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该曲线的弧长微元长度的平方为ds2 = dr О dr = gijdxidxj(3.1.12),决定了
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架1第3章 曲线坐标张量分析连续介质逐空间点处的质量密度, 电荷密度, 温度等, 或速度, 加速度, 电场强度, 磁场强度等, 构成了以空间点的坐标xi或位置矢量r为自变量的标量值或矢量值函数. 这类以xi或r为自变量的函数, 在物理上常常称作为场(field). 类似地, 可以定义更高阶的张量场, 如二阶的应力场和应变场, 四阶的弹性张量场等等. 张量分析研究张量场的微分, 导数, 积分等规律.例如, 描述电磁场运动规律的Maxwell方程组为V О D = 4πϑ （库仑定律）V x H =4πcJ （安培定律）V x E = −1c∂B∂t(法拉第定律）V x B = 0其中D和E分别为电位移和电场强度矢量场, B和H分别为磁感应和磁场强度矢量场, ϑ是电荷密度, c是光速, J是电流矢量场. 上面的Hamilton导数算子V, 在笛卡儿坐标系{x, y, z}及相应的坐标单位方向{i, j, k}下有V = i∂∂x+ j∂∂y+ k∂∂z又如, 描述线性弹性变形运动规律的基本方程组为σ О V + ρf = ρ∂2u∂t2（动量平衡律）ε = 12(Vu + uV) （几何方程）V x ε x V = 0 （相容方程）σ = C : ε （Hooke定律）其中σ和ε分别是应力张量和应变张量场, u是位移场, f是体力密度, ρ是质量密度, C是弹性张量场. 可见, 在物理和力学的基本方程中, 常常出现标量矢量和张量的梯度（如Vu）, 散度（如V О D, σ О V）, 旋度（如V x H, V x E, V x B, V x ε x V）等不变性导数运算.本章介绍张量场的微积分基础性基础内容.3.1 曲线坐标系和自然局部标架3.1.1 曲线坐标系在三维欧氏空间任取一点O作为原点, 引进笛卡儿坐标系{x, y, z}, 则空间任意点P相对O的位置矢量r可由坐标(x,y,z)唯一表示, 见3.1. 另一方面, 数学物理和力学问题中经常出现曲线坐标系, 如圆柱坐标系, 球坐标系等. 此时空间任意点P由三个独立参数xi(i = 1, 2, 3)确定. 称{xi}为一个曲线坐标系, 是指(x,y,z)可与(x1,x2,x3)构成一一对应, 且函数组:
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2g3g1g2x3x2x1dx1Figure 3.1: 位置矢量r, xi-坐标曲线和局部自然基矢gi.x1 = x1 (x,y,z), x2 = x2 (x,y,z), x3 = x3 (x,y,z)单值, 连续光滑且可递. 根据逆函数定理, 连续光滑函数组xi (x,y,z)在含(x,y,z)点某个邻域可逆的一个充分必要条件是在该点的Jacobian不等于零, 即∂ (x1,x2,x3)∂ (x,y,z)= ¯¯¯¯¯¯¯∂x1∂x∂x1∂y∂x1∂z∂x2∂x∂x2∂y∂x3∂z∂x3∂x∂x3∂y∂x3∂z¯¯¯¯¯¯¯6= 0(3.1.1)在曲线坐标系{xi}中, 保持x2和x3不变, 仅变化单参数x1, 则位置矢量r(x1,x2,x3)的集合在空间形成一条曲线: 称作为x1-坐标曲线. 过空间任何一点(x10,x20,x30)有三条坐标曲线r¡x1,x20,x30¢, r¡x10,x2,x30¢, r¡x10,x20,x3¢,见图3.1因此, 称{xi}为一个曲线坐标系. 另一方面, 如保持x1 = x10不变, 则双参数点r(x10,x2,x3)的集合形成过x1 = x10的一个曲面, 称作为x1-坐标曲面. 过任意点r(x10,x20,x30)有三个坐标曲面, 分别由下述双参数位置矢量函数表示:r¡x10,x2,x3¢, r¡x1,x20,x3¢, r¡x1,x2,x30¢.3.1.2 自然基矢过空间任意一点P (x1,x2,x3)有三条坐标曲线, 沿xi-曲线上点的位置矢量相对坐标参数xi的变化率gi =∂r∂xi(3.1.2)
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架3Figure 3.2: 球坐标系{r,θ,φ}, 坐标曲线及局部基矢量.与xi-曲线相切, 指向xi-曲线增加的方向, 见图5.1. 由于混合积[g1,g2,g3] =∂ (x,y,z)∂ (x1,x2,x3) 6= 0(3.1.3)故{gi}是线性无关组, 从而可选作为一个矢量基, 称作为与{xi}对应的自然矢量基或协变基(covariant basis).例 3.1.1 参见图??, 下述函数x = r cosθ cosφ, y = r sinθ cosφ, z = r sinφ在定义域0 < r < ∞, 0 ^ θ < 2π, ϕ ≤ π/2构成了(x,y,z)与(x1 = r,x2 = θ,x3 = φ)的一, 一对应. 该坐标系{xi}称作为球面坐标系. x1-坐标线为由原点出发的径向射线; x2-坐标线为纬线; x3-坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为g1= cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk,g2= r (−sinθ cosφi + cosθ cosφj),g3= r (−cosθ sinφi − sinθ sinφj + cosφk)易验证g1 = 1, g2 = r cosφ, g3 = r,g1 О g2= g2 О g3 = g3 О g1 = 0可见gi相互正交, 即{r,θ,φ}为一正交曲线坐标系.参见图3.2, 下述函数x = r cosθ cosφ, y = r sinθ cosφ, z = r sinφ(3.1.4)
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4Figure 3.3: 逆变基矢g1与协变基矢g2和g3正交，且与协变基矢g1点积等于1.例 3.1.2 在定义域0 < r < ∞, 0 ^ θ < 2π, ϕ ≤ π/2构成了(x,y,z)与(x1 = r,x2 = θ,x3 = φ)的一, 一对应. 该坐标系{xi}称作为球面坐标系. x1-坐标线为由原点出发的径向射线; x2-坐标线为纬线; x3-坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为g1= cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk,g2= r (−sinθ cosφi + cosθ cosφj),(3.1.5)g3= r (−cosθ sinφi − sinθ sinφj + cosφk)易验证g1 = 1, g2 = r cosφ, g3 = r,(3.1.6)g1 О g2= g2 О g3 = g3 О g1 = 0可见gi相互正交, 即{r,θ,φ}为一正交曲线坐标系.3.1.3 逆变基和矢量的多种分量表示一般而言, {gi}都不是标准正交基, 如上述球坐标系的g2和g3不是单位长度, 甚至不是无量纲的. 对任何P点的矢量u而言, 由于{gi}是一个基, 故有分量表示如下:u = uigi问题是如何求分量ui, 以及正确理解ui的物理含义, 因为如果{gi}不是标准正交基, 则ui 6=u О gi. 面对这个问题张量分析提供了一个很好的解决方案, 即引进满足下列关系的三个矢量gi:gi О gj = δij = (1 (i = j, 不求和)0 (i 6= j)(3.1.7)与δij一样, 称δij为Kronecher符号. 由定义, g1与g2和g3都正交, 故g1与g2 x g3平行, 即存在常数α, 使得g1 = αg2 x g3. 两边点积g1后利用g1 О g1 = 1, 得到α = [g1,g2,g3]-1, 见图3.3. 于是g1 =g2 x g3[g1,g2,g3](3.1.8)
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架5类似可得g2 =g3 x g1[g1,g2,g3], g3 =g2 x g3[g1,g2,g3](3.1.9)或gi x gj = [g1,g2,g3]eijkgk(3.1.10)由此不难验证£g1,g2,g3¤ =1[g1,g2,g3] 6= 0(3.1.11)可见{gi}构成一新的矢量基, 称作为逆变基(contravariant basis). 在u = uigi两边点积gj, 得到下述简单的分量公式表示:u = uigi, ui = u О gi类似, 对分量表示u = uigi, 分量ui可求解如下:u = uigi, ui = u О gi称ui和ui分别为u的逆变和协变分量.不难验证{gigj}, {gigj}, {gigj}和{gigj}都构成二阶张量空间的基, 且任意二阶张量B可有如下四种不同的分量表示形式:B = Bijgigj= Bi·jgigj= B·ji gigj= Bijgigj分量Bi·j和B·ji 中出现占位的点"О", 是用来特别注明指标i在前, j在后, 这一用点占位的记法后同. 由上述分量表示的两边双点积不同的基矢量, 则得Bij= gi О B О gj,Bi·j= gi О B О gj,B·ji= gi О B О gj,Bij= gi О B О gj称Bij为B的逆变分量, Bij为B的协变分量, Bij和B ji 为B的混变分量.对于任意高阶张量有类似的结果. 如对于T = Tijk gigjgk 有Tijk = (gigj) : T О gk等等.3.1.4 度量张量沿空间曲线xi (s)的位置矢量的微分为dr =∂r∂xi∂xi∂sds = µ∂xi∂sds¶gi于是, 该曲线的弧长微元长度的平方为ds2 = dr О dr = gijdxidxj(3.1.12)
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6其中gij = gi О gj(3.1.13)dxi = (∂xi/∂s)ds. 可见gij完全决定了弧长性质, 称作为协变度量张量(metric tensor). 类似,可引进gij = gi О gj(3.1.14), 称作为逆变度量张量. 下面证明gij和gij具有下述性质:gi = gijgj, gi = gijgj(3.1.15)在上式的两边分别点积gk和gk, 即可立即验证上述升, 降关系. 进一步, 由上述两式的左, 右两边对应点积, 则得到gi О gk = (gikgk) О ¡gjlgl¢ = gikgjlδlk或δij = gikgjk(3.1.16)可见矩阵[gij]与矩阵[gkl]为逆矩阵, 即⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦,这为快捷求解gij, 从而为由(3.1.15)给出gi提供了便利. 一般而言, 可以十分形象地理解gij和gij分别针对所有协, 逆变指标起“升, 降指标机＂作用, 如:ui = gijuj,ui = gijuj,Bij = gikBkj,Bij = gilBil,Bij = gikgjlBkl,Bij = gikgjlBkl.最后, 对任意矢量u, v, w和a, b, c, 利用第1章证明过的下述恒等式⎡⎢⎣u О a u О b u О cv О a v О b v О cw О a w О b w О c⎤⎥⎦ = [u,v,w][a,b,c]立即可得⎡⎢⎣gilgimgingjlgjmgjngklgkmgkn⎤⎥⎦ = ijk lmn(3.1.17)以及g = gij = 2123 = [g1,g2,g3]2可见123 = [g1,g2,g3] = ±√g(3.1.18)上式中取正或负号, 取决于{gi}是右手还是左手系.
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架7不难验证单位二阶张量I的协, 逆变基表示如下:I = gijgigj= δji gigj = gigi= δijgigj = gigi= gijgigj(3.1.19)即gij, gij和δij分别正好是单位二阶张量I的协, 逆和混变分量. 特别值得指出的是, 尽管I是常数张量, 其分量gij和gij一般并非常数. 然而, 后面将看到, 非常数的gij和gij在张量或协变导数的作用下显得就像一个常数, 可以自由地移进移出协变导数的作用范围.例 3.1.3 对于例3.1.2的球坐标系, 非零的度量张量分量为:g11= 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ,g11= 1, g22 =1r2, g33 =1r2 sin2 θ..对置换张量的分量表示e = ijkgigjgk= ijkgigjgk(3.1.20)双点积glgm后, 得到gl x gm = e : (glgm) = ilmgi比较(3.1.10)得到ilm = [g1,g2,g3]elmi = ±√geilm(3.1.21)类似, 可证ijk = £g1,g2,g3¤eijk = ±√g-1eijk(3.1.22)这里再次指出常数三阶张量e的分量ijk, ijk在曲线坐标系下一般不等于常数.3.1.5 坐标变换描述同一物理问题, 可以根据需要(如边界条件), 来选择不同的坐标系. 张量的最早定义, 其实就是满足一定坐标变换不变性的量. 下面来看从"旧"坐标系{xi}变换到"新"坐标系{xi0}时, 张量分量是如何变换的. 首先来看局部自然基矢的变换, 下面首先证明gi0= βii0 gi, (βii0 =∂xi∂xi0),(3.1.23)gi0= βi0i gi, (βi0i =∂xi0∂xi).(3.1.24)事实上, 复合函数求导由关系gi0 =∂r∂xi0=∂r∂xi∂xi∂xi0
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8立即证得(3.1.23). 其次, 我们注意到βii0 βj0i = δj0i0 , βii0 βi0j = δij(3.1.25)即βii0 和βi0i 的矩阵互逆:⎡⎢⎣β110β120β130β210β220β230β310β320β330⎤⎥⎦⎡⎢⎣β101β102β103β201β202β203β301β302β303⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦另一方面, 若记gi0= γi0i gi, 则利用(3.1.23)得δi0j0 = gi0О gj0 = (ri0i gi)(βjj0 gj) = γi0i βij0由逆的唯一性, 得证γi0i = βi0i .由矢量u和二阶张量B的分量表示u = ui0gi0 = uigi= ui0 gi0= uigiB = Bi0j0gi0j0 = Bijgigj= Bi0·j0 gi0 gj0= Bi·jgigj= B·j0i0 gi0gj0 = B·ji gigj= Bi0j0 gi0gj0= Bijgigj利用性质(3.1.23-3.1.25), 即得到ui0= βi0i ui,ui0= βii0 ui,Bi0j0= βi0i βi0j Bij,Bi0·j0= βi0i βjj0 Bi·j,B·j0i0= βii0 βj0j B·ji ,Bi0j0= βii0 βjj0 Bij可见, 协变换系数βii0 和逆变换系数βi0i 分别将协逆变分量变换到新坐标系.早期是用坐标变换来定义张量的. 例如, 一个三指标数组在任意两套坐标系{xi}和{xi0}观察下的值T (i,j,k)和T(i0, j0, k0)若满足关系T (i0,j0,k0) = βii0 βj0j βk0k T (i,j,k)则对应一个三阶张量T, 且T·jki= T (i,j,k)是T的一个关于i协变, j和k逆变的混变分量. 一般而言, 若下述变换关系T ¡i01,ООО ,i0p,j01,ООО ,j0q¢ = βi1i01 ОООβipi0p βj01j1 ОООβj0qjqT (i1,ООО ,ip,j1,ООО ,jq)对任意坐标变换成立, 则T·····j1···jpi1···ip= T (i1,ООО ,ip,j1,ООО ,jq)必然是一个(p + q)阶张量的混变分量. 变换系数的个数决定了张量的阶数. 如果某个量的坐标变换与变换系数无关, 则称其为标量.
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架9例 3.1.4 分别取例??中的笛卡儿坐标系{x,y,z}和球坐标系{r,θ,ϕ}为旧, 新坐标系, 可得[βii0 ] = ⎡⎢⎣cosϕsinθ r cosϕcosθ −r sinϕsinθsinϕsinθ r sinϕcosθ r cosϕsinθcosθ−r sinθ0⎤⎥⎦,[βi0i ] = ⎡⎢⎣cosϕsinθ sinϕsinθ cosθcos ϕ cos θrsin ϕ cos θr−sin θr− sin ϕr sin θcos ϕr sin θ0⎤⎥⎦ = [βii0 ]-1.例 3.1.5 由gi0j0 = βii0 βjj0 gij两边求行列式, 得到gi0j0 = ¯¯βll0 ¯¯2gij可见度量张量的行列式不是标量, 称作为一个伪标量. 由于ijk是张量, 而ijk = ±√geijk, 因此置换符号eijk不是三阶张量.3.1.6 内积, 迹数和行列式相对一个标准正交基{ei}, 两个矢量u = uiei和v = viei的内积为u О v = uivi. 相对非标准正交基{gi}, 则有u = uigi = uigiv = vigi = vigiu О v = gijuivj = uivi = uivi = gijuivj总之, 非标准正交基下的哑指标永远一上(逆变), 一下(协变)地成对出现. 哑指标的这种一上, 一下成对, 使得哑指标与坐标完全无关, 如ui0 vi0 = (βi0i ui)(βji0 vj) = βi0i βji0 uivj = δji uivj = uivi任意二阶张量B的迹数为trB = B : I = Bii = B ii = gijBij = gijBij(3.1.26)行列式为detB = ¯¯Bij¯¯ =¯¯B ji ¯¯ =1g Bij = g ¯¯Bij¯¯(3.1.27)需特别注意在非标准正交基下, 要用混变分量的矩阵来求迹数主不变量和行列式等等. 关于上述关系的证明, 留作为练习.
