Tuesday, March 12, 2013

不可微分的點可能會發生極值。

不可微分的點可能會發生極值。

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林信安老師編寫


~39

1~

第五十單元微分的應用

()

最佳化問題
(求最大值與最小值的應用問題)是數學上很重要一個課題,許多應用的領

域,最後可能都會歸結到求一個或多個數學式子的最大值與最小值,最佳化問題是微

分學發展出來的動機之一,因此利用微分來解決最佳化的問題必然是它的主要應用之

一。本單元的主題是利用微分的技術來求函數的最大值與最小值。

(甲)極值的意義


先觀察定義於閉區間
[a,b]上的多項式函數f(x)的圖形。

上圖中,
D 點是圖形中的最低點,而P 點和A 點(端點)雖然不是最低點,但是在P

(A )附近的每個點都比P (A )高,因此P 點和A 點是「局部範圍內的最低點」;

相對地,
E 點是圖形中的最高點,而C 點和B 點(端點)雖然不是最高點,但是在B

(C )附近的每個點都比B (C )低,因此它們都是「局部範圍內的最高點」。

接下來我們來說明多項式函數
f(x)的最大值(最小值)與極大值(極小值)之意義:

1.
最大值與最小值:

f (x)定義域內的每一個數x,都有f(m)f (x)時,則稱f(m)是函數f(x)最大值

f (x)定義域內的每一個數x,都有f(n)f (x)時,則稱f(n)是函數f(x)最小值

如上圖,點
E y 坐標f(e)為函數f(x)的最大值;點D y 坐標f(d)就是函數f(x)的最

小值。

2.
極大值與極小值:

若可找到一個實數
α,使得在實數α附近的某一範圍內的每個數x,都有f(α)f (x)時,

則稱
f(α)f(x)的一個極大值(局部極大值),也可以說,函數f (x)xα處有一個

極大值
f (α)

若可找到一個實數
β,使得在實數β附近的某一範圍內的每個數x,都有f(β)f (x)時,

則稱
f(β)f(x)的一個極小值(局部極小值),也可以說,函數f(x)xβ處有一個極

小值
f (β)

如上圖,點
CEB y 坐標f(c)f(e)f(b)都是函數f (x)極大值;點ADP y

坐標
f (a)f (d)f (p)都是函數f (x)的極小值。

總結上述的說明,當我們觀察函數
f(x)如波浪起伏的圖形時,圖形相對高點的波峰處

林信安老師編寫


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2~

x

y

a b

q p n m


就是發生極大值的位置;而圖形相對低點的波谷處就是發生極小值的位置。另一方

面,整個圖形最高點就是發生最大值的位置,而最低點就是發生最小值的位置。

(練習1)
(1)f(x)定義在閉區間[a,b],其圖形如右圖所示,

f

(x)的極大值為:

f

(x)的極小值為:

f

(x)的最大值為:

f

(x)的最小值為:

(2)
請問函數f(x)的極大值一定

會大於極小值嗎?

Ans
(1)極大值:f(q)f(n)f(b)

極小值:
f(a)f(p)f(m)

最大值:
f(n);最小值:f(p)

(2)
極大值不一定會大於極小值

(乙)如何用一階導數判別極值


􀂋
導數與極值的關係:

觀察一個實例:

f

(x)=ax2+bx+c,由配方可知f(x)x=

b

2
a有極值,而f /(x)=2ax+b,所以f /(

b

2
a)=0

由圖形上來說,表示
f(x)的圖形拋物線在頂點處的切線為水平線。這

個結果可推廣到一般的函數,我們寫成定理。

費馬定理:

若函數
f(x)x=a 處有極值,而且f(x)x=a 處可微分,則f /(a)=0

證明:

不妨假設
(a,f(a))f(x)的極大點,根據定義f(x)x=a 附近有極大值f(a)

如果
x>a,則f(x)f(a)

x

a

0

x a

f x f a

x a


−−+

lim ( ) ( )
0

如果
x<a,則

f

(x)f(a)

x

a

0

x a

f x f a

x a


−−lim ( ) ( ) 0

因為
f /(a)存在,所以

x a

f x f a

x a


−−+

lim ( ) ( ) =

x a

f x f a

x a


−−lim ( ) ( ) =0

因此
f /(a)=0

幾何解釋:

定理一
:若A 點是y=f(x)圖形上的一個局部最高點或最低點,而且A 點為切點的切線

存在,則此切線必為水平線。

林信安老師編寫

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3~

[
討論]

(1)
定理一中f /(a)存在的條件,可以去掉嗎?

不可以!反例:
f(x)=|x|a=0

因此不可微分的點可能會發生極值。

(2)
定理一的逆定理成立嗎?

