http://math1.ck.tp.edu.tw/%E6%9E%97%E4%BF%A1%E5%AE%89/%E5%AD%B8%E8%A1%93%E7%A0%94%E7%A9%B6/%E7%A7%91%E5%AD%B8%E7%8F%AD/%E8%AA%B2%E7%A8%8B%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC50%E5%96%AE%E5%85%83%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%9A%84%E6%87%89%E7%94%A8%E4%BA%8C.pdf
林信安老師編寫
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−1~
第五十單元微分的應用
(二)
最佳化問題
(求最大值與最小值的應用問題)是數學上很重要一個課題,許多應用的領
域,最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值,最佳化問題是微
分學發展出來的動機之一,因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之
一。本單元的主題是利用微分的技術來求函數的最大值與最小值。
(甲)極值的意義
先觀察定義於閉區間
[a,b]上的多項式函數f(x)的圖形。
上圖中,
D 點是圖形中的最低點,而P 點和A 點(端點)雖然不是最低點,但是在P
點
(A 點)附近的每個點都比P 點(A 點)高,因此P 點和A 點是「局部範圍內的最低點」;
相對地,
E 點是圖形中的最高點,而C 點和B 點(端點)雖然不是最高點,但是在B
點
(C 點)附近的每個點都比B 點(C 點)低,因此它們都是「局部範圍內的最高點」。
接下來我們來說明多項式函數
f(x)的最大值(最小值)與極大值(極小值)之意義:
1.
最大值與最小值:
若
f (x)定義域內的每一個數x,都有f(m)≥f (x)時,則稱f(m)是函數f(x)的最大值。
若
f (x)定義域內的每一個數x,都有f(n)≤f (x)時,則稱f(n)是函數f(x)的最小值。
如上圖,點
E 的y 坐標f(e)為函數f(x)的最大值;點D 的y 坐標f(d)就是函數f(x)的最
小值。
2.
極大值與極小值:
若可找到一個實數
α,使得在實數α附近的某一範圍內的每個數x,都有f(α)≥f (x)時,
則稱
f(α)是f(x)的一個極大值(局部極大值),也可以說,函數f (x)在x=α處有一個
極大值
f (α)。
若可找到一個實數
β,使得在實數β附近的某一範圍內的每個數x,都有f(β)≤f (x)時,
則稱
f(β)是f(x)的一個極小值(局部極小值),也可以說,函數f(x)在x=β處有一個極
小值
f (β)。
如上圖,點
C、E、B 的y 坐標f(c)、f(e)與f(b)都是函數f (x)極大值;點A,D,P 的y
坐標
f (a),f (d)及f (p)都是函數f (x)的極小值。
總結上述的說明,當我們觀察函數
f(x)如波浪起伏的圖形時,圖形相對高點的波峰處
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−2~
x
y
a b
q p n m
就是發生極大值的位置;而圖形相對低點的波谷處就是發生極小值的位置。另一方
面,整個圖形最高點就是發生最大值的位置,而最低點就是發生最小值的位置。
(練習1)
(1)設f(x)定義在閉區間[a,b]上,其圖形如右圖所示,
f
(x)的極大值為:
f
(x)的極小值為:
f
(x)的最大值為:
f
(x)的最小值為:
(2)
請問函數f(x)的極大值一定
會大於極小值嗎?
Ans
:(1)極大值:f(q)、f(n)、f(b);
極小值:
f(a)、f(p)、f(m)
最大值:
f(n);最小值:f(p)
(2)
極大值不一定會大於極小值
(乙)如何用一階導數判別極值
導數與極值的關係:
觀察一個實例:
f
(x)=ax2+bx+c,由配方可知f(x)在x=
−
b
2
a有極值,而f /(x)=2ax+b,所以f /(
−
b
2
a)=0。
由圖形上來說,表示
f(x)的圖形拋物線在頂點處的切線為水平線。這
個結果可推廣到一般的函數,我們寫成定理。
費馬定理:
若函數
f(x)在x=a 處有極值,而且f(x)在x=a 處可微分,則f /(a)=0。
證明:
不妨假設
(a,f(a))為f(x)的極大點,根據定義f(x)在x=a 附近有極大值f(a)
如果
x>a,則f(x)−f(a)
x
−a
≤
0⇒
x a
f x f a
x a
−−→ +
lim ( ) ( )
≤0
如果
x<a,則
f
(x)−f(a)
x
−a
≥
0⇒
x a
f x f a
x a
−−→ −lim ( ) ( ) ≥0
因為
f /(a)存在,所以
x a
f x f a
x a
−−→ +
lim ( ) ( ) =
x a
f x f a
x a
−−→ −lim ( ) ( ) =0
因此
f /(a)=0
幾何解釋:
定理一
:若A 點是y=f(x)圖形上的一個局部最高點或最低點,而且A 點為切點的切線
存在,則此切線必為水平線。
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[
討論]:
(1)
定理一中f /(a)存在的條件,可以去掉嗎?
不可以!反例:
f(x)=|x|,a=0
因此不可微分的點可能會發生極值。
(2)
定理一的逆定理成立嗎?