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10Figure 3.4: (a)函数z = ϕ(x,y)作为山地的高度, (b)等高线及高度的梯度Vϕ.3.2 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数3.2.1 标量场和矢量场的梯度标量场ϕ随空间点或位置的变化, 可由ϕ的梯度来描述. ϕ在xi +dxi点相对于ϕ在xi点的增量为Δϕ = ϕ(xi + dxi) − ϕ(xi) =∂ϕ(xi)∂xjdxj + o(dxi)略去dxi或dr = r,jdxj = gjdxj的高阶小o(dr)后, Δϕ由ϕ的微分dϕ为近似值:dϕ = ϕ,jdxi= (ϕ,igi) О (dxjgj)=(ϕV) О dr= (dxjgj) О (giϕ,i) = dr О (Vϕ)(3.2.28)由于对于任何微矢量dr, dϕ都是标量, 且ϕV = Vϕ与dr无关, 可见ϕV或Vϕ是一个矢量场, 称作为ϕ的梯度(gradient). 通过简单的运算可见∇=gj ∂∂xj= gj´∂∂xj0,∂∂xj0= βjj0∂∂xj(3.2.29)可见V的确是矢量型算子, 且 ∂∂xi 服从协变分量的变换法则. 几何上, ϕV的方向为与ϕ的等值线相垂直的, 并指向ϕ值增加的方向（见图3.4）.类似地, 对于矢量场u, 其增量Δu = u(r + dr) − u(r)在略去dr的高阶小后等于u的微分du, 而du = u,jdxj= (u,jgj) О (dxigi)=(uV) О dr= (dxigi) О (gju,j) = dr О (Vu)(3.2.30)
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数11称uV和Vu分别为u的右和左梯度. 显然, uV和Vu互为转置, 故下面不妨只进一步研究uV.将u = uigi = uigi代入uV = u,jgj, 得uV = (ui,jgi + uigi,j)gj = (ui,jgi + uigi,j)gj3.2.2 联络系数和协变导数为表示uV, 需研究矢量组gij. 对矢量组gi,j作分量表示:gi,j = Γkijgk = Γijkgk(3.2.31)两边点积gl和gl, 既求得系数Γkij和Γijk的表达形式如下:Γijk = gi,j О gk, Γkij = gi,j О gk(3.2.32)进一步, 由于gi = r,i , 故gi,j = r,ij = gj,i, 于是Γkij = Γkji, Γijk = Γjik(3.2.33)可见Γkij和Γijk的指标(ij)是对称的, 因此, 三维空间的Γkij和Γijk分别最多都只有6 x 3 =18个独立分量, 二维的分别最多都只有3 x 2=6个独立分量. 称Γijk和Γkij分别为第1和2类联络系数或Christoffel符号.类似, 对矢量组gk,j可分量表示: gk,j = γkjlgl. 为了确定γkjl, 由关系gk О gl = δkl 对xj求偏导,得到gk,j О gl + gk О gl,j = γkjl + Γklj = 0或γkjl = −Γklj = −Γkjl. 于是,gk,j = −Γkjlgl(3.2.34)Γkjl = −gk,j О gl = −gk,l О gj(3.2.35)将(3.2.31)和(3.2.34)代入(??), 可最后写得uV =(ui∇j)gigj = (ui∇j)gigj(3.2.36)其中ui∇j= ui0j + Γijkui(3.2.37)ui∇j= uij − Γkijuk(3.2.38)称作为ui和ui的对坐标xj的协变导数(covariant derivative). 文献上也常常采用如下的不同记法:ui∇j = ui;j = uij, ui∇j = ui;j = uij下面说明Γijk和Γkij都不是张量分量. 如果是, 则Γijk = βi0i βj0j βk0k Γi0j0k0 , Γkij = βi0i βj0j βkk0 Γk0i0j0
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12对任何坐标变换成立. 然而, 如果取{xi0}为一个笛卡儿坐标系, 则Γk0i0j0 和Γi0j0k0 等于零, 于是, 上述变换关系表明Γijk和Γkij对任意曲线坐标系{xi0}都恒等于零, 这显然与事实不符, 因此Γijk和Γkij必然不是张量分量. 尽管如此, 注意到gk和gk通过度量张量gkl和gkl升降, 因此由(3.2.31)得Γkij = gklΓijl, Γijk = gklΓlij也就是说, Γkij和Γijk中的指标k是按照张量指标的形式升降的. 事实上, 由Γk0i0j0 = gi0jj0 Оgk0=(βii0 gi)0jβjj0 βkkgk可直接得到联络系数的变换关系如下Γk0i0j0 = βii0 βjj0 βk0k Γkij +∂2xk∂xi0 ∂xj0βk0k(3.2.39)显然不是张量关系.除(3.2.32)和(3.2.35)外, 我们可以建立由度量张量来表示联络系数的关系. 在张量分析今后的学习中将看到, 这是比(3.2.32)和(3.2.35)更基本, 更重要, 也更方便的关系. 由gi О gj =gij对xk求偏导, 再利用性质(3.2.32), 既可得到gij,k = Γikj + Γjki(3.2.40)进一步, 由(3.2.40)更换指标位置, 又可得gik,j= Γijk + Γkjigkj,i= Γijk + Γkij将上述两式相加并减去(3.2.40)的两倍, 利用指标对称性gij = gji和Γijk=Γjik, 即解得Γijk=12(gik0j + gjk0i − gij0k)(3.2.41)换句话说, 联络导数可由度量张量完全表达.例 3.2.6 记x1 = r和x2 = θ为平面极坐标, x和y为笛卡儿坐标, i和j为笛卡儿坐标的单位方向矢量, r为位置矢量, 即r = xi + yj = (r cosθ)i + (r sinθ)j. 易求得:g1= (r cosθ)i + (r sinθ)jg2= (−r sinθ)i + (r cosθ)j和g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = r2g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = 1/r2利用公式(3.2.41), 不难进一步求得Γijk的全部分量为:Γ111= g11,1 = 0,Γ112=12(g12,1 + g21,1 − g11.2)=0,Γ121= Γ211 =12(g11,2 + g21.1 − g12.1)=0,Γ122= Γ212 =12(g12,2 + g22,1 − g12,2) = r,Γ221=12(g21,2 + g12,2 − g22,1) = −rΓ22,2= g22,2 = 0
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数13只有Γ122 = F212 = r和Γ221 = −r非零. 类似, 由Γkij = gklΓijl又可得知Γkij只有如下的非零分量:Γ212 = Γ221 = 1/r, Γ122 = −r为方便应用, 本章第六节作为附录列出了常见的一些曲线坐标系下的度量张量和联络系数.例 3.2.7 记x1 = r和x2 = θ为平面极坐标, x和y为笛卡儿坐标, i和j为笛卡儿坐标的单位方向矢量, r为位置矢量, 即r = xi + yj = (r cosθ)i + (r sinθ)j. 易求得:g1= (r cosθ)i + (r sinθ)jg2= (−r sinθ)i + (r cosθ)j和g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = r2g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = 1/r2利用公式(3.2.41), 不难进一步求得Γijk的全部分量为:Γ111= g11,1 = 0,Γ112=12(g12,1 + g21,1 − g11.2)=0,Γ121= Γ211 =12(g11,2 + g21.1 − g12.1)=0,Γ122= Γ212 =12(g12,2 + g22,1 − g12,2) = r,Γ221=12(g21,2 + g12,2 − g22,1) = −rΓ22,2= g22,2 = 0只有Γ122 = F212 = r和Γ221 = −r非零. 类似, 由Γkij = gklΓijl, (??)和(??), 又可得知Γkij只有如下的非零分量:Γ212 = Γ221 = 1/r, Γ122 = −r为方便应用, 本章第六节作为附录列出了常见的一些曲线坐标系下的度量张量和联络系数.3.2.3 张量场的协变导数及其一般结构类似于标量场和矢量场问题, 一个一般张量场T在r的邻点r + dr的值相对于T在r点值的增量ΔT = T(r + dr) − T(r)在略去dr的高阶小后, 可由T的微分来近似表示:dT = T,jdxi= (T,jgj) О (dxigi)=(TV) О dr= (dxigi) О (giT, j) = dr О (VT)(3.2.42)
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14根据张量的定义可见, TV和VT都是较T高一阶的张量, 分别叫做为T的右和左梯度.对T的分量形式如T =Ti···j·····k···lgi ОООgjgk ОООgl求导, 有TV = [Ti···j·····k···l,mgi ОООgjgk ОООgl+Ti···j·····k···l(gi,mОООgj + ООО + gi ОООgj,m)gk ОООgl+Ti···j·····k···lgi ОООgj(gk,m ОООgl + ООО + gk ОООgl,m)]gm利用（3.2.31）和（3.2.34）, 即可得到TV = T,mgm = Ti···j·····k···l;mgi ОООgjgk ОООglgm,(3.2.43)其中协变导数Ti···jk···l;m= Ti···j·····k···l,m+ ΓimnTn···j·····k···l+ ООО + ΓjmnTi···n·····k···l−ΓnmkTi···j·····n···l − ООО − ΓnmlTi···j·····k···n(3.2.44)归纳起来, Ti···j·····k···l的协变导数Ti···j·····k···l;m, 除包含Ti···j·····k···l对xm的偏导数外, 对应每一个分量指标还需分别用哑标替代, 并与联络导数通过哑标相乘, 作为额外项添加上去；对应逆变指标以正号添加；对应协变指标以负号添加.对于三阶张量的分量表示T = Tij··kgigjgk = T·ji·kgigjgk = T·jkigigjgk, 有Tij··k;m= Tij··k,m+ ΓimnTnj··k+ ΓjmnTin··k − ΓnmkTij··n,T·ji·k;m= T·ji·k,m − ΓnmiT·jn·k+ ΓjmnT·ni·k − ΓnmkT·ji·n,T·jki··;m= T·jki··,m − ΓnmiT·jkn+ ΓjmnT·nki+ ΓkmnT·jni3.2.4 协变导数的基本性质-散度和旋度形式上, 由（3.2.43）可见对张量的绝对表示T的偏导数T,m直接等于只对T的张量分量的协变导数Vm. 协变导数不仅仅具有矢量分量的性质, 也具有导数的基本属性. 例如, 对于两个张量T = Tij··kgigjgk和B = Bl·mglgm的并积, 有(TB)V = (TB),ngn = (T,nB)gn + TB,ngn= (Tij··kngigjgk)(Bl·mglgm)gn + (Tij··kgigjgk)(Bl·mnglgm)gn可见(Tij··kBl·m)n = Tij··knBl·m+ Tij··kBl·mn(3.2.45)即协变导数同一般偏导类似, 具有对乘积量的分别求导属性. 式(3.2.45)的一个直接证明如下:(Tij··kBl·m)n= (Tij··kBl·m),n + (ΓinrTrj··k+ ΓjnrTir··k − ΓsnkTij··s)Bl·m+Tij··k(ΓlnrBr·m − ΓsnmBl·s)= (Tij··k,n+ ΓinrTrj··k+ ΓjnrTir··k − ΓsnkTij··s)Bl·m+Tij··k(Bl·m,n+ ΓlnrBr·m − ΓsnmBl·s)= Tij··knBl·m+ Tij··kBl·mn
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数15可见, 协变导数的内在结构(5.2.29)决定了协变导数对乘积作用的分部性质(3.2.45).由于单位二阶张量和置换张量e是常张量, 因此它们的梯度恒为零, 于是, 其分量的协变导数恒为零, 如gijk= 0, gijk = 0,ijkl= 0, ijkl = 0等等. 因此, 尽管在曲线坐标系下gij, ijk等一般随空间点变化, 它们在协变导数看来都完全像"常数", 可以自由地移入, 移出协变导数的作用范围, 例如uij= (giluk)j = gik(ukj),(ijkujBkl)m= ijk(ujBkl)m等等. 有趣地是, 如果对基矢量gi, gj也按照协变导数法则求导, 则有gik= gi,k − Γjikgjgik= gi,k + Γikjgj回顾(3.2.31)和(3.2.34), 则见gik = 0, gik = 0, 即基矢量在协变导数看来也是"常量", 可以自由地移入移出协变导数的作用范围.不利用gij作为常张量I的分量属性, 关于gijk ≡ 0的一个直接证明如下:gijk= gij,k − Γlikglj − Γljkgil= gij,k − Γikj − Γjki由此可见gijk = 0正对应于gij与Γijk的基本关系(3.2.40).关于ijkl = 0的直接证明如下:ijkl = ijk,l − Γmli mjk − Γmlj imk − Γmlk ijm如果i, j, k有两个相等, 如i = j(不求和), 则上式的右边等于−Γmli mik − Γmli imk − Γmlk iim (i不求和)由于ijk的完全反对称性, 显然上式等于零. 于是, 为证明ijkl = 0, 只需进一步证明i 6= j 6=k的情形. 注意到ijk = ±√geijk, ijk,l = ±√g,leijk = (ln√g),l ijk, 故ijkl= (ln√g),l ijk − Γmli mjk − Γmlj imk − Γmll ijk= (ln√g),l ijk − Γmlm ijk后一等式用到了i 6= j 6= k. 最后, 由于mΓmlm = (ln√g),l, 从而完成了ijkl ≡ 0的直接证明.此外, 如果由ijk = [gi, gj, gk]及gi在协变导数作用下为零, 则也立即得证ijkl = 0.由于I和e在V的作用下, 或gij, ijk等在协变导数作用下为零, 因此点积(即由gij引起的缩并)和叉积(即由ijk引起的缩并)与协变导数可交换秩序. 由张量场T的梯度TV右边双点积I和e, 分别得到T О V = (Tjik lgkl)gigjT x V = (Tjik lklm)gigjgm
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16称作为张量场T的散度和旋度, 并记作gradT = TVdivT = T О VcurlT = T x V此外还可以定义Laplace算子∇2T = (TV) О V = (glmTij··klm)gigjgk是一个标量型导数运算. 如记∇i = gij∇j或()i = gij(О)j等, 则还可写得:glmTij··klm = Tij··kll = Tij··k∇l∇l等等.例如, 连续介质的动力学方程σ О V + ρf = ρü其中σ是二阶对称应力张量, ρ是质量密度, f是每单位质量上的体积力, ü是加速度矢量. σ ОV的分量为:σijj= σij,j + Γi·jkσkj + Γjjkσik= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),kσik对于任意矢量场u, 即旋度为curlu = u x V = ijkujkgi= ijk(uj,k − Γljkul)gi= ijkuj,kgi其中利用了ijk和Γljk分别关于(jk)反对称和对称的性质于是curlu = ±√g-1eijkuj,kgi= ±1√g [(u2,3 − u3,2)g1 + (u3,1 − u1,3)g2 + (u1,2 − u2,1)g3]3.3 张量场的积分定理数学物理和力学中的许多基本定律(如动量平衡, 动量矩平衡等)的局部化形式, 是借助于积分定理来实现的.3.3.1 Green积分定理设V 是三维欧氏空间分片光滑的闭曲面Σ所围成的, 对V 上的任意具有一阶连续偏导数的函数R, 下面证明R V∂R∂zdxdydz = H ΣRcosγdA(3.3.46)
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3.3. 张量场的积分定理17Figure 3.5:其中, (x,y,z)是笛卡儿坐标, cosγ是Σ的单位外法向n在z轴的方向余弦. 如图3.5所示, 对上述三重积分的z变量积分, 得R V∂R∂zdxdydz = R D (RΣ+ − RΣ^ )dxdy其中RΣ+ 和RΣ^ 分别为R在Σ的上, 下表面Σ+, Σ-处取值, D为V 在xy平面的投影区域. 由于cosγdA是面元ndA在D的投影, 因此R D RΣ+ dxdy = R Σ+ RcosγdA−R D RΣ^ dxdy = R Σ^RcosγdA从而完成了性质(3.3.46)的证明.对(3.3.46)推广, 在笛卡儿坐标系{xi}下则有R VTi···j,kdV = H ΣTi···jnkdA其中nk是界外表面Σ的外法向n在xi轴向的分量（或方向余弦）. 进一步, 如果T是张量场,则可直接将上述写成对任何曲线坐标系{xi}下都成立的不变性或张量分量形式如下:R V TVdV = H ΣTndA = H ΣTdA(3.3.47)R VTi······j kdV = H ΣTi······jnkdA(3.3.48)对上式两边从右边分别双点单位二阶张量I和置换张量e后, 又得到R VT О VdV = H ΣT О ndA = H ΣT О dA(3.3.49)R VT x VdV = H ΣT x ndA = H ΣT x dA(3.3.50)以上通称为Green积分公式.
