lyqtgylkd的空间

2010-10-20 09:54

【转】复数与分形

以前学过复数,但对其本质含义并不了解,今天再看一下,发现很漂亮,特别是下面的视频,很有意思. 复习一下
复数平面复数 z 可以被看作在被称为阿冈图（得名于让-罗贝尔·阿冈）的二维笛卡尔坐标系内的一个点或位置向量。这个点也就是这个复数 z 可以用笛卡尔（直角）坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部 x = Re(z) 和虚部 y = Im(z)。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。

绝对值、共轭与距离 z = re^iφ，则 | z | = r是z的“绝对值”（“模”、“幅值”）。如果z = a + bi, 则.
对所有z及w, 有

。

当定义了距离，复数域便成了度量空间, 我们亦可谈极限和连续。加法、乘法及除法都是连续的运算。
z = a + ib的共轭复数定义为z = a − ib，记作或z ^* 。如图所示，是z在实数线的“倒映”。有

当且仅当z是实数

若 z 非零。这是计算乘法逆最常用的等式。

对于所有代数运算f，共轭值是可交换（commute）的。这即是说。一些非代数运算如正弦“sin”亦有此性质。这是由于i的不明确选择 ——x² = − 1有二解。可是，共轭值是不可微分的（参见全纯函数）。
一复数z = re^iφ的“偏角”为φ。此值对模2π而言是唯一的。

复数运算的几何解释 X = A + B X = AB X = A* 考虑一个平面。一个点是原点 0。另一个点是单位 1。
两个点 A 和 B 的和是点 X = A + B 使得顶点 0, A, B 的三角形和顶点 A, B, X 的三角形是全等的。
两个点 A 和 B 的积是点 X = AB 使得顶点 0, 1, A 的三角形和顶点 0, B, X 的三角形是相似的。
点 A 的共轭复数是点 X = A^* 使得顶点 0, 1, A 的三角形和顶点 0, 1, X 的三角形相互是镜像。

极坐标形式作为替代，复数 z 可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的 r = |z| ≥ 0 和叫做 z 的辐角的 φ = arg(z)。对于 r = 0，任何值的 φ 都描述同一个数。要得到唯一的表示，常规的选择是设置 arg(0) = 0。对于 r > 0 辐角 φ 模以 2π 后是唯一的；就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的 2π 的整数倍数，则它们被认为是等价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制 φ 在区间 (-π,π] 内，就是 −π < φ ≤ π。复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。

从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换

从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换

前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做 atan2 一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:

极坐标形式的符号极坐标形式的符号

被叫做“三角形式”。有时使用符号简写 cosφ + isinφ。使用欧拉公式还可以写为

这叫做“指数形式”。

极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式得到

和

依据棣美弗定理做整数幂的指数运算，

任意复数幂的指数运算在条目指数函数中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法，乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以 i 对应于一个逆时针旋转 90 度(π/2 弧度)。方程 i² = −1 的几何意义是顺序的两个 90 度旋转导致一个 180 度(π 弧度)旋转。甚至算术中的 (−1) · (−1) = +1 都可以被在几何上被理解为两个 180 度旋转的组合。
任何数的所有方根，实数或复数的，都可以用简单的算法找到。n 次方根给出为

对于 k = 0, 1, 2, …, n − 1，这里的表示 r 的主 n 次方根。
碎形
一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集 (Julia set) 是建基于复平面上的点的。

这里