逆定理不成立,反例
f(x)=x3 在x=0 處f /(0)=0,
但
f(x)在x=0 不發生極值。
結論:
對於一個函數
f(x)而言,它的極值只可能出現在下面這些點:
(1)滿足
f /(a)=0 的點a 。
(2)
f(x)的不可微分的點(圖形上的尖點、跳躍點、轉折點)
(3)
f(x)的定義域的端點。
如何用一階導函數判別極值:
如何在區間
I 上找可微分函數f(x)的極大值與極小值:
設
α為區間I 上的一個數,
(a)
設α為端點,因為端點一定會產生極值,只要考慮x=α附近,f(x)的增減情形,即可
判斷出
f(α)是極大值或極小值。
(b)
設α不是端點,根據費馬定理,
若
f /(α)不為0,則f(α)一定不是極值;
若
f /(α)=0 時,可以根據x=α兩側f(x)的增減情形,進一步判斷f(α)是極大值或極小值。
利用
(1)的結果與均值定理,可以得出一階導函數與極值的關係:
極值的一階檢定法(簡稱一階檢定法)
設函數
f(x)在x=a 的附近可微分,且f /(a)=0。
(1)
若在a 點附近,當x<a 時,f /(x)>0;當x>a 時,f /(x)<0,
則
f(x)在x=a 處有極大值。
(2)
若在a 點附近,當x<a 時,f /(x)<0;當x>a 時,f /(x)>0,
則
f(x)在x=a 處有極小值。
[
證明]:
(1)
在a 點附近,
設
x<a,f(x)−f(a)=f /(t)(x−a)<0,t 介於x、a 之間⇒f(x)<f(a)
O(0,0)
x
y
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設
x>a,f(x)−f(a)=f /(s)(x−a)<0,s 介於x、a 之間⇒f(x)<f(a)
所以
f(x)在x=a 處有(相對)極大值。
(2)
在a 點附近,
設
x<a,f(x)−f(a)=f /(t)(x−a)>0,t 介於x、a 之間⇒f(x)>f(a)
設
x>a,f(x)−f(a)=f /(s)(x−a)>0,s 介於x、a 之間⇒f(x)>f(a)
所以
f(x)在x=a 處有(相對)極小值。
這個結果可以用以下的圖形為模型,來加以理解:
[
討論]:若f(x)在x=a 附近,f /(x)沒有變號,那麼f(a)會是極值嗎?
[例題1]
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx−3 在x=1、−3 有極值,求a,b 之值。
[
解法]:
因為函數
f(x)在x=1、−3 有極值且f /(1)且f /(−3)存在,根據費馬定理,
可以得知
f /(1)=f /(−3)=0
f
/(x)=3x2+2ax+b
所以
f /(1)=3+2a+b=0,f /(−3)=27−6a+b=0
故可解得
a=3,b=−9。
[例題2]
求函數 f(x)=3x5−5x3 在區間[−2,2]的極大值、極小值。
[
解法]:
由
f /(x)=15x4−15x2=15x2(x−1)(x+1)⇒f /(x)=0⇒x=0,−1,1。
以
f /(x)=0 的根為與端點:−2、−1、0、1、2 分段討論,並列出下表:
由函數極值的一階檢定法,我們有:
(1
°)在x=−1 處,圖形左側遞增、右側遞減,f(x)在x=−1 有極大值f(−1)=2;
a
f
/ >0 f / <0
a
f
/ <0 f / >0
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(2
°)在x=1 處,圖形左側遞減、右側遞增,f(x)在x=1 有極小值f(1)=−2
(3
°)在定義域的端點x=−2、x=2
f
(x)在x=−2 有極小值f (−2)=−56;f(x)在x=2 有極大值f(2)=56。
(4
°)在x=0 處,圖形兩側都遞減,因此f(x)在x=0 並不會產生極值。
(練習2)
已知函數 f(x)=x4+2x3−ax2+bx+1 在x=1、−2 有極值,求a,b 之值。
Ans
:a=3、b=−4
(練習3)
試求函數 f (x)=-x4+2x2-1 在區間[-2,2]的極大值、極小值。
Ans
:極大值f(−2)=−9、f(1)=0,極小值f(1)=0、f(2)=−9
連續函數的最大值與最小值:
連續函數在開區間上不一定會有最大值、最小值;但是在閉區間上一定會有最大值與
最小值。我們用下面的例子來說明:
下圖為多項式函數
f(x)= x3−3x+1 的圖形,考慮f(x)在下列區間的最大值與最小值:
(1)
閉區間[−2.1,2.1]
(2)
開區間(−1.5,1.5)
(3)
開區間(−2.1,2.1)
在閉區間
[−2.1 , 2.1]中,根據下圖,可以得知最高點與最低點分別為端點E、F,因此
f
(−2.1)為最小值,f(2.1)為最大值。
在開區間
(−1.5,1.5)中,根據下圖,可以得知最高點與最低點分別為B 點與A 點,因
此
f(−1)為最大值,f(1)為最小值。
在開區間
(−2.1,2.1)中,根據下圖,當x 由2.1 的左側接近2.1 時,f(x)的值會愈來愈大,
但是因為
f(2.1)並不在考慮的範圍內,因此f(x)並沒有最大值;同樣的,當x 由−2.1 的
右側接近
−2.1 時,f(x)的值會愈來愈小,但是因為f(−2.1)並不在考慮的範圍內,因此
f
(x)並沒有最小值。
結果是
f(x)在開區間(−2.1,2.1)上有極值但是沒有最大值與最小值。
林信安老師編寫