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18例 3.3.8 在笛卡儿坐标系下, 对矢量场u = Pi + Qj + Rk, 有R V µ∂P∂x + ∂Q∂y+∂R∂z ¶dV = H Σ(P cosα + Qcosβ + Rcosγ)dA(3.3.51)其中n = cosαi + cosβj + cosγk为Σ的外法向. 上述为奥高公式.例 3.3.9 在(3.3.49)中取T = I为单位张量, 由于I О V = 0, 故H ΣdA = 0(3.3.52)3.3.2 Maxwell方程和连续介质运动方程(未完待续)想象变形体V 中含点r的任一邻域ΔV 的动态平衡. ΔV 的外部对ΔV 的作用力假设为通过ΔV 的界面ΔΣ的面作用力p, 于是, ΔV 的运动方程为H 4ΣpdA + R VρfdV = R VρüdV其中ρ为质量密度, u为位移矢量场, ü为位移加速度（故ρü为惯性力）, f为单位质量上的体积力. 面力p可通过Cauchy公式与应力张量σ关联为p = σ О n, 其中n是ΔΣ的外法向. 于是H 4Σ σОdA+R 4Vρfdv = R 4VρüdV利用Green积分公式得到R 4V(σ О V + ρf − ρü)dV = 0再由于ΔV 的任意性, 最后得到局部化的运动方程如下σ О V + ρf = ρü或张量分量形式如下:σijj + ρfi = ρüi3.3.3 Stokes积分定理设Σ是一个非封闭的分片光滑曲面, 其边界L是一条分段光滑曲线, 见图5.5. Σ的外法向记作为n, L的增量方向规定绕n满足右手定向时为正, 单位切矢量记为t, L的弧长元素记为ds,Σ的面积元素记为dA. 对于任意给定的一个具有一阶连续偏导数的张量场T, 下面来讨论张量场n x T通过Σ的散度:R Σ V О (n x T)dA(3.3.53)其中n同时又理解为由Σ的外法向n在Σ的法向方向直接延伸的场. 因此, 如果在Σ引入曲面坐标系{x1, x2}, 沿法向n引入直线坐标系x3 = ζ, 则有g3 = ∂r∂ζ ≡ n是一个常矢量.
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3.3. 张量场的积分定理19Figure 3.6:首先我们来证明V x n = 0. 采用坐标系{x1, x2, ζ}, 且不妨认为{x1, x2, ζ}为右手系,故有V x n =1√g¯¯¯¯¯¯¯g1g2g3∂/∂x1∂/∂x2∂/∂ζn1n2n3¯¯¯¯¯¯¯由于n1 = n2 = 0, n3 = 1, 从而证明了V x n = 0. 于是, 我们可得V О (n x T) = −n О (V x T)另一方面, 设Σh是以Σ为中面的一个厚度为h(¿ 1)的薄壳. 于是, 根据积分中值定理, 有R Σh V О (n x T)dV∼= hR Σ V О (n x T)dA = −hR ΣdA О (V x T)另一方面, 应用Green积分定理, 又有R Σh V О (n x T)dV∼= R Σ+ n О (n x T)dA − R Σ^n О (n x T)dA + hH Lm О (n x T)ds其中Σ+和Σ-为Σh的上, 下表面(ζ = h/2,−h/2表面), m为同时垂直于边界L且垂直于n的边界外法向, 见图5.5. 注意到t = n x m, 和n О (n x T)=(n x n) О T = 0, 上述的右边等于−hH Lt О Tds令h → 0, 就最后得到Stokes积分定理如下R ΣdA О (V x T) = H Ldst О T = H Lds О T例 3.3.10 令T = I为单位张量, 即得到H Lds = 0令T = I为单位张量, 即得到H Lds = 0
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203.4 Riemann-Christoffel曲率张量3.4.1 协变导数秩序的交换性由于协变导数∇i是偏导数∂i的张量分量化, 人们自然关心二次协变导数∇i∇j是否亦如偏导数∂i∂j那样, 对C2-类（二次偏导数连续的）张量场的作用次序可交换.首先来看标量场ϕ的二次协变导数ϕ;ij = (ϕ;i),j − Γkijϕ,k = ϕ,ij − Γkijϕ,k由于∂i∂j次序可交换以及Γkij关于(ij)对称, 故有ϕ;ij = ϕ;ji(3.4.54)即标量场的二次协变导数秩序可交换. 任意矢量场ui的二次协变导数为uijk= (uij),k − Γlkiullj − Γlkjuill= (ui,j − Γrijur),k − Γlki(ul,j − Γrljur) − Γlkj(ui,l − Γrilur)= ui,jk − Γlij,kul − Γlijul,k − Γlkiul,j + ΓrkiΓljrul − Γlkjui,l + ΓrkjΓlirul于是, 我们得到uijk − uikj = ulRl·ijk(3.4.55)其中Rl·ijk= Γlik,j − Γlij,k + ΓrikΓljr − ΓrijΓlkr(3.4.56)由商法则, R··kij·l是一个四阶张量, 称作为Riemann-Christoffel曲率张量, 是一个在张量分析和应用中十分重要的张量, 在讨论高阶张量协变导数可交换性之前, 我们先进一步考察Riemann-Christoffel曲率张量的一些代数性质.3.4.2 Riemann-Christoffel曲率张量的代数性质首先, 来看Rl·ijk的代数性质. 指标对称性质. 由(3.4.55)或(3.4.56)显然Rl·ijk关于(jk)反对称.进一步考察Rlijk = glmRm·ijk, 得Rlijk= glm(Γmik,j − Γmij,k) + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= (Γikl,j − glm,jΓmik) − (Γijl,k − glm,kΓmij ) + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= Γikl,j − Γijl,k − (Γjlm + Γjml)Γmik+(Γklm + Γkml)Γmij + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= Γikl,j − Γijl,k + (ΓijrΓkls − ΓikrΓjls)grs=12(gij,kl + gkl,ij − gik,jl − gjl,ik) + grs(ΓijrΓkls − ΓikrΓjls)
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3.4. RIEMANN-CHRISTOFFEL曲率张量21上述推导用到了gij,k与Γijk的基本关系. 由上述结果可见, Rlijk具有如下指标对称性:Rlijk = −Riljk = −Rlikj = Rjkli(3.4.57)因此, 在三维空间Rijkl只有6个可能的独立分量R2323, R3131, R1212, R2331, R2312, R3112而在二维空间, Rijkl的可能独立分量只有一个R1212由指标对称性质(3.4.57)可以进一步推得如下两方面的结果. 首先, 由指标对称性, 在三维和二维空间可分别引进Rijkl的对偶Smn= mij nklRijkl (三维)(3.4.58)S = ij klRijkl (二维)(3.4.59)其逆关系为4Rijkl= ijm klnSmn (三维)(3.4.60)4Rijkl= ij klS (二维)(3.4.61)其次, 在三维空间可证明如下恒等式Rijkm + Rjkim + Rkijm ≡ 0(3.4.62)为了证明这一关系, 注意到i, j, k, m至少有两个相等, 且i,j,k指标循环, 故只需考察如下两种情况(i) m与i, j, k中的某个相等, 如m = i(不求和), 这时Rijki + Rjkii + Rkiji = Rijki + Rkiji + Rijki + Rjiki = 0(ii) i, j, k中两个相等, 如i = j(不求和), 这时Riikm + Rikim + Rkiim = Rikim + Rkiim = 03.4.3 高阶张量的协变导数可交换性对任意二阶张量场Bkl和矢量场ul, 有:(Bklul);ij = Bkl;ijul + Bkl;iul;j + Bkl;jul;i + Bklul;ij故¡Bklul¢;ij − ¡Bklul¢;ji= (Bkl;ij − Bkl;ji)ul + Bkl (ul;ij − ul;ji)= (Bkl;ij − Bkl;ji)ul + BklumRm·lij
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22另一方面, 又有(Bklul);ij − (Bklul);ji = (Bmlul)R·km·ij上面推导中针对矢量Bklul和ul的交互协变导数∇i∇j −∇j∇i, 两次用到了(3.4.55). 注意到指标对称性(??), 上式最后得到Bkl;ij − Bkl;ji = Bml/R·km·ij+ BkmR·lm·ij(3.4.63)类似地, 对于更高阶张量, 如Tkl··mn, 有Tkl··mn;ij − Tkl··mn;ji= Trl··mnR·kr·ij+ Tkr··mnR·lr·ij+ Tkl··rnRr·mij+ Tkl··mrRr·nij总之, 对每一个分量指标, 对应有Riemann-Christoffel曲率张量与该分量的一次作用. 以上联系二次协变导数与Riemann-Christoffel曲率张量的关系称作为Ricci公式.3.4.4 欧氏空间和应变相容方程由于在欧氏空间可以采用直线坐标系, 而直线坐标系下的度量张量是常数, 故此时Riemann-Christoffel曲率张量等于零. 由于张量的不变性, 从而证明了欧氏空间的Riemann-Christoffel张量恒等于零.不免奇怪, 一个恒为零的Rijkl有什么好讨论的. 下面来看Rijkl ≡ 0的一个应用.对一个占据一定空间区域的连续介质体C, 选定一个曲线坐标系{xi}, 为C的每一个物质点P标定其空间坐标值(xi). 想象C发生变形, P点由位置矢量r移动到了新的位置矢量˜r, 然而我们不妨仍然用(xi)来标记˜r. 于是, 变形后的该连续介质体的各物质点的空间坐标构成一个新的坐标系, 称作为嵌入或拖带坐标系. 该坐标系下的基矢和度量分别为˜gi = ∂˜r∂xi , ˜gij =˜gi О ˜gj, 于是, 相邻两点(xi)和(xi + dxi)在变形前后的距离平方差为d˜r2− dr2= (˜gij − gij)dxidxj连续介质力学中eij =12(˜gij − gij)(3.4.64)正是应用得最为广泛的精确描述任意有限应变的度量, 称作为Green应变张量. 引入位移矢量u = ˜r− r, 则有d˜r2− dr2= dr О (Vu + uV + Vu О uV) О dr可见e =12 (Vu+ uV + Vu О uV)(3.4.65)由于ε = 12 (Vu + uV)正是小变形下的应变张量, 可见Green应变e是ε在有限变形下的推广.特别地, 由于˜gij是C在变形后的度量张量, 因此若C的变形仅仅是发生在欧氏空间之内,则˜gij对应的Riemann-Christoffel曲率张量 ˜Rijkl必须恒为零. 反之, 可以证明如果˜Rijkl = 0
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3.4. RIEMANN-CHRISTOFFEL曲率张量23则由度量˜gij或应变eij所刻划的变形是发生欧氏空间内的, 即存在一个直线坐标系, 来描述变形后C的每一个物质点.证明如下. 记˜Γijk为与˜gij相应的联络系数, 即˜Γijk =12(˜gik,j + ˜gjk,i − ˜gij,k)由该式出发, 问是否存在一个坐标系{xi0}使得˜Γk0i0j0 ≡ 0? 由联络系数变换关系(3.2.39)可见Γk0i0j0 ≡ 0要求∂2xk∂xi0 ∂xj0+∂xi∂xi0∂xj∂xj0Γkij = 0(3.4.66)这组偏微分方程的可积性条件是xk对xi0 的混合偏导数与求导秩序无关. 由(3.4.66)写得该条件为∂∂xk0(∂xi∂xi0∂xj∂xj0˜Γkij) =∂∂xj0(∂xi∂xi0∂xj∂xk0˜Γkij),利用(3.4.66), 有(xi,i0 xj,j0˜Γkij),k0= (xi,j0k0 xj,j0 + xi,i0 xj,j0k0 )˜Γkij + xi,i0 xj,j0 xk,k0˜Γkij,l= −(xp,i0 xq,k0 xj,j0˜Γipq + xi,i0 xp,j0 xq,k0˜Γjps)˜Γkij + xi,i0 xj,j0 xl,k0˜Γkij,l= xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkij,l −˜Γpil˜Γkpj −˜Γpjl˜Γkip)同理有(xi,i0 xj,k0˜Γkij),j0 = xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkil,j −˜Γpij˜Γkpl −˜Γplj˜Γkip)因此,可积条件可以写作xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkij,l −˜Γkil,j + ˜Γpij˜Γkpl −˜Γpil˜Γkpj)=0即xi,i0 xj,j0 xl,k0˜Rk·ijl= 0这就证明了Riemann-Christoffel曲率张量为零是保证空间为欧氏空间的可积条件.利用Ricci关系,可以进一步证明Rijkl的6个分量还不是独立的, 它们进一步满足3个Bianchi恒等式:Sijj ≡ 0(3.4.67)或Rlmijk + Rlmjki + Rlmkij ≡ 0(3.4.68)证明过程如下. 对任意矢量ul的协变导数uli应用Ricci公式:ulijk − ulikj = umiRm·ljk+ ulmRm·kij循环(i, j, k)得到uljki − uljik= umjRm·lki+ ulmRm·jkiulkij − ulkji= umkRm·lij+ ulmRm·kij
