phymath999: 單擺運動相空間之圖形

Wednesday, March 13, 2013

單擺運動相空間之圖形

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d272/27205.pdf

單

擺運動

林

琦焜

『

Philosophy is written in this grand book — I mean the universe —

which stands continually open to our gaze, but it cannot be understood unless

one first learns to comprehend the language and interpret the characters in

which it is written. It is written in the language of Mathematics, and its

characters are triangles, circles, and other geometric figures, without which

it is humanly impossible to understand a single word of it.

』

— Galileo Galilei, Il Saggiatore (1623) —

1 前言

近

代科學之父伽利略(Galileo Galilei 1564-1642), 能夠經由數學的運用, 將人類的推理

能

力應用於自然界, 這是人類理智精華之結晶。現在我們知道自然界的定律, 可以經過實驗, 隔

離

某些不重要的因素, 再細心的觀察, 與數學的推導來加以了解, 這是科學家的世界觀, 也曾是

伽

利略表達得非常清楚的世界觀。近代科學之所以成功, 主要在於科學活動中採取伽利略所揭

示的

定量方法來描述各種現象以取代神學哲學與玄學的解釋, 這也正是他超越古希臘眾博學多

才

之士的地方。

在

所有數學領域中, 就屬微分方程(differential equation) 與大自然的關係最密切, 法國

偉

大數學家Henri Poincare(1854-1912) 在“科學的價值”一書中就曾說:

『

The science of physics does not only give us (mathematicians) an opportu-

nity to solve problems, but helps us to discover the means of solving them,

and it does this in two ways: it leads us to anticipate the solution and

suggests suitable lines of argument.

』

我

個人對於微分方程這門學問的philosophy 正如英國物理學家Dirac 所言真正理解物理問題

的意思是

不用解方程式就看出答案是甚麼。“如果你相信微分方程是在描述大自然的現象, 那麼,

在

你還沒有解方程式之前, 它就應該透露你一些秘密。” 學數學最好是從例子(example) 開始。

單

擺運動33

由於

個人的偏好, 所以選取單擺運動作為這篇文章所要闡述的對象, 聽說伽利略少年時因為教

堂

的崇拜儀式十分乏味使人生厭, 轉而注視教堂吊燈之運動並發現:單擺完成一次擺動與其振幅

無

關。這個方程式直接是牛頓第二運動定律之推論, 與虎克定律有相通處, 甚至到二十世紀的量

子力學也出

現這個方程式, 因為它們都是在描述波(wave) 的現象。所有的微分方程都是一種逼

近

(approximation), 因此要真正了解單擺運動則有賴於橢圓函數(elliptic function)。這門

十九

世紀重要的學問一直到1970年代的孤粒子理論(soliton) 可積系統(integrable system)

才

發揚光大, 我們在最後一節簡單提一下這個理論, 更深入的內容則留給讀者作更進一步的探

討

。

2 鐘擺之運動方程式

單

擺是一理想化物體, 假設有一質點,

以不

能伸長之細繩(表示細繩之質量可以

忽

略) 懸之。然後將擺錘拉往平衡位置之

一

側後釋放, 單擺由於重力的影響而作左

右來

回振盪之運動, 試問其運動方程式?

由

力的分解( 也就是平行四邊形法

則

), 可以將擺錘之重力mg 分解成法向量

cos 與切向量mg sin 兩部分, 法向

量與細

繩之張力互相平衡, 故唯一有作用

的

力是mg sin , 因此回復力為

...

...........................................................................................................................................................

•

...

. .

cos

...................................................................................................

. .

. . .

. .

...............................................................

.....

sin

.........................................................

................................................

◦.

...........

