Wednesday, March 6, 2013

abada01 伪欧氏空间，这个时空中一个光脉冲所走的四维直线上的任意两点的四维时空间距，必定是0，而且这一点不以惯性参考坐标系的变换而改变

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广义相对论导引（之十五~十九）新版

2009年5月19日星期二
接http://xysblogs.org/abada/archives/4831
十五、四维弯曲时空
上面讲了很多数学，现在开始多讲物理。
广义相对论认为任何观察者在任何物体上都可建立参考系，并以同样的张量方程等效地描述某些基本物理定律。还认为物体质能可导致四维时空的弯曲。
我们的视觉往往只能看到三维空间中的二维曲面的弯曲的图像，看见低维空间的弯曲， 并不能证明高维空间是否弯曲。要直觉地看见三维空间的弯曲，就要建立“空间弯曲”的操作定义。
我们在把欧几里德几何空间对应现实世界的时候，是把真空中的光线作为直线的操作性对应物，或者简单地说光子在真空中是按直线运动的。这时欧几里德几何学体系就成为可以证伪的物理学。例如三条光线所构成的三角形，其性质（比如内角和等于p），是否如同欧几里德体系的定理的断言？如果不是，那么光线就不能当作欧氏几何中的直线而运用欧氏定理断言现实世界的空间关系。
但是，我们暂时并不能找到比光线更好的空间基准。我们日常生活中，检查其他物体的线条是否“直”，也是以光线作为“直”的基准而判断的。如果光线都不直了，那么现实世界空间就已经没有了“直”的基准。我们对现实空间也就不能再套用欧氏几何了。我们必须用新的几何学，而光线在新几何学中有新的数学对应概念。如此我们才能运用新几何学结合光线的现实操作，来预言现实世界的某些时空性质。
显然，在加速参考系，即非惯性系，光子并不按直线运动。设想你站在旋转的地球赤道上，向上、向太空发射一个光脉冲。你作为观察者站在地面参考系不动，你会看到光脉冲在向远处快速行进的同时，还会绕地球转动。它的轨迹显然不是直线，而更接近是螺旋线。
爱因斯坦电梯是一个很好的想象实验。如果我们在太空中的密闭电梯中，远离其他物质，我们会失重。但这时如果有火箭不断地为电梯提供一个稳定的加速度，我们电梯就成为一个加速参考系。如果太空中一个光脉冲从我们电梯真空中通过，我们也会观察到一个光脉冲的路径会发生偏折。这时我们看到了电梯参考系的空间是弯曲的。
等效原理断言：我们的那个电梯到底是处在重力场中，还是正在太空中被火箭加速着，我们作为电梯狭小空间中的观察者，是无法辨别的，做任何实验也无法区分这两种环境。因此，一个光脉冲的路径在重力场中，与在加速参考系中一样会偏折。这样的话，重力场也就等效于弯曲空间。
相反地，还可想象我们的电梯在重力场中自由下落。在一段时间内，我们可观察到我们的电梯空间是平直的，我们作为电梯中的观察者，看到光子的路径是直线。电梯中的失重状态等效于孤立系统的惯性系。
上面说的只是我们感到的空间弯曲，但不要忘了四维时空是一个整体。四维时空的弯曲，我们还是难以直觉地看到。在借助抽象的数学的同时，我们可以想象把低维空间的弯曲的性质做推广。
我们还可以把高维空间做切片，成为低维空间。如下图：
http://static4.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft72fee6932d33&690
图中有个时间参数轴t，和一个空间参数虚数轴xi。这是一个弯曲的四维伪黎曼空间—弯曲的四维时空的二维切片膜图示。弯曲的四维时空，降低为二维的时空曲面，让我们看到了。这个曲面上的一个点，就可表示一个事件发生的空间位置和时间刻度。一个质点，包括光子，其运动路径就可以表示为这个曲面上的一条曲线：它在什么时刻，到达什么空间位置，由一条时空曲线决定了。曲线的切线方向则是一个速度分量的方向，其“斜率”则可能表示一个速度分量值，“斜率”的变化可能意味着加速度的存在。这个“斜率”一词之所以加了引号，是因为我们还是为了直觉方便套用了欧氏几何空间中的概念，而在弯曲时空的几何学中，可能有更准确的概念来使用。
注意这个曲面上并不存在直线。因此，在弯曲时空中，我们完全可能建立非惯性系和引力场中的光子等支点运动的四维曲线方程。
（我们还假设，这个四维弯曲时空中这些曲线是处处可微的和可导的，是平滑的，构成一个黎曼流形。一个光滑的皮球是流形，而针尖不是流形。这些概念的确切定义在微分几何数学中可以给出。）
十六、回顾牛顿惯性定律和狭义相对论光速不变原理
自由质点，也叫自由粒子或孤立物体。太空中距离其他物体足够远的的物体, 在一定时间内都可作为近似的孤立物体。断言所有的孤立物体(自由质点)都两两相互做匀速直线运动(包括静止), 就是牛顿第一定律或惯性定律。

孤立物体组确定了惯性系。牛顿第二定律和第三定律都是在惯性系下成立。
狭义相对论也是讨论惯性系中才成立的物理定律。在任何一个确定的惯性系中，光子仍按直线运动，空间是平直的，此惯性系内各网点的钟表也可以调成保持一致，时空也是平直的。
在狭义相对论中，惯性定律仍然成立。惯性系中，光子和其他孤立物体仍遵守惯性定律，按匀速直线运动，或者说惯性系仍然是四维平直时空，光脉冲和孤立物体在四维时空中的轨迹曲线仍然是四维直线。
根据狭义相对论，ds2 =gijdxidxj作为两事件的四维时空间距，是惯性系间坐标变换的不变量。一个孤立物体某时从某地出发是一个事件，这个物体某时到达某地是另一个事件，这两个事件的四维时空间距也总是坐标变换的不变量。
而对于一个光子，“出发”和“达到”两事件的四维时空间距总是为0.
也就是说，按狭义相对论，任一惯性系即四维平直时空中，光子走的是四维直线，但时空维度不都是实数（或者说度规分量不都是正数）—因此叫伪欧氏空间，这个时空中一个光脉冲所走的四维直线上的任意两点的四维时空间距，必定是0，而且这一点不以惯性参考坐标系的变换而改变。
十七、弯曲时空中的短程线
在加速参考系或引力场中，一个光脉冲已经不走直线，欧几里得几何中的直线概念已经没有了光线作为现实对应物，四维时空不再是平直的伪欧氏空间，而是弯曲的伪黎曼空间。
因此，惯性定律必须修正。没有了直线，光脉冲和孤立物体，将按什么曲线运动呢？可以推广，它们将按四维弯曲时空中的一种叫短程线的曲线运动。短程线上的每一点对应着孤立物体在什么时间到达什么位置，因此相邻的两点也就可确定了孤立物体的四维速度和加速度。
历史上有用最小作用量原理或费马原理对光线在真空中按直线传播的解释，但在弯曲时空中已经没有直线路径，作为推广，我们可以合理地假设，在充分小的邻域内，光线在四维弯曲时空中走的是各种可能曲线中的最短的一条，叫“短程线”。
我们先看二维的情况。设想一些限制在地球或皮球表面生活的生物，不能脱离弯曲的球面而生活和运动。它们从一地点走到相邻的另一地点，已无直线路径可以行走。但是它们仍然可以选择按短程线运动。比如，我们从赤道上一个城市去北极，在地球表面按照那个城市所在的经线行走，也就是按短程线行走。绕道行走都不符合地球表面的几何短程线。
可以设想一个弯曲空间的度规确定了，其几何性质就确定了，其上邻近两点之间的短程线就可以确定。我们现在着手建立短程线的方程。
如图：
http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft732668b71110&690