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24另一方面, 由Ricci公式ulij − uiji = umRm·lij对xk求一次协变导数, 并循环(i, j, k)又得到ulijk − uljik= umRm·lijk + umkRm·lijuljki − ulkji= umRm·ijki + umiRm·ijkulkij − ulikj= umRm·lkij + umjRm·lki上列6式的前三式和后三式各自相加, 其结果的左边同为(ulijk − ulikj)+(uljki − uljik)+(ulkij − ulkji),故其右边值必须相等, 即有um(Rm·lijk + Rm·ljki + Rm·lkij)+(umkRm·lij+ umiRm·ljk+ umjRm·lki)= ulm(Rm·ijk+ Rm·jki+ Rm·kij)+(umiRm·ljk+ umjRm·lki+ umkRm·lij)由此得到(Rm·lijk + Rm·ijki + Rm·lkij)um = (Rm·ijk+ Rm·jki+ Rm·kij)ulm最后, 利用性质(3.4.62), 就得到Bianchi恒等式.有趣的是, Bianchi恒等式与变形体无体力静力平衡方程σijj = 0形式完全相同.由于有限变形的变形协调方程 ˜Rijkl = 0或˜Sij = 0还需满足三个恒等偏微分方程˜Sijj ≡0, 因此, 严格意义上只有三个独立的协调方程.3.5 正交曲线坐标系和张量的物理分量3.5.1 正交曲线坐标系实际应用上, 最常采用的还是正交曲线坐标系(如圆柱坐标系, 球坐标系等). 所谓正交曲线坐标系, 是指在空间每一点的三个局部自然基矢gi都相互正交的坐标系. 由于g1 = g2 xg3/[g1, g2, g3]等等, 可见对于正交曲线坐标系, 三个逆变基矢gi也一定相互正交, 且gi与gi平行, gi = gi-1. 进一步, 有gi = Ai = √gii, ¯¯gi¯¯ = A-1i= √gii-1 = pgii (i不求和)文献上称Ai为Lame常数.由于gij =0(i 6= j), 根据关系Γijk = 12(gik,j + gik,j − gij,k), 正交曲线坐标系的联络系数具有如下表示:Γijk = 0, Γkij = 0 (i 6= j 6= k)Γiij = −12gii,j, Γjii = −121gjjgii,j (i 6= j, 不求和)Γiji = 12gii,j, Γiij = 121giigii,j (i 6= j或i 6= j, 不求和)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭(3.5.69)例如, 对球坐标系g11 = 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ, 非零的联络系数只有Γ221 = −Γ121 = −Γ211 = −rΓ331 = −Γ133 = −Γ313 = −r sin2 θΓ332 = −Γ323 = −Γ233 = r2 sinθ cosθ⎫⎪⎬⎪⎭
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3.5. 正交曲线坐标系和张量的物理分量253.5.2 张量的物理分量由于正交曲线坐标系的局部基矢相互正交, 可引进局部标准正交基如下ei = √gii-1gi = √giigi (i = 1, 2, 3不求和)这样引进的空间逐点的标准正交标架{ei}, 称作为物理标架. 任意张量T相对于{ei}的分量,其物理含义与张量相对于笛卡儿坐标系下的分量物理含义完全相同. 例如, 球坐标系{r, θ,ϕ}下的应力物理分量记为σrr, σθθ, σrθ, σrϕ, σθϕ等等. 关于物理分量与张量分量的关系, 以三阶张量Tij··k为例, 其物理分量, 记为Thijki, 为Thijki= AiAjA-1k Tij··k(不求和)或Tij··k= A-1i A-1j AkThijki(不求和)例 3.5.11 推导圆柱坐标系(r, θ, z)下由物理分量表达的连续介质动力学方程σrjj + ρfi =ρüi.解: 步骤一(基矢和度量张量): 由关系r = r cosθi + r sinθj + zk求得g1= cosθi + sinθj, e1 = cosθi + sinθj,g2= −r sinθi + r cosθj, e2 = −sinθi + cosθj,g3= k, e3 = k非零的度量张量分量为g11 = 1, g22 = r2, g33 = 1步骤二(联络系数): 非零的联络系数只有Γ212= Γ122 = −Γ221 = rΓ122= −r, Γ221 = Γ212 = r-1步骤三(物理分量):σ11= σrr, σ22 = r-2σθθ, σ33 = σzz,σ12= r-1σrθ, σ13 = σrz, σ23 = r-1σθz,f1= fr, f2 = r-1fθ, f3 = fz,u1= ur, u2 = r-1uθ, u3 = uz,
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26步骤四(应力的散度):σijj= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),jσijσ1jj= σrr,r + (r-1σrθ),θ + σrz,z + Γ122σ22 + (lnr),1σ11=∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθrσ2jj= (r-1σrθ)-1+ (r-2σθθ),θ + (r-1σθz),z + 2Γ221σ21 + (lnr),1σ21=1r ∙∂σrθ∂r+1r∂σθθ∂θ+6σθz∂z+∂σrθr ¸σ3jj= σrz,r + (r-1σθz),θ + σ22,z + (lnr),1σ31=∂σrz∂r+1r∂σθz∂θ+∂σzz∂z+σrzr步骤五(动力学方程):∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθr+ ρfr= ρür∂σθr∂r+1r∂σθθ∂θ+∂σθz∂z+∂σrθr+ ρfθ= ρüθ∂σzr∂r+1r∂σzθ∂θ+∂σzz∂z+σrzr+ ρfz= ρüz推导圆柱坐标系(r, θ, z)下由物理分量表达的连续介质动力学方程σrjj + ρfi = ρüi.例 3.5.12 解: 步骤一(基矢和度量张量): 由关系r = r cosθi + r sinθj + zk求得g1= cosθi + sinθj, e1 = cosθi + sinθj,g2= −r sinθi + r cosθj, e2 = −sinθi + cosθj,g3= k, e3 = k非零的度量张量分量为g11 = 1, g22 = r2, g33 = 1步骤二(联络系数): 非零的联络系数只有Γ212= Γ122 = −Γ221 = rΓ122= −r, Γ221 = Γ212 = r-1步骤三(物理分量):σ11= σrr, σ22 = r-2σθθ, σ33 = σzz,σ12= r-1σrθ, σ13 = σrz, σ23 = r-1σθz,f1= fr, f2 = r-1fθ, f3 = fz,u1= ur, u2 = r-1uθ, u3 = uz,
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3.6. 附录: 常用曲线坐标系27Figure 3.7:步骤四(应力的散度):σijj= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),jσijσ1jj= σrr,r + (r-1σrθ),θ + σrz,z + Γ122σ22 + (lnr),1σ11=∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθrσ2jj= (r-1σrθ)-1+ (r-2σθθ),θ + (r-1σθz),z + 2Γ221σ21 + (lnr),1σ21=1r ∙∂σrθ∂r+1r∂σθθ∂θ+6σθz∂z+∂σrθr ¸σ3jj= σrz,r + (r-1σθz),θ + σ22,z + (lnr),1σ31=∂σrz∂r+1r∂σθz∂θ+∂σzz∂z+σrzr步骤五(动力学方程):∂σrr∂r+ 1r∂σrθ∂θ+ ∂σrz∂z+ σrr-σθθr+ ρfr = ρür∂σθr∂r+ 1r∂σθθ∂θ+ ∂σθz∂z+ ∂σrθr+ ρfθ = ρüθ∂σzr∂r+ 1r∂σzθ∂θ+ ∂σzz∂z+ σrzr+ ρfz = ρüz⎫⎪⎬⎪⎭3.6 附录: 常用曲线坐标系本节列出常用曲线坐标系下的基矢和所有非零的度量张量分量和联络系数分量. 有关资料可参照3.6.1 平面极坐标(图3.7)r = r cosi + r sinθj, x1= r, x2= θ
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28lmxyFigure 3.8:g1 = icosθ + jsinθ, g2 = −ir sinθ + jr cosθ,g11 = 1, g22 = r2, g11= 1, g22= 1/r2,Γ122 = r, Γ221 = −r, Γ211 = −r, Γ212 = Γ221.3.6.2 平面椭圆-双曲坐标(图3.8)r = coshλcosμi + sinhλsinμj, x1 = λ, x2 = μg1 = isinhλcosμ + jcoshλcosμ, g2 = −icoshλsinμ + jsinhλcosμ,g11 = g22 = cosh2 λ − cos2 μ, g11 = g22 =1cosh2 λ − cos2 μ,Γ111= Γ122 = −Γ221 = coshλsinhλ,−Γ112= Γ121 = Γ222 = cosμsinμ,Γ111= Γ212 = −Γ122 =coshλsinhλcosh2 λ − cos2 μ,−Γ211= Γ112 = Γ222 =cosμsinμcosh2 λ − cos2 μ.3.6.3 平面双极坐标(图3.9)r =sinhψcoshψ + cosφi +sinφcoshψ + cosφj, x1 = ψ, x2 = φg1= i1 + coshψ cosφ(coshψ + cosφ)2 − jsinhψ sinφ(coshψ + cosφ)2,g2= isinhψ sinφ(coshψ + cosφ)2+ j1 + coshψ cosφ¡coshψ + cosφ2¢,
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3.6. 附录: 常用曲线坐标系29yxsfFigure 3.9:g11 = g22 =1(coshψ + cosφ)2, g11 = g22 = (coshψ + cosφ)2,Γ111= Γ122Γ212 = −Γ221 = −sinhψ(coshψ + cosφ)3,Γ112= −Γ121Γ122 = −Γ222 = −sinφ(coshψ + cosφ)3,Γ111= Γ212 = −Γ122 =sinhψcoshψ + cosφ,Γ112= −Γ211 = Γ222 =sinφcoshψ + cosφ.3.6.4 斜交直线坐标(图3.10)基矢g1,g2,g3都是单位长度矢量, 相互间的夹角为α, β, γ. 有g11= 1, g23 = cosα, g11 =sin2 αg, g23 =cosβ cosγ − cosαg,g22= 1, g13 = cosβ, g22 =sin2 βg, g13 =cosαcosγ − cosβg,g33= 1, g12 = cosγ, g33 =sin2 γg, g12 =cosαcosβ − cosγg,g = 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cosαcosβ cosγ,3.6.5 圆柱坐标(图3.11)r = r (cosθi + sinθj) + zk, x1 = r,x2 = θ,x3 = z
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30Figure 3.10:xyzrFigure 3.11:
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3.7. 第5章练习31所有公式与平面极坐标的相同, 附加如下量gz = k, gzz = gzz = 1.3.6.6 球坐标r = r(cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk), x1 = r,x2 = θ,x3 = φg1= (icosθ + jsinθ) cosφ + ksinφ,g2= r (−isinθ + jcosθ) cosφ,g3= −r (icosθ + jsinθ) sinφ + kr cosφ,g11= 1, g22 = (r cosφ)2, g33 = r2,g11= 1, g22 = (r cosφ)-2 , g33 = r-2,Γ133= −Γ331 = r, Γ122 = −Γ221 = r cos2 φ,Γ223= −Γ232 = r2 cosφsinφ,Γ122= −r cos2 φ, Γ322 = cosφsinφ, Γ133 = −r,Γ212= Γ313 = 1/r, Γ223 = −tanφ.3.7 第5章练习练习 1 试导出小位移情况下球坐标系中用物理分量表示的应变和位移的几何关系。(以ur,uθ,uϕ表示位移的物理分量，rr,ООО ,θϕ,ООО表示应变的物理分量。)由g1 =g2 x g3[g1,g2,g3], g2 =g3 x g1[g1,g2,g3], g3 =g1 x g2[g1,g2,g3]证明£g1,g2,g3¤ =1[g1,g2,g3].练习 2 若{gi}和{gi}为矢量的协变和逆变基, 试证明{gigj}, {gigj}都构成二阶张量的基.练习 3 已知g1 = j + k, g2 = k + i, g3 = i + j,(i)求g1, g2, g3;(ii)绘出gi和gi;(iii)验证gi О gj = δji ;(iv)已知u = 2g1 + 3g2 − g1, 给出u1, u2, u3.
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32练习 4 证明在三维空间曲线坐标下, 任意三阶张量B的三个主不变量可以表示为I = trB = Bi·i= B·ii = gijBij = gijBijII =12(Bi·iBj·j − Bi·jBj·k)III = detB = ¯¯Bi·j¯¯ =¯¯B·ji ¯¯ =1g Bij = g ¯¯Bij¯¯.练习 5 记g = gij为gij的行列式, 试证明(ln√g),i = Γkik练习 6 证明联络系数的坐标变换关系为Γk0i0j0 = (βii0 βjj0 Γkij +∂2xk∂xi0 ∂xj0)βk0k因此, Γkij不是二阶张量.练习 7 求证: ∂gjl∂xi = −¡gmjΓlim + gmlΓjim¢练习 8 若一个物理量需由一个三指标数组来表征, 且在任意两个曲线坐标系{xi}和{xi0}下观测到的数组T (i,j,k)和T (i0,j0,k0)满足关系T (i0,j0,k0) = βii0 βj0j βk0k T (i0,j0,k0), 试证明该物理量对应一个三个张量T = T·jkj gigjgk, 其中T·jki= T (i,j,k).练习 9 已知: ϕ为标量场函数，T为张量场函数。求证:(1) ϕij = ϕji = ϕ,ij − Γkijϕ,k(2) ∇(ϕT) = ϕ(∇T)+(∇ϕ)T.练习 10 已知: u,v为矢量场函数。求证:(1)∇(u О v)=(∇u) О v + (∇v) О u(2)(curlu) x v = [u∇ − ∇u] О v(3)∇(u О v) = ux(∇ x v)+vx(∇ x u)+uО(∇v)+vО(∇u)(4)∇x(u x v) =v О (∇u) − v (∇ О u) + u(∇ О v) − u О (∇v)练习 11 已知: 某矢量场u即无旋（curlu = 0）又无源（divu = 0），求证: u是调和函数，即∇ О ∇u = 0。(提示: 可先证∇ x (∇ x u) = ∇(∇ О u) − ∇ О (∇u))练习 12 已知: 球坐标系中矢量场函数F可表达为F = Frer+Fθeθ+Fϕeϕ(er,eθ,eϕ是r,θ,ϕ方向的单位矢量，见图)；标量场函数φ。求: Christoffel符号与er,eθ,eϕ对坐标的导数；用两种方法求gradφ,divF,curlF及∇2φ。练习 13 在球坐标系下, 求标量场φ和矢量场u在物理分量表示下的Vφ, VОu, Vxu及∇2φ.