圖

一

= −mg sin (2.1)

另

一方面擺錘之加速度可以這麼看, 因為位移就是弧長x = L , 故加速度a 等於

2 =

2(L )

2 = L

2 (2.2)

由

牛頓第二運動定律(F = ma) 可以導出單擺之運動方程式

2 = −mg sin 或

2 +

sin

= 0 (2.3)

它

表示所考慮的量是隨時間t 按規律(2.3) 而變化, 這是一個二階非線性常微分方程(sec-

ond order nonlinear ordinary differential equation)

。這個方程式看起來簡單, 但實際上卻

有很深

刻的數學內涵。值得提醒的是方程式(2.1) 告訴我們: 回復力F 不與鐘擺移動的角度

數學傳播27卷2期民92年6月

成正比

, 而是與正弦sin 成正比。因此單擺運動並不是簡諧運動(simple harmonic motion)。

但

若擺動的角度很小, ≪ 1 , 單擺運動近乎直線, 則可視為簡諧運動,

(sin

≈ )

= −mg = −mg

−mg

(2.4)

故

擺動角度甚小時, 0 < ≪ 1 , 回復力與位移x 成正比而方向相反, 這正是虎克定律(也就

是

簡諧運動), 方程式(2.3) 則簡化為

2 +

= 0 或

2 +

= 0 (2.5)

因

此方程式(2.5) 的解是原鐘擺方程式(2.3) 的近似解(approximate solution)。由Taylor

展

開式來看

sin

− 3

−. . . (2.6)

所

以對充分小的 , 即單擺之擺動角度很小時方程式(2.5) 是單擺運動方程(2.3) 很好的近似。

3 單擺方程的解

如何

解二階微分方程(2.5)? 這是一門很有趣的學問, 我們將從幾個方向來看這個問題。

3.1

觀察與猜測:

將

(2.5) 移項寫成

2 = −g

(3.1)

這

方程式告訴我們, 要找一個函數x(t) 其二次微分, 除了常數g

外

, 等於原函數之負值, 而且

單

擺運動有最高與最低點, 這相當於函數x(t) 有上界與下界。由微積分的知識知道具有這樣性

質

的就是正弦或餘弦函數。因此可以假設(2.5) 之解為

(t) = Acos(!t + ) (3.2)

因

為

cos(

!t + ) = cos cos !t −sin sin !t = a cos !t + b sin !t

所

以常數之存在以允許(3.2) 是正弦、餘弦函數之組合。(當然(3.2) 也可寫成

(t) = Asin(!t + ) !) 微分兩次後代回(3.1):

−

!2Acos(!t + ) = −g

cos(!t + )

單

擺運動35

若

取!2 = g

, 則方程式(3.1) 的解為

(t) = Acos(!t + ), !2 =

(3.3)

與尚未決定, 為任意常數, 意即(3.1) 有無窮多解, 至於為何會有兩個參數A, , 那是完

全

自然的, 因為(3.1) 本來就是二階微分方程有兩組獨立解!

(3.2)

這個猜測可以換為

(t) = emt (3.2′)

這

理由是因為指數函數的任意次微分仍然是指數函數。將(3.2′) 代回(2.5)

2 +

= 0

⇒ m = ・}

所

以x(t) = e・}i√g/Lt 由Euler 公式取實部與虛部(因為原方程式是實數值!) 因此x(t) =

sin

g/Lt

或cos

g/Lt

, 因為方程式是線性(linear), 所以一般解是這兩個獨立解的線性

組

合

(t) = a cos

+ b sin

(3.3′)

3.2

降階法:

我

們所關心的是鐘擺的擺動, 其速率是角速度, 令

= x˙=

(3.4)

則

(3.1) 成為

˙=

2 = −g

但

另一方面由連鎖律

(3.5)

因

此我們將方程式(3.1) 轉換成一階非線性微分方程

−g

或vdv +

xdx

= 0 (3.6)

這

是一個全微分(total differential)

2 +

= 0

可以

積分

2 +

2 = C (動能+ 位能= 常數) (3.7)

數學傳播27卷2期民92年6月

其中

C 是一常數, 這個等式之本質就是能量守恆律或者寫成

(

)

2 +

2 = C (3.8)

我

們可以透過微分的相反運算(積分) 來解(3.8), 為著方便, 我們令C = 1

A2 (事後孔明!)