在上图中我们看到的是一个二维曲面的一个切面。曲面上有两点P和Q，由于是弯曲空间，它们之间没有直线路径可走，我们要求两点之间的短程线，采用什么方法呢？
我们可以观察短程线有什么独特的性质，根据这些性质，我们可以建立短程线的方程。
我们可观察到，两端固定为P、Q所有曲线中，越短的曲线，在各点受到一个微小的拉伸变形（扰动）之后，这个曲线的总长度变化就越不大；相反，越长的曲线，受到一个微小的拉伸变形之后，曲线的总长度的变化就越大。如同越小的数，被一个小数来乘，变化越小；越大的数，被一个小数乘，变化就越大。
把这个观察到得性质推广到四维时空，再利用数学上一种叫变分法的技巧，就可以建立短程线的方程。
用数学语言说就是：沿端点PQ的一般路径取积分∫ds, 如果令端点固定而使其路线做微小变动，则∫ds 的改变量有最小极值。
设此四维曲线上坐标为xm的各点作微小变动，以使其坐标变为：xm + dxm，曲线线元为：
ds2=gmndxmdxn (m, n=0~3)
四维速度矢量可以表示为vm = dxm/ds.
把线元表达式的两端微分得：
2dsd(ds)= (dgmn)dxmdxn + gmn(ddxm)dxn + gmndxm(ddxn)
= (gmn, ldxl)dxmdxn + 2gmndxm(ddxl)
等式两边除以ds，又根据vm= dxm/ds，以及变分法，ddxl =ddxl ，
可得：
d(ds)= [(1/2) gmn, lvmvndxl + gmnvm( ddxl/ds)]ds.
把上式两边进行定积分，根据d∫ds= ∫d(ds)，以及对方程右边第二项运用分布积分法，再利用两端点P,Q上dxl=0这一约束条件，可得到：
d∫ds=∫[(1/2) gmn, lvmvn - d(gmnvm)/ds] dxlds.
若想保证对任意的dxl上式都等于0，只有方括号中的式子恒等于0，即方括号中减号所连接的两项必须相等：
(1/2) gmn, lvmvn = d(gmnvm)/ds，
上面就是短程线的方程。
因d(gmnvm)/ds = gmndvm/ds + vm (dgmn/ds)
= gmndvm/ds + vm (dgmndxl)/(dxlds)
= gmndvm/ds + vm (dgmn/dxl)/(dxl/ds)
= gmndvm/ds + vmgml, nvn
= gmndvm/ds + gml, nvmvn，
所以短程线的方程化为：
(1/2) gmn, lvmvn = gmndvm/ds + gml, nvmvn，
即：
gmndvm/ds = (1/2) gmn, lvmvn - gml, nvmvn
或
gmndvm/ds+ (1/2) (2gml, n- gmn, l)vmvn = 0.
再假设：空间有如此的对称性，以至于有：
2gml, n= glm, n+ gln, m
成立，那么有：
gmndvm/ds+ (1/2) (glm, n+ gln, m - gmn, l)vmvn = 0.
现引进记号：
Glmn=(1/2) (glm, n+ gln, m - gmn, l)， (17-01)
并令Gsmn= glsGlmn，
分别称为第一类和第二类克里斯托弗记号。
则短程线方程化为：
gmndvm/ds+Glmnvmvn= 0，
两边同乘以gls，则得：
dvs/ds+Gsmnvmvn= 0，
或写为：
d2xm/ds2 +Gmns (dxn/ds) (dxs/ds) = 0， (17-02)
这就是短程线的标准方程。
方程第一项为一四维加速度项，说明在弯曲空间，自由质点具有加速度。除非Gmns= 0，加速度也为0，这时对应于平直时空的惯性定律。这也说明，Gmns与空间弯曲有关，根据它的定义来源，空间弯曲最终由度规所决定。度规若不是常数，就将逐点变化，度规的变化方式决定了空间各点的弯曲状态。
我们现在重新定义自由质点：一旦给孤立物体即自由质点仅仅加入引力场，那么仍然可以把它看做是自由质点。引力场和非惯性系一样，只是改变了时空的度规，使四维时空成为弯曲的。
而在弯曲的四维时空中，自由质点将按照短程线运动。这个断言取代了牛顿第一定律即惯性定律。四维短程线方程(17-02)决定自由质点的加速度，是四维弯曲时空（任何参照系）中自由质点（可处在引力场中）的运动方程。

十八、弯曲时空中的测地线
我们已用变分学的办法给出了弯曲时空中的短程线方程。我们也可以用另一种微分几何的方法得到一个叫测地线的方程，并将看到，测地线与短程线是重合的、一致的。
我们先看平直三维空间中的弯曲的二维曲面图形：
http://static13.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft73265ba2c59c&690
此曲面是光滑的二维流形，其上任意一点，都有一个唯一的切面，与切面垂直并过切点的所谓“法线”也是唯一的。
但此点的切线不是唯一的，此点切面上过此点的所有直线都是此点的切线。我们需要指定一个初始的切线，给出一个确定的切矢量。
从这个切矢量出发，可平行于法线方向，做切矢量向曲面的投影。或者说，切线与法线所决定的平面，与曲面会有一个相交的曲线。我们看下图：
http://static1.photo.sina.com.cn/small/3fd642cft734a28621260&690
此图就是初始切线和法线确定的平面。
在与初始切点M0足够邻近的邻域内，我们把切点在曲线上作一个微小移动，移动至 M1点。虽然我们从参考图形上看到的是二维情景，但我们写公式和方程时要写成四维的，以作为推广。
设曲面上每一点x都由参数t所确定。
切点位移矢量是dxs，切点初始矢量是dxn/dt. 这类似于与运动路径曲线相切的速度矢量。由于所作的是无穷小的位移，dxs与dxn/dt在一级近似下，是平行的。
在新的切点M1点有一个新的切矢量（可以不在图平面中而是伸向图平面内或外），设它与M0点原初的切矢量，改变量为d(dxm/dt). 从图中可以观察到，在一级近似上，这个改变量矢量的各分量，与原矢量的各分量的大小成线性正比，与切点位移矢量dxs的各分量大小也成线性正比关系，即：
d(dxm/dt)= - Pmns (dxn/dt)dxs. (18-01)
这就是由初始切矢量所决定的测地线方程的形式。
式中Pmns是比例系数，称为仿射联络系数，可以设想它与曲线在此点的弯曲程度有关，因为曲线弯曲程度的大小也会影响切矢量的改变量。Pmns最终是由曲面（弯曲空间）的度规所决定的。可以证明：Pmns= Gmns，就是克里斯托弗符号。
我们把证明放在后面一个 章节，现在先直接使用这个结果。结果是：
d(dxm/dt)= - Gmns (dxn/dt)dxs，或：
d(dxm/dt) + Gmns (dxn/dt)dxs = 0.
各项除都以dt，得：
d2xm/dt2 +Gmns (dxn/dt) (dxs/dt) = 0， (18-02)
这就是测地线的标准方程。
比较它与方程(17-02)，可见两方程完全是相同的形式，只是参数不同。
方程(17-02)以轨迹弧长s为参数，但因光线的ds总为0，使方程(17-02)不能运用于描述光线。而以沿路线的其他参数t的方程(18-02)则能描述光脉冲的运动，虽然这个方程再次表明光线已不是直线。
十九、求解测地线中的仿射联络系数
这节我们求解方程(18-01)中的仿射联络系数，并看到它就是短程线方程(17-02)中的克里斯托弗记号。
对方程(18-01)
d(dxm/dt)= - Pmns (dxn/dt)dxs.
把其中的dxm/dt 设为逆变矢量Am ，于是
dAm = -Pmns Andxs. (19-01)
现假设在黎曼空间中，矢量做无穷小移动，保持矢量的长度不变。
则可证明这个假设保证了两矢量的标量积在无穷小移动下不变，证明如下：
因为， 逆变矢量Am的长度平方为gmnAmAn，必是无穷小移动下不变量，
设Bm是另一逆变矢量；则当k为任意数值时, Am + kBm仍为逆变矢量。其长度平方为：
gmn(Am + kBm)(Am + kBm) = gmnAmAn +k(gmnAmBn + gmnAnBm) + k2 gmnBmBn
由于对一切k值上式必为不变量。已知右边第一项是逆变矢量Am的长度平方为不变量，除去k的第二和第三项也分别必为不变量。由此看第二项可知，
gmnAmBn + gmnAnBm = 2 gmnAmBn 为不变量。
所以gmnAmBn为无穷小移动下的不变量。 即：
d(gmnAmBn) = d(gmnAmBn) = d(gmnAmBn) = d(gmnAmBn) =0.
即 d(AnBn) = d(AnBn) =0. (19-02)
由d(AnBn) =0得
BndAn+ AndBn=0，
AndBn= -Bn dAn
由(19-01) 知： dAn = -Pnms Amdxs，所以：
AndBn=BnPnms Amdxs =BmPmnsAndxs .
上式对所有的An都成立，所以方程左边和右边消去An可得：
dBn= PmnsBmdxs . (19-03)
设Pmns= gmlPlns，可得：
dBn= PlnsBldxs .
或记为：
dAn= PmnsAmdxs . (19-04)