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3.7. 第5章练习33R(s)snOs(n 0)n consts 线n 线 (s const)eens(n,s)n(s 0)Figure 3.12:练习 14 已知: 二维空间中(n，s)坐标系如图3.12。其中s是沿某一物体表面的曲线边界弧长（选择物体表面某一确定点为起始点），n为沿物体表面外法线的长度（从物体表面起算），则物体外部域内每一点的坐标均可用n,s(x1 = n,x2 = s)描述(n ^ 0)。物体表面每点处的曲率半径及其对s的各阶导数均为已知。求: 用R(s)及其导数、坐标n,s表示以下各量:(1)Lamé参数A,B.(2)用(n,s)坐标线单位切向矢量en,es表示基矢量gα,gβ.(3)用矢量的物理分量u(α) = uπ,us表示其张量分量uα,uα.(4)Christoffel符号Γγαβ.(5)若f为标量场，u = unen+uses为矢量场，求∇f,∇Оu,∇xu,∇2f的表达式¡∇2f = ∇ О ∇f¢.练习 15 抛物柱面坐标xk如图3.13示，有:r = a¡x1 − x2¢i + 2a√x1x2j + x3k其中a =常数> 0.对于xk坐标系（只研究上半平面）求:(1)基矢量、度量张量。(2)用矢量的物理分量来表示矢量的张量分量。(3)Christoffel符号Γkij。(4)f为标量场函数，u = uigi为矢量场函数，求∇f,∇ О u,∇ x u,∇2f的表达式。练习 16 试导出球坐标系(r,θ,ϕ)中用物理分量表示的连续介质动力学方程.练习 17 试导出小位移情况下球坐标系中用物理分量表示的应变和位移的几何关系。(以ur,uθ,uϕ表示位移的物理分量，rr,ООО ,θϕ,ООО表示应变的物理分量。)
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34z1z2x = 01x = 02Ox 线(x = const)12x 线(x = const)21Figure 3.13:
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架1第3章 曲线坐标张量分析连续介质逐空间点处的质量密度, 电荷密度, 温度等, 或速度, 加速度, 电场强度, 磁场强度等, 构成了以空间点的坐标xi或位置矢量r为自变量的标量值或矢量值函数. 这类以xi或r为自变量的函数, 在物理上常常称作为场(field). 类似地, 可以定义更高阶的张量场, 如二阶的应力场和应变场, 四阶的弹性张量场等等. 张量分析研究张量场的微分, 导数, 积分等规律.例如, 描述电磁场运动规律的Maxwell方程组为V О D = 4πϑ （库仑定律）V x H =4πcJ （安培定律）V x E = −1c∂B∂t(法拉第定律）V x B = 0其中D和E分别为电位移和电场强度矢量场, B和H分别为磁感应和磁场强度矢量场, ϑ是电荷密度, c是光速, J是电流矢量场. 上面的Hamilton导数算子V, 在笛卡儿坐标系{x, y, z}及相应的坐标单位方向{i, j, k}下有V = i∂∂x+ j∂∂y+ k∂∂z又如, 描述线性弹性变形运动规律的基本方程组为σ О V + ρf = ρ∂2u∂t2（动量平衡律）ε = 12(Vu + uV) （几何方程）V x ε x V = 0 （相容方程）σ = C : ε （Hooke定律）其中σ和ε分别是应力张量和应变张量场, u是位移场, f是体力密度, ρ是质量密度, C是弹性张量场. 可见, 在物理和力学的基本方程中, 常常出现标量矢量和张量的梯度（如Vu）, 散度（如V О D, σ О V）, 旋度（如V x H, V x E, V x B, V x ε x V）等不变性导数运算.本章介绍张量场的微积分基础性基础内容.3.1 曲线坐标系和自然局部标架3.1.1 曲线坐标系在三维欧氏空间任取一点O作为原点, 引进笛卡儿坐标系{x, y, z}, 则空间任意点P相对O的位置矢量r可由坐标(x,y,z)唯一表示, 见3.1. 另一方面, 数学物理和力学问题中经常出现曲线坐标系, 如圆柱坐标系, 球坐标系等. 此时空间任意点P由三个独立参数xi(i = 1, 2, 3)确定. 称{xi}为一个曲线坐标系, 是指(x,y,z)可与(x1,x2,x3)构成一一对应, 且函数组:
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2g3g1g2x3x2x1dx1Figure 3.1: 位置矢量r, xi-坐标曲线和局部自然基矢gi.x1 = x1 (x,y,z), x2 = x2 (x,y,z), x3 = x3 (x,y,z)单值, 连续光滑且可递. 根据逆函数定理, 连续光滑函数组xi (x,y,z)在含(x,y,z)点某个邻域可逆的一个充分必要条件是在该点的Jacobian不等于零, 即∂ (x1,x2,x3)∂ (x,y,z)= ¯¯¯¯¯¯¯∂x1∂x∂x1∂y∂x1∂z∂x2∂x∂x2∂y∂x3∂z∂x3∂x∂x3∂y∂x3∂z¯¯¯¯¯¯¯6= 0(3.1.1)在曲线坐标系{xi}中, 保持x2和x3不变, 仅变化单参数x1, 则位置矢量r(x1,x2,x3)的集合在空间形成一条曲线: 称作为x1-坐标曲线. 过空间任何一点(x10,x20,x30)有三条坐标曲线r¡x1,x20,x30¢, r¡x10,x2,x30¢, r¡x10,x20,x3¢,见图3.1因此, 称{xi}为一个曲线坐标系. 另一方面, 如保持x1 = x10不变, 则双参数点r(x10,x2,x3)的集合形成过x1 = x10的一个曲面, 称作为x1-坐标曲面. 过任意点r(x10,x20,x30)有三个坐标曲面, 分别由下述双参数位置矢量函数表示:r¡x10,x2,x3¢, r¡x1,x20,x3¢, r¡x1,x2,x30¢.3.1.2 自然基矢过空间任意一点P (x1,x2,x3)有三条坐标曲线, 沿xi-曲线上点的位置矢量相对坐标参数xi的变化率gi =∂r∂xi(3.1.2)
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架3Figure 3.2: 球坐标系{r,θ,φ}, 坐标曲线及局部基矢量.与xi-曲线相切, 指向xi-曲线增加的方向, 见图5.1. 由于混合积[g1,g2,g3] =∂ (x,y,z)∂ (x1,x2,x3) 6= 0(3.1.3)故{gi}是线性无关组, 从而可选作为一个矢量基, 称作为与{xi}对应的自然矢量基或协变基(covariant basis).例 3.1.1 参见图??, 下述函数x = r cosθ cosφ, y = r sinθ cosφ, z = r sinφ在定义域0 < r < ∞, 0 ^ θ < 2π, ϕ ≤ π/2构成了(x,y,z)与(x1 = r,x2 = θ,x3 = φ)的一, 一对应. 该坐标系{xi}称作为球面坐标系. x1-坐标线为由原点出发的径向射线; x2-坐标线为纬线; x3-坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为g1= cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk,g2= r (−sinθ cosφi + cosθ cosφj),g3= r (−cosθ sinφi − sinθ sinφj + cosφk)易验证g1 = 1, g2 = r cosφ, g3 = r,g1 О g2= g2 О g3 = g3 О g1 = 0可见gi相互正交, 即{r,θ,φ}为一正交曲线坐标系.参见图3.2, 下述函数x = r cosθ cosφ, y = r sinθ cosφ, z = r sinφ(3.1.4)
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4Figure 3.3: 逆变基矢g1与协变基矢g2和g3正交，且与协变基矢g1点积等于1.例 3.1.2 在定义域0 < r < ∞, 0 ^ θ < 2π, ϕ ≤ π/2构成了(x,y,z)与(x1 = r,x2 = θ,x3 = φ)的一, 一对应. 该坐标系{xi}称作为球面坐标系. x1-坐标线为由原点出发的径向射线; x2-坐标线为纬线; x3-坐标线为经线(过南北极的大圆), 球坐标系的协变基矢为g1= cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk,g2= r (−sinθ cosφi + cosθ cosφj),(3.1.5)g3= r (−cosθ sinφi − sinθ sinφj + cosφk)易验证g1 = 1, g2 = r cosφ, g3 = r,(3.1.6)g1 О g2= g2 О g3 = g3 О g1 = 0可见gi相互正交, 即{r,θ,φ}为一正交曲线坐标系.3.1.3 逆变基和矢量的多种分量表示一般而言, {gi}都不是标准正交基, 如上述球坐标系的g2和g3不是单位长度, 甚至不是无量纲的. 对任何P点的矢量u而言, 由于{gi}是一个基, 故有分量表示如下:u = uigi问题是如何求分量ui, 以及正确理解ui的物理含义, 因为如果{gi}不是标准正交基, 则ui 6=u О gi. 面对这个问题张量分析提供了一个很好的解决方案, 即引进满足下列关系的三个矢量gi:gi О gj = δij = (1 (i = j, 不求和)0 (i 6= j)(3.1.7)与δij一样, 称δij为Kronecher符号. 由定义, g1与g2和g3都正交, 故g1与g2 x g3平行, 即存在常数α, 使得g1 = αg2 x g3. 两边点积g1后利用g1 О g1 = 1, 得到α = [g1,g2,g3]-1, 见图3.3. 于是g1 =g2 x g3[g1,g2,g3](3.1.8)
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架5类似可得g2 =g3 x g1[g1,g2,g3], g3 =g2 x g3[g1,g2,g3](3.1.9)或gi x gj = [g1,g2,g3]eijkgk(3.1.10)由此不难验证£g1,g2,g3¤ =1[g1,g2,g3] 6= 0(3.1.11)可见{gi}构成一新的矢量基, 称作为逆变基(contravariant basis). 在u = uigi两边点积gj, 得到下述简单的分量公式表示:u = uigi, ui = u О gi类似, 对分量表示u = uigi, 分量ui可求解如下:u = uigi, ui = u О gi称ui和ui分别为u的逆变和协变分量.不难验证{gigj}, {gigj}, {gigj}和{gigj}都构成二阶张量空间的基, 且任意二阶张量B可有如下四种不同的分量表示形式:B = Bijgigj= Bi·jgigj= B·ji gigj= Bijgigj分量Bi·j和B·ji 中出现占位的点"О", 是用来特别注明指标i在前, j在后, 这一用点占位的记法后同. 由上述分量表示的两边双点积不同的基矢量, 则得Bij= gi О B О gj,Bi·j= gi О B О gj,B·ji= gi О B О gj,Bij= gi О B О gj称Bij为B的逆变分量, Bij为B的协变分量, Bij和B ji 为B的混变分量.对于任意高阶张量有类似的结果. 如对于T = Tijk gigjgk 有Tijk = (gigj) : T О gk等等.3.1.4 度量张量沿空间曲线xi (s)的位置矢量的微分为dr =∂r∂xi∂xi∂sds = µ∂xi∂sds¶gi于是, 该曲线的弧长微元长度的平方为ds2 = dr О dr = gijdxidxj(3.1.12)
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6其中gij = gi О gj(3.1.13)dxi = (∂xi/∂s)ds. 可见gij完全决定了弧长性质, 称作为协变度量张量(metric tensor). 类似,可引进gij = gi О gj(3.1.14), 称作为逆变度量张量. 下面证明gij和gij具有下述性质:gi = gijgj, gi = gijgj(3.1.15)在上式的两边分别点积gk和gk, 即可立即验证上述升, 降关系. 进一步, 由上述两式的左, 右两边对应点积, 则得到gi О gk = (gikgk) О ¡gjlgl¢ = gikgjlδlk或δij = gikgjk(3.1.16)可见矩阵[gij]与矩阵[gkl]为逆矩阵, 即⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦⎡⎢⎣g11g12g13g21g22g23g31g32g33⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦,这为快捷求解gij, 从而为由(3.1.15)给出gi提供了便利. 一般而言, 可以十分形象地理解gij和gij分别针对所有协, 逆变指标起“升, 降指标机＂作用, 如:ui = gijuj,ui = gijuj,Bij = gikBkj,Bij = gilBil,Bij = gikgjlBkl,Bij = gikgjlBkl.最后, 对任意矢量u, v, w和a, b, c, 利用第1章证明过的下述恒等式⎡⎢⎣u О a u О b u О cv О a v О b v О cw О a w О b w О c⎤⎥⎦ = [u,v,w][a,b,c]立即可得⎡⎢⎣gilgimgingjlgjmgjngklgkmgkn⎤⎥⎦ = ijk lmn(3.1.17)以及g = gij = 2123 = [g1,g2,g3]2可见123 = [g1,g2,g3] = ±√g(3.1.18)上式中取正或负号, 取决于{gi}是右手还是左手系.
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架7不难验证单位二阶张量I的协, 逆变基表示如下:I = gijgigj= δji gigj = gigi= δijgigj = gigi= gijgigj(3.1.19)即gij, gij和δij分别正好是单位二阶张量I的协, 逆和混变分量. 特别值得指出的是, 尽管I是常数张量, 其分量gij和gij一般并非常数. 然而, 后面将看到, 非常数的gij和gij在张量或协变导数的作用下显得就像一个常数, 可以自由地移进移出协变导数的作用范围.例 3.1.3 对于例3.1.2的球坐标系, 非零的度量张量分量为:g11= 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ,g11= 1, g22 =1r2, g33 =1r2 sin2 θ..对置换张量的分量表示e = ijkgigjgk= ijkgigjgk(3.1.20)双点积glgm后, 得到gl x gm = e : (glgm) = ilmgi比较(3.1.10)得到ilm = [g1,g2,g3]elmi = ±√geilm(3.1.21)类似, 可证ijk = £g1,g2,g3¤eijk = ±√g-1eijk(3.1.22)这里再次指出常数三阶张量e的分量ijk, ijk在曲线坐标系下一般不等于常数.3.1.5 坐标变换描述同一物理问题, 可以根据需要(如边界条件), 来选择不同的坐标系. 张量的最早定义, 其实就是满足一定坐标变换不变性的量. 下面来看从"旧"坐标系{xi}变换到"新"坐标系{xi0}时, 张量分量是如何变换的. 首先来看局部自然基矢的变换, 下面首先证明gi0= βii0 gi, (βii0 =∂xi∂xi0),(3.1.23)gi0= βi0i gi, (βi0i =∂xi0∂xi).(3.1.24)事实上, 复合函数求导由关系gi0 =∂r∂xi0=∂r∂xi∂xi∂xi0
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8立即证得(3.1.23). 其次, 我们注意到βii0 βj0i = δj0i0 , βii0 βi0j = δij(3.1.25)即βii0 和βi0i 的矩阵互逆:⎡⎢⎣β110β120β130β210β220β230β310β320β330⎤⎥⎦⎡⎢⎣β101β102β103β201β202β203β301β302β303⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦另一方面, 若记gi0= γi0i gi, 则利用(3.1.23)得δi0j0 = gi0О gj0 = (ri0i gi)(βjj0 gj) = γi0i βij0由逆的唯一性, 得证γi0i = βi0i .由矢量u和二阶张量B的分量表示u = ui0gi0 = uigi= ui0 gi0= uigiB = Bi0j0gi0j0 = Bijgigj= Bi0·j0 gi0 gj0= Bi·jgigj= B·j0i0 gi0gj0 = B·ji gigj= Bi0j0 gi0gj0= Bijgigj利用性质(3.1.23-3.1.25), 即得到ui0= βi0i ui,ui0= βii0 ui,Bi0j0= βi0i βi0j Bij,Bi0·j0= βi0i βjj0 Bi·j,B·j0i0= βii0 βj0j B·ji ,Bi0j0= βii0 βjj0 Bij可见, 协变换系数βii0 和逆变换系数βi0i 分别将协逆变分量变换到新坐标系.早期是用坐标变换来定义张量的. 例如, 一个三指标数组在任意两套坐标系{xi}和{xi0}观察下的值T (i,j,k)和T(i0, j0, k0)若满足关系T (i0,j0,k0) = βii0 βj0j βk0k T (i,j,k)则对应一个三阶张量T, 且T·jki= T (i,j,k)是T的一个关于i协变, j和k逆变的混变分量. 一般而言, 若下述变换关系T ¡i01,ООО ,i0p,j01,ООО ,j0q¢ = βi1i01 ОООβipi0p βj01j1 ОООβj0qjqT (i1,ООО ,ip,j1,ООО ,jq)对任意坐标变换成立, 则T·····j1···jpi1···ip= T (i1,ООО ,ip,j1,ООО ,jq)必然是一个(p + q)阶张量的混变分量. 变换系数的个数决定了张量的阶数. 如果某个量的坐标变换与变换系数无关, 则称其为标量.
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3.1. 曲线坐标系和自然局部标架9例 3.1.4 分别取例??中的笛卡儿坐标系{x,y,z}和球坐标系{r,θ,ϕ}为旧, 新坐标系, 可得[βii0 ] = ⎡⎢⎣cosϕsinθ r cosϕcosθ −r sinϕsinθsinϕsinθ r sinϕcosθ r cosϕsinθcosθ−r sinθ0⎤⎥⎦,[βi0i ] = ⎡⎢⎣cosϕsinθ sinϕsinθ cosθcos ϕ cos θrsin ϕ cos θr−sin θr− sin ϕr sin θcos ϕr sin θ0⎤⎥⎦ = [βii0 ]-1.例 3.1.5 由gi0j0 = βii0 βjj0 gij两边求行列式, 得到gi0j0 = ¯¯βll0 ¯¯2gij可见度量张量的行列式不是标量, 称作为一个伪标量. 由于ijk是张量, 而ijk = ±√geijk, 因此置换符号eijk不是三阶张量.3.1.6 内积, 迹数和行列式相对一个标准正交基{ei}, 两个矢量u = uiei和v = viei的内积为u О v = uivi. 相对非标准正交基{gi}, 则有u = uigi = uigiv = vigi = vigiu О v = gijuivj = uivi = uivi = gijuivj总之, 非标准正交基下的哑指标永远一上(逆变), 一下(协变)地成对出现. 哑指标的这种一上, 一下成对, 使得哑指标与坐标完全无关, 如ui0 vi0 = (βi0i ui)(βji0 vj) = βi0i βji0 uivj = δji uivj = uivi任意二阶张量B的迹数为trB = B : I = Bii = B ii = gijBij = gijBij(3.1.26)行列式为detB = ¯¯Bij¯¯ =¯¯B ji ¯¯ =1g Bij = g ¯¯Bij¯¯(3.1.27)需特别注意在非标准正交基下, 要用混变分量的矩阵来求迹数主不变量和行列式等等. 关于上述关系的证明, 留作为练习.