開

根號

√

A2 −x2, −A ≤x ≤A (3.9)

這

個方程的典型解法就是分離變數法( x 歸x , t 歸t , 凱撒的歸凱撒, 上帝的歸上帝)

√

A2 −x2

(3.10)

左

邊這個積分正是反三角函數

sin

−1

+ C′ 或cos−1

+ C′

所

以

= Asin

+ C′

, x

= Acos

+ C′

(3.11)

與

(3.3) 完全吻合。而且由(3.9) 更可得知x 之最大值等於A, 所以A 就是振幅(amplitude)

由

初始值即最開始的高度所決定。

降階

法的精神在於引進速度v = dx

這

個新變數, 在微分方程理論我們將(x, v) 平面稱為

相

空間(phase space)。因此二階微分方程(2.5) 可轉換為一階聯立微分方程組

2 +

= 0 ⇐⇒

(

= v

= −g

(3.12)

最後

這兩式相除(將變數t 隱藏) 就是(3.6)

−g

(3.13)

也因

此可以在(x, v) 平面上研究原微分方程(2.5)。我們稱(x, v) 平面為相空間(phase space)

由

能量守恆來看, 可以更清楚明白為何相空間這個觀念對於研究微分方程會如此重要。

單

擺運動37

3.3

能量守恆:

既然方

程式(2.5) 是由牛頓定律而來, 我們就理所當然從力學的角度來思考。首先介紹幾

個

基本物理量

: 位置函數

速度

2 : 加速度

2 =

(

)

2 : 動能(質量視為1)

除

此之外, 力與位能函數之關係F = −dU

, 因此(2.5) 可以改寫為

2 = −g

= −d

−d

(3.14)

其中

U = 1

x2 是位能, 而E = T + U = 1

x2 就是總能量, 我們在(3.7) 就已

推

導得這個能量守恆律。

定

理:(能量守恆)

(t) =

2 = C(常數) (3.15)

證

明:直接微分

2 +

= 0

特

別注意的是, 整個證明過程並不依賴微分方程的精確解(exact solution), 微分方程本身就

已

經告訴我們這個秘密了。從證明的過程反推回去, 如果直接乘dx

, 也可以得到能量守恆律,

並且分別

得到動能T 與位能U

(

2 +

) =

(

T + U)

在

推導過程中, 也清楚看到動能T 是由加速度而來, 位能U 則是力的結果

2 +

= 0

↓ ↓

T U

數學傳播27卷2期民92年6月

方

程式(3.15) 可以視為古典力

學

的Hamilton-Jacobi 方程式, 它

除

了說明能量守恆之外, 由於C 是

任

意常數, 它更代表了等位線(level

curve),

所以將v = dx

視

為另一個

變

數, 則

(t) = E(x, v) =

2 +

C ≥0

其圖

形在(x, v) 平面是橢圓族, 若

= L 則是圓。

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..........

...............

...

....

...

....

........

.........................................................................................................................................................................

........

....

...

U(x) = 1

...............

...

....

...

. .

. . .

. .

. . . .

. .

...

....

, 0)

(

, 0)

(t) = C

..........

•

...

....

...

............

•

...

........

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

.............

圖

二

3.4

幾何觀點—相空間:

從幾

何的角度來探討微分方程這個觀念可以追溯至法國數學家H. Poincare(1854-1912)

與蘇

俄數學家A. Liapunov。我們考慮比(3.12) 更一般的方程式

x˙= p(x, v) ,

v˙= q(x, v) (3.16)

在

物理上(x, v) 代表一系統的狀態即位置(position) 與速度(velocity), 這個平面也稱為相

平

面(phase plane), 因為是描述狀態之變化例如詩人所言「月有陰晴圓缺」就是在描述月相

(moon phase)

之變化。

............... ...................................

(x, v) ...............................................................................................................................................................................................................................................

........

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

.........

(

x + x, v + v)

(

x, v)

...

.......

. ..

. . . . . . .

. .

.......

....

...

...............

(

x, v)

......................................................................................

(dx, dv) ...................................................................

.....

...

....

.....

...........