由于(gamgmn),s = gan,s=克罗内克尔符号d的偏导数=0，
而(gamgmn),s = gam,s gmn + gam gmn,s ，所以：
gam,s gmn + gam gmn,s =0
上式乘以gbn得：
gab,s + gamgbn gmn,s =0
利用上式可知：
AaAbgab,s + AmAngmn,s =0
乘以dxs 得：
AnAmgmn,sdxs + AaAbgab,sdxs =0. (19-05)
另一方面，由于无穷小移动下矢量长度不变，所以：
d(gmnAmAn)=0
故： gmnAmdAn+ gmnAndAm+ AmAngmn,sdxs =0,
即：AndAn+ AmAm+AaAbgab,sdxs =0. (19-06)
比较(19-05)和(19-06)，可知：
AndAn+ AmAm= AnAmgmn,sdxs
代入(19-04) dAn= PmnsAmdxs，得：
AnAmPmnsdxs + AmAnPnmsdxs = AnAm gmn,sdxs ，
所以：
Pmns + Pnms= gmn,s (19-07)
同理，（交换上式的n和s即可），可得：
Pmsn + Psmn = gms, n (19-08)
同理，（交换上式的n和m 即可）：
Pnsm + Psnm = gns,m (19-09)
假设n和s可以互换，
由 (19-07)+(19-08)-(19-09) 可得：
Pmns= (1/2) (gmn,s + gms,n - gns,m) (19-10)
对比(17-01) 所引入的克里斯托弗记号：
Glmn=(1/2) (glm, n+ gln, m - gmn, l)，
可知：
Pmns= Glmn
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广义相对论导引（之九~十四）

2009年5月19日星期二
广义相对论导引（之九~十四）
abada
九、斜交基轴





如上图，设两斜交坐标基轴（单位长度的、分别与各坐标轴同方向的矢量）为e1和e2，长度为单位长度1，基轴夹角为q12简称q，它们的标量积e1e2定义为基轴e1在基轴e2上的投影的长度。
由于e1e2=cosq，所以标量积e1e2可以反映两基轴之间的夹角。
标量积e1e2可简写为e12，
显然e12=e21
又 e11=e22=1
如果是四维，有四个基轴，各轴的关系（标量积）有16个，写成方阵，为：
e0e0 e0e1 e0e2 e0e3
e1e0 e1e1 e1e2 e1e3
e2e0 e2e1 e2e2 e2e3
e3e0 e3e1 e3e2 e3e3
此方阵可简写为 eij,(i,j=0,1,2,3).
注意eij = eji
且当i=j时，eij =1，当i≠j时，eij =cosqij
对于直角坐标轴:
当i=j时，eij =1，当i≠j时，eij =cos(p/2)=0.
所以，直角坐标轴的基本方阵为：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
这个方阵被称为单位矩阵E, 其元素为di j ,
当i=j时，di j =1，当i≠j时，di j =0
di j 是克罗内克尔符号。

十、斜交轴度量系数

再回到斜轴的情况。看图：







如上图，有一矢量dS可在各斜轴上有分量dxi，分量按平行四边形法则推广，这构成了仿射坐标。
看dS的长度平方，按三角形余弦定理：
(dS)2=(dx1)2+(dx2)2-2dx1dx2cos(p-q)
化简为
(dS)2=(dx1)2+(dx2)2+2dx1dx2cosq
由cosq=e1e2可得：
(dS)2=(dx1)2+(dx2)2+2dx1dx2 e1e2
由e1e1= e2e2=1，可得：
(dS)2= e1e1dx1dx1 + e1e2dx1dx2
+e2e1dx2dx1 + e2e2dx2 dx2
上式可简写为：
ds2 = eijdxidxj , (i, j=1,2)
这是根据爱因斯坦求和约定。
先看此式在某一特殊情况下的意义：
在狭义相对论四维时空正交坐标中，这时在四维时空正交坐标中，要么时间坐标x0取虚轴、空间坐标取实轴，要么反过来，时间坐标x0取实轴、空间坐标取虚轴。按后一种习惯，则四维正交坐标基本方阵为：
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
当i=j=0时，元素gij=g00=1；
当i=j≠0时，元素gij=-1；
当i≠j时，元素gij=0.
这时，根据狭义相对论，
ds2 =gijdxidxj
=(dx0)2 -(dx1)2-(dx2)2-(dx3)2
作为两事件的时空间距，是狭义相对论坐标变换的不变量。
作为推广，ds2 =gijdxidxj 可作为较普遍的一种距离定义，不限于正交轴甚至不限于直线轴。这时，这里的gij 也不一定是常数。这样建立的空间就是黎曼空间，gij就是度规张量。为什么说它是张量，后面将会证明。
十一、球面度规
距离微分的平方：
ds2 =gijdxidxj
其中xi,xj已可以自身不是通常的直线距离坐标或时间坐标，而是它们的参数（函数）即可，只要能表示成：
ds2 =gmndxmdxn
且是坐标变换下的不变量，即是黎曼几何的度规表达式。
在四维时空中，m, n=0~3
黎曼距离元求和的各项可以排成方阵：
g00dx0dx0 g01dx0dx1 g02dx0dx2 g03dx0dx3
g10dx1dx0 g11dx1dx1 g12dx1dx2 g13dx1dx3
g20dx2dx0 g21dx2dx1 g22dx2dx2 g23dx2dx3
g30dx3dx0 g31dx3dx1 g32dx3dx2 g33dx3dx3
四维度规方阵为：
g00 g01 g02 g03
g10 g11 g12 g13
g20 g21 g22 g23
g30 g31 g32 g33
由于gmn=gnm，所以16项中真正独立的量只有10个，（方阵里黑体部分），而其余6个是重复的量。
例，看二维球面度规的表示：









