diffgeom01 brain01 视网膜相当于扭量空间 黎曼几何的基本问题是微分形式的问题：在两个不同坐标系中给定两个二次微分形式，求存在坐标变换将一个微分形式变到另一个的条件

黎曼几何的基本问题是微分形式的问题：在两个不同坐标系中给定两个二次微分形式，求存在坐标变换将一个微分形式变到另一个的条件



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henryharry2 2011-08-08 13:29 广义相对论和微分几何 我是作为一个微分几何学者来谈谈广义相对论令人敬佩的结构。如我所理解，广义相对论属于物理学，它的基础是物理实验。几何学的目标应该是研究空间。几何学的研究是由传统和持续性所指导的，其评价标准是数学的创造性、简洁、深刻以及它们的良好的结合和协调。因此几何学有更大的自由并可略事沉醉于想象的课题。但是在历史上，它也曾被突然惊醒，发现这些抽象的对象一贯和现实密切相关。 微分几何和广义相对论的关系就提供了这样的一个事例。微分几何作为独立的学科诞生于1827年。这一年高斯发表了他的《曲面的一般研究》，在其中，他以二次微分形式为基本工具，奠定了二维的局部微分几何的基础。即使高斯也没有能预见到，这理论的四维推广会成为引力论的基础。

henryharry2 2011-08-08 14:01 在1854年《论几何学的基础假设》中，黎曼将高斯的工作推广到高维，并打下了黎曼几何的基础。他文章中首次引进n维流形的概念，其中的点用n个实数作为坐标来描述。这是从高斯以来的巨大的一步，因为高斯的弯曲曲面是放在三维欧氏空间中的，而不是内在的。爱因斯坦对数学的看法是纯正的，他难于接受黎曼这样的概念。黎曼几何的基本问题是微分形式的问题：在两个不同坐标系中给定两个二次微分形式，求存在坐标变换将一个微分形式变到另一个的条件。 这个问题于1869年由E. 克里斯多费尔及R. 李普希茨解决了。克里斯多费尔的解包含了以他的名字定名的记号及协变微分的概念。在此基础上，1887~1898年间里奇发展了张量分析，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T. 列维-齐维塔，在历史性的研究报告《绝对微分法及其应用》中，对里奇计算法作了一个综述。克里斯多费尔曾在苏黎世的高等工业学校任教(后来爱因斯坦是这里的学生)，因而对意大利的几何学者产生了影响。 与这些发展同样重要的是，在世纪转折时期微分几何学的主要活动集中于欧氏空间的几何，这继承着欧拉与蒙日的传统。一个代表性的工作是达布(Dauboux)的四卷《曲面论》，它过去是而且现在仍然是一部经典著作。要几何学者从一个绝对的围绕空间(通常是欧氏空间)中解放出来是困难的。

henryharry2 2011-08-08 14:09 大约与克里斯多费尔-李普希茨解决形式问题的同时，Felix Klein在1871年阐述了埃尔朗根纲领；这就是把几何学定义为研究有连续自同构群的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，射影空间具有射影直射变换群等。埃尔朗根纲领用群论统一了几何，其中包括非欧几何学；根据Klein的观点，非欧几何学只要在空间中有一个所谓二次的超曲面，讨论在所有的投影变换下，使这个二次超曲面不变。 例如：在平面上有一个圆周，非欧几何就是要讨论在投影变换下圆周仍不改变的性质。因此根据Klein的观点，非欧几何学就变得极易处理。在应用上，它可以从已知几何结果中导出新的、看上去没有关系的结果(作为群的同构的推论)。索菲斯•李的线性球变换是一个有名的例子。我们认为，Klein的观点也能用于量子力学，波函数(|薛定谔鸡>+|薛定谔蛋>/√2可以构成自同构群。 Klein的埃尔朗根纲领与狭义相对论完美地结合，狭义相对论中的一个原理是洛伦兹群下场方程的不变性，这导致了Klein这们处于世纪转折时期最有影响的德国数学家成为狭义相对论最早的支持者之一。洛伦兹结构在相对论中起了基本的作用，它还有几何学的解释。当我们研究空间中球的几何时，将球变为球的所有接触变换构成一个15参数群，而把平面变为平面的变换构成一个10参数的子群，后者与4个变量的洛伦兹群同构，所导致的几何学就是拉盖尔的球几何学。

henryharry2 2011-08-08 14:20 Klein的埃尔朗根纲领的成功自然地引起了Klein空间或现在称之为齐性空间中的微分几何的研究。特别地，射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来从1906年起为E.J. 威尔辛斯基的美国学派所发展，从1916年起为G. 富比尼的意大利学派所发展。 20世纪初，整体微分几何处于摇篮时期。1909年，马科帕迪阿亚阐述了四顶点定理。冯•迪克在1888年从高斯-博内公式导出拓扑的结论：一个闭的有向曲面的高斯曲率的积分等于2πχ，这里χ是曲面的欧拉示性数。Hilbert以独特的预见在1901年写了关于常数高斯曲率的曲面一文，在文中他给出了利布曼定理即具有常数高斯曲率的闭曲面必为球的一个新证明，还证明了定理(Hilbert定理)：具负常数曲率的完备曲面不能到处正则。在Hilbert的辅导下，佐尔在1903年发现，非球的旋转闭曲面的所有测地线都是闭的。在动力学的推动下，庞加莱与G.D. 伯克霍夫证明了在凸曲面上存在闭测地线。 微分几何的最终目的是整体的结果。但是，局部微分几何不能减缩到最低限度，因为每个整体结果必须有一个局部的基础。为使整体微分几何有一个系统的发展，必须打下它的基础。这必须从拓扑中来。广义相对论提供了动力。

henryharry2 2011-08-08 14:31 爱因斯坦建立广义相对论时，有效的数学工具是以里奇计算法来论述黎曼几何学。爱因斯坦引进了有用的和式约定。对微分几何的影响是令人震动的。黎曼几何成为中心的课题。我们注意到斯豪腾、列维-齐维塔、E. Cartan和艾森哈特等人关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924~1926年期间。这些发展立即得到推广。很快就清楚，在应用黎曼几何于相对论时，不是黎曼尺度本身而是列维-齐维塔平行移动起着关键的作用。H. 外尔在他的名著《空间、时间、物质》(1918)中引进了仿射联络的概念。这是一个可用来定义平行移动和协变微分的结构，不必需是黎曼结构。外尔的联络是对称的或无挠率的。 E.Cartan在他的主要论文《仿射联络的流形及广义相对论》(1923-1924)中给出仿射联络的权威性以及它向有挠率联络的推广。这篇文章当时并未受到重视，原因很简单：因为它走在时间的前头。因为它比仿射联络论更丰富。它的思想可以容易地推广到任何李群的纤维丛的联络理论中去，对这理论，里奇计算法已经不能适应了。文章还说明为什么爱因斯坦的理论是牛顿理论的直接推广。特别地，可以举出下列贡献： (1)引进了结构方程，并将比安基恒等式解释为对结构方程进行外微分后所得的结果； (2)认识到曲率是一个张量值的二次外微分形式。 用几何的话来说，仿射联络是一族仿射空间(即纤维)，它们由一个空间(基空间)所参数化，使得这族仿射空间是局部平凡的，并且有一个纤维沿着基空间的曲线“展开”的法则，使线性关系得以保持。类似地，我们可以把克莱因空间当作纤维而以作用于克莱因空间的李群来代替完全线性群，并且也有一个对应的展开法则。嘉当称这样的结构为一般空间。一般来说，这个联络是非和乐的，即展开依赖于基空间的曲线。换句话说，沿一条闭曲线作展开时，空间并不回到原来的位置，它的变差是由联络的曲率来度量的。显然，克莱因空间本身是一个曲率恒等于0的一般空间。

henryharry2 2011-08-08 14:42 在Klein制订埃尔朗根纲领时，已观察到黎曼几何并不包括在内，因为一个一般的黎曼空间除恒等变换外并不含有其他等长变换。从Cartan的观点来看，黎曼空间是一个以欧氏空间为纤维的空间，并且具有列维-齐维塔(Levi-Civita)联络；这解决了微分几何中的一个基础的问题，因为这样就有了一个概念，它包括了Klein空间、黎曼空间以及这两种空间的推广。 几何结构往往以一个非直观的形式给出。通常它或是一个由积分所定义的尺度，或是由一组微分方程所定义的子流形族。两个最熟悉的例子是黎曼尺度和由二阶常微分方程所定义的道路。在这样的空间定一个联络不是一个容易的问题。事实上，就是黎曼空间的列维-齐维塔联络的定义也已相当不平凡了。如所期望，道路空间几何学(E. Cartan、O. Veblen、T.Y. 托马斯) 涉及到射影联络。 这些发展就是通常所说的非黎曼几何。广义相对论中也有平行的发展。狭义相对论用于电磁场，广义相对论用于引力场，统一场论是两者的结合，它的需要是清楚。1918年，H. Weyl以他的规范场论走出了最初重要的一步。Weyl利用一个具有相似变换群的一般空间，但被发现它在物理上是站不住的。现在了解到，他的规范群不能是相似变换群所成的非紧致群，而是紧致的圆群。