圖

三

因

為(dx, dv) 代表(x, v) -平面之切向量(tangent vector), 如果將微分方程解之曲線

視

為水流(flow), 則(3.16) 告訴我們在每一點的速度V = (p, q) 其水平分量是p(x, v) 垂直

單

擺運動39

分

量是q(x, v), 透過向量場V = (p, q) 我們可以看出微分方程之積分曲線, 將(3.16) 兩式相

除

(參考(3.13))

(x, v)

(x, v) ≡ f(x, v) (3.17)

這

個方程式告訴我們曲線v 在該點之切線斜率。這正是微分方程之義意—未知函數與其微分

滿

足某關係式(等式), 求此函數? 從歷史而言常微分方程是伴隨微積分發展起來的分析之一分

支

, 如果常微分方程可以被積分, 則由微積分基本定理就達到目的, 也因此這方法稱為面積解法

(quadrature),

但是可以積分的微分方程實在是少之又少。直到1881-1886年間Poincare 將

常

微分方程的研究方法從分析方法轉化為更直觀的幾何方法, 從此開創了常微分方程定性理論

這一

學科, 並為後來的動態系統(dynamical system) 預測了美好的遠景。

回

到(3.12) 或(3.13)

(

dx, dv) = (v,−gx/L),

−gx

如

果你覺得會困惑, 則不妨先將g/L 視為

1, (

dx, dv) = (v,−x) 與向量(x, v) 比

較

正好x, v 互換差一個負號:

(

dx, dv) ⊥ (x, v) 平面上具有這性質的圖

形

就是圓, 同理可推平面上任意向量

(

x, v) 其切向量為(dx, dv)=(v,−gx/L)

的

圖形必定是橢圓(圓的變形), 或者根據

方

程式可以描繪各點之向量場, 則隱約可

...............

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

....

...

. .

. . .

. . . .

. .

...

....

...

. .

. . .

. . . .

. . .

. . . .

. .

...

....

...............................................................................

. .

. . . . .

. .

,−g

)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

.....

, g

)

.............................................................................................

...............

(

−1, 0)

.............................................................................................

...............

, 0)

圖

四

見

其運動軌跡是橢圓。

4 單擺之週期

雖

然由精確解(exact solution) 可以計算單擺之週期, 但是這對於問題的瞭解並沒有幫助。在此我們介紹量綱分析(dimensional analysis) 這個基本且重要的概念, 其實你只需要把

它

想像成物理學中的單位(unit) 即可。對這個問題, 時間與距離(或長度) 是兩個基本量:

→△t (時間) (4.1)

→△x (位移、距離) (4.2)

數學傳播27卷2期民92年6月

速

度與加速度可由這兩個量推導而得

→ △x

△

(4.3)

2 → △x

(

△t)2

(4.4)

方

程式(2.5) 告訴我們d2x

2 , g

x 這兩個的量綱(dimension) 必須是一樣的(方程式就是等式!)

△

(

△t)2 ≈g

△x ⇒ (△t)2 ≈L

(4.5)

所

以由量綱分析不必解微分方程便可容易且正確地猜測單擺的週期T 與

L/g

成正比

∝

⇒ T = C

(4.6)

常數

C 需由精確解而得, 歷史上惠更斯是第一個計算出C = 2 , T = 2

L/g

, 實際上

= 2 並不難猜, 經由適當變換可以假設L/g = 1 , 方程式d2x/dt2 + x = 0 的解是

cos

x, sin x 之組合其周期正好是2 。

我

們也可以從另一個量綱分析的角度來求得單擺之週期(請參考Polya 著; “科學中的數

學

方法”, 單擺之週期與其長度也與重力有關, 可設

∝ L
, T ∝ g (4.7)

兩

者合併T = CL
g ,C 是一純量(scalar), 因為g 的量綱是L

2 (單位是公分

秒

2 )

g = L
(LT−2) = L
+ T−2 (= T) (4.8)

這

個量必須等於週期T (

+ = 0

−

2 = 1 ⇒

(

= 1

= −1

因

此T ∝ L

g−1

或T = CL

g−1

= C

L/g

, 週期T 之精確值可以直接由(3.3) 或

(3.11)

而得。由三角函數之性質可知

(t +

) =

Acos

Acos(!t + 2 + ) = Acos(!t + ) = x(t) (4.9)

因

此x(t) 之週期為

= 2

(4.10)

單

擺運動41

頻

率(frequency) 即單位時間之波數為

(4.11)

因

此

= 2 =

(4.12)

也就

是說! 的物理意義就是角頻率(angular frequency)。

單

擺週期公式最重要的應用就是計算g 的值。取平方得

2 = 4 2L

⇒ g =

2 (4.13)

單擺的PﾀPﾄ

phymath999

Wednesday, March 13, 2013

單擺運動相空間之圖形

No comments:

Post a Comment