http://math1.ck.tp.edu.tw/%E6%9E%97%E4%BF%A1%E5%AE%89/%E5%AD%B8%E8%A1%93%E7%A0%94%E7%A9%B6/%E7%A7%91%E5%AD%B8%E7%8F%AD/%E8%AA%B2%E7%A8%8B%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC50%E5%96%AE%E5%85%83%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%9A%84%E6%87%89%E7%94%A8%E4%BA%8C.pdf
林信安老師編寫
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−1~
第五十單元微分的應用
(二)
最佳化問題
(求最大值與最小值的應用問題)是數學上很重要一個課題，許多應用的領
域，最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值，最佳化問題是微
分學發展出來的動機之一，因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之
一。本單元的主題是利用微分的技術來求函數的最大值與最小值。
(甲)極值的意義
先觀察定義於閉區間
[a,b]上的多項式函數f(x)的圖形。
上圖中，
D 點是圖形中的最低點，而P 點和A 點（端點）雖然不是最低點，但是在P
點
(A 點)附近的每個點都比P 點(A 點)高，因此P 點和A 點是「局部範圍內的最低點」；
相對地，
E 點是圖形中的最高點，而C 點和B 點（端點）雖然不是最高點，但是在B
點
(C 點)附近的每個點都比B 點(C 點)低，因此它們都是「局部範圍內的最高點」。
接下來我們來說明多項式函數
f(x)的最大值(最小值)與極大值(極小值)之意義：
1.
最大值與最小值：
若
f (x)定義域內的每一個數x，都有f(m)≥f (x)時，則稱f(m)是函數f(x)的最大值。
若
f (x)定義域內的每一個數x，都有f(n)≤f (x)時，則稱f(n)是函數f(x)的最小值。
如上圖，點
E 的y 坐標f(e)為函數f(x)的最大值；點D 的y 坐標f(d)就是函數f(x)的最
小值。
2.
極大值與極小值：
若可找到一個實數
α，使得在實數α附近的某一範圍內的每個數x，都有f(α)≥f (x)時，
則稱
f(α)是f(x)的一個極大值（局部極大值），也可以說，函數f (x)在x＝α處有一個
極大值
f (α)。
若可找到一個實數
β，使得在實數β附近的某一範圍內的每個數x，都有f(β)≤f (x)時，
則稱
f(β)是f(x)的一個極小值（局部極小值），也可以說，函數f(x)在x＝β處有一個極
小值
f (β)。
如上圖，點
C、E、B 的y 坐標f(c)、f(e)與f(b)都是函數f (x)極大值；點A，D，P 的y
坐標
f (a)，f (d)及f (p)都是函數f (x)的極小值。
總結上述的說明，當我們觀察函數
f(x)如波浪起伏的圖形時，圖形相對高點的波峰處
林信安老師編寫
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x
y
a b
q p n m
就是發生極大值的位置；而圖形相對低點的波谷處就是發生極小值的位置。另一方
面，整個圖形最高點就是發生最大值的位置，而最低點就是發生最小值的位置。
(練習1)
(1)設f(x)定義在閉區間[a,b]上,其圖形如右圖所示，
f
(x)的極大值為：
f
(x)的極小值為：
f
(x)的最大值為：
f
(x)的最小值為：
(2)
請問函數f(x)的極大值一定
會大於極小值嗎？
Ans
：(1)極大值：f(q)、f(n)、f(b)；
極小值：
f(a)、f(p)、f(m)
最大值：
f(n)；最小值：f(p)
(2)
極大值不一定會大於極小值
(乙)如何用一階導數判別極值
導數與極值的關係：
觀察一個實例：
f
(x)=ax2+bx+c，由配方可知f(x)在x=
−
b
2
a有極值，而f /(x)=2ax+b，所以f /(
−
b
2
a)=0。
由圖形上來說，表示
f(x)的圖形拋物線在頂點處的切線為水平線。這
個結果可推廣到一般的函數，我們寫成定理。
費馬定理：
若函數
f(x)在x=a 處有極值，而且f(x)在x=a 處可微分，則f /(a)=0。
證明：
不妨假設
(a,f(a))為f(x)的極大點，根據定義f(x)在x=a 附近有極大值f(a)
如果
x>a，則f(x)−f(a)
x
−a
≤
0⇒
x a
f x f a
x a
−−→ +
lim ( ) ( )
≤0
如果
x<a，則
f
(x)−f(a)
x
−a
≥
0⇒
x a
f x f a
x a
−−→ −lim ( ) ( ) ≥0
因為
f /(a)存在，所以
x a
f x f a
x a
−−→ +
lim ( ) ( ) =
x a
f x f a
x a
−−→ −lim ( ) ( ) =0
因此
f /(a)=0
幾何解釋：
定理一
：若A 點是y=f(x)圖形上的一個局部最高點或最低點，而且A 點為切點的切線
存在，則此切線必為水平線。
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[