henryharry2 2011-08-08 15:07 跟随Weyl之后，又提出了其他一些统一场理论，其中有Kaluza-Klein，爱因斯坦-梅耶(Mayer,1931)和维布伦(Oswald Veblen)的相对论的射影理论(1933)，维布伦的理论是四维的，但切射影空间有五维的齐次坐标，维布伦的射影理论在几何上是简单的，他的出发点是空间的路径，它们是带电粒子的轨线。维布伦的思想和我们的类似，我们进一步认为电荷是增广欧氏空间(反演平面+无穷远点)或射影空间中的无穷远点；这个观点为消除重正化中的无穷大打下了良好的基础。 爱因斯坦本人在他的整个晚年从事研究统一场论，经常有合作者。陈省身看到他的问题的极端困难以及数学与物理之间的区别。数学中有名的问题通常是已经提得很明确的，但在物理上，问题的提法也是问题的一部分。爱因斯坦对最后答案有一个严格的标准，他不满足于上面提到的建议，事实上也不满足于其他许多建议。他尝试各种可能为统一场论奠基的几何结构。在其中有： 1)、非对称张量(见《相对论的意义》，第5版，1955，附录II)； 2)、具有埃尔米特结构的四维复空间； 3)、比黎曼空间更一般的度量空间。一般度量空间的几何为K. 门杰(Menger)所建立与研究，对此，爱因斯坦的朋友K. 哥德尔(Gödel)给出重要贡献。

henryharry2 2011-08-08 15:19 在情况1中，度规唯一地分解为对称与反对称的两部分。如果前者非退化，则结构等价于一个具有二次外微分形式的拟黎曼结构。按照度规的对称部分的符号是++++或+++-，这个拟黎曼结构是黎曼式的或是洛伦兹式的。情况2是密切地与复代数流形及多复变函数有关，在最近数十年中，它们是大大地发展着的数学领域。同样是在外尔工作的激发之下，爱丁顿（A. S. Eddington, 1882-1944）在1921年建立了一种对称联络理论，该理论中里奇张量的对称和反对称部分分别扮演着度量和电磁场的角色。 亚瑟·斯坦利·爱丁顿爵士是著名的天体物理学家，他还以验证并热心宣传广义相对论而闻名于世。爱丁顿首次提出了一种基于仿射联络，而非广义相对论所集中讨论的度规张量作为基础结构场的引力扩展理论。仿射联络是矢量从时空流形中一点平行输运到另一点的基础；爱丁顿假设了仿射联络在协变下标下是对称的，这是由于将一个无穷小矢量在另一个无穷小矢量的方向上进行平行输运所得的结果，和反过来进行平行输运所得的结果应当是相同的。 爱丁顿的思想和我们的有一点类似，我们发现，里奇张量的对称和反对称部分分别扮演着牛顿引力场和电磁场的角色。另外，你还可以将其看成是极矢量和轴矢量之间的超对称性。也就是说，按照我们的方法改造，爱因斯坦和爱丁顿的思想的确是行的通的。广义相对论是非线性场，而庞加莱原理已经将广义相对论彻底线性化了，这样，在线性量子场论中，度规与联络是对偶的。而由对称场到反对称场的变换相当于量子场论中的Wick转动，这样，就为消除重正化中的无穷大背景打下了良好的基础。

henryharry2 2011-08-09 07:13 爱因斯坦之后的时代，广义相对论重视了整体理论(或大尺度时空)，在这方面有很大的进展。来源是宇宙论，爱因斯坦本人在这方面很活跃，但是整体微分几何的发展所起的影响是毫无疑义的。宇宙被视为一个四维连通的洛伦兹流形，物理与几何比以往更缠结在一起了。不过，纯粹的几何问题通常较简单，其中的两个原因是：几何学为毕达哥拉斯式的几何或黎曼几何，几何学家可以用假定的紧致性来理想化。 很自然地，要把一给定瞬时的数据记录成“数据集”，数据集是一个超曲面Σ，其上到处有类时的法线(因而诱导尺度为黎曼尺度)。这样四维流形的超曲面理论(它是古典曲面论的直接推广)在广义相对论中起了一定的作用。Σ的局部的不变量由两个二次微分形式即第一、第二基本形式给出。第二基本形式系数的迹称为平均曲率，平均曲率为零是极大超曲面的特征。另一方面，Σ上的诱导尺度有一个数量曲率，所有这些量均由高斯-柯达齐(Codazzi)方程联系。由爱因斯坦场方程推出，质量密度μ及动量密度J是第一、二基本形式系数及其协变导数的组合。因为动量密度必须不超过质量密度，用庞加莱原理的话说，Weyl引力永远不会超过牛顿引力。在极大超曲面上，数量曲率是非负的。 这也意味着奇点是不会产生的，奇点实际上是广义相对论的绝对时空观推导出来的一个怪胎。

henryharry2 2011-08-09 07:34 如果对某些紧致集C，Σ-C包含有限个连通分支，使得每个连通分支微分同胚于三维欧氏空间中一紧致的余集，并且它的尺度渐近，其中r是到原点的距离，那么相应的数据集称为渐近平坦的。在施瓦西尺度的情况，M符合于施瓦西质量，因为称为连通分支的总质量。正质量猜测为：对于一个渐近平坦的数据集，每个连通分支有总质量M≥0，并且如果一个M=0，则这个数据集是平坦的(即诱导黎曼尺度是平坦的，且第二基本形式是0)。这个猜测在广义相对论中具有根本的重要性。由于物理上的理由，爱因斯坦假定它是正确的。 在Σ是极大超曲面的假定下，1978年，R. Schoen与丘成桐最一般地证明了它。这个工作的全部经过是相对论学家与微分几何接触与合作的一个完美的例子。1973年在斯坦福大学举行的美国数学会微分几何暑期研究会上。R. Geroch被邀请作一系列广义相对论的报告。正质量猜测显然是未解决的问题之一。为使它的陈述简单化，格罗赫列出一些有引导性的猜测，其中一个如下：“在三维实数欧氏空间中，考察一个在紧致集之外是平坦的黎曼尺度，如果数量曲率≥0，则这尺度是平坦的。”将这紧致集围在一个大盒子中并把相对两面看作恒等(这让我们想起来，轴矢量的单重几何总是将对径点看作恒等)，J. Kazdan与F. Warner把猜测改写如下：“数量曲率≥0的三维环面上的黎曼尺度是平坦的。”格罗赫指出：“广泛地觉察到，证明了这些特殊情况中的几个，就可以推广到整体猜测的证明。”

henryharry2 2011-08-09 07:45 格罗赫的这个猜测落到微分几何的王国中；Schoen与丘成桐首先证明了它，证明的思想是利用闭的极小曲面。事实上，从面积的第二变分的公式可见，在一个具正数量曲率的三维紧致定向黎曼流形中，一个具有正亏格的闭极小曲面是不稳定的，就是说在微扰下它的面积还会变小。另一方面，三维环面有一个大的基本群(同构于ZÅZÅZ)，并且它的第二个Betti数等于3。这些拓扑性质应导出在非零的闭曲面同伦类中存在一个具有最小面积的闭正则曲面。这是下述结果的推广：在紧致黎曼流形上，每个非零的闭曲线同伦类中有一条最短的光滑闭测地线。对于极小曲面，相应结果的证明当然更为微妙。Schoen与丘成桐接着就证明了极大超曲面的正质量猜测。稍后这个结果被推广到高维去。 这些发展接触到极小曲面和正数量曲率流形，这些课题对微分几何学者来说是很亲切的。 极小曲面的早期研究集中于普拉托(Plateau)问题：给定三维实数欧氏空间中一闭曲线，要找出它所围成的面积最小的曲面。只是近年来，注意力才指向研究一个给定流形(例如n维欧氏空间或n维单位球)中的闭的或完备的极小曲面。这些研究推广了闭测地线的性质，它们在黎曼流形的几何学与拓扑学中已处于重要的地位。闭的与完备的极小曲面，特别是正则曲面，必须是一个更丰富的甚至更有趣的对象。将极大超曲面取为数据集是很自然的。最近，J. Sachs和K. Uhlenbeck证明了：一个紧致单连通的黎曼流形中总可浸入一个极小的二维球。