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10Figure 3.4: (a)函数z = ϕ(x,y)作为山地的高度, (b)等高线及高度的梯度Vϕ.3.2 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数3.2.1 标量场和矢量场的梯度标量场ϕ随空间点或位置的变化, 可由ϕ的梯度来描述. ϕ在xi +dxi点相对于ϕ在xi点的增量为Δϕ = ϕ(xi + dxi) − ϕ(xi) =∂ϕ(xi)∂xjdxj + o(dxi)略去dxi或dr = r,jdxj = gjdxj的高阶小o(dr)后, Δϕ由ϕ的微分dϕ为近似值:dϕ = ϕ,jdxi= (ϕ,igi) О (dxjgj)=(ϕV) О dr= (dxjgj) О (giϕ,i) = dr О (Vϕ)(3.2.28)由于对于任何微矢量dr, dϕ都是标量, 且ϕV = Vϕ与dr无关, 可见ϕV或Vϕ是一个矢量场, 称作为ϕ的梯度(gradient). 通过简单的运算可见∇=gj ∂∂xj= gj´∂∂xj0,∂∂xj0= βjj0∂∂xj(3.2.29)可见V的确是矢量型算子, 且 ∂∂xi 服从协变分量的变换法则. 几何上, ϕV的方向为与ϕ的等值线相垂直的, 并指向ϕ值增加的方向（见图3.4）.类似地, 对于矢量场u, 其增量Δu = u(r + dr) − u(r)在略去dr的高阶小后等于u的微分du, 而du = u,jdxj= (u,jgj) О (dxigi)=(uV) О dr= (dxigi) О (gju,j) = dr О (Vu)(3.2.30)
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数11称uV和Vu分别为u的右和左梯度. 显然, uV和Vu互为转置, 故下面不妨只进一步研究uV.将u = uigi = uigi代入uV = u,jgj, 得uV = (ui,jgi + uigi,j)gj = (ui,jgi + uigi,j)gj3.2.2 联络系数和协变导数为表示uV, 需研究矢量组gij. 对矢量组gi,j作分量表示:gi,j = Γkijgk = Γijkgk(3.2.31)两边点积gl和gl, 既求得系数Γkij和Γijk的表达形式如下:Γijk = gi,j О gk, Γkij = gi,j О gk(3.2.32)进一步, 由于gi = r,i , 故gi,j = r,ij = gj,i, 于是Γkij = Γkji, Γijk = Γjik(3.2.33)可见Γkij和Γijk的指标(ij)是对称的, 因此, 三维空间的Γkij和Γijk分别最多都只有6 x 3 =18个独立分量, 二维的分别最多都只有3 x 2=6个独立分量. 称Γijk和Γkij分别为第1和2类联络系数或Christoffel符号.类似, 对矢量组gk,j可分量表示: gk,j = γkjlgl. 为了确定γkjl, 由关系gk О gl = δkl 对xj求偏导,得到gk,j О gl + gk О gl,j = γkjl + Γklj = 0或γkjl = −Γklj = −Γkjl. 于是,gk,j = −Γkjlgl(3.2.34)Γkjl = −gk,j О gl = −gk,l О gj(3.2.35)将(3.2.31)和(3.2.34)代入(??), 可最后写得uV =(ui∇j)gigj = (ui∇j)gigj(3.2.36)其中ui∇j= ui0j + Γijkui(3.2.37)ui∇j= uij − Γkijuk(3.2.38)称作为ui和ui的对坐标xj的协变导数(covariant derivative). 文献上也常常采用如下的不同记法:ui∇j = ui;j = uij, ui∇j = ui;j = uij下面说明Γijk和Γkij都不是张量分量. 如果是, 则Γijk = βi0i βj0j βk0k Γi0j0k0 , Γkij = βi0i βj0j βkk0 Γk0i0j0
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12对任何坐标变换成立. 然而, 如果取{xi0}为一个笛卡儿坐标系, 则Γk0i0j0 和Γi0j0k0 等于零, 于是, 上述变换关系表明Γijk和Γkij对任意曲线坐标系{xi0}都恒等于零, 这显然与事实不符, 因此Γijk和Γkij必然不是张量分量. 尽管如此, 注意到gk和gk通过度量张量gkl和gkl升降, 因此由(3.2.31)得Γkij = gklΓijl, Γijk = gklΓlij也就是说, Γkij和Γijk中的指标k是按照张量指标的形式升降的. 事实上, 由Γk0i0j0 = gi0jj0 Оgk0=(βii0 gi)0jβjj0 βkkgk可直接得到联络系数的变换关系如下Γk0i0j0 = βii0 βjj0 βk0k Γkij +∂2xk∂xi0 ∂xj0βk0k(3.2.39)显然不是张量关系.除(3.2.32)和(3.2.35)外, 我们可以建立由度量张量来表示联络系数的关系. 在张量分析今后的学习中将看到, 这是比(3.2.32)和(3.2.35)更基本, 更重要, 也更方便的关系. 由gi О gj =gij对xk求偏导, 再利用性质(3.2.32), 既可得到gij,k = Γikj + Γjki(3.2.40)进一步, 由(3.2.40)更换指标位置, 又可得gik,j= Γijk + Γkjigkj,i= Γijk + Γkij将上述两式相加并减去(3.2.40)的两倍, 利用指标对称性gij = gji和Γijk=Γjik, 即解得Γijk=12(gik0j + gjk0i − gij0k)(3.2.41)换句话说, 联络导数可由度量张量完全表达.例 3.2.6 记x1 = r和x2 = θ为平面极坐标, x和y为笛卡儿坐标, i和j为笛卡儿坐标的单位方向矢量, r为位置矢量, 即r = xi + yj = (r cosθ)i + (r sinθ)j. 易求得:g1= (r cosθ)i + (r sinθ)jg2= (−r sinθ)i + (r cosθ)j和g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = r2g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = 1/r2利用公式(3.2.41), 不难进一步求得Γijk的全部分量为:Γ111= g11,1 = 0,Γ112=12(g12,1 + g21,1 − g11.2)=0,Γ121= Γ211 =12(g11,2 + g21.1 − g12.1)=0,Γ122= Γ212 =12(g12,2 + g22,1 − g12,2) = r,Γ221=12(g21,2 + g12,2 − g22,1) = −rΓ22,2= g22,2 = 0
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数13只有Γ122 = F212 = r和Γ221 = −r非零. 类似, 由Γkij = gklΓijl又可得知Γkij只有如下的非零分量:Γ212 = Γ221 = 1/r, Γ122 = −r为方便应用, 本章第六节作为附录列出了常见的一些曲线坐标系下的度量张量和联络系数.例 3.2.7 记x1 = r和x2 = θ为平面极坐标, x和y为笛卡儿坐标, i和j为笛卡儿坐标的单位方向矢量, r为位置矢量, 即r = xi + yj = (r cosθ)i + (r sinθ)j. 易求得:g1= (r cosθ)i + (r sinθ)jg2= (−r sinθ)i + (r cosθ)j和g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = r2g11= 1, g12 = g21 = 0, g22 = 1/r2利用公式(3.2.41), 不难进一步求得Γijk的全部分量为:Γ111= g11,1 = 0,Γ112=12(g12,1 + g21,1 − g11.2)=0,Γ121= Γ211 =12(g11,2 + g21.1 − g12.1)=0,Γ122= Γ212 =12(g12,2 + g22,1 − g12,2) = r,Γ221=12(g21,2 + g12,2 − g22,1) = −rΓ22,2= g22,2 = 0只有Γ122 = F212 = r和Γ221 = −r非零. 类似, 由Γkij = gklΓijl, (??)和(??), 又可得知Γkij只有如下的非零分量:Γ212 = Γ221 = 1/r, Γ122 = −r为方便应用, 本章第六节作为附录列出了常见的一些曲线坐标系下的度量张量和联络系数.3.2.3 张量场的协变导数及其一般结构类似于标量场和矢量场问题, 一个一般张量场T在r的邻点r + dr的值相对于T在r点值的增量ΔT = T(r + dr) − T(r)在略去dr的高阶小后, 可由T的微分来近似表示:dT = T,jdxi= (T,jgj) О (dxigi)=(TV) О dr= (dxigi) О (giT, j) = dr О (VT)(3.2.42)
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14根据张量的定义可见, TV和VT都是较T高一阶的张量, 分别叫做为T的右和左梯度.对T的分量形式如T =Ti···j·····k···lgi ОООgjgk ОООgl求导, 有TV = [Ti···j·····k···l,mgi ОООgjgk ОООgl+Ti···j·····k···l(gi,mОООgj + ООО + gi ОООgj,m)gk ОООgl+Ti···j·····k···lgi ОООgj(gk,m ОООgl + ООО + gk ОООgl,m)]gm利用（3.2.31）和（3.2.34）, 即可得到TV = T,mgm = Ti···j·····k···l;mgi ОООgjgk ОООglgm,(3.2.43)其中协变导数Ti···jk···l;m= Ti···j·····k···l,m+ ΓimnTn···j·····k···l+ ООО + ΓjmnTi···n·····k···l−ΓnmkTi···j·····n···l − ООО − ΓnmlTi···j·····k···n(3.2.44)归纳起来, Ti···j·····k···l的协变导数Ti···j·····k···l;m, 除包含Ti···j·····k···l对xm的偏导数外, 对应每一个分量指标还需分别用哑标替代, 并与联络导数通过哑标相乘, 作为额外项添加上去；对应逆变指标以正号添加；对应协变指标以负号添加.对于三阶张量的分量表示T = Tij··kgigjgk = T·ji·kgigjgk = T·jkigigjgk, 有Tij··k;m= Tij··k,m+ ΓimnTnj··k+ ΓjmnTin··k − ΓnmkTij··n,T·ji·k;m= T·ji·k,m − ΓnmiT·jn·k+ ΓjmnT·ni·k − ΓnmkT·ji·n,T·jki··;m= T·jki··,m − ΓnmiT·jkn+ ΓjmnT·nki+ ΓkmnT·jni3.2.4 协变导数的基本性质-散度和旋度形式上, 由（3.2.43）可见对张量的绝对表示T的偏导数T,m直接等于只对T的张量分量的协变导数Vm. 协变导数不仅仅具有矢量分量的性质, 也具有导数的基本属性. 例如, 对于两个张量T = Tij··kgigjgk和B = Bl·mglgm的并积, 有(TB)V = (TB),ngn = (T,nB)gn + TB,ngn= (Tij··kngigjgk)(Bl·mglgm)gn + (Tij··kgigjgk)(Bl·mnglgm)gn可见(Tij··kBl·m)n = Tij··knBl·m+ Tij··kBl·mn(3.2.45)即协变导数同一般偏导类似, 具有对乘积量的分别求导属性. 式(3.2.45)的一个直接证明如下:(Tij··kBl·m)n= (Tij··kBl·m),n + (ΓinrTrj··k+ ΓjnrTir··k − ΓsnkTij··s)Bl·m+Tij··k(ΓlnrBr·m − ΓsnmBl·s)= (Tij··k,n+ ΓinrTrj··k+ ΓjnrTir··k − ΓsnkTij··s)Bl·m+Tij··k(Bl·m,n+ ΓlnrBr·m − ΓsnmBl·s)= Tij··knBl·m+ Tij··kBl·mn
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3.2. 标量场, 矢量场和张量场的微分和导数15可见, 协变导数的内在结构(5.2.29)决定了协变导数对乘积作用的分部性质(3.2.45).由于单位二阶张量和置换张量e是常张量, 因此它们的梯度恒为零, 于是, 其分量的协变导数恒为零, 如gijk= 0, gijk = 0,ijkl= 0, ijkl = 0等等. 因此, 尽管在曲线坐标系下gij, ijk等一般随空间点变化, 它们在协变导数看来都完全像"常数", 可以自由地移入, 移出协变导数的作用范围, 例如uij= (giluk)j = gik(ukj),(ijkujBkl)m= ijk(ujBkl)m等等. 有趣地是, 如果对基矢量gi, gj也按照协变导数法则求导, 则有gik= gi,k − Γjikgjgik= gi,k + Γikjgj回顾(3.2.31)和(3.2.34), 则见gik = 0, gik = 0, 即基矢量在协变导数看来也是"常量", 可以自由地移入移出协变导数的作用范围.不利用gij作为常张量I的分量属性, 关于gijk ≡ 0的一个直接证明如下:gijk= gij,k − Γlikglj − Γljkgil= gij,k − Γikj − Γjki由此可见gijk = 0正对应于gij与Γijk的基本关系(3.2.40).关于ijkl = 0的直接证明如下:ijkl = ijk,l − Γmli mjk − Γmlj imk − Γmlk ijm如果i, j, k有两个相等, 如i = j(不求和), 则上式的右边等于−Γmli mik − Γmli imk − Γmlk iim (i不求和)由于ijk的完全反对称性, 显然上式等于零. 于是, 为证明ijkl = 0, 只需进一步证明i 6= j 6=k的情形. 注意到ijk = ±√geijk, ijk,l = ±√g,leijk = (ln√g),l ijk, 故ijkl= (ln√g),l ijk − Γmli mjk − Γmlj imk − Γmll ijk= (ln√g),l ijk − Γmlm ijk后一等式用到了i 6= j 6= k. 最后, 由于mΓmlm = (ln√g),l, 从而完成了ijkl ≡ 0的直接证明.此外, 如果由ijk = [gi, gj, gk]及gi在协变导数作用下为零, 则也立即得证ijkl = 0.由于I和e在V的作用下, 或gij, ijk等在协变导数作用下为零, 因此点积(即由gij引起的缩并)和叉积(即由ijk引起的缩并)与协变导数可交换秩序. 由张量场T的梯度TV右边双点积I和e, 分别得到T О V = (Tjik lgkl)gigjT x V = (Tjik lklm)gigjgm
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16称作为张量场T的散度和旋度, 并记作gradT = TVdivT = T О VcurlT = T x V此外还可以定义Laplace算子∇2T = (TV) О V = (glmTij··klm)gigjgk是一个标量型导数运算. 如记∇i = gij∇j或()i = gij(О)j等, 则还可写得:glmTij··klm = Tij··kll = Tij··k∇l∇l等等.例如, 连续介质的动力学方程σ О V + ρf = ρü其中σ是二阶对称应力张量, ρ是质量密度, f是每单位质量上的体积力, ü是加速度矢量. σ ОV的分量为:σijj= σij,j + Γi·jkσkj + Γjjkσik= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),kσik对于任意矢量场u, 即旋度为curlu = u x V = ijkujkgi= ijk(uj,k − Γljkul)gi= ijkuj,kgi其中利用了ijk和Γljk分别关于(jk)反对称和对称的性质于是curlu = ±√g-1eijkuj,kgi= ±1√g [(u2,3 − u3,2)g1 + (u3,1 − u1,3)g2 + (u1,2 − u2,1)g3]3.3 张量场的积分定理数学物理和力学中的许多基本定律(如动量平衡, 动量矩平衡等)的局部化形式, 是借助于积分定理来实现的.3.3.1 Green积分定理设V 是三维欧氏空间分片光滑的闭曲面Σ所围成的, 对V 上的任意具有一阶连续偏导数的函数R, 下面证明R V∂R∂zdxdydz = H ΣRcosγdA(3.3.46)
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3.3. 张量场的积分定理17Figure 3.5:其中, (x,y,z)是笛卡儿坐标, cosγ是Σ的单位外法向n在z轴的方向余弦. 如图3.5所示, 对上述三重积分的z变量积分, 得R V∂R∂zdxdydz = R D (RΣ+ − RΣ^ )dxdy其中RΣ+ 和RΣ^ 分别为R在Σ的上, 下表面Σ+, Σ-处取值, D为V 在xy平面的投影区域. 由于cosγdA是面元ndA在D的投影, 因此R D RΣ+ dxdy = R Σ+ RcosγdA−R D RΣ^ dxdy = R Σ^RcosγdA从而完成了性质(3.3.46)的证明.对(3.3.46)推广, 在笛卡儿坐标系{xi}下则有R VTi···j,kdV = H ΣTi···jnkdA其中nk是界外表面Σ的外法向n在xi轴向的分量（或方向余弦）. 进一步, 如果T是张量场,则可直接将上述写成对任何曲线坐标系{xi}下都成立的不变性或张量分量形式如下:R V TVdV = H ΣTndA = H ΣTdA(3.3.47)R VTi······j kdV = H ΣTi······jnkdA(3.3.48)对上式两边从右边分别双点单位二阶张量I和置换张量e后, 又得到R VT О VdV = H ΣT О ndA = H ΣT О dA(3.3.49)R VT x VdV = H ΣT x ndA = H ΣT x dA(3.3.50)以上通称为Green积分公式.
