1998年l0月
第4期
松辽学刊(自然科学版)
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№ ．4
Oct．
1 )
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普朗克辐射公式的几种理论推导(Ⅱ)
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摘 要 本文介绍了五种普朗克辐射公式的理论推导方法：@199o年的普朗克的推导；
Q1910年德拜的推导；0 1916年爱因斯坦的新推导；~)1922年德布罗意的推导；~ 192~年玻色
的推导．并作了恰当的评论
关键词
—
兰 幽璺坌苎芝塑皇!苎 量号彪
3 1916年爱因斯坦的新推导
l9 年8月I1日给贝索的信中说“关于辐射的发射和吸收，我突然有所领悟；这一点
你会感兴趣的．这完全是从普朗克公式引出来的一个惊人结果，我还想说这是普朗克公
式的直接结果．这一切全是量子的．我正在把这结果写成文章．”[ ．
1916年爱囡斯坦发表了一篇重要的量子论文章《关于辐射的量子理论》【"．这篇文章
是对普朗克公式理论基础的又一次新的探索，它具有清晰的物理图像．这一方法的根本
点是从非常简单的关于分子同辐射场之间的能量交换的假设出发，求得普朗克公式．
量子论的基本假说，正则状态分布：
根据量子论的观点，正确的一类分子，如果不考虑它的转动和平移运动，可以仅仅处
于一系列互不连续的状态邑， 2， ，⋯，这些状态的分子(内)能是 1， 2，e ，⋯如果这
类分子是属于温度为7T的气体，那么，单位时问内出现状态五的相应次数 ．可由统计
力学关于正则的状态分布的公式
t
； 一爵 (1)
得出．在这公式中， =R／N，即著名的玻尔兹曼常数，P^是同 无关的关于分子和
第n个量子态的特性常数．它可以表示为这个状态的统计“权重”．这个公式可以从玻尔
兹曼原理或单用热力学方法推导出来．公式(5)是麦克斯韦定律的最广泛的概括性表示．
最子论的最近的有原则意义的进展，是关于量子论的可能状态 及其权重P 的理
论发现．至于这里的原则性研究，并不需要更详尽地确定量子状态．
关于通过辐射而发生的能量交换的假说
·
跃迁的规律：
z 和z 是气体分子的两个在量子论意义上可能的状态，它们的能量E 和￡ 满足不
收稿日期：1998—02—25
E > E (2)
分子 可以从状态 跃迁到状态z ，同时吸收能量E 一E
丹于同样可以从状态z 跃迁到状态 ，同时放出辐射能量．分子在这种情况下吸收或放
出的辐射具有同所考察组合指数(m，n)有关的特性频率．
在支配这些跃迁的规律之外，我们又引进一些假说，只要把关于普朗克谐振子的古典
理-龟的已知关系式变换为未知的量子论公式，就能够得到这些假说．
(1)自发辐射．众所周知，根据赫兹的理论，一个振荡着的普朗克振子辐射的能量，同
它是否受外面场的激发无关．这对应于一个分子能够从状态z 跃迁到磊，发射出频率为
的辐射能量e 一e 而不受到外界的因素激发．这种跃迁在时间闻隔d￡内发生的几率
是
dW ： A t (3)
这里A 表示关于所考察的组合指数的特性频率．
(2)受激发射．如果在辐射场中有一普朗克振子，由于辐射的电磁一个分子可以从状
态五。跃迁到z ，在这个过程中电磁场对谐振子作了功，从而改变了谐振子的能量，这个
功根据谐振子的相和振荡的相之间的关系表现为正或为负．与此相对应，我们可以引进
F纠量子论假说．在具有频率 的辐射密度p的作用下，一个分子可以从状态 跃迁到
，
在这个过程中分子吸收能量E 一E ，根据几率定律，
dW ：B dt (4)
