X∈X，以及
． 厂( )存y中的邻域Ⅳ，厂。(Ⅳ)
为 在 内的邻域．
．
同胚映射：映射厂： 一】，及逆映射厂 ：】，一 均为连续映射．且．厂为1—1，连续满
射．
在定义拓扑空间时，又以。开集 代特。邻域 ．此因据开集的定义，开集是其何一点的
邻域．
拓扑空问定义如下：
设 是一集合，r是肘的一个子集组(非空组)，其中的成员叫作 的开集．若r
满足三者下列：(1) M 与空集 是开集：(2) 两个开集的交是开集：(3) 任意多个开集
的并是开集．则r称为 的一个拓扑结构， 简称拓扑．M 配钎了它上而的一个拓扑后，
叫作一个拓扑空问，记作( ，r)，或简记作肘．
再引进几个定义．
Hausdorff空问：(M，r)的仃意两点，分别含于不相交的两开集中，这样n，J(们，r)
称为HausdorlT空问．
拓扑基： 没 上有了拓扑r，且 是r的一组开集，使得r中的每个开集，IlJ? 成
中成员的并集，则 称为拓扑r的一组拓扑基．
笫二可数：若空问 具有可数拓扑基，则称为第二可数空问．
至此，就叮定义流形了．
流形：是一HausdorlI‘空问，具有可数基．它的每一点有邻域同胚 的一个开 集．
3．3 微分流形
流形不一定支持微分运算，可是在应用中，微分运算又是必不可少n，J．把能够支持微
分运算的流形称为微分流形．什么样的流形才能支持微分运算 ?在欣氏 间 中，一
个函数在某点可微，只涉及该点附近的结构，一个订维拓扑流形M，它I1，J 一点都存在
一
个邻域同胚于R 中n，J某个开子集．因此，通过同胚，总可以把定义在肘上的函数局部
表示成 中某个开子集上的函数．具体地说，设 是，l维拓扑流形，．厂： 一R是一实
函数．对任意p∈M，设U是p的邻域，q’：c，一日’( )是同胚．这里q’( )是‘ 中的开子
集，于是复合函数．厂。q’ ：q’(c，)一R是定义在q’( )上的函数．如罔4，．fo q’-1的微分是有
意义的．你( ，q’)是 上的局部 标系，并表示为( ，， ⋯， )．对肘上p点有很多局
图．I M 的局部坐标
部坐标系．函数在该点可微必须刘‘每4、局
部坐标都得可微，否则会{Ij现矛盾．因此
需考虑许多个局部坐标．设(￡，，妒)和(V，
)是任意两个局部坐标系，且￡，n vq= ，
称 0 和 0 ‘为局部坐标系之间的
坐标变换．为解决可微性的矛盾，局部坐
标变换必须是光滑的，这时称(U，~o)f．1l
(V， )是相容的，见图5．
上的一组局部坐标系f(u2， i)}，若U Ul=M，则称M其是的一个图册．若
j
张嗣瀛等：微分几何方法与f 线性控制系统f1) 4
图5 年{I容『{ 局 坐怀
同胚于欧氏空间的开集的片粘起来的几何休，
分流形．
3．4 可微映射
叫‘中的任何两个局部 怀乐 ¨
的，称I皇1册为光滑 册．若光}}『} 册包含
所仃与它棚容的局部 标系，则称是最大
的．在，?维拓扑流形 上给定一个最大的
光滑『冬f』 }A， 贝1j称(31，A)为，? I ：分
形，称A为^ 上的微分构造．这佯 J：定
义在微分流形上的函数对任何局部，、 标
系，其微分均有意义且不会导致矛肝的后
果．粗略地说： 流形可以抽象为由 I：多块
若粘的光滑便可支持微分运算，这就构成微
(1) 中的可做映射，对 中的多元函数，或者 一 中的映刺 ， 偏导数、方向
导数以及Jacobian矩阵， 可以说是数学分析中最主要的基本概念之一，然而这些概念之
间存在着非常桁切的关系，以现代数学观点，它们不但可以统一起来，l州II寸还可以推广到
所需要的更一般的拓扑空间上去．
设D是R 中的开集， 。eD， 厂：D—R 为映射，如果存在一个仅与 。点有关的
线性映射 ，使得对D 内任何一点，有
．
f(x)一．f(x o)一L 。( — o)+rfx， o)