henryharry2 2011-08-09 08:06 1918年，H. Weyl在他的《引力和电》一文中提出了规范场理论。其思想是运用一个二次微分形式及一个线性微分形式φ来定义。但是这两个形式还容许规范变换：φ—○φ+dlog(λ)，这里φ是电磁势，它的外微分dφ是电磁场强度或法拉第(因为法拉第对电磁学的贡献，他的名字就用作电磁场强度)，为了体现线性量子场论的特点，我们用线性逻辑的“棒棒糖” —○代替了箭头，这是统一场论最初的尝试。 爱因斯坦反对二次微分形式的不定性，但对Weyl的建议的深刻与大胆表示了赞赏。如果我们将Weyl的理论解释为基于洛伦兹流形上的圆丛的几何学，则当时及其后的所有反对意见都会消失。于是容许规范变换的形式φ可以视为在圆丛上所定义的联络，并且二次微分形式保持不变，这就消除了爱因斯坦的反对意见。 规范场理论的数学基础在于向量丛及其上的联络。纤维丛或纤维空间的概念具有整体的特性，由拓扑而产生。最初它是寻找流形的新例子的一个尝试(H. Hotelling, 1925；H. Seifert,1932)。纤维空间是局部的乘积空间而不是整体的乘积空间，这种区别的存在是一个奥妙的数学事实。一直到发现了对纤维丛作出区别的不变量，甚至于证明了整体存在着非平凡的纤维丛时，纤维丛理论才得到发展。

henryharry2 2011-08-09 08:36 我们知道，核子中不但有吸引力场，实验证明核力还有一个排斥芯；很明显这种吸引与排斥都不是动态场，而是一种准静态场。这里你可以看出广义相对论的问题了，暗物质和暗能量的场类似于核子中的吸引与排斥场；例如，按照我们的分析，银河系中由暗物质(我们认为是光子)构成的场就是一种准静态场，暗物质和暗能量场都应该是准静态场，而广义相对论无法描述准静态场，只能描述动态场。 如果不考虑宇宙学常数，在时空上某点没有物质，那么这点的里奇张量为0。如果要考虑里奇张量和度量张量在每一点上成正比的情景：Rab=Cgab。在这里，C就是比例常数。这个常数几乎就是现在的物理学家嘴巴里经常嘟囔的宇宙学常数。满足这个关系的流形叫做爱因斯坦流形，这时候的度量gab就叫做爱因斯坦度量。 一开始，爱因斯坦方程是不带有宇宙项的，但后来爱因斯坦为了得到永恒不变的宇宙加入了宇宙项。爱因斯坦加了宇宙项以后，对自己所加上去的宇宙项的热情不断消退，但德西特教授把爱因斯坦方程放到最大对称的流形之上，就得到了德西特宇宙，这是一个没有物质只有宇宙学常数的时空，因此德西特宇宙也满足Rab=Cgab，其中C是常数，于是，事情就变得很有意思。

henryharry2 2011-08-09 08:47 在数学上，满足Rab=Cgab的流形就是爱因斯坦流形。很重要的一点，并不是任意流形上都能够赋予爱因斯坦度量，这是因为背后有拓扑限制，正如在紧致流形上不一定能赋予洛伦兹度量。所以，把一个四维球面当作一个“时空”是一件值得嘲笑的事，虽然霍金可以在虚时间里实现这个时空。在这个书里面，已经说过，“时空”要求其欧拉数为0，四维球面的欧拉数是2；简化量子场论中，将洛伦兹收缩都吸收到了齐次坐标轴上，从而是简单的四维转动群SO(4)群，可以形成爱因斯坦流形，天生就包含了瞬子解。爱因斯坦流形天然地吸引了数学家，因为它有很美的性质，比如它的无迹Ricci张量天然退化。这在四维流形和Seiberg-Witten理论研究中是一个方便的地方。 1994年，Seiberg和Witten证明了磁单极子的真空凝聚可以给出夸克禁闭效应。在N=2的超对称规范理论中，磁单极的性质随着理论中参数的变化，相互作用强度越来越大，磁单极子将转换成质量为0的粒子；也就是说，磁单极子的质量随真空态变化；在某些真空态下，会变成无质量的，从而可以产生磁单极子的凝聚。在电磁场的对偶理论中电荷与磁单极是相互对偶的；夸克禁闭可类比通常的超导现象，这时两个磁单极子可以结合成为一对给出质量的规范场而形成能隙，在类超导理论中，这就导致电通量禁闭；电通量是由带电夸克给出的，电通量的禁闭给出夸克禁闭。

henryharry2 2011-08-09 08:58 希钦（Hitchin）和Thorpe分别的工作对四维流形上爱因斯坦度量的存在给出了拓扑的限制，这个限制是一个不等式。这个拓扑限制对几何学家来说是自然的，但要证明他们不是一件简单的事情。对于相对论来说，对于爱因斯坦流形的数学兴趣不大，但德西特时空正是爱因斯坦流形，德西特时空对物理学家来说，却是一个巨大的蛋糕。 实际上发生的过程是轴单极子凝聚，所以Seiberg-Witten理论用于强相互作用并不合适。但我们发现将Seiberg-Witten理论用于原子核却可以得到一个非常有趣的模型。原子核中确实存在一种超对称性，只需假设核子与π介子的质量相同，从而费米子与玻色子(π介子)对偶——你看这就是传说中的超对称性——这与南部假设π介子质量为零的那个自发破缺理论是互补的。 实际上，由极矢量和轴矢量的对偶性、以及轴矢量的自对偶性，可以从数学上推导出超对称性。可以说，Seiberg-Witten理论只是一种空想；而我们的理论却得到了实验的证实。由电磁对偶性可以推导出轴单极子——不是磁单极子的存在，原因是极矢量和轴矢量服从不同的相对论，电荷是Lorentz标量，而轴单极子是保持质心不变的变换。原子核物理中，液滴模型、壳层模型中的极强的自旋-轨道耦合效应以及集体模型中的Jahn-Teller效应都是轴单极子凝聚产生的物理效应。

henryharry2 2011-08-09 09:13 广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。而相对论的历史发展却不能停止，当代还活着的广义相对论画家中，彭罗斯却一意孤行，有了很高的见地。从他的旋量手法出发，他几乎一个人做出了扭量（twistor），这是一个曲高和寡的计划。在扭量计划中，一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的，光线取代了时空点的地位。 会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候，画板竖立在面前，画家看到一对平行的铁路线，当在画在纸上的时候，所有跟铁路一起平行的线应该在纸上交于一个点的。光线是世界上最重要的因素。在前面已经看到，上帝说要有光，于是就有了光。同时，人类是有眼睛的生物，眼睛是最伟大的生物器官之一，眼睛能够对光线做傅里叶变换，使得我们看到的世界是五颜六色的。 人的眼睛是很重要的，这是审美的工具，也是这个世界有意义的大部分理由。一条光线从远处跑来，它一路经过了很多时空点，但在视网膜上仅仅是同一点。在扭量计划中，通俗地讲，视网膜相当于扭量空间。所以，眼睛是心灵的窗户，这句话背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认，但心灵上总是感觉空虚，这原因在于，多数废话背后没有数学的基础。

henryharry2 2011-08-09 09:20 在闵氏时空有一个点R，也称为一个事件（event），当选择好一个参考点作为原点后，需要（t，x，y，z）四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于一个原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后，有一个美丽的故事。对于三维矢量，矢量之间可以定义叉乘，矢量A和矢量B的叉乘的几何意义是以矢量A和矢量B为邻边的平行四边形的有向面积，方向与A和B都垂直。这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中，一个矢量和另外一个矢量的叉乘，得到的还是一个三维矢量。 威廉•哈密顿，历史上最伟大的数学家之一。1805年8月3日，他出生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现——总之，这一切全可以归结为哈密顿——雅可比方程。22岁时他大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人，换句话说，他从来不渴望与真理擦肩而过。 四元数是由哈密顿在 1843年爱尔兰发现的。在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是非相对论性自旋的泡利矩阵，有了泡利矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了泡利矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。另一方面，我们发现的左手以及右手螺旋群与四元数也是同构的。

henryharry2 2011-08-09 09:27 当时哈密顿正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。根据四元数的乘法表，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中,乘法是交换的,比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1×2=2×1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。 我们知道，SO(n)群中，只有SO(4)不是单李群。也只有在4维之上，霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。圈量子引力被人诟病，因为它不能回答为什么时空是4维的。在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑兹写了一本很薄的书，书的名字是《电子论》，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑兹力公式中出现了点乘与叉乘。

henryharry2 2011-08-09 09:35 我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘，但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？格拉斯曼（Grasmann）生于德国Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学，哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学。格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家——现在中国的很多中学教师，因为工作太辛苦，除了创造人类，已经几乎没有别的时间来发明新的数学。1844年格拉斯曼发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”（即有n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。格拉斯曼代数又叫外代数，超对称代数就是由庞加莱代数与外代数组成的。 柯里福德（clifford）代数已经是当代数学家讲旋量必须的出发点之一。n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间（含内积）上面的柯里福德代数具有相同维数，全部是2的n次方维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构的。但作为代数，它们不是一样的事情。柯里福德代数比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。 总的来说，外代数很重要，因为外微分很重要。柯里福德代数很重要，因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现柯里福德代数了。旋量最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与柯里福德代数关系密切。物理学家比如喀兴林教授编写的《高等量子力学》把狄拉克矩阵乘起来的16个矩阵叫做狄拉克群，其实这就是一个柯里福德代数。