逆定理不成立,反例
f(x)=x3 x=0 f /(0)=0

f(x)x=0 不發生極值。

結論:

對於一個函數
f(x)而言,它的極值只可能出現在下面這些點:

(1)滿足
f /(a)=0 的點a

(2)
f(x)的不可微分的點(圖形上的尖點、跳躍點、轉折點)

(3)
f(x)的定義域的端點。

􀂋
如何用一階導函數判別極值:

如何在區間
I 上找可微分函數f(x)的極大值與極小值:

α為區間I 上的一個數,

(a)
α為端點,因為端點一定會產生極值,只要考慮x=α附近,f(x)的增減情形,即可

判斷出
f(α)是極大值或極小值。

(b)
α不是端點,根據費馬定理,

f /(α)不為0,則f(α)一定不是極值;

f /(α)=0 時,可以根據x=α兩側f(x)的增減情形,進一步判斷f(α)是極大值或極小值。

利用
(1)的結果與均值定理,可以得出一階導函數與極值的關係:

極值的一階檢定法(簡稱一階檢定法)

設函數
f(x)x=a 的附近可微分,且f /(a)=0

(1)
若在a 點附近,當x<a 時,f /(x)>0;當x>a 時,f /(x)<0

f(x)x=a 處有極大值。

(2)
若在a 點附近,當x<a 時,f /(x)<0;當x>a 時,f /(x)>0

f(x)x=a 處有極小值。

[
證明]

(1)
a 點附近,

x<af(x)f(a)=f /(t)(xa)<0t 介於xa 之間f(x)<f(a)

O(0,0)

x

y


林信安老師編寫

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4~

x>af(x)f(a)=f /(s)(xa)<0s 介於xa 之間f(x)<f(a)

所以
f(x)x=a 處有(相對)極大值。

(2)
a 點附近,

x<af(x)f(a)=f /(t)(xa)>0t 介於xa 之間f(x)>f(a)

x>af(x)f(a)=f /(s)(xa)>0s 介於xa 之間f(x)>f(a)

所以
f(x)x=a 處有(相對)極小值。

這個結果可以用以下的圖形為模型,來加以理解:

[
討論]:若f(x)x=a 附近,f /(x)沒有變號,那麼f(a)會是極值嗎?

[例題1]
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx3 x=13 有極值,求a,b 之值。

[
解法]

因為函數
f(x)x=13 有極值且f /(1)f /(3)存在,根據費馬定理,

可以得知
f /(1)=f /(3)=0

f

/(x)=3x2+2ax+b

所以
f /(1)=3+2a+b=0f /(3)=276a+b=0

故可解得
a=3b=9

[例題2]
求函數 f(x)=3x55x3 在區間[2,2]的極大值、極小值。

[
解法]

f /(x)=15x415x2=15x2(x1)(x+1)f /(x)=0x=011

f /(x)=0 的根為與端點:21012 分段討論,並列出下表:

由函數極值的一階檢定法,我們有:

(1
°)x=1 處,圖形左側遞增、右側遞減,f(x)x=1 有極大值f(1)=2

a

f

/ >0 f / <0

a

f

/ <0 f / >0

林信安老師編寫

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5~

(2
°)x1 處,圖形左側遞減、右側遞增,f(x)x=1 有極小值f(1)=2

(3
°)在定義域的端點x=2x=2

f

(x)x2 有極小值f (2)56f(x)x2 有極大值f(2)56

(4
°)x=0 處,圖形兩側都遞減,因此f(x)x=0 並不會產生極值。

(練習2)
已知函數 f(x)=x4+2x3ax2+bx+1 x=12 有極值,求a,b 之值。

Ans
a=3b=4

(練習3)
試求函數 f (x)=-x42x21 在區間[-22]的極大值、極小值。

Ans
:極大值f(2)=9f(1)=0,極小值f(1)=0f(2)=9

􀂋
連續函數的最大值與最小值:

連續函數在開區間上不一定會有最大值、最小值;但是在閉區間上一定會有最大值與

最小值。我們用下面的例子來說明:

下圖為多項式函數
f(x)= x33x+1 的圖形,考慮f(x)在下列區間的最大值與最小值:

(1)
閉區間[2.1,2.1]

(2)
開區間(1.5,1.5)

(3)
開區間(2.1,2.1)

在閉區間
[2.1 , 2.1]中,根據下圖,可以得知最高點與最低點分別為端點EF,因此

f

(2.1)為最小值,f(2.1)為最大值。

在開區間
(1.5,1.5)中,根據下圖,可以得知最高點與最低點分別為B 點與A 點,因

f(1)為最大值,f(1)為最小值。

在開區間
(2.1,2.1)中,根據下圖,當x 2.1 的左側接近2.1 時,f(x)的值會愈來愈大,

但是因為
f(2.1)並不在考慮的範圍內,因此f(x)並沒有最大值;同樣的,當x 2.1

右側接近
2.1 時,f(x)的值會愈來愈小,但是因為f(2.1)並不在考慮的範圍內,因此

f

(x)並沒有最小值。

結果是
f(x)在開區間(2.1,2.1)上有極值但是沒有最大值與最小值。

林信安老師編寫

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6~

因為函數
f(x)的圖形是一個連續不斷的曲線,當我們從圖形上截取一段含有端點的圖

形時,這一段圖形一定會有最高點與最低點,就像
f(x)在閉區間[2.1,2.1]上有最大值

與最小值;但是當我截取的圖形不含端點時,就可能在這段圖形上找不到最大值或最

小值,就像
f(x)在開區間(2.1,2.1)上沒有最大值與最小值。

這個事實是連續函數的一個重要性質:

連續函數的最大值與最小值定理:

f(x)為閉區間[a,b]上的連續函數,則f(x)[a,b]上一定可以找到最大值與最小值。

根據上面的定理,
連續(多項式)函數在閉區間上一定會有最大值與最小值,因此可以

先求出極值之後,再取極大值中最大者為最大值,極小值中最小者為最小值。

[例題3]
設函數 f (x)x36x29x4x[-14 ]的

(1)
試求f(x)的極值。

(2)
試求f(x)的最大值與最小值。

[
解法]

(1)
極值發生在f /(x)=0 的實根處或定義域的端點:

導函數
f /(x)3x212x93 ( x1 )( x3 ),令f /(x)=0,解得x1 3

因此
f (x)的極值只可能出現在x13 及端點x14 等處。

由下表再根據前面的結果,可以得知:

f

(x)的極大值為f(1)=8f(4)=8;極小值為f(1)=12f(3)=4

(2)
比較函數在各臨界點及定義域端點的值:

f (x)定義在閉區間,故f (x)有最大值、最小值,且一定是極值之一,

由列表得函數
f (x)在區間[14]上的最大值(極大值中最大者)8

最小值
(極小值中最小者)12

[例題4]
請求出函數 f(x)=

x

1

x

2+3 之極大值與極小值。

Ans
f(1)為極小值,f(3)=

16

為極大值

林信安老師編寫

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7~

圖一圖二

(練習4)
f(x)=(x+3)3(x2)2 的極大值、極小值。

Ans
:極大值f(0)=108,極小值f(2)=0

(練習5)
f(x)=x312x+23x5

試求
f (x)之極大值,極小值,最大值,最小值。

Ans

極大值:
f(2)=18f(5)=67,極小值:f(3)=11f(2)=14,最大值:f(5)=67

最小值:
f(2)=14

(練習6)
試求 f(x)=

x

2

x

23的極值。 Ans:極大值f (3) 1

6

=
,極小值f (1) 1

2

=

(練習7)
試求 f(x)=x+2sinx0x2π 的極值。

Ans
g(0)=0g(

4
π

3 )=

4
π

3
3極小值;g(

2
π

3 )=

2
π

3 + 3
g(2π)=2π極大值。

(丙)如何用一階與二階導數判別極值


􀂋
由一階及二階導函數判別函數的極值:

極值的一階檢定法重點是判斷導數等於
0 的點兩側函數的增減情形,除了這樣的想法

之外,還可以根據導數等於
0 的點兩側函數圖形的凹向來找極大值或極小值。

我們觀察函數圖形極大點與極小點附近圖形的凹向:

如下圖一,在函數圖形的極大點(切線斜率為
0 處)附近,圖形是凹口向下;如下圖

二在函數圖形的極小點(切線斜率為
0 處)附近,圖形是凹口向上。

反之,若函數
f (x)x=α處的導數為0,且在該點附近的圖形是凹口向下,則f (α)

是極大值;若函數
f (x)x=β 處的導數為 0,且在該點附近的圖形是凹口向上,則f (β)

f (x)的一個極小值。一般情形下,我們有下面的結果:

定理:

f(x)(a,b)上可微分,設x0(a,b)f /(x0)=0f //(x0)存在。

(1)

f //(x0)<0,則f(x)x=x0 處有相對極大值

(2)

f //(x0)>0,則f(x)x=x0 處有相對極小值

林信安老師編寫

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8~

y

=x4 y=x5

證明:

(1)
考慮f //(x0)<0 的情形,因為二階導數是通過一階導數定義的,所以f //(x0)

在,隱含了
f /(x)x0 附近是存在的。

f

//(x0)=

0

0

/

( ) / ( )

lim

0

x x

f x f x

x x


−−

=

0

/

( ) lim

0

x x

f x

x


x <0

存在r>0 使得當x(x0r,x0+r)時,

f

/(x)

x

x0

<0

x>x0f /(x)<0 x<x0f /(x)>0 f(x)x=x0 處有相對極大值。

值得注意的是,如下圖,令
f(x)=x4g(x)=x5,滿足f /(0)=f //(0)=0 g/(0)=g//(0)=0

(0,0)
f(x)=x4 的極值點,而(0,0)g(x)=x5 的反曲點。

因此當
f /(α)=f //(α)=0 時,(α,f(α))可能為極值點或反曲點,故必須再討論這些點左右

f

(x)的單調性,才能得出f(α)是否為極值。

結論:

f(x)為連續函數,則

(1)
f /(a)
0 f(x)x=a 不會產生極值。

(2)