討論]：
(1)
定理一中f /(a)存在的條件，可以去掉嗎？
不可以！反例：
f(x)=|x|，a=0
因此不可微分的點可能會發生極值。
(2)
定理一的逆定理成立嗎？
逆定理不成立，反例
f(x)=x3 在x=0 處f /(0)=0，
但
f(x)在x=0 不發生極值。
結論：
對於一個函數
f(x)而言，它的極值只可能出現在下面這些點：
(1)滿足
f /(a)=0 的點a 。
(2)
f(x)的不可微分的點(圖形上的尖點、跳躍點、轉折點)
(3)
f(x)的定義域的端點。
如何用一階導函數判別極值：
如何在區間
I 上找可微分函數f(x)的極大值與極小值：
設
α為區間I 上的一個數，
(a)
設α為端點，因為端點一定會產生極值，只要考慮x=α附近，f(x)的增減情形，即可
判斷出
f(α)是極大值或極小值。
(b)
設α不是端點，根據費馬定理，
若
f /(α)不為0，則f(α)一定不是極值；
若
f /(α)=0 時，可以根據x=α兩側f(x)的增減情形，進一步判斷f(α)是極大值或極小值。
利用
(1)的結果與均值定理，可以得出一階導函數與極值的關係：
極值的一階檢定法（簡稱一階檢定法）
設函數
f(x)在x=a 的附近可微分，且f /(a)=0。
(1)
若在a 點附近，當x<a 時，f /(x)>0；當x>a 時，f /(x)<0，
則
f(x)在x=a 處有極大值。
(2)
若在a 點附近，當x<a 時，f /(x)<0；當x>a 時，f /(x)>0，
則
f(x)在x=a 處有極小值。
[
證明]：
(1)
在a 點附近，
設
x<a，f(x)−f(a)=f /(t)(x−a)<0，t 介於x、a 之間⇒f(x)<f(a)
O(0,0)
x
y
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設
x>a，f(x)−f(a)=f /(s)(x−a)<0，s 介於x、a 之間⇒f(x)<f(a)
所以
f(x)在x=a 處有(相對)極大值。
(2)
在a 點附近，
設
x<a，f(x)−f(a)=f /(t)(x−a)>0，t 介於x、a 之間⇒f(x)>f(a)
設
x>a，f(x)−f(a)=f /(s)(x−a)>0，s 介於x、a 之間⇒f(x)>f(a)
所以
f(x)在x=a 處有(相對)極小值。
這個結果可以用以下的圖形為模型，來加以理解：
[
討論]：若f(x)在x=a 附近，f /(x)沒有變號，那麼f(a)會是極值嗎？
[例題1]
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx−3 在x=1、−3 有極值，求a,b 之值。
[
解法]：
因為函數
f(x)在x=1、−3 有極值且f /(1)且f /(−3)存在，根據費馬定理，
可以得知
f /(1)=f /(−3)=0
f
/(x)=3x2+2ax+b
所以
f /(1)=3+2a+b=0，f /(−3)=27−6a+b=0
故可解得
a=3，b=−9。
[例題2]
求函數 f(x)=3x5−5x3 在區間[−2,2]的極大值、極小值。
[
解法]：
由
f /(x)=15x4−15x2=15x2(x−1)(x+1)⇒f /(x)=0⇒x=0，−1，1。
以
f /(x)=0 的根為與端點：−2、−1、0、1、2 分段討論，並列出下表：
由函數極值的一階檢定法，我們有：
(1
°)在x=−1 處，圖形左側遞增、右側遞減，f(x)在x=−1 有極大值f(−1)=2；
a
f
/ >0 f / <0
a
f
/ <0 f / >0
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(2
°)在x＝1 處，圖形左側遞減、右側遞增，f(x)在x=1 有極小值f(1)=−2
(3
°)在定義域的端點x=−2、x=2
f
(x)在x＝−2 有極小值f (−2)＝−56；f(x)在x＝2 有極大值f(2)＝56。
(4
°)在x=0 處，圖形兩側都遞減，因此f(x)在x=0 並不會產生極值。
(練習2)
已知函數 f(x)=x4+2x3−ax2+bx+1 在x=1、−2 有極值，求a,b 之值。
Ans
：a=3、b=−4
(練習3)
試求函數 f (x)＝－x4＋2x2－1 在區間［－2，2］的極大值、極小值。
Ans
：極大值f(−2)=−9、f(1)=0，極小值f(1)=0、f(2)=−9
連續函數的最大值與最小值：
連續函數在開區間上不一定會有最大值、最小值；但是在閉區間上一定會有最大值與
最小值。我們用下面的例子來說明：
下圖為多項式函數
f(x)= x3−3x+1 的圖形，考慮f(x)在下列區間的最大值與最小值：
(1)
閉區間[−2.1,2.1]
(2)
開區間(−1.5,1.5)
(3)
開區間(−2.1,2.1)
在閉區間
[−2.1 , 2.1]中，根據下圖，可以得知最高點與最低點分別為端點E、F，因此
f
(−2.1)為最小值，f(2.1)為最大值。
在開區間
(−1.5,1.5)中，根據下圖，可以得知最高點與最低點分別為B 點與A 點，因
此
f(−1)為最大值，f(1)為最小值。
在開區間
(−2.1,2.1)中，根據下圖，當x 由2.1 的左側接近2.1 時，f(x)的值會愈來愈大，
但是因為
f(2.1)並不在考慮的範圍內，因此f(x)並沒有最大值；同樣的，當x 由−2.1 的