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因為函數
f(x)的圖形是一個連續不斷的曲線,當我們從圖形上截取一段含有端點的圖
形時,這一段圖形一定會有最高點與最低點,就像
f(x)在閉區間[−2.1,2.1]上有最大值
與最小值;但是當我截取的圖形不含端點時,就可能在這段圖形上找不到最大值或最
小值,就像
f(x)在開區間(−2.1,2.1)上沒有最大值與最小值。
這個事實是連續函數的一個重要性質:
連續函數的最大值與最小值定理:
若
f(x)為閉區間[a,b]上的連續函數,則f(x)在[a,b]上一定可以找到最大值與最小值。
根據上面的定理,
連續(多項式)函數在閉區間上一定會有最大值與最小值,因此可以
先求出極值之後,再取極大值中最大者為最大值,極小值中最小者為最小值。
[例題3]
設函數 f (x)=x3−6x2+9x+4,x∈[-1,4 ]的
(1)
試求f(x)的極值。
(2)
試求f(x)的最大值與最小值。
[
解法]:
(1)
極值發生在f /(x)=0 的實根處或定義域的端點:
導函數
f /(x)=3x2-12x+9=3 ( x-1 )( x-3 ),令f /(x)=0,解得x=1 或3,
因此
f (x)的極值只可能出現在x=1,3 及端點x=−1,4 等處。
由下表再根據前面的結果,可以得知:
f
(x)的極大值為f(1)=8、f(4)=8;極小值為f(−1)=−12、f(3)=4。
(2)
比較函數在各臨界點及定義域端點的值:
因
f (x)定義在閉區間,故f (x)有最大值、最小值,且一定是極值之一,
由列表得函數
f (x)在區間[−1,4]上的最大值(極大值中最大者)為8,
最小值
(極小值中最小者)為−12。
[例題4]
請求出函數 f(x)=
x
−1
x
2+3 之極大值與極小值。
Ans
:f(−1)為極小值,f(3)=
16
為極大值
林信安老師編寫
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圖一圖二
(練習4)
求 f(x)=(x+3)3(x−2)2 的極大值、極小值。
Ans
:極大值f(0)=108,極小值f(2)=0
(練習5)
設 f(x)=x3−12x+2,−3≤x≤5,
試求
f (x)之極大值,極小值,最大值,最小值。
Ans
:
極大值:
f(−2)=18,f(5)=67,極小值:f(−3)=11,f(2)=−14,最大值:f(5)=67,
最小值:
f(2)=−14
(練習6)
試求 f(x)=
x
−2
x
2−3的極值。 Ans:極大值f (3) 1
6
=
,極小值f (1) 1
2
=
。
(練習7)
試求 f(x)=x+2sinx,0≤x≤2π 的極值。
Ans
:g(0)=0,g(
4
π
3 )=
4
π
3
−3極小值;g(
2
π
3 )=
2
π
3 + 3
,g(2π)=2π極大值。
(丙)如何用一階與二階導數判別極值
由一階及二階導函數判別函數的極值:
極值的一階檢定法重點是判斷導數等於
0 的點兩側函數的增減情形,除了這樣的想法
之外,還可以根據導數等於
0 的點兩側函數圖形的凹向來找極大值或極小值。
我們觀察函數圖形極大點與極小點附近圖形的凹向:
如下圖一,在函數圖形的極大點(切線斜率為
0 處)附近,圖形是凹口向下;如下圖
二在函數圖形的極小點(切線斜率為
0 處)附近,圖形是凹口向上。
反之,若函數
f (x)在x=α處的導數為0,且在該點附近的圖形是凹口向下,則f (α)
是極大值;若函數
f (x)在x=β 處的導數為 0,且在該點附近的圖形是凹口向上,則f (β)
是
f (x)的一個極小值。一般情形下,我們有下面的結果:
定理:
設
f(x)在(a,b)上可微分,設x0∈(a,b)且f /(x0)=0,f //(x0)存在。
(1)
若f //(x0)<0,則f(x)在x=x0 處有相對極大值。
(2)
若f //(x0)>0,則f(x)在x=x0 處有相對極小值。
林信安老師編寫
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−8~
y
=x4 y=x5
證明:
(1)
考慮f //(x0)<0 的情形,因為二階導數是通過一階導數定義的,所以f //(x0)存
在,隱含了
f /(x)在x0 附近是存在的。
f
//(x0)=
0
0
/
( ) / ( )
lim
0
x x
f x f x
x x
−−→
=
0
/
( ) lim
0
x x
f x
x
→x −<0
⇒
存在r>0 使得當x∈(x0−r,x0+r)時,
f
/(x)
x
−x0
<0
⇒
x>x0,f /(x)<0 且x<x0,f /(x)>0 ⇒f(x)在x=x0 處有相對極大值。
值得注意的是,如下圖,令
f(x)=x4、g(x)=x5,滿足f /(0)=f //(0)=0 且g/(0)=g//(0)=0,
(0,0)
為f(x)=x4 的極值點,而(0,0)為g(x)=x5 的反曲點。
因此當
f /(α)=f //(α)=0 時,(α,f(α))可能為極值點或反曲點,故必須再討論這些點左右
f
(x)的單調性,才能得出f(α)是否為極值。
結論:
若
f(x)為連續函數,則
(1)
f /(a)
≠0 ⇒f(x)在x=a 不會產生極值。
(2)
滿足f /(a)=0 的點(a,f(a))會有下列三種情形:
f
//(a)<0