并且， ，Xo)满足条件
则称映射在 o点可微，称线性映射 。为映射
．厂在 o点的导数，记为D厂(xo)，若．厂在D
内每一点，都可微， 称厂在D 内可微，又称厂是D 内的可微映射．
根据定义，能够证明 。
这正是熟知的Jacobian矩阵，记为 ．这样
D f(x 一J r
特别当．厂：R 一 是 元函数时
。 =[ of (
⋯
， (州
(8)
(9)
(10)
线性映射D．厂( )称为导数，但实际上它不是通常所讲的导数，只有作用在一个适当的
向量上，才有可能是通常的导数．Jacobian矩阵是它的具体表示．
例如，设e =(0，⋯，0，1，0，⋯，0) 为R 中的基向量，
．厂：R 一 ， 则
堕 ～
～ ～ ～
(
●
(
一 一
【I
， ，
D
42 信息与控制1992年第2t卷第1期
。
．
厂( )(e )= O Zr
．
( )
是沿 轴的偏导数．令J，∈R ，J，=(J， ，⋯，ym)r，则
， ，
D
．
厂 )(J，)=J， ox 一，( )+⋯J， 0x ，( )
是沿J，方向的方向导数(通常的方向导数是沿单位向量的，与此差一个比例常数)．
’
这样，数学分析中的偏导数、导数、Jacobian矩阵就统一起来了．过去，我们总把在
某点的导数理解成数量，而这里却将其定义为线性映射，类似这种定义，以后多次见到，
必须习惯．
(2) 流形上的可微映射：设 和Ⅳ 分别为 维和，l维的微分流形，F： 一Ⅳ 为映
射，(u， )和( )分别为 和Ⅳ 的局部坐标系，pE U， = ∈V，局部坐标分别
为( 。，⋯，Xm)和(J， ， ⋯， )，在局部坐标下，映射F可表示为
J，’=F ( ‘， ⋯， ) i=1，2， ⋯，r／ (1 1)
称为F的局部坐标表示，这里 = O F o _。，参看图6．
R
映射 OFO ～：R 一R 的性质，就
表示映射F： 一Ⅳ 的性质．例如， 若
O F o 是 映射，称F为C 映射，
O F O 的Jacobian矩阵称为F 的
Jacobian矩阵，记为，F_
若 和Ⅳ 之间存在一个 映射F，
图6 映射的局部表示 逆映射存在且光滑，则称F为微分同胚映
射，M 和 为微分同胚的．若M 和Ⅳ 微分同胚，则二者维数必相等，，，为方阵且非奇
异．反之，若 和Ⅳ 具有相同的维数，其，，在P点非奇异，则F必是P的某个邻域到
的某个邻域上的局部微分同胚．
设．厂： —R为C 映射，即．厂是 上的 函数． 上所有的 函数的集合记为
C ( )，特别是Cpo( ， 表示P点邻域上的Cpo函数集合．同样，从 一R 的Cpo映射
称七维 向量函数，记为cTk(M)．
，
有关流形及映射方面的内容请参见[5-7]． (待续)
参考文献
Isidori A．Nonlinear Control Systcms：An Introduction．Lecture Notes in Control and Inform Sci，Springcr-Verlag，
1985；72
Brockctt R W ．Nonlinear Systems and Diffcrential Goometry．Proceeding ofIEEE，1 976；64：(t)
程代展．非线性系统的儿何理论．北京：科学出版社．I988
A且亚历山大洛夫等．数学，它的内容．意义和方法．第三卷．第十八章．。拓扑学。，北京：科学出版社．1962
陈省身，胨维恒．微分几何讲义．北京：北京大学出版社．1983
詹汉生．微分流形导引．北京：北京大学出版社．1987
Abraham R。Marsden J E．Foundations of Mechanics．MA：Iknjarain／Cummings，2nd ed，1 978
No comments:
Post a Comment