henryharry2 2011-08-09 09:42 旋量具体来说就是n维度量空间上的正交群的表示。最简单的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，它也是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间，当维数为6时，SO(2,4)的旋量表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，那么扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？对应的关键在于把四个泡利矩阵写出来，然后把四矢量的第i个分量和第i个泡利矩阵相乘，求得得到一个4×4的矩阵。这个矩阵对数学家们是不陌生的，尤其是中国的数学家。 在这个对应方程里, Z0, Z1, Z2, Z3全是复数，所以一个扭量就是四个复数，扭量空间就是四维复平面，但考虑到等价类，就可以得到射影扭量空间，这与前面讲的电子自旋和黎曼球面是类似的。对应方程，顾名思义是把一个时空点对应成为一个扭量，一个时空点在射影空间中被对应为一个黎曼球面，一条光线在射影扭量空间中被对应为一个点。扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。 对对应方程求导一次，就可以得到扭量方程。在广义相对论中，光线是以光速运动的无质量粒子的世界线。而在扭量理论中，我们还可以考虑这个无质量粒子的自旋。对于多数人来说，光线意味着光明。对于搞光导纤维的物理学家来说，光线有不同的相位差，有不同的模式。对经典广义相对论学家来说，光线意味着光线在引力场中扭转，意味着光线可以取代时空点。我们认为，时空点代表牛顿引力，可以通过射影空间中的点-线对偶性将牛顿引力和代表Weyl张量的扭量理论对偶起来。

henryharry2 2011-08-09 09:54 相对论到底是什么呢？它一般被认为是以下三个理论：(1)时间和空间的理论；(2)能量和质量的理论；(3)引力与物质的理论。也许可以同时认为广义相对论是：(4)几何光学。几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说：光线从A点跑到B点，总花费最短的时间。这个费马原理是一种奇特的伟大，因为他用了一种上帝的语言。很多平面几何的题目可以由它迅速得到。甚至于最速降线的方程，也可以用光线在变折射率介质中的运动来求出。 一个长方体的长宽高分别是12，13，23。一个蚂蚁从底面的a点爬到侧面的b点，蚂蚁能爬的最短距离是多少。这个问题当然很简单，你可以把长方体的表面展开，成为一个平面。如果是圆柱面，这个问题同样可以解答。但如果是球面，就不是那么简单了，因为你无法把一个球面展平了，于是你想要去计算这个蚂蚁从球面上a点爬到b点所需要的最短距离的时候，你陷入了僵局。 这个僵局完全可以用几何光学来处理，你可以让光线在球面上传播，但是你知道光线很难沿着球面前进，如果可以，也许必然需要引力的作用，把光线限制在球面上——这大约就是相对论了。费马原理天生就是一个相对论的原理，原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲，光子跑过的时间乘上光的速度，总等于它走过的路程，无论在谁看来，全一样。 本书将强调光线在相对论中的独特作用，主要的参考文献是彭罗斯和林德勒的《旋量和时空》，这需要很漫长的时间来阐释。

henryharry2 2011-08-09 09:58 我们绕过爱因斯坦，直接找到了彭罗斯。在相对论历史上，存在一个彭罗斯主义，这个主义的基本出发点是：“在四维时空，几何光线的切矢量是类光矢量，二分量旋量正好是类光矢量的平方根”。 [attachment=1088] （图片：类光矢量是二分量旋量的平方 李广霞/画） 二分量旋量就是彭罗斯的广义相对论。广义相对论中，虽然几何学反映物质的分布，但几何里含有更多的信息，这更多的信息就是引力。因为引力就是黎曼曲率，但黎曼曲率中真正反映物质的自由度的是里奇张量，而反映引力自由度的是Weyl张量。总之，现在需要知道：(1)二分量旋量正好是类光矢量的平方根；(2)可以把所有的曲率张量写成简洁优美的二分量旋量形式。

henryharry2 2011-08-09 10:10 时空结构是由物质分布决定的，但它可以通过上面的类光测地线的性质来描述。哥腾伯格-塞司(Goldberg-Sachs)定理从类光测地线汇可以推论出Weyl张量的代数性质。塞司是一个相对论学家，他和一个华人数学家伍洪熙合写了一本相对论的书，书名叫《给数学家讲广义相对论》。Goldberg-Sachs定理是一个代数定理，它涉及Weyl张量的代数性质。因为Weyl张量是一个具有四个指标的张量，比较复杂。我们可以首先看看比较简单的电磁张量Fab，Fab具有2个指标，是一个2形式场。 先不考虑弯曲时空，在平坦时空上一个电磁场，它的电场和磁场可以组成一个4乘4的反对称矩阵。这个4乘4的反对称矩阵，就是电磁张量在坐标系下的表现。众所周知，一个点电荷的静电场在另外一个有速度的观察者看来，不但有电场，还有磁场。但我们知道，无论这个运动的观察者的速度有大，他不可能只看到磁场不看到电场。这就是一个重要的结论，在洛仑兹变换下，电场的平方减去磁场的平方是一个洛仑兹不变量。这个不变量可以用电磁张量的自我缩并来实现。 张量的自我缩并是一个标量，天生就具有洛仑兹不变性，也就是说，这个结果是不依赖于观察者的。因此，电场和磁场是依赖于观察者的，而它们组成的电磁张量是一个绝对客观的东西。为了得到另外一个不依赖于观察者的量，但我们先要介绍一个概念，那就是霍奇对偶。

henryharry2 2011-08-09 10:20 霍奇对偶是微分几何里的重要的概念，它总是在m维流形上定义，把一个p形式对应为一个（m-p）形式。在4维中，因为电磁场是2形式，因此其对偶形式也是2形式。这就有意想不到的好处。因此，某个4乘4的反对称矩阵，就是电磁张量在坐标系下的表现。如果你交换矩阵中电场和磁场的位置，再适当添加负号，就可以得到这个电磁张量的对偶张量在坐标系下的表现。 做完这些，你有了2个4乘4的反对称矩阵。你把它们分别叫做矩阵甲和矩阵乙。现在你可以让矩阵甲和矩阵乙相乘，然后取结果矩阵的迹。这就是一个另外的洛仑兹不变量：电场和磁场的乘积。那么我们之前的不变量——电场的平方减去磁场的平方是什么呢？它不是别的东西，正是矩阵甲和矩阵甲相乘以后取结果矩阵的迹。因此，我们得到了电磁场的2个洛仑兹不变量： 1．电场的平方减去磁场的平方。2．电场和磁场的乘积。 物理学家关心的是那些不依赖于观察者的东西，所有这些跟参考系无关的物理量，称为张量。电场和磁场可以相互转化，但它们作为一个整体，就是电磁场强张量。那么，考虑本征方程如下：F A=f A ，如果矢量A存在的话，显然A是一个类光矢量，本征值f是非零的复数。这无非是说，如果把电磁场强张量看成一个矩阵的话，那么它有特征向量，这个特征向量的长度是0，或者说零模矢量，类光矢量。

henryharry2 2011-08-09 10:34 因此来一个简单的总结，电磁场张量Fab它有一个对偶场，当然就是霍奇（hodge）对偶*算子作用一下。因为时空是4维的，所以Fab对偶场*Fab也是一个2形式场。再次用霍奇（hodge）对偶*算子作用一下*Fab，我们得到一个非常重要的自对偶瞬子方程**Fab=-Fab。由此可见在平坦时空上霍奇*算子的平方的特征值是-1。所以*算子的特征值是+i或者-i。这预示了，量子化以后，电磁场光子的螺旋度是s=1。霍奇（hodge）对偶*算子正好是螺旋度算子。 所有的代数结论全可以用旋量语言重新描述。从几何光学到电磁张量的历史变迁吸引了很多人。引力场和电磁场是2种长程力，把它们几何化的尝试在爱因斯坦的最后岁月里一直没有中止。虽然爱因斯坦得诺贝尔奖的原因在于光的粒子性，但他一辈子最希望实现的是把光子融入几何化的背景里。 粗略地说，潮汐力量起源于外尔张量，外尔张量是黎曼曲率张量的一部分。因为黎曼曲率可以被分解。彭罗斯把这分解写成科普的形式，让大家很容易记住：黎曼=里奇+Weyl。电梯里的一个气球，会被引力的潮汐力(Weyl张量)拉成一个椭球面，原因是引力场不是完全均匀的。里奇张量在引力场中的效果是使得物体朝引力源下落，而Weyl张量使得物体被拉伸，或者扭曲——这个就是潮汐力，它不是牛顿引力那样的平方反比的，而立方反比。当然这是在四维时空中的情景，假如在二维或者三维时空中(当爱因斯坦方程成立)，Weyl张量是不存在的。