右側接近
−2.1 時，f(x)的值會愈來愈小，但是因為f(−2.1)並不在考慮的範圍內，因此
f
(x)並沒有最小值。
結果是
f(x)在開區間(−2.1,2.1)上有極值但是沒有最大值與最小值。
林信安老師編寫
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因為函數
f(x)的圖形是一個連續不斷的曲線，當我們從圖形上截取一段含有端點的圖
形時，這一段圖形一定會有最高點與最低點，就像
f(x)在閉區間[−2.1,2.1]上有最大值
與最小值；但是當我截取的圖形不含端點時，就可能在這段圖形上找不到最大值或最
小值，就像
f(x)在開區間(−2.1,2.1)上沒有最大值與最小值。
這個事實是連續函數的一個重要性質：
連續函數的最大值與最小值定理：
若
f(x)為閉區間[a,b]上的連續函數，則f(x)在[a,b]上一定可以找到最大值與最小值。
根據上面的定理，
連續(多項式)函數在閉區間上一定會有最大值與最小值，因此可以
先求出極值之後，再取極大值中最大者為最大值，極小值中最小者為最小值。
[例題3]
設函數 f (x)＝x3−6x2＋9x＋4，x∈［－1，4 ］的
(1)
試求f(x)的極值。
(2)
試求f(x)的最大值與最小值。
[
解法]：
(1)
極值發生在f /(x)=0 的實根處或定義域的端點：
導函數
f /(x)＝3x2－12x＋9＝3 ( x－1 )( x－3 )，令f /(x)=0，解得x＝1 或3，
因此
f (x)的極值只可能出現在x＝1，3 及端點x＝−1，4 等處。
由下表再根據前面的結果，可以得知：
f
(x)的極大值為f(1)=8、f(4)=8；極小值為f(−1)=−12、f(3)=4。
(2)
比較函數在各臨界點及定義域端點的值：
因
f (x)定義在閉區間，故f (x)有最大值、最小值，且一定是極值之一，
由列表得函數
f (x)在區間［−1，4］上的最大值(極大值中最大者)為8，
最小值
(極小值中最小者)為−12。
[例題4]
請求出函數 f(x)=
x
−1
x
2+3 之極大值與極小值。
Ans
：f(−1)為極小值，f(3)=
16
為極大值
林信安老師編寫
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圖一圖二
(練習4)
求 f(x)=(x+3)3(x−2)2 的極大值、極小值。
Ans
：極大值f(0)=108，極小值f(2)=0
(練習5)
設 f(x)=x3−12x+2，−3≤x≤5，
試求
f (x)之極大值，極小值，最大值，最小值。
Ans
：
極大值：
f(−2)=18，f(5)=67，極小值：f(−3)=11，f(2)=−14，最大值：f(5)=67，
最小值：
f(2)=−14
(練習6)
試求 f(x)=
x
−2
x
2−3的極值。 Ans：極大值f (3) 1
6
=
，極小值f (1) 1
2
=
。
(練習7)
試求 f(x)=x+2sinx，0≤x≤2π 的極值。
Ans
：g(0)=0，g(
4
π
3 )=
4
π
3
−3極小值；g(
2
π
3 )=
2
π
3 + 3
，g(2π)=2π極大值。
(丙)如何用一階與二階導數判別極值
由一階及二階導函數判別函數的極值：
極值的一階檢定法重點是判斷導數等於
0 的點兩側函數的增減情形，除了這樣的想法
之外，還可以根據導數等於
0 的點兩側函數圖形的凹向來找極大值或極小值。
我們觀察函數圖形極大點與極小點附近圖形的凹向：
如下圖一，在函數圖形的極大點（切線斜率為
0 處）附近，圖形是凹口向下；如下圖
二在函數圖形的極小點（切線斜率為
0 處）附近，圖形是凹口向上。
反之，若函數
f (x)在x=α處的導數為0，且在該點附近的圖形是凹口向下，則f (α)
是極大值；若函數
f (x)在x=β 處的導數為 0，且在該點附近的圖形是凹口向上，則f (β)
是
f (x)的一個極小值。一般情形下，我們有下面的結果：
定理：
設
f(x)在(a,b)上可微分，設x0∈(a,b)且f /(x0)=0，f //(x0)存在。
(1)
若f //(x0)<0，則f(x)在x=x0 處有相對極大值。
(2)
若f //(x0)>0，則f(x)在x=x0 處有相對極小值。
林信安老師編寫
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y
=x4 y=x5
證明：
(1)
考慮f //(x0)<0 的情形，因為二階導數是通過一階導數定義的，所以f //(x0)存
在，隱含了
f /(x)在x0 附近是存在的。
f
//(x0)=
0
0
/
( ) / ( )
lim
0
x x
f x f x
x x
−−→
=
0
/
( ) lim
0
x x
f x
x
→x −<0
⇒
存在r>0 使得當x∈(x0−r,x0+r)時，
f
/(x)
x
−x0
<0
⇒
x>x0，f /(x)<0 且x<x0，f /(x)>0 ⇒f(x)在x=x0 處有相對極大值。
值得注意的是，如下圖，令
f(x)=x4、g(x)=x5，滿足f /(0)=f //(0)=0 且g/(0)=g//(0)=0，
(0,0)
為f(x)=x4 的極值點，而(0,0)為g(x)=x5 的反曲點。
因此當
