phymath999: diffgeom01 其某一动态系统，动态演变是在Ｍ上进行，一比如，质点在球面上　球我还运动，面可视为二维微分流形，们所关心的不仅是质点的位置，有点的速度向量，正是点　在速的位置和速度向量才完全描述质点的运动．欧氏空间中，度向量的几何解释是动点运动轨　为我必　迹的切向量或曲线的切线．了研究微分流形上的速度向量，们设想在　的每一点处，自称速实它　然方式关联着一个向量空间，为该点的切空间，度向量或切向量就包含在其上, without 嵌入到相应的欧氏空间中

Thursday, March 7, 2013

diffgeom01 其某一动态系统，动态演变是在Ｍ上进行，一比如，质点在球面上　球我还运动，面可视为二维微分流形，们所关心的不仅是质点的位置，有点的速度向量，正是点　在速的位置和速度向量才完全描述质点的运动．欧氏空间中，度向量的几何解释是动点运动轨　为我必　迹的切向量或曲线的切线．了研究微分流形上的速度向量，们设想在　的每一点处，自称速实它　然方式关联着一个向量空间，为该点的切空间，度向量或切向量就包含在其上, without 嵌入到相应的欧氏空间中

這是 Google 對 http://www.doc88.com/p-17330608853.html 的快取。這是該網頁於 2013年2月10日 09:48:28 GMT 顯示時的快照。在此期間，目前網頁可能已經變更。瞭解更多資訊
提示：如要在這個網頁上快速尋找您所搜尋的字詞，請按下 Ctrl+F 鍵或 ⌘-F 鍵 (Mac)，然後使用尋找列進行搜尋。