henryharry2 2011-08-09 10:54 一般说来，从相对论的角度大体可以把微分几何分成以下四块： 1、张量场；2、微分形式；3、旋量分析；4、偏微分方程和泛函分析。 里奇在第一块领域做出重要的业绩。而第二块领域的鼻祖是嘉当，陈省身。第三块领域的鼻祖当然就是彭罗斯，虽然欧拉曾经在三维空间引进旋量，而嘉当在四维时空引进了旋量。第四块领域，当然是首推丘成桐。里奇张量是黎曼张量中的含迹部分。而外尔张量则为黎曼张量中的不含迹部分。 这里，我们要讨论一下里奇张量。你还记得，用爱丁顿的方法，我们可以将里奇分解成：里奇=反对称+对称，反对称相当于电磁场强张量，我们将对称部分等同于牛顿引力场强。这样，利用点-线对偶性，我们就可以解释引力的光线偏折现象，将引力的光线偏折一半归因于引力电、一半归因于引力磁效应。其实，利用点-线对偶性还可以解决扭量理论的一个大问题，即扭量与广义相对论到底是什么关系？现在我们利用两种线性引力场(地球人都知道：牛顿引力场当然是线性场；扭量理论也是一种将Weyl张量线性化的场)也可以解释广义相对论预言的所有效应；另一方面我们认为，既然扭量理论已经发展到了射影空间，不利用一下射影空间的点-线对偶性简直是一种浪费。这里，牛顿扮演着点的角色，而彭罗斯的线汇扮演着线的角色。换句话说，我们得到了经典引力和量子引力世界里最重要的公式： 牛顿+彭罗斯=爱因斯坦。

henryharry2 2011-08-11 14:37 现在我们来看看，对于伽利略于1638年引入的动力学框架来说，什么样的时空概念是适当的。但愿我们能把伽利略相对性原理结合进时空图像里。我们来看看这条原理是怎么叙述的。最好的方法就是援引伽利略本人的叙述的译文节选，我建立懂原文的读者去查看一下这段引文的全部： 将你自己、一位朋友和几只苍蝇、蝴蝶或其他会飞的小动物一并关在一艘大般的甲板下的船舱内……天花板上吊一只瓶子，使瓶内液滴逐滴滴入正下方的容器内……让船以任意速度匀速地行驶并保证没有任何速度快慢上的波动……尽管液滴在空中下落的过程中船已向前行驶了一段距离，但液滴还是落入下方的容器内，丝毫不偏向船尾……蝴蝶和苍蝇仍是无拘无束地飞向各个地方，看不出任何因疲劳跟不上船的行驶而向船尾集中的迹象…… 这里伽利略告诉我们的是，在任何匀速运动的参照系下，动力学规律都精确地一致。(这是他笃信哥白尼学说的基本信条，这个学说认为，与早先亚里士多德理论的地球必须保持静态的认识相反，地球始终处于运动中，不论我们是否注意到这一点。) 没什么东西可以将静态下的物理与匀速运动状态下的物理区分开来。由此我们知道，说一个特定空间点在以后的时间里还是不是选定的空间同一点，这在动力学上毫无意义。换句话说，在这里用银幕类比并不恰当！不存在时间演化中保持不变的背景空间——“银幕”。

henryharry2 2011-08-11 15:00 为了更有力地说明这个问题，我们来考虑地球的转动。按这种运动，地表上(譬如说，在北京所在位置的纬度上)某一固定点每分钟约移动17公里。相应地，我们刚刚选定的点p现在将被移至邻近的通县的附近或更远。但且慢！我这里还没将地球的绕日运动考虑进去。如果考虑这种运动，那么我们发现p点会远出去一百多倍距离，而且是在相反方向(因为在午后，地表上该点的运动方向与地球公转方向相反)，同时地球离开p点是如此遥远以至p点已移出地球的大气层！但是我是否应该考虑太阳绕银河系中心的运动？或考虑所谓银河系本身在本星系群内的“自行”？或考虑本星系群关于室女星团中心的运动(前者只是后者中的一小部分)，还有室女星团相对于巨大的后发超级星系团的运动，甚至后发星系团向“巨引力源”的移动？显然，我们应当认真对待伽利略理论。所谓空间一特定点过了一分钟后还是我们所选定的同一空间点这种概念没有任何意义。 地球的公转速度是每秒30公里，太阳绕银河系的公转速度是每秒220公里……，你会发现速度似乎越来越快；爱因斯坦早年有个直觉，认为宇宙中的万物都在绕着苍穹下某个巨大的引力源旋转。事实上，正是通过与旋转木马的类比，爱因斯坦发现了广义相对论。如果我们以极高的速度绕着宇宙的某个中心旋转，那么一点也不奇怪；按照爱因斯坦早期的宇宙模型，宇宙有一个中心，当然宇宙的中心并不在宇宙之内，正如三维球面的中心并不在三维球面之内一样。如果你相信宇宙大爆炸理论，那么宇宙的中心有可能就是那个大爆炸的奇点，但是我们并不相信宇宙大爆炸理论；按照我们的准稳恒态宇宙观，哈勃红移的真实起因正是如此，因为光子感受到的引力是有质量物体的一倍——哈勃红移是引力红移。

henryharry2 2011-08-13 06:48 时空弯曲的程度，是由于宇宙中物质的分布所决定的：一个区域内的物质密度越大，时空的曲率也就越大。这样太阳附近的时空就要比地球附近弯曲得利害，因为太阳的质量要大得多。广义相对论的宇宙中，引力已不再像以前我们理解的那样是一种力，它已经被转化到时空的几何（曲率）中去了。用爱因斯坦的新观点来看，可以说，引力产生于从狭义相对论的平直空间到广义相对论的弯曲空间的转换之中。 第一个例子是有关水星——它是离太阳最近的行星——轨道的一个很小但很重要的细节。虽然爱因斯坦在推导相对论的时候，几乎没有考虑到这个问题，但它却成了对他的新理论的一次辉煌验证。按照牛顿力学，一个单独绕太阳运转的行星，它的轨道应当是一个精确的闭合椭圆，并且轨道的近日点也是固定的（近日点是行星轨道上离太阳最近的一点）。但是水星轨道的问题是，它的近日点不是固定的。其它行星的引力，以及太阳系里小行星带的引力，加在一起使水星轨道受到一个很小的附加影响，它使得轨道产生进动，亦即近日点随着时间逐渐“前移”，在三百万年内移动一周。但是，除了所有已知的引力影响外，还有一个完全解释不了的附加进动——所以称为“异常进动”——根据天文学家们的观测，它仅仅是每世纪43 弧秒。在爱因斯坦以前，这个异常进动被认为是由一颗未被发现的行星引起的。但是爱因斯坦用广义相对论产生的时空曲率，算出了这个附加的进动值，正好是每世纪43 弧秒。近来，其它一些行星的这种近日点“异常”进动也被测量出了。在观测误差范围之内，它们的值也同样与广义相对论算出的值相吻合。

henryharry2 2011-08-13 06:54 这样，我们对一些日常事件的看法，例如像对苹果落地这样的事件，就从根本上改变了。与其把引力想象成为某种神秘的力，经过空间作用在一段距离上，倒不如设想，像地球这样的大质量物体，使空间和时间发生了畸变。为了对这个说法有一个直观的了解，一个简单的办法，是把时空想象成一张平展的橡胶软垫。大质量的物体放上去，会使橡胶垫发生局部变形，变形的程度决定于物体的质量。太阳在我们太阳系中，质量远大于其它任何行星，所以它使时空畸变得最厉害。行星可以用大小不等的球来代表，这些球在橡胶垫上围绕太阳滚动，球滚动的路径也就是行星的轨道，它们都位于太阳附近的深“阱”之中。从树上掉下来的苹果，不是被一个力拉向地球，而只不过是滚进地球所造成的局部时空的“阱”里面罢了。 [attachment=1091] 图7 入射光线掠过一个恒星边缘时会发生偏折，总的偏转角度是2φ（对于太阳来说，φ的值是1.”75，这是通过比较日全食时的恒星位置和它们已知的位置而得到的，最近根据与太阳大致在一条线上的类星体的观测，也得到了同样的值）。[录自W·仑德勒《相对论精义》第147 页。]