f /(α)=f //(α)=0 時，(α,f(α))可能為極值點或反曲點，故必須再討論這些點左右
f
(x)的單調性，才能得出f(α)是否為極值。
結論：
若
f(x)為連續函數，則
(1)
f /(a)
≠0 ⇒f(x)在x=a 不會產生極值。
(2)
滿足f /(a)=0 的點(a,f(a))會有下列三種情形：
f
//(a)<0
⇒點(a,f(a))是極大點⇔ f(x)在x=a 產生極大值f(a)
f
//(a)>0
⇒點(a,f(a))是極小點⇔ f(x)在x=a 產生極小值f(a)
f
//(a)=0
⇒點(a,f(a))可能是反曲點或極大(小)點
[例題5]
試利用極值的二階檢定法求函數 f(x)=3x5−5x3 在區間[−2,2]的極大值、極小值。
[
解法]：
先求
f /(x)=15x4−15x2=15x2(x−1)(x+1)⇒f /(x)=0⇒x=0，−1，1。
f
//(x)=60x3−30x=30x(2x2−1)
因為
f /(−1)=f /(0)=f /(1)=0，且f //(−1)<0，f //(0)=0，f //(1)>0
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根據二階檢定法可以得知
f(x)在x=−1 有極大值f(−1)=2；f(x)在x=1 有極小值
f
(1)=−2。
在
x=0 處f /(0)=f //(0)=0，根據二階檢定法並無法得知f(0)是否為極值，端點
x
=−2、x=2 處，也是一樣無法由二階導數得知是否為極值。
所以要判斷
f(−2)、f(2)與f(0)是否為極值，必須根據例題2 的作法，討論這些
點左右的
f(x)的單調性，才能得出f(−2)為極小值、f(2)為極大值，f(0)不為極
值。
[例題6]
試求 f(x)=x−2sinx，0≤x≤2π的極值與最大值與最小值。
Ans
：極大值f(
5
π
3 )
、f(0)；極小值f(
π
3
)
、f(2π)；最大值f(
5
π
3 )
，最小值f(
π
3
)
[例題7]
設 f(x)= 3
1
3
2
x
(6 −x) ，試求f(x)的極值。
Ans
：極小值f(0)=0，f(4)= 3
5
2
極大值
(練習8)
試求函數 f (x)=x5－10x3－20x2－15x＋150 的極大值與極小值。
Ans
：極小值f (3)＝－102，極大值f (－ 1)＝154。
(練習9)
求函數 f(x)=3x5−5x3 的極大值、極小值。
Ans
：極大值f(−1)=2，極小值f(1)=−2
(練習10)
求 f (x) = 3 x ⋅(x −7)2的極值。
Ans
：極大值f(1)=36，極小值f(7)=0。
(練習11)
試求函數 f(x)=x⋅2x−x2的最大值、最小值。
林信安老師編寫
~39
−10~
Ans
：最大值f(
32
)=
3 3
4
，最小值f(0)=f(2)=0
(練習12)
試求 f(x)=x+cosx，−2π≤x≤2π的極值。
Ans:
f(2π)=2π+1 極大值，f(−2π)=−2π+1 極小值。
(丁)極值的應用
前面各小節中已經介紹了如何利用一階、二階導函數來求函數的極值，有了這些工具
之後，可以將其利用在許多最佳化的問題上
(求最大值與最小值的應用問題)，在處理
這些問題時，首先要了解題意並釐清問題方向，適當地選取變數
x（使所求值發生變
化的關鍵），並依題意定出函數
f (x)，此時要特別注意變數x 的範圍，然後找出函數
在該範圍內的臨界點
(一階導函數之根與定義域的端點)，再計算函數的最大值或最小
值，並且回顧問題的最大值與最小值是否合理。
[例題8]
用一塊寬 3 公尺、長8 公尺的白鐵板，先在四個角各截去相同大小的正方形，
然後摺起四邊焊接起來，形成一個無蓋的長方體蓄水箱，試問在各角截去的
正方形邊長應為多少，才能使水箱的容積（鐵板厚度不計）為最大？又其最
大容積為多少？
[
解法]：
先求出水箱各邊長，然後計算容積。
(1)
根據題意，選取變數x：
設截去的正方形邊長為
x 公尺，此時水箱底邊的長、寬分別為 ( 8－2x ) 公尺
與
( 3
－2x )公尺，高為x 公尺，故水箱的容積為x ( 8－2x ) ( 3－2x ) 立方公尺。
(2)
依題意定出函數f (x)，並標示變數x 的範圍：
令
f (x)＝x ( 2x－8 ) ( 2x－3 )＝4x3－22x2＋24x，其中0<x<
3
2
，欲求 f (x)的最
大值。
(3)找出函數f (x)的最大值：
計算
f (x)的第一階導函數f /(x)＝12x2－44x＋24＝4 ( x－3 ) ( 3x－2)，
得
f / (x)=0 的根為x=
2
3
，3（不合）。
實際問題
選取適當變數
x
(
注意x 的範圍) 形成函數 f(x)
利用一階
二階導函數 求出最大值與
最小值
回顧問題檢驗答案的
合理性
林信安老師編寫
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−11~
x
0<x<
2
3
x=
2
3
2
3 <
x<
3
2
f
/(x) + 0 −f (x) 200
27
由上表可以得知
f (x)在0<x<
3
2
中只有一個極大值，故 f(
23
)=
200
27
為最大值。
因此在各角截去邊長為（約
0.67）公尺的正方形時，可摺成一個有最大容積的無蓋長
方體蓄水箱，其容積為
200
27
（約 7.41）立方公尺。