由图可知，球半径R一定时：
ds2 =R2da2+(R2sin2a)db2
即：ds2=R2dada+(R2sin2a)dbdb (10.01)
其中a, b是经度和纬度。对照二维空间度规：
ds2=gmndxmdxn (m, n=1~1)
g11dx1dx1 g12dx1dx2
g21dx2dx1 g22dx2dx2
其中参数x1=a, x2=b，所以度规方阵成为：
g11dada g12dadb
g21dbda g22dbdb
对照(10.01)式可得：
g11=R2 g22= (R2sin2a)
而其他的gmn=0, (m≠n)
因此，此球面二维黎曼度规方阵为：
R2 0
0 R2sin2a
可以看到，其中的 a不是常量，而是变量。
当维数一定时, 若不能通过坐标参数线性变换而将弯曲空间的度规都变为常量，则说明此维数下空间的弯曲是内禀性质的。二维球面就是本质的二维弯曲空间。
补充：
在R不变的二维球面, 不可能通过线性参数变换而把度规都化为常量. 但在R变化的三维球体空间, 却可以通过线性参数变换把度规都化为常量, 化成为平直笛卡儿三维空间.
所以, 二维球面的弯曲是内禀性质的, 而三维空间中球体的弯曲可以不是内禀性质的.
在R有dR变化量的时候，可以类似建立三维空间的球心极坐标度规：
ds2=R2dada+(R2sin2a)dbdb+dR2
度规方阵：
R2 0 0
0 R2sin2a 0
0 0 1
虽然含有变量a，R，但实际上空间并不是内禀的三维弯曲空间，因为可以通过线性参数坐标变换变成笛卡儿坐标系：
ds2=dX2+dY2+dZ2
其中X,Y,Z与a，b，R可由线性参数方程变换联系。
化成正交直线坐标后，度规可变为：
1 0 0
0 1 0
0 0 1
是三维单位矩阵，元素为克罗内克尔符号。能建立笛卡儿坐标系，就标志着这是最典型的三维平直欧几里德空间。
十二、证明克罗内克尔符号是张量
由偏微分规则可知：
xl,m’ xm’,n = xl,n = dln ，
当l=n时，dln =1，
当l≠n时，dln =0.
dln 是克罗内克尔符号。
按定义，对新坐标中的da’b’同样有：
当a’=b’时，da’b’ =1，
当a’ ≠b’时，da’b’ =0
所以，无论a’=b’或a’ ≠b’时，都有：
xl,a’ xb’,n da’ b’ = xl,m’ xm’,n ，
于是：
xl,a’ xb’,n da’ b’ = dln ，
这就证明了dln是一张量。
十三、证明gmn和gmn是张量
根据狭义相对论，有：
ds2 =gmndxmdxn
其中gmn为度规。
一般的逆变矢量有四个分量Am，其在坐标变换下与dxm的变换方式相同。
gmnAmAn=|A|2
是在坐标变换下的不变量，它是矢量A的长度的平方。
设Bm是另一个逆变矢量；则当l为任意数值时，Am+lBm仍是逆变矢量。其长度平方为：
|Am+lBm|2 = gmn(Am+lBm)(An+lBn)
=gmnAmAn+l(gmnAmBn+gmnAnBm)+l2gmnBmBn
对一切值来说，上式都必为一不变量。由此可知，与l无关的一项以及l与l2的系数，必定分别为不变量。l的系数为不变量：
gmnAmBn+gmnAnBm
其中第二项也可交换m和n而写为gnmAmBn，再由gnm=gmn 可知l的不变量系数：
gmnAmBn+gmnAnBm =2gmnAmBn
这就证明了gmnAmBn为一不变量。它是Am和Bn的标积不变量。所以，
ga’b’ Aa’Bb’ = gmnAmBn
由逆变矢量的定义：
Am=xm,a’ Aa’，Bn= xn,b’ Bb’ ，
所以
ga’b’ Aa’Bb’ = gmnxm,a’ xn,b’ Aa’Bb’，
因为上式对Aa’ ，Bb’的一切值成立，所以：
ga’b’ = gmnxm,a’ xn,b’
这就证明了gmn为一2阶协变张量。同理可证gmn是一2阶逆变张量。
gmn和gmn被称为基本张量。
十四、逆变张量和协变张量的关系
设有逆变矢量An，按下式的缩并积定义一个矢量：
Am=gmnAn
现在证明Am是一协变矢量。
由逆变矢量的定义可知：
An=xn,a’ Aa’，
于是
Am=gmn(xn,a’ Aa’)= ga’b’ xa’,n xb’,m xn,a’ Aa’ ，
= xb’,mga’b’ Aa’ ，
再用缩并积定义Ab’= ga’b’ Aa’ ，所以可得：
A m= xb’,m Ab’
这就证明了，Am是一协变矢量。
很容易可把上面的证明过程反过来可证明，若Am是一协变矢量，则必有：Am=gmn An，其中An是一逆变矢量。
将Am=gmn An两边同乘以gmn ，得：
gmnAm=gmr gmrAn=dmrAn，
另r=m，则dmr=1，于是dmrAn= An，由此得：
gmnAm= An ，或
An= gmnAm .
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广义相对论导引（之一~八）

2009年5月19日星期二
广义相对论导引（之一~八）
abada
一、数阵
数阵，或叫数组，常用一个字母附加角标来表示。如:
Aij
角标可以有0个或几个，用不同的小字母表示。角标通常写在大字母的右上方或右下方。也可以在大字母的右上方和右下方同时都写有角标。常可根据某种要求赋予不同的意义，以决定使角标写在上方或写在下方。
不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。
每个角标都只能在自然数序列中依次取值。假定各角标能取值的自然数个数是一样的。每个角标能取值的个数n就叫数阵的维数。
如数阵：Rijklm
（i，j，k，l，m = 0，1，2，3）
共有5个角标i，j，k，l，m，所以此数阵是5阶的数阵；由于每个角标都能取0~3共四个值，所以是4维数阵。
当各角标都分别取了相同或不同的确定的值，就产生了数阵的一个分量，或叫元素，数阵的每个分量与一个确定的实数值或函数对应（映射）。
数阵的所有元素总数是：n的N次方个。
例如，5阶4维的数阵，共有45=1024个分量。
小结：
数阵是一种非连续的N元函数，各元自变量只能从自然数序列中依次取n个自然数的值。定义数阵的维数为n，数阵的阶为N.
当各自变量都分别取一个确定的值后，就确定了数阵的一个分量，此分量与某确定的实数值或函数产生映射。
特别地，0阶数阵就是一个标量， 对应于一个确定的实数或一个确定的函数（标量场）。
例:
1、矢量
对4维1阶的数阵Ai可列出各分量：
(A0, A1, A2, A3)
此1阶数阵相当于4维时空中的一个矢量。
2、方阵
一般地，2阶4维数阵Aij, (i,j=0,1,2,3)，就相当于矩阵中的4维方阵（或叫4阶方阵，当这样叫时，要注意数阵的维数是方阵的阶数。）
如果方阵gij=gji，则gij和gji都叫对称方阵。
相对论中黎曼度规gmn是4维2阶数阵，有42=16个分量，这些分量可用方阵列出：
g00 g01 g02 g03
g10 g11 g12 g13
g20 g21 g22 g23
g30 g31 g32 g33
多阶数阵的分量不必一一列出，只要能知道每个分量的对应值即可。
一个4维4阶数阵Tijkl，图形上可以表示为这样的的“超方阵”（每个立体网点都有一个分量，没有全部标出）：