henryharry2 2011-08-13 07:00 爱因斯坦马上算出来的第二个结果，是他在完成广义相对论之前就曾预期的一个效应。这就是光的轨迹被物质所弯曲。从狭义相对论以及它的基本原理之一——即光速对所有观测者都相同，不论他们的速度如何——可以得出一个推论，这就是能量和质量等效。这样一来，一束光的能量就对应着一定的质量，也就可以受到其它物质的引力作用。因此，在一个大质量天体的附近，例如在一颗恒星的附近，光线就会发生弯曲。以前，爱因斯坦也计算过遥远的星光在太阳附近发生的偏折角度，但当时他根据的，是某种狭义相对论和广义相对论的混合方法，其中时空仍然假设是平直的。现在他把这重新计算了一遍，但是应用了时空的曲率。他发现新的结果正好是原来结果的两倍。现在光线必须沿着弯曲时空中的测地线传播了。 我们发现，引力的光线偏折效应也可以用线性量子场论中的点-线对偶性来解释，这里引力电扮演点的角色，引力磁扮演线的角色；也就是说，可以用轴矢量场的自对偶性来解释。其实，自对偶性是比较普遍的现象，例如，没有源的电磁场，电场和磁场就是对偶的；扭量理论的一个重要的原始动机也是自对偶性。如果用线性场同样可以解释一个现象，相信没有人会喜欢再用非线性场来解释。 在他晚年的时候，爱丁顿把这个对于广义相对论的验证，看作是他一生中最伟大的时刻。他的这个观测，也使爱因斯坦一下子在国际上赢得了声望。

henryharry2 2011-08-13 07:01 是英国的爱丁顿帮助验证了爱因斯坦理论的第二个预言。当爱丁顿从中立国荷兰的德西特那里第一次听到爱因斯坦在柏林的工作后，他不顾当时英国和德国已经处于交战状态，就为验证这一理论作出了自己的贡献。他是教友派的信徒，这个教派从道义上反对战争，因而他被准许免服兵役，条件是继续从事他的科学研究，特别是准备监测一次即将到来的日食。1919 年的这次日食，能够观测到星光从太阳近旁经过，因而可以测定光线是否发生了弯曲。通常情况下，太阳光的强烈照射使我们看不到星光。然而，从几内亚湾的普林西比岛回来以后——在那里可以对日食作最好的记录，除非是遇到坏天气——爱丁顿在皇家天文学会的一次聚餐会上，模仿奥玛·哈央姆的诗体，即席朗诵道： 噢，把我们的测量留给智者去评判吧， 但至少有一件事已经搞清——光是有重量的； 尽管其余的事还在争论，有一件事已毫无疑问—— 光线靠近太阳的时候，并不是直线前进！

henryharry2 2011-08-13 10:42 最早的这种不变量是H. Whitney及E. Stiefel在1935年引进的示性类。纤维丛的拓扑研究放弃了代数结构，但是在应用上，具有线性结构的向量丛却更为有用。粗糙地说，流形M上的一个向量丛π：E→M是一族向量空间，它们由M所参数化，使得从局部来看它是一个乘积。对应于x∈M的向量空间称为点x的纤维。例子是M的切丛以及联系在其上的所有的张量丛。一个更平凡的丛是乘积丛M×V，其中V是一个固定的向量空间，而(x, V), x∈M，是在x点的纤维。一个向量丛被称为实的或复的是按照纤维是实的或复的向量空间而定，它的维数就是纤维的维数。 重要的一点是，纤维上的线性结构保持着一种意义，使完全线性群对纤维的连接起着基本的作用，这个群称为结构群。如果纤维上已给一个内积，则一个实(或复)向量丛称为黎曼型(或埃尔米特型)的。在这种情形，结构群约为O(n)或U(n)，n是纤维的维数，这个丛称为O(n)丛或U(n)丛，类似地，还有SU(n)丛这个概念。 对于每点x∈M，连续且光滑地附上纤维的一点，称为丛E的一个截面。换言之，截面是一个连续映照s：M→E，使得π•s是恒等映照；很明显，由动态重正化可以做到这一点。这个概念是向量值函数与切向量场的一个自然的推广。为了对s进行微分，我们需要在E上有一个“联络”。这样就能定义协变导数(X是M上的一个向量场)，它是E上的一个新的截面。

henryharry2 2011-08-13 10:51 协变微分一般是不可交换的，对这个不可交换性加以“度量”，给出了联络的曲率，这是非和乐的几何概念的一个解析的形态。根据E. Cartan，将曲率当为矩阵值的二次外微分形式是重要的。它的迹是一个闭的2-形式。更一般地，它的所有k阶主子式之和是一个闭的2k-形式，它被称为示性形式，按照丛是实的或复的分别是庞特里亚金(Pontrjagin)形式或陈省身形式。根据de Rham理论，2k次的示性形式决定一个维数为2k的上同调类，因而称为示性类。 示性形式依赖于联络，但是示性类只依赖于丛。它们是丛上最简单的整体不变量。向量丛的非平凡性需要通过协变微分来认识，它们的不可交换性解释了最初的整体不变量，这一定是自然界的作用。示性类的这样的导出强调了它的局部性质，且示性形式比示性类包含更多的信息。当M是一个有定向的紧致流形时，最高维数的示性类(即其维数等于M的维数)的积分给出了示性类。当它是一个整数时，被称为一个拓扑的量子数。 人们发现，某些微分几何概念很可能是统一场论的数学基础。Weyl的规范理论处理圆丛或U(1)丛，也就是一维的复埃尔米特丛。在研究同位旋量时，杨-Mills所用的本质上是SU(2)丛的一个联络。这是非阿贝尔规范场理论的第一个实例；从联络可以定义作用量。

henryharry2 2011-08-13 10:56 四维欧氏空间上的SU(2)丛中使作用量取最小值的联络被称为瞬子；它的曲率有一个简单的表达式，称为自对偶关系。从而瞬子是杨-Mills方程的自对偶解。当四维实数欧氏空间紧致化为四维球时，SU(2)丛除了一个同构外由一个拓扑量子数k(k是整数)决定。Atiyah、希钦和Singer证明，对于给定的拓扑量子数k>0，四维球上曲率自对偶的联络的集合(称为模或参数空间)是一个光滑流形，其维数是8k-3。用物理术语来说，这就是拓扑量子数大于零的瞬子空间的维数。 Atiyah和Ward注意到，自对偶的杨-Mills场可以很好地纳入彭罗斯的扭量方案。他们把求所有自对偶解的问题转化为代数几何问题：在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题。这个问题已由K.巴思(Barth)、G.霍罗克斯(Horrocks)等人非常接近地研究过了，用了他们的结果，可以最终地找出所有自对偶解。事实上，回到物理，这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式。 瞬子通过以下的结果表明它和爱因斯坦的关系；群SO(4)局部同构于SU(2)╳SU(2)，所以四维黎曼流形M上的黎曼度量通过投影给出一个SU(2)丛的联络。依投影的方法而区分，M为爱因斯坦流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶。

henryharry2 2011-08-13 11:11 SO(4)群的覆盖群是瞬子解用到的SU(2)╳SU(2)’群，要紧的是需要将对径点看成是同一个点，也就是需要同时考虑介子的正能态和负能态。我们需要指出的是，丛和联络这两个几何概念是非常简洁的，我们相信爱因斯坦会喜欢它们。包括弱和强相互作用在内的一个令人满意的统一场论是否能通过非交换规范场论做出？这还有待研究。 作为非本门的学者，陈省身表示了他的希望：广义相对论将不局限于引力场。一个总体的统一场论，否认它将会是什么样的理论，一定会接近于爱因斯坦的宏伟计划，现在已经有了更多的数学概念和工具可以利用。 我们发现，可以利用杨-Mills理论相反的方向对Maxwell理论进行拓展，即首先从表示极矢量与轴矢量对偶性的SU(2)╳U(1)群开始，此处这个群是由共轭波函数(例如E± iB)直接导出的；由于共轭波函数是直接量子化的，因此，线性规范场已经是量子化的；这与杨-Mills场相反，杨-Mills场是先有场，然而再量子化。另一方面，杨-Mills场是非线性场，通过扭量将其线性化；而在线性量子规范场中，我们通过轴矢量场的自对偶性已经将SU(2)╳U(1)群线性化了；从这个意义上说，线性量子规范场与杨-Mills场的线性化顺序也是相反的。