[例題9]
傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針
在變形時永遠保持為圓柱體，其底圓半徑原為
12 公分且以每秒1 公分的等
速率縮短，而長度以每秒
20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能
從
12 公分縮到4 公分為止， 且知在這段變形過程中， 當底圓半徑為 10 公
分時其體積最大。
(1)
試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？
(2)
試求定海神針原來的長度。
(3)
假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。
(2006 指定甲)
Ans
：(1)2 秒時體積最大(2)60 公分 (3)220 公分
[例題10]
一直圓柱內接於一已知定直圓錐內(底重合)，當直圓柱有最大體積時求圓柱
與圓錐高之比。
Ans：
13
林信安老師編寫
~39
−12~
[例題11]
設函數 f (x)=x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c 為常數。若f (x)在x＝－1 處有極
值
2，且在x＝3 處也有極值，試求a，b，c 之值。
Ans
：a＝−3，b＝−9，c＝−3
[例題12]
試證明：若 x>0，則
53
x
3+x>2x2 恆成立。
(練習13)
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx−3 在x=1、−3 有相對極值，求a,b 之值。
Ans
：a=3，b=−9
(練習14)
點 A(0,1)到拋物線y=x2−x 上點的最短距離為何？ Ans：
5
4
(練習15)
a>0，f(x)=ax3−3ax2−9ax+b 有相對極大值10，相對極小值−22，
則
(a,b)=?Ans：(1,5)
(練習16)
證明在 0<x<π時，x−sinx<x(1−cosx)。
(戊)三次函數的圖形
前面已經討論了函數的遞增、遞減、極大值、極小值，以及凹向等性質，我們將利用
這些性質來討論三次函數的圖形。
因為三次函數的導函數為二次函數，所以函數圖形的局部最高點、最低點各有一個或
根本沒有，因此三次函數圖形的大略形狀可分成兩類：
林信安老師編寫
~39
−13~
(1
°)圖形有一個局部高點與一個局部低點：
(2
°)圖形沒有局部高點或局部低點：
設三次函數
f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d ( a≠0 )，我們可以利用一階、二階導函數來討論它
的圖形：
設三次函數
f(x)=ax3+bx2+cx+d ( a ≠ 0 )⇒ f /(x)=3ax2+2bx+c，f //(x)=6ax+2b
設
f / (x) = 0有兩根α,β ，
而
f //(
−
b
3
a)=0，當x>
−
b
3
a與x<
−
b
3
a，f //(x)異號，所以(
−
b
3
a，f(
−
b
3
a)為反曲點。
(a)
設α、β為兩相異實數(令α<β)
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c =3a(x −α)(x −β)， f // (x) = 3a(2x −α −β)
a
>0 a<0
有一個極大，一個極小，一個反曲點
(b)
設α=β為兩相等實根：
f
/ (x) = 3a(x −α)2， f // (x) = 6a(x −α)
a
>0 a<0
遞增函數，沒有極大極小點，反曲點有一水平切線 遞減函數，沒有極大極小點，反曲點有一水平切線
林信安老師編寫
~39
−14~
(c)
α,β為兩虛數
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c， f // (x) = 6ax + 2b
a
>0 a<0
遞增函數，沒有極大極小點，反曲點沒有水平切線 遞減函數，沒有極大極小點，反曲點沒有水平切線
結論：設
f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c， f / / (x) = 6ax + 2b，Δ = 4(b2 −3ac)
(1)
Δ≠0：y=f(x)的圖形有一個極大點、極小點、反曲點。
(2)
Δ=0：y=f(x)無極大點、極小點，只有一個反曲點，在反曲點有水平切線。
(3)
Δ<0：y=f(x)無極大點、極小點，只有一個反曲點，在反曲點有斜的切線。
[例題13]
(1)證明：f(x)=ax3 的圖形對稱於反曲點(0,0)。
(2)
證明：f(x)=ax3+bx+c 對稱於反曲點(0,c)。
(3)
證明：三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都可以利用平移將圖形
化成
g(x)= ax3+bx+c 的形式。
(4)
證明：三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都是點對稱圖形，
且以反曲點
(
−
b
3
a，f(
−
b
3
a))為圖形的對稱中心。
林信安老師編寫
~39
−15~
[例題14]