滿足f /(a)=0 的點(a,f(a))會有下列三種情形:

f

//(a)<0
(a,f(a))是極大點f(x)x=a 產生極大值f(a)

f

//(a)>0
(a,f(a))是極小點f(x)x=a 產生極小值f(a)

f

//(a)=0
(a,f(a))可能是反曲點或極大()

[例題5]
試利用極值的二階檢定法求函數 f(x)=3x55x3 在區間[2,2]的極大值、極小值。

[
解法]

先求
f /(x)=15x415x2=15x2(x1)(x+1)f /(x)=0x=011

f

//(x)=60x330x=30x(2x21)

因為
f /(1)=f /(0)=f /(1)=0,且f //(1)<0f //(0)=0f //(1)>0

林信安老師編寫

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9~

根據二階檢定法可以得知
f(x)x=1 有極大值f(1)=2f(x)x=1 有極小值

f

(1)=2

x=0 f /(0)=f //(0)=0,根據二階檢定法並無法得知f(0)是否為極值,端點

x

=2x=2 處,也是一樣無法由二階導數得知是否為極值。

所以要判斷
f(2)f(2)f(0)是否為極值,必須根據例題2 的作法,討論這些

點左右的
f(x)的單調性,才能得出f(2)為極小值、f(2)為極大值,f(0)不為極

值。

[例題6]
試求 f(x)=x2sinx0x2π的極值與最大值與最小值。

Ans
:極大值f(

5
π

3 )
f(0);極小值f(

π
3

)
f(2π);最大值f(

5
π

3 )
,最小值f(

π
3

)

[例題7]
f(x)= 3

1

3

2


x

(6 x) ,試求f(x)的極值。

Ans
:極小值f(0)=0f(4)= 3

5


2
極大值

(練習8)
試求函數 f (x)=x510x320x215x150 的極大值與極小值。

Ans
:極小值f (3)=-102,極大值f (1)154

(練習9)
求函數 f(x)=3x55x3 的極大值、極小值。

Ans
:極大值f(1)=2,極小值f(1)=2

(練習10)
f (x) = 3 x (x 7)2的極值。

Ans
:極大值f(1)=36,極小值f(7)=0

(練習11)
試求函數 f(x)=x2xx2的最大值、最小值。

林信安老師編寫

~39
10~

Ans
:最大值f(

32

)=

3 3

4
,最小值f(0)=f(2)=0

(練習12)
試求 f(x)=x+cosx2π≤x2π的極值。

Ans:
f(2π)=2π+1 極大值,f(2π)=2π+1 極小值。

(丁)極值的應用


前面各小節中已經介紹了如何利用一階、二階導函數來求函數的極值,有了這些工具

之後,可以將其利用在許多最佳化的問題上
(求最大值與最小值的應用問題),在處理

這些問題時,首先要了解題意並釐清問題方向,適當地選取變數
x(使所求值發生變

化的關鍵),並依題意定出函數
f (x),此時要特別注意變數x 的範圍,然後找出函數

在該範圍內的臨界點
(一階導函數之根與定義域的端點),再計算函數的最大值或最小

值,並且回顧問題的最大值與最小值是否合理。

[例題8]
用一塊寬 3 公尺、長8 公尺的白鐵板,先在四個角各截去相同大小的正方形,

然後摺起四邊焊接起來,形成一個無蓋的長方體蓄水箱,試問在各角截去的

正方形邊長應為多少,才能使水箱的容積(鐵板厚度不計)為最大?又其最

大容積為多少?

[
解法]

先求出水箱各邊長,然後計算容積。

(1)
根據題意,選取變數x

設截去的正方形邊長為
x 公尺,此時水箱底邊的長、寬分別為 ( 82x ) 公尺


( 3
2x )公尺,高為x 公尺,故水箱的容積為x ( 82x ) ( 32x ) 立方公尺。

(2)
依題意定出函數f (x),並標示變數x 的範圍:

f (x)x ( 2x8 ) ( 2x3 )4x322x224x,其中0<x<

3

2
,欲求 f (x)的最

大值。
(3)找出函數f (x)的最大值:

計算
f (x)的第一階導函數f /(x)12x244x244 ( x3 ) ( 3x2)

f / (x)=0 的根為x=

2

3
3(不合)。

實際問題

選取適當變數
x

(
注意x 的範圍) 形成函數 f(x)

利用一階

二階導函數 求出最大值與

最小值

回顧問題檢驗答案的

合理性

林信安老師編寫

~39
11~

x

0<x<

2

3
x=

2

3

2

3 <
x<

3

2

f

/(x) + 0 f (x) 200

27

由上表可以得知
f (x)0<x<

3

2
中只有一個極大值,故 f(

23

)=

200

27
為最大值。

因此在各角截去邊長為(約
0.67)公尺的正方形時,可摺成一個有最大容積的無蓋長

方體蓄水箱,其容積為

200

27
(約 7.41)立方公尺。

[例題9]
傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針

在變形時永遠保持為圓柱體,其底圓半徑原為
12 公分且以每秒1 公分的等

速率縮短,而長度以每秒
20 公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能

12 公分縮到4 公分為止, 且知在這段變形過程中, 當底圓半徑為 10

分時其體積最大。

(1)
試問神針在變形開始幾秒時其體積最大?