⇒點(a,f(a))是極大點⇔ f(x)在x=a 產生極大值f(a)
f
//(a)>0
⇒點(a,f(a))是極小點⇔ f(x)在x=a 產生極小值f(a)
f
//(a)=0
⇒點(a,f(a))可能是反曲點或極大(小)點
[例題5]
試利用極值的二階檢定法求函數 f(x)=3x5−5x3 在區間[−2,2]的極大值、極小值。
[
解法]:
先求
f /(x)=15x4−15x2=15x2(x−1)(x+1)⇒f /(x)=0⇒x=0,−1,1。
f
//(x)=60x3−30x=30x(2x2−1)
因為
f /(−1)=f /(0)=f /(1)=0,且f //(−1)<0,f //(0)=0,f //(1)>0
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根據二階檢定法可以得知
f(x)在x=−1 有極大值f(−1)=2;f(x)在x=1 有極小值
f
(1)=−2。
在
x=0 處f /(0)=f //(0)=0,根據二階檢定法並無法得知f(0)是否為極值,端點
x
=−2、x=2 處,也是一樣無法由二階導數得知是否為極值。
所以要判斷
f(−2)、f(2)與f(0)是否為極值,必須根據例題2 的作法,討論這些
點左右的
f(x)的單調性,才能得出f(−2)為極小值、f(2)為極大值,f(0)不為極
值。
[例題6]
試求 f(x)=x−2sinx,0≤x≤2π的極值與最大值與最小值。
Ans
:極大值f(
5
π
3 )
、f(0);極小值f(
π
3
)
、f(2π);最大值f(
5
π
3 )
,最小值f(
π
3
)
[例題7]
設 f(x)= 3
1
3
2
x
(6 −x) ,試求f(x)的極值。
Ans
:極小值f(0)=0,f(4)= 3
5
2
極大值
(練習8)
試求函數 f (x)=x5-10x3-20x2-15x+150 的極大值與極小值。
Ans
:極小值f (3)=-102,極大值f (- 1)=154。
(練習9)
求函數 f(x)=3x5−5x3 的極大值、極小值。
Ans
:極大值f(−1)=2,極小值f(1)=−2
(練習10)
求 f (x) = 3 x ⋅(x −7)2的極值。
Ans
:極大值f(1)=36,極小值f(7)=0。
(練習11)
試求函數 f(x)=x⋅2x−x2的最大值、最小值。
林信安老師編寫
~39
−10~
Ans
:最大值f(
32
)=
3 3
4
,最小值f(0)=f(2)=0
(練習12)
試求 f(x)=x+cosx,−2π≤x≤2π的極值。
Ans:
f(2π)=2π+1 極大值,f(−2π)=−2π+1 極小值。
(丁)極值的應用
前面各小節中已經介紹了如何利用一階、二階導函數來求函數的極值,有了這些工具
之後,可以將其利用在許多最佳化的問題上
(求最大值與最小值的應用問題),在處理
這些問題時,首先要了解題意並釐清問題方向,適當地選取變數
x(使所求值發生變
化的關鍵),並依題意定出函數
f (x),此時要特別注意變數x 的範圍,然後找出函數
在該範圍內的臨界點
(一階導函數之根與定義域的端點),再計算函數的最大值或最小
值,並且回顧問題的最大值與最小值是否合理。
[例題8]
用一塊寬 3 公尺、長8 公尺的白鐵板,先在四個角各截去相同大小的正方形,
然後摺起四邊焊接起來,形成一個無蓋的長方體蓄水箱,試問在各角截去的
正方形邊長應為多少,才能使水箱的容積(鐵板厚度不計)為最大?又其最
大容積為多少?
[
解法]:
先求出水箱各邊長,然後計算容積。
(1)
根據題意,選取變數x:
設截去的正方形邊長為
x 公尺,此時水箱底邊的長、寬分別為 ( 8-2x ) 公尺
與
( 3
-2x )公尺,高為x 公尺,故水箱的容積為x ( 8-2x ) ( 3-2x ) 立方公尺。
(2)
依題意定出函數f (x),並標示變數x 的範圍:
令
f (x)=x ( 2x-8 ) ( 2x-3 )=4x3-22x2+24x,其中0<x<
3
2
,欲求 f (x)的最
大值。
(3)找出函數f (x)的最大值:
計算
f (x)的第一階導函數f /(x)=12x2-44x+24=4 ( x-3 ) ( 3x-2),
得
f / (x)=0 的根為x=
2
3
,3(不合)。
實際問題
選取適當變數
x
(
注意x 的範圍) 形成函數 f(x)
利用一階
二階導函數 求出最大值與
最小值
回顧問題檢驗答案的
合理性
林信安老師編寫
~39
−11~
x
0<x<
2
3
x=
2
3
2
3 <
x<
3
2
f
/(x) + 0 −f (x) 200
27
由上表可以得知
f (x)在0<x<
3
2
中只有一個極大值,故 f(
23
)=
200
27
為最大值。
因此在各角截去邊長為(約
0.67)公尺的正方形時,可摺成一個有最大容積的無蓋長
方體蓄水箱,其容積為
200
27
(約 7.41)立方公尺。
[例題9]
傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針
在變形時永遠保持為圓柱體,其底圓半徑原為
12 公分且以每秒1 公分的等
速率縮短,而長度以每秒
20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能
從
12 公分縮到4 公分為止, 且知在這段變形過程中, 當底圓半徑為 10 公
分時其體積最大。
(1)
試問神針在變形開始幾秒時其體積最大?