二、数阵代数
1、数阵加法的定义
同类数阵（维数相同，阶相同）可加（减），即把两数阵中对应的分量都分别相加（减）。这样可得到一个新数阵。
Rij = Aij+Bij
2、数与数阵的乘法的定义
把一数阵的每个分量分别乘以同一个数（实数或复数），就可以得到一个新数阵，这叫数与数阵的乘法。新数阵的阶数与原数阵相同。如：CRijk.
3、数阵与数阵的乘法的定义
把一数阵的每个分量分别乘以另一个同维数（阶可以不同）的数阵的所有分量，可以构成一个新数阵，这叫数阵乘法。这样得到的新数阵叫两数阵的积，其阶数是两个数阵的阶数之和。
Rijk×Rlm = Rijklm
三、爱因斯坦求和约定和数阵的缩并
我们强调不同的字母的角标，因为如果是相同的字母，常就表示按照爱因斯坦求和约定，对数阵的相应分量求和。
1、爱因斯坦求和约定：
一个数阵，如果每个角标在此数阵中只出现一次，就表示它取一切可能的分量值；
如果某个角标在此数阵中出现两次，那就必须在上、下角标中各出现一次，并表示它取一切可能的分量值，然后把这些分量值相加。例如，4维的数阵Rjij：
Rkijk= R0ij0+R1ij1+R2ij2+R3ij3= Sij
可见相加的结果是得到了一个4维2阶的数阵Sij.
所以数阵Rjij并非是3阶的，而是2阶的。
所以定义数阵的阶时才说不同字母的角标的个数N叫数阵的阶。
2、数阵的缩并
对任一有上下角标的数阵，可另一个上标和一个下标取相同的字母，从而使此数阵有效角标减少2个，成为几个都降低了2阶的数阵的和，即成为一个降低了2阶的数阵。这叫数阵的缩并。
如对四维四阶数阵Rmnrs，可另s=r，就缩并为2阶方阵Rmnrr，有16个分量；也可再另n=m，就缩并为标量Rmmrr，只有1个分量。
由Rmnrr = Smn，或Rmmrr=C，可以看出，等式某一边的上下角标可以相互约去，而剩余的上下脚标与等式的另一边的上下脚标对应相同。这个特点叫做脚标均衡原则。
四、方阵的缩并乘法
两个同维数的方阵（2阶数阵），如Aia和Baj，把行数写为右上角标，列数写为右下角标，它们的缩并乘法定义为：
AiaBaj=Cij
缩并积Cij仍是一个方阵（2阶数阵），其第i行第j列的元素（分量），等于方阵Aia的第i行的各元素分别乘以方阵Baj的第j行的对应的各元素的各个积的和。例如对于四维方阵，缩并积Cij的元素（分量）之一C12的值为：
C12 =A11B21+ A12B22+ A13B23+ A14B24
方阵的缩并乘法一般不满足交换律，但若两个都是对称方阵，其缩并乘法满足交换律。
方阵的缩并乘法满足脚标均衡原则。
五、矢量与方阵的缩并积
矢量（1阶数阵）Ai与同维数的方阵Bij阵可有缩并积：
AiBij=Cj
四维时，AiBij=A0B0j+A1B1j+A2B2j+A3B3j
这种缩并积是一个矢量。注意等式两边的脚标符合均衡原则。
同样，AiBij=Cj.
六、四维对称方阵，单位方阵和逆方阵
上面说过，若方阵Aij=Aji，则Aij和Aji就都叫对称方阵。
特殊对称方阵：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
被称为四维单位方阵E, 其元素为di j，
当i=j时，di j =1，
当i≠j时，di j =0.
di j被称为克罗内克尔符号。
任何一个4维方阵Aij，与单位方阵E的缩并积，仍为原方阵Aij，即：
AijE = EAij = Aij
方阵A的逆方阵A-1按下式定义：
AA-1=E
即若两个方阵的缩并积为单位方阵，则这两个方阵互为逆方阵。
把对称方阵gij的逆方阵写为gij，我们就给出了角标在上方和下方的区分意义。
于是：
gijgij=dij，
当i=j时，dij =1，
当i≠j时，dij =0.
且对称方阵的逆方阵gij也必为对称方阵，即：gij=gji
七、张量
在算术中，如果我们已知乘法的定义，我们用方程：
a=(a/b)×b
表示b在“/”下方与在“/”上方可以互相约掉，如此就定义了除法(a/b).
我们可以用同样的办法定义张量。
在四维弯曲坐标系xm（m=0,1,2,3）中，任意函数Q的偏微分记为：
EQ/Exm=Q,m
在坐标变换中产生了新坐标系x’，可把撇号加在角标上xa’，新坐标对旧坐标的偏微分
Exa’/Exl同样可记为Exa’,l，而旧坐标对新坐标的偏微分Exn/Exg’可记为xn,g’.
设有一数阵Tlmn，在新坐标下变为数阵Ta’b’g’ ，如果有：
Ta’b’g’= xa’,l xb’,m xn,g’ Tlmn
成立，则数阵Tlmn就被定义为张量。
由于在等式右边，包含2个新坐标对旧坐标的偏微分和1个旧坐标对新坐标的偏微分，所以张量Tlmn叫2阶逆变、1阶协变的张量。
注意张量的定义式，与除法的定义类似，方程右边的上下相同的角标，可以相互约去，而剩下的角标，就是等式左边的全部角标。
也就是说，张量在坐标变换下，也满足某种脚标均衡原则。
定义：
1逆变的1张量，叫做逆变矢量，规定逆变矢量的脚标要写在右上方，如Am；
1协变的1阶张量叫做协变矢量，规定协变矢量的脚标要写在右下方，如Am.
0阶张量就是标量。
张量是满足一定的坐标变换条件的特殊的数阵。数阵代数对张量都适用。
八、商定理
设数阵Plmn满足以下条件：对于任一逆变矢量Al，都有AlPlmn为一张量；则Plmn必为一张量。
证明：
记AlPlmn = Qmn , 已知它为一张量，故按张量的定义有：
Qbg = xm’,b xn’,g Qm’n’
于是
AaPabg = xm’,b xn’,g Al’ l’m’n’ ,
因为Al可为任一逆变矢量，则按逆变矢量的定义有：
Al’ = x l’,a Aa
所以
AaPabg = xm’,b x n’, g xl’,a Aa Pl’m’n’ ,
此方程必须对逆变矢量Aa的一切只值都成立，所以：
Pabg = xm’,bx n’,g xl’,a Pl’m’n’ ,
这就证明了Pabg为一张量。
此定理对任意阶的数阵都成立，也无论数阵的脚标在上方或在下方，或上下方都有脚标。在商定理中, 把逆变矢量改为协变矢量, 则商定理也成立。
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回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题

2009年5月15日星期五
回答网友一个简单而有趣的狭义相对论问题
abada

网友原问题:
请问这个相对论题目:
在惯性参考系中观测,两个事件同地不同时,则在其他参考系中观测,它们( )
A. 一定同时
B. 可能同时
C. 不可能同地,但可能同时
D. 不可能同地,也不可能同时
我认为是B,可答案是C.我需要你解释一下,谢谢
==========================================

abada解答：
假设在天安门的正上方, 即在地球坐标的同一地点, 在不同时刻, 放了两烟花A和B.
又假设有一个长长的飞船飞过北京天安门的上空. 烟花A刚好碰到飞船的头部, 烟花B刚好碰到飞船的尾部.
所以, 对飞船坐标而言, 这是不同地点发生的两个事件.
对于飞船来说, 可不可能是同时发生的呢? 不可能.
反证法: 按照爱因斯坦”同时性”的定义, A碰到飞船头, 与B碰到飞船尾, 两事件若在飞船看是同时发生的, 那么这两个事件的光信号,将各自走过一段距离(在飞船看就是飞船固有长度的一半), 而在飞船的中点相遇. 若如此, 我们再在地球坐标看来, 将是怎样的. 由于光速是恒定的, 这两个事件的光信号, 将各自走过一段距离, 或花一定的时间而相遇, 这样的事情是不可能的: 同一地点上的两个光信号不可能走一段空间距离, 或花时间去会合(相遇).
这就证明了: 答案应当是D, 即在另一个惯性系(有相对速度)看来, A与B必然是不同地, 不同时的.

当然, 也可以画一个坐标, 横轴是空间距离, 纵轴是虚数时间, 两事件在同一地点不同时间, 就是横坐标相同而纵坐标不同的两事件点. 狭义相对论变换是把坐标轴做小于90度的旋转. 坐标轴旋转的结果是: 在新的坐标系, 这两点不可能具有同样的横坐标, 也不可能有相同的纵坐标. 结论一样, 就是在新的惯性系中, 它们必然是不同地点而又不同时刻的两个事件.
注意一个题外话: 同一个光线, 从A地发出, 到达B地, “发出”和”达到”这两事件的时空间距永远是0(在不同的惯性系看来, 空间间隔和时间间隔都分别不同, 但四维时空间距保持为0), 这是在不同的惯性系来看. 在广义相对论来看, 光线是0短程线. 这在任何参照系看都如此.
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要钱还是要命?

2009年5月15日星期五
要钱还是要命?
abada

我刚在一篇文章中看到这句话, “一个患绝症的千万富翁肯定愿意用他的所有金钱来换取他的生命”, 以前我也这么想, 也常听人这么说. 但刚才突然灵感一来, 对此有了怀疑.
我想到, 答案应当是: 这是不一定的.
如果他知道用1千万治疗他的绝症治好的几率不大, 他很可能放弃治疗, 而用这些钱去做他认为更有意义的事情. 比如,留给亲人,子孙, 或捐助更需要帮助的人, 或留在公司继续投资以满足他发展公司的愿望, 或做其他的事情, 这取决于他的主观价值排行.
经济学假设人会以最小的代价达到他的目标—经济人假设, 但不能肯定一个人的目标或多个目标的排行到底是什么, 这是个人主观的.
基因是自私的(尽可能地存活和复制自己), 但个体生物未必如此(参考道金斯＜自私的基因＞), 人更未必如此.
动物也可能为了自己的后代而牺牲自己, 这是因为自私的基因在起作用, 后代身上有他的基因, 生物个体选择为自己的后代而牺牲, 还是自私的基因在起作用.
按照道金斯及其某些后继者的观点, 人除了受自私的基因的控制(象动物一样为了自己的后代可能牺牲自己), 同时, 人又受自私的文化基因, 或Meme的控制. 为了头脑中某些Meme的传播和散布, 而牺牲人身个体.
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熵减错觉的简明心理分析