(2)
試求定海神針原來的長度。

(3)
假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒,試求金箍棒的長度。

(2006 指定甲)

Ans
(1)2 秒時體積最大(2)60 公分 (3)220 公分

[例題10]
一直圓柱內接於一已知定直圓錐內(底重合),當直圓柱有最大體積時求圓柱

與圓錐高之比。
Ans

13

林信安老師編寫

~39
12~

[例題11]
設函數 f (x)=x3ax2bxc,其中abc 為常數。若f (x)x=-1 處有極

2,且在x3 處也有極值,試求abc 之值。

Ans
a3b9c3

[例題12]
試證明:若 x>0,則

53

x

3+x>2x2 恆成立。

(練習13)
已知函數 f(x)=x3+ax2+bx3 x=13 有相對極值,求a,b 之值。

Ans
a=3b=9

(練習14)
A(0,1)到拋物線y=x2x 上點的最短距離為何? Ans

5

4

(練習15)
a>0f(x)=ax33ax29ax+b 有相對極大值10,相對極小值22

(a,b)=?Ans(1,5)

(練習16)
證明在 0<x<π時,xsinx<x(1cosx)

(戊)三次函數的圖形


前面已經討論了函數的遞增、遞減、極大值、極小值,以及凹向等性質,我們將利用

這些性質來討論三次函數的圖形。

因為三次函數的導函數為二次函數,所以函數圖形的局部最高點、最低點各有一個或

根本沒有,因此三次函數圖形的大略形狀可分成兩類:

林信安老師編寫

~39
13~

(1
°)圖形有一個局部高點與一個局部低點:

(2
°)圖形沒有局部高點或局部低點:

設三次函數
f (x)ax3bx2cxd ( a0 ),我們可以利用一階、二階導函數來討論它

的圖形:

設三次函數
f(x)=ax3+bx2+cx+d ( a 0 )f /(x)=3ax2+2bx+cf //(x)=6ax+2b

f / (x) = 0有兩根α,β

f //(

b

3
a)=0,當x>

b

3
ax<

b

3
af //(x)異號,所以(

b

3
af(

b

3
a)為反曲點。

(a)
αβ為兩相異實數(α<β)

f

/ (x) = 3ax2 + 2bx + c =3a(x −α)(x −β)f // (x) = 3a(2x −α −β)

a

>0 a<0

有一個極大,一個極小,一個反曲點

(b)
α=β為兩相等實根:

f

/ (x) = 3a(x −α)2f // (x) = 6a(x −α)

a

>0 a<0

遞增函數,沒有極大極小點,反曲點有一水平切線 遞減函數,沒有極大極小點,反曲點有一水平切線


林信安老師編寫

~39
14~

(c)
α,β為兩虛數

f

/ (x) = 3ax2 + 2bx + cf // (x) = 6ax + 2b

a

>0 a<0

遞增函數,沒有極大極小點,反曲點沒有水平切線 遞減函數,沒有極大極小點,反曲點沒有水平切線


結論:設
f(x)=ax3+bx2+cx+d (a0)

f

/ (x) = 3ax2 + 2bx + cf / / (x) = 6ax + 2bΔ = 4(b2 3ac)

(1)
Δ≠0y=f(x)的圖形有一個極大點、極小點、反曲點。

(2)
Δ=0y=f(x)無極大點、極小點,只有一個反曲點,在反曲點有水平切線。

(3)
Δ<0y=f(x)無極大點、極小點,只有一個反曲點,在反曲點有斜的切線。

[例題13]
(1)證明:f(x)=ax3 的圖形對稱於反曲點(0,0)

(2)
證明:f(x)=ax3+bx+c 對稱於反曲點(0,c)

(3)
證明:三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都可以利用平移將圖形

化成
g(x)= ax3+bx+c 的形式。

(4)
證明:三次函數f(x)= ax3+bx2+cx+d 的圖形都是點對稱圖形,

且以反曲點
(

b

3
af(

b

3
a))為圖形的對稱中心。

林信安老師編寫

~39
15~

[例題14]
f(x)=ax3+bx2+cx+d,如圖,試判別a,b,c,d 之正負。

Ans
a>0b>0c<0d<0

(練習17)
如圖,已知三次函數的圖形通過(1,0)(1,2)