(2)
試求定海神針原來的長度。
(3)
假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒,試求金箍棒的長度。
(2006 指定甲)
Ans
:(1)2 秒時體積最大(2)60 公分 (3)220 公分
[例題10]
一直圓柱內接於一已知定直圓錐內(底重合),當直圓柱有最大體積時求圓柱
與圓錐高之比。
Ans:
13
林信安老師編寫
~39
−12~
[例題11]
設函數 f (x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c 為常數。若f (x)在x=-1 處有極
值
2,且在x=3 處也有極值,試求a,b,c 之值。
Ans
:a=−3,b=−9,c=−3
[例題12]
試證明:若 x>0,則
53
x
3+x>2x2 恆成立。
(練習13)
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx−3 在x=1、−3 有相對極值,求a,b 之值。
Ans
:a=3,b=−9
(練習14)
點 A(0,1)到拋物線y=x2−x 上點的最短距離為何? Ans:
5
4
(練習15)
a>0,f(x)=ax3−3ax2−9ax+b 有相對極大值10,相對極小值−22,
則
(a,b)=?Ans:(1,5)
(練習16)
證明在 0<x<π時,x−sinx<x(1−cosx)。
(戊)三次函數的圖形
前面已經討論了函數的遞增、遞減、極大值、極小值,以及凹向等性質,我們將利用
這些性質來討論三次函數的圖形。
因為三次函數的導函數為二次函數,所以函數圖形的局部最高點、最低點各有一個或
根本沒有,因此三次函數圖形的大略形狀可分成兩類:
林信安老師編寫
~39
−13~
(1
°)圖形有一個局部高點與一個局部低點:
(2
°)圖形沒有局部高點或局部低點:
設三次函數
f (x)=ax3+bx2+cx+d ( a≠0 ),我們可以利用一階、二階導函數來討論它
的圖形:
設三次函數
f(x)=ax3+bx2+cx+d ( a ≠ 0 )⇒ f /(x)=3ax2+2bx+c,f //(x)=6ax+2b
設
f / (x) = 0有兩根α,β ,
而
f //(
−
b
3
a)=0,當x>
−
b
3
a與x<
−
b
3
a,f //(x)異號,所以(
−
b
3
a,f(
−
b
3
a)為反曲點。
(a)
設α、β為兩相異實數(令α<β)
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c =3a(x −α)(x −β), f // (x) = 3a(2x −α −β)
a
>0 a<0
有一個極大,一個極小,一個反曲點
(b)
設α=β為兩相等實根:
f
/ (x) = 3a(x −α)2, f // (x) = 6a(x −α)
a
>0 a<0
遞增函數,沒有極大極小點,反曲點有一水平切線 遞減函數,沒有極大極小點,反曲點有一水平切線
林信安老師編寫
~39
−14~
(c)
α,β為兩虛數
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c, f // (x) = 6ax + 2b
a
>0 a<0
遞增函數,沒有極大極小點,反曲點沒有水平切線 遞減函數,沒有極大極小點,反曲點沒有水平切線
結論:設
f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)
f
/ (x) = 3ax2 + 2bx + c, f / / (x) = 6ax + 2b,Δ = 4(b2 −3ac)
(1)
Δ≠0:y=f(x)的圖形有一個極大點、極小點、反曲點。
(2)
Δ=0:y=f(x)無極大點、極小點,只有一個反曲點,在反曲點有水平切線。
(3)
Δ<0:y=f(x)無極大點、極小點,只有一個反曲點,在反曲點有斜的切線。
[例題13]
(1)證明:f(x)=ax3 的圖形對稱於反曲點(0,0)。
(2)
證明:f(x)=ax3+bx+c 對稱於反曲點(0,c)。
(3)
證明:三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都可以利用平移將圖形
化成
g(x)= ax3+bx+c 的形式。
(4)
證明:三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都是點對稱圖形,
且以反曲點
(
−
b
3
a,f(
−
b
3
a))為圖形的對稱中心。
林信安老師編寫
~39
−15~
[例題14]
設 f(x)=ax3+bx2+cx+d,如圖,試判別a,b,c,d 之正負。
Ans
:a>0,b>0,c<0,d<0
(練習17)
如圖,已知三次函數的圖形通過(1,0)、(−1,−2)
且與
x 軸相切於原點,試求函數f(x)。
Ans
:x3−x2
(練習18)
已知三次函數 f(x)=x3+kx2+3x+10 有兩個極值,
試求
k 的範圍。
Ans
:k>3 或k<−3
(練習19)
設函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在x = 1處有相對極大值7
,而
(−1,−9)是它的一個反曲點,求f (x) =?