henryharry2 2011-08-13 11:40 坐标z和w(=1/z)给出了两个覆盖黎曼球面的拼块。单位圆变成了球的赤道面，圆环现在成了赤道面的“项圈”。我们把劈裂的F(z)看成是两部分的和，一部分全纯地扩展到南半球——称为F(z)的正频率部分——并加上所选的常数项；另一部分全纯地扩展到北半球——称为F(z)的负频率部分——并加上常数项的剩余部分。如果我们忽略掉常数项，那么这个劈裂就唯一地取决于向两半球扩展的全纯性要求。 这么做常常是方便的：我们用画在黎曼球面上的圆(或其他闭曲线)的取向来指称圆的“内”或“外”。单位圆在z平面上的标准取向是按标准θ-坐标增加的方向即逆时针方向为正方向的。如果我们颠倒这个取向(例如用-θ取代θ)，则正、负频率发生交换。一般闭环的取向约定也与此一致。如果“钟面”处于环内，则取向是逆时针的；反之，如果“钟面”处于环外，则取向是顺时针的。这种约定规定了有向闭环的“内”和“外”。 我们将看到，函数剖分为正、负两个频率部分这一点对量子理论至关重要，特别是对量子场论。我这里给出的具体公式并不是这种频率剖分的最常见形式，但它在许多不同场合(特别是在旋量理论中)有莫大的好处。常用公式并不像关心傅里叶那样直接关心全纯性的扩张。正频率部分通常由exp(-inχ)的倍数给定，这里n为正。相反，exp(inχ)的倍数给出负频率部分。正频率函数完全由正频率分量组成。

henryharry2 2011-08-13 14:11 然而，这种描述并未完全反映出频率剖分的全部内容。有许多黎曼球面到自身的全纯映射，它们将每个半球映射到自身，但却不保北极或南极点(即z=0或z=∞的点)。这些映射保正/负频率剖分，但不保单个的傅里叶分量exp(-inχ)或exp(inχ)。因此，剖分为正、负频率的问题(对量子理论至为关键)是比挑出单个傅里叶分量更为一般的概念。 在通常的量子力学讨论中，正/负频率剖分涉及的是时间t的函数，我们一般并不把时间看成是走过一个圆，但我们可以用简单的变换从χ绕圆行一圈来得到t的整个范围：从“过去的极限”t=-∞到“未来的极限”t=∞。这里我将χ的取值范围规定为两极限χ=-π和χ=π之间区域，因此z=exp(iχ)按逆时针方向行遍复平面上整个单位圆，从z=-1出发最后又回到z=-1。这样的变换可由下式给出t=tan(χ/2)。 这个特殊变换的一个好处是它全纯地扩展到了整个黎曼球面，我们前面就考虑过这个变换，它把单位圆(z平面)变成实直线。z平面上单位圆的内部对应于t平面的上半部，z单位圆的外部对应于t平面的下半部。因此，t的正频率函数是那些全纯扩展到t的下半平面的函数，负频率函数则全纯扩展到t的上半平面。但技术上有一点需要额外考虑，这就是t平面的“∞”。但如果我们是在黎曼球面上考虑问题，而不是在复t平面上考虑问题，则这一点很容易处理。例如，将这一点当作无穷远点。

henryharry2 2011-08-13 14:57 现在我们回到那条最终促使我们在相对论量子理论中提出反粒子要求的道路上来。我们需要比以往更深刻的视角来检验量子理论的框架。首先，我们回顾一下薛定谔方程的基本形式，假定我们要求量子系统有确定的能量值E，使得ψ是本征值E的能量本征态；就是说(因为Ĥ是定义在系统总能量上的算符)，我们要求Ĥψ=Eψ。 按照量子力学的R过程，这种态ψ是我们对系统进行测量的结果，这种测量要求回答的是“你的能量是什么？”问题，得到的具体答案是“E”。于是薛定谔方程的解的形式为：ψ=Cexp(-iEt/ħ)，这里C是与时间t无关的量(例如，仅为空间变量的复函数)。现在，能量E为正数很重要。在量子力学里负能态往往“不是好事”，它们会导致灾难性的不稳定性。 如果能量E确为正的，则Cexp(-iEt/ħ)的指数中t的系数-iE/ħ为i的负整数倍，这种性质的函数ψ(t)或这类函数的线性组合都具有正频率(这有点儿让人迷惑)。从黎曼球面的频率剖分我们可知，一个(实变量x)函数f(x)可按完全不同的方式(即根据黎曼球面几何)剖分为正的和负的频率分支。这里我们可以将它作为一种优美的纯数学对象来处理。

henryharry2 2011-08-13 14:58 为什么在哈密顿量上加上一个常数K就能够起到使薛定谔方程的所有解都乘以同一个因子的效果。找出这个因子。假定我们考虑的是量子系统的引力效应，它会从根本上影响到量子动力学吗？为什么在些条件下我们不能简单地用这种方法“重正化”能量。实线相当于绕黎曼球面一周的赤道线，函数f的正频率部分可理解为全纯地扩展到整个南半球的部分，负频率部分对应于北半球部分。但现在我们对这个极为重要的概念有了相当好的物理上的理由。 任何“自尊的”波函数，虽然其本身不必是能量的本征态，都应能表示为能量本征态的线形组合，每个能量本征值都应当是正的。这样，任何“体面的”波函数都应具有这种至关重要的正频率特性。在我看来，基本的物理机制要求与优美的数学性质这两方面的显著的联系，正是高深的数学概念与我们这个宇宙内部机制之间那种深奥的、微妙的、乃至神秘的关系的突出例证。 在非相对论量子力学里，只要哈密顿量是出自合理的物理问题(其中经典能量是正的)，作为理论的自然本性，这种正频率要求大都能自动实现。例如，对(正)质量μ的单个的自由的非相对论(无自旋)粒子情形。表达式p平方以及哈密顿量Ĥ本身是所谓“正定的”。从经典的观点看，所以如此是因为p平方是一平方和，它不可能是负的。而在量子力学里，我们必须用p=-iħ▽取代p，现在“正定性”指的是算符的本征值(对归一化态，就是适当Hilbert空间的元素)，这些也不可能是负的，其理由与经典情形本质上一样。

henryharry2 2011-08-13 15:09 对费米子情形，这些反对易法则正好与Clifford代数法一致。唯一的基本区别就在于普通的Clifford代数是有限维的，而对于费米子场，产生算符和湮没算符的空间则是无限维的——单粒子波函数是无限的。不过读者应当明白，尽管无限维空间在很多方面与有限维空间情形相似，但仍有着非常不同的性质，而且常常更难于处理。 有意思的是，量子场论体系还用到我们前面考虑过的某种有限维代数结构的无限维版本。例如标积<|>就是Hilbert标量积的无限维形式。事实上，在量子场论中，我们发现不止是“埃尔米特形式”(幺正性)，而且对称形式(“伪正交性”)、反对称(辛)形式和复结构也都有类似性质。普通有限维的伪正交形式和辛形式。量子场论中如何产生(无限维)复结构，这一点特别有意义。 我们已看到，复数、全纯函数和复矢量空间在量子力学(从而在我们的宇宙结构)中具有重要的作用。但在量子场论研究中，具有相同地位的无限维复结构似乎与早先的这些复数魔方有着不一样(尽管有关)的作用。这里仅仅宣称量子力学的Hilbert空间是复的(即量子叠加具有复系数)是远远不够的。我们来看看这里还有什么。让我们回顾一下，我们是如何引入一个复结构概念的。n维复矢量空间可看成是2n维的实矢量空间，其中运算J满足J平方=-1，它对2n维实空间的作用相当于n维复空间上的“乘i运算”。对于量子场论的无限维情形，我们必须找到一条由经典场过渡到量子场的途径。

henryharry2 2011-08-13 15:28 将电磁场作为模型铭记在心是有用的。这里，Maxwell方程的线性性质使问题变得简单了。自由Maxwell方程(设立适当的在无穷远处衰减到零的条件使得相关积分收敛)的解空间F是一个无限维实矢量空间。我们可以将Maxwell方程的每个解表示为正频率解和负频率解之和：F=正频率解+负频率解。将解分成正、负频率对于构造恰当的QFT具有重要意义。实际上用共轭波函数E±iB也可以实现正/负频率的剖分，而且你可以看的出来，共轭波函数与John克雷默的量子力学互动解释是相容的。 运算J将这个无限维实矢量空间F变换为(无限维)复矢量空间，同时也给出了正/负频率部分的方法。它是按下述方式作用到每个自由Maxwell场F做到这一点的：J(F)=i正频率–i负频率。J的本征值为i的本征态是正频率(复)场，本征值为-i的本征态则是负频率场。正频率场提供由产生算符引入的单光子波函数。如有必要，同样存在明确的可用于归一化态的标积表达式(这涉及下述这种表达式的三维类空曲面上的积分，这个表达式包括Maxwell场分量与Maxwell势分量的乘积)。 截至目前，我都是用粒子/波函数语言来描述事情，但我们所需知道如何直接从经典场迈向量子场，似乎用共轭波函数直接量子化是最快捷的方法。另一些经典场可做类似处理，但当“自由场方程”不是线性的时候(例如像广义相对论)，深刻的差别就出现了。我们可以将非线性场称为“自相互作用”场，并将由此出现的困难归结为对含相互作用的情形进行量子化所带来的问题，很快我们就会遇到这种问题。