且與
x 軸相切於原點,試求函數f(x)

Ans
x3x2

(練習18)
已知三次函數 f(x)=x3+kx2+3x+10 有兩個極值,

試求
k 的範圍。

Ans
k>3 k<3

(練習19)
設函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d x = 1處有相對極大值7

,而
(1,9)是它的一個反曲點,求f (x) =

Ans
x33x2+9x+2

(練習20)
試問 y=x3+5x 的圖形與y=2x+5 有幾個交點? Ans1

O
x

y


林信安老師編寫

~39
16~

(己)三次方程式的根


(1)
重根的意義:

給定
n 次多項式方程式f (x)0,如果α為定數,k 為正整數(2kn)

(
x −α)k | f(x),但(x −α)k+1 f (x),那麼α便是方程式f(x)0 k 重根。

性質:

αn 次方程式f(x)=0 k 重根(其中2kn)

f(α)=f /(α)=…f(k1)(α)=0,但f (k)(α)0

[
證明]

αf(x)=0 k 重根(其中2kn),令f(x)=(x−α)kQ(x)其中Q(α)0

我們可以使用綜合除法將
Q(x)表成:

Q(
x)=ank(x−α)nk+ank1(x−α)nk1+…a1(x−α)+a0,其中a00

f

(x)= ank(x−α)n+ank1(x−α)n1+…a1(x−α)k+1+a0(x−α)k

所以可以得知
f(α)=f /(α)=…f(k1)(α)=0

f (k)(x)=(x−α)R(x)+a0k!,f (k)(α)=a0k0

(2)
三次方程式的重根:

設實係數三次方程式
ax3bx2cxd0,令f(x)ax3bx2cxd,我們用兩種方法

來討論
f(x)=0 的重根。

對任意實數
α,以x −α為除式我們可以反覆操作綜合除法,將f (x)表示成x −α的多項

式:

f (x)f (α)f /(α) ( x −α)

12

f

//(α) ( x −α)2a ( x −α)3

結論:

f (x)0 為實係數三次方程式,

(1)
f (x)0 有二重實根αf (α)f /(α)0,但f //(α)0,此時由極值的二階檢定法

可知
f (x)有極值f (α)0

因此
x 軸為三次函數圖形的水平切線,切點為極大點或極小點。

(2)
f (x)0 有三重實根α f (α)f /(α)f // (α)0,此時f (x)的圖形有反曲點

林信安老師編寫

~39
17~

(
α,f (α))(α,0)且過反曲點的切線為y00 · ( x -α)

x 軸為反曲點的水平切線。

(3)
多項式函數的圖形與n 次方程式的重根:

(a)
k 偶數,則y=f(x)(α,0)附近的圖形,如下圖所示:

k=2m

f

(x)=(x−α)2mQ(x),其中Q(α)0

x=α附近:f(x)Q(α)(x−α)2m,因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m 類似

(b)
k 為大於1 的奇數,則y=f(x)(α,0)附近的圖形,如下圖所示:

k=2m+1

f

(x)=(x−α)2m+1Q(x),其中Q(α)0

x=α附近:f(x)Q(α)(x−α)2m+1,因此f(x)的圖形特徵與y=Q(α)(x−α)2m+1 類似

結論:

(1)
實係數三次函數f (x)ax3bx2cxd 的圖形:

(
α,0) x

(
α,0) x (α,0) x

(
α,0)

x


林信安老師編寫

~39
18~

(
α,f(α))

(
β,f(β))

x


(
α,f(α))

(
β,f(β)) x

x


(
α,0)

(
α,f(α))

(
β,f(β))

x


(
α,f(α))

(
β,f(β))

x


(
α,f(α))

(
β,f(β))

x


(2)
三次方程式f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 的根有下列的情形:

f

/(x)=3ax2+2bx+c=0 兩根為α,β,令Δ=4(b23ac)

(A)
f(x)=0 有三相異實根(如右圖)

α
,β為兩相異實數(Δ>0)f(α)f(β)<0

(B)
f(x)=0 有兩相異實根(有二重根)

α
,β為兩相異實數(Δ>0)f(α)f(β)=0

(C)
f(x)=0 有三重根

α
,β為兩相等實根(Δ=0)f(α)=0

(D)
f(x)=0 有一實根兩共軛虛根

(1
°)α,β為兩相異實數(Δ>0)f(α)f(β)>0

林信安老師編寫

~39
19~

x

x


(2
°)α,β為兩共軛虛根(Δ<0)

(3
°)α,β為兩相等實根(Δ=0)f(α)0

[例題15]
f (x)=x33x29xk,試求滿足下列各條件之k 值:

(1)
f (x)=0 有三相異實根。

(2)
f (x)=0 有一實根與二虛根。

(3)
f (x)=0 有二正根與一負根。

解:

<方法一>利用根的性質:

求出
f (x)的導函數f /(x)3x26x93 ( x1 ) ( x3 )

f (x)的臨界點為-13,由三次函數的圖形可知f (1)k5 f (x)的極

大值,
f (3)k27 為極小值。

(1)
f (x)0 有三相異實根時,f (x)的極大值、極小值異號,

f (1) f (3)( k5 )( k27 )0,所以5k27

(2)
f (x)=0 有一實根與二虛根時,f (x)的極大值、極小值同號,

f (1) f (3)( k5 )( k27 )0,所以k5 k27

(3)
f (x)=0 有二正根與一負根時(三相異實根,或二正重根與一負根),

f

(1) f (3)( k5 )( k27 )0,所以5k27

另一方面,由根與係數的關係,知三根乘積-
k0,即k0。故得 0k27

<方法二>觀察圖形的交點:

方程式
x33x29xk0 的實根就是函數g (x)x33x29x 的圖形

(
有極大值為5,極小值為-27)與直線yk 的交點的橫坐標。

如圖因此觀察圖形相交情形,可以判斷
f (x)0 根的狀況:

(1)
f (x)0 有三相異實根時,yg (x)的圖形與直線yk 有三個交點,

此時
5k27

(2)
f (x)=0 有一實根與二虛根時,yg (x)的圖形與直線yk 只有一個交

點,

林信安老師編寫

~39
20~

此時
k5 k27,即k5 k27

(3)
f (x)=0 有二正根與一負根時,yg (x)的圖形與直線yk 有三個交點,

其中有兩個交點之橫坐標須大於
0,此時0k27

[例題16]
已知正數α為三次方程式 x3x28xk0(其中k 為定數)的二重根,試

求α,
k 及另一根。 Ansα=2k=123

(練習21)
f(x)=x33kx2+k+3 求滿足下列條件之k 值。

(1)
f(x)=0 有三實根。 (2)f(x)=0 有二相異負根一正根。

Ans
(1)k≤−3 k1 (2)k< 3

(練習22)
試求實數 a 的範圍,使得方程式x34x23xa=0 恰有一實根與二共軛虛

根。
Ansa<18 a>

14

27

(練習23)
方程式 2x33(k+1)x2+6kx2k=0 有三個相異實根,求實數k 的範圍。

Ans
k>2 k<0

(庚)牛頓法求根


設我們要向銀行貸款
180000 元,希望從下個月開始每個月還3750 元,分五年還清,

那麼月利率是多少呢?解決這個問題,相當於解
48x(1+x)60(1+x)60+1=0,其中x 代表

月利率。這個方程式並不像二次方程式那樣有公式解,如何能夠用電腦找一個數值解

呢?電腦有很多方法可以找方程式
f(x)=0 數值解,其中一種最常用的是

牛頓法
(Newtons Method)

(1)
牛頓法的幾何解釋:

右圖是
y=f (x)圖形的一部分,A 為函數圖形與x 軸的一個交點,則A x 坐標

a

就是方程式f (x)0 的一個實根。

首先我們可以先找一個值
a1(初始值),這個值可以用猜的或是畫y=f(x)

林信安老師編寫

~39
21~

圖形,來找一個接近根的值。

如右圖,設
A1 ( a1f (a1) )yf (x)圖形上接近A 的一個點,

今考慮以
A1 ( a1f (a1) )為切點的切線方程式

L

yf /(a1) ( xa1 )f (a1),則當L 不是水平線時

(即
f /(a1)0),L x 軸的交點為A2 (a1

f

(a1)

f

/(a1) 0 )

a2a1

f

(a1)

f

/(a1) ,如果 A2 點比A1 更接近A(例如a1a2a),那麼對

方程式
f (x)0 的根來說,a2 就是比a1 更好的一個近似值,在這種情形下,由方程式

f

(x)0 的根的一個近似值a1 出發,可求得方程式f (x)0 根更好的近似值a2。在求

近似值的過程中,有時我們可以反覆操作上面由
a1 a2 的過程,當f /(a2)0 時,令

a

3a2

f

(a2)

f

/(a2) ,重複前述步驟,當 f /(ak)0 時,

ak1akf

(
ak)

f

ak) ,進而得到一數列 a1a2a3,…,akak1,…,

在適當條件下此數列會收斂,其極限值即為
f (x)0 的一個實根。

值得注意的是,如右圖所示,雖然

n


→∞

lim
an 會是f(x)=0 的實根,但是也可能選取到a1

甚理想,使得

n


→∞

lim
an 可能不會收斂。因此初始值的選取很重要。

例如:當
f (x)=x22 時,f /(x)2xA ( 20 )為函數圖形yf (x)x 軸的交點。

(1)
a12 出發,令a2a1

f

(a1)

f

a1) 2

2

4

3

2
1.5,則作為方程式x220 的根

的近似值,
a21.5 確實是比a12 更好的一個近似值。

(2)
a1

32

出發,令
a2a1

f

(a1)

f

a1)