2009年5月11日星期一
熵减错觉的简明心理分析
abada
一个众所周知的常识是, 一个在引力场中封闭且绝热的单摆系统, 开始状态是单摆摆动, 但最终单摆会停止—- 单摆摆动的时候, 重力势能与动能不断转化, 但转化的效率不是100%, 而是一部分动能或势能(机械能)转化为无规则的分子热运动, 热能了. 这就是不存在永动机的热力学第二定律, 或熵增定律.
我们看,假如在引力场中封闭且绝热的单摆系统里, 有许多单摆, 初状态是在摆动, 而后逐渐都趋向于停止摆动了,那么, 同样,这个系统过程是熵增的, 机械能转化为热能了, 单摆最终都停止摆动了.
这个系统实际上与我说的浑浊的脏水孤立系统在引力场中变为澄清分层的系统过程, 完全是一样的. 但奇怪的是, 说单摆逐渐停止运动,很多人就可以理解是熵增, 而浑水澄清分层, 很多人就难以理解是熵增过程.
(问题:在地球上, 把一个脏水搅浑后封闭隔热后,设为0初始状态. 这个孤立系统在引力场中自发地逐渐澄清分层, 这个状态设为1状态, 问从0状态到1状态, 系统的熵是增加了, 还是减少了?)
完全类似的熵增过程, 一个是单摆垂下不摆了, 另一个是泥沙沉淀不往上窜了, 为什么熵增熵减的心理感觉会不同? 为什么人会有这个错觉?
我想, 这可能人受生物主观需要的影响. 人对分层澄清的水更有需要(人需要喝澄清的水), 但同时人又对单摆的摆动有需要, 比如观看, 定时等.
但科学是严谨的, 要把这些主观感觉去除, 按同样的物理定义和定理, 去理解类似的过程.
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可笑的反相对论民科又悬赏10万

2009年5月10日星期日
原文:
李子丰
悬赏100,000元人民币，诚招打败反相队伍的人 http://blog.sina.com.cn/u/1459595284
为了提高人们对相对论的认识，现悬赏100,000元人民币，诚招打败反相队伍的人。要求：
（1）整体推翻我论文中的反对相对论的理论( http://www.sciencenet.cn/bbs/upload/200822585730188.pdf )；
（2）如果是没有收入来源的学生，学生拿500元钱来燕山大学与我交锋。如果学生胜，则我输给学生100,000元；如果我胜，则学生输给我500元；如果不胜不负（即双方各执一辞），则将学生的100元，我出100元，捐献给燕山大学的贫困生。如果是有收入来源的其他人，拿100,000元钱来燕山大学与我交锋。如果该人胜，则我输给该人100,000元；如果我胜，则该人输给我100,000元；如果不胜不负（即双方各执一辞），则该人出100元，我出100元，捐献给燕山大学的贫困生。
解释：(1) 必须整体推翻我论文中的反对相对论的理论，而不是找几处例如打印错误之类的小毛病，并且，证明相对论正确和维护相对论成功。（2）之所以是带条件悬赏，使因为，如果不带条件，那么就会有很多人为赏金，还有维相派安排很多人，与我纠缠，我将被纠缠死。
================================

abada答:
李子丰 根本没有理解相对论, 文章错误百出. 随便挑一条错误来分析:
  • ***李子丰说”3.2.3.4长度缩短问题与狭义相对论的相对性原理相矛盾
    由长度缩短问题可以推论，相对于一个固定坐标系静止的圆球，在另一个与该固定坐标系作匀速直线运动坐标系中观察却是一个椭球，当运动速度等于光速时，就成为一个圆面了，由三维变成二维了，与基本假设相矛盾。”
    *******
    显然李子丰这是错的.
    相对性原理说的是不同参照系中物理定律不变. 一个形状是球体还是椭圆, 并不是物理定律, 而是测量数据+数学定义. 不同测量数据之间的关系, 有的属于物理定律, 有的不属于物理定律,而只是数学定义.
    即使在你相信的伽利略相对性体系中, 不同参照系测量出的同一物体的速度(或你认为的光速)也不同, 那么这种不同是否意味着伽利略相对性原理也是错的呢?当然不是, 速度只是测量数据, 本身并非物理定律.
    即使在伽利略相对性体系中, 在运速水平运动的飞机上若落下一个物体, 忽略空气阻力, 则在地面看物体轨迹将是抛物线, 而在飞机上看物体轨迹将是垂直向下的直线. 那么这种不同是否意味着伽利略相对性原理也是错的呢? 当然不是. 即使伽利略的相对性, 也是说力学定律在不同的参照系保持不变, 而不是说一个曲线的形状会保持不变.
    某物体的速度, 某曲线的形状等等, 都并不是物理定律, 所以针对不同参照系是可能改变的, 如果改变了也与相对性原理无关, 没有冲突.
    当说”物体运动速度有最大极限值常数c”, 如果这句话说的是物理定律, 那么, 相对性原理就要求它在所有参照系成立.
  • 就李子丰那段话, 那除上面说的错误, 还有, “当运动速度等于光速时，”也错.
  • 按狭义相对论, 惯性系之间的速度不会达到光速, 参照系不能建立在光上.
    若你要论证狭义相对论的自相矛盾, 那么你的前提假设就不能违背狭义相对论, 在这种前提下推导其逻辑矛盾, 或与实验的矛盾.
    • 发表于：伪科学批判 | 29篇评论 »