設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，如圖，試判別a,b,c,d 之正負。
Ans
：a>0，b>0，c<0，d<0
(練習17)
如圖，已知三次函數的圖形通過(1,0)、(−1,−2)
且與
x 軸相切於原點，試求函數f(x)。
Ans
：x3−x2
(練習18)
已知三次函數 f(x)=x3+kx2+3x+10 有兩個極值，
試求
k 的範圍。
Ans
：k>3 或k<−3
(練習19)
設函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x = 1處有相對極大值7
，而
(−1,−9)是它的一個反曲點，求f (x) =？
Ans
：−x3−3x2+9x+2
(練習20)
試問 y=−x3+5x 的圖形與y=2x+5 有幾個交點？ Ans：1 個
O
x
y
林信安老師編寫
~39
−16~
(己)三次方程式的根
(1)
重根的意義：
給定
n 次多項式方程式f (x)＝0，如果α為定數，k 為正整數(2≤k≤n)且
(
x −α)k | f(x)，但(x −α)k+1 ＼ ｜f (x)，那麼α便是方程式f(x)＝0 的k 重根。
性質：
若
α為n 次方程式f(x)=0 的k 重根(其中2≤k≤n)，
則
f(α)=f /(α)=…f(k−1)(α)=0，但f (k)(α)≠0。
[
證明]：
設
α為f(x)=0 的k 重根(其中2≤k≤n)，令f(x)=(x−α)kQ(x)其中Q(α)≠0
我們可以使用綜合除法將
Q(x)表成：
Q(
x)=an−k(x−α)n−k+an−k−1(x−α)n−k−1+…a1(x−α)+a0，其中a0≠0
f
(x)= an−k(x−α)n+an−k−1(x−α)n−1+…a1(x−α)k+1+a0(x−α)k，
所以可以得知
f(α)=f /(α)=…f(k−1)(α)=0，
但
f (k)(x)=(x−α)R(x)+a0k！，f (k)(α)=a0k！≠0。
(2)
三次方程式的重根：
設實係數三次方程式
ax3＋bx2＋cx＋d＝0，令f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，我們用兩種方法
來討論
f(x)=0 的重根。
對任意實數
α，以x −α為除式我們可以反覆操作綜合除法，將f (x)表示成x −α的多項
式：
得
f (x)＝f (α)＋f /(α) ( x −α)＋
12
f
//(α) ( x −α)2＋a ( x −α)3。
結論：
設
f (x)＝0 為實係數三次方程式，
(1)
f (x)＝0 有二重實根α⇔ f (α)＝f /(α)＝0，但f //(α)≠0，此時由極值的二階檢定法
可知
f (x)有極值f (α)＝0。
因此
x 軸為三次函數圖形的水平切線，切點為極大點或極小點。
(2)
f (x)＝0 有三重實根α ⇔ f (α)＝f /(α)＝f // (α)＝0，此時f (x)的圖形有反曲點
林信安老師編寫
~39
−17~
(
α，f (α))＝(α，0)且過反曲點的切線為y－0＝0 · ( x －α)，
即
x 軸為反曲點的水平切線。
(3)
多項式函數的圖形與n 次方程式的重根：
(a)
當k 偶數，則y=f(x)在(α,0)附近的圖形，如下圖所示：
設
k=2m
f
(x)=(x−α)2mQ(x)，其中Q(α)≠0
在
x=α附近：f(x)≈Q(α)(x−α)2m，因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m 類似
(b)
當k 為大於1 的奇數，則y=f(x)在(α,0)附近的圖形，如下圖所示：
設
k=2m+1
f
(x)=(x−α)2m+1Q(x)，其中Q(α)≠0
在
x=α附近：f(x)≈Q(α)(x−α)2m+1，因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m+1 類似
結論：
(1)
實係數三次函數f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的圖形：
(
α,0) x
(
α,0) x (α,0) x
(
α,0)
x
林信安老師編寫
~39
−18~
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β)) x
x
(
α,0)
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(2)
三次方程式f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 的根有下列的情形：
f
/(x)=3ax2+2bx+c=0 兩根為α,β，令Δ=4(b2−3ac)
(A)
f(x)=0 有三相異實根(如右圖)
α
,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)<0
(B)
f(x)=0 有兩相異實根(有二重根)
α
,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)=0
(C)
f(x)=0 有三重根
α
,β為兩相等實根(Δ=0)且f(α)=0
(D)
f(x)=0 有一實根兩共軛虛根
(1