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18例 3.3.8 在笛卡儿坐标系下, 对矢量场u = Pi + Qj + Rk, 有R V µ∂P∂x + ∂Q∂y+∂R∂z ¶dV = H Σ(P cosα + Qcosβ + Rcosγ)dA(3.3.51)其中n = cosαi + cosβj + cosγk为Σ的外法向. 上述为奥高公式.例 3.3.9 在(3.3.49)中取T = I为单位张量, 由于I О V = 0, 故H ΣdA = 0(3.3.52)3.3.2 Maxwell方程和连续介质运动方程(未完待续)想象变形体V 中含点r的任一邻域ΔV 的动态平衡. ΔV 的外部对ΔV 的作用力假设为通过ΔV 的界面ΔΣ的面作用力p, 于是, ΔV 的运动方程为H 4ΣpdA + R VρfdV = R VρüdV其中ρ为质量密度, u为位移矢量场, ü为位移加速度（故ρü为惯性力）, f为单位质量上的体积力. 面力p可通过Cauchy公式与应力张量σ关联为p = σ О n, 其中n是ΔΣ的外法向. 于是H 4Σ σОdA+R 4Vρfdv = R 4VρüdV利用Green积分公式得到R 4V(σ О V + ρf − ρü)dV = 0再由于ΔV 的任意性, 最后得到局部化的运动方程如下σ О V + ρf = ρü或张量分量形式如下:σijj + ρfi = ρüi3.3.3 Stokes积分定理设Σ是一个非封闭的分片光滑曲面, 其边界L是一条分段光滑曲线, 见图5.5. Σ的外法向记作为n, L的增量方向规定绕n满足右手定向时为正, 单位切矢量记为t, L的弧长元素记为ds,Σ的面积元素记为dA. 对于任意给定的一个具有一阶连续偏导数的张量场T, 下面来讨论张量场n x T通过Σ的散度:R Σ V О (n x T)dA(3.3.53)其中n同时又理解为由Σ的外法向n在Σ的法向方向直接延伸的场. 因此, 如果在Σ引入曲面坐标系{x1, x2}, 沿法向n引入直线坐标系x3 = ζ, 则有g3 = ∂r∂ζ ≡ n是一个常矢量.
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3.3. 张量场的积分定理19Figure 3.6:首先我们来证明V x n = 0. 采用坐标系{x1, x2, ζ}, 且不妨认为{x1, x2, ζ}为右手系,故有V x n =1√g¯¯¯¯¯¯¯g1g2g3∂/∂x1∂/∂x2∂/∂ζn1n2n3¯¯¯¯¯¯¯由于n1 = n2 = 0, n3 = 1, 从而证明了V x n = 0. 于是, 我们可得V О (n x T) = −n О (V x T)另一方面, 设Σh是以Σ为中面的一个厚度为h(¿ 1)的薄壳. 于是, 根据积分中值定理, 有R Σh V О (n x T)dV∼= hR Σ V О (n x T)dA = −hR ΣdA О (V x T)另一方面, 应用Green积分定理, 又有R Σh V О (n x T)dV∼= R Σ+ n О (n x T)dA − R Σ^n О (n x T)dA + hH Lm О (n x T)ds其中Σ+和Σ-为Σh的上, 下表面(ζ = h/2,−h/2表面), m为同时垂直于边界L且垂直于n的边界外法向, 见图5.5. 注意到t = n x m, 和n О (n x T)=(n x n) О T = 0, 上述的右边等于−hH Lt О Tds令h → 0, 就最后得到Stokes积分定理如下R ΣdA О (V x T) = H Ldst О T = H Lds О T例 3.3.10 令T = I为单位张量, 即得到H Lds = 0令T = I为单位张量, 即得到H Lds = 0
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203.4 Riemann-Christoffel曲率张量3.4.1 协变导数秩序的交换性由于协变导数∇i是偏导数∂i的张量分量化, 人们自然关心二次协变导数∇i∇j是否亦如偏导数∂i∂j那样, 对C2-类（二次偏导数连续的）张量场的作用次序可交换.首先来看标量场ϕ的二次协变导数ϕ;ij = (ϕ;i),j − Γkijϕ,k = ϕ,ij − Γkijϕ,k由于∂i∂j次序可交换以及Γkij关于(ij)对称, 故有ϕ;ij = ϕ;ji(3.4.54)即标量场的二次协变导数秩序可交换. 任意矢量场ui的二次协变导数为uijk= (uij),k − Γlkiullj − Γlkjuill= (ui,j − Γrijur),k − Γlki(ul,j − Γrljur) − Γlkj(ui,l − Γrilur)= ui,jk − Γlij,kul − Γlijul,k − Γlkiul,j + ΓrkiΓljrul − Γlkjui,l + ΓrkjΓlirul于是, 我们得到uijk − uikj = ulRl·ijk(3.4.55)其中Rl·ijk= Γlik,j − Γlij,k + ΓrikΓljr − ΓrijΓlkr(3.4.56)由商法则, R··kij·l是一个四阶张量, 称作为Riemann-Christoffel曲率张量, 是一个在张量分析和应用中十分重要的张量, 在讨论高阶张量协变导数可交换性之前, 我们先进一步考察Riemann-Christoffel曲率张量的一些代数性质.3.4.2 Riemann-Christoffel曲率张量的代数性质首先, 来看Rl·ijk的代数性质. 指标对称性质. 由(3.4.55)或(3.4.56)显然Rl·ijk关于(jk)反对称.进一步考察Rlijk = glmRm·ijk, 得Rlijk= glm(Γmik,j − Γmij,k) + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= (Γikl,j − glm,jΓmik) − (Γijl,k − glm,kΓmij ) + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= Γikl,j − Γijl,k − (Γjlm + Γjml)Γmik+(Γklm + Γkml)Γmij + ΓrikΓjrl − ΓrijΓkrm= Γikl,j − Γijl,k + (ΓijrΓkls − ΓikrΓjls)grs=12(gij,kl + gkl,ij − gik,jl − gjl,ik) + grs(ΓijrΓkls − ΓikrΓjls)
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3.4. RIEMANN-CHRISTOFFEL曲率张量21上述推导用到了gij,k与Γijk的基本关系. 由上述结果可见, Rlijk具有如下指标对称性:Rlijk = −Riljk = −Rlikj = Rjkli(3.4.57)因此, 在三维空间Rijkl只有6个可能的独立分量R2323, R3131, R1212, R2331, R2312, R3112而在二维空间, Rijkl的可能独立分量只有一个R1212由指标对称性质(3.4.57)可以进一步推得如下两方面的结果. 首先, 由指标对称性, 在三维和二维空间可分别引进Rijkl的对偶Smn= mij nklRijkl (三维)(3.4.58)S = ij klRijkl (二维)(3.4.59)其逆关系为4Rijkl= ijm klnSmn (三维)(3.4.60)4Rijkl= ij klS (二维)(3.4.61)其次, 在三维空间可证明如下恒等式Rijkm + Rjkim + Rkijm ≡ 0(3.4.62)为了证明这一关系, 注意到i, j, k, m至少有两个相等, 且i,j,k指标循环, 故只需考察如下两种情况(i) m与i, j, k中的某个相等, 如m = i(不求和), 这时Rijki + Rjkii + Rkiji = Rijki + Rkiji + Rijki + Rjiki = 0(ii) i, j, k中两个相等, 如i = j(不求和), 这时Riikm + Rikim + Rkiim = Rikim + Rkiim = 03.4.3 高阶张量的协变导数可交换性对任意二阶张量场Bkl和矢量场ul, 有:(Bklul);ij = Bkl;ijul + Bkl;iul;j + Bkl;jul;i + Bklul;ij故¡Bklul¢;ij − ¡Bklul¢;ji= (Bkl;ij − Bkl;ji)ul + Bkl (ul;ij − ul;ji)= (Bkl;ij − Bkl;ji)ul + BklumRm·lij
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22另一方面, 又有(Bklul);ij − (Bklul);ji = (Bmlul)R·km·ij上面推导中针对矢量Bklul和ul的交互协变导数∇i∇j −∇j∇i, 两次用到了(3.4.55). 注意到指标对称性(??), 上式最后得到Bkl;ij − Bkl;ji = Bml/R·km·ij+ BkmR·lm·ij(3.4.63)类似地, 对于更高阶张量, 如Tkl··mn, 有Tkl··mn;ij − Tkl··mn;ji= Trl··mnR·kr·ij+ Tkr··mnR·lr·ij+ Tkl··rnRr·mij+ Tkl··mrRr·nij总之, 对每一个分量指标, 对应有Riemann-Christoffel曲率张量与该分量的一次作用. 以上联系二次协变导数与Riemann-Christoffel曲率张量的关系称作为Ricci公式.3.4.4 欧氏空间和应变相容方程由于在欧氏空间可以采用直线坐标系, 而直线坐标系下的度量张量是常数, 故此时Riemann-Christoffel曲率张量等于零. 由于张量的不变性, 从而证明了欧氏空间的Riemann-Christoffel张量恒等于零.不免奇怪, 一个恒为零的Rijkl有什么好讨论的. 下面来看Rijkl ≡ 0的一个应用.对一个占据一定空间区域的连续介质体C, 选定一个曲线坐标系{xi}, 为C的每一个物质点P标定其空间坐标值(xi). 想象C发生变形, P点由位置矢量r移动到了新的位置矢量˜r, 然而我们不妨仍然用(xi)来标记˜r. 于是, 变形后的该连续介质体的各物质点的空间坐标构成一个新的坐标系, 称作为嵌入或拖带坐标系. 该坐标系下的基矢和度量分别为˜gi = ∂˜r∂xi , ˜gij =˜gi О ˜gj, 于是, 相邻两点(xi)和(xi + dxi)在变形前后的距离平方差为d˜r2− dr2= (˜gij − gij)dxidxj连续介质力学中eij =12(˜gij − gij)(3.4.64)正是应用得最为广泛的精确描述任意有限应变的度量, 称作为Green应变张量. 引入位移矢量u = ˜r− r, 则有d˜r2− dr2= dr О (Vu + uV + Vu О uV) О dr可见e =12 (Vu+ uV + Vu О uV)(3.4.65)由于ε = 12 (Vu + uV)正是小变形下的应变张量, 可见Green应变e是ε在有限变形下的推广.特别地, 由于˜gij是C在变形后的度量张量, 因此若C的变形仅仅是发生在欧氏空间之内,则˜gij对应的Riemann-Christoffel曲率张量 ˜Rijkl必须恒为零. 反之, 可以证明如果˜Rijkl = 0
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3.4. RIEMANN-CHRISTOFFEL曲率张量23则由度量˜gij或应变eij所刻划的变形是发生欧氏空间内的, 即存在一个直线坐标系, 来描述变形后C的每一个物质点.证明如下. 记˜Γijk为与˜gij相应的联络系数, 即˜Γijk =12(˜gik,j + ˜gjk,i − ˜gij,k)由该式出发, 问是否存在一个坐标系{xi0}使得˜Γk0i0j0 ≡ 0? 由联络系数变换关系(3.2.39)可见Γk0i0j0 ≡ 0要求∂2xk∂xi0 ∂xj0+∂xi∂xi0∂xj∂xj0Γkij = 0(3.4.66)这组偏微分方程的可积性条件是xk对xi0 的混合偏导数与求导秩序无关. 由(3.4.66)写得该条件为∂∂xk0(∂xi∂xi0∂xj∂xj0˜Γkij) =∂∂xj0(∂xi∂xi0∂xj∂xk0˜Γkij),利用(3.4.66), 有(xi,i0 xj,j0˜Γkij),k0= (xi,j0k0 xj,j0 + xi,i0 xj,j0k0 )˜Γkij + xi,i0 xj,j0 xk,k0˜Γkij,l= −(xp,i0 xq,k0 xj,j0˜Γipq + xi,i0 xp,j0 xq,k0˜Γjps)˜Γkij + xi,i0 xj,j0 xl,k0˜Γkij,l= xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkij,l −˜Γpil˜Γkpj −˜Γpjl˜Γkip)同理有(xi,i0 xj,k0˜Γkij),j0 = xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkil,j −˜Γpij˜Γkpl −˜Γplj˜Γkip)因此,可积条件可以写作xi,i0 xj,j0 xl,k0 (˜Γkij,l −˜Γkil,j + ˜Γpij˜Γkpl −˜Γpil˜Γkpj)=0即xi,i0 xj,j0 xl,k0˜Rk·ijl= 0这就证明了Riemann-Christoffel曲率张量为零是保证空间为欧氏空间的可积条件.利用Ricci关系,可以进一步证明Rijkl的6个分量还不是独立的, 它们进一步满足3个Bianchi恒等式:Sijj ≡ 0(3.4.67)或Rlmijk + Rlmjki + Rlmkij ≡ 0(3.4.68)证明过程如下. 对任意矢量ul的协变导数uli应用Ricci公式:ulijk − ulikj = umiRm·ljk+ ulmRm·kij循环(i, j, k)得到uljki − uljik= umjRm·lki+ ulmRm·jkiulkij − ulkji= umkRm·lij+ ulmRm·kij
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24另一方面, 由Ricci公式ulij − uiji = umRm·lij对xk求一次协变导数, 并循环(i, j, k)又得到ulijk − uljik= umRm·lijk + umkRm·lijuljki − ulkji= umRm·ijki + umiRm·ijkulkij − ulikj= umRm·lkij + umjRm·lki上列6式的前三式和后三式各自相加, 其结果的左边同为(ulijk − ulikj)+(uljki − uljik)+(ulkij − ulkji),故其右边值必须相等, 即有um(Rm·lijk + Rm·ljki + Rm·lkij)+(umkRm·lij+ umiRm·ljk+ umjRm·lki)= ulm(Rm·ijk+ Rm·jki+ Rm·kij)+(umiRm·ljk+ umjRm·lki+ umkRm·lij)由此得到(Rm·lijk + Rm·ijki + Rm·lkij)um = (Rm·ijk+ Rm·jki+ Rm·kij)ulm最后, 利用性质(3.4.62), 就得到Bianchi恒等式.有趣的是, Bianchi恒等式与变形体无体力静力平衡方程σijj = 0形式完全相同.由于有限变形的变形协调方程 ˜Rijkl = 0或˜Sij = 0还需满足三个恒等偏微分方程˜Sijj ≡0, 因此, 严格意义上只有三个独立的协调方程.3.5 正交曲线坐标系和张量的物理分量3.5.1 正交曲线坐标系实际应用上, 最常采用的还是正交曲线坐标系(如圆柱坐标系, 球坐标系等). 所谓正交曲线坐标系, 是指在空间每一点的三个局部自然基矢gi都相互正交的坐标系. 由于g1 = g2 xg3/[g1, g2, g3]等等, 可见对于正交曲线坐标系, 三个逆变基矢gi也一定相互正交, 且gi与gi平行, gi = gi-1. 进一步, 有gi = Ai = √gii, ¯¯gi¯¯ = A-1i= √gii-1 = pgii (i不求和)文献上称Ai为Lame常数.由于gij =0(i 6= j), 根据关系Γijk = 12(gik,j + gik,j − gij,k), 正交曲线坐标系的联络系数具有如下表示:Γijk = 0, Γkij = 0 (i 6= j 6= k)Γiij = −12gii,j, Γjii = −121gjjgii,j (i 6= j, 不求和)Γiji = 12gii,j, Γiij = 121giigii,j (i 6= j或i 6= j, 不求和)⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭(3.5.69)例如, 对球坐标系g11 = 1, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ, 非零的联络系数只有Γ221 = −Γ121 = −Γ211 = −rΓ331 = −Γ133 = −Γ313 = −r sin2 θΓ332 = −Γ323 = −Γ233 = r2 sinθ cosθ⎫⎪⎬⎪⎭