    引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念

    2009年5月6日星期三

    引力与熵–澄清被一些科普书弄乱了的熵概念
    作者：abada
    常见科普书上说，熵，就是混乱程度的量度，一个系统越对称，就越混乱，熵就越大。这无疑给了众多的不求甚解者以艺术般的幻想，以至于跨学科地误用和错用熵概念的现象泛滥。
    有个问题，即是很多物理学专业的学生，也常搞错。这个问题就是：一盆脏水，搅浑后封闭(包括隔热)起来作为状态0；在地球上不管它，浑水会自然澄清，分层，这是状态1。问：从状态0到状态1，熵是增加了，还是减少了？
    很多人会认为熵减少了。甚至一些物理学家也犯这个错误，在科普作品中说引力是能抵抗熵增的，所谓熵增定律带来混乱，而引力可能抵抗熵增而带来秩序。
    果真如此吗？当然不是。热力学第二定律，在引力下一样表现的很明显，引力丝毫不会导致熵减。只是人们头脑中被科普灌输了错误的熵图像而已。
    先说一个规范。物理学家在看到自由落体下落的系统的时候，发现落体动能在增加，但这时他绝不会说：由于落体的动能在增大，所以能量不守恒，能量在增大。而是说：自由下落系统的总能量是守恒的，因为势能转化为动能，动能才因此增加。保守力提供了势能，或势场，这是始终要考虑去的能量形式。我们说封闭系统的时候，始终就把势能（势场）封闭进去考虑了。势能场是不能随意中途加入或移除的，除非你额外输入能量—你不能不做功而把地球上的物体送入无引力场的太空中去。
    同样，严肃的物理学家，针对脏水澄清现象，决不会说：考虑地球，则熵增；如果不考虑地球，则脏水系统是熵减的。说到熵，一开始就要考虑各种能量分布形式的影响，包括势能。
    熵在历史上有两种定义，一种是克劳修斯的热力学宏观定义，一种是波耳兹曼的微观定义。这两种定义是协调的，没有矛盾。微观定义可以为宏观定义提供几率解释。
    我们先从宏观热力学上看脏水澄清系统的变化。脏水自然澄清时，比重大的泥沙会下沉，这导致系统的重心下移。系统的总势能是这样计算的：系统重心的高度x 系统的重量：
    U（势）=Mgh
    系统重心下移，意味着系统的总势能减少了。既然是封闭系统，意味着总能量是守恒的。那么减少的势能到哪里去了呢？ 转化为粒子无规则的热运动，即热能了。这样，根据不可逆过程的热力学熵的定义式：dS>dQ/T，热量增加即dQ>0，所以熵增dS>0，熵增定律成立。
    很多人感到奇怪之处就在于：脏水澄清的过程，不是使系统更有序了吗？你看，本来是混乱的浑水，现在分层了，有秩序了，难道不是这样吗？
    这是试图从熵的微观概念出发想问题，但可惜的是，这样的直觉式的熵概念是错误的。
    微观的熵概念，或波耳兹曼的熵概念，不是单指粒子在三维几何空间中分布的混乱程度；而是指粒子在一定外场势能分布条件下，在粗格化的“相空间”–包括所有粒子的位置维度和动量维度的数学空间–中的分布的混乱程度。简单地说,粒子在相空间中对称(或混乱)与否,不是只看粒子的位置分布,而且还要看粒子的动量、能量分布状态。一个简单的例子是:一些在同一水平面上的空气分子,即使它们在平面空间上的所处位置来看是分布均匀的,但只要它们的动量或能量分布不均匀,那么它们在相空间中的分布就是不均匀的、不对称的或者说是较有序的、较不混乱的。系统的这个“混乱”程度，即波尔兹曼熵，有严格的计算方法，其结果可能完全不同于人们的几何直觉印象。
    波尔兹曼熵定义是：S=klnΩ
    其中S是封闭系统在某种状态下的熵，k是常数，而Ω是指这种状态下的微观态数目。
    我们不要怕麻烦，一定要用图形，找出脏水澄清前后的微观状态数的变化，如果微观状态数变大了，就说明系统的熵增加了，也可说明与热力学宏观定义的理解不矛盾了。
    为了简便，我们假设简单的粒子情况，这个模型推广到极多粒子情况也完全适用。
    1）假设脏水系统有3个粒子，一个是泥沙类的重粒子，另外两个是水分子。假设重粒子的质量是水分子的2倍，我们把它称为(2a)，重量为2；而把其中一个水分子称为a1，把另一个水分子称为a2. 每个水分子的重量都是1。
    2）假设脏水混沌后为封闭系统，总能量守恒，总能量为9个单位。就是说，(2a)，a1和a2三个粒子的总能量是守恒为9的。再假设三粒子除了自身的动能和重力势能，别无其他能量。
    3）各粒子的空间高度可以为1m,2m或3m，在这些之间的高度要做四舍五入，有微小的差别可视为全同。这叫把空间或势能粗格化。
    4）设各粒子的动能可分别为0，1，2，或3…等，在这些之间的动能取值要做四舍五入，有微小的差别可视为全同。把动能粗格化。
    5）粒子位置空间只考虑1维的情况, 即粒子的位置区分只有上下而没有前后左右。
    先假设重粒子(2a）在系统的最上层，3m处占据。图中，符号“a1->1”，表示此状态下粒子a1的动能为1。每个系统态图的右边的数字，是每个高度上的能量分布，它等于此层上所有粒子的（动能+势能）的和，每个粒子的势能的计算方法是其重量乘以高度。
    我们先看重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统粒子不同能量分布的微观态的几种可能性：
    微观态1：
    第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
    第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
    第1m层：a1->0, a2->1—–此层动能=0+1=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3
    微观态2：
    第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
    第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
    第1m层：a1->1, a2->0—–此层动能=1+0=1，势能=1+1=2，总能量=1+2=3
    微观态3：
    第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
    第2m层：a1->0————此层动能=0，势能=2, 总能量=2
    第1m层：a2->0————此层动能=0，势能=1，总能量=1
    微观态4：
    第3m层：(2a)->0———-此层动能=0，势能=2×3=6, 总能量=6
    第2m层：a2->0————此层动能=0，势能=2, 总能量=2
    第1m层：a1->0————此层动能=0，势能=1，总能量=1
    微观态5：
    第3m层：(2a)->1———-此层动能=1，势能=2×3=6, 总能量=7
    第2m层：无粒子———–此层动能=0，势能=0, 总能量=0
    第1m层：a1->0, a2->0—–此层动能=0，势能=1+1=2，总能量=2
    可见在重粒子(2a）在系统的最上层的情况下，系统不同能量分布的微观态有且只有上面所示的5种可能。 读者可以检验：任何局限在此空间中的、这三粒子的其他的势能或动能分布，都不会使总能量为9。
    注意，即使只考虑高度上的1维空间, 一个动能不为0的粒子, 某个确定的动能也可对应两个确定的动量, 这两个动量大小相等、方向相反, 因为动量的方向有朝上和朝下的两种可能。于是，相空间(位置和动量空间)中, 总微观态数目, 比单纯考虑能量分布形式的微观态数目要多。计算方法是: 每1个能量分布态, 若其中3个粒子动能都为0, 则其对应有1种动量分布; 如果3个粒子只有1个动能不为0, 则其对应2种动量分布; 如果动能有2个不为0, 则对应4种动量分布;如果3个粒子动能都不为0, 则对应8种动量分布。
    参考各种能量分布状态再计算这种情形下相空间（能描述所有粒子的各种不同位置和不同动量的数学空间）的微观态可知：
    一个重粒子在3m处的条件下, 系统微观态数应是Ω=8，即熵S=kln8.
    以上相当于重力场中的浑水状态，状态0。
    再看类似重粒子下沉，脏水澄清的情况下的熵。只要假设重粒子在最下层即可。实际上，还有此1重粒子伴随1个水分子同时在最下层的情况，我们暂且不考虑。 我们将知道，即使只考虑一个重粒子在最下层的情况时， 这种情形的分布可能性，也要比重粒子在最上层的情况，可能性或几率要大的多。
    重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态（粒子系统总能量仍恒为9）:
    微观态1：
    第3m层：无粒子—————-动能0，势能0
    第2m层：a1->0, a2->3——-动能=0+3=3，势能2+2=4，此层总能量=3+4=7
    第1m层：(2a)->0————–动能=0，势能=2，此层总能量=2
    微观态2：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->3, a2->0
    第1m层：(2a)->0
    微观态3：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->1, a2->2
    第1m层：(2a)->0
    微观态4：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->2, a2->1
    第1m层：(2a)->0
    微观态5：
    第3m层：a1->0
    第2m层：a2->2
    第1m层：(2a)->0
    微观态6：
    第3m层：a2->0
    第2m层：a1->2
    第1m层：(2a)->0
    微观态7：
    第3m层：a1->2
    第2m层：a2->0
    第1m层：(2a)->0
    微观态8：
    第3m层：a2->2
    第2m层：a1->0
    第1m层：(2a)->0
    微观态9：
    第3m层：a1->1
    第2m层：a2->1
    第1m层：(2a)->0
    微观态10：
    第3m层：a2->1
    第2m层：a1->1
    第1m层：(2a)->0
    微观态11：
    第3m层：a1->0，a2->1
    第2m层：无粒子
    第1m层：(2a)->0
    微观态12：
    第3m层：a1->1，a2->0
    第2m层：无粒子
    第1m层：(2a)->0
    微观态13：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->0，a2->2
    第1m层：(2a)->1
    微观态14：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->2，a2->0
    第1m层：(2a)->1
    微观态15：
    第3m层：无粒子
    第2m层：a1->1，a2->1
    第1m层：(2a)->1
    微观态16：
    第3m层：a1->0
    第2m层：a2->1
    第1m层：(2a)->1
    微观态17：
    第3m层：a2->0
    第2m层：a1->1
    第1m层：(2a)->1
    微观态18：
    第3m层：a1->1
    第2m层：a2->0
    第1m层：(2a)->1
    微观态19：
    第3m层：a2->1
    第2m层：a1->0
    第1m层：(2a)->1
    上面是重粒子(2a)在最下层即1m处的不同能量分布形式下的微观态的所有可能分布。要保证粒子系统的总能量（动能+势能）为9，粒子能量只有这19种分布可能性。
    再依照这19种能量分布可能，计算它们在相空间(包括位置和动量)中的所有可能的微观态，可知这时粒子系统微观态数Ω=64，即熵S=kln64.
    这个Ω=64远大于重粒子在最上层的可能的微观分布可能数Ω=8. 说明重粒子在引力场中位于下层的分布几率远大于其在上层的系统分布几率.
    以上相当于重力场中的浑水澄清后的状态，状态1。显然这种情况下的熵，比重粒子在上的浑水状态的熵要大。
    注意，这个微观态解释的直观重点是:
    重粒子如果在上方,就会占据更多的能量(势能太大),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量的分配可能性就减少了,微观态就少; 相对地,重粒子如果在下方,就会占据更少的能量(势能占据小),而由于系统总能量守恒,其他轻粒子的能量和动量分配可能性就增加了,微观态就多。
    结论: 重粒子在下,有更大的分布可能性和几率。
    所以重力场中浑水澄清的过程是朝微观态数目多、几率大的方向发展的,即熵增的过程。
    从熵的微观解释看，熵大就是这种粒子分布状态的概率大。热力学第二定律，即熵增定律，就是预言系统将从概率小的分布状态，朝着概率大、可能性多的分布状态变化，朝着最可几的状态演化。
    最后说说为什么很多人以为澄清分层的水更有序，熵更小。 这是一种错觉，或对熵的片面理解，甚至误解导致的。错觉可能来自于无引力场的分布情况：在无引力场，或引力场的水平截面（等势能面）上，熵大常常意味着粒子在位置空间几何排列上的更无序，或更对称。 但这种直觉是不能任意推广的。
    最后要说的是: 引力不会导致熵减, 这在霍金的黑洞热力学中也成立. 霍金的公式说黑洞的熵与黑洞的视界面积成正比–而黑洞的视界面积总在增加. 于是热力学第二定律–熵增定律毫无例外地适用于黑洞–有巨大引力的地方。
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    为何日常祈使句动词不超过两个音节?–经济人假设小试牛刀