°)α,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)>0
林信安老師編寫
~39
−19~
x
x
(2
°)α,β為兩共軛虛根(Δ<0)
(3
°)α,β為兩相等實根(Δ=0)且f(α)≠0
[例題15]
設 f (x)=x3－3x2－9x＋k，試求滿足下列各條件之k 值：
(1)
f (x)=0 有三相異實根。
(2)
f (x)=0 有一實根與二虛根。
(3)
f (x)=0 有二正根與一負根。
解：
＜方法一＞利用根的性質：
求出
f (x)的導函數f /(x)＝3x2－6x－9＝3 ( x＋1 ) ( x－3 )，
得
f (x)的臨界點為－1， 3，由三次函數的圖形可知f (－1)＝k＋5 為f (x)的極
大值，
f (3)＝k－27 為極小值。
(1)
當f (x)＝0 有三相異實根時，f (x)的極大值、極小值異號，
故
f (−1) f (3)＝( k＋5 )( k−27 )＜0，所以−5＜k＜27。
(2)
當f (x)=0 有一實根與二虛根時，f (x)的極大值、極小值同號，
故
f (−1) f (3)＝( k＋5 )( k−27 )＞0，所以k＜−5 或k＞27。
(3)
當f (x)=0 有二正根與一負根時（三相異實根，或二正重根與一負根），
f
(−1) f (3)＝( k＋5 )( k−27 )≤0，所以−5≤k≤27。
另一方面，由根與係數的關係，知三根乘積－
k＜0，即k＞0。故得 0＜k≤27。
＜方法二＞觀察圖形的交點：
方程式
x3－3x2－9x＋k＝0 的實根就是函數g (x)＝x3－3x2－9x 的圖形
(
有極大值為5，極小值為－27)與直線y＝−k 的交點的橫坐標。
如圖因此觀察圖形相交情形，可以判斷
f (x)＝0 根的狀況：
(1)
當f (x)＝0 有三相異實根時，y＝g (x)的圖形與直線y＝−k 有三個交點，
此時
−5＜k＜27。
(2)
當f (x)=0 有一實根與二虛根時，y＝g (x)的圖形與直線y＝−k 只有一個交
點，
林信安老師編寫
~39
−20~
此時
−k＞5 或−k＜−27，即k＜−5 或k＞27 。
(3)
當f (x)=0 有二正根與一負根時，y＝g (x)的圖形與直線y＝−k 有三個交點，
其中有兩個交點之橫坐標須大於
0，此時0＜k≤27。
[例題16]
已知正數α為三次方程式 x3－x2－8x＋k＝0（其中k 為定數）的二重根，試
求α，
k 及另一根。 Ans：α=2，k=12，−3
(練習21)
設 f(x)=x3−3kx2+k+3 求滿足下列條件之k 值。
(1)
f(x)=0 有三實根。 (2)f(x)=0 有二相異負根一正根。
Ans
：(1)k≤−3 或k≥1 (2)k< −3
(練習22)
試求實數 a 的範圍，使得方程式x3−4x2−3x−a=0 恰有一實根與二共軛虛
根。
Ans：a<−18 或a>
14
27
(練習23)
方程式 2x3−3(k+1)x2+6kx−2k=0 有三個相異實根，求實數k 的範圍。
Ans
：k>2 或k<0
(庚)牛頓法求根
設我們要向銀行貸款
180000 元，希望從下個月開始每個月還3750 元，分五年還清，
那麼月利率是多少呢？解決這個問題，相當於解
48x(1+x)60−(1+x)60+1=0，其中x 代表
月利率。這個方程式並不像二次方程式那樣有公式解，如何能夠用電腦找一個數值解
呢？電腦有很多方法可以找方程式
f(x)=0 數值解，其中一種最常用的是
牛頓法
(Newton’s Method)。
(1)
牛頓法的幾何解釋：
右圖是
y=f (x)圖形的一部分，A 為函數圖形與x 軸的一個交點，則A 的x 坐標
a
就是方程式f (x)＝0 的一個實根。
首先我們可以先找一個值
a1(初始值)，這個值可以用猜的或是畫y=f(x)的
林信安老師編寫
~39
−21~
圖形，來找一個接近根的值。
如右圖，設
A1 ( a1，f (a1) )為y＝f (x)圖形上接近A 的一個點，
今考慮以
A1 ( a1，f (a1) )為切點的切線方程式
L
：y＝f /(a1) ( x－a1 )＋f (a1)，則當L 不是水平線時
（即
f /(a1)≠0），L 與x 軸的交點為A2 (a1－
f
(a1)
f
/(a1) ，0 )
令
a2＝a1－
f
(a1)
f
/(a1) ，如果 A2 點比A1 更接近A（例如a1＞a2＞a），那麼對
方程式
f (x)＝0 的根來說，a2 就是比a1 更好的一個近似值，在這種情形下，由方程式
f
(x)＝0 的根的一個近似值a1 出發，可求得方程式f (x)＝0 根更好的近似值a2。在求
近似值的過程中，有時我們可以反覆操作上面由
a1 求a2 的過程，當f /(a2)≠0 時，令
a
3＝a2－
f
(a2)
f
/(a2) ，重複前述步驟，當 f /(ak)≠0 時，
令
ak＋1＝akf
(
ak)
f
’ak) ，進而得到一數列 a1，a2，a3，…，ak，ak＋1，…，
在適當條件下此數列會收斂，其極限值即為
f (x)＝0 的一個實根。
值得注意的是，如右圖所示，雖然
n
→∞
lim
an 會是f(x)=0 的實根，但是也可能選取到a1 不
甚理想，使得
n
→∞
lim
an 可能不會收斂。因此初始值的選取很重要。
例如：當
f (x)=x2－2 時，f /(x)＝2x，A ( 2，0 )為函數圖形y＝f (x)與x 軸的交點。