3

2

1

4

3

17

12
,則作為方程式 x220

的根的近似值,
a2

17

12
1.4167 確實是比a11.5 更好的一個近似值。

林信安老師編寫

~39
22~

[例題17]
給定方程式 x2k0(其中k0 )的根的一個近似值a1,若a1k ,利用

牛頓法找出
a2a3,形成一個數列{an}

(1)
證明:an+1=

12

(
an+

k

a
n

)

(2)
證明:an>an+1> k

例題
17 中由方程式f (x)=x2k=0 的根的一個近似值a1 出發,求得更好的近似值a2

過程,就是所謂牛頓法求平方根。我們將這個過程整理如下:

牛頓法求平方根的近似值:

求方程式
x2k0(其中k0)的正根的近似值,先任選一個大於k 的一個近似值

a

1,然後以a1

k

a

1

的算術平均數
a2

1

2 (
a1

k

a

1

)
作為k 的一個較好的近似值;

依此反覆進行,亦即
a2

1

2 (
a1

k

a

1

)
a3

1

2 (
a2

k

a

2

)
a4

1

2 (
a3

k

a

3

)
,…,

這些數的大小關係如下:
a1a2a3a4>…> k

如此反覆操作,可得到更好的近似值。

[例題18]
利用牛頓法(取初始值a1=1)與貂?Excel

來找
cosx=x 的近似根到小數點後第6 位。

Ans
0.739085

林信安老師編寫

~39
23~

(練習24)
利用牛頓法與 Excel 來找x32x5=0 的近似根到小數點後第6 位。

(1)
取初始值a1=2

(2)
取初始值a1=5

(3)
請利用圖形來檢討這兩個初始值哪一個較適當。

Ans
(1)2.094551 (2)9.45311

(練習25)
試利用牛頓法與 Excel 來求7的近似值到小數點後第8 位。

Ans
2.6457513123

林信安老師編寫

~39
24~

綜合練習


(1)
求下列各函數的極大值與極小值:

(a)
f(x)=x3+3x29x+10 (b)f(x)=8x2x4 (c)f(x)=(x+3)(2x7)3 (d)f(x)=cosx sin3x

(2)
求下列各函數的最大值與最小值:

(a)
f(x)=3xx3 (0x2)

(b)
f(x)=cos3xcos2x+2 (提示:可令t=cosx)

(c)
f(x)=(x+2)(4x1)3 (0x1)

(d)
f(x)=

3
x

x

2+3x+4 (3x3)

(3)
f(x)=|x21|,試求f(x)的極大值與極小值。

(4)
求函數 f(x)=x16x2的極值。

(5)
f(x)=x2+a(1x2)為一實係數多項式函數,a 為常數。

下列敘述何者正確:

(A)
不論a是何值, f (x)的函數圖形都不可能是直線。

(B)
不論a是何值,若f (x)有極值,則極值都等於a

(C) 0
有可能是f (x)的極大值。

(D)
a 0方,則f (x) = 0無重根 (2005指定甲)

(6)
f(x)是一個首項係數為1 的實係數三次多項式,k 是一個常數。已知當k<0

k

>4 時,f(x)k=0 只有一個實根;當0<k<4 時,f(x)k=0 有三個相異實根。

請選出正確的選項。

(1)
f(x)4=0 f /(x)=0 有共同實根

(2)
f(x)=0 f /(x)=0 有共同實根

(3)
f(x)+3=0 任一實根大於f(x)6=0 的任一實根

(4)
f(x)+5=0 的任一實根小於f(x)2=0 的任一實根。 (2003 指定甲)

(7)
已知整係數多項式 f (x)滿足f (2) = f (4) = f (6) = 0,而且除了x = 2,4,6之外,

f

(x)的值恆正。下列選項有哪些必定是正確的?

(A)
f (x)的次數至少為6 (B) f (x)的次數為奇數

(C)
f (1)為奇數 (D) f '(4) = 0 (2004指定甲)

(8)
考慮坐標平面上函數 y=x3+2x+3 的圖形(x 為任意實數),試問下列哪些選項是正

確的?
(2007 指定甲)

(1)
圖形有最高點,也有最低點。

(2)
圖形有水平切線。

(3)
圖形與任一水平直線恰有一交點。

(4)
(a,b)在圖形上,則(a,b+6)也在圖形上。

(5)
圖形與三直線x=0x=1y=0 所圍成的區域之面積大於4

(9)
考慮多項式函數 f(x)=x5+2x4x35x2+3,試問下列那些選項是正確的?

(A)

k


→∞

lim

f

(k)

f

(k+100) =0 (B)

1


lim

x



f

(x)f(1)

x

1 =0 (C)函數f 在區間[

12

,1]
遞增。

林信安老師編寫

~39
25~

(D)
x0,則f(x)0 (E)在坐標平面上y=f(x)的圖形與直線y=3 恰有兩個交點。

(2006

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