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3.5. 正交曲线坐标系和张量的物理分量253.5.2 张量的物理分量由于正交曲线坐标系的局部基矢相互正交, 可引进局部标准正交基如下ei = √gii-1gi = √giigi (i = 1, 2, 3不求和)这样引进的空间逐点的标准正交标架{ei}, 称作为物理标架. 任意张量T相对于{ei}的分量,其物理含义与张量相对于笛卡儿坐标系下的分量物理含义完全相同. 例如, 球坐标系{r, θ,ϕ}下的应力物理分量记为σrr, σθθ, σrθ, σrϕ, σθϕ等等. 关于物理分量与张量分量的关系, 以三阶张量Tij··k为例, 其物理分量, 记为Thijki, 为Thijki= AiAjA-1k Tij··k(不求和)或Tij··k= A-1i A-1j AkThijki(不求和)例 3.5.11 推导圆柱坐标系(r, θ, z)下由物理分量表达的连续介质动力学方程σrjj + ρfi =ρüi.解: 步骤一(基矢和度量张量): 由关系r = r cosθi + r sinθj + zk求得g1= cosθi + sinθj, e1 = cosθi + sinθj,g2= −r sinθi + r cosθj, e2 = −sinθi + cosθj,g3= k, e3 = k非零的度量张量分量为g11 = 1, g22 = r2, g33 = 1步骤二(联络系数): 非零的联络系数只有Γ212= Γ122 = −Γ221 = rΓ122= −r, Γ221 = Γ212 = r-1步骤三(物理分量):σ11= σrr, σ22 = r-2σθθ, σ33 = σzz,σ12= r-1σrθ, σ13 = σrz, σ23 = r-1σθz,f1= fr, f2 = r-1fθ, f3 = fz,u1= ur, u2 = r-1uθ, u3 = uz,
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26步骤四(应力的散度):σijj= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),jσijσ1jj= σrr,r + (r-1σrθ),θ + σrz,z + Γ122σ22 + (lnr),1σ11=∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθrσ2jj= (r-1σrθ)-1+ (r-2σθθ),θ + (r-1σθz),z + 2Γ221σ21 + (lnr),1σ21=1r ∙∂σrθ∂r+1r∂σθθ∂θ+6σθz∂z+∂σrθr ¸σ3jj= σrz,r + (r-1σθz),θ + σ22,z + (lnr),1σ31=∂σrz∂r+1r∂σθz∂θ+∂σzz∂z+σrzr步骤五(动力学方程):∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθr+ ρfr= ρür∂σθr∂r+1r∂σθθ∂θ+∂σθz∂z+∂σrθr+ ρfθ= ρüθ∂σzr∂r+1r∂σzθ∂θ+∂σzz∂z+σrzr+ ρfz= ρüz推导圆柱坐标系(r, θ, z)下由物理分量表达的连续介质动力学方程σrjj + ρfi = ρüi.例 3.5.12 解: 步骤一(基矢和度量张量): 由关系r = r cosθi + r sinθj + zk求得g1= cosθi + sinθj, e1 = cosθi + sinθj,g2= −r sinθi + r cosθj, e2 = −sinθi + cosθj,g3= k, e3 = k非零的度量张量分量为g11 = 1, g22 = r2, g33 = 1步骤二(联络系数): 非零的联络系数只有Γ212= Γ122 = −Γ221 = rΓ122= −r, Γ221 = Γ212 = r-1步骤三(物理分量):σ11= σrr, σ22 = r-2σθθ, σ33 = σzz,σ12= r-1σrθ, σ13 = σrz, σ23 = r-1σθz,f1= fr, f2 = r-1fθ, f3 = fz,u1= ur, u2 = r-1uθ, u3 = uz,
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3.6. 附录: 常用曲线坐标系27Figure 3.7:步骤四(应力的散度):σijj= σij,j + Γijkσkj + (ln√g),jσijσ1jj= σrr,r + (r-1σrθ),θ + σrz,z + Γ122σ22 + (lnr),1σ11=∂σrr∂r+1r∂σrθ∂θ+∂σrz∂z+σrr − σθθrσ2jj= (r-1σrθ)-1+ (r-2σθθ),θ + (r-1σθz),z + 2Γ221σ21 + (lnr),1σ21=1r ∙∂σrθ∂r+1r∂σθθ∂θ+6σθz∂z+∂σrθr ¸σ3jj= σrz,r + (r-1σθz),θ + σ22,z + (lnr),1σ31=∂σrz∂r+1r∂σθz∂θ+∂σzz∂z+σrzr步骤五(动力学方程):∂σrr∂r+ 1r∂σrθ∂θ+ ∂σrz∂z+ σrr-σθθr+ ρfr = ρür∂σθr∂r+ 1r∂σθθ∂θ+ ∂σθz∂z+ ∂σrθr+ ρfθ = ρüθ∂σzr∂r+ 1r∂σzθ∂θ+ ∂σzz∂z+ σrzr+ ρfz = ρüz⎫⎪⎬⎪⎭3.6 附录: 常用曲线坐标系本节列出常用曲线坐标系下的基矢和所有非零的度量张量分量和联络系数分量. 有关资料可参照3.6.1 平面极坐标(图3.7)r = r cosi + r sinθj, x1= r, x2= θ
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28lmxyFigure 3.8:g1 = icosθ + jsinθ, g2 = −ir sinθ + jr cosθ,g11 = 1, g22 = r2, g11= 1, g22= 1/r2,Γ122 = r, Γ221 = −r, Γ211 = −r, Γ212 = Γ221.3.6.2 平面椭圆-双曲坐标(图3.8)r = coshλcosμi + sinhλsinμj, x1 = λ, x2 = μg1 = isinhλcosμ + jcoshλcosμ, g2 = −icoshλsinμ + jsinhλcosμ,g11 = g22 = cosh2 λ − cos2 μ, g11 = g22 =1cosh2 λ − cos2 μ,Γ111= Γ122 = −Γ221 = coshλsinhλ,−Γ112= Γ121 = Γ222 = cosμsinμ,Γ111= Γ212 = −Γ122 =coshλsinhλcosh2 λ − cos2 μ,−Γ211= Γ112 = Γ222 =cosμsinμcosh2 λ − cos2 μ.3.6.3 平面双极坐标(图3.9)r =sinhψcoshψ + cosφi +sinφcoshψ + cosφj, x1 = ψ, x2 = φg1= i1 + coshψ cosφ(coshψ + cosφ)2 − jsinhψ sinφ(coshψ + cosφ)2,g2= isinhψ sinφ(coshψ + cosφ)2+ j1 + coshψ cosφ¡coshψ + cosφ2¢,
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3.6. 附录: 常用曲线坐标系29yxsfFigure 3.9:g11 = g22 =1(coshψ + cosφ)2, g11 = g22 = (coshψ + cosφ)2,Γ111= Γ122Γ212 = −Γ221 = −sinhψ(coshψ + cosφ)3,Γ112= −Γ121Γ122 = −Γ222 = −sinφ(coshψ + cosφ)3,Γ111= Γ212 = −Γ122 =sinhψcoshψ + cosφ,Γ112= −Γ211 = Γ222 =sinφcoshψ + cosφ.3.6.4 斜交直线坐标(图3.10)基矢g1,g2,g3都是单位长度矢量, 相互间的夹角为α, β, γ. 有g11= 1, g23 = cosα, g11 =sin2 αg, g23 =cosβ cosγ − cosαg,g22= 1, g13 = cosβ, g22 =sin2 βg, g13 =cosαcosγ − cosβg,g33= 1, g12 = cosγ, g33 =sin2 γg, g12 =cosαcosβ − cosγg,g = 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cosαcosβ cosγ,3.6.5 圆柱坐标(图3.11)r = r (cosθi + sinθj) + zk, x1 = r,x2 = θ,x3 = z
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30Figure 3.10:xyzrFigure 3.11:
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3.7. 第5章练习31所有公式与平面极坐标的相同, 附加如下量gz = k, gzz = gzz = 1.3.6.6 球坐标r = r(cosθ cosφi + sinθ cosφj + sinφk), x1 = r,x2 = θ,x3 = φg1= (icosθ + jsinθ) cosφ + ksinφ,g2= r (−isinθ + jcosθ) cosφ,g3= −r (icosθ + jsinθ) sinφ + kr cosφ,g11= 1, g22 = (r cosφ)2, g33 = r2,g11= 1, g22 = (r cosφ)-2 , g33 = r-2,Γ133= −Γ331 = r, Γ122 = −Γ221 = r cos2 φ,Γ223= −Γ232 = r2 cosφsinφ,Γ122= −r cos2 φ, Γ322 = cosφsinφ, Γ133 = −r,Γ212= Γ313 = 1/r, Γ223 = −tanφ.3.7 第5章练习练习 1 试导出小位移情况下球坐标系中用物理分量表示的应变和位移的几何关系。(以ur,uθ,uϕ表示位移的物理分量，rr,ООО ,θϕ,ООО表示应变的物理分量。)由g1 =g2 x g3[g1,g2,g3], g2 =g3 x g1[g1,g2,g3], g3 =g1 x g2[g1,g2,g3]证明£g1,g2,g3¤ =1[g1,g2,g3].练习 2 若{gi}和{gi}为矢量的协变和逆变基, 试证明{gigj}, {gigj}都构成二阶张量的基.练习 3 已知g1 = j + k, g2 = k + i, g3 = i + j,(i)求g1, g2, g3;(ii)绘出gi和gi;(iii)验证gi О gj = δji ;(iv)已知u = 2g1 + 3g2 − g1, 给出u1, u2, u3.
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32练习 4 证明在三维空间曲线坐标下, 任意三阶张量B的三个主不变量可以表示为I = trB = Bi·i= B·ii = gijBij = gijBijII =12(Bi·iBj·j − Bi·jBj·k)III = detB = ¯¯Bi·j¯¯ =¯¯B·ji ¯¯ =1g Bij = g ¯¯Bij¯¯.练习 5 记g = gij为gij的行列式, 试证明(ln√g),i = Γkik练习 6 证明联络系数的坐标变换关系为Γk0i0j0 = (βii0 βjj0 Γkij +∂2xk∂xi0 ∂xj0)βk0k因此, Γkij不是二阶张量.练习 7 求证: ∂gjl∂xi = −¡gmjΓlim + gmlΓjim¢练习 8 若一个物理量需由一个三指标数组来表征, 且在任意两个曲线坐标系{xi}和{xi0}下观测到的数组T (i,j,k)和T (i0,j0,k0)满足关系T (i0,j0,k0) = βii0 βj0j βk0k T (i0,j0,k0), 试证明该物理量对应一个三个张量T = T·jkj gigjgk, 其中T·jki= T (i,j,k).练习 9 已知: ϕ为标量场函数，T为张量场函数。求证:(1) ϕij = ϕji = ϕ,ij − Γkijϕ,k(2) ∇(ϕT) = ϕ(∇T)+(∇ϕ)T.练习 10 已知: u,v为矢量场函数。求证:(1)∇(u О v)=(∇u) О v + (∇v) О u(2)(curlu) x v = [u∇ − ∇u] О v(3)∇(u О v) = ux(∇ x v)+vx(∇ x u)+uО(∇v)+vО(∇u)(4)∇x(u x v) =v О (∇u) − v (∇ О u) + u(∇ О v) − u О (∇v)练习 11 已知: 某矢量场u即无旋（curlu = 0）又无源（divu = 0），求证: u是调和函数，即∇ О ∇u = 0。(提示: 可先证∇ x (∇ x u) = ∇(∇ О u) − ∇ О (∇u))练习 12 已知: 球坐标系中矢量场函数F可表达为F = Frer+Fθeθ+Fϕeϕ(er,eθ,eϕ是r,θ,ϕ方向的单位矢量，见图)；标量场函数φ。求: Christoffel符号与er,eθ,eϕ对坐标的导数；用两种方法求gradφ,divF,curlF及∇2φ。练习 13 在球坐标系下, 求标量场φ和矢量场u在物理分量表示下的Vφ, VОu, Vxu及∇2φ.
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3.7. 第5章练习33R(s)snOs(n 0)n consts 线n 线 (s const)eens(n,s)n(s 0)Figure 3.12:练习 14 已知: 二维空间中(n，s)坐标系如图3.12。其中s是沿某一物体表面的曲线边界弧长（选择物体表面某一确定点为起始点），n为沿物体表面外法线的长度（从物体表面起算），则物体外部域内每一点的坐标均可用n,s(x1 = n,x2 = s)描述(n ^ 0)。物体表面每点处的曲率半径及其对s的各阶导数均为已知。求: 用R(s)及其导数、坐标n,s表示以下各量:(1)Lamé参数A,B.(2)用(n,s)坐标线单位切向矢量en,es表示基矢量gα,gβ.(3)用矢量的物理分量u(α) = uπ,us表示其张量分量uα,uα.(4)Christoffel符号Γγαβ.(5)若f为标量场，u = unen+uses为矢量场，求∇f,∇Оu,∇xu,∇2f的表达式¡∇2f = ∇ О ∇f¢.练习 15 抛物柱面坐标xk如图3.13示，有:r = a¡x1 − x2¢i + 2a√x1x2j + x3k其中a =常数> 0.对于xk坐标系（只研究上半平面）求:(1)基矢量、度量张量。(2)用矢量的物理分量来表示矢量的张量分量。(3)Christoffel符号Γkij。(4)f为标量场函数，u = uigi为矢量场函数，求∇f,∇ О u,∇ x u,∇2f的表达式。练习 16 试导出球坐标系(r,θ,ϕ)中用物理分量表示的连续介质动力学方程.练习 17 试导出小位移情况下球坐标系中用物理分量表示的应变和位移的几何关系。(以ur,uθ,uϕ表示位移的物理分量，rr,ООО ,θϕ,ООО表示应变的物理分量。)
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34z1z2x = 01x = 02Ox 线(x = const)12x 线(x = const)21Figure 3.13:
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• "张量弧长性质",几何含义是曲线上邻近两点切矢量之间夹角对弧长的变化率 -marketreflections- ♂ 
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• n阶张量都可以看作是n-1阶张量空间的矢量 -marketreflections- ♂ (2461 bytes) (2 reads) 1/4/11 14:21:36
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• 移动互联网从应用竞争到平台竞争,最近摩根斯坦利有一个报告，认为互联网发展到一个新 -marketreflections- ♂ (2287 bytes) (1 reads) 1/4/11 15:05:14
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• 薛定谔方程，爱的算符部分决定于所处环境的势能；当你所处的环境发生变化时，你的算符 -marketreflections- ♂ (1624 bytes) (1 reads) 1/4/11 14:39:02
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• 度量张量是塑性应变和其历史的函数, 但在初始各向同性和不可压的情 ... 用内时 -marketreflections- ♂ (459 bytes) (1 reads) 1/4/11 14:05:40
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