在辐射作用下，分子从状态 跃迁到 同样也是可能的，在这过程中，辐射能量E
一
s 鼓释放出来，根据几率定律，
d ：B dt (5)
郓 都是常数．这两种过程称为“激发辐射作用下的状态变化．”
现在我们要推算那个有效能量密度P，它必须使辐射同分子之间的能量交换按照统
1J律(3)，(4)和(5)那样来进行，而又不破坏等式(1)的分子状态分布．为此，必要和充分
的条件是：在每一个单位时问内，(4)类基元过程的平均发生次数应当等于(3)和(5)两类
的次数之和．根据(1)．(3)，(4)，(5)，这个条件给出了对应于组合指数(m， )的基元过程
的等式：
P．e =P 一‘ 打(B +A ) (6)
式中Pn和P 是状态 和 的统计权重．此外，如果我们充许能量密度p必须随着
温度 的无限增大而无限增大，那么在常数B 和B：之间必定有下列关系成立：
P ： 只 (7)
州是，作为动态平衡的条件，我们从上述等式可得
A ⋯
P =-i 【8)
这就是以普朗克定律为根据的辐射对温度的相依关系．从维思位移定律
JD： j，(u／T) (9)
一一
2 一
作为渐近公式，可定出
j n
／l td
．
nn
=一 n (、 10)
D m
和
E 一E = (11)
这里 和h都是普适常数．为了求得常数的值，必须有一个电动力学过程和力学过程的精
确理论；这里我们暂时月需要考虑高温时瑞利的极限情况，对于这种情况，古典理论在极
限范围内是有效的．这样最终又导出了普朗克公式．
应该承认．爱因新坦上述推导是简洁优美的，但仍和经典理论有千丝万缕的联系．玻
色对此曾作过中肯的批评：“为了使这个公式同普朗克公式相一致，必须利用维恩位移定
律和玻尔对应原理．维恩位移定律是以经典理论为基础的，而对应原理认为量子论同经
典理论在一定极限情况下是一致的”，所以“在我看来，在任何情况下，这个推导不是在逻
辑上毫无缺陷的”【5]．爱因斯坦对这项工作很满意．在1924年5月24日致贝索(Besso)信
中．他称这篇论文是“在这个领域最成功的东西”．
4 1922年德布罗意的推导
独立于爱因斯坦、埃伦菲斯特、约飞(A．Jofe)和纳塔孙(L．NatansDn)等也先后发现，
单是利用爱因斯坦的光量子假说，所获得的不是普朗克公式，而只能是维恩公式．德布罗
意1922年的推导 已经承认了这个事实，但没有回避它，而采取了一种今天看来是奇怪
的假说作为补救．他认为平衡温度 下的黑体辐射，可以认为是能量 =b 的光原子所
形成的气体，并认为能量为2hv，3hv．⋯，nhv，·-．，的光原子是具有2，3，⋯，n，⋯，个光原子
的“光分子”．略去“光分子”，人们得到的就是维恩公式，它是普朗克公式的特殊形式．
德布罗意认为光子遵从的统计规律就是
du = c．e一 ” dW (1)
我们知道．这必然会导致维恩公式．此式由零至无穷积分给出单位体积原子数n，由
此定出常数
c ：舞 (2)
于是单位体积能量
du = e一 ⋯d" (t 3)J
接下来的任务就是确定n的形式．对上式积分可得单位体积总能量
l duw =3nkT (4)
’ 0
通过动力学理论可得空腔内壁单位面积上光原子每秒钟碰撞数为1／6nc，每个光原
子的动量为w／c．于是单位面积上的压力，即压强为
2(1／6) (w／c)：(1／3)， =nkT (5)
根据热力学公式，可得
dS=(I／T)(du+pdV) (6)
一
3 一
=
(1／T)[3nkVdT+3nkTdV+3kVT(dn／dT)dT+nkTd ]
[(3 ／ )+3kV(dn／dT)】dT+4nkdV
欲使dS成为全微分，须有
3凡 ／ +3k(dn／d )=4k(dn／d )
或(dn／ )=(3n／ )