Ans
:−x3−3x2+9x+2
(練習20)
試問 y=−x3+5x 的圖形與y=2x+5 有幾個交點? Ans:1 個
O
x
y
林信安老師編寫
~39
−16~
(己)三次方程式的根
(1)
重根的意義:
給定
n 次多項式方程式f (x)=0,如果α為定數,k 為正整數(2≤k≤n)且
(
x −α)k | f(x),但(x −α)k+1 \ |f (x),那麼α便是方程式f(x)=0 的k 重根。
性質:
若
α為n 次方程式f(x)=0 的k 重根(其中2≤k≤n),
則
f(α)=f /(α)=…f(k−1)(α)=0,但f (k)(α)≠0。
[
證明]:
設
α為f(x)=0 的k 重根(其中2≤k≤n),令f(x)=(x−α)kQ(x)其中Q(α)≠0
我們可以使用綜合除法將
Q(x)表成:
Q(
x)=an−k(x−α)n−k+an−k−1(x−α)n−k−1+…a1(x−α)+a0,其中a0≠0
f
(x)= an−k(x−α)n+an−k−1(x−α)n−1+…a1(x−α)k+1+a0(x−α)k,
所以可以得知
f(α)=f /(α)=…f(k−1)(α)=0,
但
f (k)(x)=(x−α)R(x)+a0k!,f (k)(α)=a0k!≠0。
(2)
三次方程式的重根:
設實係數三次方程式
ax3+bx2+cx+d=0,令f(x)=ax3+bx2+cx+d,我們用兩種方法
來討論
f(x)=0 的重根。
對任意實數
α,以x −α為除式我們可以反覆操作綜合除法,將f (x)表示成x −α的多項
式:
得
f (x)=f (α)+f /(α) ( x −α)+
12
f
//(α) ( x −α)2+a ( x −α)3。
結論:
設
f (x)=0 為實係數三次方程式,
(1)
f (x)=0 有二重實根α⇔ f (α)=f /(α)=0,但f //(α)≠0,此時由極值的二階檢定法
可知
f (x)有極值f (α)=0。
因此
x 軸為三次函數圖形的水平切線,切點為極大點或極小點。
(2)
f (x)=0 有三重實根α ⇔ f (α)=f /(α)=f // (α)=0,此時f (x)的圖形有反曲點
林信安老師編寫
~39
−17~
(
α,f (α))=(α,0)且過反曲點的切線為y-0=0 · ( x -α),
即
x 軸為反曲點的水平切線。
(3)
多項式函數的圖形與n 次方程式的重根:
(a)
當k 偶數,則y=f(x)在(α,0)附近的圖形,如下圖所示:
設
k=2m
f
(x)=(x−α)2mQ(x),其中Q(α)≠0
在
x=α附近:f(x)≈Q(α)(x−α)2m,因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m 類似
(b)
當k 為大於1 的奇數,則y=f(x)在(α,0)附近的圖形,如下圖所示:
設
k=2m+1
f
(x)=(x−α)2m+1Q(x),其中Q(α)≠0
在
x=α附近:f(x)≈Q(α)(x−α)2m+1,因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m+1 類似
結論:
(1)
實係數三次函數f (x)=ax3+bx2+cx+d 的圖形:
(
α,0) x
(
α,0) x (α,0) x
(
α,0)
x
林信安老師編寫
~39
−18~
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β)) x
x
(
α,0)
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(
α,f(α))
(
β,f(β))
x
(2)
三次方程式f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 的根有下列的情形:
f
/(x)=3ax2+2bx+c=0 兩根為α,β,令Δ=4(b2−3ac)
(A)
f(x)=0 有三相異實根(如右圖)
α
,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)<0
(B)
f(x)=0 有兩相異實根(有二重根)
α
,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)=0
(C)
f(x)=0 有三重根
α
,β為兩相等實根(Δ=0)且f(α)=0
(D)
f(x)=0 有一實根兩共軛虛根
(1
°)α,β為兩相異實數(Δ>0)且f(α)f(β)>0
林信安老師編寫
~39
−19~
x
x
(2
°)α,β為兩共軛虛根(Δ<0)
(3
°)α,β為兩相等實根(Δ=0)且f(α)≠0
[例題15]
設 f (x)=x3-3x2-9x+k,試求滿足下列各條件之k 值:
(1)
f (x)=0 有三相異實根。
(2)
f (x)=0 有一實根與二虛根。
(3)
f (x)=0 有二正根與一負根。
解:
<方法一>利用根的性質:
求出
f (x)的導函數f /(x)=3x2-6x-9=3 ( x+1 ) ( x-3 ),