(1)
由a1＝2 出發，令a2＝a1－
f
(a1)
f
’a1) ＝2－
2
4
＝
3
2
＝1.5，則作為方程式x2－2＝0 的根
的近似值，
a2＝1.5 確實是比a1＝2 更好的一個近似值。
(2)
由a1＝
32
出發，令
a2＝a1－
f
(a1)
f
’a1) ＝
3
2
－
1
4
3
＝
17
12
，則作為方程式 x2－2＝0
的根的近似值，
a2＝
17
12
≒1.4167 確實是比a1＝1.5 更好的一個近似值。
林信安老師編寫
~39
−22~
[例題17]
給定方程式 x2－k＝0（其中k＞0 ）的根的一個近似值a1，若a1＞ k ，利用
牛頓法找出
a2、a3、…，形成一個數列{an}
(1)
證明：an+1=
12
(
an+
k
a
n
)
。
(2)
證明：an>an+1> k 。
例題
17 中由方程式f (x)=x2−k=0 的根的一個近似值a1 出發，求得更好的近似值a2 的
過程，就是所謂牛頓法求平方根。我們將這個過程整理如下：
牛頓法求平方根的近似值：
求方程式
x2－k＝0（其中k＞0）的正根的近似值，先任選一個大於k 的一個近似值
a
1，然後以a1 與
k
a
1
的算術平均數
a2＝
1
2 (
a1＋
k
a
1
)
作為k 的一個較好的近似值；
依此反覆進行，亦即
a2＝
1
2 (
a1＋
k
a
1
)
，a3＝
1
2 (
a2＋
k
a
2
)
，a4＝
1
2 (
a3＋
k
a
3
)
，…，
這些數的大小關係如下：
a1＞a2＞a3＞a4＞…＞ k 。
如此反覆操作，可得到更好的近似值。
[例題18]
利用牛頓法(取初始值a1=1)與貂?Excel
來找
cosx=x 的近似根到小數點後第6 位。
Ans
：0.739085
林信安老師編寫
~39
−23~
(練習24)
利用牛頓法與 Excel 來找x3−2x−5=0 的近似根到小數點後第6 位。
(1)
取初始值a1=2
(2)
取初始值a1=−5
(3)
請利用圖形來檢討這兩個初始值哪一個較適當。
Ans
：(1)2.094551 (2)−9.45311
(練習25)
試利用牛頓法與 Excel 來求7的近似值到小數點後第8 位。
Ans
：2.6457513123…
林信安老師編寫
~39
−24~
綜合練習
(1)
求下列各函數的極大值與極小值：
(a)
f(x)=x3+3x2−9x+10 (b)f(x)=8x2−x4 (c)f(x)=(x+3)(2x−7)3 (d)f(x)=cosx sin3x。
(2)
求下列各函數的最大值與最小值：
(a)
f(x)=3x−x3 (0≤x≤2)
(b)
f(x)=cos3x−cos2x+2 (提示：可令t=cosx)
(c)
f(x)=(x+2)(4x−1)3 (0≤x≤1)
(d)
f(x)=
3
x
x
2+3x+4 (−3≤x≤3)
(3)
設 f(x)=|x2−1|，試求f(x)的極大值與極小值。
(4)
求函數 f(x)=x⋅16−x2的極值。
(5)
設 f(x)=x2+a(1−x2)為一實係數多項式函數，a 為常數。
下列敘述何者正確：
(A)
不論a是何值， f (x)的函數圖形都不可能是直線。
(B)
不論a是何值，若f (x)有極值，則極值都等於a。
(C) 0
有可能是f (x)的極大值。
(D)
若a ≠ 0方，則f (x) = 0無重根 (2005指定甲)
(6)
f(x)是一個首項係數為1 的實係數三次多項式，k 是一個常數。已知當k<0 或
k
>4 時，f(x)−k=0 只有一個實根；當0<k<4 時，f(x)−k=0 有三個相異實根。
請選出正確的選項。
(1)
f(x)−4=0 和f /(x)=0 有共同實根
(2)
f(x)=0 和f /(x)=0 有共同實根
(3)
f(x)+3=0 任一實根大於f(x)−6=0 的任一實根
(4)
f(x)+5=0 的任一實根小於f(x)−2=0 的任一實根。 (2003 指定甲)
(7)
已知整係數多項式 f (x)滿足f (2) = f (4) = f (6) = 0，而且除了x = 2,4,6之外，
f
(x)的值恆正。下列選項有哪些必定是正確的？
(A)
f (x)的次數至少為6 (B) f (x)的次數為奇數
(C)
f (1)為奇數 (D) f '(4) = 0 (2004指定甲)
(8)
考慮坐標平面上函數 y=x3+2x+3 的圖形(x 為任意實數)，試問下列哪些選項是正
確的？
(2007 指定甲)
(1)
圖形有最高點，也有最低點。
(2)
圖形有水平切線。
(3)
圖形與任一水平直線恰有一交點。
(4)
若(a,b)在圖形上，則(−a,−b+6)也在圖形上。
(5)
圖形與三直線x=0、x=1；y=0 所圍成的區域之面積大於4。
(9)
考慮多項式函數 f(x)=x5+2x4−x3−5x2+3，試問下列那些選項是正確的？
(A)
k
→∞
lim
f
(k)
f
(k+100) =0 (B)
1
lim
x
→
f
(x)−f(1)
x
−1 =0 (C)函數f 在區間[
12
,1]
遞增。
林信安老師編寫
~39
−25~
(D)
若x≥0，則f(x)≥0 (E)在坐標平面上y=f(x)的圖形與直線y=3 恰有兩個交點。
(2006 指
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