純文字版

微分几何方法与非线性控制系统（2） - 人工智能 - 道客巴巴

弓呵　　帮　毳拳期患　箍融。。。　Ｖ．。９ｏｒ１２Ａ１ｏ　Ｉ．９ｐ，．２Ｎ　２　微分几何方法与非线性控制系统（）ｌ－ｏ　／ｏ－！毛张嗣瀛王景才刘晓　 ● Ｉ　＿　平＿＿－一－＿＿＿＿一　东沈１０６　（北工学院自控系．阳．１００）４向量场与动态系统　众所周知，现代控制理论的研究是在状态空间上，使用状态方程．特但有些动态系统，别是　其演描非线性系统，动态演变是在微分流形上进行的，化结果是流形上的一条曲线．述无穷小　因研就演化的微分方程是定义在流形上的向量场，此，究流形上的动态系统，要分析流形上的　向量场．在向流形上向量场的局部坐标表示是　中的微分方程组．状态空间中，量场就是状态　方程的几何解释．就　应用向量场来研究动态系统的方法，是几何方法．．４１切向量与切空间　设Ｍ为　维微分流形．其某一动态系统，动态演变是在Ｍ上进行，一比如，质点在球面上　球我还运动，面可视为二维微分流形，们所关心的不仅是质点的位置，有点的速度向量，正是点　在速的位置和速度向量才完全描述质点的运动．欧氏空间中，度向量的几何解释是动点运动轨　为我必　迹的切向量或曲线的切线．了研究微分流形上的速度向量，们设想在　的每一点处，自称速实它　然方式关联着一个向量空间，为该点的切空间，度向量或切向量就包含在其上．际上，是欧氏空间中光滑曲线或曲面（在这高即微分流形）每点处切线或切平面．种想法，明之处在于　象再　只需用流形本身而没有将Ｍ，前面那样，嵌入到相应的欧氏空间中．既然将流形Ｍ的切空间作为曲面切平面的推广，有必要分析Ｒ　　中曲线的切线．设ｙＥＲＸ ∈Ｒ，是在 ‰ 邻域有定义的Ｃ＂是一向量，ｏ　是一定点，柑　函数，Ｙ方向的方向　导数为　ｘ）　）＝Ｄｆ（　（　Ｙ　－Ｉ７　对　（，（（，这就给出一个映　应注意的是向量Ｙ是导数的方向．每一个，∈ｃ　）令，一四ｒ　）　）ｃ　。一射Ｄ：　（）Ｒ，直观上看Ｄ相当于　 ● ＝　～１　耄　４＿１（）１线２乘这对，易证它具有导致的性质（）性性和（）法法则．样，任何一个向量ｙＥＲ　就存在一个　满反过来，可证明，线性映射Ｄ，足线性性和乘法法则ｌ也对任一具有线性性并满足乘法法则的　都　使线性映射Ｄ，有唯一的向量ｙＥＲ，得　Ｄ（ｘ）　），）一Ｄｆ（。（　映从Ｙ是Ｒ于是，射Ｄ与向量Ｙ建立了对应关系．前面的分析得知，表　中的向量，示函数的导　数方向，那正（一我即切线方向．么自然会想到，象把导数定义为线性映射口ｒ‰ ）样，们把具有　Ｃ　）作线性性并满足乘法法则的映射Ｄ：　（。一Ｒ，为　中向量或说是函数的切线方向是完全　可以理解的．因　由于微分流形局部与　相同，此可直接应用于微分流形中去．信息与控倒９ＺＩ９年ｌ第０眷第０期　ｃＭ户一　微分流形Ｍ在Ｐ点处的切向量是一映射　：　（，）Ｒ并具有下面的性质；１　ｘ，ａ）ｘ　　ｘ，ｇ）（）线性性：（，＋　｝一ａ（＋卢（　２　Ｘ　，·ｇ一，户）（＋ｇ（ｘ　，　（）乘法法则：（）（ｘ，ｇ）户）（）ｇＥＣＭ，；，其中ｆ，另　（户）ａ　∈Ｒ．外　　　　（）＋８（＋８（一ａ　ｇ　，ｇ（户）· 户）（ · ）户）一，（ｇ（　我　至此，们又一次将切向量定义为映射．记微分流形Ｍ上在Ｐ，Ｍ）并定义如下运算　 ∈Ｍ处的全体切向量所构成的集合为Ｔ（，ａ（Ｘ　＋　（Ｘ，，）＋　），）＝ａ（（）Ｘ，Ｙ，，，，∈　Ｍ，，（）ａ卢∈ Ｒ　　９　　即　Ｍ构成一个向量空间，其称为微分流形Ｍ在Ｐ点的切空　可以证明，＋Ｉ ∈ＴＭ，将实它　间．际上，就是欧氏空间曲面在Ｐ点的切平面的推广．ｕ，坐标函数为（＇ · ）立刻会想到，向量墨应和』中　设Ｍ含声的局部坐标（　，．　一．，，切　一具有形式（．）而　，＝１ … ，应是基底，样，４１，ｉ，ｍ，　事实就是这样．映，。Ｍ户Ｒ　）设射　ｌ（，　　一乱，　　脚）６ｆ　（　则可证明ｉＭ且ｄｍＴ。＝ｍ，基底为　 ’ 　， ’ 　．ｌｌｚ（２４）＿ｊ ‘　 ∈ 可并且任意Ｘ，　Ｍ，表示为　一　昙　３一　）一，Ｘ，，为４２的分解系数，切向量　其中　（） … ，（）基底（．）称ｕ，）　关于局部坐标（声的坐标，随基底的不同而变．为一常数，切当明确基底后，向量可简写为一个向量　一ｎ ’．ａ］ · Ｘ。［。．，　　４４　（．）　（　）则若任给，∈ｃＭ，，有　＝　５　 “一）　　这正是』中的方向导数．．４２对偶向量场与对偶空间　可因为　肘是一个ｍ维向量空间，以在其上定义线性泛函．Ｔ，令　：Ｍ — Ｒ是实线性泛　由泛函分析得知，函应具有如下形式　函，泛Ｘ）一＜，　　ｗ（，　Ｘ）４６　（．）这里（表它 ·，·）示内积，显然是线性的．Ｔ，称瑟函ｍ为对偶向量或余切向量．　上的所有对　记Ｍ现设　， ∈丁偶向量构成一新的空间，为Ｔ；．定义如下运算，　ａｐ∈Ｒ， ∈　Ｍ，　Ｍ，，Ｘ，令　口　）Ｘ，（）＋舢　Ｘ，　（　＋卢２（）＝彻ｌＸＰ（）Ｍ称　则Ｔ；构成线性空间，其为对偶空间或余切空间．张嗣瀛等　微分几何方法与非线性控制系统　０　１３夸　一　一 … ｄ＝构成丁　的一组基底，为对偶基．给　 ∈丁；，局部坐标下均可表示为　则ｄ，，ｘＭ称任Ｍ在＝１　＋ … ＋　ｄ＂ｂｄｆ　４８　（．）为方便起见，－．ｂ．ｂ　　简记为　一［　… ，］ＥＭ由４４得设Ｘ，Ｔ，，（．）　　，，＝ｂ（Ｘ） ∑　　４９　（．）设ｆ　（Ｐ）在Ｅｃ　，，局部坐标下　ｌｆｅ一　．　．＋＿＋则ｄＸ），＝∑ｎｆ厂（，，一Ｘ（）ｆ　４０．　（１）．４３诱导映射　ＦＭ设Ｍ和Ｎ分别是ｍ维和一维微分流形， … 应可 Ⅳ 为光滑映射，用此映射，诱导出　将将把　（函数　新的映射；Ｐ点的切空间线性映射到Ｎ中去；对偶空间丁；Ｎ映回到丁　｝Ｃ Ⅳ ）　（上　映回到Ｃ　）。具体定义如下：１）对　（，令　（　函数ｆＥＣ Ⅳ）也称微分０型，（）垒厂。一厂（ｚ）　Ｆ。厂ＦＦ（）４１）（．１　　：　（一　（将ＥＣ Ⅳ 拉因有　映射ＦＣ Ⅳ）ｃ　）函数ｆ　（）回到流形Ｍ上，此，时也称为拉回映射．２设　（Ｆ（）令　（）切映射或推前映射：ｇＥｃ Ⅳ ，户），，　，（）垒Ｘｐｇ。.