    2009年5月5日星期二
    为何日常祈使句动词不超过两个音节?–经济人假设小试牛刀
    abada
    在<死物，动物，人，基因；物理学，经济学>中我说过, 经济人（或经济动物）假设，要这样叙述才更可靠：在他们所知的知识和信息范围内， 他们会选择他们自己认为的最小代价，达到他们的目的。这样看来, 经济人假设, 最好不要说成是理性人假设. 这不仅是由于信息不完备, 还可以因为他们的目的可能中途变化. 还说, 如果按照道金斯生物学上的”自私”的定义，经济人假设不可表述为“人是自私的”。
    经济学的又一个基本假设是主观价值论. 这样说来, 何谓”最小代价’? 岂不是当事人当时自己的主观的判断? 那么外人怎么依据经济人假设来预言人的行为呢?
    的确, 由于这些原因, 由于信息不完全, 信息获取程序会反馈影响当事人而导致信息测不准等等, 经济学很难成为精确科学, 但常常可以成为良好的定性科学. 即使物理学, 如今也在发展一种叫<定性物理学>的分支. 物理学至今也难以预言一片在空气中飘动的羽毛将会确切地落在哪里. 但这并不表明物理学无用. 经济学也是如此, 与任何科学一样, 在有用的时候有用, 但不万能.
    物理学可以挑选一些理想情况, 简单情况, 来使预言可以做到很确切. 例如, 牛顿力学断言在没有摩擦的时候, 自由落体将按匀加速下落. 但现实生活中有空气摩擦, 哪有这样的牛顿理想落体呢?
    1)我们可以找到一种真空管的条件, 接近理想落体的环境条件, 从而很精确地使羽毛下落也满足匀加速运动的定律.
    2)我们可以了解空气中物体不按匀加速规律下落的原因: 空气阻力. 从而懂得控制降落伞下落速度的机理—这建立在对理想落体的研究的基础上才能可靠.

    我们假设一个人目的是出门走路去商店打酱油. 我们结合物理学的最小作用量原理, 可以预言他将尽可能走阻力最小的最短路径. 这就是经济人假设的预言. 如果没有这个假设, 我们难以预言他的行为.
    假如我们发现他绕道了, 怎么办? 我们并不马上怀疑经济人假设有问题, 而是看其他原因, 除非没有其他原因, 我们才怀疑经济人假设, 因为这是经济学理论的硬核.
    我们可能可以做如下预言:
    1)他不知道近路, 信息明显缺失. 如果是这样, 我们还可以进一步预言: 如果有人告之他阻力最小的近路信息, 他一定会抄近路.
    2)他中途改变了目标, 例如发现绕道的远处有他感兴趣的另外的东西. 如果是这样, 我们可以预言: 他仍然会抄近路, 以最小代价去到达他的新目标. 他还会在他的知识和信息范围内尽可能地使得达到多个目标的总代价最小化.
    由于已限定到达目的地的”代价”是”走路”, 所以这时”代价”的主观性降低, 而可以用物理学来确定代价大小. 这使我们的预言的信息完全性提高了. 如果不确定是走路, 而有各种交通工具, 我们就更难预言他的行为了. 因为对使用不同的交通工具所花的代价的大小的判断, 个人主观性已大大提高.
    在情况复杂的情况下, 经济学已很难精确预言人的行为了, 正如物理学不能预言羽毛在风中的飘落轨迹一样.
    但恰巧在许多情况下, 经济人假设可以作到巧妙的合理应用和预言. 例如: 我们可以预言(或解释), 各民族长期流传下来的日常祈使句里的动词, 音节都是很短的, 概率上不超过2个音节.
    例如: 汉语里说”走!”, 英语里说”go!”等等, 音节极短.
    这是因为, 语言是公共交流的工具, 因此, 对语言代价的判断, 主观性降低了, 更服从于某些自然科学原理. 如: 说话发音越多, 代价越大.
    同时, 因为日常祈使句的目的很明确, 就是让别人作某种行动 (让自己行动可以不用语言). 在以”让别人行动”为目的的祈使句中, 人们就会尽可能地减少代价, 达到目的. 这就是由经济人假设, 结合自然科学, 可以推出的事实断言: 各民族长期流传下来的日常祈使句里的动词, 音节都是很短的, 概率上不超过2个音节.
    而同义的动词可能在文学作品中有较长的音节, 那是因为文学作品要达到与日常祈使句的目的不同的、另外的目的.
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    图解光为何折射?续<死物，动物，人，基因；物理学，经济学>

    2009年5月4日星期一
    图解光为何折射?续<死物，动物，人，基因；物理学，经济学>
    abada
    我们把筷子放进一碗水里, 可以看到筷子仿佛弯曲了, 如图:

    这是因为, 水中筷子的某点, 比如筷子顶端, 其反射出的光线, 在经过水面, 或者说水和空气的交界面的时候, 发生了折射, 使我们习惯于光是按直线传播的人, 感到筷子弯曲了.
    　　
    下面的问题是: 光线为什么要弯曲? 为什么会折射? 有没有更深刻的原理在起作用呢?
    　　
    当然有. “最小作用量原理”就可以解释. 如图:

    我们要从水中的A点发射激光, 照射到空气中的B点. 激光按某种方式做到了. 但却不是按直线行走的, 它在水面发生了偏折.
    　　
    这个偏折, 虽然使激光的总路程似乎比连接AB的直线, 增加了距离, 但是, 它争取了在水中的路程变短了.
    　　
    　　设想激光在水中行走会受到较大的阻力作用, 那么, 这个偏折, 就比按连接AB的直线行走, 减少了在水中的行走路程, 减少了阻力作用, 使得作用量达到最小化.
    　　
    　　光线和人一样, 尽可能地偷懒! 这就是最小作用量原理的一个可能解释. 真空中的光线在引力场中也会弯曲, 但同样是在偷懒, 由于物质使时空弯曲, 光线实际上在四维时空中, 走的是”0短程线”.

    　　
    　　物体按最小作用量行走,这样的路径,在数学上变分法角度看其解有最大的稳定性. 因此, 最小作用量原理与稳定性原理常常是等效的表述.
    　　
    　　物理学家费曼说过: “我们相信, 物理定律必须服从最小作用量原理” . 他是说, 这是物理学最基本的原理之一, 不可由其他原理导出, 但可帮助导出其他定律.
    　　
    　　实际上, 牛顿定律和广义相对论场方程, 都是在一定条件下的最小作用量原理的表现. 广义相对论断言自由下落的物体在伪黎曼四维时空中按短程线运动等, 都可以说是最小作用量原理的表现形式. 借助于最小作用量原理, 可以推导出爱因斯坦广义相对论方程. 　　　
    　　
    　　 不仅如此,费曼把量子力学做路径积分的表述, 就又可用到最小作用量原理.
    在双缝实验中, 电子的路径可以是各种可能的, 但主要的路线,大的概率路径, 来自于作用量稳定的路径邻域.　　
    　　
    　　接下来继续说我在<死物，动物，人，基因；物理学，经济学>中留下的伏笔:
    　　
    　　”人可以有自杀的目的， 会选择最小的代价完成这一目的， 但基因不会。”
    　　
    　　基因真的不会吗? 当然可能会! 只是概率很小, 因为这样的自杀基因难以遗传, 所以在进化中被淘汰了. 但是偶然的变异还是会临时产生这样的基因的. 因此, 这本身有测不准性. 我们只能预言大概率事件.
    　　
    　　符合最小作用量原理的物体, 符合自私原则的基因, 符合经济人假设的人类行为, 才有稳定性, 是大概率事件, 才可被大量复制传播.　
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