得
f (x)的臨界點為-1, 3,由三次函數的圖形可知f (-1)=k+5 為f (x)的極
大值,
f (3)=k-27 為極小值。
(1)
當f (x)=0 有三相異實根時,f (x)的極大值、極小值異號,
故
f (−1) f (3)=( k+5 )( k−27 )<0,所以−5<k<27。
(2)
當f (x)=0 有一實根與二虛根時,f (x)的極大值、極小值同號,
故
f (−1) f (3)=( k+5 )( k−27 )>0,所以k<−5 或k>27。
(3)
當f (x)=0 有二正根與一負根時(三相異實根,或二正重根與一負根),
f
(−1) f (3)=( k+5 )( k−27 )≤0,所以−5≤k≤27。
另一方面,由根與係數的關係,知三根乘積-
k<0,即k>0。故得 0<k≤27。
<方法二>觀察圖形的交點:
方程式
x3-3x2-9x+k=0 的實根就是函數g (x)=x3-3x2-9x 的圖形
(
有極大值為5,極小值為-27)與直線y=−k 的交點的橫坐標。
如圖因此觀察圖形相交情形,可以判斷
f (x)=0 根的狀況:
(1)
當f (x)=0 有三相異實根時,y=g (x)的圖形與直線y=−k 有三個交點,
此時
−5<k<27。
(2)
當f (x)=0 有一實根與二虛根時,y=g (x)的圖形與直線y=−k 只有一個交
點,
林信安老師編寫
~39
−20~
此時
−k>5 或−k<−27,即k<−5 或k>27 。
(3)
當f (x)=0 有二正根與一負根時,y=g (x)的圖形與直線y=−k 有三個交點,
其中有兩個交點之橫坐標須大於
0,此時0<k≤27。
[例題16]
已知正數α為三次方程式 x3-x2-8x+k=0(其中k 為定數)的二重根,試
求α,
k 及另一根。 Ans:α=2,k=12,−3
(練習21)
設 f(x)=x3−3kx2+k+3 求滿足下列條件之k 值。
(1)
f(x)=0 有三實根。 (2)f(x)=0 有二相異負根一正根。
Ans
:(1)k≤−3 或k≥1 (2)k< −3
(練習22)
試求實數 a 的範圍,使得方程式x3−4x2−3x−a=0 恰有一實根與二共軛虛
根。
Ans:a<−18 或a>
14
27
(練習23)
方程式 2x3−3(k+1)x2+6kx−2k=0 有三個相異實根,求實數k 的範圍。
Ans
:k>2 或k<0
(庚)牛頓法求根
設我們要向銀行貸款
180000 元,希望從下個月開始每個月還3750 元,分五年還清,
那麼月利率是多少呢?解決這個問題,相當於解
48x(1+x)60−(1+x)60+1=0,其中x 代表
月利率。這個方程式並不像二次方程式那樣有公式解,如何能夠用電腦找一個數值解
呢?電腦有很多方法可以找方程式
f(x)=0 數值解,其中一種最常用的是
牛頓法
(Newton’s Method)。
(1)
牛頓法的幾何解釋:
右圖是
y=f (x)圖形的一部分,A 為函數圖形與x 軸的一個交點,則A 的x 坐標
a
就是方程式f (x)=0 的一個實根。
首先我們可以先找一個值
a1(初始值),這個值可以用猜的或是畫y=f(x)的
林信安老師編寫
~39
−21~
圖形,來找一個接近根的值。
如右圖,設
A1 ( a1,f (a1) )為y=f (x)圖形上接近A 的一個點,
今考慮以
A1 ( a1,f (a1) )為切點的切線方程式
L
:y=f /(a1) ( x-a1 )+f (a1),則當L 不是水平線時
(即
f /(a1)≠0),L 與x 軸的交點為A2 (a1-
f
(a1)
f
/(a1) ,0 )
令
a2=a1-
f
(a1)
f
/(a1) ,如果 A2 點比A1 更接近A(例如a1>a2>a),那麼對
方程式
f (x)=0 的根來說,a2 就是比a1 更好的一個近似值,在這種情形下,由方程式
f
(x)=0 的根的一個近似值a1 出發,可求得方程式f (x)=0 根更好的近似值a2。在求
近似值的過程中,有時我們可以反覆操作上面由
a1 求a2 的過程,當f /(a2)≠0 時,令
a
3=a2-
f
(a2)
f
/(a2) ,重複前述步驟,當 f /(ak)≠0 時,
令
ak+1=akf
(
ak)
f
’ak) ,進而得到一數列 a1,a2,a3,…,ak,ak+1,…,
在適當條件下此數列會收斂,其極限值即為
f (x)=0 的一個實根。
值得注意的是,如右圖所示,雖然
n
→∞
lim
an 會是f(x)=0 的實根,但是也可能選取到a1 不
甚理想,使得
n
→∞
lim
an 可能不會收斂。因此初始值的選取很重要。
例如:當
f (x)=x2-2 時,f /(x)=2x,A ( 2,0 )為函數圖形y=f (x)與x 軸的交點。
(1)
由a1=2 出發,令a2=a1-
f
(a1)
f
’a1) =2-
2
4
=
3
2
=1.5,則作為方程式x2-2=0 的根
的近似值,
a2=1.5 確實是比a1=2 更好的一個近似值。
(2)
由a1=
32
出發,令