henryharry2 2011-08-17 09:38 让我首先对史蒂芬上回讲演作点评论。 猫的经典性。史蒂芬论证道，由于时空的一定区域不能触及，我们被迫使用密度矩阵的描述。然而，这不足以解释在我们区域观察的经典性质。对应于找到或者一只薛定谔活猫│薛定谔活猫〉或者一只薛定谔死猫│薛定谔死猫〉的密度矩阵和描述以下两种叠加的混合的密度矩阵相同 (│薛定谔活猫)＋│薛定谔死猫〉)/√2,和(│薛定谔活猫)-│薛定谔死猫〉)/√2。 这样，密度矩阵本身不能说，我们不是看到活猫便是死猫，或者是这两种叠加之一种。正如我试图在上一次讲演末尾所论证的，我们需要更多的。事实上，我们还有一个辩证唯物主义版本的(│薛定谔鸡〉＋│薛定谔蛋〉)/√2,和(│薛定谔鸡〉-│薛定谔蛋〉)/√2。大自然总是懂得废物利用的，假如大草原上真的有一只野猫死掉了，它的尸体会成为别的动物的食物，生命仍然得以另外一种方式延续。

henryharry2 2011-08-17 09:44 量子场论中使用欧几里得化的真正根源在何处呢？量子场论需要把场论分解成正频和负频部分。前者沿时间前进方向传播，而后者向后传播。为了得到理论的传播子，人们需要一种把正频率(也就是正能)部分挑出来的办法。扭量理论是完成这种分解的一个不同的框架——事实上，这种分解正是扭量的一个重要的原始动机(见彭罗斯1986)。 为了仔细地解释，让我们首先考虑作为量子理论基础的复数，我们将会发现复数结构也是时空结构的基础。这些就是z=x+iy 形式的数，这儿x，y 为实数，而i 满足i平方=-1，把这种数的集合表为C。人们可以在一个平面(复平面)上把这些数表达出来，或者如果加上无限远的一点，则可在一个球面(黎曼球)上表达出来。这个球面在数学的许多领域，例如分析和几何中，是非常有用的概念，在物理学中也是如此。该球面可被投影到一个平面(和在无限远的一点)上。取一个通过球面赤道的平面，并把球面上的任意点和南极相连。这根线和平面的交点E 是它在平面上的对应点。注意：在这个映射下北极跑到原点，南极跑到无限远，而实轴被映射到通过南北二极的一个垂直的圆周。我们可以旋转球面使实轴对应于赤道，我在此刻便采用这样的习惯（见图6.1）。

henryharry2 2011-08-17 09:46 假定我们有一个实变量x 的复值函数f(x)。从上面得知，我们可以把f 认为是一个在赤道上定义的函数。这种观点的一个优点是，存在一个决定f 为正频还是负频的自然判据：如果f(x)可在北半球上被解析开拓，则它是一个正频函数，而它若可在南半球上被开拓，则是一个负频函数。一个一般函数可分解成正负频部分。扭量理论的观念是以全局的方式把这个技术用到时空本身上去。在闵可夫斯基时空上给出一个场，我们要把它类似地分解成正负频部分。我们将要建立扭量空间，作为理解这个分解的途径(见彭罗斯和林德勒1986 以及休格特和托德1985，以对扭量有更多了解)。 [attachment=1107] 图6.1 黎曼球代表所有复数以及∞。

henryharry2 2011-08-17 09:51 让我们在讨论细节之前，考虑黎曼球在物理学中的两个重要作用。 1. 具有自旋1/2的粒子的波函数可以是“上”和“下”的一个线性叠加：w|↑>+z|↓>。在黎曼球上这一状态可由点z/w 来代表，而且这一点对应于自旋的从中心出发和球面相交的正轴(首先归功于马约拉纳，还可参阅彭罗斯1994，他们还用黎曼球上更复杂的结构来代表更高的自旋)。这就把量子力学的复数幅度和时空结构相联系。 [attachment=1108] 图6.2 自旋1/2粒子的自旋方向的空间是比z/w的黎曼球，此处w和z分别代表向上和向下自旋的幅度。

henryharry2 2011-08-17 09:56 2.想象位于时空一点的观察者，向着太空观星。假定她在一个球面画出这些恒星的角位置。现在，如果第二个观察者同时穿过同一点，但和第一观察者之间有一相对速度，那么由于光行差效应，他会在球面上把这恒星在不同的位置画出。令人惊讶的是，球面上点的不同位置可由一个称为莫比乌斯变换的特殊变换相关联。这类变换精确地形成了维持黎曼球的复数结构的解。这样，通过一个时空点的光线空间，在一种自然意义上是黎曼球。此外，我发现它非常漂亮，联结具有不同速度观察者物理的基本对称群，也就是(受限制的)洛伦兹群，可以作为最简单的一维(复的)流形，黎曼球的自同构群而实现(见彭罗斯和林德勒1984)。 [attachment=1109] 图6.3 在相对论中一个观察者的天球自然地成为一个黎曼球。

henryharry2 2011-08-17 10:01 扭量理论的基本观念是试图开发这种在量子力学和时空结构中的联系——正如在黎曼球中所显示的——把这个观念推广到整个时空。我们将要把整个光线当成甚至比时空点更基本的对象。这样，我们把时空认为是从属的概念，而把扭量空间——原先是光线空间——认为是更基本空间。这两种空间由一种对应相关联，时空中的光线在扭量空间中用点来代表。而时空中的点用通过它的光线集合来代表。这样，时空中的一点在扭量空间中变成为一个黎曼球。我们应该把扭量空间当作按照它来描述物理的空间。 [attachment=1110] 图6.4 在基本的扭量对应中，（闵可夫斯基）时空中的光线用（投影）扭量空间中的点来代表，而时空的点用黎曼球来代表。

henryharry2 2011-08-17 10:18 直到现在我所介绍的扭量空间有(实的)五维，由于复空间总是(实的)偶数维，所以扭量空间不能是复空间。如果我们把光线认为是光子历史，我们还需要计入光子的能量和螺旋度，螺旋度可以是左手或者右手。这比仅仅一道光线复杂了一些，但是其优点是我们最终可以用复的投影三空间(实的六维)cp3。这就是投影扭量空间(PT)。它具有五维的子空间PN，PN 把空间PT 分解成两个部分，左手部分PT-和右手部分PT+。 现在，时空中的点由四个实数给出，而投影扭量空间以四个复数的比为坐标。如果在扭量空间中由(Z1，Z2，Z3，Z4)代表的一根光线通过时空中的点(r0，r1，r2，r3)，那么它们必须满足投射关系，投射关系提供了扭量对应的基础。我需要引进某种二旋量记号。这是通常人们开始发生混淆之处，但是为了计算细节，这种记录极其便利。 扭量代表零质量粒子动量四分量P（其中三个是独立的）以及角动量六分量M（其中四个与这些是独立的）。这些表达式体现了如下事实，即动量P是零性的而且指向未来，而且泡利-鲁班斯基自旋矢量等于螺旋度s 乘以四动量。这些量把扭量变量确定至一个整体扭量相因子。螺旋度可表为S，这儿扭量U的复共轭为对偶扭量Ū；注意复共轭把带分号和不带分号的旋量指标相互交换，而且它把扭量和它们的对偶相互交换。这儿，s>0对应于右手粒子，也就是我们当作扭量空间的上半部分，而s<0对应于左手粒子，即扭量空间的下半部分。正是在s=0的情形我们得到实际的光线，因而PN也即光线的方程为UŪ=0。

henryharry2 2011-08-17 10:29 我们希望得到扭量的量子理论，为此我们必需定义扭量波函数，在扭量空间上的复值函数f(U)。由于U包含有涉及位置变量和所有动量变量的分量，而我们在一个波函数中同时使用所有这一些，所以任意函数f(U)不能先验地作为一个波函数。位置和动量不对易。在扭量空间中其对易关系是[U,Ū]=ħδ, [U,U]=0, [Ū,Ū]=0。这样U和Ū为共轭变量，而波函数必须是其中的一个而不是两个变量的函数，这表明波函数必须是U的解析(或反解析)函数。螺旋度可表为s=UŪ/2。 现在我们必须检查前述的表达式如何依赖于算符顺序。人们发现动量和角动量的表达式和次序无关，因而是正则地确定的。另一方面，螺旋度的表达式和次序有关，我们必须采用正确的定义。为此我们必须取对称的积，也就是s=(UŪ+ŪU)/4。它在U空间表象中，可以重新表达成s=ħ(-2-U的齐次度)/2；我们能把波函数分解成s的本征态。 这刚好是确定的齐次性的波函数。例如，零自旋并具有零螺旋度粒子是齐次性为-2的扭量波函数。一个左手自旋1/2粒子具有螺旋度s=-ħ/2，因而其扭量波函数具有齐次性-1，而这种粒子的右手版本(螺旋度s= ħ/2)具有齐次性-3的扭量波函数。对于自旋2的右手和左手扭量波函数，其相应的齐次性为-6和+2。

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