其解为 n= Ak
然后利用热力学方法定出常数
A = (8 ／ h )，
最后得
d ： e一
(7)
(8)
(9)
(1O)
(11)
此即维恩公式．但若考虑由单原子、双原子、三原子、⋯⋯等“光分子”组成的混合光
子气，即可得普朗克公式：
d =(8 h／c ) [e- +e一 ／kT+e-3~／ +⋯】
=
(8~h／c ) (12)
5 1924年玻色的推导
黑体辐射问题中应用经典编译方法所遇到的困难，最终由印度物理学家玻色在1924
年彻底解决．玻色改变了计算气体状态的统计方法，引进全同粒子的不可分性质，把光量
子假设和统计力学结合起来，从而不仅较以前任何一种方式更完善地解决了普朗克公式
的推导问题，而且经爱因斯坦发展，形成了我们今天称之为玻色一爱因斯坦统计的一套
量子统计方法．
玻色在他的论文《普朗克定律和光量子假说》【 中，设辐射封闭在容积 中，它的总
能量 已给定．设存在有不同种类的量了，其数目为 ，其能量为hvs(s从0到。。)．那么
总能量 为
一
r
=
似 = 1 dv (1)
这时要解决这个问题，就是要求明确规定各个 的飓．如果我们可以指明每一个用任何
％ 来表征的分配的几率，那么这个解就取决于下述条件：在满足补充条件(1)时，这个几
率应当为极大．我们现在来求这个几率．
这个量子具有动量，其大小为 s／c，其方向为量子运动的方向．量子的瞬时状态可
以由它的坐标 ，y，：和它所具有的动量 ， ， 来表示；这六个量可以采用一个六维空
问中的点坐标，而且我们还有关系式
+ +P = h2 ／c (2)
由于这个关系式我们所说的点必须留在由量子频率所决定的圆柱面上．在这个意义
上属于频率间隔d 的相空间表示为
r ldxdydzdp dp
~
dp；= V·4re(hv／c) (hdv／e)
：
(4 矿 )／c Vd (3)
一
4 ——
以h 为单位，考虑到偏振，得属于 的相格数为
A =8nV( d~)／c (4)
相格数是一个量子在给定容积中可能排列的数目．
令 为属于频率间隔为d 的量子数， 为包含r个量子的相格数， 在d 相格
内可能分配数为
赢!P }!⋯(5)
而
=0·P5+1· +2· +⋯(6)
由全部 来定义的状态的几率显然是
’
】][ ㈣
考虑到可把 看作是很大的数目，得
：
Σ 1g A 一Σ Σ lg (8)
并且
：
Σ (9)
在补充条件
E=Σ hu ；Ns=Σ (10)
下，上述表示式应该是极大．通过变分，得到条件
Σ Σ8pS(1+lg )：0
5
Σ =0
S
Σ =0， =Σ
由此得出
(11)
(12)
(13)
Σ Σ (1+lgP,s+^ )+(1／卢)Σ hu Σ =0 (14)
S r 5
由此首先得到：
可是，因为
所以
此外，我们得到
=
Σ
P ： (一a．s／l~)
5 ：
Σ (一
：
Bs(I—e(一 删)一l
Bs：AS(1一e(一 ’)
(15)
(16)
(1'7)
Σ s(1一e{一 )e(一 删
e
f一 ，
r ,
。 (
一
考虑到上面所求得的A5值，就得到
E =
s l — P⋯
利用前面所得到的结果，我们还求得
(18)
(19)
S： [(E佃)一ΣASlg(1一 (一咖’] (20)
考虑到dS／dE =I／T，从而得出口=kT．把这代人上面的等式，我们就得到
E= s 8下,rh,．／ 南l a
—
⋯⋯
这个等式就是普朗克公式．
参考文献
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6 ——
(21)
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