a2=a1-
f
(a1)
f
’a1) =
3
2
-
1
4
3
=
17
12
,則作為方程式 x2-2=0
的根的近似值,
a2=
17
12
≒1.4167 確實是比a1=1.5 更好的一個近似值。
林信安老師編寫
~39
−22~
[例題17]
給定方程式 x2-k=0(其中k>0 )的根的一個近似值a1,若a1> k ,利用
牛頓法找出
a2、a3、…,形成一個數列{an}
(1)
證明:an+1=
12
(
an+
k
a
n
)
。
(2)
證明:an>an+1> k 。
例題
17 中由方程式f (x)=x2−k=0 的根的一個近似值a1 出發,求得更好的近似值a2 的
過程,就是所謂牛頓法求平方根。我們將這個過程整理如下:
牛頓法求平方根的近似值:
求方程式
x2-k=0(其中k>0)的正根的近似值,先任選一個大於k 的一個近似值
a
1,然後以a1 與
k
a
1
的算術平均數
a2=
1
2 (
a1+
k
a
1
)
作為k 的一個較好的近似值;
依此反覆進行,亦即
a2=
1
2 (
a1+
k
a
1
)
,a3=
1
2 (
a2+
k
a
2
)
,a4=
1
2 (
a3+
k
a
3
)
,…,
這些數的大小關係如下:
a1>a2>a3>a4>…> k 。
如此反覆操作,可得到更好的近似值。
[例題18]
利用牛頓法(取初始值a1=1)與貂?Excel
來找
cosx=x 的近似根到小數點後第6 位。
Ans
:0.739085
林信安老師編寫
~39
−23~
(練習24)
利用牛頓法與 Excel 來找x3−2x−5=0 的近似根到小數點後第6 位。
(1)
取初始值a1=2
(2)
取初始值a1=−5
(3)
請利用圖形來檢討這兩個初始值哪一個較適當。
Ans
:(1)2.094551 (2)−9.45311
(練習25)
試利用牛頓法與 Excel 來求7的近似值到小數點後第8 位。
Ans
:2.6457513123…
林信安老師編寫
~39
−24~
綜合練習
(1)
求下列各函數的極大值與極小值:
(a)
f(x)=x3+3x2−9x+10 (b)f(x)=8x2−x4 (c)f(x)=(x+3)(2x−7)3 (d)f(x)=cosx sin3x。
(2)
求下列各函數的最大值與最小值:
(a)
f(x)=3x−x3 (0≤x≤2)
(b)
f(x)=cos3x−cos2x+2 (提示:可令t=cosx)
(c)
f(x)=(x+2)(4x−1)3 (0≤x≤1)
(d)
f(x)=
3
x
x
2+3x+4 (−3≤x≤3)
(3)
設 f(x)=|x2−1|,試求f(x)的極大值與極小值。
(4)
求函數 f(x)=x⋅16−x2的極值。
(5)
設 f(x)=x2+a(1−x2)為一實係數多項式函數,a 為常數。
下列敘述何者正確:
(A)
不論a是何值, f (x)的函數圖形都不可能是直線。
(B)
不論a是何值,若f (x)有極值,則極值都等於a。
(C) 0
有可能是f (x)的極大值。
(D)
若a ≠ 0方,則f (x) = 0無重根 (2005指定甲)
(6)
f(x)是一個首項係數為1 的實係數三次多項式,k 是一個常數。已知當k<0 或
k
>4 時,f(x)−k=0 只有一個實根;當0<k<4 時,f(x)−k=0 有三個相異實根。
請選出正確的選項。
(1)
f(x)−4=0 和f /(x)=0 有共同實根
(2)
f(x)=0 和f /(x)=0 有共同實根
(3)
f(x)+3=0 任一實根大於f(x)−6=0 的任一實根
(4)
f(x)+5=0 的任一實根小於f(x)−2=0 的任一實根。 (2003 指定甲)
(7)
已知整係數多項式 f (x)滿足f (2) = f (4) = f (6) = 0,而且除了x = 2,4,6之外,
f
(x)的值恆正。下列選項有哪些必定是正確的?
(A)
f (x)的次數至少為6 (B) f (x)的次數為奇數
(C)
f (1)為奇數 (D) f '(4) = 0 (2004指定甲)
(8)
考慮坐標平面上函數 y=x3+2x+3 的圖形(x 為任意實數),試問下列哪些選項是正
確的?
(2007 指定甲)
(1)
圖形有最高點,也有最低點。
(2)
圖形有水平切線。
(3)
圖形與任一水平直線恰有一交點。
(4)
若(a,b)在圖形上,則(−a,−b+6)也在圖形上。
(5)
圖形與三直線x=0、x=1;y=0 所圍成的區域之面積大於4。
(9)
考慮多項式函數 f(x)=x5+2x4−x3−5x2+3,試問下列那些選項是正確的?
(A)
k
→∞
lim
f
(k)
f
(k+100) =0 (B)
1
lim
x
→
f
(x)−f(1)
x
−1 =0 (C)函數f 在區間[
12
,1]
遞增。
林信安老師編寫
~39
−25~
(D)
若x≥0,則f(x)≥0 (E)在坐標平面上y=f(x)的圖形與直線y=3 恰有兩個交點。
(2006 指
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